PDF 5.3 Mb - CPGG-UFBA - Universidade Federal da Bahia

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
GEO213 TRABALHO DE GRADUAÇÃO
OTIMIZAÇÃO EMPÍRICA DE
COEFICIENTES NA PARAMETRIZAÇÃO
POR SÉRIE ONDALETA HAAR DE
CAMPOS DE VELOCIDADES SÍSMICAS
ALEXSANDRO GUERRA CERQUEIRA
SALVADOR BAHIA
ABRIL 2013
Otimização Empírica de Coecientes na Parametrização por Série Ondaleta
Haar de Campos de Velocidades Sísmicas
por
Alexsandro Guerra Cerqueira
Orientador: Prof. Dr. Wilson Mouzer Figueiró
GEO213 TRABALHO DE GRADUAÇÃO
Departamento de Geofísica
do
Instituto de Geociências
da
Universidade Federal da Bahia
Comissão Examinadora
Dr. Wilson Mouzer Figueiró - Orientador
Dr. Milton José Porsani
Dr. Paulo Eduardo Miranda Cunha
Data da aprovação: 08/04/2013
Dedico este trabalho à minha
família.
RESUMO
O objetivo deste trabalho é representar, através de parâmetros numéricos, campos bidimensionais de velocidades sísmicas compressionais advindos de modelos geológicos. Tais
parâmetros são os coecientes de uma série de funções denominada ondaleta ("wavelet")
Haar. Foram considerados os seguintes modelos: Discordância Angular, Horst do Recôncavo
Baiano, "Salt Bag", Anticlinal e Pré-Sal. Devido à diferença de dimensão entre o campo
a ser parametrizado e as funções da base ondaleta utilizada, uma estratégia de redução de
dimensão foi aplicada ao campo, que se restringiu a uma malha senoidal renada que foi a
ele sobreposta. Uma grande quantidade de coecientes foi necessária para parametrizar, de
modo satisfatório, os campos de velocidades provenientes dos citados modelos. Visando reduzir o número de parâmetros, aplicou-se, de modo empírico-computacional, um ltro passa
alta ("high pass") sobre os coecientes da série ondaleta, com a nalidade de suprimir valores nulos ou relativamente pequenos, que pouca ou nula inuência têm na resolução da
imagem gráca do campo. Resultados, obtidos em experimentos numéricos, demonstraram,
plenamente, a possibilidade de realização da parametrização ondaleta dos campos propostos,
entretanto, faz-se ainda necessário o aperfeiçoamento do método proposto e realização de estudos visando descobrir outras técnicas capazes de reduzir parâmetros sem perda signicativa
na qualidade da imagem do campo.
iii
ABSTRACT
This work has as objective the representation, by means of numerical parameters, of twodimensional (2D) compressional seismic velocity elds originating in geological models. These
parameters are the coecients of a series of functions so-called Haar wavelet and the following geologic models were considered: Angular Unconformity, Recôncavo Baiano Horst,
Salt Bag, Anticline and Pre-Salt. Due to the dimension dierence between the velocity eld
and the used function basis, a strategy for dimension reduction was applied to the eld,
which was restricted to the knots of a sinusoidal mesh that was superimposed on the eld. A
large amount of coecients has been necessary to parameterize satisfactorily, the veolocity
elds from the above mentioned models. In order to reduce the number of parameters was
applied, in an empirical computational sense, a high pass lter on the set of wavelet coecients of the series, to suppress nulls or relatively small among them, these have little or no
inuence on the image resolution graphics eld. Results obtained in numerical experiments,
demonstrated fully the feasibility of the proposed parameterization, however, it is still necessary, to the improvement of the proposed method, to conduct studies to discover other
techniques to reduce parameters without signicant loss in the image quality of the eld.
iv
ÍNDICE
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
CAPÍTULO 1
Aspectos Teóricos da Série Ondaleta . . . . . . . . . . . .
3
5
CAPÍTULO 2
Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
10
10
10
CAPÍTULO 3
Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
CAPÍTULO 4
Resultados Avançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1 Ondaleta Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Grid Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo da Acurácia . . . . . . . . . . . . . . . . .
Filtro Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolação (Método da Krigagem) . . . . . . . . .
Geração do Modelo Numérico a partir do Geológico
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3.1 Aproximação para a Parábola Restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aproximação para o Arco de Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Aproximação para a Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Modelo da Discordância Angular
4.1.1 Parametrização . . . . . .
4.1.2 Filtragem . . . . . . . . .
4.2 Modelo do Horst . . . . . . . . .
4.2.2 Filtragem . . . . . . . . .
4.3 Modelo Saltbag (Almofada de Sal)
4.3.2 Filtragem . . . . . . . . .
4.4 Modelo da Anticlinal . . . . . . .
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4.4.1 Parametrização
4.4.2 Filtragem . . .
4.5 Modelo do Pré-Sal . .
4.5.2 Filtragem . . .
CAPÍTULO 5
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Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Referências Bibliográcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
vi
ÍNDICE DE FIGURAS
1.1 Representação gráca da função ondaleta Haar indicada na Eq. (1.19). . . .
6
2.1 Representação gráca da Eq. (2.1) com ω = 6, k1 = 2 e k2 = 0; e a malha
senoidal por ela produzida com nós resultante de sua interseção com linhas
horizontais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1 Parametrização da função f (x) dada pela Eq. (3.1) por série de ondaleta
Haar utilizando os índices: j0 = −10, jmax = 15, kmin = −15 e kmax = 15. Os
pequenos segmentos horizontais dispostos sobre f (x) representam a ondaleta
Haar da referida função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Parametrização da função f (x) dada pela Eq. (3.2) por série de ondaleta
Haar utilizando os índices: j0 = −10, jmax = 40, kmin = −40 e kmax = 40. Os
pequenos segmentos horizontais dispostos sobre a curva representam a série
ondaleta Haar de f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Representação por parametrização utilizando a série ondaleta Haar da função
sela dada pela Eq. (3.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Mapa interpolado do modelo parametrizado por série ondaleta Haar referente
a função f (x, y) dada pela Eq. (3.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Modelo geológico da Discordância Angular, MG1 , com acumulação de hidrocarbonetos em camada porosa (Teixeira et al., 2000). . . . . . . . . . . . . .
