Relaxation by Modified Logarithmic Barrier Applied to the Problem

Relaxation by Modified Logarithmic Barrier
Applied to the Problem of Optimal Power Flow
DC with Overload
M. V. Coelho, A. Santos Jr. and A. R. L Oliveira
Abstract— The Interior Point Methods primal-dual when
applied to problems of optimal power flow has great results, but
when the system presents overloads in generation and/or
transmission, not converge because these overloads imply violation
of operating limits, causing some variables cease to be interiors. In
order to eliminate these difficulties of these methods is proposed an
exchange of barrier function, replacing the classical logarithmic
barrier by modified logarithmic barrier. This change allows for
controlled violations in some inequality constraints and can be
used in solving problems such as optimal power flow with
overloads. In practice, such violations can be performed in a short
period without damaging the system. Finally, computational tests
are made simulating overloads the system suggesting good results.
Keywords— Modified Logarithmic Barrier, Interior Points
Methods, Optimal Power Flow, Overload.
I. INTRODUÇÃO
O
MODELO de fluxo de potência ótimo tem aplicações em
diversos problemas de análise e operação de sistemas tais
como análise de confiabilidade, análise de segurança,
programação da geração em curto prazo e planejamento de
expansão do sistema geração/transmissão. Em muitas das
aplicações tem sido adotada a representação linearizada (CC)
devido à maior simplicidade e ao grau de precisão satisfatório
de seus resultados [1].
Considerando o despacho ótimo de potência ativa através
de modelo CC, pode-se formulá-lo como um modelo de fluxo
em redes com restrições adicionais [2], ao invés da abordagem
clássica baseada na formulação nodal, tendo aplicações em
diversos problemas como o estudo de confiabilidade,
capacidade de atendimento da carga, despacho econômico e
análise de contingências.
Uma alternativa viável para resolução de problemas de
otimização em engenharia de potência são os métodos de
pontos interiores (MPIs). Uma variedade destes métodos tem
sido aplicados a um grande número de problemas de sistemas
de potência, incluindo estimação de estado [3], fluxo de
potência ótimo em geral [4], colapso de tensão e avaliação de
confiabilidade [5], gerenciamento de multi-reservatórios [6] e
planejamento à longo prazo de combustível [7].
Estes métodos são numericamente robustos e independem
de ajustes de parâmetros para cada problema. Além disso,
resultados baseados em redes de potência com tamanhos entre
M. V. Coelho, Universidade Federal de Alfenas (UNIFAL-MG), Poços
de Caldas, Minas Gerais, Brasil, [email protected]
A. Santos Jr., Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP),
Campinas, São Paulo, Brasil, [email protected]
A. R. L. Oliveira , Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP),
Campinas, São Paulo, Brasil, [email protected]
9 e 2423 barras em [8] e 1832 e 3467 barras [9] mostram que
o número de iterações necessárias para a convergência do
método primal-dual com barreira logarítmica clássica não é
sensível ao tamanho do problema.
Entretanto, estes métodos podem apresentar erros
numéricos quando variáveis de decisão ficam muito próximas
a valores de fronteira por diversas iterações.
Em se tratando de problemas de fluxo de potência ótimo,
estes erros numéricos podem ocorrer com mais frequência
quando há sobrecargas de geração e/ou transmissão no
sistema, pois variáveis atingem seus limites rapidamente, o
que pode ocasionar blackouts devido a incapacidade de
satisfazer a demanda ou mesmo de transmitir a carga gerada,
representada pela não convergência do método.
Sobrecargas implicam em operar com algumas restrições
operacionais no limite, ou seja, em aumento de riscos
operativos, devido a desligamentos de elementos da rede,
como também de responsabilidade civil no caso de acidentes,
refletindo em perda econômica devido a desgastes antecipados
de equipamentos ou necessidade de indenizações.
Quando há contingências nas linhas de transmissão ou em
unidades geradoras pode não ser possível evitar a ocorrência
de sobrecargas no sistema, assim, são necessárias ações que
visam operar com o sistema sobrecarregado por um curto
período de tempo até que operações corretivas aliviem as
sobrecargas.
Além de riscos, operar nos limites operacionais pode
incorrer em violações de capacidade de transmissão e/ou
geração, impedindo o uso dos MPIs, visto que tais violações
acarretam em pontos não interiores.
