alguns resultados recentes sobre equacoes diferenciais parciais

ALGUNS RESULTADOS RECENTES SOBRE
EQUACOES DIFERENCIAIS PARCIAIS
LINEARES DE COEFICIENTES
CONSTANTES'
por LEOPOLDO NACHBIN
A 1eoria das .equaQoes diferenciais parciais nealizou varlOS
progl'essos importantes nos últimos quinz:e anos, 18m virtude do
influxo de novos métodos ·e idéias. Urna bóa parte do avanQo
Vlerificado tem girado em tÓlJlO dos trahalhos de Garding',
Leray, Schwartz ·e sua escola. Na presente exposiQao, abordal'emos apenas alguns aspectos que se caractetizam pelo emprego
sistemático da Análise Funcional e, mais particularmente, dos
espaQos vetoriais topológicos, das distribuiQoes e da análise harmónica. Limitar-nos-emos as equaQoes diferenciais parciais linear·es de coeficientes constantes no Rn, muito embora os resultados sóbre os quais iramos discorrer sejam em parte conhecidos ou se p.ossa naturalmente conjecturar a sua extensao a
equaQoes diferenciais parciais mais gerais, lineares de coeficientes
variáV'eis ou nao lineares, no. Rn ou em variedades dif.erenciáveis, ou as equaQoes de convoluQao, ou as equaQoes diferenciais
parciais em urna infinidade de variáveis, ou aos sistemas de
equaQoes, ou a análise harmónica.
Indicaremos com E a álgebra topológica das funQoes complexas infinitamente diferenciáveis no Rn. Represental'emos com
D a álgebra topológica das func;:oes complexas infinitamente
diferenciáveis no Rn de suportes compactos. Notemos que D
é uma subálgebra de E ma.3 nao urna subálgebra topol~glca.
Indicavemos com D' o espaQo vetorial topológico das distribuiQoes em Rn, ou seja o dual topológico de' D. Consideremos, também, o dual tqpológico E' de E~, que será identifica:djo
na:tur~l.mente oom:o e~a<;p VJetorial ao espaQo' Vletorial das di'3:-
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tribui<;oes de suportes compactos em Rn. Finalmente, seja S
a álgebra topológica das fUIl<;oes complexas infinitamenLe difel"ienciáveis \6 rB¡pidamente decvesoentes no infinito em Rn. Designal1emos com S' -o dual topológico de S, que será identificado naturalmente como espa<;o vetorial a uro certo espac;o vetorial de distribui<;oes em Rn, que sao ditas distribu1lioes temperadas.
.
. Consider·emos um operador diferencial parcial 0= 2; ap DP,
OjIlde P = (P1' ... , Pn) é uma sequencia de inteiros positivos,
DP= c>P1+· .. +Prtjc> X1P1 '" c> xnP e o somatório é finito. O opera
sobre os lesp,a,<;P8 de fUill<;Oie:s' ou de d!iJstribuilioes. Su;pore;mos
D
O~/=O.
.
O aplica E sobve E como uma aplica<;ao contínua oC
aherta. Ero vir'tude da tooria das equa<;oes IÚl!eaves nos es,pa<;os
Vletoriais topülógicos e da teoria da dualidade, essa asserliáo
equiv,ale a diz:e:I'-se que O aplica Er homeomorficamente sobve
Q subespa<;o ",etorial· fechado O(Er) ,de E'. Esses resultados
foram estabelecidos por Malgrande (1954) e, independentemente,
por Ehrenpreis (1954).
O aplicaD' sobre D' como uma aplicaliao contínua e
aberta. Em virtude da teoria das equalioes lineares nos espalios
vetoriais topológicos e da teoria da dualidade, tal a,sserliao é
equivalente a afirmar-se que O aplica D homeomorficamente
sobre o subespalio vetorial fechado O(D) de D. Esses r,esultados, conj1ecturados plOr Schwartz e Malgrange, foram demonstrados por Ehr,enpreis (1955).
Chama-se soluliao elementar de O a toda distribuic;ao E
no Rn tal que O(E) = b, sendo b a medida de Dirac. O tem
ao menos una süluliao elementar. Tal ,fato resulta imediatamente
dIO teorema de Ehrenpreis segundo o qual O aplica D' sobr,e
D', mas uma demonstraQaü direta .muito simples já havia sido
dada anteriürmente pür Malgrange (1953); cfr. Ehrenpreis (1954).
Vários resultados parciais, devidos principalmente a Malgrange,
l"ielativos aO'comportamento IO.cal ou global de uma solU(;aoelémentar sao conhecidos.
.
