1 Instrumentos de Rendimento Fixo

1
Instrumentos de Rendimento Fixo
Uma taxa de juro é um preço para o mais popular de todos os bens transacionados nas modernas economias: dinheiro. A taxa de juro de um ano, ppor
exemplo, representa apenas o valor que deve ser pago por tomar dinheiro emprestado por um ano. Mercados para dinheiro são bastante desenvolvidos e
o correspondente preço de mercado básico - juro - é controlado por qualquer
agente que tenha um interesse sério em actividades financeiras.
O mercado associado na taxas de juro é muito amplo e complexo, abrangendo
mais do que contas em bancos. Um vasto leque de títulos e notas do Tesouro,
obrigações, anuidades, contratos futuros e hipotecas fazem parte de mercados para dinheiro bem desenvolvidos. Estes instrumentos não têm um valor
intrínseco como os bens reais, sendo transacionados apenas como papéis ou
entradas numa base de dados informática. De uma maneira geral, s| ao referidos como instrumentos financeiros. O valor de um instrumento financeiro é
derivado da promessa de pagamento futuro que ele incorpora.
Instrumentos de rendimento fixo são instrumentos financeiros que são
transaccionados em mercados bem desenvolvidos e prometem uma renda fixa
(isto é, bem definida) aos seus detentores, ao final de um determinado periodo de tempo. Estes instrumentos podem ser vistos como a propriedade de
um fluxo de caixa futuro bem definido.
Instrumentos de rendimento fixo são importantes para os investidores,
pois determinam o equilíbrio do mercado para dinheiro, e a maior parte
dos investidores participa desse mercado. Estes instrumentos são também
importantes como fonte de comparação na análise de oportunidades de investimento que não são transaccionadas no mercado, tais como projectos de
investigação de empresas ou direitos de royalties.
1.1
O Mercado por Dinheiro Futuro
A classificação de um instrumento como de rendimento fixo é, na verdade,
um pouco vaga. Como descrito acima, esta nomenclatura significava originalmente que o instrumento paga no futuro um fluxo de caixa fixo e bem
definido ao seu detentor. A única incerteza incorporada nesse contrato seria
em relação à capacidade do emitente cumprir as obrigações associadas a esses
1
pagamentos. Em caso de incumprimento, o fluxo de caixa prometido seria
interrompido. No entanto, muitos destes instrumentos hoje prometem pagamentos futuros em função de várias contigências ou de índices que flutuam.
Por exemplo, os níveis de pagamento de uma hipoteca de taxa ajustável
pode estar ligada a um índice de taxa de juro, ou os pagamentos associados
á obrigação emitida por uma empresa podem estar em parte associados ao
valor das suas acções. Mas, em geral, essas variantes são geralmente incluídas
numa definição mais lata de instrumentos de rendimento fixo. A ideia é que
um instrumento de rendimento fixo tem um fluxo de caixa que é fixo excepto
por variações devidas a contingências bem definidas.
1.1.1
Depósitos de Poupança
Provavelmente são os instrumentos de rendimento fixo mais popular. Correspondem a depósitos bancários que rendem uma taxa de juro pré-definida.
São tipicamente oferecidos por bancos comerciais ou instituições de poupança.
Os depósitos mais simples pagam uma taxa que depende das condições de
mercado. Certas contas sobre horizontes temporais mais dilatados podem incorporar propriedades mais específicas. Por exemplo, o montante depositado
acrescido de juro pode ter que ficar depositado numa conta por um certo
periodo de tempo (por exemplo, seis meses), caso contrário pode haver uma
penalidade por levantamento antecipado. Um instrumento similar é o Certificado de Depósito (CD), emitido em denominações padrão (por exemplo de
10.000 euros). CD’s de grande denominação podem ser transaccionados no
mercado.
1.1.2
Instrumentos do Mercado Monetário
Esta categoria refere-se a empréstimos de curto prazo (um ano ou menos),
feitos por empresas ou intermediários financeiros. É um mercado desenhado
para grandes volumes, mas sem maior relevância para investidores de longo
prazo, dada a sua natureza. Neste mercado, classifica-se como papéis comerciais empréstimos não garantidos (sem colateral) a empresas. CD’s de grande
denominação discutidos acima também são classificados como papéis comerciais.
Uma aceitação bancária já é um instrumento mais sofisticado. Uma empresa pode não ter (ou não querer) pagar imediatamente o seu fornecedor, e
2
preferir escrever uma carta de promessa de pagamento dentro de um certo periodo de tempo, digamos três meses. Um banco pode aceitar essa promessa
da empresa, comprometendo-se com um documento a pagar ao fonecedor.
Esse documento, a aceitação bancária, pode ser revendida no mercado secundário até à maturidade desse contrato.
Finalmente, depósitos em eurodólares são depósitos denominados em
dólares mas em bancos fors dos Estados Unidos. Do mesmo modo, CD’s
em Eurodólares são CD’s denominados em dólares, mas emitidos por instituições fors dos Estados Unidos. A razão da existência destes intrumentos está
associada às diferentes regulamentações dentro e fora dos Estados Unidos.
1.1.3
Títulos do Tesouro
Os governos obtem recursos ao emitir diferentes tipos de títulos. De país para
país estes títulos podem ser ligeiramente diferentes, devido a diferenças nos
mercados e nas próprias regulamentações. Aqui citamos os tipos de títulos
mais relevantes, usando como exemplo o mercado dos Estados Unidos.
Bilhetes do Tesouro são emitidos em denominações de $10.000 ou mais,
com maturidades de 13, 26 e 52 semanas. Novos bilhetes são vendidos todas
as semanas em leilões públicos. São extremamente líquidos e têm um mercado secundário muito activo.
Notas do Tesouro são emitidos em denominações de $1.000, com maturidades entre 1 e 10 anos. Para além do valor devido no final do contrato,
o detentor de tais instrumentos recebe um pagamento de cupão adicional a
cada seis meses até à maturidade (inclusive).
Obrigações do Tesouro são emitidos com maturidades acima de 10 anos.
São similares às notas do Tesouro, no sentido em que podem pagar cupões.
No entanto, algumas destas obrigações podem ser chamadas, significando isto
que em certas datas, o emitente (o Governo) tem o direito de recomprar a
sua dívida, de acordo com a sua conveniência.
3
1.1.4
Outras Obrigações
Existem outros tipos de obrigações no mercado. Alguns exemplos são os
seguintes:
Obrigações emitidas por governos locais. Isto acontece em municípios nos
EUA, por exemplo, sendo o recebimento de juros associado a estes instrumentos isento de imposto federal e estadual.
Obrigações emitidas por empresas para efeito de financiamento dos seus
projectos. Variam de acordo com a qualidade das empresas e, consequentemente, do seu risco de incumprimento dos pagamentos pressupostos. Alguns
destes instrumentos são transacionados normalmente nas bolsas, outros são
transacionados apenas em balcões. Estes últimos são tipicamente menos
líquidos.
Uma obrigação inclui certas especificações contratuais. Alguns aspectos
que podem ser incluídos são:
1. Callable: Obrigações que dão ao seu emitente o direito de as recomprar
por um valor pré-estabelecidio em certas datas.
2. Fundos: No lugar de incorrer no dever de pagar todo o valor em dívida
na maturidade com grande esforço financeiro nesse momento, o emitente pode estabelecer um fundo no qual vai depositando gradualmente
quantias que somarão no final o equivalente devido. Sob tal arranjo,
o emitente pode recomprar a cada ano certa fracção das obrigações, a
um valor pré -determinado.
3. Subordinação da dívida: Para proteger os detentores das obrigações,
podem ser estabelecidos limites à capacidade de endividamento do emitente. També se pode garantir aos detentores das obrigações que, em
caso de falência do emitente, o seu pagamento terá prioridade sobre
outras dívidas pendentes, classificando-se essas outras dívidas como
subordinadas.
1.1.5
Hipotecas
Uma hipoteca parece ser exactamente o oposto de uma obrigação. A hipoteca
de uma casa gera, na verdade, a obrigação do pagamento de um fluxo mensal
4
ao banco. Uma hipoteca usual é estruturada de modo a que os pagamentos
sejam todos idênticos, o que contrasta com o contrato de uma obrigação, que
inclui o pagamento do valor facial (ou principal) na maturidade. Além disso,
a maior parte das hipotecas admite o pagamento antecipado do remanescente.
Logo, do ponto de vista do banco, o fluxo gerado não é completamente fixo.
Há variantes nas formas contratuais das hipotecas. Exemplos são pagamentos modestos durante um largo periodo de tempo, seguidos de um grande
pagamento final que termina o contrato (mais parecido com uma obrigação);
também há hipotecas com taxas ajustáveis, em que a taxa de desconto é
periodicamente ajustada de acordo com algum índice de taxa de juro.
