Matemática - RedeCompras - Governo do Estado de Pernambuco

Transcrição

CADERNO DE ATIVIDADES SUPLEMENTARES
PARA O ENSINO MÉDIO
Matemática
9
Afogados da Ingazeira – PE
A
5
W
B
3
Eduardo Henrique Accioly Campos
GOVERNADOR
DO
ESTADO
DE
PERNAMBUCO
Danilo Jorge de Barros Cabral
SECRETÁRIO
DE
EDUCAÇÃO
DO
ESTADO
Nilton da Mota Silveira Filho
CHEFE
DE
GABINETE
Margareth Costa Zaponi
SECRETÁRIA EXECUTIVA
DE
GESTÃO
DE
REDE
Aída Maria Monteiro da Silva
SECRETÁRIA EXECUTIVA
DE
DESENVOLVIMENTO
DA
EDUCAÇÃO
Cantaluce Mércia Ferreira Paiva de Barros Lima
Gerente de Políticas Educacionais do Ensino Médio
Idealização:
Cecília Maria Peçanha Esteves Patriota
GESTORA DA GERÊNCIA REGIONAL
Olegária Maria de Oliveira
GERENTE DA UNIDADE DE DESENVOLVIMENTO DE ENSINO – UDE
Organização:
Eliana Nogueira Brito Saturnini
Nadja Patrícia da Silva
TÉCNICAS DE ENSINO
Apoio da Equipe:
José de Arimatheia de Santana
Elisângela Bastos
TÉCNICAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA DA GERÊNCIA
DE
POLÍTICAS EDUCACIONAIS DO ENSINO MÉDIO
Revisão:
Janaína Ângela da Silva - GPEM | SEDE
Elisângela Bastos - GPEM | SEDE
Caro (a) aluno (a),
Esta coletânea de atividades matemáticas é mais um suporte didático que tem como
objetivo contribuir para o desenvolvimento da aprendizagem sobre os conteúdos expostos e
propostos na Base Curricular Comum (BCC), Orientações Teórico-Metodológicas (OTM),
Matriz de Referência do SAEPE e Matriz de Referência do ENEM. Ela apresenta sugestões
de atividades que favorecem uma reflexão sobre problemas matemáticos, servindo também
de ferramenta para resolução de problemas de natureza diversa.
Enfim, este é um material que se apresenta como um instrumento, um estímulo para
a participação dos estudantes em práticas sociais de resolução de problemas como também
para dar continuidade aos estudos posteriores e exercer plenamente a cidadania.
Bom trabalho!
CADE RNO
DE
ATIVIDADE S SU PLE MEN TARE S
EIXO: NÚMEROS E OPERAÇÕES
01. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Se
é a fração irredutível equivalente ao
valor de p + q é igual a:
A) 38
B) 39
C) 40
D) 41
E) 42
02. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos
de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos
pode ainda ele carregar?
A) 132
B) 144
C) 146
D) 148
E) 152
03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Em um hotel há 100 pessoas. Trinta comem
porco, 60 comem galinha e 80 comem alface. Qual é o maior número possível de pessoas
que não comem nenhum desses dois tipos de carne?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
04. (Olimpíada Brasileira de Matemática) A diferença entre a maior raiz e a menor raiz da
equação (2 x − 45)2 − ( x − 21)2 = 0 é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
05. (Olimpíada Brasileira de Matemática - 2002) Quantos são os possíveis valores inteiros
de x para que
A) 5
x + 99
seja um número inteiro?
x + 19
B) 10
C) 20
D) 30
E) 40
06. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro
lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, a
seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que
quantia tinha Pedro ao sair de casa?
A) R$ 220,00
B) R$ 204,00
C) R$ 196,00
3
D) R$ 188,00
E) R$ 180,00
E N SIN O MÉ DIO
07. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Sejam x e y números racionais. Sabendo que
x − 5 2006
também é um número racional, quanto vale o produto xy?
4 − y 2006
A) 20
B) Pode ser igual a 20, mas também pode assumir outros valores.
C) 1
D) 6
E) Não se pode determinar.
08. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Iniciando com o par (2048, 1024), podemos
aplicar quantas vezes quisermos a operação que transforma o par (a, b) no par
⎛ 3a + b a + 3b ⎞
,
⎜
⎟ , então, dentre os seguintes pares:
4 ⎠
⎝ 4
1. (1664, 1408)
4. (1537, 1535)
2. (1540, 1532)
5. (1546, 1526)
3. (1792, 1282)
A) Todos podem ser obtidos.
B) Apenas o par 4 não pode ser obtido.
C) Apenas o par 3 não pode ser obtido.
D) Existem exatamente dois pares que não podem ser obtidos.
E) Existem mais de dois pares que não podem ser obtidos.
09. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Numa certa povoação africana vivem 800
mulheres. Delas, 3% usam apenas um brinco; das restantes, metade usa dois brincos e a
outra metade, nenhum. Qual o número total de brincos usados por todas as mulheres?
A) 776
B) 788
C) 800
D) 812
E) 824
10. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Qual é o menor número inteiro positivo N tal que
são números inteiros?
A) 420
B) 350
C) 210
D) 300
4
E) 280
CADE RNO
DE
11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma formiguinha vai caminhar de A até C
passando por B, podendo passar apenas uma vez por esses pontos e
pelos caminhos indicados na figura. Qual o número de maneiras diferentes que ela
pode escolher para ir de A até C ?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 8
E) 9
12. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Dados a e b números reais seja a
b2 . Quanto vale 1 0 ?
A) 1
B) 0
C) 2
D) -2
b = a2 − ab +
E) -1
13. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e
todos usam velas à noite. Na casa de João, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la
totalmente. Com os tocos de quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante
quantas noites João poderá iluminar sua casa com 43 velas?
A) 43
B) 53
C) 56
D) 57
E) 60
14. (Olimpíada Brasileira de Matemática) O limite de peso que um caminhão pode
transportar corresponde a 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32
sacos de areia, quantos tijolos, no máximo, ele ainda pode carregar?
A) 132
B) 144
C) 146
D) 148
E) 152
15. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Há 1002 balas de banana e 1002 balas de maçã
numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Se q é a probabilidade das
duas balas serem de sabores diferentes e p é a probabilidade das duas balas serem do
mesmo sabor, qual o valor de q−p?
A) 0
B) 1/2004
C) 1/2003
5
D) 2/2003
E) 1/1001
E N SIN O MÉ DIO
EIXO: ÁLGEBRA E FUNÇÕES
01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Sendo a ≠ b e b ≠ 0, sabe-se que as raízes da
equação x 2 + ax + b = 0 são exatamente a e b. Então, a – b é igual a:
A) 0
B) 1
02. O gráfico de
curva obtida?
A)
C) 2
y = x2 − 5x + 9
y = x2 + 5x + 9
B)
D) 3
E) 4
é rodado 180o em torno da origem. Qual é a equação da nova
y = x2 − 5x − 9
C)
y = − x2 + 5x − 9
D)
y = − x2 − 5x + 9
E)
y = − x2 − 5x − 9
03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade
de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto completa
em 2006?
A) 55
B) 56
C) 60
D) 62
E) 108
04. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Os dois números reais a e b são não nulos e
satisfazem ab = a – b. Assinale a alternativa que exibe um dos possíveis valores de
a b
+ − ab .
b a
A) –2
B) −
1
2
C)
1
3
D)
1
2
E) 2
05. A soma dos valores reais de x tais que x2 + x + 1 = 156/(x2 + x) é:
A) 13
B) 6
C) –1
D) –2
E) –6
06. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Se x é real positivo e 1 + (x2 + x)(x2 + 5x + 6) =
1812, então o valor de x(x + 3) é:
A) 180
B) 150
C) 120
D) 182
07. (Olimpíada Brasileira de Mat.) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, então
A)
5
2
B)
25
4
C)
5
4
D)
1
2
E) 1
6
E) 75
x2 y2
+
+ 2 vale:
y2 x2
CADE RNO
DE
08. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Os valores de x, y e z que satisfazem às equações
x+
1
1
1
= 5 , y + = 1 e z + = 2 são tais que x + 3 y + 2 z é igual a:
y
x
z
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
09. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Uma escola vai organizar um passeio ao
zoológico. Há duas opções de transporte. A primeira opção é alugar "vans": cada van pode
levar até 6 crianças e seu aluguel custa R$60,00. A segunda opção é contratar uma
empresa para fazer o serviço: a empresa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e
cobra R$237,00 mais R$120,00 por ônibus utilizado. A escola deve preferir a empresa
que utiliza ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças. O valor de N é:
A) 28
B) 31
C) 32
D) 33
E) 36
10. Sabendo-se que 0,333... 1/3 , qual é a fração irredutível equivalente a 0,1333…?
A) 1/13
B) 1/15
C) 1/30
D) 2/5
E) 1333/10000
11. No último campeonato de futebol do bairro em que moro participaram 6 equipes. Cada
equipe disputou com cada uma das outras exatamente uma partida. Abaixo, a tabela de
classificação do campeonato, onde
•
•
•
•
•
V é o número de vitórias de uma equipe.
E o número de empates.
D o número de derrotas.
GP é o número de gols feitos por um time.
GC é o número de gols sofridos.
a) Quantas partidas foram disputadas?
b) A tabela está incompleta. Determine a quantidade de vitórias da equipe F, a
quantidade de derrotas da equipe D e a quantidade de gols feitos pela equipe F,
representados por x , y e z na tabela.
12. Se 3 e 1/ 3 são as raízes da equação ax²-6x+c=0 , qual o valor de a + c ?
7
E N SIN O MÉ DIO
A) 1
B) 0
C) – 9/5
D) 18/5
E)-5
13. A figura mostra a marca de uma empresa, formada por dois círculos concêntricos e
outros quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois
círculos concêntricos. O raio do círculo menor mede 1cm. Qual é, em centímetros, o raio do
círculo maior?
8
CADE RNO
DE
PRODUTOS NOTÁVEIS
É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para
simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a
tabela abaixo:
Produtos notáveis
Exemplos
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(x+3)2 = x2+6x+9
(a-b)2 = a2-2ab+b2
(x-3)2 = x2-6x+9
(a+b)(a-b) = a2-b2
(x+3)(x-3) = x2-9
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
(x+2)(x+3) = x2+5x+6
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(x+2)3 = x3+6x2+12x+8
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
(x-2)3 = x3-6x2+12x-8
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3
(x+2)(x2-2x+4) = x3+8
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
(x-2)(x2+2x+4) = x3-8
9
E N SIN O MÉ DIO
EIXO: GRANDEZAS E MEDIDAS
01. O retângulo ao lado está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O
quadrado A tem lado 1. Qual é o lado do quadrado I?
D
A) 28
I
B) 14
G
C) 16
F
D) 22
C
H
A
B
E) 18
E
02. No quadrilátero convexo ABCD, ∠A + ∠B = 120°, AD = BC = 5 e AB = 8.
Externamente ao lado CD, construímos o triângulo equilátero CDE. Calcule a área do
triângulo ABE.
A) 20√3 cm2.
B) 14 √3 cm2.
D) 13 √3 cm2.
E) 12√3 cm2.
C) 16√3 cm2.
03. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um retângulo ABCD está dividido em quatro
retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura abaixo. Qual é a área do
retângulo ABCD?
A
D
A) 80
B) 84
16
12
C) 86
D) 88
27
E) 91
B
C
04. No triângulo ABC, AB = 5 e BC = 6. Qual é a área do triângulo ABC, sabendo que o
ângulo Ĉ tem a maior medida possível?
A) 15
B) 5 7
D) 3 11
C) 7 7 / 2
10
E) 5 11 / 2
CADE RNO
DE
05. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) Marcelo leva exatamente 20 minutos para
ir de sua casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa
a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que se continuasse a andar,
chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo
passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste
ponto?
A)
B)
C)
D)
E)
06. (Olimpíada Brasileira de Matemática 2002) A linha poligonal AB é desenhada
mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu comprimento total é igual a:
A) 31
B) 88
C) 90
D) 97
E) 105
07. (Exame Nacional do Ensino Médio - 2005)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura,
o comprimento total do corrimão e igual a:
A) 1,8 m
B) 1,9 m
C) 2,0 m
11
D) 2,1 m
E) 2,2 m
E N SIN O MÉ DIO
08. Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 1 m de lado para recortar
quadrados de 30 cm de lado. Ao sair da máquina, da chapa original sobra uma parte que é
reaproveitada posteriormente. Quantos cm2 de chapa são reaproveitados?
A) 1 900cm2
B) 1 960cm2
C) 1 800cm2
D) 1 909cm2
E) 1 980cm2
09. Dispondo de uma folha de cartolina medindo 50cm de comprimento por 30cm de
largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando-se um quadrado de 8cm de lado em
cada canto da folha (ver figura abaixo), Qual será o volume dessa caixa, em cm3?
A) 4.300 m3
B) 3.800 m3
C) 3.808 m3
D) 3.288 m3
E) 2.994 m3
10. Determine quantos metros quadrados de papelão são necessários para se construírem
500 caixas de sapatos com as dimensões indicadas na figura.
A) 113,20 cm2
B) 111,20 cm2
D) 114,20 cm2
E) 116,20 cm2
C) 115,20 cm2
11. Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10 m de largura e 14 m de
comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e cimento de 3 cm de
espessura. Qual é o volume da mistura utilizado nesse revestimento?
A) 4,3 m3
B) 4,4 m3
C) 4,6 m3
12
D) 4,2 m3
E) 2,4 m3
CADE RNO
DE
12. Uma laje é um bloco retangular de concreto de 6 m de comprimento por 4 m de
largura. Sabendo que a espessura da laje é de 12 cm, calcule o volume de concreto usado
nessa laje.
A) 2,88 m3
B)2,8 m3
C) 2,80 m3
D) 2, 82 m3
E) 2, 86 m3
13. Quantos metros quadrados de azulejo serão necessários para revestir uma piscina
retangular de 8 m de comprimento, 5 m de largura e 1,60 m de profundidade.
A) 81,60m2
B) 81 m2
C) 80,60 m2
D) 80 m2
E)82 m2
14. A piscina de um clube tem 1,80 m de profundidade, 14 m de largura e 20 m de
comprimento. Calcule quantos litros de água são necessários para enchê-la.
A) 500 000l
B) 504 000l
C) 540 000l
D) 450 000l
E) 454 000l
15. Um caleidoscópio de madeira tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Quantos
cm2 de madeira foram usados para fazer o caleidoscópio? (Use .J3 = 1,7.)
12cm
6cm
12cm
A) 396 cm2
B) 246,6 cm2
C) 72 cm2
D) 240,6 cm2
E) 390 cm2
16. Deseja-se colar papel em toda a superfície de um objeto de madeira que tem a forma e
as dimensões indicados na figura. Quantos cm2 de papel serão utilizados?
2cm
2cm
A) 259 cm2
B) 269,2 cm2
D) 269 cm2
E) 279 cm2
C) 259,2 cm2
13
E N SIN O MÉ DIO
17. Considere os prismas retos e regulares indicados abaixo.
6cm
fig.1
fig.2
De cada um deles, a área lateral e a área total da fig.1e da fig.2, respectivamente:
A) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e
fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 8 (9 +√3) cm2
B) fig. 1: a área lateral= 72cm2 e a área total= 768 cm2 e
fig. 2: a área lateral =640cm2 e a área total = 8 (9 +√3) cm2
C) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 8 (9 +√3) cm2 cm2 e
fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 768 cm2
D) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e
fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = (9 +√3) cm2
E) fig. 1: a área lateral= 640 cm2 e a área total= 768 cm2 e
fig. 2: a área lateral =72 cm2 e a área total = 8 (3 +√3) cm2
18. Calcule a área da base, a área lateral e a área total de um prisma reto com 6 cm de
altura e cuja base é um hexágono regular com 2 cm de aresta.
h=6cm
a=2cm
A) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12 (6 + √3) cm2
B) a área da base=√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12 (6 + √3) cm2
C) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total= (6 + √3) cm2
D) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=2 (6 + √3) cm2
E) a área da base=6√3 cm2, a área lateral= 72 cm2 e a área total=12√3) cm2
14
CADE RNO
DE
19. O suporte de um abajur tem a forma de um prisma triangular regular. A aresta da base
do prisma mede 20 cm e a altura, 50 cm. Sabendo que o suporte deve ser revestido de
vidro, determine a área, em m2, da superfície desse material que será utilizado na
construção de 30 abajures. (Faça√3 = 1.7.)
50 cm
20 cm
A) 10 m2
B) 11 m2
C) 10,02 m2
D) 11,2 m2
E) 10,2 m2
20. Um arquiteto fez o projeto para construir uma coluna de concreto que vai sustentar
uma ponte. A coluna tem a forma de um prisma hexagonal regular de aresta da base 2 m e
altura 8 m. Qual a área lateral que se deve utilizar em madeira para a construção da coluna
e o volume de concreto necessário para encher a fôrma da coluna, respectivamente?
8m
2m
A) 96m2 e 48√3m3
B) 96m2 e 48√3m3
D) 86m2 e √3m3
E) 66m2 e 48√3m3
C) 98m2 e 46√3m3
21. O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas na figura
abaixo:
A) 288 m3
B) 384 m3
C) 480 m3
15
D) 380 m3
E) 450 m3
E N SIN O MÉ DIO
22. O sólido da figura seguinte é composto de 2 cubos de arestas 2 cm e 1 cm. Nessas
condições, o volume do sólido é:
A) 6 cm3
B) 9 cm3
C) 10 cm3
D) 12 cm3
E) 17 cm3
23. Qual é o volume de concreto que deverá ser utilizado para construir uma escada com
12 degraus, conforme o modelo indicado na figura?
A) 1,92 m3
B) 1,95 m3
C) 1.96 m3
D) 1,98 m3
E) 2,00 m3
24. Uma caixa-d'água cúbica tem 3 m de aresta interior. Sabendo que 1 dm3 = 1e, calcule
a capacidade, em litros, dessa caixa.
A) 37 000l
B) 17 000l
C) 27 000 l
D) 47 000l
E) 21 000l
25. Determine quantos cm2 de madeira são necessários para fabricar uma caixa de forma
cúbica com as dimensões indicadas na figura.
22cm
22cm
A) 2 904cm2
22cm
B) 2 900 cm2
C) 2 908 cm2
16
D) 2 902 cm2
E) 2 903 cm2
CADE RNO
DE
26. As medidas internas de uma caixa-d'água em forma de paralelepípedo retângulo são:
1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua capacidade é de:
a) 8400 litros
b) 84 litros
c) 840 litros
d) 8,4 litros
e) n.d.a.
27. Qual é o volume de areia necessário para encher completamente um dos cones da
ampulheta cujas dimensões estão indicados na figura?
A) 167,46 cm3 (aproximadamente)
B) 168,46 cm3 (aproximadamente)
C) 167,66 cm3 (aproximadamente)
20 cm
D) 157,46 cm3 (aproximadamente)
E) 166,46 cm3 (aproximadamente)
28. Num recipiente aberto em forma de cubo cuja aresta mede 10 cm, existem 500 cm3 de
água. No interior do recipiente é colocada uma esfera que se ajusta perfeitamente a ele.