4.2 Modelo numérico do campo de velocidades sísmicas compressionais, MN 1 , relativo ao modelo geológico da Discordância Angular, MG1 , utilizado na geração
dos modelos parametrizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Modelo MP 1 , obtido através da parametrização de MN 1 por ondaleta Haar,
sem aplicação de ltros, utilizando-se índices j compreendidos entre j0 = 0 e
jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e kmax = 1.500, com 13.181 coecientes
não-nulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Modelo MP 1 parametrizado por ondaleta Haar utilizando-se o ltro passa-alta
com os seguintes pontos de corte: a) p = −3, 00; b) p = −2, 00; c) p = −1, 75;
d) p = −1, 50; e) p = −1, 25; f) p = −1, 00; g) p = −0, 90 e h) p = −0, 80. . .
4.5 Grau de inuência do expoente (p) do ponto de corte (10p ) do ltro no erro
relativo E (vermelho) e no número de coecientes NC (verde) usado na parametrização de MN 1 que resulta no modelo parametrizado MP 1 . O ponto de
interseção das curvas refere-se a p = −1, 75. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.6 Modelo parametrizado por ondaleta Haar, MP 1 , utilizando-se o ltro passaalta com ponto de corte igual a 10−1,75 com 1.013 coecientes. . . . . . . . .
4.7 Modelo geológico do Horst relativo à Trapa do Recôncavo, MG2 (Santos &
Braga, 1989). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Campo de velocidades numérico (MN 2 ) advindo do modelo geológico MG2 ,
usado na geração dos modelos parametrizados. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Modelo MP 2 obtido a partir de MN 2 por parametrização utilizando a série
ondaleta Haar, sem aplicação de ltros, utilizando-se índices j compreendidos
entre j0 = 0 e jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e kmax = 1500, com 13.161
coecientes não-nulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Modelo MP 2 parametrizado por ondaleta Haar utilizando-se o ltro passaalta com os seguintes expoentes p do ponto de corte 10p : a) p = −3, 00; b)
p = −2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25; f) p = −1, 00; g)
p = −0, 90 e h) p = −0, 80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Grau de inuência do expoente (p) do ponto de corte (10p ) do ltro no erro
relativo E (vermelho) e no número de coecientes Nc (verde) usado na parametrização de MN 2 que resulta no modelo parametrizado MP 2 . O eixo horizontal representa o expoente p do ponto de corte 10p . O ponto de interseção
das curvas refere-se a p = −1, 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Modelo parametrizado por ondaleta Haar, MP 2 , utilizando-se o ltro passaalta com ponto de corte igual a 10−1,35 , com 1.049 coecientes. . . . . . . . .
4.13 Modelo geológico da Almofada de Sal, MG3 , denominado de Saltbag (Popov
et al., 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14 Campo de velocidades numérico (MN 3 ) advindo do modelo geológico MG3 ,
usado na geração dos modelos parametrizados. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 Modelo MP 3 , obtido através da parametrização de MN 3 por ondaleta Haar,
sem aplicação de ltros, utilizando-se índices j compreendidos entre j0 = 0 e
jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e kmax = 1500, com 13.181 coecientes
não-nulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p = −2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25; f) p = −1, 00; g)
p = −0, 90 e h) p = −0, 80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Grau de inuência do expoente p do ponto de corte (10p ) do ltro no erro
relativo E (vermelho) e no número de coecientes NC (verde) usado na parametrização de MN 3 que resulta no modelo parametrizado MP 3 . O eixo horizontal representa o expoente p do ponto de corte 10p . O ponto de interseção
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4.19 Modelo geológico da Anticlinal, MG4 , com acumulação de hidrocarbonetos em
camada porosa (Teixeira et al., 2000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20 Campo de velocidades numérico (MN 4 ) advindo do modelo geológico MG4
(Figura 4.19), usado na geração dos modelos parametrizados MP 4 . . . . . . .
4.21 Modelo MP 4 parametrizado por ondaleta Haar, sem aplicação de ltros, utilizando índices j compreendidos entre j0 = 0 e jmax = 15 e índices k entre
kmin = 0 e kmax = 1500, com 11.480 coecientes não-nulos. . . . . . . . . . .
p = −2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25; f) p = −1, 00; g)
p = −0, 90 e h) p = −0, 80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.25 Modelo geológico do Pré-Sal, MG5 (Minami, 2009). . . . . . . . . . . . . . .
4.26 Campo de velocidades numérico (MN 5 ) advindo do modelo geológico MG5
(Figura 4.25), usado na geração do modelo parametrizado MP 5 . . . . . . . .
4.27 Modelo MP 5 obtido a partir de MN 5 através de parametrização por ondaleta
Haar, sem aplicação de ltros, utilizando os índices j compreendidos entre
j0 = 0 e jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e kmax = 2500, com 26.249
coecientes não-nulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.28 Modelo MP 5 obtido por parametrização por ondaleta Haar de MN 5 com aplicação de ltro passa-alta com os seguintes expoentes p do ponto de corte 10p :
a) p = −3, 00; b) p = −2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25; f)
p = −1, 00; g) p = −0, 90 e h) p = −0, 80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INTRODUÇÃO
Um problema matemático de grande interesse, não apenas em termos teóricos, mas também
com respeito a aplicações, é aquele relativo à representação (ou decomposição) de funções
complicadas como uma combinação linear (série) de funções simples ou de fácil manipulação. Como alguns exemplos mais conhecidos de tais séries, temos: trigonométricas (Dos
Santos & Figueiró, 2006), polinomiais (Dos Santos & Figueiró, 2011), splines (Santana &
Figueiró, 2008), e etc. Todas possuem qualidades e defeitos. Uma nova alternativa surgiu
e se desenvolveu no último século e vem encontrando grandes aplicações na representação,
compressão e atenuação de ruídos presente nos dados. Trata-se da série ondaleta (wavelet
series ) aplicada principalmente em alguns campos da física, engenharia elétrica e geofísica
(Perin & Figueiró, 2010), ela se mostra apropriada na representação de funções causais (que
possuem integral nita de seu módulo) (Misiti et al., 2007). Um caso particular, simples e
mais antigo de tais séries é aquela conhecida por ondaleta Haar, cuja base de funções consiste
em dilatações (ou contrações), translações, e superposições das funções caixa.
Sabe-se que muitos trabalhos foram desenvolvidos na década de 30, alguns realizados de modo
independente, que serviram de base a outros pesquisadores para a concretização de novos
trabalhos. A primeira menção do termo "wavelet", aparentemente, foi em uma tese (Haar,
1910) e o conceito de wavelets, que é conhecido atualmente, foi primeiramente proposto por
Jean Morlet com ajuda de A. Grossman, um físico teórico que participou da formulação do
conceito (Polikar, 1999). A idéia inicialmente, proposta por Fourier, propõe que uma função
complexa poderia ser aproximada como uma soma de funções, de tipo senoidal, ponderadas
por coecientes.