Hipotecas não são vistas estrictamente como instrumentos financeiros. No
entanto, estes contratos fazem parte de grandes pacotes transacionados pelas
instituições financeiras. Estes instrumentos costumam ser bastante líquidos.
1.1.6
Anuidades
Uma anuidade é um contrato que paga ao seu detentor uma determinada
quantia periodicamente, de acordo com um esquema pré-determinado, durante um certo periodo de tempo. Um exemplo típico é o pagamento de
pensões.
Há inúmeras variações sobre a forma como as anuidades são pagas. Por
exemplo, o valor da anuidade pode ser ligado ao rendimento de uma carteira
de fundos; alternativamente, pode ser estabelecido que esse valor vai variando
com o tempo.
Anuidades não são, de facto, instrumentos financeiros, pois não são transacionadas (nem faz sentido que sejam). No entanto, são consideradas como
oportunidades de investimento disponíveis a taxas padronizadas. Logo, do
ponto de vista do investidor, funciona como qualquer outro investimento de
rendimento fixo.
5
1.2
1.2.1
Fórmulas de Valorização
Anuidade Perpétua
Uma anuidade perpétua implica o recebimento do mesmo valor A anualmente, começando de hoje a um ano, num fluxo interminável. Descontado a
uma taxa r anual, o valor actual desse fluxo é:
∞
X
∞
X
A
A
P
A
A
P =
+
+
.
=
=
k
1 + r k=2 (1 + r)k
1+r 1+r
k=1 (1 + r)
Resolvendo-se esta expressão para P vem
P =
A
.
r
Por exemplo, a uma taxa de 10% ao ano, o valor actual de uma anuidade
que pague 1.000 euros por ano será
P =
1.2.2
1.000
= 10.000.
0, 1
Fluxos de Vida Finita
Mais útil do que o valor de uma perpetuidade será o valor de um fluxo anual
do valor A, começando de hoje a um ano, mas que dure n periodos. Chama-se
a este fluxo uma anuidade. Este fluxo pode ser visto como uma perpetuidade
a quem retiraram os fluxos a partir do periodo n + 1. Logo o seu valor será o
valor de uma perpetuidade usual menos o valor actual de uma perpetuidade
que começaria a ser pago em n + 1. O valor desta última anuidade em tempo
n seria A/r, de modo que o seu valor actual é expresso como
1
A
.
n
(1 + r) r
Logo, o valor da anuidade é dado por
"
#
A A
1
1
A
1
−
.
=
P = −
r
(1 + r)n r
r
(1 + r)n
Suponha que tomou 1.000 euros emprestados de uma União de Crédito.
Os termos do empréstimo são de qu a taxa de juro anual de 12% seja composta mensalmente. Devem ser feitos pagamentos mensais de igual magnitude para pagar (amortizar) este empréstimo ao longo dos próximos 5 anos.
6
De quanto devem ser os pagamentos mensais?
Cinco anos corresponde a 60 meses, e 12% ao ano composto mensalmente
corresponde a uma taxa mensal de 1% por mês. Logo, usamos a fórmula
para anuidade com n = 60, r = 1%, P = 1.000 e encontramos A = 22, 20
euros por mês.
1.2.3
Equivalente Anual
O conceito de it equivalente anual pode ser muito útil na análise do valor
actual líquido de um projecto. O equivalente anual de um projecto corresponde ao valor A de uma anuidade que tenha uma duração idêntica à do
projecto e que tenha o mesmo valor que o VAL desse projecto. Nesse sentido,
o equivalente anual de um dado projecto corresponde ao valor médio do seu
fluxo de caixa.
Espera-se que a compra de uma nova máquina por 100.000 euros (em
tempo zero) gere receitas adicionais de 25.000 euros por ano nos próximos
dez anos. Como saber se este investimento é adequado a uma taxa de custo
de capital de 16% ao ano?
Para responder, apenas necessitamos de determinar como amortizar o
custo inicial uniformemente em 10 anos. Isto é, precisamos de encontrar o
valor de pagamentos anuais que, descontados à taxa de 16%, correspondam
a um valor actual igual ao custo da máquina. Da fórmula da anuidade,
isto corresponde a 20.690 euros por ano. Isto quer dizer que o equivalente
anual do projecto é de 25.000-20.690=4.310 euros, que é positivo. Logo, o
investimento é viável. Note que se a compra da máquina for financiada a
16% por dez anos, o fluxo de caixa em cada ano corresponde exactamente ao
equivalente anual.
1.3
Detalhes de Obrigações
Uma obrigação é um instrumento financeiro, em troca do qual o emissor
recebe um determinado valor e o detentor do título recebe a promessa de
pagamentos futuros pré-definidos até à data T de término desse contrato,
denominada maturidade da obrigação. Uma obrigação pode ser emitido tanto
pelo Governo como por uma empresa para efeito de seu financiamento.
7
1.3.1
Valor Facial
O valor facial de uma obrigação, ou o seu valor principal F , corresponde ao
montante que deve ser pago ao detentor desse instrumento na maturidade do
contrato.
Em qualquer instante da vida desse contrato diz-se que a obrigação está
a desconto se o seu valor de transação for inferior ao valor facial, ou que está
a prémio caso o seu valor de transação seja superior ao valor facial. Quando
o valor de transação coincidir com o valor facial, diz-se que a obrigação está
a par.
1.3.2
Taxa de Cupão
Para além do valor facial, é comum haver pagamentos intercalares. Estes
pagamentos são chamados de cupões e o seu montante C é expresso de forma
proporcional ao valor facial, C = αF . Por exemplo, numa obrigação com
F = 1.000, um cupão de 9% corresponde ao pagamento de 90 por ano. A
essa porcentagem α dá-se o nome de taxa de cupão.
No entanto os cupões podem ser pagos a uma frequência maior do que a
anual. No exemplo dado acima, se tivesse sido explicitado que o pagamento
de cupões era semestral, convenciona-se que a taxa de cupão de 9% se referiria
ao total anual, logo correspondendo a 45 por semestre.
O valor de uma obrigação com cupão anual é então dado por
PT =
T
X
C
F
+
.
T
k
(1 + r)
k=1 (1 + r)
O primeiro termo refere-se ao valor actual do valor facial a ser pago na
maturidade, enquanto que a soma se refere à anuidade correspondente ao
pagamento dos cupões. Usando explicitamente a expressão da anuidade e
fazendo C = αF ,
PT =
h
iα
F
F
T
+
(1
+
r)
−
1
.
(1 + r)T
(1 + r)T
r
Note que o valor da obrigação é uma função linear do rácio α/r. Em
particular, quando a taxa de cupão iguala a taxa de desconto (α = r), a
obrigação está a par; se a taxa de cupão estiver acima da taxa de desconto
8
(α > r), a obrigação está a prémio; e, finalmente, se a taxa de cupão estiver
abaixo da taxa de desconto (α < r), a obrigação está a desconto.
Uma obrigação tem valor facial de 1.000 euros, maturidade de 5 anos e
uma taxa de cupão de 10%, pago semestralmente. Se a taxa de desconto for
de 5% ao semestre, quanto vale essa obrigação?
Se os cupões são pagos semestralmente, deve-se considerar como unidade
de tempo na expressão da anuidade o semestre. Consequentemente, deve-se
comparar metade da taxa de cupão com a taxa de desconto semestral. Neste
caso são iguais. Logo, a obrigação está a par e o seu valor é de 1.000 euros.
1.3.3
Juro Acrescido
O valor de uma obrigação descrito acima é calculado no pressuposto de que
um cupão acabou de ser pago e estamos a um número inteiro de periodos de
pagamento do próximo cupão. Ou seja, assume-se que estamos em tempo
zero, e que o próximo cupão será pago em tempo um. Se estivermos um
pouco depois de tempo zero, o valor da obrigação é um pouco maior do que
em tempo zero, pois falta menos tempo para receber os cupões e o valor facial
- e logo, o seu valor actual será maior!
Para qualquer 0 ≤ t < 1 o valor da obrigação será então dado por
PT (t) = (1 + r)t × PT ⇒ PT = PT (0).
Por outras palavras, para qualquer 0 ≤ t < 1,
PT (t) =
h
iα
F
F
T
.
+
(1
+
r)
−
1
(1 + r)T −t (1 + r)T −t
r
Em t = 1, claramente há o pagamento de cupão C = αF e temos
PT (1) = lim P (t) − αF
t→1
F
F
+
(1 + r)T −1 (1 + r)T −1
F
F
+
=
T
−1
(1 + r)
(1 + r)T −1
=
9
h
i
α
− αF
r
h
iα
= PT −1 (0).