(Temos, então, a figura de uma esfera inscrita num cubo.) Pergunta-se se haverá
derramamento da água.
10cm
A) não
B) sim, 23 cm3
C) sim, 22 cm3
D) sim, 24 cm3
E) n.d.a
29. Um reservatório de forma esférica (figura abaixo) tem 9 m de raio. Para encher
totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório
recebe água na razão de quantos m3/h?
A) 1 522 m3 /h
B) 1 626 m3 /h
D) 1 528 m3 /h
E) 1 523 m3 /h
C) 152.6 m3 /h
17
E N SIN O MÉ DIO
30. Calcule, aproximadamente, a capacidade em ml do recipiente indicado na figura. Adote
∏ = 3,14.
6cm
A) 3 333,52 ml
B) 3 234,54 ml
D) 3 334,68 ml
E) 3 345,66 ml
C) 3 335,60 ml
31. Determine, aproximadamente, quantos cm² de alumínio são necessários para fabricar
uma lata de cerveja de forma cilíndrica, com 6,5 cm de diâmetro nas bases e 11,5 cm de
altura. Adote II = 3, 14,
St = 2∏r (h + r)
32. Consideremos um tanque cilíndrico com 1,6 m de diâmetro e 5 m de altura feito para
armazenar azeite. Se apenas 60% do seu volume está ocupado por azeite, qual a
quantidade de litros de azeite que há no tanque?
33. Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8 cm de diâmetro e 15 cm de altura.
Quantos ml de cerveja cabem nessa lata?
V = Sb . h
V = ∏r2h
18
CADE RNO
DE
34. O reservatório, "tubinho de tinta", de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e
10 cm de comprimento. Se você gasta 5II mm³ de tinta por dia, determine quantos dias a
tinta de sua esferográfica durará,
V = Sb . h
V = ∏r2h
35. O tonel representado na figura está ocupado em 80% da sua capacidade. Determine a
quantidade de água nele contida.
V = Sb . h
V = ∏r2h
36. Um cano de drenagem é um tubo cilíndrico com 100 cm de comprimento. Os
diâmetros interior e exterior são 26 cm e 32 cm, respectivamente, Calcule o volume de
barro necessário para a fabricação desse cano,
V = Sb . h
V = ∏r2h
37. Uma lata de leite em pó, em forma de um cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3
cm de raio na base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da
primeira lata, possui um volume de:
(A) duas vezes maior.
(B) quatro vezes maior.
(C) três vezes maior.
(D) sete vezes maior.
(E) oito vezes maior.
19
E N SIN O MÉ DIO
38. De uma chapa de aço retangular foram recortadas figuras circulares, conforme nos
mostra a figura abaixo. As medidas estão na figura. Calcule a área da parte que sobra da
placa original.
12m
A) 11,32m2
B) 10,36m2
C) 12,32m2
D) 14,32m2
E) 10,32m2
39. Quantos cm2 de alumínio são utilizados para se fazer uma arruela cujas medidas estão
colocadas na figura abaixo?
1 cm
4 cm
A) 44,20 cm2
B) 48,10 cm2
C) 46,90 cm2
D) 47,10 cm2
E) 48,10 cm2
40. Determine a área da superfície total da figura. (Adote ∏ = 3,14.)
A) 99,16 cm2
B) 86,23 cm2
C) 89,13 cm2
20
D) 86,15 cm2
E) 99,13 cm2
CADE RNO
DE
41. (FAAP-SP) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de centro O e a parte hachurada é
limitada por quartos de circunferências centradas nos vértices e passando por O. Calcule a
área da figura hachurada.
A) a/6(4- )
B) a2/4(4- )
C) a2/2(2- )
D) a/2(4- )
42. Calcule a área da figura hachurada da figura. (Adote
A) 20,3
B) 22,4
C) 24,5
D) 32,3
E) a2/2(3- )
= 3,14.)
E) 26,2
43. (Cesgranrio) De um bloco cúbico de isopor, de aresta 3 m, recorta-se o sólido em de H
mostrado na figura. Calcule o volume na figura desse sólido.
A) 21 m2
B)22 m3
C) 24 m3
21
D) 32 m3
E) 26 m3
E N SIN O MÉ DIO
44. A área total do sólido figura abaixo, é:
A) 240
B) 242
C) 244
D) 246
E) 248
45. Um cubo de madeira de aresta 20cm possui uma cavidade em forma de bloco
retangular de base quadrada de lado 8cm e profundidade 12cm. O volume deste sólido é:
A) 8 000cm3
B) 8 768cm3
C) 7 200cm3
D) 7 232cm3
E) 8 232cm3
46. (PUC-SP) Quantos litros comporta, aproximadamente, uma caixa-d'água cilíndrica com
2 metros de diâmetro e 70 cm de altura?
A) 1 250
B) 2 200
C) 2450
D) 3 140
E) 3 700
47. (UFU-MG) Um tanque de gasolina tem forma cilíndrica. O raio da circunferência da
base é 3,0 m e o comprimento do tanque é 6,0 m. Colocando-se líquido até os 8/9 de sua
capacidade, pode-se afirmar que nesse tanque há: (Use
= 3,14.)
A) 150 720l
B) 50 240l
C) 15 072l
D) 15 024l
E) 1 507,2l
48. (Osec-SP) Se a altura de um cilindro circular reto é igual ao diâmetro da base, então a
razão entre a área total e a área lateral do cilindro é:
A) 3
B) 3/2
C) 2∏
D) 2
22
E) 1
CADE RNO
DE
49. (Mack-SP) Um cilindro tem área total de 16 m2. Se o raio mede um terço da altura, a
área lateral do cilindro é:
A) 6
m2
B) 12
m2.
m2.
C) 16
D) 20
m2.
E) 24
m2.
50. O volume do sólido representado pela figura é:
A) 8
B) 4
C) 5
D) 3
E) n. d. a.
51. (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a forma de um cilindro circular
reto, são necessárias cinco horas. Se o raio da base é 3 m e a altura, 10m, o reservatório
recebe água à razão de:
A) 18
m3 por hora.
B) 30
m3 por hora.
D) 20
m3 por hora.
E) n.d.a.
C) 6
m3 por hora.
52. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume
do cilindro fica multiplicado por:
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
53. (PUC-SP) Uma pipa de vinho, cuja forma é de um cilindro circular reto, tem o raio da
base igual a 4/ √ m e a altura 3 m. Se apenas 30% do seu volume está ocupado por
vinho, então a quantidade de vinho existente na pipa, em litros, é:
A) 1 440
B) 4 800
C) 16 000
D) 14 400
E) 15 000
54. Um lápis tem 8 mm de diâmetro e 8 cm de comprimento. O volume de uma caixa onde
cabem 20 lápis iguais a esse é, aproximadamente:
A) 80 cm3
B) 90 cm3
C) 100 cm3
23
D) 50 cm3
E) n.d.a.
E N SIN O MÉ DIO
55. Uma seringa cilíndrica tem 2 cm de diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o
êmbolo se afasta 3 cm da extremidade da seringa próxima à agulha, qual o volume, em ml,
de remédio líquido que a seringa pode conter?
A) 10
B) 9,42
C) 8,42
D) 8
E) n.d.a
56. O volume de sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica (casquinha),
sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura é 10 cm?
A) 30
cm3 ou 94,20 cm3
B) 33
cm3 ou 94,20 cm3
D) 30
cm3 ou 98,20 cm3
E) 34
cm3 ou 94,20 cm3
57. O volume de um cone circular reto é 18
da base, Quanto mede a altura desse cone?
A) 3cm
B) 6cm
C) 30
cm3 ou 90,20 cm3
cm3. A altura do cone é igual ao diâmetro
C) 2cm
D) 5cm
E) 1cm
58. Um copo tem a forma de um tronco de cone. Suas bases têm diâmetros de 8 cm e 6
cm, enquanto sua altura é de 10 cm. Qual é o volume máximo de água, em ml, que esse
copo pode conter? (Note que as medidas dadas são internas.)
A) v = 390
/3ml ou 407,26 ml (aproximadamente)
B) v = 360
C) v = 350
D) v = 380
E) v = 370
59. (UFPE) Considere um triângulo equilátero de lado l como na figura. Unindo-se os
pontos médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de
qualquer um desses quatro triângulos é igual a:
A) 5l/2
B) l
C) 3l
D) l/2
E) 3l/2
24
CADE RNO
DE
60. (Unesp) Considere um quadrado ABCD, cuja medida dos lados é 1 dm. Seja P um
ponto interior ao quadrado e equidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado
DA. Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do
ponto P ao lado BC é:
A) 2/3 dm
B) 2/5dm
C) 3/5 dm
D) 1/2 dm
E) 4/7 dm
61. (ITA-SP) Por um ponto A de uma circunferência traça-se o segmento AA” perpendicular
a um diâmetro desta circunferência. Sabendo-se que o ponto A” determina no diâmetro
segmentos de 4 cm e 9 cm, podemos afirmar que a medida do segmento AA” é:
A) 4 cm
B) 6 cm
C) 12 cm
D) √13 cm
E) 13 cm
62. Calcule a medida dos segmentos a e b na figura.
A) 4
B) √6
C) 12
D) √13
E) 13
1
1
63. (Fuvest-SP) Considere o triângulo representado na malha quadriculada. A área do
triângulo, em cm2, é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
25
E N SIN O MÉ DIO
64. (Unicamp-SP) O retângulo de uma bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é
pintada de verde, mede 2 m de comprimento por 1,40 m de largura. Os vértices do
losango, cuja parte externa ao círculo é pintada de amarelo, distam 17 cm dos lados do
retângulo e o raio do círculo mede 35 cm. Para calcular a área do círculo use a fórmula A =
∏r2 e, para facilitar os cálculos, tome como 22/7.
•
•
Qual é a área da região pintada de verde?
Qual é a porcentagem da área da região pintada de amarelo, em 'relação à área total
da bandeira? Dê sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula.
A) Área verde= 19 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=17%
B) Área verde= 18 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=16%
C) Área verde= 19 209, Área amarela=6 948 e porcentagem=15%
D) Área verde= 17 203, Área amarela=4 948 e porcentagem=13%
E) Área verde= 19 202, Área amarela=5 948 e porcentagem=19%
65. (Mack-SP) Na figura, a área do quadrado de centro O é:
X
2
X
}
3
X
0
A) 10
B) 16
C) 25
D) 100
E) 2500
66. (Mack-SP) A diagonal AD do quadrado ABCD mede √2cm. Se o diâmetro de cada uma
das semicircunferências na figura abaixo é igual à metade do lado do quadrado, a área da
região assinalada é:
A) 1
B) 1/
C) ∏/8
D) 2
E)
26
CADE RNO
DE
67. (UFJF-MG) Na figura abaixo, o apótema do hexágono regular inscrito no circulo mede
√3 cm. A área da região sombreada na figura é, em cm2:
A) 2 (2
- 3√3)
B) 6√3
C)
- 3√3
D) 3(2
E) 4
- 3./3)
- √3
68. (CES-MS) Na figura abaixo, os segmentos AS, SC, CD, DE e AF têm as medidas
indicadas em centímetros. O arco ÉF é uma semicircunferência.
A área da figura é, em centímetros quadrados, igual a
A) 9
B) 9 +
/2
C) 9 +
D) 9 + 4
E) 4 +
2
69. (Unicamp-SP) Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de
comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que
o lado de cada um desses quadrados mede x cm de comprimento. Calcule a área do
retângulo inicial e Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos quatro
cantos, seja igual a 1 725 cm2, respectivamente.
A) área do retângulo inicial= 2 625 cm2 e x=15
B) área do retângulo inicial= 2 425 cm2 e x=12
C) área do retângulo inicial= 2 525 cm2 e x=15
D) área do retângulo inicial= 2 325 cm2 e x=13
E) área do retângulo inicial= 2 605 cm2 e x=14
27
E N SIN O MÉ DIO
70. (Cesgranrio-RJ) Os triângulos 1 e 2 da figura são retângulos isósceles. Então, a razão
da área de 1 para a de 2 é:
a) √3
b) √2
c) 2
d) √5/2
e) 3/2
71. André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular de raio
100m. Para percorrer aproximadamente 42km , o número de voltas que André precisa dar
está entre:
A) 1 e 10
B) 10 e 50
C) 50 e 100
D) 100 e 500
E) 500 e 1000
72. Entre 1986 e 1989, a moeda do nosso país era o cruzado (Cz$). De lá para cá, tivemos
o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro novo e, hoje, temos o real. Para comparar valores do
tempo do cruzado e de hoje, os economistas calcularam que 1 real equivale a
2.750.000.000 cruzados. Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que
ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas de 1cruzado cada
uma. Se uma pilha de 100 notas de 1cruzado tem 1,5cm de altura, qual seria a altura do
salário do João?
A) 26,4km
B) 264km
C) 26 400km
28
D) 264000km
E) 2640000km
CADE RNO
DE
EIXO: GEOMETRIA
01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um quadrado ABCD possui lado 40 cm. Uma
circunferência contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD. O raio desta
circunferência é:
A) 20cm
B) 22cm
C) 24cm
D) 25cm
E) 28cm
02. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de
couro. 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são hexágonos também regulares.
Os lados dos pentágonos são iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser
costurados. Cada costura une dois lados de duas dessas peças. Quantas são as costuras
feitas na fabricação de uma bola de futebol?
A) 60
B) 64
C) 90
D) 120
E) 180
03. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o
centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do lado AC.
Se ∠AOI = 45°, quanto mede, em graus, o ângulo ∠ACB?
04. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) No triângulo ABC, AB = 20, AC = 21 e BC =
29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD = 8 e EC = 9. A medida do ângulo
ˆ , em graus, é igual a:
DAE
A) 30
B) 40
C) 45
D) 60
E) 75
05. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática-2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD.
Além disso, α e β são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão
A)
3
5
B)
4
5
C) 1
D)
29
5
4
α
?
β
E)
5
3
E N SIN O MÉ DIO
06. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática - 2008) Na figura a seguir, o pentágono regular
ABCDE e o triângulo EFG estão inscritos na circunferência Co, e M é ponto médio de BC.
Para qual valor de α , em graus, os triângulos EFG e HIG são semelhantes?
A
G
α
I
H
B
E
M
Co
F
D
C
A)
α = 36°
α = 38°
B)
C)
α = 40°
D)
α = 36°
E)
α = 42°
07. ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD
mede:
A) 38°
B) 40°
C) 42°
D) 44°
E) 46°
08. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) Esmeralda e Jade correm em sentidos opostos
em uma pista circular, começando em pontos diametralmente opostos. O primeiro
cruzamento entre elas ocorre depois de Esmeralda ter percorrido 200 metros. O segundo
cruzamento ocorre após Jade ter percorrido 350 metros entre o primeiro e o segundo ponto
de encontro. As velocidades das moças são constantes. Qual é o tamanho da pista, em
metros?
A) 750 m
B) 550m
C) 350m
D) 200 m
E) 1500 m
09. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer
e ACD e AEB são triângulos equiláteros. Se F e G são os pontos médios de EA e AC,
respectivamente, a razão
BD
é:
FG
D
A)
E
A
F
1
2
B) 1
C) 3
G
2
D) 2
B
C
E) Depende das medidas dos lados de ABC.
30
CADE RNO
DE
10. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) No triângulo ABC tem-se AB = 4, AC = 3 e o
ângulo BÂC mede 60o. Seja D o ponto de intersecção entre a reta perpendicular a AB
passando por B e a reta perpendicular a AC passando por C. Determine a distância entre os
ortocentros dos triângulos ABC e BCD.
A)
2 39
3
B) 3/4
C)5/6
D) 6/8
E) 9/7
11. Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está
destacada a sua interseção com um plano. Qual?
A)
B)
C)
D)
E)
12. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática - 2008) O número inteiro positivo a e o número
1
localizam-se na reta da seguinte maneira:
a
Qual é a soma desses dois números?
A)
9
81
B)
9
80
C)
81
9
D)
82
9
E) 9
13. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) Considere o conjunto A dos pares ordenados
(x;y) de reais não negativos tais que x + y = 2. Se a probabilidade de um elemento de A
escolhido aleatoriamente está a uma distância da origem menor ou igual a 5 3 é p, quanto
vale 2535p2?
A) 3024
B) 3020
C) 3026
31
D) 4024
E) 4026
E N SIN O MÉ DIO
14. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Se 00 < x < 900 e cos x =
A) 00 e 300
B) 300 e 450
D) 600 e 750
E) 750 e 900
1
então x está entre:
4
C) 450 e 600
15. (Olimpíada Brasileira de Matemática) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual
é o valor de x + y, em graus?
A) 270
B) 300
x
C) 330
D) 360
E) 390
y
16. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Determine em qual dos horários abaixo o ângulo
determinado pelos ponteiros de um relógio é o menor.
A) 02h30
B) 06h20
C) 05h40
D) 08h50
E) 09h55
17. (Exame Nacional do Ensino Médio - 2005) Uma artesã confecciona dois diferentes
tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20
cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de
duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com
parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de
parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será
A) o triplo.
B) o dobro.
C) igual.
D) a metade.
E) a terça parte.
32
CADE RNO
DE
18. Juliano encaixou duas rodas dentadas iguais, cada uma com uma bandeirinha igual
desenhada, como mostra a figura ao lado.
Então ele girou a roda da esquerda um pouco. Qual das alternativas abaixo pode
representar a posição final das rodas?
A)
B)
C)
D)
E)
19. Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância entre o
terceiro e o sexto poste é de 3,3 m. Qual é a distância entre o primeiro e o último poste?
A) 8,4m
B) 12,1m
C) 9,9m
D) 13,2m
E) 9,075m
20. Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20cm de
lado. Estas caixas são colocadas, sem deixar espaços vazios, em caixotes de madeira de
80cm de largura por 120cm de comprimento por 60cm de altura. Qual o número máximo
de latas de palmito em cada caixote?
A) 576
B) 4608
C) 2304
33
D) 720
E) 144
E N SIN O MÉ DIO
21. Um atleta corre 5000m por semana em uma quadra de esportes, que tem uma pista
curta e outra longa. Em uma semana ele treinou seis dias, sendo que a cada dia correu
uma vez na pista longa e duas na pista curta. Na semana seguinte ele treinou sete dias,
sendo que a cada dia correu uma vez em cada pista. Podemos, então, afirmar que:
A) a pista longa é três vezes maior que a curta.
B) a pista longa é quatro vezes maior que a curta.
C) a pista longa é cinco vezes maior que a curta.
D) a pista longa é 600m mais longa que a curta.
E) a pista longa é 500m mais longa que a curta.
22. Os vértices de um cubo são numerados com os números de 1 a 8 , de tal modo que
uma das faces tem os vértices {1, 2, 6, 7} e as outras cinco têm vértices {1, 4, 6, 8}, {1, 2,
5, 8}, {2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} e {3, 4, 5, 8}. Qual o número do vértice que está mais
distante daquele de número 6?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
23. Na figura ao lado ABCD é um retângulo e ABE e CDF são triângulos retângulos. A área
do triângulo ABE é 150cm2 e os segmentos AE e DF medem, respectivamente, 15 cm e
24cm . Qual o comprimento do segmento CF?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
24. A figura ao lado foi montada com 12 azulejos quadrados de lados iguais a 10cm . Qual
é a área da região hachurada?
A) 200 cm2