Nestes casos de violações de limites operacionais nos
MPIs, é possível relaxar algumas restrições de modo que tais
pontos se tornem interiores. Esta relaxação pode ser feita
permitindo que variáveis de folga assumam valores negativos,
mas para isso é preciso a troca da função barreira pela
proposta modificada por Polyak em [10].
Inserindo um fator de deslocamento na função logarítmica,
Polyak combinou as melhores propriedades da função
Lagrangeana com a de barreira clássica, mas eliminando suas
deficiências, como por exemplo, o mau condicionamento da
matriz Hessiana quando seu fator de barreira tende a zero e a
não existência de derivada na solução.
Deste modo, este trabalho propõe a aplicação da função
barreira logarítmica modificada para o estudo de viabilidade
operacional de um problema de fluxo de potência ótimo CC
com sobrecargas, visando manter o sistema operando de forma
segura, sem a ocorrências de blackouts.
II. MODELO DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO CC
VIA FLUXO EM REDES
O despacho ótimo de potência ativa através de modelo CC
pode ser formulado como um modelo de fluxo em redes com
restrições adicionais [11]. Uma vantagem dessa abordagem é
que, com a representação independente das leis de Kirchhoff,
os fluxos de potência se tornam explícitos, permitindo a
consideração direta dos limites de transmissão como restrições
e das perdas de transmissão como um critério de desempenho.
O modelo em interesse pode ser escrito da seguinte forma:
min
+
2
=
=
2
.
≤
≤
Onde:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(
+
−
0
≤
≤
)
(1)
(2)
(3)
(4)
, e : são os números de barras, linhas de
transmissão e de geradores respectivamente;
Q: Matriz diagonal
×
da componente
quadrática do custo de geração;
: Matriz diagonal
×
de resistência das
linhas;
: Vetor × 1 da componente linear do custo de
geração;
: Matriz
×
de incidência da rede de
transmissão;
: Matriz ( − + 1) ×
de reatância das
linhas;
: Vetor × 1 de fluxo de potência ativa;
: Vetor $ × 1 de geração de potência ativa;
: Vetor × 1 de demanda de potência ativa;
E$: matriz de ordem × cuja j-ésima coluna
contém exatamente um elemento igual a 1 na linha
correspondente à j-ésima barra de geração, e os
demais elementos nulos;
, ,
e
: limites mínimo e máximos de
fluxo e de geração de potência ativa,
respectivamente;
e : ponderações dos objetivos a minimizar.
O sistema de transmissão é representado por um modelo de
fluxo de carga CC com limites no fluxo das linhas. Para que as
variáveis de geração e transmissão possam ser expressas
simultaneamente no modelo, as leis de Kirchhoff para nós e
ramos (1) e (2) são apresentadas separadamente [12].
O conjunto de restrições para este problema é linear onde,
as equações (1) e (2) representam a rede de
geração/transmissão e as equações (3) e (4) representam as
capacidades de transmissão e de geração do sistema.
No modelo utilizado, as duas componentes da função
objetivo são quadráticas com variáveis separáveis, a primeira
representando o valor econômico das perdas de transmissão e
a segunda representando o custo de geração das usinas, tanto
térmicas quanto hidrelétricas.
A função de perdas na geração hidráulica, com
sendo
matriz diagonal, modela as três formas mais importantes de
perdas: as provocadas pelas variações na cota de jusante; as
provocadas pela tubulação de adução da unidade geradora;
perdas de eficiência do par turbina-gerador.
O custo de geração associado às termoelétricas também é
uma função quadrática independente para cada gerador.
Utilizando o modelo descrito para minimizar as perdas na
geração hidráulica e custos na geração térmica, as duas
componentes da função objetivo são quadráticas com
variáveis separáveis, uma vez que a matriz
também é
diagonal. Os MPIs para problemas com estas características
apresentam desempenho similar ao obtido para problemas
lineares. Em particular, o esforço por iteração é virtualmente o
mesmo em ambas as situações [13].
Para a aplicação dos MPIs o problema deve ser escrito na
forma padrão, deste modo, o problema apresentado pode ser
escrito da seguinte forma:
+
min
+
.
−
+
+
, ,
Onde
≔ − ,
≔
−
=
=
,
,
,
,
=
0
,
+
=
=
=
̅
≥
0
(5)
≔ − ,
= +
,
−
̅=
−
≔
−
−
,
.