(1 + r)T − 1
r
(1 + r)T − 1
Por outras palavras, quando um novo cupão é pago, recupera-se a expressão original para o valor da obrigação, porém com um periodo a menos
para a maturidade.
Durante um periodo entre dois cupões o valor da obrigação vai portanto
de PT (0) até ao valor máximo de PT (0)(1 + r). O valor exacto para qualquer
instante intermédio t é dado pela expressão acima para PT (t). No entanto, é
comum ser usada uma interpolação linear entre estes dois valores, levando ao
conceito de juros acrescidos. Neste caso, acrescenta-se a PT (0) não a variação
total mas uma fracção t dessa variação:
[PT (0)(1 + r) − PT (0)] × t = PT (0) × r × t
A este montante dá-se o nome de juro acrescido. O valor PT (t) = PT (0)(1+r)t
é então aproximado por
PT (t) ≈ PT (0) + PT (0)rt = PT (0)[1 + rt].
Considere como exemplo a obrigação da secção anterior. Imagine que os
cupões são pagos a cada 15 de Fevereiro e 15 de Agosto, e que estamos a
avaliar o instrumento a 8 de Maio. Neste caso, passaram-se 83 dias sobre o
pagamento do último cupão, e faltam 99 dias para o próximo. Logo,
t=
83
= 0, 456.
83 + 99
Neste caso, a aproximação dá para a data 8 de Maio (08/05):
PT (08/05) ≈ 1.000 × (1 + 0.0228) = 1.022, 8
O valor correcto seria
PT (08/05) = 1.000 × (1 + 0.05)0,456 = 1.022, 5.
Como se vê, o erro cometido é pequeno.
1.3.4
Ratings
Embora estes instrumentos estejam associados a um fluxo de caixa prédeterminado, há que considerar a possibilidade de incumprimento. Claramente governos cumprem com muito maior probabilidade os seus pagamentos
10
devidos do que empresas. Principalmente porque, em princípio, os governos
podem emitir moeda.
Mas entre as próprias empresas umas têm maior probabilidade de incumprimento do que outras. O mercado faz uma classificação dessa sua
percepção de diferentes riscos associados a diferentes empresas. As duas
principais empresas que se ocupam nos Estados Unidos dessa tarefa são a
Moody’s e a Standard & Poor’s.
As classificações reflectem a verossimilhança percebida de que os pagamentos associados aos instrumentos aconteçam conforme previsto. Obrigações com baixas classificações são usualmente vendidas por valores inferiores aos de obrigações comparáveis mas melhor classificadas.
1.4
Yields
As fórmulas acima permitem calcular o valor de obrigações, dados os ingredientes usuais: por um lado os elementos contratuais do instrumento C, α
e T e, por outro lado, o parâmetro relevante do mercado, a taxa de juro r.
No entanto, os valores das obrigações podem ser directamente observados no
mercado, levantando a seguinte questão: Para esse dado contrato, cujo preço
observamos, qual deveria ser a taxa de desconto do mercado constante ao
longo da vida do contrato que, substituída na expressão do valor da obrigação, daria o valor observado?
O valor da taxa que responde a esta pergunta é a yield to maturity (YTM).
Se denotarmos a yield por y, em tempo zero, o valor de uma obrigação (cupão
anual) é
PT =
T
X
F
C
+
.
T
k
(1 + y)
k=1 (1 + y)
Se o pagamento de cupões soma C num ano mas há m pagamentos de
cupões por ano, igualmente espaçados, convenciona-se chamar YTM deste
instrumento à solução y de
mT
X
C/m
F
PT =
+
.
mT
k
(1 + y/m)
k=1 (1 + y/m)
11
(1)
Embora esta expressão seja relativamente complexa e a solução para y
deva ser obtida, em geral, por iteração numérica, pode-se ter uma compreensão qualitativa da relação entre preço, yield, cupão e maturidade.
Como regra geral, as yields de diferentes instrumentos seguem-se umas
às outras bastante de perto. No fim de contas, a maior parte das pessoas
não compraria uma obrigação com yield de 5% se um CD bancário estiver
a oferecer 11%. Os mecanismos de equilibrio das taxas de juro moldam os
valores das diferentes obrigações, compatibilizando as suas yields. Note que
para uma mudança das taxas de juro, os valores de diferentes obrigações mudam de modo distinto, devido às diferentes estruturas das obrigações (cupões
e maturidade).
Para estudarmos a relação entre as diferentes variv́eis, introduz-se a função
PT (y), a curva preço-yield. Esta curva tem algumas propriedades evidentes:
1. é positiva;
2. para α e T fixos é decrescente e convexa em y;
3. para T e y fixos, PT (y) cresce com α;
4. para α e y fixos, PT (0) cresce com T , e as diferentes PT (y) cruzam-se
em y = α.
A pimeira propriedade segue por construção. A segunda, por anaálise
imediata da expressão. A terceira idem, notando que
PT (0) = F + CT.
A quarta segue deste último facto e também de que PT (α) = F para qualquer
T . Abaixo, segue Tabela ilustrativa destas propriedades.
1.5
Cotações
As cotações das obrigações indicam tipicamente uma taxa, mês e ano da maturidade, preço de compra e de venda, e a yield correspondente.
A taxa é tipicamente a taxa de cupão anual, e os preçcos são expressos
como percentagem do valor facial. Os preçcos de compra e de venda são
12
Table 1:
Preços de obrigações com α = 9%.
Tempo para Maturidade
1 year
5 years
10 years
20 years
30 years
5%
103,85
117,50
131,18
150,21
161,82
8%
100,94
104,06
106,80
109,90
111,31
Yield
9%
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
10%
99,07
96,14
93,77
91,42
90,54
15%
94,61
79,41
69,42
62,22
60,52
estabelecidos em equilíbrio pelos intermediários. Finalmente, a yield indicada
refere-se geralmente ao preço de compra.
1.6
Duração
Uma obrigação promete pagar um certo montante ao seu detentor. Na ausência de cupão, a data de pagamento conicide com a maturidade T do contrato.
Na presença de cupões, no entanto, os pagamentos vão sendo feitos ao longo
da vida do contrato, em vários instantes t1 , t2 , ..., tn = T , embora o valor
principal seja pago em T . A média desses instantes será sempre inferior a T .
A duração de uma obrigação corresponde a uma forma específica de calcular essa média. Trata-se da média ponderada dos vários instantes t1 , t2 , ..., tn =
T , sendo o peso associado a cada instante o valor actual do montante recebido
dividido pelo valor do instrumento:
D=
V A(t1 ) + V A(t2 ) + ...V A(tn )tn
VA
com V A(t1 ) + V A(t2 ) + ...V A(tn )tn = V A. Segue que t1 ≤ D ≤ tn . Claramente, uma obrigação de cupão zero tem D = tn .
Este valor é facilmente operacionalizável. Considere uma obrigação com
valor facial F = 100, taxa de cupão de 7% e 3 anos para a maturidade.
Assuma que a obrigação paga cupão semestralmente e está a ser descontada
13
a uma yield de 8%. O valor da obrigação é dado pela expressão (1) com
C = 7, m = 2, T = 3:
5
X
103, 5
3, 5
+
k
(1, 04)6
k=1 (1, 04)
= 3, 365 + 3, 236 + 3, 111 + 2, 992 + 2, 877 + 81, 798
= 97, 379
PT =
o que reflecte a soma dos valores actuais do pagamento em cada um dos seis
instantes. Os pesos associados a cada instante são esses valores divididos
pela soma PT : 0,035; 0,033; 0,032; 0,031; 0,030; 0,840. A soma destes pesos
iguala 1 (por construção) e a duração escreve-se
D = 0, 035 × 3, 365 + 0, 033 × 3, 236 + 0, 032 × 3, 111 + 0, 031 × 2, 992
+0, 030 × 2, 877 + 0, 84 × 81, 798 = 2, 753.
Em geral, a duração é dada por
"
#
m
C/m
F
1 X
T (k/m)
+T
,
D=
k
PT k=1
(1 + y/m)
(1 + y/m)mT
onde o valor da obrigação, PT , é dado pela expressão (1). Este conceito é conhecido como duração de Macaulay. Usando-se alguma álgebra, a expressão
para D pode ser reduzida a
D=
1 + y/m 1 + y/m − mT (α − y/m)
−
.
y
mα[(1 + y/m)mT − 1] + y
Por exemplo, considere uma obrigação com valor facial F = 100, taxa de
cupão de 10% e 30 anos para a maturidade. Assuma que a obrigação paga
cupão semestralmente e está a par. Neste caso α = y/m e a expressão acima
reduz-se a
"
#
1 + y/m
1
D=
1−
.
y
(1 + y/m)mT
Com m = 2, T = 30 e y = 0, 10, segue que
14
"
#
1, 05
1
D=
1−
= 9, 938.