B) 260 cm2
C) 255 cm2
D) 240 cm2
E) 265 cm2
34
CADE RNO
DE
25. Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a altura de
8 cm. Foram então colocadas em seu interior n bolas de gude e o nível da água atingiu a
boca do copo, sem derramamento. Qual é o volume, em cm3, de todas as n bolas de gude
juntas?
A) 32
B) 48
C) 64
D) 80
E) 96
26. (SAEB/ 2009) Duas pessoas, partindo de um mesmo local, caminham em direções
ortogonais. Uma pessoa caminhou 12 metros para o sul, a outra, 5 metros para o leste.
Qual a distância que separa essas duas pessoas?
(A) 7m
(B) 13m
(C) 17m
(D) 60m
(E) 119m
27. (SAEB/2009) Ao fazer um molde de um copo, em cartolina, na forma de cilindro de
base circular, qual é a planificação do molde desse copo?
28. (SAEB/2009) Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um poliedro,
somente uma vez, um deficiente visual percebe que passou por 8 vértices e 12 arestas. O
número de faces desse poliedro é, então, igual a:
(A) 20
(B) 12
(C) 8
(D) 6
(E) 4
29. (SAEB) Para se deslocar de sua casa até a sua escola, Pedro percorre o trajeto
representado na figura abaixo.
(A) 4 +
√
(B) 4 + √3
(C) 4 +
√
(D) 4√3
(E) 4 + 4√3
Sabendo que tg (60°) = 3 , a distância total, em km, que Pedro percorre no seu trajeto de
casa para a escola é de
35
E N SIN O MÉ DIO
FÓRMULAS DE GEOMETRIA ESPACIAL
PRISMAS
A BΔ =
l2
3
A LΔ = 3l. h
4
A BQ = l 2
A BH = 6.
A LQ = 4 l . h
l2
3
A LH = 6 l. h
4
AT = A L + 2. A B
V = AB .h
PARALELEPÍPEDO
CUBO
AB = a.b
AF = l2
AT = 2ab + 2bc + 2ac
AL = 4l2
V = a.b. c
AT = 6l 2
D = a 2 + b 2 + c2
V = l3
d face = l 2
Dcubo = l 3
PIRÂMIDES
AL = p.ap
ap2 = h 2 + K2
AT = AL + AB
a2 = ap2 +
V=
.
a2 = h 2 + R2
36
CADE RNO
DE
TETRAEDRO
AF =
a2
4
AT = a 2
h =
a3 2
V =
12
a2 3
A L = 3.
4
3
3
6
a
O b s: K = h d o
3
triâ n g u lo e q u ilá te ro
CILINDRO
V = AB . h = πr 2 h
AB = πr 2
AL = 2πrh
AT = 2πr 2 + 2πrh
AS = 2rh
Equilátero → h = 2r
CONE
AB . h πr 2 h
V=
=
3
3
AL = πrg
AS = rh
AT = πr 2 + πrg
g 2 = r 2 + h2
AB = πr 2
Equilátero → g = 2r
37
E N SIN O MÉ DIO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
sen( x)
cos( x)
cos( x)
2) cot g ( x) =
sen( x)
1
3) sec( x) =
cos( x)
1
4) cos ec( x) =
sen( x)
1) tg ( x) =
Relação válida para todo x ≠
π
2
+ kπ
Relação válida para todo x ≠ kπ
Relação válida para todo x ≠
π
2
+ kπ
Relação válida para todo x ≠ kπ
5) sen 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1
FÓRMULAS DA ADIÇÃO
6) sen( a + b ) = sen( a ). cos( b ) + sen( b ). cos( a )
7) sen( a − b ) = sen( a ). cos( b ) − sen( b ). cos( a )
8) cos( a + b ) = cos( a ). cos( b ) − sen( a ). sen( b )
9) cos( a − b ) = cos( a ). cos( b ) + sen( a ). sen( b )
10) tg ( a + b ) =
tg ( a ) + tg (b )
1 − tg ( a ).tg (b )
11) tg ( a − b ) =
tg ( a ) − tg (b )
1 + tg ( a ).tg (b )
π
⎧
⎪ p/ a ≠ 2 + kπ
⎪⎪
π
⎨ p/ b ≠ + kπ
2
⎪
⎪p/ ( a + b ) ≠ π + kπ
⎪⎩
2
π
⎧
⎪ p/ a ≠ 2 + kπ
⎪⎪
π
⎨ p/ b ≠ + kπ
2
⎪
⎪p/ ( a − b ) ≠ π + kπ
⎪⎩
2
As fórmulas acima são verdadeir as para arcos positivos, cuja soma
pertence ao primeiro quadrante.
FÓRMULAS DA MULTIPLICAÇÃO
12) sen(2 x) = 2. sen( x). cos( x)
13) cos(2 x) = cos 2 ( x) − sen 2 ( x)
2.tg ( x)
14) tg (2 x) =
1 − tg 2 ( x)
38
CADE RNO
DE
FÓRMULAS DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
⎛x+ y⎞
⎛x− y⎞
15) sen( x) + sen( y ) = 2. sen⎜
⎟. cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛x+ y⎞
⎛x− y⎞
16) sen(x) - sen(y) = 2. sen⎜
⎟. cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛x+ y⎞
⎛x− y⎞
17) cos( x) + cos( y ) = 2. cos⎜
⎟. cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛x− y⎞
⎛x+ y⎞
18) cos( x) − cos( y ) = −2. sen⎜
⎟. sen⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
39
E N SIN O MÉ DIO
EIXO: TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
01. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Um gafanhoto pula exatamente 1 metro. Ele está
em um ponto A de uma reta, só pula sobre ela, e deseja atingir um ponto B dessa mesma
reta que está a 5 metros de distância de A, com exatamente 9 pulos. De quantas maneiras
ele pode fazer isso?
A) 16
B) 18
C) 24
D) 36
E) 48
02. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Uma grande empresa possui 84
funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre
Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês e 80%
dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas
línguas?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
03. Uma pêra tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca
100 quilogramas de pêra para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da
massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (lembre-se: 1 litro de água tem
massa de 1 quilograma).
A) 15 litros
B) 45 litros
C) 75 litros
D) 80 litros
E) 30 litros
04. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Rafael tem 10 cartões. Cada um tem
escrito um dos números 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 48, 53, 68, e todos os dez números
aparecem. Qual o menor número de cartões que Rafael pode escolher de modo que a soma
dos números nos cartões escolhidos seja exatamente 100?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) não é possível obter soma 100 com esses cartões.
05. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo
baralharam as 52 cartas de um baralho e distribuíram 13 cartas para cada um. Arnaldo
ficou surpreso: “Que estranho, não tenho nenhuma carta de espadas.” Qual a probabilidade
de Bernardo também não ter cartas de espadas?
A)
39!
26!52!
B)
26!
13!39!
C)
39!39!
26!52!
D)
40
26!26!
13!39!
E)
39!13!
52!
CADE RNO
DE
06. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Soninha tem muitos cartões, todos com o
mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo,
azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte
com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na
figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se
obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?
A) 16
B) 25
C) 30
D) 60
E) 120
07. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Um número de quatro dígitos é dito
paladino se é múltiplo de 9 e nenhum de seus dígitos é nulo. Quantos números paladinos
existem?
A) 1284
B) 1024
C) 849
D) 1109
E) 729
08. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática 2008) Considere 10 pessoas, todas de alturas
diferentes, as quais devem ficar em fila de tal modo que, a partir da pessoa mais alta, as
alturas devem decrescer para ambos os lados da fila (se a pessoa mais alta for a primeira
ou a última da fila, todas as pessoas a partir dela devem estar em ordem decrescente de
altura). Obedecendo essas condições, de quantos modos essas pessoas podem ficar em
fila?
A) 256
B) 768
C) 1260
D) 512
E) 2560
09. Em um certo país há 21 cidades e o governo pretende construir n estradas (todas de
mão dupla), sendo que cada estrada liga exatamente duas das cidades do país. Qual o
menor valor de n para que, independente de como as estradas sejam construídas, seja
possível viajar entre quaisquer duas cidades (passando, possivelmente, por cidades
intermediárias)?
A) 191
B) 168
C) 160
41
D) 112
E) 166
E N SIN O MÉ DIO
10. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática-2008) Nove números são escritos em ordem
crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. A média aritmética
dos 5 maiores é 68 e a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de todos os números
é:
A) 500
B) 504
C) 112
D) 56
E) 70
11. (Olimpíada Brasileira de Matemática) De quantas maneiras podemos colocar em cada
espaço abaixo, um entre os algarismos 4, 5, 6, 7, 8, 9, de modo que todos os seis
algarismos apareçam e formem, em cada membro, números de dois algarismos que
satisfazem a dupla desigualdade?
__>__>__
A) 100
B) 120
C) 240
D) 480
E) 720
12. (Olimpíada Brasileira de Matemática) Uma colônia de amebas tem inicialmente uma
ameba amarela e uma ameba vermelha. Todo dia, uma única ameba se divide em duas
amebas idênticas. Cada ameba na colônia tem a mesma probabilidade de se dividir, não
importando sua idade ou cor. Qual é a probabilidade de que, após 2006 dias, a colônia
tenha exatamente uma ameba amarela?
1
A)
B)
2 2006
1
2006
1
C)
2007
D)
1
2006 ⋅ 2007
E)
2006
2007
42
CADE RNO
DE
200
180
A
160
140
B
120
dez
nov
out
set
ago
100
jul
MILHÔES DE REAIS
13. O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo
semestre de 2001.
Com base nesse gráfico, podemos afirmar que:
A) houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da
empresa B.
B) no mês de julho, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses.
C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses
consecutivos.
D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.
E) a diferença entre os faturamentos totais do semestre excedeu os 20 milhões de
reais.
14. (Exame Nacional do Ensino Médio 2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de
X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos de poluição que mais afligiam as suas áreas
urbanas. Nos gráficos abaixo estão representadas as porcentagens de reclamações sobre
cada tipo de poluição ambiental.
X
Y
43
Z
E N SIN O MÉ DIO
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de
combate à poluição em cada uma delas seria, respectivamente:
(A) manejamento de lixo, esgotamento sanitário, controle emissão de gases
(B) controle de despejo industrial, manejamento de lixo, controle emissão de gases
(C) manejamento de lixo, esgotamento sanitário, controle de despejo industrial
(D) controle emissão de gases, controle de despejo industrial, esgotamento sanitário
(E) controle de despejo industrial, manejamento de lixo, esgotamento sanitário
15. (ENEM 2005) Foram publicados recentemente trabalhos relatando o uso de fungos
como controle biológico de mosquitos transmissores da malária. Observou-se o percentual
de sobrevivência dos mosquitos Anopheles SP. Após exposição ou não a superfícies
cobertas com fungos sabidamente pesticidas, ao longo de duas semanas. Os dados obtidos
estão presentes no gráfico abaixo. No grupo exposto aos fungos, o período em que houve
50% de sobrevivência ocorreu entre os dias:
(A) 2 e 4
(B) 4 e 6
(C) 6 e 8
(D) 8 e 10
(E) 10 e 12
44
CADE RNO
DE
16. (ENEM 2005) Em um estudo feito pelo Instituto Florestal, foi possível acompanhar a
evolução de ecossistemas paulistas desde 1962. Desse estudo publicou-se o Inventário
Florestal de São Paulo, que mostrou resultados de décadas de transformações da Mata
Atlântica. Examinando o gráfico da área de vegetação natural remanescente (em mil km2)
pode-se inferir que:
(A) a Mata Atlântica teve sua área devastada em 50% entre 1963 e 1973.
(B) a vegetação natural da Mata Atlântica aumentou antes da década de 60, mas reduziu
nas décadas posteriores.
(C) a devastação da Mata Atlântica remanescente vem sendo contida desde a década de
60.
(D) em 2000-2001, a área de Mata Atlântica preservada em relação ao período de 19901992 foi de 34,6%.
(E) a área preservada da Mata Atlântica nos anos 2000 e 2001 é maior do que a registrada
no período de 1990-1992.
Área de vegetação natural
(em mil km2)
(Fonte: Pesquisa. 91, São Paulo:FAPESP, set/2003, p. 48.)
45
E N SIN O MÉ DIO
17. (ENEM 2008) A passagem de uma quantidade adequada de corrente elétrica pelo
filamento de uma lâmpada deixa-o incandescente, produzindo luz. O gráfico abaixo mostra
como a intensidade da luz emitida pela lâmpada está distribuída no espectro
eletromagnético, estendendo-se desde a região do ultravioleta (UV) até a região do
infravermelho.
A eficiência luminosa de uma lâmpada pode ser definida como a razão entre a quantidade
de energia emitida na forma de luz visível e a quantidade total de energia gasta para o seu
funcionamento. Admitindo-se que essas duas quantidades possam ser estimadas,
respectivamente, pela área abaixo da parte da curva correspondente à faixa de luz visível e
pela área abaixo de toda a curva, a eficiência luminosa dessa lâmpada seria de
aproximadamente:
A) 10%
B) 15%
C) 25%
D) 50%
E) 75%
18. Você conhece software Google Earth? Este software combina os sofisticados recursos de
pesquisa do Google com imagens de satélite, mapas, terrenos e edificações em 3D para
colocar informações geográficas do mundo todo à sua disposição. Comente sobre a relação
que existe da localização de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas com a
localização geográfica das cidades, ou seja, latitude e longitude. Faça também um
comentário sobre o que é o GPS, Sistema de Posicionamento Global, que é muito utilizado
na aviação, viagens marítimas e que hoje em dia começa a ser utilizado também em
automóveis de passeio para fornecer, através de mapas, a melhor rota para que um
motorista possa se deslocar de um lugar a seu destino.
Sobre as coordenadas geográficas, mostre que elas sempre são mostradas à
esquerda e na parte inferior da imagem do local, como na figura abaixo. Explique o que é
latitude e longitude.
46
CADE RNO
DE
Localize a sua escola, copie a imagem e cole em um software gráfico e em seguida
monte duas linhas perpendiculares e imprima a imagem com o sistema de eixos conforme a
figura abaixo.
47
E N SIN O MÉ DIO
Construa uma tabela com as coordenadas das bases móveis que vocês podem definir em
conjunto.
Coordenadas no sistema de cartesiano
Sua escola
Primeira base móvel
Segunda base móvel
Terceira base móvel
Como calcular a distância entre as bases móveis e a base fixa?
Acessem o sítio
http://www.ucs.br/ccet/deme/naem/seminarioiii/Geom/topicos_em_geometria.html e leiam
os itens Sistema Cartesiano Ortogonal, Eixos Coordenados, Plano Cartesiano e Distância
entre dois Pontos.
Acessem o sítio:
http://rived.proinfo.mec.gov.br/atividades/matematica/-batalha/barcos3.html para que
possam exercitar mais um pouco sobre distância entre dois pontos. Esta animação simula
um jogo bem divertido. A animação trata de uma perseguição de um navio pirata a navios
comerciais. A animação ocorre em um sistema de coordenadas cartesianas e para proteger
o barco comercial, o aluno deverá calcular a distância entre os dois barcos para poder dar
um tiro de canhão. A animação tem diversos níveis:
Nível 1 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema
de coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma
coluna.
Nível 2 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de
coordenadas cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.
Nível 3 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema
de coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes,
forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.
Nível 4 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de
coordenadas cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes,
forçando ao aluno utilizar o Teorema de Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.
Níveis 5 a 7 – Aparecerão três barcos, um pirata e dois “comerciais”. O barco pirata está
perseguindo um barco comercial e o outro barco comercial virá proteger o outro comercial.
Você deverá calcular a distância do barco que está protegendo o barco comercial do barco
pirata, utilizando o Teorema de Pitágoras.
48
CADE RNO
DE
O método para calcular a distância entre os barcos, das figuras abaixo, é o mesmo para
cada uma delas?
49
E N SIN O MÉ DIO
19. Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro entre os pontos de coordenadas
(2,3) e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser retilínea. Qual é a equação da reta que
representa essa estrada de ferro?
(A) y = 2x + 3
(B) 4x = 7 y
(C) y = 2x -1
(D) y =
+2
(E) y =
+5
20. Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou
neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está
representada pelo gráfico abaixo.
980, onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas
de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de r1 e r2 é o par ordenado
(A) (8,17).
(B) (9,16).
(C) (7,18).
(D) (11,14).
(E) (12,13).
50
CADE RNO
DE
21. Um cientista verifica que quando a pressão de um gás é de 1 atm, o volume é de 20
cm3 e, quando a pressão é de 7 atm, o volume é de 8 cm3, Calcule a taxa média de volume
representada pela declividade entre P1 (1. 20) e P2 (7, 8).
A) m = -2
B) m = -3
C) m = -1
D) m = 2
E) m = 1
22. Quando a quantidade x de artigos que uma companhia vende aumenta de 200 para
300, o custo de produção y diminui de R$ 100,00 para R$ 80,00, Determine a variação
média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos:
A) m = -1/2
B) m = -1/3
C) m=-1/5
D) m =1/ 2
E) m = 1
23. O crescimento y de uma cultura biológica passa de 8 cm2 para 10 cm2, enquanto o
tempo x aumenta de 1 para 2 horas. Se a taxa média de crescimento é representada pelo
coeficiente angular da reta que passa por esses dois pontos, determine essa taxa média de
crescimento.
A) 2cm2/h
B) 3cm2/h
C) 4cm2/h
D) 6cm2/h
E) 1cm2/h
24. Um pintor dispõe de 6 cores diferentes de tinta para pintar uma casa e precisa
escolher uma cor para o interior e outra diferente para o exterior, sem fazer nenhuma
mistura de tintas. De quantas maneiras diferentes essa casa pode ser pintada, usando-se
apenas as 6 cores de tinta que ele possui?
(A) 6
(B) 15
(C) 20
(D) 30
(E) 60
51
E N SIN O MÉ DIO
25. A tabela abaixo mostra a distribuição dos gastos médios, per capita, com saúde,
segundo os grupos de idade.
Qual dos gráficos representa a distribuição dada pela tabela acima?
52
CADE RNO
DE
BIBLIOGRAFIA
BCHX, de POPPE, L. M. B. e TAVARES, R. N. O. – Prelúdio à análise combinatória. São
Paulo: Nacional, 1975.
Brasil, MEC, SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática 3º e 4º ciclos, 1998.
Brasil, MEC, PREMEN – Universidade Federal do Ceará, 1975
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio + (PCNEM+) – Ciências da Natureza ,Matemática e