Para facilitar o entendimento, é procedido conforme os
MPIs primal-dual seguidor de caminhos. Estes métodos usam
das variáveis
barreira clássica no conjunto = , , ,
primais e aplicam o Método de Newton às condições de KKT
da Função Lagrangeana associada a cada iteração. Resolvido
desta maneira, o método obtém bons resultados quando há
solução factível [12], ou seja, quando a demanda pode ser
satisfeita ou quando não há congestionamento nas linhas de
transmissão.
III. RELACIONANDO SOBRECARGAS E RELAXAÇÃO
Em se tratando de sistemas elétricos, os MPIs se limitam a
situações normais de operação. Em emergências nas quais os
recursos de geração e de capacidade de transmissão são
comprometidos o método falha.
Na prática, quando o sistema está sobrecarregado, é
possível permitir que algumas restrições operacionais sejam
violadas por um curto período de tempo, como por exemplo,
permitir que alguma unidade geradora, ou linha de
transmissão trabalhe acima de sua capacidade.
Em [14] são estabelecidos procedimentos para a
determinação da capacidade operativa das instalações de
transmissão integrantes da rede básica e das demais
instalações. No art. 2º desta resolução são descritos os
diversos tipos de capacidade operativa, dentre elas destaca-se
a de curta duração, tanto para linhas de transmissão quanto
para unidades geradoras, utilizadas em condições de
emergência, como por exemplo, para linhas de transmissão as
capacidades operativas podem variar de 10% e 40% acima do
estipulado, dependendo da temperatura específica do projeto.
Caso as violações de limites de geração e/ou transmissão
forem relativamente baixas, ou seja, estiverem dentro dos
limites operacionais de curto prazo, pode-se, por alguns
instantes, trabalhar com sobrecargas em componentes do
sistema geração/transmissão, pensando em possíveis situações
de sobrecarga e na capacidade operativa de curto prazo,
reformula-se o problema (5) de modo a permitir violações
operacionais. Estas violações podem ser modeladas
matematicamente como sendo uma relaxação nas variáveis de
folga e da seguinte forma:
≥−
≥−
(6)
Onde
>0 e
> 0 podem ser consideradas como
sendo as violações permitidas na transmissão e na geração
respectivamente, ou seja, a diferença entre os limites
operacionais de curto e de longo prazo. Ter conhecimento
destes parâmetros é de extrema importância, visto que estão
diretamente relacionados à integridade do sistema.
Observe que a relaxação em (6) possibilita que
e
se tornem negativas,
componentes das variáveis
deixando de ser interiores, porém, possibilitando que as
variáveis e ultrapassem seus limites operacionais quando
necessário.
Esta função é chamada de Função Barreira Logarítmica
Modificada, se encaixando em nosso problema, deste modo, a
troca da função barreira pode ser feita e então proceder de
modo similar ao dos MPIs, controlando em cada iteração para
que os pontos do novo problema permaneçam na região
relaxada Ω .
Deste modo, o problema (5) relaxado pode ser escrito da
seguinte forma:
min
.
( )
( ) ≥ 0, = 1,2, … ,
∈Ω
.
Onde Ω = { ∈ ℝ | ( ) ≥ 0}, seja utilizada a seguinte
função barreira:
Ψ( , ) =
( )=
ln(
∞
Onde Ω = { |
barreira.
( ) + 1 ≥ 0} e
( ) + 1)
,
∈Ω
,
∉Ω
é o parâmetro de
+
−
+
+
,
( ,
+
̅
=
=
=
(7)
≥ −
≥ −
)
Onde e são vetores de uns de dimensões apropriadas.
No problema (7), a relaxação foi feita em todas as variáveis
primais, simplificando o uso de apenas uma função barreira.
Em [15] é proposta uma estratégia similar de relaxação
aplicada apenas nas variáveis de folga do problema, mas ainda
impedindo que as demais variáveis se tornem negativas no
decorrer do processo iterativo.