0, 10
(1, 05)60
Mas porque calcular duração? A utilidade maior do conceito de duração
vem do facto de que se relaciona directamente com a sensibilidade do valor
das obrigações a pequenas variações da yield. Da expressão (1):
dPT
dy
"
mT
X
F
C/m
= − T
+
(k/m)
(1 + y/m)mT +1 k=1
(1 + y/m)k+1
"
#
mT
X
1
F
C/m
= −
T
+
(k/m)
1 + y/m
(1 + y/m)mT +1 k=1
(1 + y/m)k+1
DPT
= −
1 + y/m
#
Introduzindo o conceito de duração modificada como
DM =
D
,
1 + y/m
a derivada acima em relação à yield escreve-se
dPT
= −DM PT .
dy
Note que, para grandes valores de m ou pequenos valores para y, DM ≈ D.
A expressão acima pode ser reescrita como
1 dPT
= −DM ,
PT dy
possibilitando a interpretação da duração (modificada) como uma medida
da mudança relativa de preço por unidade de mudança de yield. Por outras
palavras, se a yield muda de ∆y, o valor da obrigação vai mudar (aproximadamente) de
∆PT ≈ −DM PT ∆y.
(2)
No último exemplo analisamos uma obrigação com T = 30. Uma subida
de ∆y = 1% na taxa de desconto fará o valor dessa obrigação baixar do valor
15
original de 100. De quanto? A duração modificada é DM = 9, 938/1, 05 =
9, 47. Logo,
∆PT ≈ −947 × 100 × ∆y = −9, 47
e o valor final da obrigação será aproximadamente de 100 − 9, 47 = 90, 53.
A duração de um instrumento é fácil de calcular. Do mesmo modo,
quando se considera uma carteira de instrumentos de rendimento fixo, podese calcular a duração dessa carteira. Supondo que ho.is instrumentos, A e B,
com durações respectivamente
DA =
e
DB =
segue que
n
1 X
tk V AA (tk )
PTA k=1
n
1 X
tk V AB (tk )
PTB k=1
PTA DA + PTB DB =
n
X
tk [V AA (tk ) + V AB (tk )],
k=1
de onde
PTA DA PTB DB
+
P
P
A
B
onde P = PT +PT . Em geral, a duração de uma carteira é a média ponderada
das durações dos seus componentes.
D=
1.7
Imunização
Temos neste momento os instumentos necessários para estruturar uma carteira
de instrumentos que seja robusta a pequenas variações da taxa de juro. A
este processo chama-se imunização.
Para entender este processo, considere a seguinte situação: nos próximos
anos compremeteu-se a fazer uma série de pagamentos periódicos (este é um
problema típico de companhias de seguros ou de fundos de pensões). A ideia
é investir numa carteira com o valor actual desses compromissos futuros. A
maneira mais fácil seria de investir em obrigações de cupão zero com maturidades correspondentes ao instantes em que pagamentos são devidos. Esta
16
carteira deve ter exactamente o valor pretendido e permite os pagamentos
desejados. Na realidade dos mercados, no entanto, é complicado encontrar
exactamente os instrumentos com essas características. A ideia mais geral é
a de ter uma carteira que possa ser vendida quando for necessário fazer um
pagamento, reinvestindo o restante, tendo em vista os próximos pagamentos. Se a taxa de desconto não variar no tempo, esses procedimento deve
funcionar para mercados suficientemente líquidos, e o valor da carteira que
sobra coincidirá com o valor dos pagamentos por fazer.
O problema é que as taxas de desconto mudam, reajustando os valores
dos componentes da carteira de maneira distinta, fazendo com que a carteira
possa não mais permitir os pagamentos devidos. O processo de imunização
resolve este problema ao ajustar, não apenas o valor actual da carteira, mas
também a sua duração. De facto, se a duração da carteira coincidir com a do
fluxo de pagamentos devidos, a sensibilidade do valor de ambos a variações
da taxa de juro será idêntica.
Considere o caso de uma empresa que deve pagar 1 milhão de euros
em 10 anos. Essa empresa deseja investir agora de modo a garantir esse
montante nessa data. Há três obrigações no mercado. A primeira tem α1 =
0, 06, T = 30, P1 = 69, 04, D1 = 11.44; a segunda tem α1 = 0, 11, T =
10, P1 = 113, 01, D2 = 6, 54; finalmente, a terceira tem α1 = 0, 09, T =
20, P1 = 100, 00, D3 = 9, 61. Todas são descontadas a uma yield de 9%. O
valor actual do montante a ser pago em 10 anos é de VA=414.643. Vamos
considerar uma carteira com obrigações do primeiro e segundo tipo. Sejam
V1 e V2 os valores investidos nessas obrigações. Então, devemos ter:
V1 + V2 = V A
D1 V1 + D2 V2 = 10,
o que leva a V1 = 292.788, 73 e V2 = 121.854, 27. Aos preços vigentes,
isto significa que devem ser compradas 4.241 obrigações do primeiro tipo e
1.078 obrigações do segundo tipo, dando um valor total de 414.623,42 para
a carteira, próximo do valor actual do pagamento em 10 anos, 414.642,86.
É simples verificar que se a yield cair para 8%, o valor dos pagamentos
futuros sobe para 456.386,95, enquanto que o valor da carteira vai para
457.949,00. Caso a yield suba para 10%, o valor dos pagamentos futuros
cai para 376.889,48 enquanto que o valor da carteira vai para 378.051.68.
17
Logo, qualquer que seja o sinal da variação da yield, a carteira estará
segura numa primeira etapa. Note no entanto que, após uma mudança de
yield, uma carteira que estivesse imunizada deixa de o estar: de facto, embora o valor da carteira possa estar ajustado, a sua duração não mais estará
ajustada. Assim, após cada mudança, a carteira deveria ser rebalanceada
para se manter imunizada.
1.8
Convexidade
O conceito de duração permite não apenas ter acesso a uma medida de risco
como também permite controlá-lo. No entanto, esse conceito está associado
a uma aproximação linear da curva preço-yield. O facto desta curva ser convexa faz com que as carteiras imunizadas subestimem o valor dos pagamentos
futuros sob uma variação da yield. Por outras palavras, sob variação da yield,
o valor da carteira imunizada será sempre maior do que o valor actual dos
pagamentos futuros.
Para corrigir essa distorção, pode-se introduzir um termo de segunda
ordem na expressão (2), levando em conta a convexidade da curva:
∆PT ≈ −DM PT ∆y +
C
PT (∆y)2 ,
2
onde
C=
m
X
C/m
1
k(k + 1)
1 d2 PT
=
T
.
2
2
2
P dy
PT (1 + y/m) k=1
m
(1 + y/m)k
Para se levar em conta a convexidade numa estratégia de imunização,
deve-se estruturar a carteira imunizada de tal forma que o seu valor, duração
e convexidade coincidam com os valores dos pagamentos futuros. Em geral,
para se conseguir isto são necessárias pelo menos três obrigações.
1.9
Exercícios
1. Uma dívida de 25.000 euros deve ser amortizada em 7 anos a uma taxa
de 7%. Qual deve ser o valor da mensalidade correspondente?
2. O avô do Pedro Miguel, o Sr. Gantois, acabou da completar 90 anos
e contratou uma anuidade que lhe paga 10.000 euros por ano até ele
18
morrer, iniciando os pagamentos daqui a um ano.Ele pediu que o neto
analisasse a anuidade. Das estatísticas das companhias de seguro, o
Pedro Miguel descobriu que a probabilidade do avô morrer no próximo ano é de 0,07; no ano subsequente, 0,08; no outro, 0,09; e nos
subsequentes 0,10; 0,10; 0,10; 0,10; 0,10; 0,10; 0,07; 0,05 e 0,04.
(a) Qual a expectativa de vida do Sr. Gantois?
(b) Qual o valor actual de uma anuidade descontada a 8% e com uma
vida igual ã expectativa de vida do Sr. Gantois?
(c) Qual o valor actual esperado dessa anuidade?
3. A empresa Z emite uma obrigação a 20 anos com taxa de cupão de
10%, quando as yields são de 10%. A obrigação pode ser chamada ao
valor facial mais 5%. Após 5 anos, a empresa acha vantajoso chamar
a obrigação. Assumindo que os cupões são pagos anualmente, o que se
pode deduzir sobre a yield após os 5 anos?
