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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CAP JACY MONTENEGRO MAGALHÃES NETO
IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOS NO
DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA APLICADA A SISTEMAS
AERONÁUTICOS
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de
Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Prof. Paulo César Pellanda - Dr. ENSAE,
Co-orientador: Prof. Roberto Ades - Dr. PUC/RJ,
Rio de Janeiro
2005
c2005
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha
Rio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
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orientador(es).
M777i Montenegro, Jacy M. Neto
Identicação de Modelos Dinâmicos no Domínio da Freqüência Aplicada
a Sistemas Aeronáuticos /
Jacy Montenegro Magalhães Neto. - Rio de
Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2005.
166 p.: il, graf., tab.
Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia- Rio de Janeiro,
2005
1. Sistemas Aeronáuticos. 2. Domínio da Freqüência. 3. Sistemas Dinâmicos 4. Identicação I. Montenegro, Jacy M. Neto II. Instituto Militar
de Engenharia. III. Título.
CDD 629.13
2
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
CAP JACY MONTENEGRO MAGALHÃES NETO
IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOS NO DOMÍNIO DA
FREQÜÊNCIA APLICADA A SISTEMAS AERONÁUTICOS
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica
do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Prof. Paulo César Pellanda - Dr. ENSAE,.
Co-orientador: Prof. Roberto Ades - Dr. PUC/RJ,
Aprovada em 25 de Janeiro de 2005 pela seguinte Banca Examinadora:
Prof. Paulo César Pellanda - Dr. ENSAE, do IME - Presidente
Prof. Roberto Ades - Dr. PUC/RJ, do IME
Prof. Carlos Frederico Estrada Alves - Dr. PUC/RJ, da UERJ
Prof. Hélio de Assis Pegado - Dr. ITA, do IME
Rio de Janeiro
2005
3
"Formado em 1941 na primeira turma de engenharia aeronáutica da então Escola Técnica do Exército,
hoje IME, o capitão Casemiro Montenegro seria o
criador do Centro Tecnológico da Aeronáutica em
29 de janeiro de 1946, efetivamente implantado em
1950 (...)"; "O tenente Juracy Magalhães tinha 25
anos em 1930 e comandava o 22o Batalhão de Caçadores, baseado na Paraíba. Cruzou Pernambuco
e Alagoas à frente de 6.500 homens, atravessou o
Rio São Francisco e consumou a derrubada dos governadores de Sergipe e da Bahia (...)"; "O 1o Ten
Acrisio dos Santos, no dia 27/11/1935 era 3o SGT
da 2a CIA do 2o RI. Nesse dia, após rigorosa prontidão desde às 20:00hs do dia 26, deslocou-se à frente
de seu Regimento em transporte especial da EFCB
às 05:30hs com destino ao QG da 1a RM, onde chegou às 06:30hs, cando aguardando ordens, e embarcando logo após com destino à Praia Vermelha, com
o objetivo de atacar os rebeldes do 3o RI, onde acantonou e de onde só regressou em 16/12, com missão
cumprida."Com outras armas, mas sobre o mesmo
solo. Ao meu lho, Leonardo "coração de leão", que
chegue ao mundo herdeiro das tradições de uma família de guerreiros.
4
AGRADECIMENTOS
Ao meu amigo Deus, com quem sempre converso, e que sempre me ouve.
À minha mãe Gilda Maria "General", que deu sua vida para que eu chegasse aqui.
Me ensinou tudo o que sei, e me fez tudo o que sou, sozinha. Ela também me deu meu
primeiro avião. Mãe, isto é só o começo.
Ao Dr Rex Nazaré Alves "Mestre", que acreditou em mim e me ensinou a colocar o
amor pela ciência a serviço do meu País.
Aos Profs Dr Flavio Araripe D'Oliveira e Dr João Pedro Caminha Escosteguy, que
me abriram as portas no mundo da aeronáutica, me ensinando "altruisticamente, como
fazer voar".
Aos Professores Dr Luiz Carlos Sandoval Góes, Dr Karl Heinz Kienitz e Dr Elder
Moreira Hemerly por me receberem de braços abertos e apontarem o caminho da identicação de aeronaves.
Ao Prof Dr Nelson Paiva Oliveira Leite, que com tanto carinho e amizade me ensinou
o que sei sobre ensaios em vôo.
Aos Cap Fábio Almeida, Ten Paulo Cesar da Silva Guimarães, Ten André Luiz Schmaedecke, Gilmar Tadeu Cainelli e Luís Felipe Sivolella, parceiros de trabalho e estudo.
E nalmente aos meus orientadores e amigos, Prof Dr Paulo Cesar Pellanda e Prof
Dr Roberto Ades, que foram meus anjos da guarda nesta jornada. Com tanta paciência
me deram as ferramentas necessárias - armas do bom combate, e algo que não se ensina
no quadro - a postura correta para empunhá-las.
"Eu fui para a oresta porque eu queria viver deliberadamente. Eu queria viver
profundamente e sugar toda a essência da vida ... encarar apenas os fatos principais da
vida, e não tentar aprender aquilo que eu tinha que ensinar...Me livrar de tudo o que não
fosse vida (...) para que, quando eu morrer, eu não descubra que não viví."
Henry David Thoreau
5
SUMÁRIO
LISTA DE ILUSTRAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1
Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 Veículos aéreos não-tripulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 Síntese histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2
Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 VANTs e sistemas de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Ensaios em vôo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Ensaios em vôo e identicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3
Objetivos da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4
Revisão bibliográca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5
Organização da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1
Conceitos de identicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2
Formalização do processo de identicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Dados de entrada e saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Família de modelos de estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Critério de identicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Procedimentos de validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3
Lado prático da identicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4
Ferramentas de identicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.1 Preparação dos dados no domínio da freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.2 Informações "caixa-cinza": Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5
Análise modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.1 Dinâmica linear básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6
O método de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6
3
SISTEMAS EXEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1
O simulador do míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2
O simulador do F-16 Fighting Falcon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4
APLICAÇÃO DAS TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO . . . . . . . . . . 90
4.1
Identicação do modelo do míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.1 Identicação do canal 1 do míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2 Identicação do canal 2 do míssil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2
Identicação do modelo do F-16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1 Identicação por ensaio em vôo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.2 Identicação do modo phugoid no domínio da freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5
CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1
Resumo da contribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.1 Ponto de vista metodológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.2 Ponto de vista da aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2
Críticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3
Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7
APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.1
Apêndice 1: Modelos de estrutura e diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIG.1.1
Dispersão temporal de publicações na área de VANT. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
FIG.1.2
Malha de controle de aeronave com SAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
FIG.1.3
Modelo pictórico de malha aberta de um VANT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
FIG.1.4
Aeronave genérica instrumentada para ensaio em vôo. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
FIG.1.5
Exemplo de relação entrada x saída - Asa Fixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
FIG.2.1
Modelo pictórico de sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
FIG.2.2
Algoritmo de Identicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
FIG.2.3
Entrada e saída quaisquer amostradas no domínio do tempo. . . . . . . . . . . 41
FIG.2.4
Entrada e saída quaisquer no domínio do tempo ampliadas. . . . . . . . . . . . 42
FIG.2.5
Módulo da FFT da entrada - sinal exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
FIG.2.6
Módulo da FFT da saída - sinal exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
FIG.2.7
Módulo da FRF - sinal exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
FIG.2.8
Fase da FRF - sinal exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
FIG.2.9
Modo longitudinal phugoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
FIG.2.10 Modo longitudinal curto-período. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
FIG.2.11 Modo látero-direcional dutch-roll. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
FIG.2.12 Modo látero-direcional rolamento puro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
FIG.2.13 Modo latero-direcional espiral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
FIG.2.14 Pólos phugoid e curto-período do sistema exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
FIG.3.1
Diagrama físico do míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
FIG.3.2
Diagrama de simulação do míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
FIG.3.3
Evolução temporal do míssil - amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
FIG.3.4
Forças atuando na aeronave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
FIG.3.5
Eixos principais da aeronave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
FIG.3.6
Pilotagem da aeronave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
FIG.3.7
Entradas do simulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
FIG.3.8
Dinâmica do atuador de empuxo.
FIG.3.9
Saídas do simulador do F-16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
FIG.3.10 Interface do simulador do F-16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
FIG.3.11 Manobra de roll à esquerda - 2 das 4 entradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
FIG.3.12 Manobra de roll à esquerda - 12 das 16 saídas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8
FIG.4.1
Amostras do vôo não linear do modelo do míssil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
FIG.4.2
Vôo não-linear do míssil - Canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
FIG.4.3
Espectro em módulo da entrada do canal 1.
FIG.4.4
Espectro em módulo da saída do canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
FIG.4.5
Módulo da FRF do canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
FIG.4.6
Fase da FRF do canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
FIG.4.7
Interpolação espectral do módulo da FRF do canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FIG.4.8
Interpolação espectral da fase da FRF do canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
FIG.4.9
Comparação do diagrama de Bode de Ḡ1 com a FRF do canal 1. . . . . . . 99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
FIG.4.10 Comparação Bode de Ḡ2 com a FRF do canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
FIG.4.11 Comparação da resposta do míssil não-linear com a do identicado . . . . . 101
FIG.4.12 Pólos e zeros do míssil linearizado e identicado sobrepostos . . . . . . . . . . 102
FIG.4.13 Pólos e zeros do míssil linearizado e identicado - coincidentes . . . . . . . . . 103
FIG.4.14 Vôo do modelo não linear do míssil - Canal 2.
FIG.4.15 Espectro em módulo da entrada do canal 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
FIG.4.16 Espectro em módulo da saída do canal 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
FIG.4.17 Módulo da FRF do canal 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
FIG.4.18 Fase da FRF do canal 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
FIG.4.19 Comparação do diagrama de Bode de Ḡ3 com FRF do canal 2. . . . . . . . . 107
FIG.4.20 Comparação do diagrama de Bode de Ḡ4 com FRF do canal 2. . . . . . . . . 108
FIG.4.21 Comparação do míssil não-linear com o identicado Ḡ3 - Canal 2. . . . . . 109
FIG.4.22 Pólos e zeros do míssil linearizado e identicado por Ḡ3 - Canal 2. . . . . . 109
FIG.4.23 Evolução temporal dos comandos durante o ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
FIG.4.24 Evolução temporal das saídas não lineares do F-16 no ensaio . . . . . . . . . . 113
FIG.4.25 Conversão de energia e phugoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
FIG.4.26 Entrada e saída - modo phugoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
FIG.4.27 Espectro em módulo da entrada - F16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
FIG.4.28 Espectro em módulo da saída - F16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
FIG.4.29 Módulo da FRF do F16 - phugoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
FIG.4.30 Fase da FRF do F16 - phugoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
FIG.4.31 Corte do módulo da FRF do F16 - phugoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
FIG.4.32 Corte da fase da FRF do F16 - phugoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
FIG.4.33 Pólos e zeros do F16 - phugoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
FIG.4.34 Entrada e saída F-16 - segundo canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9
FIG.4.35 Espectro da entrada doublet de profundor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
FIG.4.36 Espectro da saída - Velocidade do Ar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
FIG.4.37 Módulo da FRF do canal 2 do F-16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
FIG.4.38 Fase da FRF do canal 2 do F-16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
FIG.4.39 Pólos e zeros do canal 2 do F-16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
FIG.5.1
Manobras doublet e 3 − 3 − 2 − 1 genéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
FIG.7.1
Resposta ao degrau - Passa baixa de ordem 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
FIG.7.2
Diagramas de Bode - Passa baixa de ordem 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
FIG.7.3
Resposta ao degrau - Passa alta de ordem 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
FIG.7.4
Diagramas de Bode - Passa alta de ordem 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
FIG.7.5
Resposta ao degrau - Passa baixa de ordem 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
FIG.7.6
Diagramas de Bode - Passa baixa de ordem 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
FIG.7.7
Resposta ao degrau - Passa alta de ordem 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
FIG.7.8
Diagramas de Bode - Passa alta de ordem 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
FIG.7.9
Resposta ao degrau - Passa banda de ordem 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
FIG.7.10 Diagramas de Bode - Passa banda de ordem 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
FIG.7.11 Resposta ao degrau - Rejeita banda de ordem 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
FIG.7.12 Diagramas de Bode - Rejeita banda de ordem 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10
LISTA DE TABELAS
TAB.2.1
Zeros, pólos e ganho do sistema exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
TAB.4.1
Zeros e pólos do míssil - Canal 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
TAB.4.2
Ponto de VREN do F-16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
TAB.4.3
Pólos phugoid do F-16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
ABREVIATURAS
ASA-G/IAE
Subdivisão de Engenharia da ASA/IAE/CTA
AEV/IAE
Divisão de Ensaios em Vôo do IAE/CTA
ASA/IAE
Divisão de Sistemas Aeronáuticos do IAE/CTA
CTA
Centro Técnico Aeroespacial
CASOP
Centro de Apoio ao Sistema Operativo - MB
CSNU
Conselho de Segurança das Nações Unidas
DC
Direct Current - Nível contínuo
DFT
Discrete Fourier Transform
DoD
Department of Defense - EUA
EV
Ensaios em Vôo
ENSAE
École Nationale Supérieure de L'Aeronautique et de L'espace
EPS
Variável do MATLAB - Floating point relative accuracy
FFT
Fast Fourier Transform
FRF
Frequency Response Function
GPS
Global Positioning System
IME
Instituto Militar de Engenharia
ITA/CTA
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
IAE/CTA
Instituto de Aeronáutica e Espaço
MIMO
Multiple-Input Multiple-Output
PUC-Rio
Pontifícia Universidade Católica - RJ
SAS
Stability Augmentation System
SISO
Single-Input Single-Output
SPPO
Short-Period Pitching Oscilation
UAV
Unmanned Aerial Vehicle
UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
VANT
Veículo Aéreo Não-Tripulado
VREN
Vôo reto, estável e nivelado
TRIM
Condição de vôo idêntica a VREN
12
SÍMBOLOS
,
Por denição igual a
≈
Aproximadamente
⇔
Se e somente se
R
Conjunto dos números reais
R0+
Conjunto dos números reais estritamente positivos
C
Conjunto dos números complexos
α
Ângulo de ataque, graus ou rad
β
Ângulo de derrapagem, graus ou rad
∆t
Passo de integração numérica
δa
Deexão do aileron = (δa,direita − δa,esquerda ) /2, graus
δe