suas Tecnologias. Brasília: MEC- SEMTEC, 2002.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares
para o Ensino Médio- Ciências da Natureza ,Matemática e suas tecnologias.Brasília: MECSEB,2006.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Base Curricular Comum para as Redes Públicas
de Ensino de Pernambuco - Matemática. Recife: SE, 2008.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Orientações Teórico Metodológicas do Ensino
Médio - Matemática. Recife: SE, 2008.
Imenes, Luiz Márcio & Lellis, Marcelo – Matemática Para Todos - Editora Scipione, 2002.
Smole, Kátia Cristina Stocco. Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. Matemática – volumes 1,2
e3 –Ensino Médio- 3ª edição reformulada-São Paulo: Saraiva, 2003.
Vasconcellos, M. J. C. e Escordamaglio, M. T. – PROJETO ESCOLA E CIDADANIA PARA
TODOS. São Paulo – Editora do Brasil, 2004.
53
CADERNO
DO PROFESSOR
Carta ao (à) Professor (a):
Caro (a) Professor (a),
Este caderno de atividades tem o objetivo de contribuir para o desenvolvimento da
aprendizagem dos estudantes sobre os conteúdos expostos e propostos na Base Curricular
Comum (BCC) e Orientações Teórico-Metodológicas (OTM) e a Matriz de Habilidades do
SAEPE. Ele apresenta sugestões de atividades que favorecem uma reflexão sobre a
matemática num aspecto problematizador. Compreende-se que para aprender os conteúdos
propostos para o 3º ano do Ensino Médio na sua condição de término da escolarização básica e
obrigatória, o sujeito precisa entender as relações entre os dados, os conteúdos, os problemas
e as estratégias de resolução, bem como dar conta das características formais dos conteúdos
matemáticos em seus eixos, construindo suas hipóteses, que irão acompanhá-lo durante todo
o processo de vida, servindo de ferramenta para a resolução de problemas de natureza diversa.
Entendemos que compreender e usar a matemática no seu dia-a-dia, interpretar os
fenômenos sociais, econômicos, naturais, históricos etc., é um direito de todos os alunos, e
não apenas daqueles que têm mais afinidade com o raciocínio lógico, tendo em vista que a
matemática está presente em praticamente tudo, com maior ou menor complexidade.
Perceber, isto é, compreender o mundo à sua volta e poder atuar nele. E a todos,
indistintamente, deve ser dada essa oportunidade de compreensão e atuação como cidadão.
Enfim, este é um material que se apresenta como um instrumento para o estímulo da
participação dos estudantes em práticas sociais de resolução de problemas como também
para dar continuidade aos estudos posteriores e exercer plenamente a cidadania.
Desejamos a todo (a)s um bom trabalho.
55
Introdução
O presente caderno de atividades visa propor alguns problemas não rotineiros,
deixando margens à possibilidade do uso de outras situações, que possam enfatizar a função
social da matemática em caso do aparecimento dos problemas abertos em que o professor orientador do 3º ano do Ensino Médio das escolas públicas de ensino poderão estar buscando
para agregar ao seu planejamento. Serão contemplados os eixos da Base Curricular Comum de
Matemática para o Ensino Médio com reflexões sobre o ensino, alguns dados históricos e os
respectivos descritores de avaliação de cada eixo da Matriz de Referência de Pernambuco.
A intenção da construção desse material não é de negar a autonomia,
capacidade e condições do orientador de conhecer as necessidades do seu grupo de
estudantes e a partir daí construir uma sequência de atividades mais viável e próxima da
realidade vivida, mas sim, contribuir com algumas sugestões, na perspectiva de introduzir e
explorar conceitos matemáticos numa inclusão de uma sequência didática onde o estudante
possa desejar fazer e o orientador de reforço possa trazer outras situações que complementem
o caderno de atividades enquanto conhecedor da realidade experienciada e possa lançar mão
de situações que transportem os estudantes ao reconhecimento do contexto escolar vivido e se
identifique nas situações propostas.
Mesmo considerando que os objetivos e a metodologia no processo de ensino e
aprendizagem de matemática, na Educação Básica, venham sofrendo mudanças, ainda que
não sejam profundas, mesmo porque, para que isso ocorra se faz necessário que essas
mudanças aconteçam primeiras na formação dos profissionais em educação, na valorização
profissional, nas instâncias políticas, nas condições de trabalho, nos materiais didáticos entre
outros, trabalhamos na perspectiva de que a resolução de problemas em matemática
possibilita um caminho apurado para desenvolver capacidades de observação, relações de
cooperação, comunicações, construção de argumentação e estimulação dos diversos tipos de
raciocínio necessários na validação de um processo coerente à construção do conhecimento
matemático. Os estudantes quando expostos a uma lista de problemas, se for desafiadora e o
orientador de sala souber se portar e conduzir, revela possibilidades muito mais encantadoras
do que uma lista de questões descontextualizadas e que só exige a memorização dos
algoritmos e das fórmulas.
Considerando que as estratégias de resoluções criativas podem estar presentes
na resolução de problemas abertos ou fechados, escolhemos alguns problemas por observar o
seu distanciamento do dia-a-dia das salas de aulas e também na tentativa de expor uma
sequência, fazendo o entrelaçamento entre as conexões BCC, OTMs e a Matriz Curricular de
Referência do estado de Pernambuco, a fim de propor a exploração de conceitos matemáticos,
mas sem perder de vista as questões intrínsecas a cada sala de aula, necessárias ao grupo de
estudantes, mas só perceptíveis pelo orientador do grupo para que possa melhorar a
introdução e a exploração dos conceitos matemáticos, inclusive no aspecto da
contextualização-descontextualização, construção-desconstrução, uma responsabilidade que
não se pode esperar apenas dos manuais didáticos, mas das capacidades do orientador de sala
de induzir o estudante no sentido de mobilizar seus recursos cognitivos para que possa
construir conhecimento com sentido e significado.
O ensino médio, enquanto última e complementar etapa da educação básica
precisa:
Possibilitar um ensino articulado com outros campos do saber contextualizado, se
expondo a conexões com outras áreas do conhecimento e perpassando aplicações sociais sem
deixar de fora outros campos do saber matemático.
56
Desenvolver no estudante a capacidade de se expressar em linguagem matemática e
ser capaz de realizar formulações coerentes e passíveis de validação.
Discutir o programa de conteúdos de Matemática em que o estudante possa se
identificar no contexto.
Os problemas fechados são importantes nessa dinâmica, inclusive para proporcionar
um desfecho na perspectiva conceitual de acordo com o tratamento dado e estimular o
desenvolvimento de habilidades, considerando um aspecto importante: de que os professores,
a escola e as universidades não romperam com os problemas fechados, apenas encontraram
alternativas nos problemas abertos para outras propostas de construção de habilidades.
Não são os problemas abertos ou fechados que mascaram a efetiva aprendizagem, mas
o que fazemos com eles. Se a nossa proposta em sala de aula for a de antecipar conteúdo e
proceder com um modelo mecânico de resolução, no qual a manipulação dos dados na receita
sugerida é suficiente para se chegar à resposta, o problema é transformado num exercício de
fazer conta, em que a leitura, interpretação, erros e reflexões se traduzem obsoletos e o
contrato didático para a resolução de problemas se perde no vazio. A proposta não é somente
em torno dos problemas fechados, mas deixando para que o professor escolha uma
metodologia de modelagem matemática, se for o caso, para agregar aos problemas sugeridos e
por conhecer mais de perto seu grupo de trabalho poder lançar mão de um planejamento
inovador com diferencial para uma dada realidade, além de dar outro tratamento referente a
um bloco de conteúdos de matemática. Porque não? E é importante deixar em “aberto”
algumas coisas, inclusive como o orientador propõe complementação do conteúdo explorado a
partir dos problemas, buscando relações entre os diversos conteúdos e a vivência do
estudante.
57
Objetivo Geral
Subsidiar o trabalho do orientador com um Caderno de Atividades, sem perder de vista
a possibilidade do planejamento de um material complementar nas aulas de Matemática,
assegurando a ampliação das aprendizagens relativas aos conteúdos curriculares de
matemática e na interrelação com outras áreas do conhecimento.
Objetivos Específicos
Promover ao final da aula, a revisão conceitual dos conteúdos envolvidos e explorados.
Propor ao professor que atua no 3º ano do ensino médio o documento intitulado
Caderno de Atividades do componente curricular de Matemática para a complementação do
conteúdo explorado nas aulas de ampliação de aprendizagem, deixando o espaço para que no
planejamento vivido o orientador estabeleça relações entre os diversos conteúdos e a vivência
do aluno.
Promover a familiarização entre os problemas utilizados nas propostas de avaliação via
ENEM, SAEPE, Olimpíadas de Matemática e os conteúdos e a metodologia utilizada nas aulas
de Matemática do 3º ano do ensino médio.
Metodologia
Será adotado o Caderno de Atividades para aulas de ampliação de aprendizagem, sendo
expostos os conteúdos de acordo com a BCC e as OTM distribuídas em quatro eixos: números e
operações, álgebra e funções, grandezas e medidas, geometria, estatística, probabilidade e
combinatória (para orientação do aluno e do orientador de aprendizagem), sem desprezar o
planejamento e a condição de agregar elementos, possibilitando assim a alteração pelo
orientador.
Desenvolvimento
O conteúdo do Caderno de Atividades distribuído em cinco eixos referentes ao
Componente Curricular de Matemática da Matriz de Referência de Pernambuco propõe
exercícios de aplicação da teoria, atividades individuais, atividades em grupo e atividades com
problemas fechados, articulando a teoria com a prática, buscando relações entre os diversos
conteúdos e a vivência do aprendente.
Atividade de planejamento
O professor poderá utilizar o Caderno de Atividades no plano de aula para o ensino de
Matemática, observando os elementos propostos a seguir:
1. Destacar os conceitos da aula.
2. Identificar o contexto, com incentivo à leitura e interpretação dos problemas
sugeridos e observados nas aulas de ampliação de aprendizagem.
3. Relacionar conceitos envolvidos e promover a leitura e compreensão dos problemas
resolvidos.
4. Propor a resolução de problemas do Caderno de Atividades e/ou selecionados pelo
orientador de aprendizagem em grupos cooperativos (de estudantes).
5. Promover situações de utilização do Caderno de Atividades complementando-o junto
58
aos aprendentes com a possibilidade da construção de diferentes estratégias de cálculos.
6. Promover, ao final da aula de ampliação de aprendizagem, um espaço para revisão
conceitual através de memorial e de perguntas aos estudantes sobre os conceitos que foram
percebidos na aula.
59
Pressupostos da Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambuco
O ensino médio caracteriza-se como última e complementar etapa da Educação Básica
e deve visar atingir tanto aqueles que vão encerrar sua escolaridade regular e ingressar no
mundo do trabalho, como aqueles que ainda se dirigirão a fases posteriores de formação
escolar.
Portanto, nessa etapa devem ser oferecidas condições para que o aluno possa
complementar e consolidar as aprendizagens realizadas no ensino fundamental e desenvolver
suas capacidades e competências. No âmbito da escola, isso significa, entre outras
mudanças, rever e redimensionar alguns dos conteúdos atualmente trabalhados.
Dessa forma, as atenções do professor devem se voltar para as questões da contextualização do
saber matemático. Em outras palavras, as escolhas do professor devem priorizar conceitos e
procedimentos que permitam as conexões entre diversas ideias matemáticas, diferentes
formas de pensamento matemático e vários campos do conhecimento. Importa, também,
favorecer a compreensão da relevância social da matemática e de seu papel no
desenvolvimento histórico da ciência.
Pode-se dizer, nessa perspectiva, que a palavra-chave da matemática do ensino médio
seria “conexões”. Conexões tanto com outras áreas do conhecimento e aplicações sociais,
como também com outros campos da própria matemática. Um ponto de vista muito defendido
na comunidade educacional indica que um dos meios de levar o aluno a estabelecer essas
conexões é trabalhar, simultaneamente, as ideias matemáticas em diferentes quadros
(numérico, algébrico, funcional, geométrico, gráfico etc.).
Salientamos que, de acordo com a Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino
de Pernambuco, o estudo das funções, bastante explorado nos currículos atuais de ensino
médio, pode ter suas potencialidades ampliadas se houver articulação com a álgebra e a
geometria.
Contudo, não se pode esquecer que a matemática do ensino médio, enquanto
disciplina estabelecida, também deve ser vista como uma ciência que apresenta
características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba o papel das
definições, simbologia, demonstrações e encadeamentos conceituais em sua composição
interna. Nesse sentido, é importante que o professor esteja atento ao desenvolvimento, por
parte do aluno, da capacidade de se expressar em linguagem matemática, de realizar
formulações coerentes e validá-las com argumentos apoiados no pensamento dedutivo. Deve
ficar claro, porém, que tais competências não se desenvolvem pela “visualização” de
demonstrações feitas pelo professor, mas, sobretudo, pela habilidade desse professor em
criar, em suas salas de aula, situações de debate, nas quais os alunos sejam levados a construílas.
Em números e operações, é preciso proporcionar aos estudantes o conhecimento da
diversidade de problemas geradores da ampliação dos campos numéricos e o domínio dos
conceitos básicos relativos a tais números, considerando sua perspectiva histórica. Torna-se
necessária, também, a plena compreensão dos algoritmos (no âmbito das representações
numéricas ou dos símbolos) que envolvem os números reais. A consolidação dos conceitos de
número irracional e de reta numérica, apoiada nas ideias já iniciadas nas etapas anteriores,
constitui-se em objetivo importante a ser atingido. Os números complexos devem aparecer
somente pela insuficiência dos números reais na resolução de equações algébricas de 2º grau,
tornando-se dispensável tomá-los como objeto de estudo em si mesmos.
As propriedades dos números e de suas operações devem ser priorizadas nesse nível de ensino,
evitando-se a excessiva formalização e a utilização, muitas vezes artificial, da linguagem e da
notação da teoria dos conjuntos.
60
A noção de porcentagem aparece em inúmeras aplicações e as atividades propostas
pelo professor podem resgatar as experiências e os conhecimentos das práticas sociais dos
alunos, particularmente aquelas ligadas ao trabalho com as finanças e as situações de caráter
da economia.
No eixo álgebra e funções, o estudo das funções tem papel central na formação do
Ensino Médio, principalmente por seu papel de modelo matemático para o estudo das
variações entre grandezas em fenômenos do mundo natural ou social. Em particular, a
definição de função baseada na ideia de produto cartesiano de dois conjuntos aparece como
bastante desaconselhável, tanto do ponto de vista matemático, como do didático.
Estudos têm demonstrado que uma abordagem de funções na perspectiva da
modelagem de fenômenos reais proporciona uma aprendizagem consistente e duradoura,
permitindo a aplicação desses conceitos em outras áreas do conhecimento. Os conceitos de
crescimento e decrescimento, e, em particular, o de taxa de variação merecem atenção
especial, por sua importância no estudo das funções como modelos matemáticos para os
fenômenos em que ocorrem relações entre grandezas variáveis.
A ligação entre a proporcionalidade e a função linear é um bom exemplo de conexão a
ser retomada na presente etapa. A função afim e as funções a ela associadas são, também,
tópicos relevantes. Além disso, trabalhar de um ponto de vista funcional as sequências
numéricas tem sido bastante defendido. Em particular, as progressões aritméticas podem ser
relacionadas à função afim. A articulação com a geometria analítica, nesse momento, pode
permitir um passo importante na direção de desenvolver o pensamento funcional. Essa
conexão pode permitir a compreensão das relações entre as resoluções gráficas e algébricas de
sistemas de equações do primeiro grau, evitando-se, todavia, a excessiva manipulação
simbólico-algébrica, normalmente privilegiada nessa etapa do ensino.
O estudo da função quadrática aparece como tema privilegiado para o estabelecimento
de relações com o estudo da equação do 2º grau, realizado no ensino fundamental. Na
presente etapa, é importante recuperar as aprendizagens realizadas anteriormente,
destacando-se a resolução de equações do segundo grau pela técnica de completar
quadrados, que tem sido abandonada, em troca da aplicação mecânica da fórmula de
Bhaskara. As características da parábola, e sua relação com a função quadrática, devem ser
exploradas, o que pode evitar, por parte do aluno, a confusão entre “parábola” e outras curvas
que são gráficos de funções não-lineares. O estudo da função quadrática pode, por exemplo,
ser explorado como modelo para o movimento uniformemente acelerado. A ênfase nas
equações e inequações do segundo grau pode, nesse nível de ensino, desviar a atenção do
aluno para aspectos pouco relevantes à compreensão da função quadrática, reforçando a
