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SOLUCIONARIO
Examen UNI 2014 – I
Matemática
MATEMÁTICA PARTE I
Pregunta 01
Las notas obtenidas por tres postulantes
hacen un promedio de 15. La relación entre
las notas del primero y el segundo es 4/5 y
la relación entre el segundo y tercero es 5/6.
Calcule la diferencia entre la mayor y menor
nota.
Pregunta 02
Si se cumple que abc= ab+bc+ca, calcule
el valor de a+b–c, sabiendo que a, b, c son
positivos.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A) 6
E) 6
B) 8
C) 9
Resolución 02
D) 10
Cuatro operaciones
E) 12
abc= ab + bc + ca
a00= ab + ca
Por criptoaritmética
ab +
Resolución 01
Promedios
ca
Las notas están en relación de:
a00 ⇒ a = 1
b = 94 a + b − c = 2
c=8
A= 4k
B= 5k
C= 6k
Rpta.: 2
Como el promedio de las 3 notas es 15,
entonces la suma de estas es 45:
4k+5k+6k= 45 → k= 3
Piden: C – A= 6
Rpta.: 6
Una persona dispone de cierto capital, el
cual es dividido en dos partes. La mayor
parte la impone al 14% anual y la otra parte
al 8% semestral. Si al cabo de un año los
montos obtenidos son iguales, determine
el capital inicial, sabiendo que las partes se
diferencian en 1200. Todas las cantidades
están en nuevos soles.
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1
PROHIBIDA SU VENTA
Pregunta 03
∴ A= 4(3)= 12; B= 5(3)= 15; C= 6(3)= 18
SOLUCIONARIO – Matemática
A) 128 000
Resolución 04
B) 132 000
Mezcla
C) 136 000
Primera aleación
D) 138 000
Liga
E) 140 000
Ley = 16 = 2 & 1 w = 32g de metal ordinario
24 3
3
w = 96g
Resolución 03
Interés simple
C: Capital
Segunda aleación
Ley= 0,65 y w= 104 gr
La ley de la unión de estas aleaciones
C1
C2
14% anual
16% anual
Lm =
2
3 (96) + 0, 65 (104)
96 + 104
Al cabo de un año se obtienen montos iguales.
M1 = M2
La ley en kilates sería:
114% C1 = 116%C2
C1 58 =
C2 57
(0,658)24=15,792 kilates
C1 = 58 k
C2 = 57 k
Rpta.: 15,792
C1 – C2= 1200 → k= 1200
Pregunta 05
∴ C1+C2= 115k= 138 000
Rpta.: 138 000
Pregunta 04
Si una cadena de 16 kilates cuyo peso de
metal ordinario es 32 gramos se funde con un
lingote de oro de 104 gramos con ley 0,65. De
cuántos kilates es la aleación obtenida.
Un comerciante tiene que formar paquetes
diferentes de 8 unidades de frutas, para ello
debe escoger entre plátanos y peras. Cada
plátano cuesta S/. 0,20 y cada pera S/. 0,50.
¿Cuál es el promedio de la venta de los
paquetes?
Asúmase que hay suficientes plátanos y peras.
A) 2,77
A) 0,651
B) 2,79
B) 0,658
C) 2,80
C) 15,600
D) 3,00
D) 15,792
E) 3,10
PROHIBIDA SU VENTA
131, 6
200
Lm = 0, 658
=
E) 34,442
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2
Resolución 05
A) VVV
Promedios
B) VFV
C) FVF
Total de frutas: 8
Precio de c/u
•
D) FFV
N. Plátanos
(x)
N. Peras
(8–x)
S/. 0,20
S/. 0,50
E) FFF
Resolución 06
Probabilidades
Para
I.
x= 0; 1; 2; ...; 8
Si A y B son disjuntos ⇒ A∩B= ∅
⇒ P(A∩B)= 0
Como: P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)
⇒ x= 4
Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x)
∴P(A∪B)= P(A)+P(B)
Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x)
II. Como:
Pv= 0,20(4) + 0,50(8–4)
n(A)= 6×6= 36
Pv= 2,80
B= {(1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,5); (5,1);
(3,3); (2,4); (4,2)}
x: promedio de los x (x= 0, 1, 2, ..., 8)
Rpta.: 2,80
n(B)= 9
Además B⊂A
P(B/A)=
Pregunta 06
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F) según el orden dado; donde P
indica la probabilidad.