Deexão do profundor (elevator ), graus
δr
Deexão do leme (rudder ), graus
δth
Empuxo percentual (throttle )
φ
Ângulo de Euler - rolamento (roll ), rad
θ
Ângulo de Euler - arfagem (pitch ), rad
ψ
Ângulo de Euler - guinada (yaw ), rad
γ
Ângulo de trajetória, rad
ρ
Densidade atmosférica, slug/f t3
τeng
Constante de tempo do motor, s
ωeng
Velocidade angular do motor, rad/s
aX
Aceleração linear no eixo X da aeronave, g
aY
Aceleração linear no eixo Y da aeronave, g
aZ
Aceleração linear no eixo Z da aeronave, g
A
Matriz de estados
B
Matriz de entrada
C
Matriz de saída
D
Matriz de transmissão direta
b
envergadura, f t
c̄
Corda média aerodinâmica, f t
c1 ...c9
Constantes de inércia
13
CA
Coeciente adimensional de força axial
CD
Coeciente de arrasto
Cl
Coeciente adimensional de momento de roll
CL
Coeciente de sustentação
Cm
Coeciente adimensional de momento de pitch
CN
Coeciente adimensional de força normal
Cn
Coeciente adimensional de momento de yaw
CX
Coeciente adimensional de força no eixo-X
CY
Coeciente adimensional de força no eixo-Y
CZ
Coeciente adimensional de força no eixo-Z
g
Aceleração da gravidade = 32, 174 f t/s2
h
Altitude em relação ao nível do mar, f t
heng
Momento angular do motor no eixo X , slug.f t2 /s
Ieng
Momento de inércia do motor no eixo X , slug.f t2
IX
Momento de inércia no eixo X , slug.f t2
IZ
Momento de inércia no eixo Z , slug.f t2
IXZ
Produto de inércia XZ , slug.f t2
m
Massa, slug
M
Número de Mach
p
Velocidade angular no eixo X , rad/s
q
Velocidade angular no eixo Y , rad/s
r
Velocidade angular no eixo Z , rad/s
Pc
Potência comandada percentual
Pa
Potência real percentual
q̄
Pressão dinâmica, lb/f t2
T
Empuxo, lb
S
Área de referência, f t2
s
Freqüência complexa, rad/s
u
Velocidade linear no eixo X , f t/s
v
Velocidade linear no eixo Y , f t/s
w
Velocidade linear no eixo Z , f t/s
Vt
Velocidade do ar, f t/s
14
RESUMO
O desenvolvimento de veículos aéreos não-tripulados é apresentado como necessidade
e desao tecnológicos para o País. As técnicas necessárias para tal são contextualizadas
dentro das áreas de ensaios em vôo e sistemas de controle, de forma a adequar os procedimentos de identicação às situações reais das etapas práticas do desenvolvimento de
aeronaves.
Estudos a respeito da identicação de seu modelo matemático no domínio da freqüência são propostos, e um método de abordagem do problema é sugerido, baseado na geração
da própria massa de dados no domínio do tempo via simulação não-linear.
Para cumprir este objetivo, inicialmente é estudada a identicação de parâmetros
sob a óptica da escolha do modelo de estrutura e condicionamento das entradas e saídas
para a geração de uma base de dados adequada à conversão para o domínio da freqüência,
sob a forma de análise espectral via transformada rápida de Fourier. Neste ponto, são
denidos os critérios de validação do modelo identicado, e é estabelecida uma base de
informações a respeito do aspecto dos modelos de estrutura possíveis, para diferentes
características das respostas nos domínios do tempo e da freqüência.
Em seguida, são introduzidas as ferramentas de análise modal, responsáveis pela
compatibilização entre as linguagens de sistemas de controle e ensaios em vôo, bem como
o método de Levy, de interpolação complexa, em uma versão adaptada neste trabalho à
solução da identicação de modelos de funções de transferência de sistemas multivariáveis
correspondentes a aeronaves de asa xa.
Como fontes de dados, dois simuladores não-lineares foram implementados: o de um
míssil genérico ar-ar e o de um caça F-16 Fighting Falcon.
As ferramentas apresentadas são então utilizadas em uma determinada seqüência
para a identicação de toda a dinâmica longitudinal do míssil, bem como de modos de
oscilação especícos do F-16, este último por duas técnicas diferentes: ensaio em vôo e
identicação no domínio da freqüência pelo método de Levy. Pólos e zeros multivariáveis
são discutidos e associados ao comportamento físico das aeronaves sob teste.
As soluções são nalmente comparadas com simulações dos modelos linearizados em
pontos de operação escolhidos para vôos simétricos, estáveis e nivelados, concluindo o
trabalho com a validação dos processos estabelecidos.
15
ABSTRACT
The development of unmanned air vehicles is presented as technological necessity and
challenge for the Country. The necessary techniques for such are described inside of the
areas of ight tests and control systems, in order to adjust the procedures of identication
to the real situations of the practical stages of the development of such aircraft.
Studies regarding the identication of its mathematical model in the frequency domain are considered, and a method of dealing with the problem is suggested, based in the
generation of the proper mass of data in the time domain through nonlinear simulation.
To fulll this objective, initially the identication of parameters under the optics
of the choice of the model structure and conditioning of the inputs and outputs for the
generation of an adequate database to the conversion for the frequency domain is studied,
under the form of spectral analysis through fast Fourier transform.
At this point, the validation criteria of the identied model are dened, so is established a base of information regarding the aspect of the possible model structures, for
dierent characteristics of the outputs in the time and frequency domains.
After that, the modal analysis tools are introduced, responsible for linking the languages of control systems and ight tests each other, as well as the Levy's method, for
complex interpolation, in a version adapted in this work to the solution of the model
identication of transfer functions of multivariable systems such as xed wing aircrafts.
As sources of data, two nonlinear simulators had been implemented: an air-to-air
generic missile and a F-16 Fighting Falcon.
The presented tools then are used in one determined sequence for the identication of
the complete longitudinal dynamics of the missile, as well as in specic oscillation modes
of the F-16, this last one by two dierent techniques: ight test and identication in the
frequency domain using the Levy's method.
Multivariable poles and zeros are discussed and associated to the physical behavior
of the aircrafts under test.
The solutions are nally compared with simulations of the linear models in the equilibrium operation points for symmetrical, steady and level ights, concluding the work
with the validation of the established processes.
16
1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo é introduzido o conceito de veículos aéreos não-tripulados e estabelecido formalmente seu vínculo com as áreas de ensaios em vôo e sistemas de controle, em
particular no que diz respeito à sub-área conhecida como "identicação". Serão desta
forma delineados todos os conceitos e justicativas necessários ao desenvolvimento posterior, no qual será realizada a identicação dos modelos de uma aeronave e de um míssil,
formalizando a contribuição deste trabalho: Um procedimento alternativo para identicação de sistemas no domínio aeronáutico, diretamente aplicável à classe das aeronaves
não-tripuladas.
1.1 CONTEXTO
1.1.1 VEÍCULOS AÉREOS NÃO-TRIPULADOS
Os veículos aéreos não-tripulados (VANT), também chamados de Unmanned Ae-
rial Vehicles (UAV), são denidos pelo Departamento de Defesa (DoD - Department of
Defense )dos EUA como "Veículos propulsados, aéreos, que não carregam um operador
humano, e se utilizam de forças aerodinâmicas para gerar sustentação, podendo voar de
forma autônoma ou ser pilotados remotamente, podendo ser descartáveis ou recuperáveis,
e podendo transportar uma carga útil letal ou não-letal ".
Citados formalmente pela primeira vez na edição "Jane's All the World's Aircraft "
de 1920, foram testados durante a Primeira Guerra Mundial, mas não em combate. Posteriormente, o uso pela Alemanha da "Bomba Voadora" V-1 durante a Segunda Guerra
Mundial deixou o terreno preparado para a utilização dos VANTs em situações de conito,
inicialmente pelos EUA no período pós-guerra, devido ao desenvolvimento tecnológico
atingido neste período, o que trouxe o ferramental necessário ao vôo não-tripulado.
Hoje, com dados do DoD /EUA de fevereiro de 2003, apesar de os VANTs constituírem apenas 1% do quantitativo dos EUA em termos de aeronaves(asas xa e rotativa),
os mesmos cumprem cerca de 33% das missões de reconhecimento aéreo realizadas, evidenciando uma forte tendência à substituição dos vôos tripulados nas situações de risco.
Não há dados estatísticos de utilização disponíveis para o Brasil, mas a sua importância
se evidencia na sua utilização pelos países classicados como desenvolvidos.
17
1.1.2 SÍNTESE HISTÓRICA
Três eventos na história do mundo são atualmente considerados como estopins de
mudanças na forma como as nações modernamente administram suas forças armadas no
que diz respeito às estratégias de reconhecimento aéreo: O desmantelamento da União
Soviética, os cortes mundiais dos orçamentos de defesa e a Primeira Guerra do Golfo
Pérsico.
O colapso soviético diminuiu as exigências de grandes orçamentos em sistemas da
inteligência e infraestrutura estratégica. A nova ordem mundial que se levantou era não
previsível e certamente não apropriada para os então atuais sistemas de inteligência.
Acabaram-se as exigências para a monitoração intensa de atividades submarinas soviéticas, uma vez que a nova Rússia pós-Perestroika deu as mãos aos EUA no programa
espacial conjunto da Estação Espacial Internacional. O novo "inimigo número 1" passou
a ser o terrorismo, que tomou o lugar das antigas preocupações com a Guerra Fria.
As nações beligerantes hoje monitoram guerras civis, conitos étnicos e migrações
de refugiados, ao mesmo tempo em que a realidade dos cortes com orçamentos militares
obriga as forças armadas de todo o mundo a buscarem soluções mais baratas e exíveis,
adequadas às novas situações de combate e de serviços de inteligência. Não há mais
um teatro de operações bem denido. O combate moderno se trava com inteligência de
sinais, imagens e pode ocorrer em qualquer local do globo.
O último catalizador para a mudança foi a Operação Desert Storm, devido às suas
ações de inteligência. O mundo acompanhou o conito praticamente em tempo real pelos
meios de comunicações, tornando-se extremamente sensível às vítimas da guerra. Assim,
evidenciou-se o pequeno número de baixas de combate nas forças aliadas aos EUA quando
eram empregados VANTs no lugar de soldados.
Todos estes eventos inamaram o fervor mundial pelos VANTs na execução de missões
críticas sem risco para vidas humanas. Em particular, a Primeira Guerra do Golfo Pérsico
foi responsável pelo grande aumento das pesquisas em todo o mundo nas áreas ans,
como pode ser visto na gura 1.1, que mostra um gráco de dispersão temporal da
quantidade de publicações correlatas, entre os anos de 1957 e 2004, utilizando-se para
isso a bibliograa referenciada ao nal deste trabalho, sendo esta suposta uma amostra
representativa dos assuntos necessários à identicação de aeronaves não tripuladas.
18
10
Número de Publicações
Ajuste da curva
9
8
7
Ponto de quebra: Primeira Guerra do Golfo
6
5
4
3
2
1
0
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
FIG. 1.1: Dispersão temporal de publicações na área de VANT.
VANTs são utilizados tradicionalmente como recursos complementares de operações
de inteligência, reconhecimento e aquisição de alvos, mas seu espectro de aplicações duais
cresce a cada dia. A despeito das aplicações civis, VANTs atualmente em serviço exercem ainda funções de reconhecimento e de inteligência, como por exemplo em operações
recentes de combate contra o regime Taliban e líderes da Al Qaeda no Afeganistão e no
Yemen, bem como em lançamentos de mísseis Hellre e outros suportes a campanhas em
terra, tanto na operação Iraqi Freedom em março 2003 como na Operação Desert Storm,
da Primeira Guerra do Golfo Pérsico, em que foram relatados episódios de soldados
iraquianos se rendendo a veículos não-tripulados.
A guerra ao terrorismo exerceu grande inuência sobre o que se considera a missão
preliminar dos VANTs, ou seja, a coleta de informações de inteligência. Sua ecácia militar foi considerada satisfatória internacionalmente a partir dos conitos no Iraque (2003),
Afeganistão (2001), e Kosovo (1999), o que abriu os olhos de muitos às vantagens fornecidas por aeronaves não-tripuladas. Recentemente, em dezembro de 2002, DoD /EUA
emitiu uma recomendação da Força-Tarefa para o Congresso Americano de que fossem
autorizados os vôos de VANTs em todo o território dos EUA, não apenas no espaço aéreo
restrito dos campos de provas mas também sobre rotas aéreas comerciais e linhas de
defesa avançadas.
Por outro lado, devido a fatores externos tais como a mudança, depois do episódio
de 11 de setembro de 2001, da conjuntura internacional no que diz respeito à utilização
de tecnologias com ns terroristas, surgiram leis e tratados, a exemplo da Resolução 1540
19
do Conselho de Segurança das Nações Unidas, de 28 de abril de 2004, que restringem a
pesquisa, utilização e exportação de bens e serviços que possam vir a ser utilizados com
nalidade terrorista - entre as quais encontramos os veículos não-tripulados. Citando a
Resolução: "Arming that proliferation of nuclear, chemical and biological weapons, as
well as their means of delivery, constitutes a threat to international peace and security ".
O mesmo texto dene o termo "means of delivery " da seguinte forma: "Means of
delivery: missiles, rockets and other unmanned systems capable of delivering nuclear,
chemical, or biological weapons, that are specially designed for such use." Esta nova
visão mundial situa os VANTs como alvos de críticas internacionais quanto ao seu
desenvolvimento, aquisição e utilização, o que coloca o Brasil na seguinte situação:
É necessário desenvolver a tecnologia, já que não se poderá mais adquiri-la.
Mais
ainda, é preciso fazê-lo de maneira que seja evidenciada a sua aplicação dual. Além
de ter aplicações militares óbvias, é preciso voltar as atenções para as suas aplicações civis.
1.2 MOTIVAÇÃO
Nesta seção é estabelecida a vinculação entre os procedimentos de ensaios em vôo e
as técnicas de identicação no domínio da freqüência aplicadas aos sistemas de controle,
objetos desta dissertação.
1.2.1 VANTS E SISTEMAS DE CONTROLE
Testes de vôo bem sucedidos demonstram o desempenho dos novos sensores aviônicos e ilustram o grande potencial da utilização das aeronaves não-tripuladas como
plataformas de testes para experiências de navegação e controle. Os VANTs não apenas
representam plataformas de baixo custo, mas seu projeto e controle facilitam a exploração de muitas áreas da pesquisa em sistemas de controle, variando desde o controle de
vôo de baixo nível até o projeto de algoritmos para missões múltiplas de coordenação e
planejamento, tudo tendo em vista o vôo autônomo.
Se o objetivo da pesquisa for, então, transformar uma aeronave qualquer em um
VANT, será necessário substituir o piloto por alguma eletrônica embarcada capaz de
realizar as tarefas de pilotagem e comando da carga útil na execução de tarefas. Um tipo
básico de controlador de vôo é conhecido como SAS - Stability Augmentation System,
ilustrado conceitualmente na gura 1.2. O SAS tem a função de deixar transparentes
para o piloto da aeronave todas as operações de compensação de efeitos de acoplamentos
20
entre canais ou modos oscilatórios que surgem naturalmente durante o vôo. Efeitos de
acoplamentos entre os modos naturais das aeronaves de asa xa serão estudados no
Capítulo 2.
FIG. 1.2: Malha de controle de aeronave com SAS.
Qualquer que seja a tarefa a ser realizada pelo computador de bordo, a aeronave
precisará ser vista como uma planta que receberá entradas de controle e produzirá saídas
como resposta. Para que seja realizado o controle da planta, seu modelo matemático
precisa ser conhecido, e o conhecimento e formas de obtenção deste modelo serão aqui
estudados através das técnicas de identicação.
O modelo matemático que se deseja identicar corresponde ao de um sistema multivariável, com 4 entradas e tantas saídas quantas sejam possíveis de serem monitoradas
através de sensores para supervisão do vôo, além das necessárias à pilotagem, como ilustrado na gura 1.3.
FIG. 1.3: Modelo pictórico de malha aberta de um VANT.
21
As relações entrada-saída entre todos os canais da planta são uma característica do
sistema físico e serão utilizadas para o levantamento do modelo de malha aberta. A
obtenção das relações entrada-saída pertence ao domínio da área de ensaios em vôo,
enquanto sua utilização para obtenção do modelo matemático pertence ao domínio da
área de identicação paramétrica. Ensaios em vôo serão a seguir situados dentro do
contexto dos sistemas de controle, enquanto as técnicas de identicação de parâmetros
serão abordadas no Capítulo 2.
1.2.2 ENSAIOS EM VÔO
Os ensaios em vôo são testes realizados com as aeronaves, normalmente após a produção do seu protótipo e antes do início da produção em série. Também são realizados
para a certicação de modicações feitas no seu projeto original.
O verdadeiro teste de toda aeronave é o vôo real, e esta é a etapa onde a ferramenta
do ensaio em vôo se torna criticamente importante. Um avião novo ou um avião recentemente modicado não são simplesmente construídos e colocados imediatamente em
serviço. Deve-se submeter o protótipo a rigorosos testes de vôo. Todas as predições feitas
através de ferramentas como modelos de escala reduzida em túneis de vento são somente
estimativas de projeto. É durante os ensaios em vôo que tais predições são nalmente
