2ª lista - Departamento de Matemática - PUC-Rio

Departamento de Matemática PUC-Rio
Disciplina:
Professores:
MAT1202 Álgebra Linear II
Christine e Pablo
2a Lista de Exercícios
Obs.: Alguns exercícios foram retirados do livro Linear Algebra and its Applications
(STRANG, G. Linear Algebra and its Applications; San Diego: Harcourt Brace Jovanovich, 1988) e do livro Álgebra Linear com Aplicações (ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra
Linear com Aplicações; Porto Alegre: Bookman, 2004) com algumas adaptações.
1. Quais das três matrizes elementares E21 , E31 , E32 transforma A em uma matriz
triangular superior? Escreva a decomposição A = P LU .
Obs.: Eij expressa a operação elementar li ← li + klj .


1 0 1


A= 2 2 2 
3 4 5
2. Use a decomposição P LU para resolver os sistemas lineares.



x+y+z = 5
x + 2y + 3z = 7
(a)


x + 3y + 6z = 11
(b)



x+y+z = 5
y + 2z
= 2


2y + 5z
= 6
3. Para qual valor de c não existe decomposição LU da matriz A? Por que não existe
essa decomposição? Qual é valor de c que anula o terceiro pivô?


1 c 0

A= 2 4 1 

3 5 1
4. Justique por que o determinante de uma matriz An×n que admite fatoração LU é
det(A) = det(U ). E se A é escalonada usando somente permutação e substituição
de uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra, sendo fatorada na forma
A = P LU ?
5. Encontre condições para a, b, c e d de modo a obter A = LU .




A=
a
a
a
a
Calcule o det(A).
1
a
b
b
b
a
b
c
c
a
b
c
d





6. Encontre uma base para o espaço-linha, para o espaço-coluna, para o espaço-nulo
da matriz A e para o espaço-nulo da matriz transposta. Para os subespaços N (A)
(nulo de A) e N (AT ) (nulo da transposta de A) determine as equações cartesianas
e paramétricas.


1
4
5
6
9
 3 −2
1
4 −1 



A=
 −1
0 −1 −2 −1 
2
3
5
7
8
7. Encontre uma base do subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, −4, −3),
v2 = (2, 0, −2, 2) e v3 = (−2, 1, 3, 2). Qual a dimensão desse subespaço?
8. Discuta o posto da matriz A em função do parâmetro t ∈ R e determine a dimensão
do espaço coluna de A e do espaço nulo de A de acordo com a variação de t.


1 1 t


A= 1 t 1 
t 1 1
9. Expresse por uma lei a transoformação TA . Essa transformação TA é injetiva? TA é
sobrejetiva?


1 4 −1

1 
A= 1 2

−1 1
0
10. Seja T : R3 −→ R3 uma transformação linear denida por:
T (x, y, z) = (x − y, y − x, x − z)
Encontre a matriz de T em relação a base {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}. Apresente o
espaço coluna de A e o espaço nulo de A.


3 −2 1 0

6 2 1 
11. Seja A =  1
 a matriz da transformação linear de T : R4 −→ R3 em
−3
0 7 1
relação as bases {(0, 1, 1, 1), (2, 1, −1, −1), (1, 4, −1, 2), (6, 9, 4, 2)} e {(0, 8, 8), (−7, 8, 1), (−6, 9, 1)}.
O vetor (2, 2, 0, 0) ∈ espaço coluna de A? T é injetiva?
2