4. Uma proposta feita para economizar no pagamento de hipotecas foi a
seguinte: em vez de se pagar x por mês, podia-se pagar x/2 quinzenalmente, correspondendo a 26 pagamentos anuais. Chama-se a isto uma
hipoteca quinzenal. Este esquema paga a hipoteca mais rapidamente,
podendo economizar drasticamente o montante pago como juro. Assuma a hipoteca de um montante de 100.000 euros por 30 anos a uma
taxa de juro de 10%, composta mensalmente.
(a) Se a hipoteca implicar pagamentos mensais, de quanto deverá ser
a mensalidade e qual o montante pago como juro durante os 30
anos?
(b) Numa hipoteca quinzenal, ao fim de quanto tempo estará o montante pago e quanto será economizado como juro pago quando
comparado com a questão anterior? (considere a taxa de juro
composta quinzenalmente).
5. A família Silva acabou de contrair uma hipoteca de taxa variv́el na sua
nova casa, com pagamentos anuais. O valor da hipoteca é de 100.000
euros, dura 30 anos e inicialmente a taxa de juro é de 8%. Essa taxa é
garantida por 5 anos, após o que a taxa será ajustada pelos valores de
mercado. A nova taxa poderá ser aplicada à hipoteca numa de duas
maneiras: mudando a prestação ou mudando a maturidade do contrato.
19
(a) Qual o pagamento anual original?
(b) Qual o valor remanescente a pagar da hipoteca ao final de 5 anos?
(c) Se a taxa muda para 9% ao fim de 5 anos, qual o novo valor a
pagar anualmente de modo a manter a maturidade?
(d) Sob a nova taxa de juro, qual a nova maturidade da hipoteca se
quisermos manter o valor pago anualmente?
6. Considere uma obrigação que tem maturidade no início de Fevereiro de
2021 (de hoje a 18 anos) com taxa de cupão de 8% e descontada a uma
yield de 9%.
(a) Qual o valor dessa obrigação hoje?
(b) Qual o valor dessa obrigação calculada de hoje a seis meses, todos
os parâmetros fixos, usando a aproximação de interpolação acima
para juros acrescidos?
(c) Qual o valor exacto para a alínea acima, e qual o erro cometido?
7. Qual o valor e a duração de uma obrigação a 10 anos com taxa de cupão
de 8%, transacionada com uma yield de 10%?
8. Calcule a duração D e a duração modificada DM de uma anuidade
perpétua que pague a partir de hoje a um ano o montante A no início
de cada ano. Assuma uma taxa de juro r anual, constante.
9. Considere as quatro seguintes obrigações de valor facial 1000 e cupão
anual transacionadas a uma yield de 15%: a) T = 3; α = 0, 10; b)
T = 3; α = 0, 05; c) T = 3; α = 0; d) T = 1; α = 0.
(a)
(b)
(c)
(d)
Qual o valor de cada obrigação?
Qual a duração de cada obrigação?
Que obrigação é mais sensível a mudanças na yield?
Suponha que deve 2.000 euros de hoje a dois anos. Que equações
representam as restrições para se construir uma carteira imunizada
com as quatro obrigações acima? (não as resolva).
(e) Para criar uma carteira imunizada, decide usar a obrigação C
e mais uma outra. Que outra obrigação escolhe? Encontre o
montante a investir em cada uma destas obrigações para constituir
a carteira.
20
2
A Estrutura Temporal das Taxas de Juro
A evidência de que as taxas de juro variam no tempo exige uma teoria para
explicar como essas mudanças são incorporadas nos valores dos instrumentos
de rendimento fixo.
2.1
A Estrutura Temporal
A estrutura temporal das taxas de juro denota a curva das yields implícitas
no valor de obrigações transaccionadas, como função das suas diferentes maturidades.
Essa estrutura é usualmente inferida a partir de uma classe de obrigações
similares, do ponto de vista do risco de incumprimento e de exposição fiscal.
Normalmente usam-se para esse efeito obrigações do Tesouro, na medida em
que são consideradas isentas de risco de incumprimento.
O conjunto de pontos obtidos pode ser ligado por uma expressão funcional, como se se tratasse de uma regressão. Essa forma funcional dependerá de alguns parâmetros que, uma vez estimados em função dos pontos
apresentados, darão uma imagem do comportamento das taxas de desconto
futuras, implícitas nos preços. Essa imagem pode ser crescente, sugerindo
que as taxas de juro vão subir, decrescente, sugerindo o oposto, ou de comportamento misto, incluindo partes crescentes e partes decrescentes.
Quem tem a seu cargo a gestão de carteiras de obrigações, tem nesta
função um instrumento crucial de informação para trabalhar. De facto, nesse
caso o objectivo seria colocar a carteira num ponto óptimo da curva. Por exemplo, se lidar com uma curva decrescente para os primeiros cinco anos que
se estabiliza relativamente dessa maturidade em diante, deveria concentrar
a sua carteira em obrigações com maturidades inferiores a cinco anos. Na
verdade, a pergunta crucial é se não deveria concentrar a carteira em obrigações de curto prazo, de modo a aproveitar melhor as yields mais elevadas,
e quão concentrada deveria ser essa carteira. Essa decisão, no entanto não
é clara. Uma curva decrescente é normalmente consistente com expectativas
de mercado de declínio nas taxas de juro no futuro. Se isso acontece, significa
que os preços dessas obrigações vão subir. Embora neste exemplo o valor das
obrigações de longo prazo seja determinado hoje para dar um rendimento
21
Table 2:
Preços de obrigações do Tesouro Americano (18 de Janeiro 1999).
Maturidade
Taxa mês/ano
bid
ask
chg ask yield
8 7/8 Feb 99n 100:09 100:11 ...
4.02
5 7/8 Feb 00n 101:06 101:08 -3
4.66
5 3/8 Feb 01n 101:16 101:18 -4
4.58
médio durante a sua vida ao nível mais baixo, esse não será necessariamente
o seu rendimento se revendidas no curto prazo.
Para responder à questão de como posicionar a carteira da melhor maneira,
é necessário entender completamente quais as forças que moldam a evolução
da curva da estrutura temporal das taxas de juro no tempo.
Para se estimar a curva num dado instante, temos que usar dados do
mercado. Um exemplo típico, tirado de uma página do Wall Street Journal
aparece na tabela acima. Na primeira coluna temos a taxa de cupão, ou
seja, o valor anual pago como cupão dividido pelo valor facial a ser pago na
maturidade. O valor facial destas obrigações é de 1000. Logo, uma taxa
de 9% indica um pagamento anual de 90. A segunda coluna indica a maturidade do instrumento. A letra “n” significa que se trata de uma nota do
tesouro. As duas colunas seguintes indicam o preço de compra e de venda
das obrigações. Estes dois valores são expressos em porcentagem do valor
facial dos respectivos instrumentos. É importante notar que os algarismos
após os dois pontos não são decimais. Os preços são dados em 32-avos, de
modo que um valor de 80:30 significa 80% mais 30/32 porcento do valor facial
1000, ou 809,375. O número na penúltima coluna é a variação do preço bid.
Finalmente, a última coluna indica a yield da obrigação, calculada a partir
do preço ask.
A forma funcional sugerida para ajustar estes dados é:
YJ = (a1 + a2 tJ )e−a3 tJ + a4 .
Nesta expressão YJ é a yield da obrigação, tJ a sua maturidade, e os co22
eficientes a1 , a2 , a3 e a4 devem ser estimados por regressão não linear.
Da expressão note que
lim YJ = a4
tJ →∞
e
lim YJ = a1 + a4
tJ →0
Assim, o coeficiente a4 pode ser interpretado como a yield das obrigações
com maior maturidade, de tal forma que, sendo tJ muito grande, o termo
exponencial pequeno torne a primeira parte da expressão insignificante. Por
outro lado, o termo a1 pode ser visto como a diferença entre a yield de
obrigações de curto prazo e a yield de obrigações de longo prazo. Os termos
a2 e a3 moldam a curvatura da função entre o curto e o longo prazo.
2.2
Explicações para a Estrutura Temporal
Nesta secção discutimos a relação entre a estrutura temporal das taxas de
juro e as taxas de desconto futuro que nela estão embutidas. Três factores
podem influenciar a forma da estrutura temporal das taxas de juro.
• O que o mercado espera em relação aos futuros movimentos das taxas
de juro;
• A possibilidade de prémios de liquidez;
• Alguma relativa inefeciência dos mercados de rendimento fixo.