comprovadas ou rejeitadas.
Ensaios em vôo requerem planejamento e preparação. Sensores são colocados na
aeronave para registrar forças, pressões, movimentos das superfícies de controle, movimentos dos controles do piloto e comunicações da telemetria, bem como dados de atitude
da aeronave (ângulos de Euler). Cada informação possível sobre o vôo é gravada. Barômetros, termômetros e anemômetros são também instalados para registrar as condições
ambientais durante o vôo, e um esquema genérico de aeronave instrumentada para ensaio
pode ser visto na gura 1.4.
Uma lista precisa e exaustiva de todas as manobras que os engenheiros de ensaios em
vôo desejam que o piloto realize é compilada em um plano de vôo. Cada ação do piloto
é prescrita neste plano - da decolagem à aterrissagem (ou amerrissagem). Um piloto de
ensaios em vôo recebe horas de treinamento, não somente em como voar e em como lidar
com situações de emergência, mas também como relatar exatamente o que está vendo,
sentindo e ouvindo durante todo o vôo. Todo o comportamento da aeronave durante o
vôo é descrito e analisado sob a óptica do que se convencionou chamar de ying qualities,
ou seja, as características de uma aeronave quanto à sua manobrabilidade e capacidade
22
FIG. 1.4: Aeronave genérica instrumentada para ensaio em vôo.
de sobreviver a situações críticas como stall (perda de sustentação) ou saídas de espirais.
A palavra-chave para a execução dos ensaios em vôo é "sensor". Quanto mais bem
instrumentada estiver a aeronave, mais informações sobre ela será possível obter.
1.2.3 ENSAIOS EM VÔO E IDENTIFICAÇÃO
O foco do trabalho de identicação neste estudo é o monitoramento das relações
entrada-saída para condições de vôo retilíneo, nivelado e estável da aeronave (VREN).
Este modo de vôo em especial foi escolhido tendo em vista a simplicação do processo de
linearização do sistema por ocasião da identicação. Dados de todos os sensores conseguidos através de ensaios em vôo simulados são vistos como registros do comportamento da
aeronave devido ao posicionamento de seus pólos e zeros de malha aberta, sendo tratado
cada canal da planta como uma função de transferência única. As relações entrada-saída
são obtidas no domínio do tempo, convertidas para o domínio da freqüência via transformada de Fourier e utilizadas como bases de dados para processos de identicação em que
serão extrapoladas as funções de transferência de cada canal dos modelos linearizados
locais. No nal, os resultados obtidos na identicação do modelo de funções de transferência serão comparados com os dados de vôo medidos inicialmente. Dados típicos de
um registro de ensaio em vôo podem ser vistos na Figura 1.5, tendo a mesma formatação matemática de dados utilizados nas técnicas de identicação paramétrica a partir do
domínio do tempo. A motivação para este trabalho vem da utilização das técnicas do
23
domínio da freqüência sobre estes dados, o que abre um horizonte de possibilidades em
termos de análise do modelo identicado.
FIG. 1.5: Exemplo de relação entrada x saída - Asa Fixa.
Não se pode deixar de considerar fatores como a disponibilidade comercial de sensores, o processamento dos sinais monitorados e os sistemas auxiliares desenvolvidos, que
são combinados para otimizar este processo trabalhoso e demorado. A potencialidade
para projetar, fabricar e instalar uma instrumentação desenvolvida para ensaios em vôo,
incluindo a certicação do modelo através do próprio vôo, será demonstrada como bemsucedida para dados de alta delidade obtidos do simulador de vôo, desenvolvido para
suprir a necessidade de dados experimentais. Um total de 56 parâmetros físicos serão
medidos, gravados e transformados para o domínio da freqüência.
Alguns sinais foram escolhidos fora da instrumentação básica da aeronave, mas o
volume de parâmetros necessários à completa identicação do modelo requereu sensores
adicionais "instalados" no simulador. Entretanto, todos os sinais monitorados são éis
à realidade e às possibilidades de execução num trabalho posterior. As aeronaves de
testes para ensaios em vôo foram o T − 25 e o Xavante, que serviram como plataformas
para nosso aprendizado conceitual na Divisão de ensaios em vôo do IAE. As técnicas de
identicação foram aplicadas sobre um modelo de F − 16, retirado do livro STEVENS
(1992).
Os procedimentos adotados para os simuladores apresentados no trabalho são idênticos aos utilizados para tratamento de dados de ensaios em vôo realizados em veículos
24
não tripulados, de forma que se busca o estabelecimento de uma técnica de identicação
de modelos de simuladores capaz de ser diretamente aplicada no caso real.
Tal acoplamento de conhecimentos estabelece a vinculação entre a linguagem dos
sistemas de controle e a linguagem dos ensaios em vôo, e é motivação para este trabalho,
que visa estabelecer como contribuição um roteiro de aplicação de procedimentos de
identicação a partir de dados obtidos em vôos simulados, totalmente aplicável a VANTs.
1.3 OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO
O objetivo principal desta dissertação é formalizar um método alternativo de abordagem do problema da identicação de modelos, aplicado a sistemas aeronáuticos, capaz
de lidar com dados reais obtidos a partir de ensaios em vôo. Para que esta tarefa seja
executada, são estipulados alguns objetivos intermediários, nominalmente:
• Equacionar os modelos linear e não-linear da aeronave e do míssil a serem identicados, com o objetivo de estabelecer uma ferramenta de simulação e outra de
validação do processo de identicação.
• Estudar as técnicas de identicação e estabelecer uma seqüência de etapas para tratamento da base de dados gerada pelos simuladores não-lineares, de forma a torná-la
útil à identicação dos modelos. Para tal, é reintroduzido o método referenciado
em LEVY (1959) para identicação no domínio da freqüência.
• Aplicar a metodologia de identicação desenvolvida aos modelos de um míssil arar genérico e de um caça F − 16, através de procedimentos possíveis de serem
replicados no caso de um VANT.
• Validar o método através da comparação dos modelos identicados com os modelos
não-lineares.
Acredita-se que a metodologia proposta para abordagem do problema da identicação
de aeronaves seja capaz de ser diretamente utilizada na identicação do modelo linear de
veículos não-tripulados que venham a ser estudados pela linha de pesquisa em VANT no
IME, no que poderá ser uma seqüência prática deste trabalho.
25
1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Para atender aos objetivos propostos, um extenso levantamento bibliográco foi realizado. A identicação de sistemas aeronáuticos no domínio da freqüência tem diversas
particularidades em relação à identicação como um todo. Aeronaves têm um comportamento característico em relação aos seus modelos de seis graus de liberdade, de forma
que técnicas especiais devem ser aplicadas se a intenção for realizar o levantamento destes
modelos a partir de dados experimentais. Por isso, obedecendo aos objetivos traçados
na seção anterior, a bibliograa selecionada foi dividida em 9 áreas de concentração, de
forma a atender às diversas etapas que serão cobertas daqui para frente, conforme a
seguinte lista:
• Modelagem e controle de mísseis: ABRAHAM (1962), BLAKELOCK (1991), CHIN
(1961), GARNELL (1980) e PELLANDA (2002);
• Modelagem e controle do F − 16: TAYLOR (2003), BLAKELOCK (1991), BRUMBAUGH (1991), DUKE (1988), GARNELL (1980), JOHNSON (2001), LEONARD
(2003), MAGNI (1997), MORELLI (1998), MORELLI (1999), MORELLI (2003),
NGUYEN (1979), STEVENS (1990) e STEVENS (1992);
• Identicação de VANTs e outras aeronaves a partir de ensaios em vôo ou dados
de túnel de vento: GAUTREY (1999), HUZMEZAN (2003), KARLSSON (2002),
KLEIN (1998), KOPP (1999), LEONARD (2003), LLIFF (1987), MAGNI (1997),
MCKELVEY (1996), MORELLI (1996), MORELLI (1997), MORELLI (1998),
MORELLI (1999), MURPHY (2001), NASA (1974), STECK (2003), PETTERSSON (2002), TISCHLER (1995) e TISCHLER (1992);
• Algoritmos e procedimentos de identicação, analíticos e via otimização:
BULTHEEL (2004), ROLAIN (1997), LEVY (1959), LAMB (1970), GONZALEZ (2000), COUTLIS (2000), ESKINAT (2000), FRANDSEN (1999), GUCHT
(2002), GUCHT (2000), HEUBERGER (1998), O'DWYER (2001), PETTERSSON
(2002), RICHARDSON (1982), SANATHANAN (1966), SANATHANAN (1988),
SANATHANAN (1963), VARGAS (1999), WANG (1993), VARGAS (2001), ZADEH (1956) e VRIES (1998);
• Base teórica em sistemas de controle e controle de aeronaves: DOYLE (1990),
FRANKLIN (1998), GARNELL (1980), GAUTREY (1999), GELB (1967), KAI26
LATH (1980), KARLSSON (2002), LY (1997), MAGNI (1997), NELSON (1989),
RABENSTEIN (1998), RODRIGUEZ (1998) e VIDYASAGAR (1978);
• Engenharia aeronáutica: ANDRADE (1999), BLAKELOCK (1991), ASHLEY
(1974), CIAVEX (1997a), CIAVEX (1997b), CIAVEX (1997c), CIAVEX (1997d),
DAY (2002), FALEIRO (1998) e KARLSSON (2002);
• Simulação linear e não-linear: HEFFLEY (1988), JOHNSON (2001), LEONARD
(2003), LY (1997), MAGNI (1997), MORELLI (1998), MORELLI (1999) e MORELLI (2003);
• Análise modal: ALLEMANG (1999), ASHLEY (1974), DAY (2002), FALEIRO
(1998), LITTLEBOY (1994), PETTERSSON (2002), SABINO (2003) e TAYLOR
(2003);
• Transformada de Fourier: CARLSON (1986) e SABINO (2003).
A modelagem e o controle de mísseis são a base de todos os trabalhos de simulação
e identicação, uma vez que oferecem um desao computacional muito menor do que o
modelo do F-16. Os trabalhos de BLAKELOCK (1991) e GARNELL (1980) são clássicos
da literatura de sistemas de controle aplicados à aeronáutica, enquanto que os demais
autores citados oferecem tanto uma compreensão mais simplicada dos modelos de simulação não-linear do canal vertical de um míssil genérico como a compreensão física do
mesmo modelo.
Já em termos de simulação e controle de um modelo de caça F − 16, foi necessária uma compreensão mais detalhada dos modos de vôo da aeronave, já que este caça
apresenta algumas peculiaridades de projeto que fogem ao convencional em termos de
aeronave de asa xa. Os trabalhos de DUKE (1988) e BRUMBAUGH (1991) abordam a
modelagem linearizada do caça, ao passo que MAGNI (1997) e JOHNSON (2001) abordam as questões de controle de vôo e instrumentação. Entretanto, NGUYEN (1979) e
MORELLI (2003) foram as principais fontes de informação que permitiram a execução do
simulador não linear a 6 graus de liberdade utilizado neste trabalho, sendo considerados
publicações de referência em todo o mundo quando se trata da modelagem do F − 16.
O trabalho destes autores é complementado pelo texto STEVENS (1992), que apresenta
modelos numéricos baseados em valores reais e sugere algoritmos ótimos para simulação
não-linear em tempo real.
27
Diversos processos de identicação foram estudados, como por exemplo a aproximação por séries de funções ortogonais, abordada em GUCHT (2000) e GUCHT (2002), e
sua utilização no domínio da freqüência discutida em VRIES (1998), BULTHEEL (2004)
e RICHARDSON (1982). Entretanto, tal abordagem, apesar de útil na compreensão das
soluções analíticas sobre conjuntos convexos, não se mostrou tão eciente em lidar com o
modelo do F − 16 quanto as soluções sugeridas por LEVY (1959), que vieram a se tornar
a principal ferramenta de identicação deste trabalho. Esse processo gerou uma série de
trabalhos posteriores, como por exemplo o de SANATHANAN (1963) e VARGAS (2001),
nos quais melhorias do algoritmo são apresentadas para corrigir pequenas distorções de
baixas freqüências que não chegaram a afetar os resultados aqui apresentados.
Eleito o método de LEVY (1959), o condicionamento de dados de ensaios em vôo para
sua utilização em identicação no domínio da freqüência passou a ser necessário devido
às características particulares de tais massas de dados. A abordagem dos ensaios em
vôo pela óptica da identicação é então discutida em HUZMEZAN (2003), KARLSSON
(2002), KOPP (1999) e LLIFF (1987), este último um guia da NASA para o assunto
que é complementado por NASA (1974). Aspectos particulares de ensaios em vôo são
apresentados em TISCHLER (1995) e TISCHLER (1992).
A segunda ferramenta mais importante deste trabalho é a análise modal, e o interfaceamento da linguagem dos ensaios em vôo com a dos sistemas de controle no que diz
respeito aos pólos e zeros de um modelo linear de um sistema aeronáutico. Tal vinculação
foi possível graças aos resultados de FALEIRO (1998), LITTLEBOY (1994), ASHLEY
(1974) e PETTERSSON (2002).
Os demais textos apresentados como referências bibliográcas formam um conjunto
de fontes que possibilitam o acoplamento das bases da teoria de controle às técnicas de
transformação de massas de dados para o domínio da freqüência a partir de resultados
de simulações não-lineares e ensaios reais.
1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
Esta dissertação está dividida em 4 capítulos e 1 anexo, além desta introdução, de
forma a realizar a cobertura de todos os objetivos listados anteriormente, de acordo com
a seguinte organização:
• Capítulo 2 - Identicação de Sistemas - Técnicas de identicação de sistemas são
estudadas e adequadas à solução do problema abordado neste trabalho. A teoria
da identicação de sistemas aeronáuticos é contextualizada em termos de sistemas
28
de controle e etapas intermediárias necessárias à aplicação dos métodos são introduzidas de forma que se possa chegar com segurança à solução do problema da
identicação de parâmetros no domínio da freqüência. Também neste capítulo são
estudados os condicionamentos necessários dos dados no domínio do tempo, bem
como sua relação com os procedimentos práticos envolvidos, para que se obtenha
informações úteis no domínio da freqüência.
• Capítulo 3 - Sistemas Exemplo - São estudados dois sistemas físicos retirados da
literatura: Um míssil ar-ar genérico e um caça F-16. Ambos os modelos não-lineares
serão simulados em ambiente MATLAB / SIMULINK, tendo levantadas as relações
entrada-saída de suas plantas multivariáveis no domínio do tempo.
• Capítulo 4 - Identicação no Domínio da Freqüência - A informação levantada
no Capítulo 3 é convenientemente tratada e então convertida para o domínio da
freqüência, onde é utilizada como base para o processo de identicação. Modelos
de função de transferência são identicados e comparados com os modelos linearizados nos mesmos pontos de operação utilizados para a geração dos dados para
identicação.
• Capítulo 5 - Conclusões e Perspectivas - São feitos os comentários sobre as principais
conclusões do trabalho e relacionados possíveis temas de investigação futura.
• Anexo I - São discutidas as relações entre formato da função de transferência,
resposta temporal e resposta em freqüência de sistemas SISO.
29
2 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS
Neste capítulo a Identicação de Sistemas é inserida no contexto dos sistemas de
controle, através de uma abordagem do problema em termos de relações entrada-saída.
É realizado um estudo conceitual do processo de identicação, seguido da apresentação
das técnicas matemáticas escolhidas para cumprir as diversas etapas do processo.
2.1 CONCEITOS DE IDENTIFICAÇÃO
A palavra "identicação" foi introduzida em ZADEH (1956) como uma expressão
genérica para o problema de "determinar as relações entrada-saída de uma caixa preta
por meios experimentais".
Zadeh formulou o problema geral da identicação como:
• dados
a) uma caixa preta, G, cujo modelo entrada-saída não é conhecido a priori;
b) o espaço das entradas de G;
c) uma classe M de modelos para tal caixa preta que, com base em alguma informação
inicial sobre G, é sabida conter um modelo para a mesma;
• determinar, observando a resposta de G às várias entradas, um membro de M
que seja equivalente a G no sentido de que suas respostas a todas as funções do
tempo, no espaço das entradas de G, sejam idênticas àquelas de G.
Métodos de identicação lidam com o problema de se construir um modelo dinâmico
de algum sistema que se deseja estudar, a partir da observação dos seus dados de entrada
e saída.
Um sistema dinâmico pode ser conceitualmente ilustrado como na Figura 2.1, aparecendo aqui estimulado por sinais externos. Os sinais externos que podem ser controlados
pelo usuário são chamados de entradas u (t), enquanto os que não pode ser manipulados são chamados de distúrbios ou perturbações v (t). Os sinais em que o observador
30
FIG. 2.1: Modelo pictórico de sistema.
está interessado são chamados de saídas y (t). Tipicamente, para todos os sistemas dinâmicos, o valor da saída atual depende não somente das entradas atuais mas também
de seus valores passados. Este argumento encontra justicativa na causalidade do sistema, que implica o fato de as funções de transferência identicadas serem bipróprias ou
estritamente próprias. Somente serão tratados neste estudo sistemas causais.
Modelos matemáticos são úteis na prática porque fornecem uma descrição do comportamento do sistema através de expressões matemáticas que podem ser examinadas
e analisadas de forma simples. Os modelos matemáticos podem ser derivados de duas
maneiras, por modelagem ou por identicação.
Denição 2.1 (Modelagem). Modelagem de um sistema é o processo através do qual
se deriva os modelos das leis básicas da física para descrever o comportamento dinâmico do fenômeno ou processo. Consiste na subdivisão de um sistema desconhecido em
subsistemas cujas propriedades são bem conhecidas na forma das leis básicas, e posterior
combinação matemática destes subsistemas para obtenção do modelo do sistema completo.
Denição 2.2 (Identicação). Identicação de um sistema é o processo pelo qual se
determina o modelo dinâmico a partir da análise de dados experimentais. Consiste no