Ao problema (7) associa-se a Função Lagrangeana
Modificada a seguir:
,
ℒ( ,
) = ( )−
∑
∈
( ,
) − ( ) (8)
,
Onde
=
( )
=
=
=
=
( )
=
,
) =
IV. APLICANDO BARREIRA LOGARÍTMICA
MODIFICADA
Mesmo com a relaxação em (6) os MPIs não são capazes de
resolver o problema em caso de sobrecargas, pois fazem uso
de barreira logarítmica clássica que impedem a negatividade
das variáveis. Uma forma de superar esta situação é
modificando a função barreira de modo a contemplar a nova
condição utilizando a proposta por Polyak em [10]. Em seu
trabalho Polyak propõe que para problemas da forma:
+
( ,
1
2
, , ,
̅−
+
− −
− −
+
+
1
+
+
2
ln(
+
+ 1)
∈
Assim, as condições de KKT da Função Lagrangeana
Modificada (8) resultam nas condições de otimalidade do
problema (7) dadas a seguir:
̅
+
=
=
+
+
=
+ −
=
−
+
−
−
+ −
=
+
=
+
=
+
=
+
(9)
=
Onde
=
,
B. Inicialização e Critérios de Convergência
∈{ , }e ∈ .
Repare que comparando com os MPIs tradicionais, os
multiplicadores de Lagrange , ∈ funcionam como uma
perturbação personalizada para cada restrição complementar.
Agora basta proceder como nos MPIs tradicionais, ou seja,
aplicar o Método de Newton nas condições de otimalidade (9),
atualizar as variáveis e repetir o processo até que as condições
de KKT sejam satisfeitas.
Porém, antes dos testes computacionais é preciso tomar os
seguintes cuidados:
A. Controle de Passos e Atualização das Variáveis:
Além da troca de função barreira, deve-se alterar também
o controle de passos para que seja possível variáveis de
decisão se tornarem negativas no decorrer do processo
iterativo.
Para isso procede-se de forma similar ao tradicional,
exigindo que
+
Logo, obtêm-se que
≥−
≥
(
IV. ESTUDOS DE CASOS
)
, para algum .
Como
é factível para o problema relaxado da iteração
, ou seja,
≥−
, segue que
+
≥ 0. Portanto,
< 0.
deve-se preocupar apenas com as componentes
Deste modo, tem-se a seguinte expressão:
(
=
)
,
Esta nova abordagem não tem a obrigatoriedade de que os
pontos sejam factíveis, mas a inicialização das variáveis pode
ser feita da mesma forma, já que o interior da região factível
original está contido no interior da região relaxada.
Para o parâmetro de barreira , caso se queira obter a
solução do problema original sem relaxação, melhores
resultados são obtidos quando este parâmetro é inicializado
com um valor relativamente grande [16] mantido fixo, ou
atualizado com
suficientemente grande. Mas caso o
problema não tenha uma solução factível e se deseja obter
uma solução operacionalmente viável, pode-se mantê-lo fixo
de modo a fazer com que a região relaxada contenha tal
solução.
Quando se deseja a solução do problema original (5), o
critério de convergência é o mesmo utilizado nos MPIs.
Quando o objetivo é a solução do problema (7), basta verificar
as condições de otimalidade primal e dual, visto que basta
obter uma solução factível no conjunto Ω − Ω.
<0
Um estudo ilustrativo pode ser feito com sistema IEEE30,
com 6 unidades geradoras, potência instalada de 30Mw e uma
carga de 283,4Mw. A Fig. 1 mostra seu diagrama unifilar.
(11)
Como o valor de obtido em (11) pode ser maior que 1 e
,
não garante que não se tenha componentes de iguais a –
toma-se o controle de passos da seguinte forma:
{ , 1}, ≈ 1
=
(12)
Assim, a atualização das variáveis primais é feita como:
=
(13)
+
Para as variáveis duais segue no modo tradicional.
O parâmetro de barreira
deve ser mantido fixo caso
queira-se obter solução para o problema relaxado (7). Caso o
intuito seja resolver o problema original (5), este parâmetro
deve ser aumentado a cada iteração de modo a induzir Ω →
Ω.
, ∈
A atualização do multiplicador de Lagrange
pode ser feita com em [10] da seguinte forma:
=
,
∈
(14)
Esta atualização em (14) é similar a definição para as
e
em (9), induzindo uma relação entre
variáveis duais
estas variáveis.
Figura 1. Diagrama Unifilar do Sistema IEEE30.
Foram realizados testes computacionais com as seguintes
configurações: Notebook DELL XPS com Ubuntu 12.4, 8GB
RAM com processador Intel© CoreMT i7-2670QM (8 núcleos),
CPU 2,20GHz, com buster de 3,0GHz.