I.
Si los conjuntos no vacíos A y B son
disjuntos, entonces
P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A)P(B)
III. Recordar
•
E∆D= (E∩Dc)∪(Ec∩D)
•
(E∩Dc)∩(Ec∩D)= ∅
•
P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)
Entonces
P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)– P(Q)
S
0
II. Sean
A= {(x,y)/x∈{1,2,3,4,5,6}; y∈{1,2,3,4,5,6}}
B= {(x,y)∈A / 4<x+y≤6}
entonces P(B)=
9
1
=
36
4
2
9
P(E∆D)=
P(E∩Dc)+P(Ec∩D)
Luego:
III. P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)
I= F
CENTRAL: 6198–100
II= F
III= V
Rpta.: F F V
3
PROHIBIDA SU VENTA
Pv: precio de venta promedio
Pregunta 07
Pregunta 08
°
°
Indique la alternativa correcta después de
determinar si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F), según el orden dado:
°
Dados abcd= 5 +2, dabc= 9 +2= 11 +7,
donde dabc es el menor número con las
propiedades indicadas con d≠ 0 y a≠ 0.
I.
Determine el valor de E= (a)(b)+(c)(d)
2 – 2 + 2 – 2 + 2 – 2 +...= 0
A) 10
II. Cada número irracional se puede
aproximar por un número racional.
B) 12
III. Si A= 〈0,1〉∩Qc, entonces
C) 14
1
∈A,
2
donde Qc indica el complemento del
D) 16
conjunto de los números racionales.
E) 18
A) VVV
F)
B) VVF
Resolución 07
C) FVV
Teoría de números
D) FVF
E) FFF
°
abcd= 5 +2 ....(1)
°
dabc= 9 +2 ....(2)
Resolución 08
°
dabc= 11 +7 ...(3)
Conjuntos numéricos
de (2) y (3): dabc= 99 +29 ⇒ da+bc= 29
2 + 2 – 2 + ...
Sea fn = 1 424–4 44
2 4 4 4 44 3
"n"tér min os
Luego:
como dabc es el menor posible:
f1=
2a+bc= 29 ⇒ b= 0 ⇒ b= 0 ∧ a+c=9
↓ ↓
1 8
Recuerde que a≠ 0
La sucesión de las sumas parciales es
oscilante, por tanto, cuando “n” tiende a
infinito
de (1): d= 2 o 7 elegiremos d= 2
I.
°
pero b si puede ser cero
2 ; f2= 0; f3=
2 ; f4=0; ...
Lim fn= No está definida
∴E= (a)(b)+(c)(d)= 16
1×0+8×2
Rpta.: 16
II. Para todo “x” irracional, existe un “n” entero
tal que
n<x<n+1
Dividiendo entre un m∈Q+
n
x n+1
<
<
m m
m
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4
PROHIBIDA SU VENTA
n→∞
dabc= 2108
x
es un irracional y su aproximación
m
n
por defecto es el racional
m
64 + 2 =
Donde
III. Si
c
1
1
1
∈A → ! 0; 1 / ! Q
2
2
2
1 44 2 44 3 S
F
V
1 4444
4 2 4444
43
x + 2 128
Se cumple que:
x= 64 + 2= 66
`
x + 34 = 10
F
Rpta.: F V F
Pregunta 09
Rpta.: 10
Pregunta 10
Determine la intersección de los conjuntos de las
inecuaciones siguientes:
Si x0 es la solución de la ecuación
(x + 3) 5 (x + 1) 8
# 0,
(x–1) 7 (x–2) 4
17 + 2 72
= x + 2 128 –7
3+ 8
Calcular el valor de
7
x0 + 34
3
A) 5
B) 10
x+2 .4 x+1
# 0.
x–5 6 6–x
A) [–3,1〉
C) 15
B) [–1,6〉
D) 20
C) [–1,5〉
E) 25
D) [–1,1〉
Resolución 09
E) [–3,5〉
Racionalización
Resolución 10
Inecuaciones
I.