estabelecimento da experiência da identicação, na determinação de uma formulação
apropriada de um modelo acoplado com seus parâmetros, e em um procedimento nal de
validação do modelo.
Considere o seguinte exemplo como base para discussão:
É apresentada uma coleção de pares sob a forma de vetor {[y(t); u(t)] ; t = 1, ..., N },
resultante da observação das entradas u(t) e saídas y(t) de um processo qualquer. Este
conjunto será chamado "conjunto de treinamento", nome derivado da aplicação de processos de otimização utilizados em outros tipos de abordagem.
31
É então apresentado um novo valor u(t + 1) e é pedido um valor correspondente
y(t + 1). A variável t pode ser o tempo, mas pode também representar qualquer outra
grandeza física. Os vetores y(t) e u(t) podem assumir valores dentro de conjuntos ou
subconjuntos nitos do Rn , por exemplo, e a dimensão de u(t) pode ou não depender de
t, não necessitando ser nita.
Aborda-se o problema da modelagem matemática tentando-se construir uma função
estimada ĝN (t, u(t)), baseada no conjunto de treinamento, e utilizar esta função para
calcular y(t) a partir de novos u(t), de tal forma que:
y(t) = ĝN (t, u(t))
O subescrito N pode signicar que a função estimada é de N-ésima ordem, ou que
ela foi calculada a partir de um conjunto de treinamento de N amostras.
Assim formulado, o problema da identicação cobre a maioria dos tipos de problemas
de classicação e construção de modelos baseados em relações entrada-saída.
Essencialmente, deve-se procurar a função ĝN (t, u(t)) em uma família de funções que
sejam descritas (parametrizadas) em termos de um número nito de parâmetros. Estes
parâmetros serão denotados por θ.
A família de funções candidatas ao modelo será chamada de "modelo de estrutura",
e será descrita como g(t, θ, u(t)).
O valor de y(t) é então forçado a igualar a função candidata ĝN (t, u(t)), através da
seguinte relação:
y(t) ≈ g(t, θ, u(t))
Costuma-se utilizar alternativamente a notação ŷ(t|θ) = g(t, θ, u(t)), para lembrar
que g é um valor predito ou estimado de y .
A busca por uma boa função modelo é realizada então em termos dos parâmetros θ.
O valor escolhido θ̂N que nos dá a melhor aproximação da função estimada nos fornece:
ĝN (t, u(t)) = g(t, θ̂N , u(t))
2.2 FORMALIZAÇÃO DO PROCESSO DE IDENTIFICAÇÃO
O processo de partir de dados observados e chegar a um modelo matemático é, na
área de sistemas de controle, denominado "Identicação" e o seu objetivo é encontrar
modelos dinâmicos a partir dos sinais observados da entrada e de saída de uma planta
32
qualquer. Equações diferenciais serão representadas por funções de transferência para o
caso de identicação de modelos linearizados.
Os quatro ingredientes principais do processo que nos leva dos dados observados ao
modelo identicado são:
a) Dados de entrada e saída;
b) Família de modelos de estrutura;
c) Critério de identicação;
d) Procedimentos de validação.
2.2.1 DADOS DE ENTRADA E SAÍDA
A identicação de sistemas começa e termina com dados reais. Dados são necessários
para construir e validar modelos. Por outro lado, o resultado do processo de identicação
pode não ser melhor do que o correspondente à informação contida nos dados. Dados de
entrada e saída são normalmente expressos sob a forma de grácos da evolução temporal
dos sinais, como na Figura 1.5.
2.2.2 FAMÍLIA DE MODELOS DE ESTRUTURA
A etapa mais importante no processo de identicação é a escolha de um modelo de
estrutura, ou seja, um conjunto de modelos candidatos a representar o processo.
No processo uma grande quantidade de estruturas de modelo é testada e o processo
de identicação transforma-se num processo de avaliação e escolha entre os modelos resultantes nestas estruturas. É natural distinguir entre dois tipos de estrutura de modelos:
• Estruturas do tipo Black-Box, ou caixa-preta;
• Estruturas do tipo White-Box, ou de modelo físico;
Uma estrutura do tipo caixa-preta é uma estrutura onde a parametrização em termos
de um vetor θ~ de parâmetros é escolhida de modo que a família de modelos candidatos
cubra tantos modelos quanto seja possível ou apenas de interesse. Nenhuma atenção em
particular é prestada à aplicação real, de forma que o modelo físico do sistema não precisa
ser necessariamente conhecido.
Para um sistema linear se pode escolher como parâmetros os coecientes da resposta
ao impulso, de um modelo nito de resposta ao impulso.
33
ŷ(t|θ) =
M
X
θk .u(t − k)
k=1
onde:
• ŷ(t|θ) é a saída do modelo predito ou estimado no tempo t;
• θ~ = [θ1 , θ2 , ..., θk , ..., θM ] é o vetor de parâmetros a serem ajustados; e
• u(t) é a entrada.
Em geral pode-se escrever uma estrutura de caixa-preta conceitual como:
ŷ (t|θ) =
M
X
θk .hk (t)
(2.1)
k=1
isto é, como algum tipo de expansão em série da função. Funções especiais para este
tipo de aplicação incluem as chamadas bases de Laguerre, e outras classes de funções
ortogonais, tais como apresentadas em BULTHEEL (2004). No caso geral as funções da
base {hk } podem também depender de θ.
Estruturas de modelagem física ou White-Box são utilizadas caso se disponha de
uma introspecção física das propriedades do sistema a ser identicado. Não se estima
o que já se conhece. Escreve-se as leis e relações físicas que descrevem o sistema, e em
seguida escolhe-se as variáveis de estado. É escrito um modelo sob a forma de espaço de
estados, em função de constantes físicas desconhecidas. O processo da identicação deve
então estimar estas constantes.
2.2.3 CRITÉRIO DE IDENTIFICAÇÃO
No problema da aproximação de y(t) por uma função estimada parametrizada y(t) ≈
g(t, θ, u(t)) pode-se assumir que os erros de estimação, ou seja, as diferenças entre a função
real e a identicada, são devidos a erros numéricos ou mesmo simplesmente a medidas
de entradas e saídas que não fazem parte do conjunto de treinamento, na forma:
y (t) = ŷ (t|θ) + v (t)
onde v(t) responde pelos erros de estimação.
A função v(t) é, portanto, uma entrada não medida, usualmente referida como "perturbação ou ruído".
34
Claramente é preciso assumir algumas hipóteses a respeito de v(t) para que se possa
calcular com alguma eciência os valores de θ.
Há essencialmente duas estratégias de abordagem para o processo de identicação:
probabilística e determinística.
• Determinístico: Condicionar o conjunto de possíveis sinais v(t) de alguma forma,
como por exemplo:
{v (t)} ≤ C, ∀t
sendo C uma constante real qualquer. Trata-se de estipular um valor máximo para
as entradas espúrias do sistema.
• Probabilístico:
Atribui-se probabilidades às possíveis diferentes seqüências
{v (t)}, ou seja, descreve-se {v (t)} como um processo aleatório com função de distribuição probabilística conhecida (média e desvio padrão). O ruído então poderá
ser tratado, ou até mesmo removido do processo, pois tem característica conhecida.
2.2.4 PROCEDIMENTOS DE VALIDAÇÃO
No caso da identicação concluída, não é o bastante ter-se descoberto um modelo
nominal θ̂N . Deve-se também ter uma medida de sua conabilidade. A validação do
modelo é o processo de examinar o modelo, avaliar sua qualidade e possivelmente de
rejeitar seu uso para a nalidade desejada.
A validação do modelo tem ao menos três objetivos diferentes:
a) Decidir se o modelo é adequado para a aplicação pretendida;
b) Decidir o quão distante do verdadeiro sistema está o modelo;
c) Decidir se o modelo e os dados são consistentes com as suposições inicialmente
realizadas a respeito do modelo de estrutura.
Estes objetivos se sobrepõem em parte, mas é ainda possível se delinear algumas
técnicas básicas de abordagem do problema:
• A manobra mais pragmática para se decidir se um modelo é adequado é testando
se ele é capaz de reproduzir dados de validação (dados que não foram usados para
estimar o modelo), na simulação ou na predição. Uma simples inspeção visual dos
resultados pode dizer se o ajuste foi bom o suciente.
35
• Determinar limites do erro - a que distância estão o sistema verdadeiro e o modelo
um do outro. Se for adotado um ajuste probabilístico e se houver a suposição de
que o sistema verdadeiro deve ser encontrado dentro da estrutura escolhida, o problema transforma-se numa questão de vericar o quanto os distúrbios estocásticos
podem afetar o modelo. A matriz de covariância da distribuição assintótica é usada
classicamente para o cálculo dos limites de erro nestes casos.
• Testar se os dados e o modelo são consistentes com as suposições feitas sobre a
estrutura do modelo, o que é uma tarefa direta.
³
´
São assim computados os resíduos ε (t) = y (t) − ŷ t|θ̂N , calculados a partir do
modelo e de um conjunto de dados de validação.
Deve-se checar se:
• kε (t)k ≤ C no caso determinístico, ou
• ε (t) e u (t − τ ) são variáveis aleatórias independentes, no caso probabilístico. Este
teste é um dos chamados "testes de análise de resíduo" da teoria das probabilidades.
Um aspecto muito importante das etapas de validação dos sistemas identicados é
como lidar com a validação de sistemas não modelados. A identicação tipo caixa-preta
não nos permite utilizar a medida das distâncias entre dois conjuntos de dados, um devido
ao sistema modelado e outro devido ao sistema identicado. Neste caso em particular,
a validação deve ser feita submetendo-se o sistema identicado ao mesmo conjunto de
entradas utilizadas no processo de identicação, e medindo-se a distância entre as saídas.
De qualquer forma, um modelo matemático é apenas uma descrição aproximada do
processo real. A identicação estará sempre sujeita a uma série de erros nessa aproximação, que podem ser de dois tipos:
a) Erros devidos a entradas não medidas, ou erros aleatórios, ou erros de variância, e
b) Erros devido à modelagem excessivamente simples da estrutura.
A validação do modelo dependerá, portanto, de um processo eciente de se medir a
distância entre o sistema real e o modelo identicado, ou realizar tal medida indiretamente
através da medida das saídas devida à mesma entrada, para ambos. Tais processos serão
abordados mais detalhadamente no Capítulo 3.
36
2.3 LADO PRÁTICO DA IDENTIFICAÇÃO
Um elemento essencial no processo da identicação é tentar-se estabelecer diferentes
modelos de estruturas, calcular o melhor modelo em termos de distância, e validá-lo
com dados experimentais. Tipicamente, isto deverá ser repetido com algumas estruturas
diferentes antes que um modelo satisfatório possa ser encontrado. Não se deve subestimar
as diculdades inerentes a este processo, sendo sugeridos os seguintes aspectos práticos
a serem observados para que se ganhe alguma introspecção nos modelos de estruturas:
a) Pela observação dos dados, estimar a ordem do sistema e o modelo de estrutura;
b) Simular este modelo com a entrada e comparar a saída simulada com a saída medida
sobre todo o registro de dados.
Diante deste procedimento, pode-se recair em dois casos:
a) Primeiro caso: A simulação parece boa. Então o modelo é conável e algum trabalho adicional pode ser empreendido tentando-se modelar o sistema com ordens
diferentes, e adicionando ruído aos sinais - a sintonia na do modelo pode ser realizada e seu domínio de validade estendido.
b) Segundo caso: A simulação não foi boa. Então deve-se realizar algum trabalho
adicional no sentido de vericar a causa.
Há três razões básicas para a falha:
a) A dinâmica linear necessita de uma descrição de ordem mais elevada. Esta é, na
prática, a razão menos provável, à exceção de sistemas com ressonâncias mecânicas.
b) Há mais sinais que afetam signicativamente a saída. Deve-se então procurar no
sistema físico o que estes sinais podem ser, para vericar se podem ser medidos e
desta forma incluídos entre as entradas. De outra forma, deve-se sinalizar as fontes
que não podem ser seguidas ou medidas, e estas serão chamadas "perturbações".
Simplesmente tem-se que conviver com o fato que terão um efeito adverso nas
comparações.
c) Algumas não-linearidades importantes foram negligenciadas. Deve-se então recorrer
à física do sistema para descobrir se alguns dos sinais medidos estão sujeitos a
transformações não-lineares. Se nenhuma transformação não-linear aparecer na
modelagem preliminar, pode-se ter que tentar algum modelo não-linear de caixapreta.
37
Seja então efetuado no domínio do tempo ou da freqüência, o processo de identicação de um modelo dinâmico a partir da observação de suas entradas e saídas tem,
quaisquer que sejam os métodos utilizados para cumprir as diversas etapas de cálculo,
um uxo natural de procedimentos, que pode ser melhor visualizado na síntese abaixo:
Primeira etapa: especicação do experimento.
A experiência de obtenção de dados é executada excitando-se o sistema com algum
sinal ou conjunto de sinais de entrada escolhidos, e assim observando e gravando os
sinais de saída. O alvo desta experiência é obter os dados da entrada e da saída com
uma quantidade de informações empiricamente determinada adequada na presença de
perturbações desconhecidas.
Segunda etapa: escolha do modelo de estrutura e estimação da ordem
Praticamente qualquer sistema causal, linear e invariante no tempo, com uma entrada
e uma saída, pode ser descrito sob a seguinte forma:
G (s) =
An .sn + ... + A4 .s4 + A3 .s3 + A2 .s2 + A1 .s1 + A0
Bn+1 .sn+1 + ... + B5 .s5 + B4 .s4 + B3 .s3 + B2 .s2 + B1 .s1 + B0
Terceira etapa: estimação de parâmetros
Uma vez selecionado o modelo de estrutura, a etapa seguinte é estimar seus parâmetros a m de caracterizar completamente o sistema sob estudo. Há diversos métodos
de identicação em que as etapas de estimação são ligadas, porque é quase impossível
vericar a qualidade de um modelo sem estimar seus parâmetros, e é essencial denir
um modelo de estrutura antes que seus parâmetros possam ser estimados. Os métodos
escolhidos neste trabalho serão detalhados no próximo capítulo.
Quarta etapa: validação do modelo
Após a estrutura do modelo ter sido escolhida e seus parâmetros apropriadamente
identicados de acordo com algum critério, tal modelo é submetido a uma vericação que
visa atestar se ele pode caracterizar o sistema ou não. Há diversas formas de validação
do modelo, sendo que as atenções neste trabalho estarão voltadas para aquelas mais
aplicáveis à solução do caso de identicação de sistemas aeronáuticos. Como o ponto de
partida será um sistema baseado em simulador, a etapa de validação será realizada por
comparação das respostas no domínio do tempo. A Figura 2.2 apresenta as principais
etapas do processo de identicação discutidas nesta seção.
38
FIG. 2.2: Algoritmo de Identicação.
2.4 FERRAMENTAS DE IDENTIFICAÇÃO
Nesta seção, são abordados os métodos matemáticos escolhidos para serem utilizados nos processos de identicação deste trabalho. São discutidos os aspectos práticos
derivados dos trabalhos de aplicação da FFT, bem como formas de se obter informações
sobre o sistema a partir do que se convencionou chamar "Função Resposta em Freqüência"(FRF). O conhecimento dos diagramas de Bode será utilizado para se estabelecer
pontos de partida do processo de identicação, tais como a ordem estimada do sistema.
Como contribuição deste trabalho, será reintroduzida a identicação por ajuste de
curvas complexas via método de Levy, publicado pela primeira vez em LEVY (1959),
por representar uma solução de implementação simples e por ter um desenvolvimento
intuitivo o bastante para representar uma abordagem do tipo caixa-preta do problema
da identicação de aeronaves por ensaios em vôo.
Os métodos apresentados são diretamente aplicáveis ao tratamento dos dados de
39
ensaios em vôo obtidos no domínio do tempo e convertidos para o domínio da freqüência.
Aqui eles são expostos como parte do universo das técnicas de identicação, obedecendo
a uma seqüência lógica de aplicação.
2.4.1 PREPARAÇÃO DOS DADOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
Sinais e relações entrada-saída são normalmente visualizados por grácos que mostram suas variações de amplitude no domínio do tempo. Essa representação é a mais
natural por uma questão meramente cultural, muito embora tais diagramas temporais
não permitam enxergar uma série de informações relativas ao sistema, que só podem ser
extrapoladas a partir da análise espectral dos sinais, ou seja, de seu tratamento no domínio da freqüência. Nesta seção é estabelecido um conjunto de procedimentos adequados
à obtenção de tais informações e estudada uma seqüência de abordagem do problema da
identicação de aeronaves.
A transformação da base de dados do domínio do tempo para o da freqüência envolve
uma preparação prévia destes dados. A transformada de Fourier é uma ferramenta útil
no estabelecimento do espectro de freqüências presente em um sinal temporal, e conceitos
relativos à transformada serão apresentados a seguir.
A função básica do domínio da freqüência é o espectro, denido como Gx (ω), que
resulta quando se aplica a transformada de Fourier a um sinal no domínio do tempo. O
espectro é uma função complexa de variável real.
A FRF é denida como a relação entre a saída e a entrada de um sistema, ambas
expressas no domínio da freqüência. A FRF corresponde apenas ao eixo imaginário da
função de transferência, no caso em que S = j.ω , e pode ser gerada pela divisão ponto
a ponto das transformadas de Fourier da saída e da entrada do sistema, amostradas no
domínio do tempo.
Suponha que u (t) é periódica, com um período arbitrariamente grande T , desta
forma podendo ser descrita por seus coecientes complexos de Fourier {Un }. A saída
y (t) é periódica com período T e é descrita por seus próprios coecientes de Fourier
{Yn }.
Yn = H (j.n.ω) Un
Pela denição da transformada de Fourier, a saída no domínio do tempo é:
y (t) =
∞
X
n=−∞
40
Yn .ej.n.ω.t
ou
y (t) =
∞
X
H (j.n.ω) .Un .ej.n.ω.t
n=−∞
ou ainda


