A conjectura de Goldbach Série Rádio Cangália

A conjectura de Goldbach
Série Rádio Cangália
Objetivos
1. Apresentar a conjectura de Goldbach.
A conjectura de
Goldbach
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Conjuntos, Números primos.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar a conjectura de
Goldbach.
Sinopse
O programa apresenta a
conjectura de que todo número
par maior que dois é a soma de
dois números primos. Ninguém
consegue provar nem encontrar
um contra exemplo para essa
conjectura há quase três séculos.
E quem conseguir provar se a
conjectura é verdadeira ou não
pode ganhar um milhão de
dólares.
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ÁUDIO
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Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de
variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais, com comentários de um professor de
matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas
oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos
interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O
programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem
preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em
torno de um conteúdo e reforçar a descontração.
Sobre o programa
O nome dado à conjectura é uma homenagem ao matemático amador
Christian de Goldbach nascido em Königsber (atual Kaliningrado),
Prússia (atual Rússia) em 1690. Goldbach trocava cartas e contas com
o famoso matemático Euler. Ao que parece Euler considerava
verdadeira a proposição e não há indícios de que se preocupou em
prová-la. Por incrível que pareça, até 2011, ninguém sabe com 100%
de confiança se a conjectura é verdadeira ou falsa.
Sugestões de atividades
Antes da execução
O programa vai tratar de uma afirmação matemática fácil de entender,
mas nem os matemáticos mais profissionais e dedicados conseguiram
provar se a afirmação é verdade ou não. O programa pode mostrar
uma diferença fundamental entre a matemática e as ciências
empíricas, a saber, o rigor com as sentenças lógicas.
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A conjectura de Goldbach 3/5
Para preparar os alunos, o professor pode afirmar e demonstrar a
seguinte proposição.
A soma (ou a diferença) de dois números primos, maiores do que dois,
é sempre ALGUM número par. Isto é verdade pelo simples fato que
todos os números primos maiores que dois são números ímpares que
podem ser escritos como p=2k+1 para algum número natural k>0.
Assim digamos dois números primos 𝑝! = 2𝑘! + 1, 𝑝! = 2𝑘! + 1 quando
somados fornecem 𝑝! + 𝑝! = 2𝑘! + 1 + 2𝑘! + 1 = 2(𝑘! + 𝑘! + 1) que é
algum número par.
A diferença dessa proposição para a conjectura é que Goldbach
propõe que TODO número par (maior que dois) seja a soma de alguma
dupla de números primos.
Durante a execução
Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no
programa à medida que eles forem falados.
Se julgar conveniente, pausar o áudio para os alunos verificarem
alguns casos particulares.
Depois da execução
Para a discussão, o professor pode separar o caso relativamente
simples de números que sejam o dobro de números primos, pois de
fato se n=2p, para algum número primo p então de fato n=p+p é a
soma (repetida) desse número primo p. Com isso verificamos que a
conjectura vale para esses (infinitos) números pares.
A conjectura já foi confirmada (em setembro de 2011), com a ajuda de
computadores para números naturais 𝑛 < 26×10!" .
Problema
Com a ajuda de uma calculadora, solicitar que os alunos verifiquem
em alguns casos a seguinte afirmação: A soma de um com o quadrado
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de três números ímpares consecutivos é múltiplo de doze. Em notação
matemática, a afirmação equivalente é:
Seja um número ímpar 𝑛. Então a soma 1 + 𝑛! + 𝑛 + 2
divisível por 12.
!
+ 𝑛+4
!
é
Exemplo. Considerar 3, 5 e 7. Então 1 + 3! + 5! + 7! = 1 + 9 + 25 + 49 =
84 = 12×7
Solução Basta escrever n=2k+1 para k>0 e desenvolver a soma:
1 + 𝑛! + 𝑛 + 2 ! + 𝑛 + 4 ! = 1 + 2𝑘 + 1 ! + 2𝑘 + 3 ! + 2𝑘 + 5 ! = 1 + 3×4𝑘 ! + 𝑘 4 + 12 + 20 + 1 + 9 + 25 = 12×(𝑘 ! + 3𝑘 + 3)
Que é múltiplo de 12.
Sugestões de leitura
Sautoy, Marcus du - A Música dos Números Primos. A história de um
problema não resolvido na matemática - Jorge Zahar Editor – Rio de
Janeiro 2007.
Oliveira e Silva, T. "Goldbach Conjecture Verification." Página
http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html. visitada em 9/Nov/2011.
Ficha técnica
Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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