2
3+ 8
= x + 2 128 − 7
3+ 8
3 + 8 = x + 2 128 − 7
3+2 2 +7 =
8+ 2 =
x + 2 128
x + 2 128
(x + 3) 5 (x + 1) 8
(x–1) 7 (x–2) 4
#0
–3≤x<1 ∧ {x≠ 2; x= –1}
PROHIBIDA SU VENTA
17 + 2 72
= x + 2 128 − 7
3+ 8
9+ 8
= x + 2 128 − 7
3+ 8
CS(I)= [–3,1〉
II.
7
3
x+2 .4 x+1
#0
x–5 . 6 6–x
–1≤x<6 ∧
CENTRAL: 6198–100
x+2
#0
x–5
5
–1≤x<6 ∧ –2≤x<5
Pregunta 12
CS(II)= [–1,5〉
Considere: Sn= i+i2+i3+... in, donde i2= −1,
con n∈N. Dadas las siguientes proposiciones.
∴ CS(I) ∩ CS(II)= [–1,1〉
Rpta: [–1,1〉
Sn+Sn+1= i, si n es impar.
II. Sn= Sn−1+Sn+1, si n es par.
III. Sn= −1, si n tiene la forma n= 4k+3,
con k entero no negativo.
Pregunta 11
Sea
f
una
función
definida
por
f(x)= (1−x3)1/3+1, x∈ R . Determine la
inversa f * de f.
A) f * (x)=1−(x2−1)1/3, x∈ R
B) f * (x)=1−(x−1)3/2, x∈[0, +∞>
C) f * (x)=(1−x3)1/3, x∈ R
D) f * (x)=(1−(x−1)3)1/3, x∈ R
E) f * (x)=(1−(x−1)1/3)3, x∈[0, +∞>
Son correctas:
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) I y III
Resolución 12
Números complejos
Resolución 11
Sn = i + i2+i3+ ... + in
Funciones
i (in − 1) − i $ i (in − 1)
=
− i (i − 1)
i−1
n−
i 1
Sn =
i+1
I.
Sn + Sn + 1 = i
S
S
+
in − 1 + in 1 − 1 =
i
i+1
i+1
( Sn =
f(x)= 3 1 − x3 + 1 ; x∈R
II. Nótese que f es inyectiva con dominio R y
rango R.
Obtención de la inversa:
y = 3 1 − x3 + 1
y − 1 = 3 1 − x3
(y–1)3= 1–x3
in + in+1 - 2 = i(i+1)
x3= 1–(y–1)3
in(1+i) = -1 + i + 2
x = 3 1 − (y − 1) 3
Rpta.: f * (x)=(1−(x−1)3)1/3, xd R
PROHIBIDA SU VENTA
I.
I.
in (1+i) = (1+i)
in = 1
n = 4k
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(F)
6
II.
A) Solo I
Sn = Sn − 1 + Sn + 1
S
SS
−
+
in − 1 = in 1 − 1 + in 1
i+1
i+1
i+1
B) Solo II
C) I y II
D) I y III
in − 1 = in − 1 + in + 1 − 2
1 44 2 44 3
in - 1 =
E) II y III
0-2
in = -1
( n d 4k + 2 III. Sn = − 1
S
in − 1 = −
1
i+1
(F)
Funciones
f(x)=cax; g(x)=dbx ⇒ Por teoría: a>0; b>0
∴ I) V
in - 1 = -i - 1
in = -1 ⇒ n ∈ 4k + 3
Resolución 13
II) F
(V)
III) F
Observamos en la gráfica:
Rpta.: Solo III
g(x)
y
Pregunta 13
Sean las funciones:
f(x)
f(x)= c(ax) y g(x)= d(bx)
cuyas gráficas se muestran a continuación.
g(x)
y
0
x
i) f(x)>0 6x d R ⇒ c>0
g(x)>0 6x d R ⇒ d>0
f(x)
0
x
Indique cuál(es) de las siguientes proposiciones
son correctas.