As ponderações da função objetivo do problema (7) foram
consideradas como =
e = 1, onde CM é o custo
marginal dos geradores obtido com = 1 e = 0.
Os parâmetros de barreira
e
são distintos, mantidos
fixos e definidos conforme as porcentagens de violações
permitidas.
Os limites de geração são exibidos na Tabela I abaixo:
TABELA I. LIMITES E CUSTO DE GERAÇÃO – IEEE30.
GERADOR
CAPACIDADE(MW)
CUSTO(U$)
1
30
1
2
50
1
5
70
4
8
70
4
11
40
2
13
40
2
Já para os limites de transmissão foram considerados todos
iguais a 50Mw para fins de ilustração.
A. Simulando Sobrecargas na Geração
Para simular uma contingência em uma unidade geradora,
ou o aumento de demanda acima da potência instalada, é feita
uma redução na capacidade de geração da unidade 1 para
10Mw, o que reduz a potência instalada do sistema para
280Mw, ou seja, um déficit de 3,5Mw.
Neste cenário, a Tabela II exibe o despacho obtido, com
violação permitida de no máximo 10% em cada gerador e de
30% nas linhas de transmissão.
Observe que os dados da Tabela IV indicam a necessidade
de investimento nas unidades 5 e 8, mas apesar da unidade 11
também sofrer violação, esta não deve ter prioridade com
relação as demais.
Também foram realizadas simulações com sistemas
elétricos maiores como por exemplo IEEE57, IEEE118,
IEEE145, IEEE162, SSE810, SSE1675, SEE1732 e BRASIL.
Para estes, algumas unidades geradoras tiveram seus limites
reduzidos de modo que a carga do sistema fosse insuficiente
para satisfazer a demanda. A Tabela V exibe a sobrecarga
máxima obtida em cada sistema.
TABELA V. SOBRECARGA NA GERAÇÃO – SITEMAS MAIORES
TABELA II. DESPACHO COM SOBRECARGA NA GERAÇÃO – A.
GERADOR
DESPACHO(MW)
SOBRECARGA(%)
1
2
5
8
11
13
10.00
50.00
71.80
71.59
40.01
40.00
0.00
0.00
2.57
2.28
0.01
0.00
Observe que a demanda é satisfeita e que a sobrecarga em
cada unidade não ultrapassa 3%. Estes resultados foram
obtidos em 21 iterações, enquanto que o tradicional MPIs
diverge.
Vale lembrar que estes despachos não são únicos,
dependem dos parâmetros de relaxação iniciais, por exemplo,
relativo a 50% de violação permitida tem-se o
extrapolando
despacho da Tabela III a seguir:
TABELA III. DESPACHO COM SOBRECARGA NA GERAÇÃO – B.
GERADOR
DESPACHO(MW)
SOBRECARGA(%)
1
2
5
8
11
13
11.00
55.00
64.70
64.70
40.00
40.00
10.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Apesar de permitir 50% de violação, o método obteve outro
despacho viável com apenas 10% de sobrecarga máxima.
Outro fator importante é que o multiplicador de Lagrange
nos fornece informações importantes sobre a manutenção
da rede, indicando onde há a necessidade de investimento e
qual a influência deste no custo associado ao despacho, um
exemplo pode ser analisado com os dados da Tabela IV
referentes ao despacho da Tabela III.
TABELA IV. MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
.
SISTEMA
SOBRECARGA(%)
SISTEMA
SOBRECARGA(%)
IEEE57
IEEE118
IEEE145
IEEE162
0.36
5.45
2.55
2.46
SSE810
SSE1654
SSE1732
BRASIL
0.49
3.85
3.41
7.75
Em todas os cenários simulados até então não houveram
violações de linhas de transmissão.
B. Simulando Sobrecargas na Transmissão
Voltando para o sistema IEEE30, mantendo os limites de
geração da Tabela I, é simulada uma contingência em uma
linha de transmissão reduzindo seu fluxo máximo para 0Mw
de modo que resulte em um congestionamento.
Considerando violações apenas nas linhas de transmissão e
permitindo uma sobrecarga de 40%, é simulada a queda da
linha 27-28 (Vide Figura 1). O método MPI novamente não
converge com este cenário, porém, o método proposto obtém
um despacho ótimo sem violações. Esta situação ocorre pois o
se
método proposto permite que as variáveis de folga
tornem negativas no decorrer do processo iterativo, deixandoas não negativas apenas na última iteração.
