medida e o número decimal: um estudo sobre a elaboração

A MEDIDA E O NÚMERO DECIMAL: UM ESTUDO SOBRE A
ELABORAÇÃO DE CONCEITO EM CRIANÇAS DO NÍVEL
FUNDAMENTAL.
Micheline Rizcallah Kanaan da Cunha
Instituição: UNICAMP
e-mail: [email protected]
Sandra Maria Pinto Magina
Instituição: PUC/SP e FAESP.IPCA
e-mail: [email protected] ou [email protected]
INTRODUÇÃO
Há consenso entre educadores e pesquisadores sobre as dificuldades dos alunos
em resolver problemas matemáticos relacionados com a noção de medida de grandezas.
Esta mesma dificuldade foi constatada em professores da rede, quando atuei como
capacitadora em Projetos de Educação Continuada.
O número decimal é em geral trabalhado apenas quanto ao seu aspecto
operacional em detrimento do aspecto conceitual. Catalani (2002), em seus estudos
sobre a inter-relação forma e conteúdo no desenvolvimento conceitual da fração,
comprovou que o ensino e conseqüentemente a aprendizagem dos números tem se
limitado a aplicação do conceito, no qual o número é entendido e tratado apenas como
ferramenta para cálculos. A aprendizagem de técnicas operatórias que normalmente
ocorre de forma repetitiva e mecânica, não favorece a elaboração pelos alunos, dos
nexos conceituais da idéia da medida com o conceito do número.
A dificuldade da aprendizagem conceitual dos números tem conseqüência na
matemática, cuja aprendizagem dos conceitos está vinculada à leitura e interpretação
das medidas tais como: comprimento linear, massa, tempo, temperatura, comprimento
angular e outros.
Sob o ponto de vista da ciência, a visão do mundo depende da compreensão dos
fenômenos e das leis que regem esses fenômenos. Esse conhecimento por sua vez, está
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vinculado ao conhecimento quantitativo das grandezas que constituem esses fenômenos.
Por toda a parte, em todas as ciências há a tendência para o quantitativo, e portanto para
a ‘medida’, de modo que se pode afirmar que o estado propriamente científico de cada
ramo só começa quando nele se introduz a medida e o estudo da variação quantitativa
com explicação da evolução qualitativa. A realidade que nos cerca na maioria das vezes
é entendida de forma estática, como é o caso das contagens de elementos naturais, ou da
medição de certos estados instantâneos como a posição de um móvel numa estrada, ou o
valor da temperatura e outros. No entanto, essa realidade não é estática mas, está em
constante movimento. A concepção de realidade em movimento, já era conhecida pelo
filósofo grego Heráclito, segundo o qual. “tudo flui, tudo dévem”. Tal concepção de
movimento só pode ser traduzida pelo movimento relativo entre duas grandezas e cuja
expressão resulta numa razão. Para Hogben (1970), a matemática é a linguagem das
grandezas, e esta por sua vez, implica na noção de medida.
A noção de grandezas está associada à compreensão da qualidade e quantidade.
A quantidade associada a qualidade é em geral expressa pela medida (Caraça,1998). A
qualidade de um ser, corresponde ao conjunto de relações em que um determinado ser
se encontra com os outros seres de um agregado. Não se pode falar de em qualidade
intrínseca de um ser ou objeto. As qualidades de um ser dependem das relações entre
seres. A quantidade é um atributo da qualidade (Caraça, 1988). O termo quantidade no
senso comum é sinônimo de número, na linguagem científica e filosófica o termo
quantidade, por vezes tem sentido diferente. Aristóteles definiu quantidade como aquilo
que é divisível em dois ou mais elementos integrantes, dos quais cada um é por natureza
uma coisa una e determinada. Explicar um fenômeno é explicar a evolução de seu
isolado. Essa evolução manifesta-se pela ‘alteração de suas qualidades’.
O presente estudo tem por finalidade estudar a concepção do conceito de medida
e sua relação com a elaboração do conceito de número. O conhecimento de uma
grandeza está vinculado a sua medição e ao número a ela atribuído.
Temos por hipótese que a aprendizagem dos números feita de modo formal, e
desvinculada da aprendizagem conceitual não permite ao aluno compreender a
linguagem das grandezas. Essa aprendizagem desvinculada do conceito de medida,
constitui um obstáculo para a elaboração com os nexos conceituais. O ensino formal e
mecânico dos números não proporciona ao aluno uma significativa comparação entre o
enfoque discreto ou contínuo das grandezas com as medidas.