I.
iii)f(x)>g(x)6x>0
cax>cbx; 6x>0
a x
a
` b j > 1; 6x > 0 ⇒ b >1
⇒ a>b ⇒ 0<b<a<1
Rpta.: Solo I
c= d
II. 0<a<b<1
III. a+b>1
CENTRAL: 6198–100
7
PROHIBIDA SU VENTA
ii) f(0)=g(0) ⇒ c=d
Pregunta 14
A) e
1 1
o . Si AX=AT; halle 2 XT.
3
2 3
(AX A−1)t=3(A−I), donde A = =
4/ 3 - 2/ 3
o
2 - 2/3
4/ 3 - 2/ 3
o
1
-1
D) e
1 1/3
o
2/3 - 1/3
E) e
2/3 - 2/3
o
1
-1
Si la traza de X es −6. Calcule (a+d)(b+c).
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
Resolución 15
Resolución 14
Matrices
Matrices
Se tiene: Ax A-1 = (3(A - I))T
1 1
3 −1
o $ A −1 = e
o
A=e
−2 1
2 3
traz ((Ax)A-1) = 3 traz (A - I)T
Propiedad: traz (AB) = traz (BA)
traz(A-1.(Ax))=traz(x) = 3traz(A - I)T
En la ecuación:
-6 = 3traz(AT - I)
AX = A T
-2 = a+d - 2  a+d=0
X = A −1 . A T
3 −1 1 2
o
oe
X=e
−2 1 1 3
X=e
`
∴ (a+d) (b+c)=0
Rpta.: 0
2 3
o
−1 −1
XT = e
a b
G
c d
a, b, c, d d R , I matriz identidad.
4/ 3 4/ 3
B) e
o
- 2 - 2/3
C) e
Sea X una matriz de orden 2×2 que cumple
con:
Pregunta 16
Al resolver el sistema:
2 −1
o
3 −1
x
2 T = e4/3 − 2/3 o
X
3
2 − 2/3
x +y
y
y
=34 ...(1)
x
x−y=12 ...(2)
Rpta.: e
4/3 - 2/3
o
2 - 2/3
se puede obtener soluciones enteras para x y
para y; luego y es igual a:
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8
PROHIBIDA SU VENTA
Sea la matriz A = e
Pregunta 15
Pregunta 17
A) 16
B) 8
Dada la región admisible R del problema de
programación lineal.
C) 4
D) 2
E) 1
1R
−5
Resolución 16
Sistemas de Ecuaciones
y
x x +y
= 34 ... (1)
x
y
*
x − y = 12 ... (2)
de (1)
Q
R
0
Determine la función objetivo del problema,
de modo que, tanto el punto R como el punto
Q sean soluciones mínimas.
A) x+4y
B) −x+7y
x2+y2=34 xy ...(3)
C) x+10y
de(2)
D) −x−3y
(x–y)2=122
E) x−5y
x2+y2–2xy=144...(4)
Reemp (3) en (4)
Resolución 17
34 xy –2xy=144
xy 2–17 xy +72=0
Programación lineal
( xy –9)( xy –8)=0
xy =9
xy =8
∧
xy=81
xy=64
Se tiene:
)
)
x − y = 12
xy = 81
x − y = 12
xy = 64
→
→
no hay soluciones
enteras
1 = y−1
5
x
x = 5y − 5
x − 5y = − 5
∴ f(x;y)=x–5y
x=16 ∧ y=4
Rpta.: x−5y
Rpta.: 4
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9
PROHIBIDA SU VENTA
→
Se observa que la función objetivo pertenece a
la familia de las rectas que pasa por los puntos
(-5;0) y (0;1), cuya ecuación es:
Pregunta 18
Resolución 19
Funciones
Dada la sucesión (an) definida por:
n
an=sen c
nr + ( − 1 ) 8 m
,n ! N
4n
Entonces podemos afirmar que:
A) (an) converge a
f^ x h = 1 −
Del dominio:
2 /2
3x $ 3
B) (an) converge a 1
3x + 1 $ 4
C) (an) converge a 0
1
1
#
4
3x + 1
− 1 # − x1 < 0 → 3 # 1 − x1 < 1
4
4
3 +1
3 +1
3
3
# f^ x h < 1 → Ranf = 8 ; 1
4
4
0<
D) (an) converge a p/4
E) (an) no converge
Resolución 18
Sucesiones
Z
]] sen ` nr + 8 j; "n" par " Lim sen ` nr + 8 j = 2
4n
4n
2
n→∞
an = [
]] sen ` nr − 8 j; "n" impar " Lim sen ` nr + 8 j = 2
4n
4n
2
n→∞
\
Notamos que el límite de cada subsucesión es
igual a 2 /2
⇒Lim an= 2
2
2
2
∴an Converge a
1
;x$1
3x + 1
Rpta.: (an) converge a
Rpta.: [3/4,1>
Pregunta 20
En el siguiente proceso de construcción tenemos
inicialmente un triángulo equilátero de área 1,
del cual vamos retirando paulatinamente los
triángulos equiláteros como se muestra en la
figura. Determine el área total de los triángulos
retirados.
