Apostila_Matematica_ColFundamental_6_8

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Apostila: Matemática Básica vol. VI – por
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 6/8
Autor:
99
26. a) – 0,366 + j1,366
b) 1,366 + j0,366
c) 1,366 – j0,366
d) – 0,366 – j1,366
e) – 0,5 + j0,866
f) j2
g) 2 – j
26. a)1,414; b) 4,472; c) 0,849; d) 6,325; e) 8
27. j
28. 16
29. – 1024
30. 0,5 − j 0 ,866
31. −
1
1024
32. 2,828 − j 2,828
33. n = 3
34. – 2
35. – j
36. 17
37. a) w0 = 3 + j ; w1 = −3 − j
y
w0
1
−3
18,43º
0
w1
−161,57º
−1
100
3
x
b) w0 = 0,866 + j 0,5 ; w1 = −0,866 + j 0,5 ; w2 = − j
y
w0
w1
150º
30º
x
0
w2
c) w0 = 1 ; w2 = j ; w3 = −1 ; w4 = − j
y
w1 1
−1
w2
1
0
w0
w3 − 1
d)
101
x
y
w0 + 5
0
x
w1 − 5
e) w0 = 0,707 + j 0,707 ; w1 = −0,707 + j 0,707 ; w2 = −0,707 − j 0,707 ;
w3 = 0,707 − j 0,707
y
0,707
w1
w0
135 º
− 0,707
45º
0,707
− 45º
0
x
− 135 º
w2
f)
− 0,707
w3
w0 = 1,802 + j 0,868 ; w1 = 0,445 + j1,950 ; w2 = −1,247 + j1,564 ; w3 = −2 ;
w4 = −1,247 − j1,564; w5 = −0,445 − j1,950 ; w6 = 1,802 + j 0,868
102
y
w1
w2
w0
51,43º
w3
25,71º
0
x
w6
w4
w5
g) w0 = 0,866 + j 0,5 ; w1 = j ; w2 = −0,866 + j 0 ,5 ; w3 = −0,866 − j 0 ,5 ; w4 = − j ;
w5 = 0,866 − j 0 ,5
y
1 w1
0,5
w2
w0
60º
30º
− 0,866
0
w3
− 30º
− 0,5
w4
−1
h) w0 = 1,225 − j 0 ,707 ; w1 = −1,225 + j 0 ,707
103
0,866
x
w5
y
w1
2
150º
0
x
− 30º
w0
i)
w0 = 1,181 + j 0,316 ; w1 = −0,864 + j 0,864 ; w2 = −0,316 + j1,181
y
w1
1,122
w0
135º
15º
0
w2
39. a) { j,− j};
104
− 105º
x
b)
{0,5 + j0,866; − 1; 0,5 − j0,866}
c)
{0,707 + j 0,707;
d)
{− 0,707 + j0,707;
e)
{− 0,5 + j0,866;
f)
{2 + j7; 2 − j7}
− 0,707 + j 0,707; − 0,707 − j 0,707; 0,707 − j 0,707}
0,707 − j 0,707}
− 0,5 − j 0,866}
g) {1 + j; 1 - j 2}
h)
{− 1; 1; −
i)
{1; − 1; j 2; − j 2}
2; 2
}
j) {2; – 2; j2; –j2}
41. a)
( x + 3)2 + y 2
= 9 → circunferência centrada em (− 3, 0) e raio 3.
y
3
(− 3, 0)
−3
−2
−1
0
b) x 2 + ( y − 4) ≤ 4 → disco fechado centrado em (0, 4) e raio 2.
2
105
x
y
(0, 4)
4
3
2
1
0
x
c) 4 ≤ ( x − 2 ) + y 2 ≤ 16 → coroa fechada centrada em (2, 0) , raio interno 2 e raio externo 4.
2
y
4
2
(2, 0 )
0
1
x
2
106
d) x = 1 → reta que passa pelo ponto (1, 0) e é paralela ao eixo y.
y
0
e)
1
x
(x − 1)2 + y 2 = 1 → circunferência centrada em (1, 0) e raio 1.
y
(1, 0 )
0
f)
y=
1
x
1
→ reta que passa pelo ponto (0, 1 2 ) e é paralela ao eixo x.
2
107
y
1 2
0
x
g) y ≥ 2 → semiplano situado acima da reta y = 2 e incluindo a mesma.
y
2
1
0
x
h) xy ≤ 1 → região delimitada pela hipérbole equilátera xy = 1 conforme aparece na figura a
seguir
108
y
(1,1)
0
i)
x
x 2 − y 2 ≤ 1 → região entre os ramos da hipérbole x 2 − y 2 = 1 incluindo tais ramos.
y
A(1, 0), A′(− 1, 0)
B (0, 1), B′(− 1, 0)
B
45 º
45 º
F′
A′
0
A F
B′
109
F
(
) (
2 , 0 , F ′ − 2 ,0
)
x
j)
− 45º θ < 45º → região entre as retas y = − x e y = x no 1.º e 4.º quadrantes.
y
45 º
0
− 45 º
x
k)
y
−5
l)
0
1
x 2 + y 2 > 1 → região exterior à circunferência x 2 + y 2 = 1 .
110
x
y
1
0
x
m) Reta bissetriz do 1.º e 3.º quadrantes.
y
y= x
45 º
0
2
x
2
5
 4