Um fato a se destacar é que o multiplicador de Lagrange
associado a linha 27-28 é o único que apresenta um valor
muito alto, indicando a necessidade desta linha para o sistema.
No MPI todos os multiplicadores de Lagrange tendem ao
infinito.
Agora retornando a linha 27-28 para o sistema e simulando
uma queda parcial em uma linha de transmissão de fluxo alto,
reduzindo seu limite, como por exemplo, para 23Mw na que
liga as unidades geradoras 2 e 5. Neste cenário, o MPI não
obtém uma solução factível devido a incapacidade de
transmissão por esta linha. Já o método proposto obtém um
despacho viável, com sobrecarga somente na linha 2-5 de
apenas 18.7%.
Para sistemas maiores a simulação é feita de modo análogo
e os resultados podem ser vistos na Tabela VI a seguir:
GERADOR
1
2
5
8
11
13
2.77 × 10
2.37 × 10
1.00 × 10
2.79 × 10
2.06 × 10
2.06 × 10
TABELA V. SOBRECARGA NA TRANSMISSÃO – SITEMAS MAIORES
SISTEM
A
LINHA
SOBRECAR
IEEE57
IEEE118
IEEE145
IEEE162
4-5
8-5
51-57
5-129
19.2
28.3
30.0
29.7
GA(%)
SISTEMA
LINHA
SOBRECAR
SSE810
SSE1654
SSE1732
BRASIL
413-414
61-1106
61-1106
207-269
30.0
30.0
0.2
0.5
GA(%)
Deste modo, o método proposto obtém despachos viáveis
que satisfazem as cargas dos sistemas, com sobrecargas,
porém dentro dos limites de segurança pré-definidos.
Mais análises e resultados podem ser vistos em [17], onde
apresenta-se também uma discussão mais detalhada sobre a
aplicação em problemas lineares gerais.
V. CONCLUSÃO
Os testes feitos com o método proposto para problemas de
fluxo de potência ótimo com sobrecargas foram bem
promissores, obtendo despachos que satisfazem as demandas,
não ocasionando blackouts no sistema e operando dentro dos
limites de segurança.
O método proposto fornece informações sobre possíveis
melhorias no sistema, mesmo quando há sobrecargas no
sistema, através do estudo de seus multiplicadores de
Lagrange, que não tendem ao infinito como ocorre nos MPIs,
indicando onde devem ser feitos investimentos e sua
influência no valor da função objetivo.
O método pode ser melhorado com estudos mais
aprofundados sobre os critérios de parada em casos em que
não há solução factível para o problema original, mas há para
o problema relaxado, além de inserir restrições de custos de
violação tanto para linhas quanto para geradores.
A não convergência do método esteve ligada a escolha do
parâmetro de barreira e sua atualização, ou ao ajuste de passos
primais e duais.
AGRADECIMIENTOS
Ao CNPq pelo financiamento desta pesquisa.
REFERÊNCIAS
[1] A. Azevedo, C. Castro e S. S. A. Oliveira, “Security constrained optimal
active power flow by network model and interior point method,” SBA
Controle & Automação, vol. 20(2), pp. 206-2016, 2009.
[2] A. R. L. Oliveira, S. Soares e L. Nepomuceno, “Optimal active power
dispatch combining network flow and interior point approaches,” IEEE
Transactions on Power Systems, vol. 18(4), pp. 1235-1240, 2003.
[3] H. Wei, H. Sasaki, J. Kubokewa e R. Yokoyama, “An interior point
nonlinear programming for optimal power flow problems with a novel
data structure.,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 13(3), pp.
870-877, 1998.
[4] X. Yan e V. H. Quintana, “An efficient predictor-corrector interior point
algorithm for security constrained economic dispatch,” IEEE
Transactions on Power Systems, vol. 12, pp. 803-810, 1997.
[5] A. Melo, J. Mello e S. Granville, “The effects of voltage collapse
problems in the reliability evaluation of composite systems,” IEEE
Transactions on Power Systems, vol. 12, pp. 480-488, 1997.
[6] K. Ponnambalam, V. H. Quintana e A. Vanneli, “A fast algorithm for
power system optimization problems using an interior point method,”
IEEE Transactions on Power Systems, vol. 7(3), pp. 892-899, 1992.