2.2.1
Teoria das Expectativas de Mercado
A primeira das teorias para justificar a estrutura temporal das taxas de juro
observada é conhecida como a Teoria das Expectativas do Mercado. Sob esta
teoria, o único determinante da forma seria o primeiro factor. Para ilustrar
este caso, consideremos a seguinte estrutura temporal de taxas de juro, para
maturidades respectivamente de 1,2,3,4,5 e 6 anos:
0, 03; 0, 05; 0, 0667; 0, 08; 0, 084; 0, 0833.
23
Table 3:
Teoria de Expectativas do Mercado: Relação entre taxas de rendibilidade
esperadas e a estrutura temporal das taxas de juro.
1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anos
3%
3
3
3
3
3
7%
7
7
7
7
7
10%
10
10
10
10
10
12%
12
12
12
12
12
10%
10
10
10
10
10
8%
8
8
8
8
8
3%
5
6,67
8
8,4
8,33
3%
4,98
6,63
7,95
8,35
8,29
Agora
de hoje a 1 ano
de hoje a 2 anos
de hoje a 3 anos
de hoje a 4 anos
de hoje a 5 anos
yield aritmética
yield geométrica
Isto quer dizer que a taxa de desconto para este próximo ano é de 0,03
ou de 3%. E qual será a taxa para o segundo ano? Como a obrigação a dois
anos tem uma yield de 5%, isto significa que
(1 + 0, 05)2 = (1 + 0, 03)(1 + f2 ) ⇒ f2 = 7, 04%
onde f2 é a taxa de desconto procurada. Esta taxa, assim calculada, é
chamada de taxa forward para o segundo periodo.
Dados os níveis das taxas envolvidas, para efeito de simplificação consideramos yields como médias aritméticas. Neste caso temos a yield a um
ano de 3% e a de dois anos 5%. Determinar a taxa de desconto do segundo
periodo equivale a perguntar qual é a taxa cuja média com 3% daria os 5%
observados. Se usarmos a média aritmética a resposta seria 7%, não muito
distante da resposta anterior. Note também que a média geométrica usualmente tomada com taxas de juro 7 e 3% se escreve como
q
(1 + 0, 03)(1 + 0, 07) − 1 = 0, 0498
o que se reflecte na última linha da Tabela.
A Tabela acima perfaz todos os cálculos estabelecendo as taxas de desconto esperadas para cada periodo, que podem ser lidas na primeira coluna.
24
Digamos que os mercados esperam que as actuais taxas de juro de 3% cresçam
atingindo um pico de 12% em três anos e que depois decresçam para cerca
de 8% ao fim de 5 anos.
O que é particular desta teoria é que a rendibilidade de cada um destes
instrumentos num determinado periodo é assumida como independente da
sua maturidade. Assim, espera-se obter a mesma rendibilidade mantendo-se
um instrumento com maturidade de dois anos até ao fim, ou mantendo-se
por dois anos um instrumento de maturidade de quatro anos, revendendo-o
ao fim de dois anos. Neste sentido pode-se dizer que a yield de uma obrigação com T anos para a maturidade é igual à média esperada das yields de
obrigações anuais nos próximos T anos.
Segundo esta teoria, o mercado exige para o próximo ano a mesma rendibilidade de uma obrigação com maturidade de um ano e de outra com maturidade de quatro anos, porque os vê como substitutos perfeitos. Isto implica
que pelo menos uma das três coisas seguintes deve ser verdade:
• há certeza sobre o valor futuro das obrigações;
• investidores são neutros ao risco;
• risco de incerteza sobre taxas de juro futuras pode ser diversificado.
Estas são as condições segundo as quais não há prémio de risco associado
à estrutura temporal de taxas de juro, e as taxas forward reflectem a taxa
esperada de desconto para os futuros periodos.
Uma questão importante é mostrar que as taxas forward na verdade são
sempre inferiores ao valor esperado da taxa de juro futura, mesmo sob a
hipótese da expectativa de mercados. Na verdade, seguindo o nosso exemplo
acima, se descontarmos o cashflow da obrigação de dois anos devemos usar
o factor
1
,
(1 + r2 )2
onde a taxa média anual é dada por r2 = 0, 05. Para descontar cashflows de
hoje a um ano, deve-se usar a taxa de r1 = 0, 03 ou o factor
25
1
.
1 + r1
Ora, descontar a dois aanos é a mesma coisa que descontar à taxa do
próximo ano e depois descontar à taxa do ano seguinte. Seja x essa taxa do
ano seguinte, uma variável aleatória cuja realização será conhecida em um
ano. Logo,
1
1
1
=
×
.
2
(1 + r2 )
1 + r1 1 + x
Dizermos que o lado esquerdo reflecte o valor esperado do lado direito
significa que
·
¸
1
1
1
=
×E
,
2
(1 + r2 )
1 + r1
1+x
enquanto que a taxa forward é construída satisfazendo
1
1
1
=
×
.
2
(1 + r2 )
1 + r1 1 + f2
Logo
·
¸
1
1
1
⇒ f2 < E(x).
=E
>
1 + f2
1+x
1 + E(x)
O passo da desigualdade acima decorre do facto que 1/(1 + x) decresce a
taxas decrescentes (é conhecida como desigualdade de Jensen).
2.2.2
Teoria da Preferência de Liquidez
Foi discutido atrś que ateoria de expectativas seria válida apenas se os instrumentos fossem substitutos perfeitos ou se o risco de taxa de juro pudesse
ser ignorado. Caso não possa, a incerteza sobre o valor futuro das taxas de
desconto deve introduzir um prémio de risco.
Um exemplo pode ilustrar essa ideia com facilidade. Suponha que tem
um instrumento com maturidade de 1 ano e sem risco de incumprimento. O
seu resultado é certo e a sua rendibilidade (yield) é uma variável aleatória
26
com variância zero. Imagine um instrumento com quatro anos para a maturidade. Suponhamos que a rendibilidade esperada seja a mesma que a do
instrumento anterior. No entanto, se a taxa de juro do próximo ano subir,
o valor do instrumento desce. A perda de capital pode não ser compensada
pelo pagamento de juros e a rendibilidade pode ser negativa. Por outro lado,
se a taxa de juro descer, o valor do instrumento sobe e, dependendo do balanço entre o pagamento de juro e os ganhos de capital, a rendibilidade pode
ser grande.
Essa incerteza na rendibilidade do instrumento de quatro anos, com o
mesmo valor esperado, quando comparada com a alternativa de investir no
instrumento de um ano, faz com que o valor do instrumento de quatro anos
deva ter uma redução de valor, de modo a torná-lo competitivo. Isso faz com
que a sua rendibilidade esperada aumente.
A teoria aqui apresentada assume que os valores das obrigações de onde
as yields são calculadas incorporam um prémio de risco. Logo, se os preços
são menores do que deveriam ser, as yields serão maiores do que na teoria
anterior. Ou seja, as yields reflectem o prémio de risco e a estrutura temporal
das taxas de juro estaria acima dos valores descritos anteriormente.
Vamos ver um exemplo que ilustre esta ideia. Considere as mesmas obrigações do exemplo anterior. A expectativa do mercado em relação às taxas
de juro para obrigações de um ano, são iguais às do exemplo anterior. No
entanto, agora assumimos que para investir numa obrigação com dois anos
para a maturidade, os investidores exigem um prémio de 2% sobre o que
eles exigem de uma obrigação com apenas um ano para a maturidade. Logo,
embora esperem 3% de rendibilidade em um ano ao comprar uma obrigação
com maturidade de um ano, esperam uma rendibilidade de 5% pelo mesmo
periodo de um ano ao comprar uma obrigação com maturidade de dois anos.
Vamos supor que para maturidades superiores a dois anos, esse prémio de
liquidez suba para 3%.
O comportamento da estrutura temporal das taxas de juro deve reflectir
estes prémios de liquidez. Assim, note que a taxa a dois periodos deve ser a
média de uma taxa de 5% no primeiro ano e de 7% no segundo ano, quando
a obrigação inicialmente com dois anos para maturidade terá apenas um ano
para a maturidade, não incorporando, portanto, nenhum prémio de liquidez.
27
Table 4:
Teoria de Preferência de Liquidez: Relação entre taxas de rendibilidade esperadas e a estrutura temporal das taxas de juro.
Agora
de hoje a 1 ano
de hoje a 2 anos
de hoje a 3 anos
de hoje a 4 anos
de hoje a 5 anos
yield aritmética
yield geométrica
1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anos
3%
5
6
6
6
6
7%
9
10
10
10
10
10%
12
13
13
13
13
12%
14
15
15
15
15
10%
12
13
13
13
13
8%
10
11
11
11
11
3%
6
8,33
10
10,6
10,67
3%
6
8,32
9,97
10,56 10,62
Do mesmo modo, uma obrigação inicialmente com 3 anos para a maturidade deve render: 6% no primeiro ano (3% do ano mais 3% de prémio); 9%
no segundo ano (7% do ano mais 2% de prémio porque, nessa altura, faltamlhe apenas dois anos para a maturidade); 10% no terceiro ano (sem prémio,
pois está no ano em que matura). A média dá 8,33%, a yield observada na
estrutura temporal das taxas de juro.