T /2


Z
ω

−j.n.ω.t
y (t) =
H (j.n.ω) .
u (t) .e
dt .ej.n.ω.t


 2π

n=−∞
∞
X
−T /2
Estas equações expressam a saída como transformada inversa de Fourier do produto
da FRF pela entrada, na forma:
y (t) = F −1 {H (jω) .U (jω)}
ou, transformando por Fourier ambos os lados,
Y (jω) = H (jω) .U (jω)
que é a chamada relação fundamental entrada-saída no domínio da freqüência.
Em termos de obtenção da FRF, algum tratamento deve ser dado aos sinais no
domínio do tempo antes de se executar tal operação, para o que sugere-se o seguinte
roteiro, a ser seguido como no seguinte exemplo, ilustrado nas Figuras 2.3 a 2.8.
PASSO 1: amostrar a entrada e a saída no domínio do tempo
A Figura 2.3 apresenta os sinais de entrada e saída de um sistema exemplo amostrado
no tempo.
Entrada
Saída
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
−0.005
−0.01
19
20
21
22
23
24
Tempo em segundos
FIG. 2.3: Entrada e saída quaisquer amostradas no domínio do tempo.
41
Neste momento, é necessário estabelecer a taxa na qual os sinais foram amostrados.
A importância de se ter ambas as informações de entrada e saída no mesmo gráco
reside no fato de que se pode estabelecer a presença ou não de um nível DC, bem
como o tempo aproximado em que a resposta se inicia - identicando desta forma uma
possível componente da resposta devida a uma entrada anterior, ou a alguma condição
inicial, bem como erros de aproximação numérica. O exemplo da Figura 2.3 foi escolhido
de forma que, ampliando-se o gráco na região onde se iniciam a entrada e a saída,
percebe-se tais efeitos, como na Figura 2.4:
−5
x 10
4
Entrada
Saída
2
0
−2
−4
−6
−8
19.98
19.99
20
20.01
20.02
20.03
Tempo em segundos
FIG. 2.4: Entrada e saída quaisquer no domínio do tempo ampliadas.
PASSO 2: Realizar o condicionamento dos sinais
O gráco da Figura 2.4 informa que já existia resposta não nula antes de a entrada
assumir valores não nulos, mesmo que residual. Como uma das hipóteses da identicação
é a causalidade do sistema, pode-se atribuir tal componente da saída a entradas anteriores - diga-se, uma condição muito comum nos ensaios em vôo: uma saída afetada por
mais de uma entrada. É necessário "informar" ao algoritmo da FFT que a componente
de interesse da saída é devida apenas à entrada fornecida ao sistema para efeito de identicação, de forma que é proposto o seguinte procedimento, a ser obedecido na ordem
apresentada:
a) Janelar o sinal no domínio do tempo, de forma que sejam separadas partes dos
vetores de entrada e saída que contenham a informação desejada. O início e o m
42
da janela devem estar sobre os pontos no tempo onde o sinal de entrada começa e
deixa de existir.
b) Remover o nível DC aparente da saída. Quando se amplia o sinal de saída numa
vizinhança de t0 , a sua componente devida a uma entrada anterior ou a erro numérico aparece como um falso nível DC que, se removido do sinal, permite que se
retenha apenas a informação da saída devida à entrada de identicação.
c) Acrescentar zeros no início e no m de ambos os vetores dos sinais de entrada e
de saída, em quantidade empiricamente determinada. É através desta etapa em
particular que se informa ao algoritmo da FFT que esta saída é devida a esta
entrada.
Após realizadas as etapas anteriores, os sinais de entrada e saída podem ser submetidos à FFT, que gerará dois vetores de mesmo tamanho daqueles no domínio do tempo,
mas que carregam as informações de módulo e fase no domínio da freqüência.
Sinal de Entrada amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
0.01
Sinal
0.005
0
−0.005
−0.01
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Tempo (s)
−3
4
x 10
Amplitude
3
2
1
0 −2
10
−1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
4
10
Frequencia (rad/s)
FIG. 2.5: Módulo da FFT da entrada - sinal exemplo.
A transformada de Fourier do sinal de entrada, um doublet que inicia e termina com
amplitude nula, expressa num gráco de módulo em dB versus freqüência em rad/seg
terá o aspecto da Figura 2.5. A transformada de Fourier do sinal de saída, também
expressa num gráco de módulo em dB versus freqüência em rad/seg , terá neste caso o
aspecto da gura 2.6.
43
Sinal de Saida amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
0.04
Sinal
0.02
0
−0.02
−0.04
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Tempo (s)
−3
4
x 10
Amplitude
3
2
1
0 −2
10
−1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
4
10
Frequencia (rad/s)
FIG. 2.6: Módulo da FFT da saída - sinal exemplo.
O próximo passo é dividir ponto a ponto as FFT dos sinais de entrada e saída, de
forma que se obtenha a informação correspondente à FRF do sistema a ser identicado.
MODULO de Y(jw)/U(jw)
30
20
10
Amplitude (dB)
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70 −2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequencia (rad/s)
FIG. 2.7: Módulo da FRF - sinal exemplo.
A informação resultante é um vetor de números complexos que carrega as informações de módulo e fase do sistema, expressos respectivamente nas Figuras 2.7 e 2.8.
Aspectos particulares das respostas em freqüência dos sistemas identicados são discutidos no Capítulo 4, quando as técnicas aqui apresentadas serão aplicadas diretamente
às entradas e saídas no domínio do tempo dos simuladores apresentados no Capítulo 3.
44
FASE de Y(jw)/U(jw)
200
150
100
Fase (graus)
50
0
−50
−100
−150
−200 −2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequencia (rad/s)
FIG. 2.8: Fase da FRF - sinal exemplo.
O vetor de pontos da FRF, representado nas Figuras 2.7 e 2.8 são o ponto de partida
do algoritmo de Levy, que é apresentado na seção 2.6.
2.4.2 INFORMAÇÕES "CAIXA-CINZA": DIAGRAMAS DE BODE
Embora este trabalho esteja orientado para a identicação do tipo caixa preta, há
uma série de informações que podem ser extraídas da representação de uma sinal amostrado qualquer, tanto no domínio da freqüência quanto no domínio do tempo. A forma
de obtenção de tais informações e o valor agregado que elas trazem, mesmo não sendo
diretamente utilizados no processo de identicação a ser adotado, são fonte de conhecimento capaz de auxiliar na interpretação nal dos dados obtidos pelo processo. Nenhuma
informação que se possa extrair do sinal deve ser negligenciada durante um trabalho de
identicação de sistemas. Por isso, segue-se um pequeno roteiro tradicionalmente conhecido de obtenção de informações sobre o sistema a partir dos dados coletados nos
domínios do tempo e da freqüência.
Muito embora a abordagem efetuada neste trabalho a respeito dos diagramas de
Bode esteja direcionada para a relação entre as respostas temporais e as respostas em
freqüência, o que vem ao encontro das preliminares necessárias à identicação de aeronaves, o assunto não é inteiramente novo na área de sistemas de controle, e poderá ser
encontrado no anexo 7.1.
45
2.5 ANÁLISE MODAL
Dos métodos modernos de projeto em sistemas de controle, destaca-se o chamado
"método de análise modal", que lida com a descrição da posição dos pólos em termos do
comportamento dinâmico dos modos de oscilação do sistema. Nesta seção é extraída desta
teoria uma breve explicação a respeito de como os pólos de um sistema podem representar
diretamente o comportamento de uma aeronave em vôo, e uma abordagem mais completa
pode ser encontrada em textos como ALLEMANG (1999), CIAVEX (1997d), DAY (2002)
e mais formalmente em LITTLEBOY (1994).
2.5.1 DINÂMICA LINEAR BÁSICA
A descrição matemática de qualquer sistema físico normalmente envolve conjuntos
de equações diferenciais ordinárias que podem ser utilizadas na descrição do modelo
linearizado (local) do sistema real não-linear (global). As soluções no domínio do tempo
de tais sistemas de equações diferenciais se apresentam sob a forma somas de modos
exponenciais e, em uma aeronave, tais modos de oscilação apresentam algum tipo
de acoplamento ou dependência entre si. Sendo assim, para um modelo de aeronave
descrito por n variáveis mensuráveis através de sensores, pode-se obter, na linearização
do sistema, um conjunto de n equações diferenciais lineares, cada uma contendo n
variáveis independentes, que vão descrever o seu comportamento linear e invariante no
tempo, sobre a vizinhança de algum ponto de operação - o mesmo ponto escolhido para
o processo de linearização.
Modos dinâmicos de uma aeronave
Se for considerado o comportamento no tempo de um sistema linear devido a uma
entrada ou a uma condição inicial, podem surgir naturalmente modos dinâmicos de comportamento.
Na dinâmica longitudinal convencional de uma aeronave, há dois modos básicos de
oscilação: de curto-período de arfagem, também chamada de Short-Period Pitching Oscil-
lation (SPPO), caracterizada por uma oscilação de segunda ordem altamente amortecida
em torno do centro de gravidade da aeronave; e o modo de oscilação de longo-período,
também chamado de phugoid, caracterizado por uma oscilação também de segunda ordem, embora suavemente amortecida, que atua na velocidade e na altitude da aeronave.
Na dinâmica látero-direcional, por sua vez, há três modos básicos de oscilação: o
46
chamado roll-subsidence ou rolamento puro, que é um modo não oscilatório, altamente
amortecido e caracterizado pelo movimento de rolamento da aeronave; o dutch-roll, que
é um modo oscilatório suavemente amortecido, envolvendo os movimentos de rolamento
e guinada lateral; e nalmente o espiral, não oscilatório, porém muito lento e envolvendo
os movimentos de rolamento, guinada e derrapagem lateral.
Denição 2.3 (Modo Longitudinal Phugoid ). O modo phugoid é um modo longitudinal excitado por uma mudança no empuxo da aeronave. Um pulso de empuxo
causa uma mudança na velocidade em relação ao ar, que inicia uma oscilação suavemente amortecida na atitude de arfagem. Enquanto isso, o ângulo de ataque se mantém
aproximadamente constante, o que signica que o ângulo da trajetória de vôo oscila acompanhando a atitude de arfagem. O resultado é um ciclo de período longo, suavemente
amortecido do movimento de arfagem da aeronave, ganhando altitude enquanto perde
velocidade, então embicando para baixo, perdendo altitude e ganhando novamente a velocidade perdida. Pode ser visto como uma troca entre as energias potencial e cinética, e
é referenciado na Figura 2.9.
FIG. 2.9: Modo longitudinal phugoid.
O termo phugoid foi utilizado pela primeira vez por F.W. Lanchester, em 1908, em
seu livro Aerodonetics, para referir algumas equações da dinâmica dos aerofólios. Ele
baseou seu neologismo no grego φυλη , que signica "vôo", mas no sentido da palavra
inglesa "fugitive", e não no sentido de movimento através do ar.
Denição 2.4 (Modo Longitudinal curto-período). O modo curto-período é um
modo longitudinal que tende a afetar o ângulo de ataque e a taxa de arfagem de forma
mais intensa do que os outros estados longitudinais. Quando é dado à aeronave um pulso
de profundor como entrada, uma velocidade angular de arfagem é gerada, fazendo com
que o ângulo de arfagem e o ângulo de ataque variem. A velocidade aerodinâmica se
mantém aproximadamente constante, e os ângulos de arfagem e ataque tendem a variar
unissonamente, o que mantém o ângulo da trajetória de vôo quase constante. O período
deste modo é muito mais curto do que o do modo phugoid. O modo curto-período tende
47
a amortecer rapidamente e aparece somente como pequenos picos nos grácos de tempo
em que ambos os modos longitudinais foram excitados, podendo ser visualizado na Figura
2.10.
FIG. 2.10: Modo longitudinal curto-período.
Denição 2.5 (Modo Látero-direcional Dutch-Roll ). O modo dutch-roll é um modo
oscilatório que envolve as velocidade angulares tanto de rolamento quanto de guinada,
produzindo efeitos de ângulo de rolamento e de derrapagem lateral. O dutch-roll pode ser
visto em uma aeronave que rola numa direção e executa uma guinada no sentido oposto.
O resultado é um movimento de curto período, suavemente amortecido, de precessão das
pontas de asa. Como o leme de uma aeronave afeta tanto o rolamento quanto a guinada,
o dutch-roll pode ser mais facilmente excitado por um simples pulso no leme. O nariz
da aeronave move-se para a esquerda, enquanto as asas rolam para a direita, seguido
pelo mesmo movimento no sentido oposto, suavemente amortecido. Um exemplo pode
ser visto na Figura 2.11.
FIG. 2.11: Modo látero-direcional dutch-roll.
Denição 2.6 (Modo Látero-direcional rolamento puro). O modo rolamento
puro é visto como uma rotação simples sobre o eixo longitudinal da aeronave. É nãooscilatório, e pode ser modelado como sistema de primeira ordem. A taxa ou velocidade
angular de rolamento afeta pesadamente o modo rolamento puro. Uma baixa constante
de tempo do modo é desejada em uma aeronave, porque resulta em uma resposta rápida
48
da taxa de rolamento. Em outras palavras, uma resposta lenta do modo rolamento puro
faz com que os controles da aeronave pareçam lentos e pesados. O efeito do modo sobre
a aeronave pode ser visto na Figura 2.12.
FIG. 2.12: Modo látero-direcional rolamento puro.
Denição 2.7 (Modo Látero-direcional Espiral). O modo espiral é um outro modo
não-oscilatório, tal como o modo rolamento puro, exceto pelo fato de que envolve o ângulo
de rolamento e a velocidade angular de guinada de forma muito mais intensa. Não apresenta quase nenhuma velocidade angular de rolamento. Um modo espiral estável pode ser
visto em uma aeronave que retorna as asas ao nível, vinda de um ângulo inicial pequeno
de rolamento, através de uma combinação de dependências do momento de rolamento em
relação às velocidades angulares de guinada e derrapagem lateral.
FIG. 2.13: Modo latero-direcional espiral.
As taxas de derrapagem e de guinada são geradas pelo movimento de abaixamento
do nariz da aeronave, devido a um desequilíbrio de sustentação quando a aeronave está
em situação de ângulo de rolamento não nulo à esquerda ou à direita. Um modo espiral
49
instável trabalha de maneira oposta: um ângulo inicial de rolamento resulta em um ângulo
cada vez mais acentuado. A espiral tem uma constante do tempo característica menor
do que a do modo rolamento puro. Assim, o movimento é muito lento e constante, não
chegando a ser percebido pelo piloto. A origem do nome encontra-se no modo espiral
instável, enquanto a aeronave cai gradualmente em um ângulo de queda de asa cada vez
mais acentuado, eventualmente tendo por resultado um mergulho espiral, como pode ser
visto na Figura 2.13.
Estabelecida a física dos modos de oscilação em relação ao vôo, pode-se dizer agora
que o movimento dinâmico de uma aeronave é uma combinação linear de modos de
primeira e segunda ordens, para cada variável de saída do modelo monitorada no domínio
do tempo. A soma de dois modos pertencentes à dinâmicas diferentes (longitudinal e
látero-direcional) caracteriza o que se dene como acoplamento entre as dinâmicas, e a
simples presença de um modo qualquer na expressão de uma saída dene o acoplamento
da saída àquele modo.