manipulação simbólica algébrica.
A função exponencial aparece como de fundamental importância no conhecimento
científico, particularmente dentro da própria matemática. Seu estudo articula-se bem com as
progressões geométricas e com a matemática financeira. Devem ser priorizadas as
características da função exponencial, seus parâmetros, seu crescimento e seu
decrescimento, deixando-se em segundo plano a abordagem puramente algébrica, por meio
de equações e inequações.
O conceito de logaritmo de um número como elemento facilitador da realização de
cálculos numéricos perdeu, há bastante tempo, sua importância, principalmente com o
aparecimento e a popularização das calculadoras. A função logaritmo, porém, apresenta
importância como inversa da função exponencial. É recomendável que se evite a ênfase na
resolução de equações logarítmicas.
As funções trigonométricas podem ocupar o lugar central como modelos matemáticos
para os fenômenos periódicos. Resulta dessa perspectiva que as funções seno e cosseno, com
61
suas propriedades fundamentais, devem ser privilegiadas no ensino, pois, com base nelas, é
possível construir, gradualmente e com compreensão, modelos simples para muitos
fenômenos periódicos. Resulta, também, que o excessivo trabalho algébrico com identidades
trigonométricas perde o sentido. Em contrapartida, relações trigonométricas, em particular, as
leis dos senos e dos cossenos, podem ser revisitadas, visando à resolução de problemas em
triângulos quaisquer.
As grandezas e medidas sugerem conexões com outras disciplinas como a Física e a
Química, por exemplo, e pode servir como motivação para a consolidação da ideia de grandeza,
particularmente aquelas formadas por relações entre outras grandezas (densidade, aceleração
etc.). Em relação à geometria, as atividades que requerem a representação das diferentes
figuras planas e espaciais, presentes na natureza ou imaginadas, devem ser aprofundadas e
sistematizadas.
Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser consolidados, como, por
exemplo, as ideias de proporcionalidade,congruência e semelhança,o Teorema de Tales e suas
aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos (retângulos e quaisquer) e o
Teorema de Pitágoras.
Com relação a esses aspectos, podemos trabalhar questões conforme o exemplo a
seguir, com a respectiva resolução e orientação teórico-metodológica.
A
B
EX.: O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete
peças: 5 triângulo retângulo e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são
obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas
as sete peças, é possivel representar uma grande diversidade de formas, como as
exemplificadas nas figuras 2 e 3.
figura 1
figura 2
figura 3
Se o lado AB do hexágono mostra na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que
representa uma ‘casinha’, é iqual a:
a) 4 cm²
b) 8 cm²
c) 12 cm²
d) 14 cm²
e) 16 cm²
Sugestão de Orientação teórico-metodológica para a questão:
O professor poderá construir o Tangram por dobraduras,
resgatando e consolidando os conceitos de proporcionalidade,
congruência e semelhança,o Teorema de Tales e suas
aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos
triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras.
62
Observe a figura 1, cujas medidas estão indicadas em centímetros:
2x 2
x
2x
x 2
x
x 2
2x 2
x
x
x
x
x 2
x
x
x 2
x 2
Analisando a figura 1, pode-se indicar as medidas da figura 2, abaixo, em centímetros:
x
Sendo assim, como AB = 2 cm, tem-se: 2x - 2; x=1 cm
Dessa forma, a área da figura 3, abaixo, em cm², será:
x
x 2
x
x
x
x 2
x
x
2x
x 2
A=
(2.x. 2 ) 2
x 2
x
A=
(2.1. 2 )²
A=
8
2x 2
2x
2x
As construções com régua e compasso também aparecem como elemento importante
no desenvolvimento do pensamento geométrico e do raciocínio dedutivo, desde que não se
resumam a uma sequência mecânica de procedimentos de construção sem que as
propriedades inerentes às construções sejam colocadas em evidência. Por exemplo, é
importante que os alunos saibam as propriedades necessárias à construção de retas
perpendiculares e paralelas, mediatriz de segmentos, divisão de segmentos em partes
proporcionais, bisseção de ângulos, polígonos regulares (inscritos e circunscritos) e triângulos
quaisquer (com a determinação de seus elementos).
O trabalho com a geometria analítica, além de proporcionar o desenvolvimento das
habilidades de visualização, permite a articulação da geometria com o campo da álgebra. Os
significados geométricos de coeficientes de equações (da reta e da circunferência), de retas
paralelas, perpendiculares, tangentes e secantes, podem contribuir bastante para a
compreensão das relações entre a geometria e a álgebra. É importante também que o tema não
fique restrito a determinado momento, mas seja desenvolvido durante todo o Ensino Médio.
Assim, as articulações da geometria analítica com outras áreas da matemática escolar podem
ser exploradas de forma proveitosa. Por exemplo, as ideias como crescimento, decrescimento,
taxa de variação de uma função, inclinação de um gráfico, entre outras, podem ser
relacionadas com o estudo das diferentes funções abordadas no ensino médio.
Esse é um bom momento também para retomar os sistemas de equações, enquanto
representações analíticas de intersecções de figuras geométricas. As técnicas de resolução de
sistemas de até três equações podem ser exploradas (escalonamento), sem que seja
necessário o recurso a determinantes, que podem ser dispensados no ensino médio.
Estatística, probabilidades e combinatória, nessa etapa de escolarização, e o trabalho
com tabelas e gráficos devem promover no aluno a capacidade de análise e instrumentalizá-lo
para a tomada de decisões. A produção rápida e excessiva de informações na sociedade atual
requer um eficiente pensamento analítico para compreender pesquisas de opinião, índices
econômicos, doenças, problemas ambientais etc.
63
Situações em que o estudante precise tomar certas decisões em sua vida cotidiana podem ser
trazidas para a discussão de algumas medidas estatísticas, como, por exemplo, medidas de
tendência central (média, mediana e moda) e de dispersão (desvio-médio, desvio-padrão e
variância). A interpretação de termos como frequência, frequência relativa, amostra, espaço
amostral etc., também pode ser consolidada.
Em relação à combinatória, algumas noções devem ser fortalecidas, como, por
exemplo, o princípio multiplicativo, a divisão como um processo de redução de agrupamentos
repetidos etc. Entretanto, as atividades propostas pelo professor devem ser elaboradas de
forma que o aluno possa ampliar cada vez mais as estratégias básicas de contagem, evitandose o ensino restrito a uma extensa lista de fórmulas que não apresentem significado para o
aluno.
A ideia de probabilidade deve ser ampliada durante o ensino médio, de forma que o
aluno, ao final desta etapa, seja capaz de estabelecer o modelo matemático que permite
determinar a probabilidade de ocorrência de um evento. O conceito pode ser, também,
ampliado para situações em que seja necessário identificar a probabilidade da união e da
interseção de eventos, os eventos disjuntos e o conceito de independência de eventos.
Aspectos Didáticos
O papel da resolução de problemas na aprendizagem em matemática deve proporcionar
ao estudante que ele seja capaz de realizar tentativas, estabelecer hipóteses, testá-las e
validar seus resultados, provando que são verdadeiros ou, em caso contrário, mostrando algum
contra-exemplo.
De acordo com a BCC e a OCN, a contextualização pode ser feita por meio da resolução
de problemas, mas é preciso estar atento aos problemas “fechados”, porque estes pouco
incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problema, já de antemão, o aluno
identifica o conteúdo a ser utilizado, sem que haja maiores provocações quanto à construção
de conhecimento e quanto à utilização do raciocínio matemático. O uso exclusivo desse tipo de
problema consegue mascarar a efetiva aprendizagem, pois o aluno, ao antecipar o conteúdo
que está sendo trabalhado, procede de forma um tanto mecânica na resolução do problema.
É importante ressaltar o quanto é importante, para o exercício da cidadania, a
competência de analisar um problema e tomar as decisões necessárias à sua resolução,
competência que fica prejudicada quando se trabalha só com problemas “fechados”.
Ao se desenvolverem novos paradigmas educacionais do uso exclusivo de problemas do
tipo “fechados”, surge a proposta de “problema aberto”.
A prática em sala de aula desse tipo de problema acaba por transformar a própria
relação entre o professor e os alunos e entre os alunos e o conhecimento matemático. O
conhecimento passa a ser entendido como uma importante ferramenta para resolver
problemas e não mais como algo que deve ser memorizado para ser aplicado em momentos de
“provas escritas”.
Características do Problema Aberto
1. O enunciado é curto – Leva o aluno a ter uma primeira ideia. Faz com que o aluno
sinta a necessidade de procurar a solução.
2. O enunciado não induz o método da resolução. Neste caso, o problema não deve se
reduzir à utilização ou à aplicação imediata dos assuntos apresentados em aulas recentes. O
próprio aluno deve escolher o caminho a seguir. Ele pode escolher ou abandonar esse caminho,
64
se for o caso, com o objetivo de produzir uma proposta de solução (hipótese).
3. O problema se encontra dentro de um domínio conceitual familiar ao aluno. Desse
modo, ele pode se “apropriar” facilmente do problema, fazendo tentativas, suposições,
contra-exemplos etc. Além de evitar possíveis bloqueios, essa característica permite que o
aluno produza resultados num tempo razoável.
Exemplos de Problema aberto:
a) Um sanduíche e um prato de refeição custam em média R$ 5,00 e R$ 7,00,
respectivamente. De quantas maneiras pode-se comprar sanduíches e pratos de refeição com
R$ 90,00, sem deixar troco?
b) Quatro prefeitos decidem construir uma rodovia circular que passe em suas cidades,
entretanto, as quatro cidades não estão sobre um mesmo círculo. Eles contratam uma empresa
para elaborar um projeto para construção da rodovia circular equidistante das quatro cidades.
Qual o maior número de projetos geograficamente distintos que a empresa elaborou?
Observações Sobre a Prática do Problema Aberto
1. O problema aberto deve ser trabalhado em sala de aula, porque permite ao professor:
?
De ver como os alunos utilizam os conceitos matemáticos.
?
De saber que concepções os alunos mobilizam no momento de resolver o problema.
?
De analisar os erros que eles cometem.
2. O problema aberto deve ser trabalhado em grupo, porque:
?
Evita eventuais desencorajamentos.
?
Diminui a probabilidade do erro de não conseguir resolver.
?
Aumenta a chance de conjecturas num intervalo de tempo razoável.
?
Possibilita o aparecimento de conflitos sócio-cognitivos.
A história da Matemática como recurso didático
É importante que as articulações da matemática com as necessidades humanas de
cada época sejam evidenciadas. Mais importante ainda, é preciso levar em conta as
contribuições do processo de construção histórica dos conceitos e procedimentos
matemáticos para a superação das dificuldades de aprendizagem desses conteúdos em sala
de aula.
A construção progressiva dos números naturais, racionais, irracionais, negativos e
imaginários ao longo da história é uma fonte importante para a didática atual desses conceitos.
Por exemplo, refletir sobre as dificuldades históricas da chamada “regra dos sinais”, relativa à
multiplicação de números negativos e discutir a criação dos números irracionais, pode
contribuir bastante para o ensino desses conteúdos.
Quanto aos possíveis papéis dos jogos matemáticos no ensino-aprendizagem da
matemática, estes englobam situações-problema de vários tipos, entre os quais podem ser
citados: jogos que envolvem disputa entre duas pessoas ou entre pares, incluindo os clássicos
e suas variações, tais como o xadrez, o jogo de damas, o jogo da velha e outros jogos com
65
tabuleiro: o jogo do Nim e suas variantes e o jogo Hex , que têm aparecido cada vez mais nas
experiências com jogos matemáticos; quebra-cabeças de montagem ou movimentação de
peças, tais como o Tangram e os poliminós; os desafios, enigmas, paradoxos, formulados em
linguagem do cotidiano e que requeiram raciocínio lógico para serem desvendados.
É importante também, com relação aos aspectos didáticos, o enfoque referente à
abordagem interdisciplinar. Essa questão é destacada na BCC (p. 42): “...currículo que
privilegie o desenvolvimento de competências básicas requer que o papel hoje desempenhado
pelas disciplinas escolares seja profundamente revisto e passe a incorporar a perspectiva da
interdisciplinaridade”.
Com relação a estes aspectos, podemos trabalhar algumas questões, conforme podemos
observar no exemplo a seguir, com a respectiva orientação teórico-metodológica:
19) Nesta semana o CEF-15 realizará sua feira cultural de 2008, cujo tema do 1º ano será
Meio-ambiente. Alguns alunos resolveram montar uma rádio experimental com base fixa no
CEF-15 e outras três bases móveis nos Parque do Gama, são eles: Parque Recreativo do Gama
(Prainha), Parque do Gama (Setor Norte) e Parque Ponte Alta do Gama, conforme o mapa
abaixo. O mesmo mapa do Gama mostrado abaixo, se encontra na escala de 1:100.000. Nesse
mapa foi inserido um sistema de eixos ortogonais xOy, em que x e y estão em centímetros. Os
pontos referenciados têm as seguintes coordenadas:
Coordenadas no sistema cartesiano
CEF-15
(0;-6)
Parque Recreativo do Gama (Prainha)
(4;-7)
Parque do Gama (Setor Norte)
(-1;4)
Parque Ponte Alta do Gama
(-7,2)
A estação de rádio utilizada pelos alunos não é tão potente, o alcance máximo da referida
estação é de um raio de 10,1 km.
Sugestão de Orientação
teórico-metodológica para a
questão:
O professor poderá ampliar as
reflexões com a questão da
abordagem interdisciplinar
dentro do campo da geografia e
da física, por exemplo.
Professor, com base no texto, você poderá fazer alguns questionamentos, como por
exemplo:
I - Qual é a cobertura da rádio experimental do CED-5?
II - Todas as estações móveis receberão o sinal emitido?
III - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base
móvel da Prainha?
IV - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base
66
fixa do CED-5?
V - Unindo as coordenadas dos três Parques formamos um triângulo. Qual é o perímetro
e a área deste triângulo? (Para os cálculos deste item, utilize o critério de aproximação e o de
truncamento com precisão de duas casas decimais).
Aproveite este momento para verificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o
tema. Discuta com eles que conhecimentos são necessários para responder a estas questões.
Por exemplo, área do círculo, medidas dos lados do triângulo, área do triângulo etc.
Diante do exemplo podemos remeter a questão destacada na BCC (p.35) “a
competência supõe a articulação dos saberes com as condições específicas das situações
enfrentadas”, contudo, com relação à matemática temos um conjunto de competências mais
gerais que inclui:
?
Estabelecer conexões entre os campos da matemática e entre esta e as outras áreas do
saber.
?
Raciocinar, fazer abstrações com base em situações concretas, generalizar, organizar e
representar.
?
Comunicar-se, utilizando as diversas formas de linguagem empregadas na matemática.
?
Resolver problemas, criando estratégias próprias para sua resolução, desenvolvendo a
imaginação e a criatividade.
?
Utilizar a argumentação matemática apoiada em vários tipos de raciocínio: dedutivo,
indutivo, probabilístico, por analogia, plausível etc.
?
Utilizar as novas tecnologias de computação e de informação.
Além dessas competências mais gerais, temos que levar em consideração as Orientações
Teórico-Metodológicas de Matemática para a Educação Básica, que trata de uma ação de
apoio pedagógico para o professor, organizadas em 04 (quatro) Unidades Didáticas com
referências básicas possibilitadoras da construção de aprendizagens significativas para os
estudantes, conforme explicitadas a seguir:
ENSINO MÉDIO - ANO 3º - UNIDADE: 1
1. NÚMEROS E OPERAÇÕES
?
Ampliação e aprofundamento dos campos numéricos
2. ÁLGEBRA E FUNÇÕES
?
O estudo dos Números complexos a partir da insuficiência dos números reais na resolução
de equações algébricas do 2º grau
?
Noção de número complexo
3. GRANDEZAS E MEDIDAS
?
Grandezas geométricas (Demonstrações que conduzam a fórmulas da área do círculo e de
volume de figuras geométricas)
4. GEOMETRIA
Geometria analítica: ponto e reta
?
O estudo das propriedades geométricas de uma figura com base em uma equação
67
?
O estudo dos pares ordenados de números (x,y) que são soluções de uma equação, por meio
das propriedades de uma figura geométrica
?
Estudo das equações da reta
5. ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA
Estatística
?
Para que serve a Estatística
?
A linguagem da Estatística
?
Representação de dados estatísticos
?
Forma algébrica dos números complexos
?
_Representação geométrica de um número complexo
?
Consolidação da idéia de grandezas
4. GEOMETRIA
Geometria analítica: circunferência
?
Estudo da equação do círculo
?
Relações entre os coeficientes de pares de retas paralelas ou coeficientes de pares de retas
perpendiculares
?
Posições relativas de retas e círculos sob o ponto de vista algébrico
Estatística
?
Amostra
?
Distribuição de frequências
?
Agrupamentos em classes
?
Operações simples envolvendo números complexos.
68
?
Polinômios
?
Equações polinomiais
?
Grandezas geométricas (Demonstrações que conduzam a fórmulas da área do círculo e de
volume de figuras geométricas).
4. GEOMETRIA