Outros cientistas, tais como: Daubechies, Mallat, Meyer e Shannon, também podem ser citados por desenvolverem estudos envolvendo as ondaletas (Polikar, 1999 e Lee & Yamamoto,
1994).
Utilizando a ferramenta matemática que é a ondaleta, é possível representar funções contínuas e não contínuas por uma combinação linear de funções pertencentes a uma base, cuja
resolução pode ser alterada a partir de parâmetros (coecientes) que participam na forma
matemática (série) formada pelos elementos da base ondaleta utilizada. Esses parâmetros
são o foco do estudo desse trabalho, tendo em vista que o objetivo é diminuir o número de coecientes utilizados para representar tais modelos tentando manter a qualidade dos mesmos.
Resumidamente: representar o máximo de informação com o mínimo de coecientes.
1
2
Para que fosse feita a representação de tais campos de velocidades sísmicas por série ondaleta, assim como a ltragem de seus coecientes foram necessárias diferentes estratégias
algébricas e numéricas, assim como, a criação de diferentes algoritmos, os quais foram testados computacionalmente para comprovar a validade das representações (parametrizações)
dos campos de velocidade estudados.
CAPÍTULO 1
Aspectos Teóricos da Série Ondaleta
A base ondaleta é denida como aquela constituída por funções do tipo, ψj,k , chamadas de
ondaletas lhas, geradas a partir de uma dilatação binária 2j e uma translação diádica k2−j
de uma função, que é chamada de função ondaleta (ou ondaleta-mãe), onde j e k ∈ Z . A
idéia é considerar dilatações, compressões e translações dessa única função, ψ , de modo a
obter uma aproximação a mais exata possível da função que se deseja representar. Essa base
de funções obedece à seguinte forma (Morettin, 1999):
ψj,k (t) = ψ(2j t − k), j e k ∈ Z.
(1.1)
Essas funções formam uma base que não precisa ser necessariamente ortogonal, sendo que,
é mais vantajoso trabalhar com bases ortogonais, para que seja possível uma reconstrução
perfeita do sinal original, pois, cada coeciente é calculado como o produto interno do sinal
com uma função da base.
Tendo-se por interesse bases de ondaletas que sejam ortogonais, a Eq. (1.1) pode ser reescrita
como:
ψj,k (t) = 2j/2 ψ(2j t − k), onde j e k ∈ Z.
(1.2)
O sistema (ψj,k ) forma uma base de L2 (R), espaço das funções reais de variável real quadrado
integráveis. Existem coecientes cj,k que tornam possível representar uma função f (t) da
seguinte forma:
f (t) =
+∞ X
+∞
X
cj,k ψj,k (t).
(1.3)
j=−∞ k=−∞
A Eq. (1.3) é denominada série ondaletas e seus coecientes são dados por:
Z
∞
cj,k =< f, ψj,k >=
f (t)ψj,k (t)dt.
−∞
Vale ressaltar que a relação de Parseval,
3
(1.4)
4
Z
∞
XX
f 2 (t)dt =
−∞
j
(1.5)
c2j,k ,
k
também é valida na análise ondaletas.
A função ψ pode apresentar algumas propriedades, tais como:
+∞
P1) −∞
ψ(t)dt = 0 (admissibilidade), assegura que a função ondaleta assuma a forma
do tipo onda;
R
+∞
P2) A função ondaleta deve possuir energia unitária, logo: −∞
|ψ0 (t)|2 dt = 1, assegura
que a função ondaleta possua um suporte compacto, ou seja, um decaimento rápido de
amplitude, o que garante que a ondaleta-mãe possua uma localização espacial (Arêdes, 2009);
R
P3)
R +∞
−∞
|ψ(t)|dt < ∞;
< ∞, onde ψ(ω) é a transformada de Fourier de ψ(t); e
R +∞ j
P5) Os primeiros r − 1 momentos de ψ se anulam, isto é, −∞
t ψ(t)dt = 0, para
j ∈ {0, 1, ..., r − 1}.
P4)
|ψ(ω)|2
dω
|ω|
−∞
R +∞
Como nem todas as ondaletas geram sistemas ortogonais, faz-se necessário gerar ondaletas
através de uma função escala (ou ondaleta pai), φ(t), que soluciona a equação:
φ(t) =
√ X
lk φ(2t − k).
2
(1.6)
k
Logo, pode-se gerar a seguinte família ortogonal:
φj,k (t) = 2j/2 φ(2j t − k), onde j e k ∈ Z.
(1.7)
{φj,k , ψj,k , onde j e k ∈ Z},
(1.8)
O sistema ortonormal:
permite reescrever f (t) da seguinte forma:
f (t) =
X
dj0 ,k φj0 ,k (t) +
XX
j>j0
k
cj,k ψj,k (t).
(1.9)
k
A Eq. (1.9) é denominada série ondaleta e seus coecientes são dados por:
Z
+∞
cj,k =< f, ψj,k >=
f (t)ψj,k (t)dt
−∞
(1.10)
5
e
Z
+∞
dj0 ,k =< f, φj0 ,k >=
(1.11)
f (t)φj0 ,k (t)dt.
−∞
1.1
Ondaleta Haar
O caso mais simples de ondaleta é a denominada de Haar e sua função escala (ou ondaletapai) é dada por:
1, se 0 ≤ t < 1
0, outros casos.
(
φ(t) =
(1.12)
Porém, um modo de geração de ondaletas-pai se dá através da solução da equação:
φ(t) =
√ X
lk φ(2t − k),
2
(1.13)
k
onde
√ Z
lk = 2
+∞
(1.14)
φ(t)φ(2t − k)dt.
−∞
Com isto, é possível construir a função ondaleta (ou ondaleta-mãe) ψ da seguinte maneira:
ψ(t) =
+∞
√ X
2
hk φ(2t − k),
(1.15)
k=−∞
onde
(1.16)
hk = (−1)k l1−k .
Como vericação de que a Eq. (1.12) realmente satisfaz a Eq. (1.13), tem-se:
√ Z
lk = 2
+∞
−∞
e
√ Z
φ(t)φ(2t − k)dt = 2
(
(1+k)/2
k/2
φ(t)dt =
√
2
,
2
0,
se k ∈ {0, 1}
se k 6∈ {0, 1}
(1.17)
6
√
2
+∞
X
lk φ(2t − k) =
√
2[l0 φ(2t) + l1 φ(2t − 1)] = φ(2t) + φ(2t − 1) = φ(t).