2 /2
...
Pregunta 19
Determine el rango de f.
A) [0, ∞>
B) [1/2, ∞>
C) [1, ∞>
(1)
(2)
A) 4/8
B) 5/8
PROHIBIDA SU VENTA
x
Sea la función f(x)= x3 , x $ 1 .
3 +1
C) 6/8
D) 7/8
E) 1
D) [3/4, 1>
E) [2, ∞>
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10
MATEMÁTICA PARTE 2
Resolución 20
Sumatorias
Pregunta 21
Sea: Sn el área de los triángulos retirados en la
n-ésima figura.
⇒ S0 = O
1
4
1
1 2
⇒ S2 = + 3 ` j
4
4
⇒ S1 =
A) 3
B) 3,5
C) 4
1 + 1 2+ 1 3
3` j 9` j
4
4
4
2
D) 4,5
3
4
1+ 1 + 1 +
1
3 ` j 9 ` j 27 ` j
4
4
4
4
1 + 1 2+ 1 3+
1 3+
` Sn =
3 ` j 9 ` j 27 ` j ...
4
4
4
4
⇒ S4 =
⇒ Sn =
2
3
1 + 3 c1 + 1 + 1 + m
3 ` j 9 ` j ...
4 4 4
4
4
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3
Sn
E) 5
Resolución 21
Geometría del espacio
Piden: distancia.
del punto D al plano
B
Rpta: 1
C
6
A
3
D
x
7
P
* Propiedad en las regiones paralelográmicas
3+7=6+x
x=4
Rpta.: 4
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11
PROHIBIDA SU VENTA
⇒ S3 =
Dado un cuadrado ABCD de lado a > 6,
exterior a un plano P. Si las distancias de A, B y
C al plano P son 3 u, 6 u y 7 u respectivamente,
halle la distancia de D al plano P (en u).
Pregunta 22
Resolución 22
El gráfico muestra una pirámide regular.
A
A
60
º
3
M
4
P
C
M
4
P
D
C
D
2
B
B
6
6
E
AP
= 2, m∠BAE = 60°
PB
y la distancia de A al plano que contiene los
Si ED = 6 u, PM // BC,
E
* En D equilátero ABE:
B
puntos P, M y D es 3 u, calcule el volumen en
de la pirámide A-PMDE.
3
A) 2 27
B) 3 27
C) 4 27
1
P
D) 5 27
E) 6 27
3 3
2
A
60º
E
PE = 2 7
PROHIBIDA SU VENTA
u3
* Trapecio isósceles EPMD:
CENTRAL: 6198–100
12
4
P
Resolución 23
M
Áreas
2 7
2 7
Piden: A4 MONL
27
E
1
∴ VA − PMDE =
B
D
C
10
6
6
1 8` 4 + 6 j
27 B .3 = 5 27
3
2
Rpta.: 5 27
F
M
6
5
A
Pregunta 23
En la figura BC = 16, AB = 12, E y F puntos
medios. Determine el área del cuadrilátero
sombreado.