Geometria Analítica
?
O conceito de vetor (sob o ponto de vista algébrico e geométrico)
Estatística
?
Representação gráfica de uma distribuição de frequência sem classes
?
Somatório
?
Operações simples envolvendo números complexos
?
Funções Polinomiais
?
Gráficos de um polinômio
?
Estudo da área total e ou volume do prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera
4. GEOMETRIA
Geometria analítica: secções cônicas
Geometria Analítica
?
?
Relações entre lados e ângulos de um triângulo
?
Estudo das Funções secante, cossecante e cotangente
69
Estatística
?
Medidas de tendência central: moda, média e mediana
70
NÚMEROS E OPERAÇÕES
CADERNO DE RESPOSTA AO PROFESSOR
01. E) 42
Seja x = 0,444… então 10x = x + 4 ... x = 4
9
Logo 6,888… = 6 + 2 . 4 = 62 e portanto a fração dada é equivalente a 62 = 31 e p + q = 42 (opção E)
22 11
9 9
02. B) 144
1 saco = 8 tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos, então pode carregar 18 X 8 = 144 tijolos
03. D) 40
Supondo que todos os que comem galinha também comem porco, então, 40 pessoas, no máximo, não
comem nenhum desses dois tipos de carne.
04. B) 3
A Fatorando, obtemos y = (3x – 66)(x – 24). As raízes são 22 e 24.
05. C) 20
x+
99
80
=
1 + Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como 80 tem 20
x+
19
x+
19
divisores inteiros, então existem 20 valores de x.
06. D) R$: 188,00
Faça as contas de trás para frente: (8 + 2).2 = 20, (20 + 2).2 = 44, (44 + 2).2 = 92 e (92 + 2).2 = 188
07. A) 20
x5 2006 4 +
y 2006 4 x 5y ×
2006 +
( xy 20) 2006
×
=
2
16 2006 y
4y 2006 4 +
y 2006
Como
2006 é irracional, devemos ter
xy 20 =
0Û
xy =
20
08. D) Existem exatamente dois pares que não podem ser obtido
Faça as contas de trás para frente: (8 + 2).2 = 20, (20 + 2).2 = 44, (44 + 2).2 = 92 e (92 + 2).2 = 188
3a +
b a+
3b
3a +
b a+
3b a b
+=
a+
b
- =. Logo em todo par (x, y) obtido a soma é
4
4
4
4
2
2048 + 1024 = 3072 e, como a diferença inicial é 1024 uma potência de 2, a diferença é sempre da forma
2k, k inteiro. De fato, estas condições são necessárias e suficientes para um par aparecer.
73
09. C) 800
Do enunciado temos que o número de mulheres que usam apenas um brinco é 0,03×800=24 . Restam
800-24=776 , das quais 388 usam dois brincos e 388 não usam brincos. Logo, o número total de brincos
usados por todas as mulheres é: 24 + 388 × 2 = 800.
Solução 2 - Se cada mulher com dois brincos der um dos seus a uma das que não têm brincos, todas as 800
mulheres ficarão com um único brinco. Logo, o número de brincos é igual ao de mulheres, ou seja, 800 .
10. A) 420
Para que N e N , N , N , N e N sejam números inteiros, N deve ser múltiplo comum de 3, 4, 5, 6 e 7. Como
3 4 5 6 7
queremos o menor N possível, ele deve ser o menor múltiplo comum de 3, 4, 5, 6 e 7. Sendo o MMC entre 3,
4, 5, 6 e 7 igual a 420, temos N =420.
11. E) 9
Para cada um dos 3 caminhos para ir de A até B, existem 3 opções para ir de B a C. Logo, há um total de
3×3 = 9 possibilidades. Mas geralmente, se fossem m os caminhos de A até B e n os de B até C, então o
número de caminhos que nossa formiguinha poderia tomar de A até C seria m × n; esta afirmativa é um caso
particular do Princípio multiplicativo.
12. A) 1
Fazendo a = 1 e b = 0 em ab = a2 – ab + b2 obtemos: 1
0 = 12-1×0 + 02= 1
13. D) 57
De 43 velas obtém - se 43 tocos. Como 43 = 4 × 10 + 3, com esses 43 tocos se pode fazer 10 velas e
guardar 3 tocos. Dessas 10 velas, obtemos 10 tocos que, com os 3 que sobraram, dão 13. Sendo
13 = 4 × 3 + 1, fazemos então 3 velas com 12 tocos, sobrando 1 toco. Depois de usar estas 3 velas, teremos
um total de 4 tocos, que nos dá 1 vela extra. No total, obtemos 43 + 10 + 3 + 1 = 57 .
14. B) 144
O enunciado mostra que o peso de 1 saco de areia é o mesmo que o de 8 tijolos. Se no caminhão já há 32
sacos de areia, ele pode carregar ainda 18 sacos, o que equivale 18 × 8 = 144 tijolos.
15. C) 1/2003
A primeira bala pode ser de qualquer sabor; para fixar ideias suponhamos que seja de banana. Depois que esta
bala é retirada sobram 1002 +1001 balas na caixa – no nosso caso 1002 de maçã e 1001 de banana.
A probabilidade q de que a segunda bala seja diferente (no nosso exemplo, de maçã) é 1002/2003 q = A
probabilidade p de que a segunda bala seja igual (no nosso exemplo, de banana) é 1001/2003 p = A diferença
q-p é, portanto, 1002 /2003-1001/2003 =1/2003
74
ÁLGEBRA E FUNÇÕES
Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira sem precisar
resolver uma só equação algébrica. Mas, no mundo em que vivem, tais equações são
indispensáveis para reduzir problemas complexos a termos simples. Uma empresa, por
exemplo, usa equações algébricas para calcular quanto tempo deve manter uma máquina que
deprecia tantos reais por ano antes de trocá-la por outra que custa tantos reais. Outra empresa
usa uma equação algébrica para relacionar a venda de um produto com o número de vezes em
que este produto aparece anunciado, como propaganda, na tela de um televisor.
Os processos da Álgebra levados para a vida moderna são decisivos, muitas vezes, para
resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a entender mistérios
da natureza.
Descritores da Matriz Curricular de Referência (SAEPE) para o 3° Ano
D14 – Identificar a localização de números reais na reta numérica.
D15 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre
grandezas.
D16 – Resolver problema que envolva porcentagem.
D17 – Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.
D18 – Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela.
D19 – Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau.
D20 – Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.
D21 – Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.
D22 – Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do termo geral.
D23 – Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus
coeficientes.
D24 – Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico.
D25 – Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma
função polinomial do 2º grau.
D26 – Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do 1º grau.
D27 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial.
D28 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica,
reconhecendo-a como inversa da função exponencial.
D29 – Resolver problema que envolva função exponencial.
D30 – Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo
suas propriedades.
D31 – Determinar a solução de um sistema linear associando-o a uma matriz.
D32 – Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de
permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.
D33 – Calcular a probabilidade de um evento.
77
Orientação para o trabalho com números e operações no ensino médio
É papel fundamental da educação básica voltar o olhar para o desenvolvimento de
capacidades, exigidas pela sociedade pós-moderna na era da informação e comunicação. O
que provoca algumas exigências como a capacidade de comunicar, de resolver problemas, de
se posicionar diante da vida, na forma de ser político que toma decisões o tempo todo, de
cooperar e colaborar cuidando de si e do outro - o ser inacabado.
Sequência – Intervenções
O eixo NÚMEROS E OPERAÇÕES deve estabelecer conexões com outros eixos como
tratamento da informação, geometria, o que exige a capacidade de resolver problemas,
gerando hábitos de investigação provocando desprendimento para analisar e enfrentar
situações da vida cotidiana, proporcionando a formação de uma visão ampla e científica da
realidade.
Na situação didática a seguir, percebemos a necessidade de alguns conhecimentos
como: gráfico cartesiano, habilidade de interpretação de situações problemas, porcentagem,
conhecimento prévio do processo eleitoral, desenho geométrico, segmento de reta.
A. Contextualizando
O momento eleitoral vivido pelos cidadãos e cidadãs de Itaporanga, uma cidade com
um universo de 300 mil habitantes e 199 mil eleitores. A escola José Joaquim, que não pode
ficar de fora da discussão desse processo eleitoral vivido por essa comunidade, admite uma
pesquisa de intenção de votos onde analisa a evolução dos três candidatos a prefeito da cidade
de Itaporanga, no período de 15 de agosto a 30 de setembro de 2008.
B. Problematização
O estudo dos números está ligado a dados geométricos, tratamento da informação,
porcentagem que se podem concretizar no problema da investigação do processo eleitoral
quando se estabelece a leitura dos números tabulados e comparados.:
Propomos, por exemplo, a análise dos números apresentados em 04 pesquisas do
processo eleitoral em Itaporanga.
O gráfico abaixo representa a evolução dos três candidatos a prefeito nas pesquisas
realizadas entre 15/08 e 30/09; de 2008.
Analise o gráfico e responda:
60
50
50
47
40
40
35
30
39
37
C
35
30
B
A
20
14
10
10
10
9
0
1
2
3
4
78
1. Qual o candidato que mais evoluiu ao longo
das pesquisas?
2. Qual o período de maior involução para o
candidato C?
3. Supondo que os entrevistados não presentes
no gráfico representam os indecisos, como variou
esse grupo ao longo das pesquisas?
4. Considerando o universo de 199 mil eleitores,
qual seria a previsão de votos para o candidato B?
5. Levando em conta os eleitores e os dados da
última pesquisa, haveria 2° turno nessa eleição?
Comentários
Adaptar o conhecimento de números e operações a diferentes contextos, usando-as
adequadamente no momento oportuno. É importante que o aluno perceba as diferentes
situações em que os números e operações são utilizados.
A ideia do nosso trabalho não é apresentar algo pronto e acabado, mas em permanente
construção-formação, para isto cabe-nos o direito de aproveitar situações cotidianas que
proporcionam o envolvimento do aluno que está querendo saber-discutir e trazer benefícios
dessa curiosidade, criando vínculo com os conceitos matemáticos que o professor está
querendo explorar.
79
01. D) 3
Sendo a + b = – a e ab = b conclui-se que a = 1 e b = –2.
02. E)
a
Quando rodarmos um ponto (x; y) 180 em torno da origem, ele torna-se (–x; –y).
Logo a equação da nova curva obtida é (– y) = (– x)2 – 5 (–x) + 9
y =x
x 5 +
9
y = –x2 – 5x – 9 (Alternativa E).
2
(x;y)
0
( x; y )
03. C) 60
Seja x a idade de Neto em 1994. Então a idade de sua avó no mesmo ano era 2x. Os anos de nascimento dos
dois são 1994 – x e 1994 – 2x, respectivamente. Logo 1994 – x + 1994 – 2x = 3844, ou seja, x = 48.
Neto completa 48 + 2006 – 1994 = 60 anos em 2006.
04. E) 2
a
1+
a
abÛ
b =Logo
Temos ab =
a
a b
a 1+
a
1a2
(1 a)(1 +
a)
a
+
ab =
+
a
×
=
1
+
a
+=
1+
a+
=
1+
a+
1a=
2
a
b a
a
1+
a
1+
a
1+
a
1+
a
Ou seja, o único possível valor de
a b
+
ab é 2.
b a
05. C) -1
Seja y = x2 + x. Temos x2 + x + 1 = 156/(x2 + x)
x2 + x = 12 ou x2 + x = –13
y + 1 = 156/y
y2 + y – 156 = 0
y = 12 ou y = –13
x2 + x – 12 = 0 ou x2 + x + 13 = 0. A segunda equação não tem solução,
assim a soma das soluções reais da equação original é –1/1 = –1.
06. A) 180
Note que
. Seja y =
(
(
(
(
()
x +
x)
x +
5x +
6)
=
x(
x+
1)
x+
2)
x+
3)
=
x +
3x (
x +
3x +
2)
x +
3 x . Então
2
2
2
2
2
(
1+
y(
y+
2)
=
1812 Û
y+
1)
=
1812 Û
y+
1=
181 Û
y=
180
80
2
07. B)
25
4
()
2
x2 y2
x4 +
y4 +
2x2 y2
x2 +
y2
25
+
+
2
=
=
=
2
2
2 2
2
y
x
x y
( xy )
4
08. B) 6
1
2x 1 3x 4
1 2x 1
1
x
x1
5=
5 - = Daí,
z=
2=; y =
1=
1 -= x =
y
x1
x1
x
x
z
2x 1 2x 1
1
3
, Logo, x + 3y + 2z = 6
x2 x=
3x 4Þ
x2 4x +
4=
0Þ
x=
2, y =
,z =
3
2
09. B) 31
Observemos que um ônibus tem a mesma capacidade que 48/6 = 8 "vans". Para colocar crianças que
caberiam em k + 1 ônibus, precisaríamos de pelo menos 8k "vans". O gasto com ônibus seria
237 + 120(k + 1) = 120k + 357 e o gasto com "vans" seria pelo menos 60, 8k = 480k, que é maior
que o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é, quando precisarmos de 2 ou mais ônibus.
Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 237 + 120 = 357 reais para levar até 48 crianças. Como 357 reais
são suficientes para pagarmos 5 "vans", mas não 6, temos que é mais vantajoso utilizar ônibus se forem
necessárias pelo menos 6 "vans", o que acontece quando levamos pelo menos 5 . 6 + 1 = 31 crianças.
Logo N = 31.
10. D) 2/15
11. a) Cada uma das 6 equipes joga 5 partidas. Portanto, o número de partidas foi de 6×5= 15 2 . Outra
maneira de contar: Podemos formar grupos de duas letras e contar o número de grupos: AB, AC, AD, AE,
AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF – o número de partidas é 15 .
b) Para cada time, a soma do número de vitórias, empates e derrotas é igual a 5 . Assim, temos 1+1+ y = 5,
ou seja, y = 3. Temos, também, x + 1 + 0 = 5 , isto é, x = 4 . O número total de gols feitos é igual ao número
total de gols sofridos. Assim, z +18 = 28, ou seja, z = 10.
Resumindo: O número de derrotas do time D é 3, o número de vitórias da equipe F é 4 e o
número de gols sofridos pela equipe F é 10.
81
12. D) 18/5
13.
82
É muito comum nas expressões algébricas o aparecimento de certos produtos. Para
simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a
tabela abaixo:
Produtos notáveis
(a+b) = a +2ab+b2
(a-b)2 = a2-2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a2 -b2
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab 2+b 3
(a-b)3 = a3-3a2 b+3ab 2-b 3
(a+b)(a2-ab+b 2) = a3+b 3
(a-b)(a2+ab+b 2) = a3-b 3
2
Exemplos
(x+3) = x +6x+9
(x-3)2 = x2-6x+9
(x+3)(x-3) = x2 -9
(x+2)(x+3) = x 2+5x+6
(x+2)3 = x3+6x2+12x+8
(x-2)3 = x3-6x 2+12x-8
(x+2)(x2-2x+4) = x 3+8
(x-2)(x2+2x+4) = x 3-8
2
2
83
2
GRANDEZAS E MEDIDAS
Descritores da Matriz de Referência de Pernambuco (SAEPE) – 3° ANO
D11 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.
D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
D13 – Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide,
cilindro, cone, esfera).
87
01. E) 18
Seja x o lado de B. O lado de C = x – 1,D = x + 5,E = x – 1,F = x – 2, G = 4,H = 2x – 3,
I = x + 9 (=D + G) mas também é 3x – 9 (=F + H – G).
02. C)16√3 cm²
E
Prolongue AD e BC até se encontrarem no ponto F. Veja que
AFB = 60 = DEC. Com isso, o quadrilátero FECD é inscritível.
Temos: (i) FDE = FCE = ADE = BCE = 180.
(ii) AD = BC e ED = EC.
De (i) e (ii), concluímos que ADE BCE. Portanto, EA = EB.
Além disso, DEA = CEB, de onde concluímos que
AEB =DEC = 60. Dessa forma, o triângulo ABE é equilátero
F
D
C
de lado 8 e sua área é igual a
82 3
=
16 3 cm²
4
B
A
Outra solução:
Considere os pontos no plano complexo. Representaremos o número complexo correspondente ao ponto X
com a letra correspondente minúscula x. Fixemos o ponto médio de AB como origem e sejam a = –4 e b = 4.
Assim, sendo b
=
Ð
BAD , ambos no sentido anti-horário, podemos encontrar as
=
Ð
ABC e a
coordenadas de C e D:
5
cb=
(a b) cis(b
)Û
c=
45 cis(b
)
8
5
da=
(b a ) cis a
Û
d=
4+
5 cis a
8
p
x+
1=
0.
=
cis a raiz sexta da unidade e raiz da equação x 2 Sendo w
3
2
2
2
ed=
(c d )w
Û
e=
(1 w
)d +
cw
=
w
cw
d=
4w
5w
cis(b
)+
4w
5w
cis a
æ
ö
p
2p
æ
öæ
ö
Û
e=
4(w
+
w
1) 5ç
cisç
b
+
cisç+
a
÷
÷
÷
ç
÷
3
3
è
øè
ø
è
ø
æ
æ
ö
1+
i 3 ö
p
2p
2p
æ
öæ
ö
Û
e=
4ç
2
×
1÷
5ç
cisç
+
a
+
cisç+
a
÷
÷
÷
ç
÷
ç2 ÷
3 3
3
è
øè
ø
è
ø
è
ø
æ
ö
2p ö æ
2p
æ
ö
Û
e=
4 3i 5ç
cisç+
a
+
p
+
cisç+
a
÷
÷
÷
ç
÷
3
3
è
øè
ø
è
ø
ææ
ö
2p
2p
öæ
ö
Û
e=
4 3i 5ç
cisç+
a
+
cisç+
a
÷
=
4 3i
÷
÷
ç
÷
3
3
øè
ø
èè
ø
Assim, o triângulo ABE, com pontos de coordenadas A = (–4, 0), B = (4, 0) e E =
(0,4 3 ) é eqüilátero
e tem área
8×
4 3
=
16 3 cm².
2
88
03. E) 91
Se dois retângulos possuem mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases.
Se dois retângulos possuem mesma base, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas alturas.
Isto permite concluir que o retângulo grande tem base 4 + 9 = 13 e altura 3 + 4 = 7. Sua área é, portanto,
13 x 7 = 91.
04. E) 5 11 / 2
Considere que os pontos B e C estão fixos e que A gira em torno de B. Assim, A está na circunferência com
centro B e raio 5.
Temos que o ângulo Ĉ é máximo quando AC tangencia a circunferência.
Neste caso, temos que o ângulo Â é reto. Logo, pelo teorema de Pitágoras,
AC2 = BC2 – AB2 = 62 – 52 = 11 AC = 11. Assim, a área do triângulo
ABC é AB AC/2 = 5 11/2.
A
B
C
,
A
05. B) 9/20
O tempo necessário para retornar à casa e depois fazer todo o percurso até a escola foi de 18 minutos (pois
ia chegar 8 minutos adiantado mas acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo correspondente à distância
a mais que percorreu, exatamente o dobro da distância entre o ponto de retorno e sua casa. Portanto, levou
9 minutos para ir de sua casa até o ponto de retorno, o que corresponde a 9/20 da distância de sua casa até
a escola.
06. D) 97
A linha é composta da repetição da figura ao lado, cujo comprimento é 9. Cada figura dessa inicia-se num
ponto representado por um múltiplo de 3 no eixo horizontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem
comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha poligonal é igual a 10 X 9 + 7 = 97
07. D) 2,1 m
08. D) 1,909cm²
0,3 m
30 cm =
1m
0,3 m
?
A área da chapa inicial é 1 m²
?
A área da chapa utilizada é 0,9 x 0,9 = 0,81 m²
?
Logo a chapa reaproveitada é:
1 m² - 0,81 m² = 0,19 m² = 1.900 cm²
0,3 m
1m
89
09. C) 3.808 m³
10. A) 113,20 cm²
11. D) 4,2 m³
12. A) 2,88 m³
13. A) 81,60m²
14. B) 504 000l
15. B) 246,6 cm²
16. C) 259,2 cm²
17. A) fig. 1: a área lateral= 640 cm² e a área total= 768 cm² e fig.2: a área
lateral =72 cm² e a área total = 8 (9 +√3) cm²
18. A) a área da base=6√3 cm², a área lateral= 72 cm² e a área total=12 (6 + √3) cm²
19. C)10,02 m²
20. A) 96m² e 48√3m³
21. B) 384 m³
22. B) 9 cm³
23. A) 1,92 m³
V1 = SBH
V1 = 0,40 X 0,40 . 2 => V
= 0,16 m³
1
2
V = 12 . 0,16 = 1,92 m³ => alternativa (a)
24. C) 27 000 l
25. A) 2 904 cm²
26. C) 840 litros
27. A) 167,46 cm³ (aproximadamente)
90
28. B) Sim; 23 cm³
29. C) 152.6 m³/h
30. D) 3.334,68 ml
31. 301 04 cm
32. 6028,8 I
33. 753.6 ml
34. 80 dias
35. 30l
.
.
(
2
5
)
².
60 .
.
V = 37.500 cm³
.
R² .