(1.18)
k=−∞
Substituindo φ na Eq. (1.15) obtem-se:


 +1, 0 ≤ t < 1/2
ψ(t) =
−1, 1/2 ≤ t < 1


0,
outros casos.
(1.19)
Isto pode ser conrmado do seguinte modo:
sendo
hk = (−1)k l1−k =
√


(−1)k

0,
2
, se k ∈ {0, 1}
2
se k 6∈ {0, 1},
(1.20)
temos:
√
2
+∞
X
hk φ(2t − k) =
√
2[h0 φ(2t) + h1 φ(2t − 1)] = φ(2t) − φ(2t − 1) = ψ(t).
(1.21)
k=−∞
A Figura 1.1 ilustra a Eq. (1.19).
Figura 1.1: Representação gráca da função ondaleta Haar indicada na Eq. (1.19).
Pode-se, então, obter a base ondaleta Haar aplicando-se a Eq. (1.2) nas Eqs. (1.12) e (1.19),
que resulta em:
7
(
φj,k (t) =
2j/2 , 2−j k ≤ t < 2−j (k + 1)
0,
outros casos,
(1.22)
e

j/2

2−j k ≤ t < 2−j (k + 1/2)
 2 ,
ψj,k (t) =
−2j/2 , 2−j (k + 1/2) ≤ t < 2−j (k + 1)


0,
outros casos.
(1.23)
CAPÍTULO 2
Metodologia
Neste trabalho, foi utilizada a Eq. (1.9) para realizar as representações dos modelos de
campos de velocidades sísmicas parametrizados. Entretanto, a série ondaleta utilizada é
apropriada para a representação de funções de uma única variável, enquanto os campos de
velocidades são funções de duas variáveis. Visando solucionar tal problema, foi criada uma
malha senoidal.
Nas parametrizações, muitas vezes o número de coecientes utilizados para tal representação
se torna muito elevado, entretanto muitos deles são nulos ou muito pequenos, portanto, fazse a suposição de que estes podem ser suprimidos sem prejuízo signicativo na qualidade da
imagem do modelo. Sendo assim, um ltro do tipo corta-baixa é aplicado ao conjunto dos coecientes, com a nalidade de excluir aqueles que exercem pouca inuência na representação
do modelo.
2.1
Grid Senoidal
Os campos de velocidades numéricos são funções do tipo V (x, z), porém, a Eq. (1.9) é
utilizada para representar funções unidimensionais. Tendo a necessidade de representar tais
velocidades em função de uma única variável, foi criado uma malha senoidal do tipo:
z(x) = k1 sen(ωx) + k2 .
(2.1)
Então, o campo de velocidades V (x, z) passa a ser visto como uma função de uma variável,
pois
V (x, z) = V (x, z(x)) = V (x, k1 sen(ωx) + k2 ) = V (x).
Um exemplo de z(x) com ω = 6 é mostrado na Figura 2.1.
8
(2.2)
9
Figura 2.1: Representação gráca da Eq. (2.1) com ω = 6, k1 = 2 e k2 = 0; e a
malha senoidal por ela produzida com nós resultante de sua interseção
com linhas horizontais.
Sendo assim, a função V (x, z) é indiretamente aproximada pela série ondaleta através de sua
representação como V (x, z(x)) = V (x).
2.2
Cálculo da Acurácia
O objetivo deste trabalho é desenvolver uma técnica capaz de representar um campo de
velocidades sísmicas compressionais (proveniente de um modelo geológico) por uma série
ondaleta Haar utilizando-se a menor quantidade possível de coecientes, de tal modo que
suas principais feições ainda possam ser identicadas.
Para avaliar o erro da velocidade parametrizada relativamente à original (representada por
sua versão numérica), utiliza-se a seguinte fórmula:
1
E=
L
qP
L
i=1 [(VN (xi )
qP
L
− VP (xi )]2
2
i=1 VN (xi )
× 100,
(2.3)
onde E é dado em %, xi é o ponto no qual as velocidades são amostradas, L é o número de
amostras, VN o campo de velocidades numérico advindo do modelo geológico e VP é o campo
de velocidades parametrizado.
10
2.3
Filtro Passa-Alta
A parametrização de modelos de campos de velocidades sísmicas, na maioria dos casos,
exige um grande número de coecientes. Visando eliminar coecientes pequenos, um ltro
passa-alta foi implementado com ponto de corte (PC ) dado por:
PC = 10p .
(2.4)
Portanto, todo valor cujo módulo é menor que 10p é desprezado, onde p é um valor que
permite relacionar o número de coecientes da série com a diferença relativa entre o modelo considerado exato (modelo numérico advindo do modelo geológico) e o aproximado
(parametrizado).
2.4
Interpolação (Método da Krigagem)
A representação dos modelos geológicos e parametrizados por série de ondaletas Haar foram
realizadas pelo software SURFER 10. O programa utiliza o método da Krigagem que é um
método de regressão usado em geoestatística para aproximar ou interpolar dados (Yang et
al., 1999).
A técnica da Krigagem pode ser interpretada como uma predição linear ou uma forma da
Inferência Bayesiana, que é uma inferência estatística que descreve incertezas sobre quantidades invisíveis de forma probabilística.
Os dois tipos de técnicas utilizadas pelo software SURFER 10 são o da Krigagem Normal e
o da Krigagem Simples que estimam pontos nos nós do grid.
Na Krigagem Normal é utilizada a média local dos pontos amostrados. Por conseguinte,
deve-se normalizar a média dos pesos. Consequentemente, tem um resultado mais preciso
do que a Krigagem Simples.
O método da Krigagem Simples utiliza a média de todos os dados. Ou seja, não se normaliza
em relação a média local dos pesos e sim em relação a todo o bloco tornando este método
menos preciso que o Normal.
2.5
Geração do Modelo Numérico a partir do Geológico
Para gerar os campos numéricos de velocidades sísmicas, primeiro constrói-se uma malha
senoidal (Tal como a mostrada na Figura 2.1), a qual se adequa as dimensões do modelo
geológico através de translação da senoide e do ajuste de sua amplitude. Após construída a
11
malha, é feita a leitura das velocidades nos pares x e z(x) do modelo geológico. Os termos
x, z(x) e v(x) são acrescentados manualmente como registros num arquivo que serve como
base de dados para algum algoritmo interpolador gerar o modelo numérico MN .