[7] V. Sherkat e Y. Ikura, “Experience with interior point optimization
software for a fuel planning application,” IEEE Transactions on Power
Systems, vol. 9(2), pp. 833-840, 1994.
[8] Y. Q. Wu, A. S. Debs e R. E. Mastern, “A direct nonlinear predictorcorrector prima-dual interior point algorithm for optimal power flows,”
IEEE Transactions on Power Systems, vol. 9(2), pp. 876-883, 1994.
[9] S. Granville, “Optimal reactive power dispatch through interior point
methods,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 9(1), pp. 136-146,
1994.
[10] R. Polyak, “Modified barrier functions in linear programming,”
Department of Mathematical Sciences - IBM T.J. Watson Research
Center, 1992.
[11] A. R. L. Oliveira e S. Soares, “Métodos de pontos interiores para
problema de fluxo de potência ótimo DC,” SBA: Controle & Automação,
vol. 14(2), pp. 278-285, 2003.
[12] M. F. Carvalho, S. Soares e T. Ohishi, “Optimal active power dispatch
by network flow approach,” IEEE Transactions on Power Systems, vol.
3(3), pp. 1640-1647, 1988.
[13] S. J. Wright, Primal-Dual Interior-Point Methods, Philadelphia, PA,
USA: SIAM Publications, 1996.
[14] ANNEL, “Resolução normativa nº 191,” 2005.
[15] V. A. Sousa, E. C. Baptista e G. R. M. Costa, “Loss minimization by
predictor-corrector modified barrier approach,” Electric Power Systems
Research, vol. 79(5), p. 803–808, 2009.
[16] S. Nash, R. Polyak e A. Sofer, “A numerical comparison of barrier and
modified-barrier
methods
for
large-scale
bound-constrained
optimization,” Large Scale Optimization - Kluwer Academic Publishers
B.V., pp. 319-338, 1994.
[17] M. V. Coelho, Relaxação via barreira logarítmica modificada aplicada ao
problema de fluxo de potência ótimo cc com sobrecargas, Tese de
Doutorado ed., Campinas: UNICAMP, 2013.
Mayk Vieira Coelho Graduou-se em Matemática (2000) pela
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Campinas,
São Paulo, Brasil. Mestre (2008) e de Doutor (2013) em
Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas
(UNICAMP). Desde 2010 é professor da Universidade
Federal de Alfenas (UNIFAL-MG). Suas pesquisas se
concentram na área de pesquisa operacional, métodos de
pontos interiores e métodos de barreira, otimização e planejamento de
sistemas elétricos de potência.
Anésio dos Santos Júnior Graduou-se em Engenharia
Elétrica (1977), Mestre (1981) e Doutor (1986) pela
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).
Orientação de Pesquisa (Mestrado e Doutorado) na área de
Engenharia de Potência (Planejamento, Controle,
Operação). Ensino de pós-graduação e graduação nas áreas
de Circuitos Elétricos, Dispositivos Eletromagnéticos e
Análise de Sistemas de Potência. Experiência como
consultor junto a IBM Brasil em programas de Educação Tecnológica no
período de Junho de 1988 a Maio de 1990. Tem interesses nas áreas de
Planejamento, Operação e Controle de Sistemas Elétricos, Alocação de
Fontes de Reativos, Minimização de Perdas, Controle de TensãoReativos
Cálculo de Índices de Estabilidade de Tensão e Despacho de Reativos.
Atualmente é professor na Universidade Estadual de Campinas UNICAMP.
Aurélio Ribeiro Leite de Oliveira Graduou-se em Física
(1985) e Ciência da Computação (1986), Mestre em
Engenharia Elétrica (1989) pela Universidade Estadual de
Campinas (UNICAMP), Doutor em Matemática Aplicada e
Computacional pela Rice University, Houston, Texas, EUA.
Pós-doutorado em Engenharia Elétrica e Computacional
(1997-2000) pela UNICAMP. De 1987 a 1990 trabalhou na
Companhia de Distribuição Elétrica do Estado de São Paulo
(CPFL). Deste 2001 é professor no Departamento de Matemática Aplicada e
Computacional da UNICAMP. Suas pesquisas em otimização e planejamento
de sistemas elétricos de potência.