C
B
4S
O
5
3S
8
N
2S
3S
6
L
2n
n
8
D
& OL = AD; L = 6
 “N” Baricentro  ACD
 En el  AOL
6S = 6 . 8
2
S=4
∴ 5S = 20
F
A) 10
B) 15
C) 20
D) 21
E) 25
E
D
Pregunta 24
Sea ABCD un rectángulo, M punto medio de
BC, PM perpendicular al plano ABC, O centro
del rectángulo, si BC = 2AB = 8 y PM = AB,
entonces el área de la región triangular APO es
A) 2 6
B) 3 6
PROHIBIDA SU VENTA
A
Rpta.: 20
C) 4 6
D) 7 6
E) 8 6
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13
Resolución 24
Pregunta 25
En un rectángulo ABCD (AB < BC), se dibuja
Piden : A
una semicircunferencia con diámetro AD
APO
tangente a BC en P. Se ubica el punto Q en
ABC= Notable
53°/2
PC y se traza QE perpendicular a PC donde
& CA= 4 5
el punto E está sobre la semicircunferencia.
OA= 2 5
Si PQ = 1 cm y el perímetro del rectángulo
Luego: TEOREMA 3
ABCD es 48 cm, entonces la longitud de AE
(en cm) es:
CM P' : Notable 53°/2
& MP' =
A) 6
4 5
5
B) 8
C) 9
MPP : PITÁGORAS
D) 10
2
E) 12
5m
= ^PP'h2 & PP' = 4 30
42 + c 4
5
3
Resolución 25
Finalmente
A
APO=
4 30 2 5
=4 6
.
5
2
Relaciones
rectángulo
` ATAPO = 4 6
P
•
Piden: AE
•
Dato: 2P
B
4
C
D
4
P'
M
4
2 5
en
el
triángulo
= 48 = 6R
8
P 1Q 7
E
x
R
A
O
métricas
R=8
C
R
O
1
D
R=8
PROHIBIDA SU VENTA
OBS:
R=8
B
4
A
Rpta.: 4 6
CENTRAL: 6198–100
14
Luego: Relaciones métricas
D)
x
3π
4
2
E) p2
Resolución 26
Circunferencia
n
C
B
m
x2 = m.n
⇒
x2
r
= 16.9
r
L2
∴ x = 12
Rpta.: 12
R
Pregunta 26
En la figura mostrada, se tiene que el perímetro
del cuadrado ABCD es igual al producto de las
longitudes de las circunferencias de centro O y
1 1
O'. Calcule + .
R r
C
B
L1
A
2(R+r)
O'
D
Piden: 1 + 1
R
r
R
r
Dato: 2pABCD = L1 . L2
8(R+r) = (2pR)(2pr)
2
` 1+ 1 = r
r R
2
R
O
D
2
A)
π
3
B)
π
2
C)
2π
3
2
2
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2
π
2
PROHIBIDA SU VENTA
A
Rpta.:
15
Pregunta 27
Pregunta 28
Calcule el perímetro de un heptágono regular
1 + 1 =1
ABCDEFG, si:
AE AC 5
A) 34
La generatriz de un cilindro oblicuo de base
circular mide igual que el diámetro del cilindro
disminuido en 10 dm. Sean M y N los centros
B) 35
de las bases y AB un diámetro de la base
C) 36
inferior que contiene a N. Si AM = 19 dm y
D) 37
MB = 13 dm entonces el volumen del cilindro
(en dm3) es:
E) 38
A) 130 p 103
Resolución 27
B) 131 p 104
Polígonos regulares
C) 132 p 105
B
A
D) 133 p 106
x
x
n
m
G
Resolución 28
x
m
x
E) 134 p 107
C
n
Cilindro
O
D
x
x
F
x
2a-10
E
19
h
13
2a-10
Piden: 2pheptágono
1 +1 =1
m n 5
A
T. Ptolomeo
a
a
B
22
* X ACDE: inscriptible
•
mn=nx+mx
Cálculo de la mediana:
192+132 = 2(2a-10)2+
1 = 1 +1
x m n
1 1
→ = →x=5
x 5
a=11
•
(2a) 2
2
PROHIBIDA SU VENTA
Dato:
T. Herón: DAOB.
2
27.5.14.8
22
12
h=
105
11
h=
∴2pheptágono=35
Rpta.: 35
CENTRAL: 6198–100
16
Pregunta 30
12
105
11
•
Vcilindro = r 112 .