n)  x −  + y 2 =   → circunferência de centro a ( 5 3 , 0 ) e raio
3
 3

111
4
3
.
y
4 3
a
0
(5
3 , 0)
112
x
2
2
5

3
o) x +  y −  =   → circunferência de centro a (0, 5 2 ) e raio
2

2
2
3
2
.
y
a (0 , 5 2 )
3 2
0
x
p) y = 0 → eixos dos x.
y
0
q) x = 0 → eixos dos y.
113
x
y
0
r)
x
x + 3 y + 8 ≥ 0 → que inclui o semiplano e a reta(r) assinalados na figura.
y
0
−8
x
− 83
r
s)
x ≥ 3 → que inclui o semiplano e a reta r assinalados na figura.
114
y
0
3
x
r
115
t)
x < −1 → que representa o semiplano assinalado.
y
0
2
1
x
2
1

1
u)  x −  + y 2 <   → disco aberto de centro a ( 1 2 , 0 ) e raio
2

2
1
2
.
y
1
0
2
1
2
116
x
v)
x2 y2
+
= 1 → elipse centr ada na origem, co m eixo maior = 3, eixo me nor =
9
5
4
4
5 , e distância focal = 2.
y
(
B 0,
3
2
,0 )
2
F′
A′
(−
5
)
F
(− 1 , 0 )
(1, 0 )
0
B ′ (0 , −
5
2
A
(3 2 , 0 )
x
)
2
2
1

1
w) As equações que definem o lugar geométrico são y < 0 e x +  y +  >   . Logo
2

 2
temos o todo semiplano a esquerda do eixo y = 0 a menos da parte do disco fechado de
1
1

centro a 0, −  e raio
situada nesta região.
2
2

2
y
0
−
1
x
1
2
2
117
x)
x2 y2
+
= 1 → elipse centrada na origem, com eixo maior = 10, eixo menor = 6, e
9 25
distância focal = 8.
y
A (0 , 5 )
F
B ′ (− 3 , 0 )
(0 , 4 )
B (3 , 0 )
0
x
F ′ (0 , − 4 )
A′ (0 , − 5 )
y) x 2 − y 2 = 1 → que é uma hipérbole equilátera, centrada na origem, cujo eixo real = 2, e
eixo imaginário = 2, e a distância focal = 2 2 .
y
A(1,0 ), A′(− 1,0 )
B (0,1), B′(− 1,0 )
F
B
F′
45 º
45 º
0
F
x
B
118
(
) (
2 ,0 , F ′ − 2 ,0
)
z) z = αz1 + βz 2 → sendo α + β = 1 , representa o segmento que une os pontos determinados
por z1 e z 2 .
119

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