Reoentemente, Hormander (1958) demonstrou. uma conjetUra natural de Schwartz, segundo a qual O admite sempr~ ao
'menos urna soluliao -eLementar temperada. De um modo mais
garal, O aplica S' sobre S' como urna aplicaliao cüntínua e
aherta. P.ela teoria das' iElsgualioes lineaves' nüs lespac;os ve:t'üriais
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topológicos e a te,oria da dualidade, essa "asser¡;ao equivale a
diz'er-se que O aplica S homeomorficamente sobre o suhespa¡;o
vetorial fechado O(S) de S.
'Tais r'e5ultados de Ehrenpreis, Hormander é Malgrange sao, .
através da transforma¡;8;o de Fo.uder, caso particular do chamadQ
probl,ema da divisao de distribui¡;Oes, corl'lespopdendo a divisao
de urna distribui¡;ao por urn polinomio. Mais recentemente, Lojasiewicz (1958), generalizando resultados prévios de Schwartz
e estahelecendo urna qOli:ijetura do¡ próprio Schwa:ctz, a3IDons:..
trou que a divisao de urna distribui¡;a.o por urna fun¡;ao analítica r,eal é sempre possivel, isto é a equa¡;ao T = cp S admite
sempre urna solu¡;ao S, quaisquer que sejam a distribui¡;ao T
e a fun¡;ao analitica real cp nao identicamente nula.
A teoria dásida' das 'equa¡;Qes ¡elíticaS teVie um dos slaus asplectos fuundament(ais extendido de urna maneira importante pO'l.'
Horma)nder (1955). ClassicamentJe, se o. ,oper,ador for de Slequunda
ordem, isto é 0= z:. a¡j iJ2/ iJx¡ iJXj mais termos de grau 1 e O.
e se os coeficientes forem reais, enta,o O é dito elítico quando a
fórma quadrática ZJ G¡j ti tj for definida (por exemplo positiva),
ou seja z:. G¡j t¡ tj > O qualquer que seja {ti} e z:. G¡j ti tj = O implicar {ti} = O. De um modo mais geral, retomando o caso de
O de ordem qualquer m e de coeficientes complexos, a defini¡;ao aproQp~ada de diticidade CQllsiste em requerer qu'e
z:.
ap
tP-=j=O
se t-=j=O,
Ipl-nt
onde Ipl=P1+'''+Pn se P=(P1,,'oo,pn) e tP=tlt. .. t/'n sé-'
t= (ti> .oo, t n). Os operadores elíticos tem urna propriedade fl:lndamental, que nao é característica apenas desses operador,es mas
sim de urna classe mais ampla, que passaremos a definir.
O é dito hipo~elíticose, toda vez que O(S) =T, onde S'
e T sao distribui¡;oes no Rn e T for urna fun¡;ao infinitamente'
dif:erenciáViel nurn abarto de Rn, entao S s'erá também urna
fUIfl¡;ao infinitamente· diferenciáveI nesse mesmo aberto. Um teor,ema básico, que l'Iemoillta a Serge Bernstein, sendo um ingrediente fundamental do chamado método da proje¡;ao ortogonal de Weyl, afirma-nos que todo operador elítico é ~ipo­
elítico.
Se E for urna soluQ8.0 elementar de O e esse operadorfor hipo-Ielítico, como. ~ = O no cqmplementar da origem,' entao
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B será infinitamente diferenciJáV1el illO complementar da orig·e·~.
Reciprocamente, se O admitir urna solu<;ao elementar que seja
infinitamente diferenciável no complementar da origem, entaoO
O será hipo~elítico. E' dessa fórmaque COillstatamos que alguns
operadores clássioos sao hipo-elíticos, através de urna. solu<;ao
eLementar conhecida.
A caracteriza<;ao direta dos operadores hipo-elíticós foi conseguida por Horrnqnder. S,eja p o polinomio em n variáveis
tal que
O
1
=p ( T
a
aX 1
1
U),
""'T oXn
onde o den?minadior i é incluido por OOllV'eniencia. Entao
¡\(p)=tsERn; p(x+s)=p(x) qualquer que seja xERn}
é um subespa<;o v·etorial de Rn. O polinomio p é ditocompleto
quando ¡\ (p) = O, o que significa que, em termos de qualquer
base em Rn, o polinomio sempre depende de todas as variáveis.
Para que O seja hipo-elítico é neoessário e suficiente que p seja
oomp1eto e .que sejam satisfeitas as duas condi<;oes equivalentes seguintes:
(1) se ~,11 E Rn, entao p(~ + i11) ~oo quando ~ ~oo e
11 permanece fixo.
(2) dado A >0, existe k >0 tal que .p(~ i 11) -:-/= O· !desde)
que ~,11E Rn, 1111 < A e I~I >k.
Outras fórmas equival.entes dessas condi<;oes foram, também, indicadas por Hormander.
+
INSTITUTO DE MATEMATIOA PURA E APLIOADA
CENTRO BRASILEIRO DE PESQUISAS FISIOAS
roo
DE J ANEIRO
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