CAPÍTULO 3
Resultados Preliminares
O algoritmo nal passou por uma série de modicações. A intenção inicial era vericar a
validade da Eq. (1.9) que é a série ondaleta utilizada na representação de funções unidimensionais e, em seguida, atualizá-lo até que fosse possível a parametrização de campos de
velocidades sísmicas por ondaleta Haar.
Este capítulo mostra alguns resultados obtidos na fase inicial no processo de desenvolvimento
do algoritmo de parametrização dos campos de velocidades.
3.1
Aproximação para a Parábola Restrita
Antes de construir um algoritmo de parametrização de modelos bidimensionais, busca-se
representar uma função unidimensional descontínua quadrado integrável já conhecida, a
parábola restrita, cuja a função é dada por:
(
f (x) =
x2 + 1, se x ∈ [0, 2]
0,
se x 6∈ [0, 2],
(3.1)
utilizando a Eq. (1.9). Como já esperado, pôde-se facilmente representar tal função utilizando a série ondaleta Haar. O resultado é mostrado na Figura 3.1, para qual foram
utilizados os seguintes índices: j0 = −10, jmax = 15, kmin = −15 e kmax = 15.
12
13
Figura 3.1: Parametrização da função f (x) dada pela Eq. (3.1) por série de ondaleta Haar utilizando os índices: j0 = −10, jmax = 15, kmin = −15
e kmax = 15. Os pequenos segmentos horizontais dispostos sobre f (x)
representam a ondaleta Haar da referida função.
3.2
Aproximação para o Arco de Circunferência
Uma outra função descontínua quadrado integrável foi utilizada para ser representada por
série ondaleta, trata-se de um arco de circunferência:
( √
f (x) =
4 − x2 , se x ∈ [0, 2]
0,
se x 6∈ [0, 2].
(3.2)
A representação da referida função é mostrada na Figura 3.2 utilizando-se os seguintes índices: j0 = −10, jmax = 40, kmin = −40 e kmax = 40.
14
Figura 3.2: Parametrização da função f (x) dada pela Eq. (3.2) por série de ondaleta Haar utilizando os índices: j0 = −10, jmax = 40, kmin = −40 e
kmax = 40. Os pequenos segmentos horizontais dispostos sobre a curva
representam a série ondaleta Haar de f (x).
3.3
Aproximação para a Sela
Para vericar se o algoritmo parametriza funções bidimensionais (contínuas ou não), tenta-se
representar uma função conhecida, denominada sela que é dada por:
(
f (x, y) =
xy, se (x, y) ∈ Q = [−2, 2] × [−2, 2]
0, se (x, y) 6∈ Q.
(3.3)
A função foi reduzida a uma única variável (conforme mostrado na Seção 2.1) passando a
ser representada por f (x) = x.ksen(ωx), com k = 2 e ω = 150. Pôde-se observar que a
parametrização utilizando série de ondaleta foi bem sucedida para este caso de função 2D. A
Figura 3.3 mostra a parametrização da f (x, y) no domínio Q e a Figura 3.4 mostra o mapa
interpolado da função parametrizada.
15
Figura 3.3: Representação por parametrização utilizando a série ondaleta Haar da
função sela dada pela Eq. (3.3).
Figura 3.4: Mapa interpolado do modelo parametrizado por série ondaleta Haar
referente a função f (x, y) dada pela Eq. (3.3).
CAPÍTULO 4
Resultados Avançados
4.1
Modelo da Discordância Angular
A Figura 4.1 mostra o modelo geológico de uma discordância angular, MG1 . Tal modelo, assim como todos os outros, é dotado de várias propriedades, tais como: densidade, porosidade,
condutividade, e etc. Entretanto, considerou-se, nele, apenas a propriedade da velocidade
de propagação de ondas compressionais, que é representada em termos numéricos matriciais
pelo modelo MN 1 (Figura 4.2), e é usado como referência para a parametrização Haar propriamente dita. Deste modo, buscou-se representar tal propriedade pela série ondaleta Haar.
O algoritmo desenvolvido, para realizar tal representação usando a Eq. (1.9), funcionou de
acordo com o esperado para o campo de velocidades compressionais.
A Figura 4.3 mostra o modelo parametrizado por série ondaleta Haar que representa o
modelo numérico, MN 1 , do campo de velocidades advindo do modelo geológico. Para tanto
os índices j assumiram valores compreendidos entre: j0 = 0 e jmax = 15 e os índices k entre
kmin = 0 e kmax = 1500. Pode-se observar na Figura 4.3 que as principais feições estruturais
do campo podem ser, em geral, identicadas.
Figura 4.1: Modelo geológico da Discordância Angular, MG1 , com acumulação de
hidrocarbonetos em camada porosa (Teixeira et al., 2000).
16
17
Figura 4.2: Modelo numérico do campo de velocidades sísmicas compressionais,
MN 1 , relativo ao modelo geológico da Discordância Angular, MG1 , utilizado na geração dos modelos parametrizados.
Figura 4.3: Modelo MP 1 , obtido através da parametrização de MN 1 por ondaleta
Haar, sem aplicação de ltros, utilizando-se índices j compreendidos
entre j0 = 0 e jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e kmax = 1.500, com
13.181 coecientes não-nulos.
18
4.1.2 Filtragem
Após vericar que os valores escolhidos dos índices de j e k, na parametrização, representavam bem, através do modelo parametrizado, o modelo numérico, foi implementado um
ltro passa-alta, com ponto de corte igual a 10p , para eliminar coecientes da série ondaleta
inferiores a tal valor. Variou-se o valor de p a m de tornar possível a criação de uma relação
empírica entre o erro relativo (E ) da representação e o número de coecientes usados (NC ).
Tal relação permite a escolha do modelo parametrizado que melhor representa o modelo
numérico original, com a menor diferença possível entre o modelo original e o parametrizado e com a menor quantidade possível de coecientes. A Figura 4.4 mostra os modelos
parametrizados obtidos através de ltragens de coecientes.
19
Figura 4.4: Modelo MP 1 parametrizado por ondaleta Haar utilizando-se o ltro
passa-alta com os seguintes pontos de corte: a) p = −3, 00; b) p =
−2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25; f) p = −1, 00; g)
p = −0, 90 e h) p = −0, 80.