•
Vcilindro = 132p 105
Rpta: 132p 105
La altura de un cono circular recto mide
15 cm y el radio de su base 8 cm. Se taladró
un agujero cilíndrico de diámetro 4 cm en el
cono, a lo largo de su eje, resultando un sólido
como el que se muestra en la figura. Calcule el
volumen de ese sólido.
Pregunta 29
Sea ABCD un cuadrilátero donde el ángulo
exterior D mide la mitad del ángulo interior
B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Si
BC = 25 u y BD = 20 u, determine AB (en u).
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
A) 240 p cm3
C) 260 p cm3
E) 270 p cm3
E) 20
Resolución 29
Semejanza
Resolución 30
Piden: AB=x
C
25
Sólidos
Piden el volumen del sólido.
B
a
a
q
A
2
20
q
H
a
D
PROHIBIDA SU VENTA
x
B) 254 p cm3
D) 264 p cm3
DABD ∼DDBC
x = 20
20 25
2
6
∴x=16
Rpta.: 16
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17
Pregunta 31
Datos:
En la figura, O centro de la circunferencia.
Si NH=11, AM×AE=900 y m∠ANM=45º,
entonces la longitud del diámetro de la
circunferencia es:
V
A
15
A
H
2
M
6
H
B
Semejanza: ∆VOB∼∆AMB
15 = 8
⇒H 6
45 = H
4
Luego:
O
M
N
E
B
A) 5 2
B) 10 2
C) 15 2
Vx=Vtronco–Vcili
Vx= 45 . r (4+64+16)–π.4. 45
4 3
4
Vx=315π–45π
D) 20 2
E) 25 2
Resolución 31
∴Vx=270π
Rpta.:
270π cm3
R. Métricas en la circunferencia
Piden el diámetro=2R
90º
R 2
11
N
H
A
45º
R
R
O
45º
45º
PROHIBIDA SU VENTA
O
M
E
B
CENTRAL: 6198–100
18
* 6 NHME inscriptible
Resolución 32
* Teorema de las secantes
Congruencia
C
(R 2 + 11) R 2 = (AM) (AE) = 900
R 2 = 25
D
` 2R = 25 2 4
Rpta.: 25 2
x
E
Pregunta 32
En la figura, BF=3u y ED=4u. Calcule el valor
del segmento CF(en u).
C
F
D
q
A
4
3
q
B
F
M
Piden: x
E
F
•
•
A) 4,5
B) 5
C) 5,5
q
x+3 = 8
∴x=5
B
Rpta.: 5
Pregunta 33
Calcule el valor aproximado de:
D) 6
E) 6,5
EMF
E = ctg(4º) – 7
A) 7,07
B) 8,07
PROHIBIDA SU VENTA
A
CDE ≅
→ EM = 4
•
q
Se prolonga CE → CE=EF
C) 9,07
D) 10,1
E) 11,2
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19
Resolución 33
Pregunta 35
I.T. para el ángulo mitad
Un águila se encuentra a una altura H y ve a
E = ctg4º – 7
una liebre de altura h. Se lanza sobre la presa
α
= csca + ctga
2
E = csc8° + ctg8°–7
E=5 2 +7–7
a lo largo del tramo de la trayectoria descrita
1
por la gráfica de la función f (x) =
, x>1,
x– 1
llegando a su presa. Determina la tangente del
E = 7,07
ángulo de depresión con el cual el águila vio al
Como: ctg
Rpta.: 7,07
1
A) h
Pregunta 34
Si tan2a=2tan2x+1,
y=cos2a + sen2x.
halle
el
valor
de
A) sen2a
B) cos2a
C)
inicio a su presa.