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O conceito de número e de medida é de fundamental importância para o
conhecimento da realidade. Bohn (1980) afirma que a expressão mais detalhada de
medida deve ser expressa por uma razão ou proporção (do latin ‘Ratio’). Essa ‘ratio’,
não é necessariamente uma mera proporção numérica, mas é em geral um tipo
qualitativo de proporção. Antigamente o significado mais básico da palavra medida era
limite, e neste sentido cada coisa tinha a sua medida apropriada. De acordo com o autor,
o significado da palavra medida dá primariamente os limites da qualidade.
.
JUSTIFICATIVA
A experiência como professora de matemática tem mostrado que os alunos não
conseguem interpretar determinadas quantidades. Por exemplo, o número 8,4 não é
corretamente interpretado ou associado como resultado de medida discreta ou contínua.
As quantidades 8,4m; 8º e 24’; ou ainda 8h e 36min, também não são interpretadas pelo
aluno como sendo medida de comprimento, medidas angulares ou de intervalo de
tempo, respectivamente. Tais dificuldades tem origem na ausência da relação entre o
conceito de medida e de número.
Pesquisas confirmam a ineficiência do ensino mecânico e repetitivo, no qual o
ensino do número é desvinculado da noção de medida. O entendimento pelo aluno do
número, não o impede de operar mecanicamente (Cunha, 2002), no entanto, a não
apreensão conceitual do número e como esta vai permanecendo ao longo vida escolar,
resulta em dificuldades nas elaboração de nexos conceituais tanto para a matemática
como para outras áreas do conhecimento. Os estudos de Catalani (2002) permitem
constatar que o conceito de fração origina-se na inter-relação entre medir e representar
numericamente o resultado desta medida.
Vários pesquisadores, como Moura (1996), Bezerra (2001), Prado (2001),
Catalani (2002), Woerle (1999); LIMA (1998), Bianchini(2001), Cunha (2002),
Centelho (1998), Brousseau (1987), têm se dedicado ao estudo das frações, e em
especial a medida. Esses estudos examinam as concepções, representações e
significações dos alunos com relação a esses conceitos. Há consenso entre eles sobre a
dificuldade de aprendizagem relativa aos conceitos matemáticos encontrar ênfase
exagerada ao aspecto lógico-formal do ensino. Concordamos com Catalani (2002) sobre
a dificuldade apresentada pelos alunos estar relacionada com o ensino que faz uso da
linguagem formal e na operacionalidade dessa linguagem matemática.
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Nosso objetivo foi investigar a concepção dos alunos sobre os números decimais
em diferentes contextos, através de diferentes representações matemáticas.
Para o estudo da formação do conceito buscamos subsídios nas teorias
construtivistas de Piaget e Vygostky, segundo as quais o conhecimento é constituído
pelo sujeito a partir de sua interação com o seu meio físico e social.
Em relação à teoria das representações matemáticas, o estudo da aquisição do
conhecimento e a maneira como se processa a aprendizagem, foi feito à luz das teorias
de Raymond Duval (1993; 1995; 1999; 2001) e Terezinha Nunes (1992; 1993; 1996;
1997; 1998) cujas produções de conhecimentos são dirigidos diretamente para a
Educação Matemática. Para Duval, a aprendizagem matemática inclui atividades
cognitivas e necessita da utilização de sistemas semióticos de expressão e de
representação. As representações são portanto essenciais ao funcionamento do
conhecimento e do desenvolvimento matemático. Para ele, as representações semióticas
são representações externas e conscientes ao sujeito e têm dois aspectos: a forma
(representante) e o conteúdo (representado). A forma muda conforme o sistema
semiótico utilizado. Cada objeto matemático possui diversos registros de representação
e para que ocorra a conceitualização (noésis), conforme Duval (1995) é preciso integrar
todos os registros de representação. As representações são relativas a um sistema
semiótico particular de signos, como a linguagem natural, a linguagem formal, a escrita
algébrica. A linguagem natural é considerada por Duval um registro de partida e um
registro de chegada .
METODOLOGIA
Procuramos identificar algumas concepções dos alunos, sobre números decimais
mobilizados no ensino dentro de determinados contextos e em especial no contexto de
medida, bem como seus sistemas de representações e a conversão de sistemas de
representação. Mais especificamente no nosso caso, a conversão do registro verbal para
o registro na escrita decimal.
Elaboramos um questionário composto de 21 questões, perfazendo 39 itens e
baseado a partir de um instrumento diagnóstico preliminar, cuja função principal foi
avaliar os conhecimentos anteriores do aluno com relação ao número decimal e servir
como instrumento para diagnosticar a aprendizagem dessa nova escrita numérica. As
questões do teste diagnóstico envolviam leitura, interpretação, compreensão e
representação de números decimais em diferentes contextos. Elegemos os contextos que
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ocorrem com maior freqüência no cotidiano do aluno e entre eles consideramos o
contexto de medida como elemento-chave para que a aprendizagem dos números
decimais torne-se mais significativa. Conforme dissemos anteriormente, o ‘contexto de
medida’ diz respeito às questões que tratam das medidas em geral, como comprimento,
volume, área e outras.
