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Sinais e Sistemas Licenciatura Engenharia Biomédica Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Exercícios Laboratoriais Capítulo 4 – Representações de Fourier de Sinais Compostos Questão 1 : A operação de decimar corresponde reduzir a quantidade de dados de um sinal que já está amostrado. Decimar um sinal x[n] de um factor q corresponde seleccionar cada q-ésima amostra da sequência de amostras do sinal x[n] ou seja, geramos um sinal g[n] = x[qn] . Esta operação corresponde a uma redução da taxa de amostragem porque o intervalo de amostragem do sinal x[n] passa a ser Ts 2 = qTs1 sendo Ts1 o intervalo de amostra do sinal x[n] . O comando MATLAB y=decimate(x,q) permite decimar o sinal x pelo factor q, sendo y um novo sinal com uma sequência de amostras de comprimento reduzido pelo factor q. A operação inversa de decimar é interpolar. O comando MATLAB y=interp(x,p) permite interpolar o sinal x pelo factor p, sendo y um novo sinal com uma sequência de amostras com comprimento afecto pelo factor p. O comando MATLAB y=resample(x,p,q) permite re-amostrar o sinal x pelo factor p/q, sendo y um novo sinal com uma sequência de amostras com comprimento afecto pelo factor (p/q). A operação equivale a interpolar x pelo factor p para posteriormente decimar pelo factor q. Utilizando, como referência, os comandos MATLAB: x=exp(-[0:59]/15) .* sin([0:59]*2*pi/13+pi/8); y=resample(x,2,3); figure(1) subplot(2,1,1) stem(x) title('sinal amostrado a 45kHz'); xlabel('Tempo'),ylabel('Amplitude'),axis tight; subplot(2,1,2) stem(y) title('sinal amostrado a 30kHz'); xlabel('Tempo'),ylabel('Amplitude'),axis tight Considerando, o sinal x [ n ] = e − n 15 sin ( 213π n + π8 ) , 0 ≤ n ≤ 59 : a) Gerar o gráfico correspondente a re-amostragem do sinal por um factor (2/3) utilizando o MATLAB resample(); b) Mostre que a operação anterior é equivalente a aplicar os comandos utilizando o MATLAB decimate() e interp(). Questão 2: Em geral, o processamento de um sinal amostrado corresponde ao processamento de uma parte, ou janela, de amostras desse sinal. A largura da janela afecta a quantidade de amostras a processar. Por exemplo considere o sinal x [ n ] = cos ( 716π n ) + cos ( 916π n ) e a seguinte propriedade da DTFT N −1 DTFT x [ n ] = ∑ X [ k ] e jk Ω0n ←⎯⎯ → X ( e jΩ ) = 2π k =0 +∞ ∑ X [ k ]δ ( Ω − k Ω ) k =−∞ Para este sinal a correspondente DTFT do sinal x[n] é 0 Sinais e Sistemas Licenciatura Engenharia Biomédica Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra 9π ⎞ 7π ⎛ ⎛ X ( e jΩ ) = πδ ⎜ Ω + k ⎟ + πδ ⎜ Ω + k 16 ⎠ 16 ⎝ ⎝ 7π ⎞ ⎛ ⎟ + πδ ⎜ Ω − k 16 ⎠ ⎝ 9π ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ + πδ ⎜ Ω − k ⎟ , −π < Ω ≤ π 16 ⎠ ⎠ ⎝ . Se uma quantidade finita de amostras do sinal x[n] é utilizada no processamento do sinal então o efeito pode ser expresso pelo produto y[n] = w[n].x[n] em que o sinal ⎧⎪1, n ≤ M w[n] = ⎨ ⎪⎩0, n > M sendo w[n] designada uma janela. Utilizando a propriedade DTFT y [ n ] = z [ n ] x [ n ] ←⎯⎯ → Y ( e jΩ ) = 1 Z ( e jΩ ) ∗ X ( e jΩ ) 2π a expressão da DTFT do sinal y[n] = w[n].x[n] será 1 ⎛ Ω+ k 9π Y ( e jΩ ) = W ⎜ e 16 2 ⎝ tendo em W ( e jΩ ) = ⎞ 1 ⎛ Ω+ k 716π ⎟+ W ⎜e ⎠ 2 ⎝ consideração sin ( Ω ( 2 M + 1) / 2 ) sin ( Ω / 2 ) que ⎞ 1 ⎛ Ω− k 716π ⎟+ W ⎜e ⎠ 2 ⎝ w[n] sinal o ( ) . Este Y e jΩ ⎞ 1 ⎛ Ω− k 916π ⎞ ⎟ + W ⎜e ⎟ ⎠ 2 ⎝ ⎠ tem um espectro espectro poderá ser determinado com comandos MATLAB e utilizando 2 M + 1 valores de x[n] , com n ≤ M . Para isso o comando MATLAB fftshift() permite trocar as duas metades do espectro de forma a dar um espectro com centrado na frequência zero. Tendo como referência a sequência de comandos MATLAB % M=12 n=[-12:12]; Omega=[-1+2/512:2/512:1]*pi; x=cos(7*pi*n/16) + cos(9*pi*n/16); Yb=fftshift( fft(x,512) ); plot(Omega,abs(Yb)),xlabel('Omega'),ylabel('|Y(Omega)|:M=12'),axis tight ( ) para 512 pontos, no intervalo −π < Ω ≤ π , para determine o espectro Y e jΩ os seguintes valores: M = 80; M = 12; M = 8. Descreva o efeito do decréscimo de ( ) M nos vários espectros Y e jΩ Questão 3: Utilizando os comandos MATLAB das questões anteriores e a função ⎧ − ( 0.1) ⎪ 2 x[n] = ⎨e ⎪⎩ 0 2 , n ≤ 50 , , n > 50 determine o espectro DTFT para 500 pontos e no intervalo −π < Ω ≤ π , para as seguintes funções: a) x[n] ; b) y[n] = x[2n] ; c) z[n] = x[4n] Sinais e Sistemas Licenciatura Engenharia Biomédica Departamento de Engenharia Electrotécnica e Computadores Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Outros Exercícios na Bibliografia: Simon Haykin and Barry Van Veen, ”Signals and Systems”, 2nd Edition, 2003 John Wiley & Sons. Inc, ISBN 0-471-16474-7 (Capítulo 3).