Após geradas as imagens, foi criado um gráco que mostra, empiricamente, o grau de inuência do expoente do ponto de corte do ltro no erro relativo (E ) e no número de coecientes
20
(NC ) usados na parametrização. Tal gráco é mostrado na Figura 4.5 e foram utilizados
5.183 nós (velocidades sísmicas) para o cálculo de E .
Figura 4.5: Grau de inuência do expoente (p) do ponto de corte (10p ) do ltro
no erro relativo E (vermelho) e no número de coecientes NC (verde)
usado na parametrização de MN 1 que resulta no modelo parametrizado
MP 1 . O ponto de interseção das curvas refere-se a p = −1, 75.
A Tabela 4.1 mostra alguns valores utilizados na obtenção do gráco da Figura 4.5.
Expoente p
-3,00
-2,00
-1,75
-1,50
-1,25
-1,00
-0,90
-0,80
Ponto de Corte 10p
0,0010
0,0100
0,0178
0,0316
0,0562
0,1000
0,1259
0,1585
NC
E (%)
4904
1533
1013
547
198
56
18
8
7,10
8,46
10,48
15,23
19,90
22,36
24,34
25,17
Tabela 4.1: Valores referentes às ltragens realizadas sobre os coecientes da série
ondaleta na parametrização de MN 1 , assim como o número de coecientes (NC ) usado e o erro relativo (E ) obtido em cada caso.
21
A técnica utilizada para determinar o ponto de corte ótimo foi aquela permitida pela interseção das duas curvas, que neste caso ocorreu para p = −1, 75; ou seja, o resultado
ótimo foi aquele mostrado na Figura 4.6, para a qual o ponto de corte do ltro utilizado foi
10−1,75 . Portanto, este foi o resultado que melhor representa o campo utilizando-se a menor
quantidade possível de coecientes (NC = 1.013).
Figura 4.6: Modelo parametrizado por ondaleta Haar, MP 1 , utilizando-se o ltro
passa-alta com ponto de corte igual a 10−1,75 com 1.013 coecientes.
4.2
Modelo do Horst
Repetindo-se o procedimento, trata-se agora do modelo geológico do Horst do Recôncavo,
MG2 (Figura 4.7). Construiu-se o campo numérico de velocidades sísmicas compressionais,
MN 2 (Figura 4.8), utilizado na geração dos modelos parametrizados por ondaleta Haar, MP 2
(Figura 4.9). Para geração de MP 2 foram utilizados os mesmos índices de j e k usados para
a obtenção de MP 1 .
22
Figura 4.7: Modelo geológico do Horst relativo à Trapa do Recôncavo, MG2 (Santos
& Braga, 1989).
Figura 4.8: Campo de velocidades numérico (MN 2 ) advindo do modelo geológico
MG2 , usado na geração dos modelos parametrizados.
23
Figura 4.9: Modelo MP 2 obtido a partir de MN 2 por parametrização utilizando
a série ondaleta Haar, sem aplicação de ltros, utilizando-se índices j
compreendidos entre j0 = 0 e jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e
kmax = 1500, com 13.161 coecientes não-nulos.
4.2.2 Filtragem
Depois de gerado o modelo parametrizado MP 2 que é representado na Figura 4.9, foi possível
aplicar o ltro passa-alta, gerando assim a Figura 4.10 que contém vários modelos com
diferentes valores de p (expoente do ponto de corte do ltro passa-alta).
24
passa-alta com os seguintes expoentes p do ponto de corte 10p : a)
p = −3, 00; b) p = −2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25;
f) p = −1, 00; g) p = −0, 90 e h) p = −0, 80.
Analogamente ao caso anterior, construiu-se, de modo empírico e numérico, um gráco
(Figura 4.11) no qual é possível observar os comportamentos do erro relativo (E ) na representação do campo de velocidades e do número de coecientes (NC ) usados, em função do
25
expoente (p) do ponto de corte do ltro. Foram utilizados 7.832 nós (velocidades sísmicas)
para o cálculo de E .
Figura 4.11: Grau de inuência do expoente (p) do ponto de corte (10p ) do ltro
no erro relativo E (vermelho) e no número de coecientes Nc (verde)
MP 2 . O eixo horizontal representa o expoente p do ponto de corte 10p .
O ponto de interseção das curvas refere-se a p = −1, 35.
A Tabela 4.2 mostra alguns valores utilizados na obtenção da Figura 4.11.
Expoente p
-3,00
-2,00
-1,75
-1,50
-1,25
-1,00
-0,90
-0,80
Ponto de Corte 10p
0,0010
0,0100
0,0178
0,0316
0,0562
0,1000
0,1259
0,1585
NC
E (%)
4978
2152
1947
1152
874
389
276
156
12,00
13,02
14,13
15,25
20,44
29,77
36,43
46,34
ondaleta na parametrização de MN 2 assim como o número de coecientes (NC ) usado e o erro relativo (E ) obtido em cada caso.
Utilizando-se mais uma vez a técnica empírica aplicada no caso anterior, observou-se que,
neste caso, a interseção ocorreu no ponto p = −1, 35. Ou seja, o resultado ótimo foi aquele
26
para o qual tal valor de p foi aplicado, que pode ser visto na Figura 4.12, para o qual
utilizou-se 1.049 coecientes.
passa-alta com ponto de corte igual a 10−1,35 , com 1.049 coecientes.
4.3
Modelo
Saltbag
(Almofada de Sal)
Para parametrizar o modelo geológico denominado Saltbag, MG3 (Figura 4.13), utilizou-se
um procedimento idêntico àquele aplicado nos casos anteriores. Construiu-se um campo
numérico de velocidades sísmicas compressionais, MN 3 (Figura 4.14), que é utilizado na
geração dos modelos parametrizados por ondaleta Haar, MP 3 (Figura 4.15), assim como os
modelos parametrizados ltrados usando o ltro passa-alta.
27
Figura 4.13: Modelo geológico da Almofada de Sal, MG3 , denominado de
(Popov et al., 2010).
Saltbag
MG3 , usado na geração dos modelos parametrizados.
28
Figura 4.15: Modelo MP 3 , obtido através da parametrização de MN 3 por ondaleta
Haar, sem aplicação de ltros, utilizando-se índices j compreendidos
entre j0 = 0 e jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e kmax = 1500,
com 13.181 coecientes não-nulos.
4.3.2 Filtragem
Após gerado o modelo parametrizado sem ltro que é representado na Figura 4.15, foi possível
aplicar o ltro passa-alta variando-se o valor do expoente p do ponto de corte 10p , gerando
assim a Figura 4.16.