Este conceito de acoplamento é extremamente importante em uma análise de identicação por ensaios em vôo, como uma compreensão de que a contribuição de cada um
dos modos em uma resposta de saída tem papel fundamental no desempenho de um
sistema. Assim, poder alterar este acoplamento é fundamental em um projeto, e o seu
reconhecimento é fundamental para a compreensão do processo de identicação.
Para o estudo do acoplamento dos modos com a saída, seja tomado como exemplo
um canal qualquer da dinâmica longitudinal de uma aeronave exemplo:
Y (s)
−2, 44.s (s + 0, 596) (s + 0, 062)
= 2
U (s)
(s + 1, 66.s + 1, 92) (s2 + 0, 023.s + 0, 016)
Os pólos e zeros da função de transferência são mostrados na Tabela 2.1.
Zeros
Polos
0
−0, 596
−0, 062
−0, 83 + 1, 1.j
−0, 83 − 1, 1.j
−0, 011 + 0, 126.j
−0, 011 − 0, 126.j
TAB. 2.1: Zeros, pólos e ganho do sistema exemplo.
50
(2.2)
Cada um dos dois modos pode ser visualizado como um par de pólos complexos
conjugados no diagrama de pólos e zeros da Figura 2.14. O efeito de cada um destes
modos na resposta temporal para o exemplo é dado pelo estudo apresentado na seção de
análise modal.
1.5
1
Eixo Imaginário
0.5
Polos Short Period
0
−0.5
Polos Phugoid
−1
−1.5
−0.9
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
Eixo Real
−0.3
−0.2
−0.1
0
FIG. 2.14: Pólos phugoid e curto-período do sistema exemplo.
51
2.6 O MÉTODO DE LEVY
Publicado inicialmente em 3 de novembro de 1958, no extinto IRE-Transactions (Institute for Radio Engineering) por E.C. Levy, engenheiro do Space Technology Laboratory
- Los Angeles, este método resolveu alguns problemas da identicação caixa-preta, no sentido de trabalhar individualmente com as informações das partes real e imaginária dos
pontos da resposta em freqüência.
O método de Levy, descrito em LEVY (1959), trata da interpolação complexa das
curvas de resposta em freqüência por uma expressão algébrica - diga-se: a razão entre
dois polinômios dependentes da freqüência - na forma:
G (s) =
A0 + A1 .s1 + A2 .s2 + A3 .s3 + A4 .s4 + ...
B0 + B1 .s1 + B2 .s2 + B3 .s3 + B4 .s4 + ...
(2.3)
Sem perda de generalidade, pode-se supor que o coeciente B0 é unitário. Entretanto,
o método será aqui demonstrado para um coeciente B0 qualquer, no caso de uma função
de transferência de ordem 5 para o denominador e ordem 4 para o numerador. Tal escolha
se deve ao fato de que sistemas aeronáuticos apresentam um comportamento físico de dois
modos básicos de oscilação, que podem ser satisfatoriamente descritos por um sistema
de quarta ordem. Entende-se que os termos de quinta ordem (ou superiores), uma vez
identicados com base em dados de vôo experimentais, seriam nulos ou próximos de zero
- e esta característica será demonstrada aqui.
Será escolhida uma forma preferencial para o início do processo de identicação,
conforme a seguinte estrutura:
G (s) =
A4 .s4 + A3 .s3 + A2 .s2 + A1 .s1 + A0
B5 .s5 + B4 .s4 + B3 .s3 + B2 .s2 + B1 .s1 + B0
(2.4)
Como o conjunto de treinamento é um vetor de números complexos medido a partir
de pequenas perturbações de um vôo simétrico, estável e nivelado, a função de transferência identicada deverá representar o canal da aeronave estudado apenas no domínio
de validade de sua representação linear.
52
Reescreve-se então, em termos de descrição do estado permanente do processo, a
Equação 2.4 em função de j.ω , resultando:
A4 . (j.ω)4 + A3 . (j.ω)3 + A2 . (j.ω)2 + A1 . (j.ω)1 + A0
G (j.ω) =
B5 . (j.ω)5 + B4 . (j.ω)4 + B3 . (j.ω)3 + B2 . (j.ω)2 + B1 . (j.ω)1 + B0
(2.5)
Rearranjando os termos do numerador e do denominador de forma conveniente, serão
chamadas de agora em diante as partes real e imaginária dos dois polinômios de α, β , σ
e τ , respectivamente. Tal designação é a chave para a simplicidade do desenvolvimento
do método de Levy.
Ĝ (j.ω) =
(A0 − A2 .ω 2 + A4 .ω 4 ) + j.ω. (A1 − A3 .ω 2 )
α + j.ω.β
N (ω)
=
=
2
4
2
4
(B0 − B2 .ω + B4 .ω ) + j.ω. (B1 − B3 .ω + B5 .ω )
σ + j.ω.τ
D (ω)
(2.6)
Considera-se então, para efeito de cálculo, uma função F (jω) = R (ω) + j.I (ω) como
a representação exata da resposta em freqüência do sistema. O problema da identicação
passa a ser calcular uma Ĝ que aproxime da melhor forma possível F . Entende-se uma
aproximação segundo uma função custo, responsável pela medida da distância entre F e
Ĝ, que deverá ser minimizada posteriormente.
Seja denida a função auxiliar ε (ω), como se segue:
ε (ω) = F (jω) − G (jω) = F (jω) −
N (ω)
D (ω)
(2.7)
Multiplica-se agora ambos os lados da Equação 2.7 por D (ω), chamando-se suas
partes real e imaginária por variáveis intermediárias a e b:
D (ω) .ε (ω) = D (ω) .F (jω) − N (ω)
(2.8)
D (ω) .ε (ω) = a (ω) + j.b (ω)
(2.9)
53
onde a e b são funções não apenas da freqüência, mas também dos coecientes Ai e Bi .
O módulo ou valor absoluto da função resultante é
kD (ω) .ε (ω)k = ka (ω) + j.b (ω)k =
p
a2 (ω) + b2 (ω)
(2.10)
Sendo assim, em qualquer freqüência especíca ωk da banda sobre a qual se obteve
informações, tem-se
kD (ωk ) .ε (ωk )k2 = a2 (ωk ) + b2 (ωk )
(2.11)
de forma que a função custo está pronta para ser denida e submetida ao processo de
minimização. A função custo é então denida como:
E=
m
X
£
¤
a2 (ωk ) + b2 (ωk )
(2.12)
k=0
Os coecientes desconhecidos Ai e Bi serão então calculados com base na minimização
de E , sendo esta a propriedade que caracteriza a função Ĝ.
Como
a (ω) = Re [D (ω) .F (jω) − N (ω)]
e
b (ω) = Im [D (ω) .F (jω) − N (ω)]
tem-se que:
a (ω) = Re [(σ + j.ω.τ ) . (R (ω) + j.I (ω)) − (α + j.ω.β)]
e
b (ω) = Im [(σ + j.ω.τ ) . (R (ω) + j.I (ω)) − (α + j.ω.β)]
de forma que pode-se reescrever a função custo, preparada para minimização, como
E=
m
X
£
(σk .Rk − αk − ωk .τk .Ik )2 + (σk .Ik + Rk .ωk .τk − ωk .βk )2
k=0
54
¤
(2.13)
A próxima etapa é calcular todas as derivadas parciais de E , em relação aos coecientes Ai e Bi , igualando-as a 0. Sendo assim, tem-se que para as seguintes descrições:
α = A0 − A2 .ω 2 + A4 .ω 4
β = A1 − A3 .ω 2
σ = B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4
(2.14)
τ = B1 − B3 .ω 2 + B5 .ω 4
as derivadas parciais tomam as formas a seguir:
¸
m ·
X
¤
∂E
∂ £
2
4
=
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) .
−A0 + A2 .ω − A4 .ω
∂A0
∂A0
k=0
m
X
∂E
=
[−2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk )]
∂A0
k=0
(2.15)
¸
m ·
X
¢¤
∂E
∂ £ ¡
2
=
2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk ) .
ωk A1 − A3 .ω
∂A1
∂A
1
k=0
m
X
∂E
[−2.ωk (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk )]
=
∂A1
k=0
(2.16)
¸
m ·
X
¢
∂E
∂ ¡
2
4
=
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) .
−A0 + A2 .ω − A4 .ω
∂A2
∂A2
k=0
m
X
£ 2
¤
∂E
=
2.ωk (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk )
∂A2
k=0
(2.17)
¸
m ·
X
¡
¢¤
∂ £
∂E
2
=
2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk .βk ) .
−ωk A1 − A3 .ω
∂A3
∂A
3
k=0
m
X
£ 3
¤
∂E
=
2.ωk (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk .βk )
∂A3
k=0
55
(2.18)
¸
m ·
X
¢
∂E
∂ ¡
2
4
=
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) .
−A0 + A2 .ω − A4 .ω
∂A4
∂A4
k=0
m
X
£
¤
∂E
=
−2.ωk4 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk )
∂A4
k=0
m
X
∂E
=
∂B0
k=0
"
∂
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) . ∂B
[(B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4 ) .Rk ] +
0
(2.19)
#
∂
+2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk ) . ∂B
[(B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4 ) .Ik ]
0
m
X
∂E
=
[2.Rk (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) + 2.Ik (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk )]
∂B0
k=0
m
X
∂E
=
∂B1
k=0
"
(2.20)
∂
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) . ∂B
[ωk (−B1 + B3 .ω 2 − B5 .ω 4 ) .Ik ] +
1
#
∂
+2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk ) . ∂B
[ωk (B1 − B3 .ω 2 + B5 .ω 4 ) .Rk ]
1
m
X
∂E
[−2.ωk .Ik (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) + 2.ωk .Rk (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk )]
=
∂B1
k=0
(2.21)
m
X
∂E
=
∂B2
k=0
"
∂
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) . ∂B
[(B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4 ) .Rk ] +
2
#
∂
+2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk ) . ∂B
[(B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4 ) .Ik ]
2
m
X
£
¤
∂E
=
−2.ωk2 .Rk (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) − 2.ωk2 .Ik (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk )
∂B2
k=0
(2.22)
56
m
X
∂E
=
∂B3
k=0
"
∂
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) . ∂B
[−ωk (B1 − B3 .ω 2 + B5 .ω 4 ) .Ik ] +
3
#
∂
+2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk ) . ∂B
[ωk (B1 − B3 .ω 2 + B5 .ω 4 ) .Rk ]
3
m
X
£ 3
¤
∂E
=
2.ωk .Ik (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) − 2.ωk3 .Rk (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk )
∂B3
k=0
(2.23)
m
X
∂E
=
∂B4
k=0
"
∂
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) . ∂B
[(B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4 ) .Rk ] +
4
#
∂
+2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk ) . ∂B
[(B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4 ) .Ik ]
4
m
X
£ 4
¤
∂E
=
2.ωk .Rk (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) + 2.ωk4 .Ik (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk )
∂B4
k=0
(2.24)
m
X
∂E
=
∂B5
k=0
"
∂
2 (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) . ∂B
[−ωk (B1 − B3 .ω 2 + B5 .ω 4 ) .Ik ] +
5
#
∂
[ωk (B1 − B3 .ω 2 + B5 .ω 4 ) .Rk ]
+2 (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk ) . ∂B
5
m
X
£
¤
∂E
=
−2.ωk5 .Ik (σk .Rk − ωk .τk .Ik − αk ) + 2.ωk5 .Rk (ωk .τk .Rk + σk .Ik − ωk βk )
∂B5
k=0
(2.25)
O próximo passo é a aplicação de um mapeamento linear às variáveis α, β , σ e τ , de
forma que se possa isolar os termos envolvendo os coecientes Ai e Bi .
Seja a seguinte transformação de variáveis:
α = A0 − α0
β = A1 − β 0
σ = B0 − σ 0
τ = B1 − τ 0
57
(2.26)
Já que a aplicação deste mapeamento é uma mera questão de trabalho algébrico de
substituição de variáveis, as etapas intermediárias serão omitidas em favor da clareza
da compreensão do método. Os resultados aqui apresentados levam em conta o coeciente B0 não unitário, de forma que se pretende chegar a uma forma geral da função de
transferência, não chegando a representar uma generalização matemática.
Uma vez igualadas a 0 todas as derivadas parciais, e substituídos os valores de α, β ,
σ e τ conforme as equações 2.26, chegamos ao seguinte conjunto de equações:
∂E
∂A0
m
P
=0⇒
B0 .Rk =
k=0
∂E
∂A1
m
P
m
P
k=0
ωk3 .B0 .Ik
m
P
k=0
m
P
k=0
+ ωk .Ik .B1 −
ωk .Ik .τk0 ]
(2.28)
[ωk2 (A1 − βk0 ) + ωk .Ik .σk0 − ωk2 .Rk (B1 − τk0 )]
m
P
k=0
(2.29)
[ωk2 .Rk .σk0 + ωk3 .Ik (B1 − τk0 ) + ωk2 (A0 − αk0 )]
=0⇒
∂E
∂A4
∂E
∂B0
+
Rk .σk0
=0⇒
∂E
∂A3
m
P
k=0
ωk2 .B0 .Rk =
k=0
αk0
=0⇒
k=0
m
P
[A0 −
k=0
ωk .B0 .Ik =
∂E
∂A2
(2.27)
m
P
=
m
P
k=0
(2.30)
[−ωk4 .Rk
(B1 −
τk0 )
+
ωk3 .Ik .τk0
+
ωk4
(A1 −
βk0 )]
=0⇒
ωk4 .B0 .Rk =
m
P
k=0
(2.31)
[ωk4 .σk0 .Rk + ωk5 .Ik (B1 − τk0 ) + ωk4 (A0 − αk0 )]
=0⇒
[B0 (Rk2
∂E
∂B1
0=
+
Ik2 )]
=
m
P
k=0
(2.32)
[Rk (A0 −
αk0 )
+ ωk .Ik (A1 −
βk0 )
+
σk0
(Rk2
+
Ik2 )]
=0⇒
m
P
k=0
(2.33)
[ωk .Ik (A0 − αk0 ) − ωk2 .Rk (A1 − βk0 ) + ωk2 (Rk2 + Ik2 ) . (B1 − τk0 )]
58
∂E
∂B2
m
P
k=0
=0⇒
[ωk2 .B0 (Rk2 + Ik2 )] =
∂E
∂B3
0=
m
P
k=0
k=0
[ωk2 .Rk (A0 − αk0 ) + ωk3 .Ik (A1 − βk0 ) + ωk2 .σk0 (Rk2 + Ik2 )]
(2.34)
=0⇒
m
P
k=0
∂E
∂B4
m
P
(2.35)
[ωk3 .Ik (A0 − αk0 ) − ωk4 .Rk (A1 − βk0 ) + ωk4 (Rk2 + Ik2 ) (B1 − τk0 )]
=0⇒
[ωk4 .B0 (Rk2 + Ik2 )] =
∂E
∂B5
0=
m
P
k=0
[ωk4 .Rk (A0 − αk0 ) + ωk5 .Ik (A1 − βk0 ) + ωk4 .σk0 (Rk2 + Ik2 )]
(2.36)
=0⇒
m
P
k=0
(2.37)
[ωk5 .Ik (A0 − αk0 ) − ωk6 .Rk (A1 − βk0 ) + ωk6 (Rk2 + Ik2 ) (B1 − τk0 )]
Cada uma das equações anteriores contém tanto termos que são funções dos coecientes Ai e Bi como também termos independentes. Uma notação condensada proposta
por Levy permite reescrever estas equações sob a forma de matrizes cujos elementos sejam facilmente calculados a partir da base de dados disponível no domínio da freqüência
(o vetor de números complexos correspondente à resposta em freqüência).
Seja então a seguinte lista de substituições a serem realizadas nas equações anteriores:
λh =
m
X
ωkh
(2.38)
ωkh .Rk
(2.39)
ωkh .Ik
(2.40)
k=0
Sh =
m
X
k=0
Th =
m
X
k=0
59
Uh =
m
X
¡
¢
ωkh Rk2 + Ik2
(2.41)
k=0
A substituição destas relações, muito embora permita a solução do problema da
identicação de forma condensada, não é trivial e por isso será trabalhada a seguir, tal
que seja extrapolada uma solução para o problema da identicação de qualquer ordem
para os polinômios de numerador e denominador.
Deve ser lembrado que:
α = A0 − A2 .ω 2 + A4 .ω 4 − ...
β = A1 − A3 .ω 2 + A5 .ω 4 − ...
σ = B0 − B2 .ω 2 + B4 .ω 4 − ...
α0 = A2 .ω 2 − A4 .ω 4 + ...
⇒
τ = B1 − B3 .ω 2 + B5 .ω 4 − ...
β 0 = A3 .ω 2 − A5 .ω 4 + ...
σ 0 = B2 .ω 2 − B4 .ω 4 + ...
(2.42)
τ 0 = B3 .ω 2 − B5 .ω 4 + ...
Assim pode-se armar que, da Equação 2.26, pode-se obter a seguinte informação,
se esta for reescrita de forma conveniente:
B0
m
X
Rk =
m
X
[(A0 − αk0 ) + (Rk .σk0 ) + (ωk .Ik .B1 − ωk .Ik .τk0 )]
(2.43)
k=0
k=0
ou ainda
B0
m
X
Rk =
m
X
(A0 −
αk0 )
+
k=0
k=0
m
X
(Rk .σk0 )
k=0
+
m
X
(ωk .Ik .B1 − ωk .Ik .τk0 )
(2.44)
k=0
Ou, de forma apenas representativa, para que se tenha a noção intuitiva do processo
de simplicação:
B0
m
P
Rk = [A0 − A2 .ω 2 + A4 .ω 4 − ...] +
k=0
2
4
2
4
(2.45)
+Rk [B2 .ω − B4 .ω + ...] + ωk .Ik [B1 − B3 .ω + B5 .ω − ...]
onde se pode agora enxergar as substituições desejadas, resultando:
B0 .S0 = [A0 .λ0 − A2 .λ2 + A4 .λ4 − ...] +
+ [B2 .S2 − B4 .S4 + ...] + [B1 .T1 − B3 .T3 + B5 .T5 − ...]
60
(2.46)
Analogamente, realiza-se a substituição na segunda equação:
Da Equação 2.45:
B0
m
X
ωk .Ik =
k=0
m
X
B0
ωk .Ik =
k=0
B0
m
P
+
k=0
ωk2 .Rk
¤
ωk2 (A1 − βk0 ) + ωk .Ik .σk0 − ωk2 .Rk (B1 − τk0 )
m
P
k=0
(2.47)
k=0
m
X
ωk2 (A1 − βk0 ) +
m
X
(ωk .Ik .σk0 ) −
ωk2 (A1 − A3 .ω 2 + A5 .ω 4 − ...) +
2
m
X
ωk2 .Rk (B1 − τk0 )
(2.48)
k=0
k=0
k=0
ωk .Ik =
k=0
m
P
m
X
£
m
P
ωk .Ik (B2 .ω 2 − B4 .ω 4 + ...)−
k=0
4
(B1 − B3 .ω + B5 .ω − ...)
(2.49)
B0 .T1 = [A1 .λ2 − A3 .λ4 + A5 .λ6 − ...] +
+ [B2 .T3 − B4 .T5 + ...] + [−B1 .S2 + B3 .S4 − B4 .S5 + ...]
(2.50)
O mesmo procedimento pode ser aplicado, sem perda de generalidade, para todas as
demais Equações 2.38 a 2.41, de forma que se apresenta o seguinte sistema de equações
resultante:
A0 .λ0 − A2 .λ2 + A4 .λ4 − A6 .λ6 .. + B1 .T1 + B2 .S2 − B3 .T3 − B4 .S4 + B5 .T5 .. = B0 .S0
A1 .λ2 − A3 .λ4 + A5 .λ6 − A7 .λ8 .. − B1 .S2 + B2 .T3 + B3 .S4 − B4 .T5 − B5 .S6 .. = B0 .T1
A0 .λ2 − A2 .λ4 + A4 .λ6 − A6 .λ8 .. + B1 .T3 + B2 .S4 − B3 .T5 − B4 .S6 + B5 .T7 .. = B0 .S2
A1 .λ4 − A3 .λ6 + A5 .λ8 − A7 .λ10 .. − B1 .S4 + B2 .T5 + B3 .S6 − B4 .T7 − B5 .S8 .. = B0 .T3
....................
A0 .T1 − A1 .S2 − A2 .T3 + A3 .S4 + .. + B1 .U2 − B3 .U4 + B5 .U6 − B7 .U8 .. = 0
A0 .S2 + A1 .T3 − A2 .S4 − A3 .T5 + .. + B2 .U4 − B4 .U6 + B6 .U8 − B8 .U10 .. = B0 .U2
A0 .T3 − A1 .S4 − A2 .T5 + A3 .S6 + .. + B1 .U4 − B3 .U6 + B5 .U8 − B7 .U10 .. = 0
....................
(2.51)
61
Ou, em notação matricial:
(2.52)
[M ] . [N ] = [P ] .B0
Onde:












[M ] = 









λ0
0
−λ2
0
0
λ2
0
−λ4
λ2
0
−λ4
0
0
λ4
0
−λ6
...
...
...
...
... ...
...
...
...
S4
T5 ...
U2
0
−U4
−S4 −T5 S6 ...
0
U4
0
T1 −S2 −T3
S2
T3
λ4 ...
0
T1
S2 −T3 −S4
... −S2 T3
λ6 ...
0
T3
S4
S4 −T5
... −S4 T5
S6
T3 −S4 −T5
S6
T7 ...
U4
0
−U6
...
...
... ...
...
...
...
...
...
T5
...
...
...

−T5 −S6 ... 


−S6 T7 ... 


−T7 −S8 ... 


...
... ... 

0
U6 ... 


−U6
0 ... 


0
U8 ... 

...
,











[N ] = 










A0
A1
A2
A3
...
B1
B2
B3





















 e [P ] = 


















...

S0

T1 


S2 


T3 


... 

0 


U2 


0 

...
O resultado anterior mostra que, uma vez escolhido B0 , se adequadamente estipulada
a ordem do problema, o problema da identicação transforma-se em um problema de
solução de um sistema de equações lineares, possível e indeterminado. Por outro lado, se
for escolhida a ordem errada para a solução do problema, pode-se encontrar um sistema
impossível ou possível e determinado. Considerações a respeito da determinação da ordem
do numerador e do denominador podem ser feitas com base no teorema de Rouché-Capelli,
o que é deixado como sugestão, restando observar que, na maior parte dos problemas de
identicação, a ordem do sistema pode ser extrapolada pela observação dos diagramas
de Bode, especicamente dos coecientes angulares ou primeiras derivadas dos grácos
de módulo e fase da resposta em freqüência.
62
3 SISTEMAS EXEMPLO
Neste capítulo será feita a descrição matemática dos sistemas utilizados como base
para a aplicação do processo de identicação proposto neste trabalho. Serão estudados os
modelos globais e locais de um míssil ar-ar genérico e de um caça F-16, ambos retirados
da literatura. Serão estabelecidas algumas condições de linearização e quais manobras
devem ser executadas com o objetivo de gerar uma base de informações apropriada ao
processo de identicação.
3.1 O SIMULADOR DO MÍSSIL
Nesta seção é introduzido o simulador do canal vertical de um míssil genérico ar-ar,
retirado da literatura com base nos trabalhos de PELLANDA (2002), BLAKELOCK
(1991) e ABRAHAM (1962).
Por representar um sistema extremamente simples em relação ao F-16, foi utilizado
inicialmente como corpo de provas para os algoritmos de identicação aqui apresentados,
tendo sido igualmente implementado em ambiente MATLAB/SIMULINK, de forma que
se pudesse obter relações entrada-saída para o canal vertical da planta.
O simulador não-linear foi construído com base em um conjunto de equações que
descrevem o movimento de arfagem em torno do centro de gravidade do míssil, conforme
ilustrado na Figura 3.1.
FIG. 3.1: Diagrama físico do míssil.
O canal longitudinal do míssil é descrito matematicamente de forma que um comando
de aleta provoca a rotação em torno de seu centro de massa, aqui coincidente com o centro
63
de gravidade.
A descrição matemática não-linear do míssil, para o canal longitudinal, é feita com
base no seguinte conjunto de equações:

α0


 
Zα
1
Zδ
0
 

 q0   M 0 M
0
δ
  α

 0 =
 δ   0 0 0
1
 

δ 00
0 0 −ωa2 −2.ξ.ωa
#
η
"
=
q

0
(3.1)


"

 
 

  q   0 
 
 

.
+
 .δc
  δ   0 
 
 

0
2
δ
ωa
e
sendo

α
α

# 
 q 


.