h =p
V =p
total
total
p
>
100%
37.500
.
.
>
80% .
.
100 .
V = 37.500 .
80 .
.
V = 30.000 cm³
V
Sendo 1.000 cm³ = 1 litro: V = 30 L
36. 8 700 p
cm³
.
.
(
1
6
)
².
100 - p
.
(
1
3
)
².
100 .
.
V = 8.700 p
cm³
V =V - V = V =p
barro
2
barro
barro
1
37. A) duas vezes maior
>
38. E) 10,32m²
Área do Retângulo => S = a . b = 12 . 4 => S = 48 m²
Área dos círculos => S = 3 . p
.
R² => S = 3 . 3,14 . (2)² => S = 37,68 m²
S=S-S
S = 48 - 37,68 => S = 10,32 m²
1
2
4m
1
2
>
>
>
12 m
39. D) 47,10 cm²
S
S
S
S
S
=
=
=
=
=
1
2
S-S
p
.
R² =>S = 3,14 . 1² =>S = 3,14
p
.
R² =>S = 3,14 . 4² =>S = 50,24
50,24 - 3,14
47,10 cm²
2
1
1
1
2
2
1
91
1
2
2
40. C) 89,13 cm²
6
S=p
.
3
² + 6 . 8 + (12 + 6) . 3
2
S = 9p
+
4
8
+
2
7
2
3
D
E
S = 9p
+
7
5
2
S = 9 . 3,14 + 75
2
S = 89,13
8
C
F
3
A
3
3
6
B
12
41. B) a²/4(4-p
)　B
A
AC ² =
a² +
a² =
2a ²
AC =
a 2
a 2
OC =
2
a
O
D
F
E
G
C
æ
a 2ö
÷
p
.ç
²
ç
2 ÷
p
.a ²
è
ø
Área do setor CFO:
=
8
16
a a
.
a²
Área do triângulo COE: 2 2 =
2
8
a ² a ² a ²(p
2)
Área da figura formada pelos pontos EFO: p
=
a
16 8
16
a² a²p
2a²
a²p
a ²p
a²
Logo, a área da figura hachurada vale: 8 =
+
=
a² +
a² =
2a ² =
(4 p
)
8 16 16
2
2
2
[
[
42. A) 20,3
F
A
4
E
2
G
6
H
B
2
(4 +
2).12 p
.4² p
.2²
S=
2
4
4
S=
36 4p
p
Þ
S=
36 5p
S=
36 5.3,14 Þ
20,3
4
C
D
43. A) 21 m²
V=
3² 2.1.1.3
V=
27 6Þ
V=
21
92
44. C) 244
S=
2(4.2 +
3.2 +
7.2) +
2(13.7 3.5) +
5.2 +
13.2
S=
244
45. D) 7 232cm³
V=
20³ 8.8.12 =
8000 768 =
7
V=
232cm²
46. B) 2 200
V=
Sb .h
d=
2m
r=
1m
h=
0,70m
V=
p
.1².0,70 =
0,70p
=
2,198m³
1m³ =
1000l \
2,198m³ =
2,198l Þ
alternativa (b)
47. A) 150 720l
R=
3m
h=
6m
V=
p
r ²h
8
V=
p
.9.6 =
169,56m³ =
169.560l Þ
de168.560l
9
48. B) 3/2
h=
dÞ
h=
2r
ST 2p
r (h +
r) h +
r
ST 3r 3
=
=Þ
=
=
SL
2p
rh
h
S L 2r 2
alternativa (b)
49. B) 12p
m²
h H=
R=
3r
3
S=
2p
r (h +
r) =
8p
r² =
16p
R=
2m h =
2 2m
S=
2p
rh =
2p
2 .3 2 =
12p
m²
93
50. C) 5p
V=
V1 +
V2
2
1ö
æ
V1 =
p
.4 =
p
ç
÷
2ø
è
V1 =
p
r22 h 2 Þ
S2 =
p
.2 2.12 =
4p
\
V=
p
+
4p
=
5p
Þ
alternativa (c)
51. A) 18p
m³ por hora
V=
p
r 2h
V=
p
.32.10 =
90p
m3
O reservatório recebe água à razão de
18p
m 3 por hora
90p
m 3 por hora ou seja
5
52. C) 9
V1 =
p
r 2h
V2 =
p
(3r ) 2 h =
9p
(r ) 2 h
53. D) 14 400
4
r=
m
p
h=
3m
2
4 ö
æ
v=
p
r h=
p
.ç÷
3=
16.3 =
48m 3
p
è
ø
30%.48 =
0,3.48 =
14,4m³ =
14.400l
2
54. A) 80 cm³
V=
p
r 2h =
p
.(0,4) 2 .8 Þ
V@
4,0cm3
Vcaixa @
20.4,0 =
80cm3
55. B) 9,42
d=
2cm
h=
8cm
V=
p
r 2h =
p
.12.3cm3
V=
9,42cm3 =
9,42ml
94
56. A) 30p
cm³ ou 94,20 cm³
D=
2R Þ
6=
2R Þ
R=
3cm
R
p
.R 2 .h
p
.32.10
V= Þ
V=
3
3
V=
30p
Þ
V=
30.3,14 Þ
V=
94,20cm3
h
g
57. 6 cm
58.E) v=370／
3p
ml ou 387,26 ml (aproximadamente)
10p
10p
VT =
Vcopo =
(4 2 +
32 +
4.3) =
(16 +
9+
12)
3
3
370p
370.3,14
VT =cm3 Þ
VT = Þ
VT =
387,26ml
3
3
8
4
10
3
6
59.E) 3L/2
l l l 3l
+
+
=
2 2 2 2
l
l
l
2
l
2
l
2
l
95
60. A) 2/3 dm
A
B
1
2
1-x
Q
x
P
1
1
2
1+
1x 1 2x
. =
2
2
4
1
x
Área do triângulo BCP: .x.1 =
2
2
2x 2.x
2
=
\
x=
dm
Então:
4
2
5
Área do trapézio ABPQ:
C
D
61. B) 6 cm
(
AA' ')
=
4,9
AA' ' =
6cm
62. B) 6
63. A) 2
A
1
1
At =
.1 .1 +
.1 .3 =
2
2
2
1
B
1
D
3
C
64. A) Área verde= 19 202, Área amarela=4 948 e porcentagem=17%
17
53
140 cm
53
0
53
53
AI (retângulo ) =
200.140 =
28000
106.166
AII (losango) = =
8798
2
22 2
AIII (círculo ) =
.35 =
3850
7
28000 8798 =
19202cm²
a) Área Verde =
b) Área Amarela =
8798 3850 =
4948cm²
17
N
17
83
83
17
200 cm
96
65. D) 100
x
x
2
3
x 6+
x
3+
=
2
2
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
x
3+
2
2
6+
x ö2
æ
=
3 +
x2 Þ
x=
4
ç÷
2
èø
4
raio =
3+
=
5
2
Lado do quadrado: l =
10
área : 10.10 =
100
66. A) 1
(
2)
=
l +
l
2
2
2
l=
1cm
2
l
área assinalada
A=
1.1 =
1cm²
l
67. A) 2(2p
- 3√3)
Apótema do hexágono é:
l 3
l 3
a6 =
Þ
3=
Þ
l=
2cm \
r=
2cm
2
2
AC =
p
.2 2 =
4p
cm 2
3 .2 2 3
Ah = Þ
Ah =
6 3cm 2
2
área sombreada:
Ah =
4p
6 3Þ
Ah =
2(2p
3 3 )cm²
p
68. A) 9 +
2
área I:
III
1
3.1 =
3
área II: 2.3 =
6
1
2
.1 p
área III: p
=
2
II
4
3
2
pp
AT =
3+
6+
=
9+
2
2
1
1
I
3
97
69. A) área do retângulo inicial= 2 625 cm² e x=153
área do retângulo =35x75=2 625 cm²
área do quadrado de lado x e x²
área do retângulo -4x2=1 725
2 625- -4x2 =1 725
X2=225=15
70. C) 2
a.a a 2
A1 =
=
2
2
a
1
b
a
x
2
x
a
a2 =
x2 +
x2 Þ
x=
2
a a
.
a2
2
A2 = 2 Þ
A2 =
2
4
2
a
A1
2 =
Razão :
=
2
A2 a 2
4
71. C) 50 e 100
c) O comprimento de uma circunferência de raio r é 2pr. Assim, em cada volta, André percorre
2p ×100m=200pm.
Logo, o número de voltas que André precisa dar é 42000 /200p = 210/p. Podemos agora finalizar o problema
de duas maneiras:
1a) A aproximação de p até a segunda casa decimal é 3,14. Daí, 210/ p =210/3,14= 66,878 =66,88 . Como
66, 88 está entre 50 e 100, a opção correta é C.
2a) Como 3 < p < 4 segue que 1/ p <1/ 3S e 1/4 <1/ p. Multiplicando ambos os lados dessas desigualdades
por 210 obtemos:
210/ p <210/3=70 e 210 /4< 210/p. Como 210 /4= 52,5, concluímos que André deve dar entre 53 e 70
voltas na pista para percorrer 42000m.
72. D) 264000 km
O enunciado diz que 1real = 275×107 cruzados. O salário de João é 640 reais, o que é equivalente a
640×275×107=176.000×107=176×1010 cruzados. O número de pilhas de 100 notas que se podem fazer
com este número de notas de 1 cruzado é
76x1010
=
176
10 2
Como cada uma destas pilhas tem altura 1,5 cm, a altura de todas elas é 1,5×176×108=264×108 cm.
Lembramos agora que 1 km=1000m=103m e 1m=100 cm=102 cm, donde 1 km=103×102=105 cm . Logo
uma pilha de 264×108 cm tem de altura.
98
GEOMETRIA
O eixo da geometria deve propor um trabalho que propicie aos aprendentes o
reconhecimento de figuras por aspectos no nível simbólico e de identificação de
características das figuras numa articulação e dedução de relações pertinentes às
propriedades das figuras na consolidação inclusive de conceitos anteriores como os de
congruência, semelhança, proporcionalidade, teoremas de Tales e de Pitágoras, que vem
sendo trabalhado desde o ensino fundamental. É importante que o professor possa fazer as
construções com régua e compasso explorando as propriedades inerentes às construções de
retas paralelas, perpendiculares, mediatriz, bissetriz e polígonos regulares.
Ensinar geometria como modelo e forma de representar nas Artes, por exemplo,
deve ser um momento especial para desenvolver habilidades ligadas à percepção espacial e a
percepção visual das cores, das formas, numa construção de conceitos em que articula a
geometria com outros eixos e áreas da matemática. A geometria é fundamental para que
possamos compreender o espaço em que vivemos, ela nos proporciona o desenvolvimento de
capacidades de visualização espacial e as várias formas de representar; evidencia conexões
matemáticas quando bem exploradas e pode ser utilizada inclusive para ilustrar aspectos da
história e da evolução da matemática.
Na perspectiva da geometria analítica numa articulação da geometria x álgebra
explorando retas e circunferências chamando atenção para as equações deduzidas e fazendo a
transposição didática no sentido geométrico e observando os parâmetros e como funciona sem
deixar de lado as relações entre coeficientes da equação de retas e suas posições relativas na
perspectiva vetorial para verificar as posições relativas de retas e circunferências: de pontos de
vista algébrico e geométrico. Ao introduzir vetor é importante estudar seu conceito e as
operações de soma de vetores e multiplicação por escalar e apresentar o ponto de vista
geométrico (lugar geométrico) sem desconsiderar o ponto de vista algébrico, a fim de fornecer
o papel da generalização ao trabalho.
Descritores da Matriz de Referência de Pernambuco (SAEPE) 3° ANO
Eixo: Geometria/ Espaço e Forma
D1 – Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de
proporcionalidade.
D2 – Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema
que envolva figuras planas ou espaciais.
D3 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.
D4 – Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa
em um problema.
D5 – Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno,
cosseno, tangente).
D6 – Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.
D7 – Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.
D8 – Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um
ponto e sua inclinação.
D9 – Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a resolução
de um sistema de equações com duas incógnitas.
D10 – Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam
circunferências.
101
EIXO: GEOMETRIA
01. D) 25 cm
Sejam: O o centro da circunferência e M o ponto médio de AB. No triângulo retângulo OMA temos OA = R,
MA = 20 e OM = 40 – R. O teorema de Pitágoras fornece R = 25.
02. C) 90
As figuras possuem um total de 12 X 5 + 20 X 6 = 180 lados. As costuras são 90.
03. Ð
ACB =
30o
O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto médio do
lado AC. Se AOI = 45 , quanto
a
mede, em graus, o ângulo ACB?
B
I
A
O
C
0
BAI =
Ð
OAI, então
ABI =
Ð
AOI =
45 e Ð
Como ABC é um triângulo retângulo, então AO = BO = CO. Se Ð
ACB =
30o
? ABI ≡ ? AOI (ALA). Com isso, AB = AO = BO, e portanto, triângulo ABO é eqüilátero. Assim, Ð
04. C) 45
05. D) 5/4
b
Como AE = BE = CE, então o triângulo ABC é retângulo em B. Dessa forma, podemos escrevera
= 90º. Como
ECB =
Ð
=
b
CED =
Ð
=
80º . Logo, como Ð
CE = CD, obtemos ÐCDE
,
CED é ângulo externo ao triângulo BEC eÐEBC
a
5
=
=
50º . Portanto,
CED =
b
+
b
\
2b
=
80º\
b
=
40º e a
concluímos queÐ
a
b
4
06. A) 36º
Seja J a interseção dos segmentos BC e FG. Como M é ponto médio do segmento BC, oposto ao vértice E,
FGE =
Ð
BMF =
90°
conclui-se que EF é diâmetro, e Ð
. Sendo ABCDE um pentágono regular,Ð
ABC =
108°
NO D
GHI : Ð
GHI =
a
Þ
Ð
GIH =
90°
a
NO D
BJH : Ð
BHJ =
a
Þ
Ð
BJH =
72°
a
NO D
FJM : Ð
FJM =
72°
a
Þ
Ð
JFM =
18°
+
a
¹
18°
+
a
Para que os triângulos EFG e HIG sejam semelhantes, como a
a única possibilidade é termos
90°
a
=
18°
+
a
Û
a
=
36°
102
EIXO: GEOMETRIA
07. C) 42º a
180(5 2)
ABˆ C =
BCˆ D =
=
108°
.
5
180 48
ABˆ F =
60°
, FBˆ C =
48°
, BCˆ F = =
66°
.
2
FCˆ D =
108°
66°
=
42°
.
08. A) 750 m
a
No momento do primeiro cruzamento, Esmeralda e Jade percorreram a distância total igual à metade da
extensão da pista. Entre o primeiro e o segundo cruzamento, as moças percorreram uma distância total igual à
extensão da pista. Portanto Esmeralda correu o dobro da distância que correu até o primeiro cruzamento, ou
200 =
400 metros e, deste modo, a extensão da pista é 400 + 350 = 750 m.
seja, 2 ×
Até o primeiro
encontro
Entre o primeiro e
o segundo encontro
09. D) 2
AG 1
AF 1
=
=
AD 2
AB 2
Ð
DAB =
60º +
Ð
GAB =
Ð
GAF Û
D
DAB »
D
GAF, com razão de semelhança 2.
Portanto
BD
=
2.
FG
10. A) 2 39
3
Sejam A' o ortocentro do triângulo BCD e D' o ortocentro do triângulo ABC.
Como as retas CD' e BD são ambas perpendiculares a AB, são paralelas.
C
A’
Analogamente, as retas BD' e CD são paralelas. Logo o quadrilátero BDCD'
é um paralelogramo e, portanto, os triângulos BCD e BD'C são congruentes.
D’
Da
mesma maneira, as retas AB e CA' são paralelas, pois são perpendiculares
D
a BD. Analogamente, as retas AC e BA' são paralelas. Logo o quadrilátero
60
CABA' é um paralelogramo e, assim, os triângulos ABC e A'CB são congruentes.
B
Consequentemente, os quadriláteros ABDC e A'CD'B são congruentes, de
modo que a distância entre os ortocentros A'D' é igual a AD.
o
A
Devemos, então, calcular AD. Como os ângulos ABˆ D e ACˆ D são ambos retos, somam 180º e, portanto, o
quadrilátero ABCD é inscritível, sendo AD diâmetro de seu circuncírculo.
103
EIXO: GEOMETRIA
C
3
D
60º
A
B
4
2
2
o
2
2
2
2
1
2
AB +
AC 2×
AB ×
AC ×
cos 60 Û
BC =
4 +
3 2×
4×
3 ×Û
BC =
13
Pela lei dos co-senos, BC =
BC
sen60
13
2 39
3
Enfim, pela lei dos senos, AD =
2 R =o
=
= e, portanto, a distância entre os ortocentros é
3
2
2 39
3
Sejam A' o ortocentro do triângulo BCD e D' o ortocentro do triângulo ABC.
C
y
A’
D’
D
60º
A
B
x
æ
3 3 3ö
÷
÷
è ø
ç
;3sen60o
)=
;
Sejam A = (0;0) e B = (4;0). Sendo AC = 3 em (BÂC) = 60º, podemos supor que C = (3 cos 60o
ç
2 2
3
2
Como a reta CD' é perpendicular ao eixo x, admite equação x =
Além disso, sendo a reta BD' perpendicular à reta AC, de coeficiente angular tg 60o
=
3 seu coeficiente
angular é
1
3 ö
a0
1
5 3
æ
. Logo, sendo D ' =
,
.
;a÷
=
Û
a=
ç
3
2 ø
4
6
3
3
è
2 -
æ
3 3ö
ç2 ÷
è ø
ç
÷
Calculemos agora A'. Como A' pertence à perpendicular a BD por C, então A' =
. A reta CD é
b;
1 . Enfim, sendo A'B perpendicular a CD, tem
3
3 3
1
0
11 .
coeficiente angular
. Deste modo, 2 =
3
=
3Û
b=
1
b4
2
3
perpendicular a AC e, portanto, tem coeficiente angular
2
Logo a distância entre os ortocentros A' e D' é
2
æ
11 3 ö
3 3 5 3 ö2 39
æ
ç÷
+
=
ç
÷
ç
2 2ø
2
6 ÷
è
è
ø 3
104
EIXO: GEOMETRIA
11. B)
O plano que secciona o cubo no item B é aquele que contém os segmentos que ligam os pontos médios
de arestas paralelas não coincidentes de duas faces adjacentes. Pode-se verificar que as demais planificações
não contém representações de interseções de planos com o cubo.
82
12. D) 9
2
1
1 80
æ1 ö6400
2
a
a 9
èa ø 81
1
1 82
>
0.
Assim, a +
=
, pois a +
a
a 9
2
æ1 ö 2
èa ø
1
a
6400
81
6724
81
2
82 ö
æ
9 ø
è
a+
=
a +
+
2 =+
4 ==
.
2=
a=, e logo ç
Temos a =
, donde a +
÷
ç
÷
ç
÷
2
2
13. A) 3024
Seja B o conjunto dos pontos de A cuja distância à origem é menor do que 5
e seja P = ( x; y ) um ponto de B.
3
y=
2; x, y ³
0 e que a distância x 2 +
Sabe-se que P está sobre o segmento x +
y 2 de P à origem é menor ou
igual a 5 . Portanto:
3
y=
2x
y=
2x
2 Û
25 Û
11
5
x2 +
44x +
x2 £ 2x2 4x +
£
0
x2 +
y2 £
3
9
9
x+
y=
2
(
)
11
4±
16 8
11
14
2
9 =
4x +
=
0 são x0 =
As raízes de 2 x 1 ±que nos dá os pontos extremos
9
4
6
æ 14
14 ö æ 14
14 ö
ç
÷
ç
÷
P1 =
1
;
1
+
P
=
1
+
;
1
e
de B. Pela inequação, temos que os pontos de B
2
ç6
÷ ç6
÷
6
6
è
ø è
ø
estão na reta x +
y=
2 , delimitados pelos pontos P1 e P2, logo B é o segmento de reta P1 P2 .
Queremos a probabilidade p de escolher um ponto do conjunto A estar contido no segmento, que é a razão
entre e o comprimento de A. Como A está delimitado pelos pontos e, seu comprimento vale. O comprimento
de B vale
14. E) 75º e 90º
Considere um quadrante AOB de raio 1 (ponha OA horizontal). Sobre OA considere os pontos M e N tais que
OM = 1/2 e ON = 1/4. Trace MC e NX perpendiculares a OA (C e X no arco AB). Assim, arcAC = 60º, arcAX = x
e cos x = 1/4. NX encontra a corda BC no seu ponto médio P. Considere o ponto Q do arco BC tal que PQ seja
perpendicular à corda BC. Assim, Q é médio do arco BC e, portanto, arcAQ = 75º. Logo x > 75º.
15. A) 270
Marque os ângulos opostos pelo vértice a x e a y. No pentágono com esses ângulos OPV marcados, a soma dos
ângulos internos será igual a 540º: x + y + 90º + 90º + 90º = 540º, então x + y = 270º.
105
EIXO: GEOMETRIA
16. E) 09h55 a
Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter as posições dos dois ponteiros. Fazendo isso para cada um
dos horários, lembrando que o ângulo entre dois números consecutivos do relógio é 30º:
- 02h30: o ponteiro maior está sobre o 6 e o menor está exatamente na metade entre o 2 e o 3. Logo o ângulo
entre eles será 3,5 ´
30º =
105º
11
12
1
10
2
8
4
9
3
5
7
6
- 06h20: o ponteiro maior está sobre o 4 e o menor está 1/3 de hora depois do 6. Logo o ângulo é
æ1 ö
2+
´
30º =
70º
ç
÷
è3 ø
11
12
1
2
10
9
3
8
4
5
7
6
- 05h40: o ponteiro maior está sobre o 8 e o menor está 1/3 de hora antes do 6. Logo o ângulo é
æ1 ö
2+
´
30º =
70º
ç
÷
è3 ø
11
12
1
2
10
9
3
8
4
7
5
6
- 09h55: o ponteiro maior está sobre o 11 e o menor está 1/12 de hora antes do 10. Logo o ângulo é
æ1 ö
1+
´
30º =
32,5º
ç
÷
12 ø
è
11
12
1
2
10
9
3
8
4
7
5
6
106
EIXO: GEOMETRIA
17. B) o dobro.
18. A) Os dois discos giram em sentidos opostos; quando um gira no sentido horário, o outro
gira no sentido anti-horário. Considerando que a engrenagem da esquerda girou um ângulo x
em um sentido, a engrenagem da direita girou o mesmo ângulo x no sentido oposto, e,
portanto, a bandeirinha ficou na posição mostrada na alternativa (A).
19. B) 12,1m
A distância entre dois postes consecutivos é 3,3m /3 = 1,1 mm, donde a distância entre o primeiro e o último
poste é 11×1,1m= 12,1m
P1
P3
P2
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
20. A) 576
Em cada caixote de madeira de dimensões a×b×c cabem, empilhados regularmente,
a b c
x x
l l l
cubos de lado l . No nosso caso, a = 60, b = 80, c = 120 e l = 20 . Como 60 , 80 e 120 são múltiplos de 20,
podemos encher o caixote sem deixar espaços
60 80 120
x x
=
72
20 20 20
20 . 20 . 20 caixas de papelão cúbicas de 20cm de cada lado. Logo, em cada caixote cabem 72× 8 = 576
latas de palmito.
21. C) a pista longa é cinco vezes maior que a curta
Solução 1 - Denotemos por x e y os comprimentos das pistas longa e curta,
respectivamente. Numa semana, ele corre 6 (x +2y) e na outra 7(x + y). Como, em cada semana,
ele corre os mesmos 5000m, temos: 6(x+2y)=7(x+y). Segue que 6x+12y=7x+7y, e portanto, 5y = x. Assim,
o comprimento da pista longa é cinco vezes o da pista curta.
Solução 2 - Na semana em que Joãozinho treinou sete dias, ele correu uma pista longa a mais e cinco pistas
curtas a menos do que a semana em que ele treinou apenas seis dias. Como a distância corrida foi a mesma
nas duas semanas, concluímos que o comprimento da pista longa é igual ao comprimento de cinco pistas curtas.
22. D) 5
Solução 1 – Desenhando o cubo e numerando seus vértices de acordo com o enunciado da questão, obtemos a
figura abaixo, onde podemos ver que o vértice 5 é o mais distante do vértice 6.
4
8
3
7
O vértice 6 está nas faces {1, 2, 6, 7}, {1, 4, 6, 8}e {3, 4, 6, 7}. Como nestas faces
não aparece o 5, segue que este é o vértice diagonalmente oposto ao 6, ou seja,
o 5 é o vértice mais distante do 6.
1
6
5
2
107
EIXO: GEOMETRIA
23. E) 7
O segmento CF, que queremos calcular, é um cateto do triângulo retângulo CDF. O teorema de Pitágoras,