Aplicamos aos alunos atividades que priorizavam o controle de variações
quantitativas, partindo de situações nas quais fosse possível aos alunos fazer conexões
do conceito de medida, de continuidade, e de grandeza, tendo em conta que o conceito
de medida e de grandeza caracterizam-se como conexões básicas para a elaboração
desses conceitos.
A aplicação do teste diagnóstico ocorreu em alunos de 2ª a 5ª séries do ensino
fundamental, em uma escola pública do centro de São Paulo. As faixas etárias variavam
entre 8 a 12 anos de idades. A aplicação do teste diagnóstico foi feita com cada aluno,
individualmente, fora da sala de aula. O registro dos dados ocorreu de duas formas:
oralmente e por escrito. O registro das manifestações orais dos alunos foi anotado pelo
entrevistador, enquanto o registro escrito dos alunos era feito pelo próprio aluno na
folha impressa de questões.
A escola das séries iniciais funciona em dois períodos, com 8 classes em cada
período, de 1ª a 4ª séries. As turmas têm aproximadamente cerca de 30 alunos. Nosso
estudo foi realizado no período vespertino, o qual consta de 4 classes de 2º série; 4 de
3º; 4 classes de 4º série. O teste foi aplicado para 36 crianças. Nossa amostra
caracterizou-se pelo sorteio de alunos de cada classe ou seja 12 alunos da 2º série , 12
da 3º ; 12 da 4º. A opção por amostra aleatória ,foi para contornarmos os vícios de uma
coleta com elementos padronizados e desta forma podermos responder às exigências de
confiabilidade estatística.
NOSSA QUESTÃO DE PESQUISA, E ALGUMAS REFLEXÕES
As reflexões sobre como o aluno consegue quantificar quantidades menores que
a unidade em diferentes contextos e em especial no contexto de medida como ele
consegue representar essas quantidades , deram origem a questões de pesquisa. São elas:
“Como é compreendido e representado pelo aluno o número decimal em diferentes
contextos?” e “Em qual contexto o aluno consegue dar mais significado a
representação decimal? E qual o nexo entre a medida e o número decimal possível de
o aluno estabelecer?
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Para responder a essas questões, procuramos diagnosticar as concepções que os
alunos tinham em relação à representação decimais e como eles representaram esses
números em diferentes contextos. Os principais resultados foram obtidos das
manifestações dos alunos, tanto das orais quanto das escritas, tendo-se, freqüentemente,
em conta a importância do contexto.
Do gráfico a seguir, pode-se comparar o desempenho de cada série em relação ao
percentual de acerto dos resultados escritos e do percentual de acerto de forma oral.
Gráfico comparativo entre acertos orais e escritos
Nº
de
acerto por
2ª
total
de
itens
Número de
acerto
9
escrito (%)
Número de
acerto oral 85
(%)
3ª
4ª
5ª
36
46
58
87
91
96
156 é o número total de
itens do instrumento
diagnóstico que
possibilitaram respostas
orais e escritas
simultaneamente.
Gráficos comparativos de acerto das questões orais e escritas para todas as séries
100%
porcentuais
80%
60%
Escrita
40%
20%
0%
2ª
Oral
3ª
SÉRIES ESTUDADAS
4ª
Escrita
5ª
No contexto das medidas, estão as questões que tratam das contagens para
quantidades discretas e contínuas tais como, comprimento, volume e área.
A seguir, o gráfico fornece o desempenho de cada uma das séries para essas
questões contextualizadas em relação à medida.
Oral
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Contexto/medidas
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Porcentagem de
acertos
Contexto/medida
2ª
3ª
4ª
2ª
3ª
4ª
23% 35% 41% 65%
5ª
No gráfico acima pode-se observar, que a maior evolução deu-se da 4ª para as 5ª
séries. Mesmo assim, o desempenho dos alunos da 5ª série foi baixo nesse contexto.
Nossa interpretação para este resultado é, que os alunos desta série não têm a noção de
unidade e subunidades no contexto de medida. Uma das possibilidades para que isto
tenha ocorrido, está na falta de ênfase dada ao contexto de medida e conforme Caraça
(1998), é na medida que surge a necessidade do uso do novo campo numérico.