1+sen2a
D) tan2a
E) 1+cos2a
B) h H
C)
H
h
D)
H–h
h
E)
H–h
H+h
Resolución 35
Resolución 34
Ángulos verticales
Identidades trigonométricas
tg2 a = 2 tg2 x+1
a–1=
sec2
2(sec2
a=2
y
x – 1)+1
H
sec2x
θ
cos2 x = 2 cos2 a
θ
h
1 – sen2 x = 2 cos2a
1 – cos2 a = cos2 a+sen2x
∴ y = sen2a
0
1
x1
x2
x
Rpta.: sen2a
CENTRAL: 6198–100
20
PROHIBIDA SU VENTA
sec2
Piden:
Como:
H−h
tgi =
x2 − x1
6
Ahora:
f
1
x−1
1
x−1 =
y
y=
2
4 2
y(t) = 6Sen(2t+f)
Amplitud = 6
1
h
1
x1 − 1 =
H
H−h
x2 − x1 =
Hh
x2 − 1 =
2r =
r
2
Periodo =
Rpta.: 6 y π
Pregunta 37
Luego:
Si x∈ –3,0 , entonces el rango de la función
5π
f (x) =
arctan x + 2 arc cot x , es:
tgθ=hH
Rpta.: hH
Pregunta 36
En la función: y(t) = 2cos2t + 4 2 sen2t; la
amplitud y el periodo son respectivamente:
A) 4 2 y π
A)
0, 1
B)
1, 2
C)
0, 2
D)
2, 5
E)
5, + 3
B) 4 2 y 2π
D) 6 y 2π
E) 2 + 4 2 y π
Resolución 36
Funciones trigonométricas
y(t) = 2 cos2t+4 2 sen2t
4 2
2
y (t) = 6 ( cos 2t +
sen2t)
6
6
Resolución 37
Funciones trigonométricas inversas
f (x) =
5r
arcTgx + 2 arcCtgx
Como –∞<x<0
π
<arcTg(x)<0
2
π
<arcCtg(x)<π
2
Entonces:
–
f(x)=
PROHIBIDA SU VENTA
C) 6 y π
5r
–arcTgx + 2arcCtgx
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21
f(x)= f (x) =
f(x)=
5r
–arcTgx + 2 ` r –arcTgxj
2
5r
r–3arcTgx
− 210 − 210 1
=
A
220
A=–29
Pide: A+500=–29+500
Ahora:
=–12
3π
2
5π
π< π–3arcTgx<
2
Pregunta 39
Rpta.: –12
0<–3arcTgx<
5r
2<
<5
r–3arcTgx
2<f(x)<5
Ranf(x) = 2; 5
Rpta.: <2; 5>
De un disco de cartulina de radio 6 cm, se
corta un sector circular de ángulo central
θ=120º. Con la parte restante, uniendo los
bordes se forma un cono. Determine el coseno
del ángulo en el vértice del cono construido.
A) 0
Pregunta 38
20
(1 + i) + (1–i)
40
(1 + i)
(A + 500) es igual a:
Si i =
2
2
C) 1
2
1
D)
5
1
E)
9
B)
–1 y
20
= 1 , entonces
A
A) –12
B) –10
C) –8
D) 10
Resolución 39
E) 12
Resolución de triángulos oblicuángulos
V
A
B
θ=120°
m
Números complejos
1 + i = 2 .eir/A ; 1 − i = 2 .e
Reemplazando:
210 .ei^5rh + 210 .e
220 .ei^10rh
−i^5rh
6c
En su forma exponencial:
−ir/4
4π
RAD
3
l
a
6 cm
P
6 cm
R
R
R
Q
= 1
A
CENTRAL: 6198–100
22
PROHIBIDA SU VENTA
Resolución 38
Perímetro de la base
Resolución 40
4π
l=c
RAD m (6cm) = 8πcm
3
Además: La base es un círculo
Reducción al primer cuadrante
→
8πcm = 2πR
•
= –tan60º=– 3
R = 4cm
En el ∆ VPQ
•
Por ley de cosenos
2
2
6 + 6 – (2R)
cos α =
2.6.6
1
∴cos α =
9
tan(840º) = tan(720º+120º) = tan120º
sen(750º) = sen(720º+30º) = sen(30)=
Reemplazando en E:
2
E=
Rpta.:
1
9
1
2
− 3 (− 3 ) − 2 3
3
=
1+
2
1, 5
2
Rpta.:
3
2
Pregunta 40
Halle el valor de E =
A)
–3 tan 840°–2 3
sen (750°) + 1, 5
1
2
B)
C)
D)
2
2
3
2
3
PROHIBIDA SU VENTA
E) 2
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23

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