29
p = −3, 00; b) p = −2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25;
f) p = −1, 00; g) p = −0, 90 e h) p = −0, 80.
Semelhante aos passos apresentados nos casos anteriores, construiu-se, de modo empíriconumérico, um gráco (Figura 4.17) no qual é possível observar os comportamentos do erro
relativo (E ) na representação do campo de velocidades sísmicas e do número de coecientes
(NC ), em função do expoente p do ponto de corte do ltro 10p . Foram utilizados 7.700 nós
30
(velocidades sísmicas) para o cálculo de E .
Figura 4.17: Grau de inuência do expoente p do ponto de corte (10p ) do ltro
Expoente p
-3,00
-2,00
-1,75
-1,50
-1,25
-1,00
-0,90
-0,80
Ponto de Corte 10p
0,0010
0,0100
0,0178
0,0316
0,0562
0,1000
0,1259
0,1585
NC
E (%)
5096
2211
1275
1004
440
196
63
15
7,08
7,75
8,73
10,32
13,88
17,38
18,55
19,40
ondaleta na parametrização do modelo numérico MN 3 assim como o
número de coecientes (NC ) usado e o erro relativo (E ) obtido em
cada caso.
Com o uso da técnica empírico-numérica que foi utilizada nos casos anteriores, agora, para
MN 3 , observou-se que, a interseção ocorreu no ponto p = −1, 60. Ou seja, o resultado ótimo
31
foi aquele para o qual tal valor de p foi aplicado, que pode ser visto na Figura 4.18 que
necessitou de um número de coecientes (NC ) igual a 1.118.
4.4
Modelo da Anticlinal
De forma similar aos casos anteriores, criou-se um modelo numérico MN 4 ( Figura 4.20) para o
modelo geológico da Anticlinal, MG4 (Figura 4.19), para assim obter o modelo parametrizado
MP 4 representado pela Figura 4.21.
Figura 4.19: Modelo geológico da Anticlinal, MG4 , com acumulação de hidrocarbonetos em camada porosa (Teixeira et al., 2000).
32
MG4 (Figura 4.19), usado na geração dos modelos parametrizados
MP 4 .
Figura 4.21: Modelo MP 4 parametrizado por ondaleta Haar, sem aplicação de ltros, utilizando índices j compreendidos entre j0 = 0 e jmax = 15
e índices k entre kmin = 0 e kmax = 1500, com 11.480 coecientes
não-nulos.
33
4.4.2 Filtragem
Após gerado o modelo parametrizado sem aplicação de ltros, que é representado na Figura
4.21, foi possível aplicar o ltro passa-alta, gerando assim os modelos ltrados apresentados
na Figura 4.22.
34
p = −3, 00; b) p = −2, 00; c) p = −1, 75; d) p = −1, 50; e) p = −1, 25;
f) p = −1, 00; g) p = −0, 90 e h) p = −0, 80.
Como é apresentado nos casos anteriores, construiu-se, um gráco (Figura 4.23) no qual é
possível observar os comportamentos do erro relativo (E ) na representação do campo de
velocidades e do número de coecientes (NC ) usado, em função do expoente p do ponto
35
de corte 10p do ltro passa-alta. Foram utilizados 3.801 nós (velocidades sísmicas) para o
cálculo de E .
Expoente p
-3,00
-2,00
-1,75
-1,50
-1,25
-1,00
-0,90
-0,80
Ponto de Corte 10p
0,0010
0,0100
0,0178
0,0316
0,0562
0,1000
0,1259
0,1585
NC
E (%)
4015
2074
1433
1131
673
387
233
160
5,45
6,04
7,05
9,48
13,44
19,89
23,67
28,14
Aplicando-se novamente a técnica empírica que foi utilizada nos casos anteriores, agora,
em MN 4 , observou-se que, neste caso, a interseção ocorreu no ponto p = −1, 40. Ou seja,
36
o resultado ótimo foi aquele para o qual tal valor do expoente p foi aplicado. O campo
parametrizado resultante é mostrado na Figura 4.24 que utilizou 1.015 coecientes.
4.5
Modelo do Pré-Sal
Para nalizar o trabalho, foi utilizado um último modelo com dimensões (comprimento e
profundidade) maiores que os anteriores, denominado Pré-Sal, bastante conhecido na área
de exploração petrolífera. Todos os procedimentos utilizados na parametrização nos casos
anteriores foram aplicados ao modelo geológico do pré-sal MG5 (Figura 4.25) e foi possível
obter o modelo numérico MN 5 (Figura 4.26) e, a partir deste, o modelo parametrizado por
série ondaleta MP 5 (Figura 4.27) e os respectivos modelos parametrizados ltrados (Figura
4.28).
As dimensões do modelo do pré-sal são muito maiores do que as utilizadas nos modelos
geológicos anteriores, principalmente no eixo x, aproximadamente 6 (seis) vezes maior que as
dimensões utilizadas nos modelos propostos até agora. Isto é, foi necessário alterar os valores
do índice k que inuencia principalmente na translação dos elementos da série quando se
realiza uma parametrização usando ondaletas Haar. Tais valores passaram a ser: j0 = 0,
jmax = 15, kmin = 0 e kmax = 2500.
37
Figura 4.25: Modelo geológico do Pré-Sal, MG5 (Minami, 2009).
MG5 (Figura 4.25), usado na geração do modelo parametrizado MP 5 .
38
Figura 4.27: Modelo MP 5 obtido a partir de MN 5 através de parametrização por
ondaleta Haar, sem aplicação de ltros, utilizando os índices j compreendidos entre j0 = 0 e jmax = 15 e índices k entre kmin = 0 e
kmax = 2500, com 26.249 coecientes não-nulos.
4.5.2 Filtragem
Após gerado o modelo parametrizado sem ltro que é representado na Figura 4.27, foi possível
aplicar o ltro passa-alta, gerando assim a Figura 4.28.
39
Figura 4.28: Modelo MP 5 obtido por parametrização por ondaleta Haar de MN 5
com aplicação de ltro passa-alta com os seguintes expoentes p do
ponto de corte 10p : a) p = −3, 00; b) p = −2, 00; c) p = −1, 75; d)
p = −1, 50; e) p = −1, 25; f) p = −1, 00; g) p = −0, 90 e h) p = −0, 80.
De forma empírico-numérica e semelhante aos casos anteriores, foi construído um gráco
(Figura 4.29) levando em consideração os comportamentos do erro relativo (E ) na representação do campo de velocidades compressionais e o número de coecientes (Nc ) usados, em
40
função dos expoentes p do ponto de corte do ltro passa-alta. Foram utilizados 7.868 nós
(velocidades sísmicas) para o cálculo de E .