Pouco se sabe sobre a natureza dos prémios de risco na estrutura temporal das taxas de juro. Note que assumimos que as obrigações de curto prazo
não tem prémio de risco e as de longo prazo têm. Isto assume implicitamente
que os investidores têm horizontes de curto prazo. Se fossem investidores de
longo prazo, teriam necessidade de reinvestir os resultados de investimentos
em instrumentos de curto prazo repetidamente. Caso tenham instrumentos
de longo prazo à disposição, seriam agora estes instrumentos de curto prazo
que incorporariam risco e os de longo que teriam pagamento certo na maturidade de interesse.
A conclusão é ambígua. São os instrumentos de curto ou os de longo
prazo que têm rendibilidades incertas? A resposta depende do horizonte
temporal dos investidores.O modo como a estrutura temporal de taxa de
28
juros é afectada também.
2.2.3
Teoria da Segmentação de Mercado
Esta teoria vê o mercado por obrigações como segmentado entre investidores
de diferentes horizontes. Imaginemos uma economia onde os investidores
essencialmente querem imunizar as suas carteiras. Neste caso, activos e passivos devem ter a mesma duração, e os investidores vão procurar obrigações
que lhes permitam isso.
Isto significa que um banco comercial, por exemplo, sempre investirá em
obrigações de curto prazo, pois querem equilibrar a duração dos seus depósitos, tipicamente de curto prazo. Por razões similares, um fundo de pensões
investirá em obrigações de longo prazo.
No cruzamento da procura e da oferta de obrigações com diferentes maturidades é que se vai desenhar a forma da estrutura temporal das taxas de
juro. Se os investimentos saairem de fundos para bancos comerciais, haverá
uma pressão para subida nas taxas de longo prazo e um pressão para descida
nas taxas de curto prazo.
Nesta perspectiva a estrutura temporal das taxas de juro é moldada, não
pelas expectativa dos mercados sobre o movimento futuro das taxas de juro,
nem pela estrutura dos prémios de liquidez, mas pelos movimentos dos fluxos
de investimentos entre instituições financeiras e pela intensidade e natureza
dos investimentos económicos.
Considerando-se as ideias aqui discutidas, devemos reconhecer que estratégias de imunização são, de facto, muito seguidas pelas instituições financeiras. No entanto seria difícil aceitar que este é o único critério de investimento. Empresas não querem apenas sobreviver cobrindo risco. Querem
gerar valor. Empresas que não se empenhem em maximizar o valor para os
seus accionistas, rapidamente se podem ver alvo fácil de aquisição por parte
de outras empresas que ficarão felizes em maximizar o valor do seu capital e
realizar mais-valias.
Além do mais, muitos investidores simplesmente não se interessam por
imunização, preferindo maximizar a riqueza. A teoria de segmentação é, so29
bretudo, uma teoria de inefeciência dos mercados. Se a estrutura temporal
é determinada não de maneira a optimizar a riqueza dos investidores, qualquer especulador poderá tirar proveito disso. Imaginemos que temos todas
as informações no mercado consistente com uma queda das taxas de juro.
No entanto, a estrutura é crescente, pois é determinada por procura e oferta
baseada em imunização. Neste caso, as rendibilidades esperadas das obrigações de longo prazo serão maiores do que as das obrigações de curto prazo.
Os especuladores deveriam nesse caso aumentar a procura de obrigações de
longo prazo para se aproveitarem dessas rendibilidades em excesso, pressionando o seu preço para cima, reduzindo a sua rendibilidade esperada até aos
níveis esperados pelo mercado.
É razoável concluirmos que a estrutura temporal de taxas de juro é
moldada principalmente pelas expectativas de movimentos futuros das taxas.
Os prémios de liquidez terão certamente um papel relevante, mas o seu papel
pode ser muito ambíguo, conforme discutido. Em certos momentos, tanto as
imperfeições do mercado como o padrão dos fluxos de investimento podem
ter uma influência relevante, forçando a estrutura a desvios da sua forma de
equilíbrio original. É nessas alturas que cabe aos analistas agir activamente,
gerando lucros e ajudando a voltar ao estado de normalidade.
2.3
Dinâmica das Espectativas
Na medida em que os mercados forem relativamente eficientes, a estrutura
temporal das taxas de juro reflectirá a melhor estimativa do comportamento
futuro das taxas de juro.
Para ver como isso se faz, vamos dar a seguinte estrutura temporal das
taxas de juro:
0, 05; 0, 08; 0, 09; 0, 08; 0, 07; 0, 07
O primeiro número é claramente a taxa de desconto do primeiro periodo.
Desse modo, pode-se preencher a primeira linha, primeira coluna da Tabela
abaixo com um 5.
Para termos mais números necessitamos de uma estrutura para os prémios
de liquidez. Vamos assumir que obrigações com maturidades maior que um
30
Table 5:
Expectativas do mercado a partir da estrutura temporal das taxas de juro.
1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anos
Agora
de hoje a 1 ano
de hoje a 2 anos
de hoje a 3 anos
de hoje a 4 anos
de hoje a 5 anos
yield aritmética
yield geométrica
5
8
9
8
7
7
ano têm um prémio de 1%. Logo, a obrigação com dois anos deverá render
6% no primeiro ano, assim como todas as outras obrigações. A primeira linha
é completada com 6.
E no segundo ano? No segundo ano a obrigação inicialmente com dois
anos deverá render 10%, de tal maneira que, na média, dê os 8% relativos
à yield das obrigações com maturidade de dois anos. Preenche-se a Tabela
com o 10, na segunda linha primeira coluna.
A obrigação inicialmente com três anos para a maturidade tem no início
do segundo ano apenas dois anos de maturidade. Deve pagar um prémio
de 1% sobre a rendibilidade desse ano, que é 10%, como acabamos de ver.
Portanto, a segunda linha, segunda coluna, deve ser preenchida com 11%.
Do mesmo modo para todas as maturidades superiores, preenchendo todo o
resto da linha.
Se a yield inicial dessa obrigação é de 9%, se ela rende 6% no primeiro
ano, 11% no segundo, quanto deve render no terceiro para a média coincidir
com a sua yield? A resposta é 10%, a ser colocada na terceira linha, primeira
coluna.
De forma análoga preenchem-se as outras casas. Esta estrutura permite31
nos desenhar a estrutura temporal de taxas de juro esperadas para os próximos periodos. Por exemplo, de hoje a um ano, sabemos que as obrigações
com um ano vão render 10%. As com dois anos, (inicialmente com três) vão
render 10%+1% nesse ano e 10% no subsequente, gerando uma média de
10,5%. Dessa forma a estrutura esperada é desenhada.
2.4
Exemplo com yield to maturity
Considere três obrigações com um, dois e três anos para a maturidade, todas
a par. O valor facial de cada um deles é de 1000 euros e as suas yield to
maturity são de 10%, 12% e 13%, respectivamente.
Da primeira obrigação decorre que a taxa de juro no primeiro ano é de
10%. Da segunda, o preço satisfaz a definiç ao de yield,
1000 =
120
1120
.
+
1, 12 1, 122
Para encontrarmos a expectativa da taxa de juro para o segundo periodo,
temos que modificar esta expressão lembrando que a taxa de juro no primeiro
ano é de 10%. Além disso, cabe perguntar se hálgum prémio de liquidez.
Vamos assumir que húm prémio de 1% no primeiro ano para a rendibilidade
das obrigações com mais de um ano de maturidade. Assim, a taxa esperada
para o segundo ano, f2 , satisfaz:
1000 =
120
1120
+
,
1, 10 1, 11(1 + f2 )
o que leva a f2 = 13, 26%. A taxa esperada para o terceiro periodo, f3 , pode
ser calculada do mesmo modo.
1000 =
130
1130
130
+
+
.
1, 10 1, 11(1 + f2 ) 1, 11(1 + f2 + 0, 01)(1 + f3 )
Substituindo o valor de f2 chega-se a f3 = 14, 46%.
Claro que, tendo obrigações suficientes, pode-se estimar a taxa forward
de qualquer periodo. Tendo essa série de taxas pode-se calcular a média
geométrica das yields para a maturidade dessas obrigações. Por exemplo,
essa média geométrica para a obrigação com dois periodos para a maturidade
pode ser calculada como
32
[(1, 10 + 0, 01)1, 1326]1/2 − 1 = 0, 1212.