Acrescenta-se a isto, o fato de que a criança passa praticamente três anos do ensino
fundamental, trabalhando apenas com quantidades discretas, utilizando apenas o campo
numérico dos naturais. A passagem do campo dos naturais aos racionais é feita muito
rapidamente, sem que o aluno sinta a necessidade de usar o novo campo numérico.
Parece que para resolver problemas de situações do contínuo, a criança tenta modelizar
a situação contínua para uma situação discreta (Bezerra, 2001) e (Cunha. 2002). Assim,
ela “discretiza” o contínuo, e passa a trabalhar com uma falsa unidade natural. O
volume, o comprimento e a área que são grandezas contínuas passam a ser discretizadas
quando o aluno expressa, por exemplo, o valor de 1 litro, 1 gota, 1 algodão que são os
exemplos das quantidades representadas por unidade naturais, quando na verdade, são
unidades racionais (Hogben, 1956), possíveis de serem fragmentadas e que necessitam
de outro campo numérico a fim de serem caracterizadas.
Comparando-se o desempenho dos alunos no contexto de medida com o
desempenho geral, chamou-nos a atenção que as 2ª, 3ª e 4ª séries apresentavam
porcentual de acerto próximo, já a 5ª série, dá um salto porcentual de 10%. Isto nos
permite inferir que, a 5ª série tem razoável desempenho no contexto de medida, se
tomarmos como parâmetro a avaliação escolar.
5ª
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CONCLUSÃO E COMENTÁRIOS
Percebemos que há falhas de conceitualização dos números decimais durante a
conversão das representações da linguagem natural escrita ou falada para a decimal
escrita. Vale ressaltar que, muitas vezes, o entendimento da linguagem não encerra a
compreensão do conceito em sua total complexidade. Pode ser que o aluno, ao
expressar-se oralmente, esteja reproduzindo, imitando uma representação, sem atribuirlhe um significado e internalizado, conforme Piaget (1975).
O que nos chamou atenção foi a constatação que uma das dificuldades de se
trabalhar com números decimais poder estar relacionada com a falta de conexão entre a
medida e o número decimal possível de o aluno estabelecer.
O entendimento do número decimal pelas crianças é função do contexto. A
medida muito contribui para essa compreensão como pudemos comprovar para com os
alunos das 2ª, 3ª e 4ª séries. Embora o número decimal seja melhor compreendido no
contexto de medida, é melhor entendida no sistema oral de representação, e não é
totalmente compreendida no sistema de representação escrita (Cunha, 2002).
Embora haja um avanço da 5ª série em relação às demais séries, parece ainda
que ainda não foi totalmente incorporada por todos os alunos desta faixa etária. Na
maioria das questões, os alunos parecem entender número decimal como números
naturais separados por vírgula, e isto melhora um pouco quando mudam os contextos ou
quando muda a representação. O que nos leva a questionar se há entendimento ou se o
número é visto como apenas rótulo? Ou em outras palavras, estamos falando do aspecto
figurativo do conhecimento? O não entendimento da representação decimal não impede
ao aluno a operacionalização com o número decimal.
Para uma possível aprendizagem significativa dos números decimais sugerimos
que as atividades de ensino envolvam medidas e ainda conforme as orientações dos
PCNs, que isto seja feito desde as séries iniciais, e sempre que possível, fazer as
conexões de metade, meio, com as representações que sejam mais significativas e
oportunas em função da faixa etária e o contexto social nos quais o aluno se encontra.
A conclusão com base em nosso estudo foi que em vários momentos os alunos
parecem entender o número decimal, pois conseguem exteriorizar oralmente, mas a
grande dificuldade parece existir na representação por escrito.
Conforme esperado, as crianças das 2ª séries não tinham a compreensão do
número decimal. Mas, o mais surpreendente, é que a 5ª série está muito aquém do
esperado, o que nos leva a concluir que, pelo menos para a nossa população, a maneira
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como o processo de ensino, tal qual tem sido feito, oferece pouco recurso para favorecer
a criança à construção do conhecimento. As conclusões aqui apresentadas são resultado
da análise dos dados obtidos da aplicação do instrumento diagnóstico e portanto
circunscritas no limite do nosso universo de estudo. Embora nossa amostra tenha sido
aleatória e os dados tenham sido retirados de uma população de Escola Pública que
representa a maioria das crianças brasileiras, não temos dados estatísticos suficientes
que nos permitam inferir para além de nossa população. Apesar disso, sentimo-nos
confortáveis em fazer algumas afirmações que poderão possivelmente contribuir para
dar pistas sobre prováveis concepções das crianças dessa faixa etária, relativas à
conexão entre a medida e a compreensão do número decimal.
Palavras-chaves: número decimal; representação; medida.
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