Expoente p
-3,00
-2,00
-1,75
-1,50
-1,25
-1,00
-0,90
-0,80
Ponto de Corte 10p
0,0010
0,0100
0,0178
0,0316
0,0562
0,1000
0,1259
0,1585
NC
E (%)
10252
5791
3675
3389
3000
1272
1125
936
14,03
14,21
14,53
15,04
16,12
18,85
20,74
24,42
Aplicando-se novamente a técnica empírica que foi utilizada nos casos anteriores, em MN 5 ,
observou-se que, a interseção ocorreu no ponto p = −1, 25. Ou seja, o resultado ótimo foi
41
aquele para o qual tal valor de p foi aplicado. O campo parametrizado resultante é mostrado
na Figura 4.30. O número de coecientes necessários foi de 3.000.
CAPÍTULO 5
Conclusões
A representação de um modelo geológico por parametrização utilizando série de ondaleta
Haar mostrou-se bastante eciente, pois, manteve as principais feições dos modelos geológicos
considerados e seus respectivos campos de velocidades.
Comparando o modelo do pré-sal com os demais modelos, é possível observar que quanto
maior o valor de x, mais distorcida se tornam as imagens dos modelos parametrizados, ou
seja, as ondaletas geradas são mais imprecisas, forçando, assim, a alteração dos valores dos
índices j e k para que os modelos parametrizados não cassem muito distorcidos tornando-os
irreconhecíveis. Entretanto, sabe-se que uma representação perfeita do campo só é possível
se forem considerados todos os valores dos índices j e k, isto é: seria necessário fazer os
índices j e k percorrer todos os valores inteiros entre −∞ a +∞, o que é impraticável.
A geometria do campo de velocidade também inuencia na quantidade de coecientes obtidos
com os mesmos valores de j e k.
Como a parametrização do campo sem ltragem apresentou um grande número de coecientes, fez-se necessário aplicar um ltro do tipo passa-alta para que um número ótimo de coecientes fosse usado para representar o campo. Usando uma técnica empírico-computacional,
é possível encontrar um ponto de corte que permite reduzir o número de coeciente sem
perda signicativa de acurácia. Isto é, preservar de modo reconhecível as principais feições
do campo com o menor número possível de coecientes na série ondaleta.
O valor de p, expoente do ponto de corte, utilizados nos cinco modelos, que melhor contempla
a relação menor erro relativo e menor número de coecientes variou entre -2 e -1, tendo em
vista que não foi muito discrepante as quantidades de coecientes utilizados para representálos, se comparados entre eles, com exceção do modelo do Pré-Sal que exigiu uma quantidade
maior de coecientes na sua parametrização.
Deve-se levar em consideração que a economia no uso dos coecientes não se deve apenas
a aplicação do ltro passa-alta, mas também, aos índices escolhidos. Nos modelos, foram
utilizados apenas índices j e k positivos pois eles inuenciam diretamente na não nulidade em
boa parte dos coecientes. Na média, para os modelos considerados, a redução de coecientes
daqueles que comparecem na série dada pela Eq. (1.9) para aqueles usados no modelo
42
43
parametrizado sem ltragem foi de 47% e deste para o modelo ótimo observou-se uma redução
de 91%. Diretamente da série ao modelo ótimo a redução cou, na média, em 95%.
A variação é maior no índice k e, também, não é interessante utilizar índices j muito grandes
nem valores negativos, pois, leva-se em consideração uma translação diádica do tipo 2−j k,
ou seja, uma variação linear com respeito a k e uma exponencial com respeito a j , o que faz
valores de |j| muito grandes tornar os intervalos nos quais as ondaletas-lhas são não nulas,
insuportavelmente grandes ou pequenos. Por outro lado, o número de índices k pode e deve
ser maior do que os de j , pois são as translações que permitem que o campo seja coberto em
toda a sua extensão.
Embora nas parametrizações ótimas obtidas a quantidade de parâmetros por elas exigida
ainda esteja alto, tendo em vista projetos futuros de modelagem e inversão, pode-se dizer
que os resultados foram satisfatórios, devido ao fato dos modelos considerados: terem um
alto grau de complexidade, considerarem uma ampla faixa de velocidades, possuírem grandes
dimensões e serem provenientes de modelos geológicos realísticos e de interesse exploratório.
Além disso, este trabalho não esgota todas as possibilidades de redução de parâmetros.
Técnicas adicionais poderão ser utilizadas numa possível continuação futura.
Agradecimentos
Quero dedicar este capítulo especialmente a minha família, pois, para que um evento ocorra
é necessário um pontapé inicial e nesta etapa de minha vida a minha família foi a causa
inicial deste momento.
Agradeço aos meus pais, minha mãe Sandra da Silva Guerra e ao meu pai Moises de Cerqueira
(Ferrugem) que me iniciaram aos meus primeiros passos na vida e me deram as devidas noções
do que é certo e errado. Aos meus irmãos Alexsandra Elen, Alisson e Rafael, que mesmo
com todas as brigas e discussões (coisa muito comum entre irmãos), amo todos eles.
Agradeço, em um parágrafo único, o meu tio Dimas o qual deixa muita saudade por ter
partido precocemente deste plano.
Agradeço também ao meu orientador Wilson Mouzer Figueiró que ajudou a tornar esse
trabalho uma realidade e a todos professores que passaram por minha vida.
Ao CPGG-UFBA e à PETROBRAS pelo oferecimento de condições para a realização deste
trabalho.
Aos meus amigos e colegas do curso de geofísica: Victor, Vitor Ravel, Radesh, Vinicius,
Edric, Josimar, Sotero, Gohan, Nairão, Caio, Eron, Breno/Uilli, Herbert e Rebeca. Em
especial queria agradecer aos meus irmãos de curso: Ildeson, Ítalo(Pato), Yves, Adriano e
Daniel.
Aos meus amigos: Alã, Icaro Issa, Jadson, Tiago, Jardim e Rafaela, Carol, Catherine e todos
aqueles que de alguma forma contribuiram para meu enriquecimento quanto pessoa.
Quero agradecer também a minha namorada Betina Sodré, aos meus sogros, e também
amigos, Arlete e Luis.
44
Referências Bibliográcas
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norm. Revista Brasileira de Geofísica, RBGf, vol. 29, n.2, p. 347-358.
Haar, A. (1910) Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Mathematische Annalen.
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