aplicado a este triângulo, diz que CD2=CF2+FD2=CF2+242 e daí tiramos CF2=CD2- 242. Ou seja, para achar
CF basta conhecer CD. Como os lados opostos de um retângulo (e, mais geralmente, de um paralelogramo) são
iguais, temos CD = AB, e nosso objetivo passa a ser o cálculo de AB.
Para isso, olhemos para o triângulo ABE; sua área é 15 AE×BE/2=15 ×BE/2=150 , donde tiramos BE = 20.
O teorema de Pitágoras aplicado a este triângulo nos dá AB2= AE2+BE2=152+202=625=252, donde AB = 25.
Logo CD= AB=25 e, de acordo com nossa observação anterior, temos
CF2=CD2- 242=252- 242=(25+24)(25- 24)=49. Obtemos então CF = 7. Notamos que a solução independe
da medida dos lados AD e BE.
24. A) 200 cm²
A figura dada pode ser decomposta em quatro figuras iguais à figura ao lado. Para calcular a área do triângulo
escolhemos como base o lado BC; a altura correspondente é então AE. Como os azulejos são quadrados de lado
10cm, segue que AE=BC=10cm, e a área do triângulo BCE é
10 x10
=
50cm 2
2
basexaltura 2. Logo, a área da região hachurada é 4×50=200cm²
cm
2
A
B
E
C
D
25. C) 64p
26. B) 13m
27. D
28. D) 6
4 3
29. C) 4 +
3
108
Fórmulas de Geometria Espacial
Prismas
2
l
3
A BD
=
4
2
A BQ =
l
ABH
A LD
=
3l
.h
A LQ = 4 l
.h
2
l
3
= 6.
4
A LH = 6l
.h
AT =
AL +
2. AB
V =
AB .h
Paralelepípedo
Cubo
AB =
a. b
2
AF =
l
AT =
2ab +
2bc +
2 ac
2
AL =
4l
V=
a. b. c
2
AT =
6l
D=
a2 +
b2 +
c2
3
V=
l
d face =
l
2
Dcubo =
l
3
Pirâmides
ap ² =
h² +
k²
l²
a² =
ap ² +
2
a² =
h² +
R²
AL =
p.ap
AT =
AL +
AB
AB .h
V=
3
Tetraedro
a2 3
AF =
4
a3 2
V =
12
a2 3
AL =
3.
4
2
AT =
a 3
a 6
h=
3
Obs: K = h do
triângulo equilátero
109
Cilindro
V=
AB . h =
p
r 2h
AB =
p
r2
AL =
2p
rh
AT =
2p
r2 +
2p
rh
AS =
2 rh
Equilátero ®
h=
2r
Cone
AB . h p
r 2h
V ==
3
3
AL =
p
rg
AS =
rh
AT =
p
r2 +
p
rg
g2 =
r2 +
h2
AB =
p
r2
Equilátero ®
g=
2r
Identidades trigonométricas
sen( x)
1) tg ( x) =
cos( x)
cos( x)
2) cot g ( x) =
sen( x)
1
3) sec( x) =
cos( x)
1
4) cos ec( x) =
sen( x)
p
Relação válida para todo x ¹
+
kp
2
kp
p
+
kp
2
kp
5) sen 2 ( x) +
cos 2 ( x) =
1
110
Fórmulas da adição
6)
7)
8)
9)
sen(a +
b) =
sen(a ). cos(b) +
sen(b). cos(a )
sen(a b) =
sen(a ). cos(b) sen(b). cos(a )
cos(a +
b) =
cos(a ). cos(b) sen(a ).sen(b)
cos(a b) =
cos(a ). cos(b) +
sen(a ).sen(b)
ì p
p/ a ¹
+
kp
ï
2
ï
tg (a ) +
tg (b)
ï p
10) tg (a +
b) =
p/ b ¹
+
kp
í
1tg (a ).tg (b) ï 2
p
ï
p/ (a +
b) ¹
+
kp
ï
2
î
ì p
p/ a ¹
+
kp
ï
2
ï
tg (a ) tg (b)
ï p
11) tg (a b) =
p/ b ¹
+
kp
í
1+
tg (a ).tg (b) ï 2
p
ï
p/ (a b) ¹
+
kp
ï
2
î
As fórmulas acima são verdadeiras para arcos positivos, cuja soma
pertence ao primeiro quadrante.
Fórmulas da multiplicação
12) sen(2 x) =
2.sen( x). cos( x)
13) cos(2 x) =
cos 2 ( x) sen 2 ( x)
2.tg ( x)
14) tg (2 x) =2
1tg ( x)
Fórmulas da transformação em produto
x+
y öæ
xyö
æ
15) sen( x) +
sen( y ) =
2.senç ÷
. cosç ÷
2 øè
2 ø
è
xy öæ
x+
yö
æ
16) sen(x) - sen(y) =
2.senç ÷
. cosç ÷
2 øè
2 ø
è
x+
y öæ
xyö
æ
17) cos( x) +
cos( y ) =
2. cosç ÷
. cosç ÷
2 øè
2 ø
è
x+
y öæ
xyö
æ
18) cos( x) cos( y ) =
2.senç ÷
.senç ÷
2 øè
2 ø
è
111
ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE
E COMBINATÓRIA
Descritores da Matriz de Referência de Pernambuco (SAEPE)
D34 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
D35 – Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que
as representam e vice-versa.
Seja capaz de estabelecer o modelo matemático que permita determinar a
probabilidade de ocorrência de um evento.
Identificar a probabilidade de união e da intersecção de eventos, os eventos disjuntos e o
conceito de independência de eventos.
115
EIXO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA
01. D) 36
Imagine que B esteja a direita de A. O gafanhoto deve, em alguma ordem, dar 7 pulos para a Direita e 2 para
a Esquerda. Uma trajetória possível é, por exemplo, DDDEDDEDD. O número de listas deste tipo é C92 =
36
02. D) 16
Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É
fácil ver que
20
80
.P =Þ
.I P =
4I .
100
100
80
100
I -=
.I 84 Þ
I=
20. Com isso, o número de funcionários que falam as duas línguas é
Além disso, 4 I +
80
.I =
16.
100
03. C) 75l
Inicialmente, há 90kg de água e 10kg de matéria sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto em que
esses 10kg representem 100% - 60% = 40% da massa total, ou seja, até que a massa total seja igual a
10
10
=
=
25kg. Logo 90 – (25 – 10) = 75Lde água serão evaporados.
40% 0,4
04. D) 5
Note que todos os cartões deixam resto 3 na divisão por 5. Então, para que a soma dos cartões seja 100, que é
múltiplo de 5, precisamos de pelo menos cinco cartões. Rafael pode escolher 3, 13, 23, 28 e 33, assim a
resposta é 5.
05. D)
26!26!
13!39!
Vamos contar o número de distribuições em que Arnaldo não recebe nenhuma carta de espadas. Como há 39
39 ö
æ
ç
13 ÷
è
ø
cartas não-espada, temos ç
modos de escolhermos as cartas de Arnaldo. Depois disso, temos também
÷
39 ö
26 ö
æ
æ
modos de escolhermos as cartas de Bernaldo (as cartas dele podem ser de espadas) e ç
modos de
ç
÷
÷
ç
÷
ç
÷
13
13
è
ø
è
ø
escolhermos as cartas de Cernaldo. Por último, só teremos 1 maneira de escolhermos as cartas de Dernaldo
39 ö
39 ö
26 ö
æ
æ
æ
13 ø
13 ø
13 ø
è
è
è
÷
ç
÷
ç
÷
×
×
×
1 distribuições em que Arnaldo não
(ele ficará com as cartas que sobraram). Logo, há ç
ç
÷
ç
÷
ç
÷
recebe cartas de espadas. De modo análogo, contando as distribuições em que nem Arnaldo nem Bernaldo
39 ö
26 ö
26 ö
æ
æ
æ
ç
ç
ç
13 ÷
13 ÷
13 ÷
è
ø
è
ø
è
ø
recebem cartas de espadas, obtemos um total de ç
÷
ç
÷
ç
÷
×
×
×
1 distribuições. Logo, a probabilidade é:
39 ö
26 ö
26 öæ
26 ö26!
æ
æ
æ
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
×
×
×
1
ç
ç
ç
ç
13 ÷
13 ÷
13 ÷
13 ÷
26!26!
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
13!13! =
=
=
39 ö
39 ö
26 ö æ
39 ö39!
39!13!
æ
æ
æ
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
×
×
×
1 ç
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
13!26!
13 ø
13 ø
13 ø è
13 ø
è
è
è
116
06. C) 30 ou (D) 60 ambas devem ser consideradas como resposta correta
C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para
pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso pode ser
feito de
4´
3´
2´
1
=
6 maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se
4
verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há
5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 5 ´
6=
30 cartões
diferentes.
D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir
por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.
07. E) 729
Seja abcd um número paladino. Temos 9 possibilidades para escolhermos o dígito a, 9 para escolhermos b e 9
para escolhermos c. Uma vez escolhidos esses dígitos, devemos escolher o dígito d de modo que o número
formado seja múltiplo de 9. Mas, só haverá um modo de escolhermos d: se a + b + c deixar resto r na divisão por
9 (com 0 £
r£
8) , devemos escolher d = 9 – r. Logo, a quantidade de números paladinos é 9 x 9 x 9 x 1 = 729.
08. D) 512
Formaremos a fila da seguinte maneira: inicialmente, posicionamos a pessoa mais alta. Então, a segunda
pessoa poderá ocupar qualquer um dos dois lados em relação à primeira pessoa, de modo que há 2 modos da
segunda pessoa ser posicionada. A terceira pessoa mais alta pode ser colocada em ambos os lados da fila então
formada, tendo também 2 modos de entrar na fila. De um modo geral, cada pessoa terá dois modos de se
posicionar na fila,escolhendo uma das duas extremidades. O total de posicionamentos feitos dessa forma é
1x 29 =
512
09. A) 191
20 ö
æ
20.19
÷
==
190
Escolha 20 das cidades do país. Ligando duas quaisquer delas por uma estrada, utilizaremos ç
ç
2 ÷2
è
ø
estradas, e a cidade restante não poderá ser alcançada de automóvel. Logo se deve construir pelo menos 191
estradas. Vamos mostrar que com essa quantidade é possível atingir nosso objetivo.
Suponha que n = 191, mas que seja possível dividir as cidades do país em dois grupos A e B, digamos com
a e b cidades, respectivamente, de tal sorte que nenhuma cidade de A possa ser alcançada de automóvel a
aö
bö
æ
æ
÷
ç
÷
+
partir de qualquer cidade de B. Então o número de estradas no país é no máximo ç
, de modo que
ç
ç
2÷
2÷
è
ø
è
ø
aö
bö
æ
æ
ç
÷
ç
÷
+
³
191 ou ainda, (a2 + b2) – (a + b)
ç
÷
ç
2ø
2÷
è
è
ø
≥　2.191 = 382.
Como a + b = 21, segue da inequação acima que a2 + b2
2
2
≥ 282 + 21 = 403.
2
(a +
b) (a +
b ) 441 403
£
=
19.
2
2
Mas, como a + b = 21 e a e b são naturais, temos ab ≥　1.20 = 20, uma contradição.
Logo ab =
Logo, se n = 191, sempre é possível viajar entre quaisquer duas cidades.
117
,
10. B) 504
Sejam a, b, c, d , e, f , g , h, i, os números ordenados assim: a > b > c > d > e > f > g > h > i.
a+
b+
c+
d+
e+
f+
g+
h+
i
Þ
9e =
a+
b+
c+
d+
e+
f+
g+
h+
i. Além disso,
9
a+
b+
c+
d+
e
=
68 Þ
a+
b+
c+
d+
e=
340, e também temos a seguinte equação,
5
Então, e =
e+
f+
g+
h+
i
e=
560 Þ
e=
56.
e+
f+
g+
h+
i=
220. Portanto, somando, obtemos 9e +
=
44 Þ
5
E assim, a soma desejada será 9e =
504.
11. B)120
Note que basta que o algarismo das dezenas do primeiro membro seja maior do que o algarismo das dezenas
6ö
æ
do segundo membro, que por sua vez, seja maior que o algarismo das dezenas do terceiro membro. Há ç
3÷
è
ø
maneiras de escolhermos três algarismos para serem os algarismos mais à esquerda dos três membros; o maior
vai para o primeiro membro, o do meio para o segundo membro e o menor, para o terceiro membro. Feito isso,
permutamos os outros três algarismos entre as unidades, obtendo 3! possibilidades. Assim, podemos preencher
6 ö 6×
æ
5×
4
×
3! = 120 maneiras.
è
ø 3!
a dupla desigualdade de ç
×
3! =
3÷
12. C)
1
2007
Dado que, após n dias, há uma ameba amarela e n amebas vermelhas, a probabilidade de uma ameba vermelha
n
. Logo a probabilidade de que a colônia tenha, após 2006 dias, exatamente uma ameba amarela
n+
1
1 2 3
2006
1
é ×××
¼
× =
2 3 4
2007 2007
se duplicar é
13. D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.
A alternativa D é correta, pois no semestre o faturamento de B foi de 860 milhões e o faturamento de A foi
maior que 860 milhões e menor que 880 milhões;
A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico fica claro que em nenhum dos meses o faturamento de A é o
dobro do faturamento de B;
A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença de faturamento entre as duas empresas foi mais de 80
milhões, maior do que a diferença em julho, que foi de 60 milhões;
A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que teve a maior queda de faturamento entre dois meses
consecutivos (100 milhões entre os meses de agosto e setembro);
A alternativa D é correta, pois no semestre o faturamento de B foi de 860 milhões e o faturamento de A foi
maior que 860 milhões e menor que 880 milhões;
A alternativa E é falsa, pois a diferença de faturamento no semestre foi menor que 20 milhões.
14. E) Controle de despejo industrial, Manejamento de lixo, Esgotamento sanitário
118
15. D) 8 e 10
16. E) a área preservada da Mata Atlântica nos anos 2000 e 2001 é maior do que a
registrada no período de 1990-1992.
17. C ) 25%
18. D) No semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.
Professor, com base no texto, você poderá fazer alguns questionamentos, como por exemplo:
& ;nbs p;
I - Qual é a cobertura da rádio experimental do CED-5 ?
II - Todas as estações móveis receberão o sinal emitido?
III - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base móvel da Prainha ?
IV - Em relação ao sistema de eixos montado, em que quadrante está localizada a base fixa do CED-5 ?
V - Unindo as coordenadas dos três Parques formamos um triângulo. Qual é o perímetro e a área deste triângulo?
(Para os cálculos deste item, utilize o critério de aproximação e o de truncamento com precisão de duas casas
decimais).
Professor, apresente aos seus alunos o software Google Earth que combina os sofisticados recursos de
pesquisa do Google com imagens de satélite, mapas, terrenos e edificações em 3D para colocar informações
geográficas do mundo todo à sua disposição. Comente sobre a relação que existe da localização de um ponto no
sistema de coordenadas cartesianas com a localização geográfica das cidades, ou seja, latitude e longitude. Faça
também um comentário sobre o que é o GPS, Sistema de Posicionamento Global, que é muito utilizado na
aviação, viagens marítimas e que hoje em dia começa a ser utilizado também em automóveis de passeio para
fornecer, através de mapas, a melhor rota para que um motorista possa se deslocar de um lugar a seu destino.
Sobre as coordenadas geográficas, mostre que elas sempre são mostradas à esquerda e na parte inferior
da imagem do local, como na figura abaixo. Aproveite para explicar o que é latitude e longitude.
Peça aos seus alunos que localizem a sua escola, copie a imagem e cole em um software gráfico e em seguida
peça a seus alunos que montem duas linhas perpendiculares e imprimam a imagem com o sistema de eixos
conforme a figura abaixo.
Peça para os alunos construírem uma
tabela com as coordenadas das bases
móveis que vocês podem definir em
conjunto.
119
Coordenadas no sistema de cartesiano
Sua escola
Primeira base móvel
Segunda base móvel
Terceira base móvel
Monte alguns questionamentos com base no proposto anteriormente e acrescente mais alguns com as
peculiaridades de sua região.
Discuta como calcular a distância entre as bases móveis e a base fixa?
Deduza a fórmula da distância a entre dois pontos e aplique a fórmula para responder às questões
colocadas acima.
Acessem o sítio http://www.ucs.br/ccet/deme/naem/seminarioiii/Geom/topicos_em_geometria.html e
leiam os itens Sistema Cartesiano Ortogonal, Eixos Coordenados, Plano Cartesiano e Distância entre dois Pontos.
Em seguida, peça a eles que acessem o sítio:
http://rived.proinfo.mec.gov.br/atividades/matematica/-batalha/barcos3.html para que possam exercitar mais
um pouco sobre distância entre dois pontos. Esta animação simula um jogo bem divertido. A animação trata de
uma perseguição de um navio pirata a navios comerciais, a animação ocorre em um sistema de coordenadas
cartesianas e para proteger o barco comercial, o aluno deverá calcular a distância entre os dois barcos para poder
dar um tiro de canhão. A animação tem diversos níveis:
Nível 1 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas
cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.
Nível 2 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas
cartesianas e os barcos são sempre em uma mesma linha ou mesma coluna.
Nível 3 – O posicionamento dos barcos é feito somente no primeiro quadrante do sistema de coordenadas
cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de
Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.
Nível 4 – O posicionamento dos barcos é feito nos quatro quadrantes do sistema de coordenadas
cartesianas e os barcos são colocados em linhas e colunas diferentes, forçando ao aluno utilizar o Teorema de
Pitágoras para solucionar o cálculo da distância.
Níveis 5 a 7 – Aparecerão três barcos: um pirata e dois “comerciais”. O barco pirata está perseguindo um
barco comercial e o outro barco comercial de v e proteger o outro comercial. Você calcular a distância do barco que
esta protegendo ao barco pirata utilizando o Teorema de Pitágoras. *
Professor, questione seus alunos se o método para calcular a distância entre os barcos, das figuras
abaixo, é o mesmo para cada uma delas.
* Trecho transcrito conforme texto encontrado no sítio www.htpp://portaldoprofessorhmg.mec.gov.br
120
Avaliação: A avaliação poderá ocorrer durante as atividades desenvolvidas na aula, observando a participação dos
alunos nas discussões e na atividade de consolidação dos conhecimentos, que é uma atividade de análise
envolvendo cálculo da distância entre dois pontos utilizando a imagem das redondezas de sua escola. Observe e
avalie a exploração e os comentários de seus alunos.
19. C) y = 2x -1
20. B) (9,16)
21. A) m = -2
22. C) m=-1/5
23. A) 2cm²/h
24. D) 30
25. E)
121
BIBLIOGRAFIA
BCHX, de POPPE, L. M. B. e TAVARES, R. N. O. – Prelúdio à análise combinatória. São
Paulo: Nacional, 1975.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática 3º e 4º ciclos. Brasília: MEC,
SEF 1998.
BRASIL, MEC, PREMEN – Universidade Federal do Ceará, 1975.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio + (PCNEM+) – Ciências da Natureza, Matemática
e suas Tecnologias. Brasília: MEC - SEMTEC, 2002.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares
para o Ensino Médio - Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília:
MEC-SEB, 2006.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo – Matemática Para Todos. São Paulo: Editora
Scipione, 2002.
LONGEN, Adilson. Uma atividade humana, 1ª edição, coleção matemática, Curitiba:
Editora: Base, 2003,
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Base Curricular Comum para as Redes Públicas
de Ensino de Pernambuco-Matemática. Recife: SE, 2008.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Orientações Teórico-Metodológicas do Ensino
Médio - Matemática. Recife: SE, 2008.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática - volumes
1,2 e3 –Ensino Médio- 3ª edição reformulada-São Paulo: Saraiva, 2003.
VASCOCELLOS, M. J. C.; ESCORDAMAGLIO, M. T. – PROJETO ESCOLA E CIDADANIA
PARA TODOS. São Paulo: Editora do Brasil, 2004.

Matemática - RedeCompras - Governo do Estado de Pernambuco

Transcrição

Documentos relacionados

Prova - Vestibulinho Etec

Tubo para Bombas Peristálticas em Processos Bio

61 questões de Geometria Plana

Capítulo 08 - ComSizo.com.br

Soluções - Clube do Professor

1. Escreva o que é um triângulo: a) Acutângulo: b) R

1. A. Quais são os senos de 30º, 150º, 210º e 330º? Quais são seus

centro de ensino faria brito__coordenação de ensino fundamental

Regras de Conversão de Unidades

jardim i - Cantinho Mágico