Para a obrigação com três periodos paraa maturidade,
[(1, 10 + 0, 01)(1, 1326 + 0, 01)1, 1446]1/3 − 1 = 0, 1323.
Note que a média geométrica é maior que a yield usual. Isto é devido
às diferentes hipóteses subjacentes a estas diferentes maneiras de tomar a
rendibilidade média. A yield usual assume que o juro é reinvestido à taxa
actual de yield para a maturidade da obrigação. Já a média geométrica
pressupõe que o juro é reinvestido na obrigação e acumula às taxas futuras
esperadas implicitamente no valor da obrigação.
2.5
2.5.1
Medidas de risco
Duração
Na presença de uma estrutura temporal de taxas de juro, o conceito de
duração pode ser adaptado pela expressão
DF = 1 ×
C2 /[(1 + r1 )(1 + r2 )]
Cn /Πi (1 + ri )
C1 /(1 + r1 )
+2×
+·+n×
V
V
V
conhecida como a duração de Fisher-Weil.
Para uma obrigação com dois anos de maturidade que paga cupão anual
de 10% e valor principal de 1000, uma estrutura temporal flat (constante)
de 10% reduz a definição acima à definição anterior de duração:
DF = 1 ×
100/(1, 1)
1100/(1, 1)2
+2×
V
V
onde
100
1100
= 1000 ⇒ DF = D = 1, 909.
+
1, 1 (1, 1)2
Se tivermos uma estrutura temporal de taxas de juro menos trivial, a
duração muda. Suponha, por exemplo, que a taxa no primeiro periodo seja
de 8% e a taxa forward do segundo periodo seja de 12,24%. O valor V da
obrigação agora escreve-se como
V =
V =
100
1100
+
= 1000.
1, 08 (1, 08)(1, 1224)
33
Por outro lado, a duração agora escreve-se:
DF = 1 ×
100/(1, 08)
1100/[(1, 08)(1, 1224)]
+2×
= 1, 907.
1000
1000
A relação entre a medida de duração e elasticidade mantém-se aqui. De
facto, uma boa aproximação para mudanças na yield é
D≈
(V2 − V1 )/[(V2 + V1 )/2]
,
(Y2 − Y1 )/[1 + (Y2 + Y1 )/2]
onde V1 e V2 são os valores do instrumento calculados respectivamente
com a yield Y1 e Y2 . Por exemplo, no exemplo anterior com estrutura flat,
assuma que as taxas sobem instantaneamente de 10 para 12%. Neste caso,
o valor da obrigação cai de 1000 para 966,20:
966, 20 =
100
1100
,
+
1, 12 1, 122
e a elasticidade será aproximadamente dada por:
(966, 20 − 1000)/[(966, 20 + 1000)/2]
= −1, 908
(1, 12 − 1, 10)/[1 + (1, 12 + 1, 10)/2]
que, como vemos, é muito próximo da duração exacta.
2.5.2
Rendibilidades Esperadas e Risco de Mercado
Até há pouco tempo não havia facilidade em conseguir valores exactos de
transacção de obrigações. Estimativas desses valores estavam disponíveis,
porém não eram suficientemente precisas para se poder estimar uma estrutura de covariância para estudar o risco desses instrumentos. Hoje já há um
número suficientemente robusto de dados para se fazer essa análise.
Para tal, necessitamos de usar essa série de dados para perceber como os
valores desses instrumentos covariam com os de outros instrumentos no mercado. Assim podemos dizer se a variabilidade dos valores (risco, no fundo)
das obrigações está associada de alguma maneira ã variabilidade do mercado
ou não.
34
Ao fazer este tipo de tabalho para pequenos intervalos de tempo, não há
problema. No entanto, se usarmos periodos de tempo comparáveis à maturidade de uma dada obrigação, as suas características de risco podem mudar
substancialmente durante esse periodo. A estimativa de risco desse instrumento reflectirá um quadro composto de riscos muito diferentes: quando o
instrumento era jovem, com grande tempo para maturidade, e quando o instrumento está já muito perto de maturar. Em particular as durações dese
mesmo instrumento - que também medem risco (de taxa de juro) - vão ser
completamente diferentes.
Para ter uma visão mais cuidadosa desse risco de mercado, convém construir um índice de obrigações de várias maturidades. Suponha que o seu
horizonte de investimento é de um mês. Para construir um índice que represente uma obrigação de 10 anos, pode-se ajustar uma curva de estrutura
temporal de taxas de juro para uma série de meses. Estamos interessados na
série de taxas de rendibilidade geradas por uma obrigação que tenha 10 anos
de maturidade no início de cada mês e 9 anos e 11 meses ao final de cada mês.
Suponha que, no primeiro mês da amostra, a curva ajustada indica uma
yield interna de 12% para uma obrigação com 10 anos de maturidade. No final desse periodo a curva indica que a obrigação com 9 anos e onze meses deve
ter uma yield de 11,5%. A fórmula abaixo representa uma boa aproximação
para a rendibilidade da obrigação nesse periodo:
µ
¶
D
rt = Y1 + 1 −
(Y2 − Y1 ).
t
O simbolo t representa o intervalo de tempo sobre o qual a taxa de
rendibilidade é calculada, neste caso acima 1/12 do ano. Os símbolos D, Y1
e Y2 são respectivamente a duração, a yield no início e a yield no fim do mês.
Assumindo que as obrigações tomadas da curva de yield ajustada estãoa
a par, a duração de uma obrigação de 10 anos com yield para a maturidade
de 12% e pagamento de cupão anual de 120, é de 6,328 anos. Substituindo
estes números acima obtem-se
Ã
!
6, 328
0, 4947 = 0, 12 + 1 −
(0, 115 − 0, 12).
1/12
Fazendo isto para cada mês na série, produz-se uma série de rendibilidades
de obrigações com maturidades cde 10 anos no início de cada periodo. Estas
35
rendibilidades podem ser usadas para estudara estrutura de covariância com
as rendibilidades dos outros instrumentos no mercado, permitindo assim uma
descrição do risco de mercado dessas obrigações.
2.6
Exercícios
1. Assuma a seguinte estrutura temporal de taxa de juro (médias aritméticas):
9, 62%; 9, 12%; 8, 72%; 8, 42%; 8, 17%
(a) Assumindo a teoria de expectativas de mercado, estima as taxas
de desconto nos próximos anos;
(b) Para as obrigações inicialmente com dois e três anos de maturidade, calcule as suas rendibilidades esperadas anuais de hoje a um
ano;
(c) Calcule a estrutura temporal de taxas de juro esperada para daqui
a um ano;
(d) Suponha que há um prémio de liquidez de 1% para todas as obrigações com maturidades maior que um ano. Calcule as taxas de
desconto nos vários periodos futuros.
2. Calcule a estimativa de mercado para as taxas de desconto futuras nos
próximos três anos utilizando a tabela abaixo e assumindo que há um
prémio de liquidez de 1% para maturidades maiores que 1 ano. As yield
médias (aritméticas) são
8%; 11%; 13%; 14%
3. Como no problema anterior (incluindo prémio de liquidez), mas os dados são yield to maturity. Qual a yield esperada para uma obrigação
com um ano para maturidade, de hoje a um ano, se a obrigação está a
ser vendida a par (1000 euros)?
4. Uma nova obrigação do Tesouro com um ano de maturidade tem cupão
semianual de 9,5%, um valor de mercado de 1050 e um valor esperado
de mercado ao fim de 6 meses de 1075.
(a) Calcula a taxa esperada de rendibilidade ao fim de 6 meses.
36
(b) Se mantiver a posição nesse instrumento até à sua maturidade,
qual a taxa esperada para a yield?
5. Qual a taxa esperada de rendibilidade de uma obrigação de uma empresa com cupão anual de 12%, um valor de nercado actual de 1050 e
uma probabilidade de incumprimento no pagamento de juro de 5%? O
instrumento matura no final do ano a par.
6. Assuma que as yields de duas obrigações que pagam cupões anuais e
são hoje transaccionadas pelo seu valor facial de 1000 são 10% e 14%
para maturidades de 1 e 2 anos, respectivamente.
(a) Calcule as durações de Macaulay e de Fisher-Weil para ambos os
instrumentos, assumindo a teoria de expectativas de mercado para
a estrutura temporal das taxas de juro.
(b) Explique as diferenças dos números encontrados.
7. Suponha que a yield de uma obrigação com duração de 10 anos é de
11% no início do mês e 10,9% no final do mesmo mês. Qual a taxa
anualizada de rendibilidade dessa obrigação durante esse mês?
37