0
 δ 
δ0
Nα 0 Nδ 0
0
1
0
(3.2)
·
µ
¶¸
M
Zα = Kα .M. cos α. an .α + bn . kαk + cn . 2 −
3
2
Zδ = Kα .M.dn . cos α
·
µ
8.M
Mα = Kq .M . am .α + bm . kαk + cm . −7 +
3
2
¶¸
2
Mδ = Kq .M 2 .dm
·
µ
M
Nα = Kz .M . an .α + bn . kαk + cn . 2 −
3
2
¶¸
2
Nδ = Kz .M 2 .dn
Os estados α (t), q (t), δ (t) e δ 0 (t) representam respectivamente o ângulo de ataque
em graus, a velocidade angular de pitch em graus/segundo, o ângulo da aleta horizontal
em graus e sua primeira derivada em graus/segundo.
A aceleração vertical η (t) em g e a velocidade angular de pitch q em graus/segundo
são medidas como saídas, enquanto δc (t) representa o ângulo de aleta comandado em
graus.
64
A trajetória do número de Mach M (t) corresponde à Equação 3.3 e representa um
perl realista de velocidade sempre decrescente, como é o caso de mísseis ar-ar.
M0 =
¤
1 £
. − kηk .g. sin kαk + Ax .M 2 . cos α
vs
(3.3)
O modelo não-linear das Equações 3.1 e 3.2 é completamente caracterizado por M (t)
e α (t), sendo α (t) responsável pelas não-linearidades. O modelo também é simétrico
em relação a α = 0, e tem os valores de suas constantes descritos na lista que se segue:
180.S
Kα = 0, 7.P0 . π.m.v
s
Kq = 0, 7.P0 . 180.S.d
π.Iy
S
Kz = 0, 7.P0 . m.g
a
Ax = 0, 7.P0 . S.C
m
P0 = 973, 3..lbs/f t2
S = 0, 44..f t2
m = 13, 98..slugs
vs = 1036, 4..f t/s
d = 0, 75..f t
Iy = 182, 5..slug.f t2
Ca = −0, 3
ξ = 0, 7
ωa = 150..rad/s
g = 32, 2..f t/s2
an = 0, 000103..graus−3
bn = −0, 00945..graus−2
cn = −0, 1696..graus−1
dn = −0, 034..graus−1
am = 0, 000215..graus−3
bm = −0, 0195..graus−2
cm = 0, 051..graus−1
dm = −0, 206..graus−1
Sendo que P0 representa a pressão estática na altitude de 20.000f t, S é a área da
seção reta de referência, m é a massa, vs é a velocidade do som na mesma altitude,
d é o diâmetro do corpo do míssil, Iy é o momento de inércia para o eixo de pitch,
Ca é o coeciente de arrasto aerodinâmico para o perl da fuselagem, ξ é o fator de
amortecimento do atuador da aleta horizontal (responsável pelo movimento do canal
longitudinal), ωa é a freqüência natural não amortecida para o mesmo atuador e g é a
gravidade local.
Um modelo local do míssil pode ser obtido a partir da linearização das Equações 3.1
e 3.2, por desenvolvimento em séries de Taylor em torno de um ponto que represente, de
forma análoga à linearização do F-16, uma condição de vôo simétrico, reto e estável. Esta
informação é fundamental para o processo de linearização, de forma que este conduza
naturalmente à descrição local que se segue.
Matematicamente, e como está sendo tratado apenas o canal vertical do míssil, adotase a hipótese de que q 0 = 0.
65
Sem perda de generalidade, deve-se observar todas as derivadas parciais à luz da
física do vôo reto, estável e nivelado - VREN.
Sendo adotado um ponto
h
x0 =
α0 q0 δ0
δ00
iT
para uma entrada u0 = δc0 = δ0 , sendo estabelecido que tais condições correspondem ao
VREN, e desprezando-se os termos da série de Taylor de ordem igual ou superior a 2
para a expansão das seguintes funções:
α0 = f (α, q, δ, M ) = α.Zα + δ.Zδ + q
q 0 = g (α, δ, M ) = α.Mα + δ.Mδ
η = h (α, δ, M ) = α.Nα + δ.Nδ
obtém-se a seguinte representação local:


A11 1
A13
0

 A
0
 21 0 A23
x0δ = 
 0 0 0
1

0 0 −ωa2 −2.ξ.ωa
"
C11 0 C13
yδ =
0 1 0
onde:
α − α0

 q−q
0

xδ = 
 δ − δ0

δ 0 − δ00
e
"
yδ =
η − η0
q − q0
66

0




 0 



 .xδ + 
 .δc

 0 



2
ωa
#
0
.xδ
0






 = x − x0


#
= y − y0
(3.4)
(3.5)
de forma que as derivadas não nulas, de acordo com as condições do VREN, são:
£
¢¤
¡
M
2
=
K
.M.
cos
α
3.a
.α
+
2.b
.
kα
k
+
c
.
2
−
+
α
0
n
n
0
n
0
∂α x0 ,u0
3
£
¡
¤
¢
π
−Kα .M. 180
. sin α0 an .α03 + sign (α0 ) .bn .α02 + cn . 2 − M3 .α0 +
£
¡
¢ ¤
π
+Kα .M. 180
. sin α0 . ddmn . am .α03 + sign (α0 ) .bm .α02 + cm . −7 + 8.M
.α0
3
A11 =
A13 =
A21 =
A23 =
C11 =
C13 =
£ ∂f ¤
£ ∂f ¤
∂δ x0 ,u0
£ ∂g ¤
∂α x0 ,u0
£ ∂g ¤
∂δ x0 ,u0
£ ∂h ¤
∂α x0 ,u0
£ ∂h ¤
∂δ x0 ,u0
= Kα .M.dn . cos α0
£
¡
= Kq .M 2 3.am .α02 + 2.bm . kα0 k + cm . −7 +
8.M
3
¢¤
= Kq .M 2 .dm
£
¡
= Kz .M 2 3.an .α02 + 2.bn . kα0 k + cn . 2 −
M
3
¢¤
= Kz .M 2 .dn
Finalmente, a condição de VREN de q 0 = 0 nos leva a
·
¶ ¸
µ
−1
8.M
3
2
δ0 =
. am .α0 + sign (α0 ) .bm .α0 + cm −7 +
.α0
dm
3
Em termos de implementação no SIMULINK, o simulador do míssil é extremamente
mais simples do que o do F-16. Utilizando-se também do recurso "s-function", o modelo
de simulação desenvolvido para o míssil apresenta apenas um algoritmo para solução no
domínio do tempo de sua dinâmica não-linear longitudinal. Outra diferença básica está
no fato de este simulador se utilizar de um passo variável de integração, o que signica em
termos de MATLAB que se está lidando com um sistema contínuo. Os sinais, portanto,
devem ser amostrados e tal tarefa é executada por amostradores de ordem zero, ou ZOH.
O simulador do míssil não oferece tanta liberdade de manobra quanto o do F-16.
Entretanto, sua simplicidade é o segredo para a condução de um trabalho de identicação
direta do canal longitudinal, o que permitirá um bom treinamento anterior à etapa de
identicação de uma aeronave a partir de dados de ensaios em vôo.
No início da simulação, o míssil não-linear é levado ao ponto de operação escolhido,
para que possa ter suas respostas comparadas à solução local. Em seguida, é submetido
a uma entrada do tipo doublet.
O modelo linearizado é conhecido, das Equações 3.4 e 3.5. Uma vez escolhido um
ponto de operação, este modelo deve simplesmente servir de gabarito para o modelo
identicado a partir das evoluções temporais das entradas e saídas do modelo global.
67
O diagrama de simulação do míssil fala por si só, e é apresentado na Figura 3.2,
lembrando que o ponto de operação escolhido, e que é o responsável pelas constantes
somadas ao sinal durante o vôo, está representado pelo par M = 3 e α = 15 graus.
FIG. 3.2: Diagrama de simulação do míssil.
Como se pode perceber, o míssil é um modelo de dois canais, formados a partir de uma
entrada e duas saídas. A Figura 3.3 mostra a evolução temporal de uma entrada típica e
das duas saídas correspondentes. Conhecido o período de amostragem dos amostradores
de ordem zero, e todos devem amostrar na mesma taxa, as evoluções temporais das
entradas e saídas estão prontas para o processo de identicação.
68
ENTRADA
0.01
0
−0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4
x 10
SAÍDA 1
0.5
0
−0.5
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
4
x 10
SAÍDA 2
0.05
0
−0.05
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
4
x 10
FIG. 3.3: Evolução temporal do míssil - amostras.
É oportuno ressaltar que os trabalhos de identicação do modelo do míssil serão
realizados com entradas do tipo doublet, e que na Figura 3.3 as saídas aparecem fora de
escala.
69
3.2 O SIMULADOR DO F-16 FIGHTING FALCON
Equações não-lineares do F-16 encontradas em MORELLI (2003) foram implementadas em MATLAB. Modelos não-lineares aerodinâmicos e de propulsão foram utilizados
para simular as forças e os momentos aplicados à aeronave, através da interpolação linear de valores tabelados conhecidos a partir de dados do fabricante e encontrados em
NGUYEN (1979), uma vez que o cálculo em tempo real de todos os coecientes aerodinâmicos se mostrou não adequado à simulação em tempo real.
Algumas hipóteses simplicadoras foram adotadas no desenvolvimento das simulações não-lineares da aeronave, como descritas em seguida.
A aeronave foi considerada um corpo rígido com densidade e simetria constantes
em relação ao plano longitudinal no referencial não inercial. As forças e os momentos
atuantes são a aerodinâmica, a de propulsão e a gravidade, como pode ser visto na Figura
3.4. O empuxo foi considerado atuando ao longo da linha central do eixo longitudinal da
aeronave, passando através do centro de gravidade.
FIG. 3.4: Forças atuando na aeronave.
A atmosfera foi considerada estacionária, com o vôo limitado às altitudes menores
que 50.000 pés (≈ 15.240m )e às velocidades subsônicas (V ≤ 340m/s ou V ≤ 1.115f t/s).
A curvatura da terra foi ignorada e esta foi considerada um referencial inercial, de modo
que os eixos do referencial terra pudessem ser tratados como invariantes no tempo. O
campo gravitacional foi suposto uniforme, de modo que o centro da massa e o centro de
gravidade fossem coincidentes, não havendo nenhum momento ou mudança da gravidade
com a altitude. Os movimentos translacional e rotacional do corpo rígido de seis graus de
liberdade não-linear da aeronave foram modelados negligenciando o movimento relativo
dos componentes internos da aeronave, a distorção estrutural e os movimentos do com70
bustível líquido. Os efeitos giroscópicos causados pelo giro das peças do motor também
foram desprezados. As convenções de rotação do modelo seguem a regra da mão direita
convencional, assim como as deexões das superfícies de controle.
O modelo de simulação foi desenvolvido utilizando-se o recurso "S-FUNCTION" do
MATLAB/SIMULINK, com base no conjunto de equações extraído de MORELLI (2003).
São consideradas as seguintes variáveis de descrição do modelo:
• u, v e w - Velocidades lineares nos eixos x, y e z da aeronave;
• φ, θ e ψ - Ângulos de Euler de roll, pitch e yaw (rolamento, arfagem e guinada);
• p, q e r - Velocidades angulares de roll, pitch e yaw ;
• Cx , Cy e Cz - Coecientes adimensionais de forças;
• Cl , Cm e Cn - Coecientes adimensionais de momentos;
• Ix , Iy , Iz e Ixz - Momentos angulares;
• q̄ - Pressão dinâmica;
• S , b e c̄ - Área de referência da asa, envergadura e corda média aerodinâmica.
Tais variáveis e suas orientações são normalmente referenciadas ao triedro direto da
Figura 3.5, adotado como referencial não inercial, xo nos eixos principais da aeronave.
FIG. 3.5: Eixos principais da aeronave.
71
Foram utilizadas as seis equações clássicas para descrição dos movimentos de rotação
e translação de um corpo rígido com seis graus de liberdade, sendo as equações 3.6, 3.7
e 3.8 referentes à translação, e as equações 3.9, 3.10 e 3.11 referentes à rotação.
u0 = r.v − q.w − g. sin θ +
q̄.S.Cx + T
m
(3.6)
v 0 = p.w − r.u + g. cos θ. sin φ +
q̄.S.Cy
m
(3.7)
w0 = q.u − p.v + g. cos θ. cos φ +
q̄.S.Cz
m
(3.8)
p0 .Ix − r0 .Ixz = q̄.S.b.Cl − q.r. (Iz − Iy ) + q.p.Ixz
(3.9)
¡
¢
q 0 .Iy = q̄.S.c̄.Cm − p.r. (Ix − Iz ) − p2 − r2 .Ixz − r.heng
(3.10)
r0 .Iz − p0 .Ixz = q̄.S.b.Cm − p.q. (Iy − Ix ) − q.r.Ixz + q.heng
(3.11)
onde heng é o momento angular gerado pelo motor, considerado aqui atuando ao longo do
eixo longitudinal. Cz é conhecido como coeciente de sustentação e Cx como coeciente
de arrasto, ao passo que Cy é denido como coeciente de força adimensional ao longo
do eixo y da aeronave.
É preferível, entretanto, escrever as equações do movimento em função de variáveis
sicamente mensuráveis. Desta forma, substitui-se as velocidades lineares u, v e w pela
velocidade total Vt , o ângulo de ataque α e o ângulo de derrapagem β :
Vt =
√
u2 + v 2 + w 2
α = arctan
³w´
µ
β = arcsin
72
u
v
Vt
(3.12)
(3.13)
¶
(3.14)
Tais variáveis se relacionam com u, v e w de acordo com a Figura 3.5, de forma que
u, v e w serão substituídos por
u = Vt . cos α. cos β
(3.15)
v = Vt . sin β
(3.16)
w = Vt . sin α. cos β
(3.17)
Diferenciando as Equações 3.12, 3.13 e 3.14 em relação ao tempo, para que se obtenha
a forma de equações de estado, vem:
Vt0 =
u.u0 + v.v 0 + w.w0
Vt
(3.18)
u.w0 − w.u0
u2 + w 2
(3.19)
α0 =
β0 =
Vt .v 0 − v.Vt0
r
³ ´
Vt2
1−
v
Vt
2
(3.20)
As variáveis que descrevem a translação da aeronave são portanto Vt , α e β ,
não lineares. O simulador primeiro calculará u0 , v 0 e w0 , a partir das Equações 3.6,
3.7 e 3.8.
Em seguida calculará os valores de u, v e w das Equações 3.15, 3.16
e 3.17, com os valores de Vt , α e β atuais, e depois utilizará as Equações 3.18, 3.19
e 3.20 para o cálculo de Vt0 , α0 e β 0 que alimentarão as rotinas de integração do simulador.
Para a descrição matemática da rotação, os estados p, q e r, correspondentes às
velocidades angulares nos três eixos principais da aeronave, são descritos por:
p0 = (c1 .r + c2 .p + c4 .heng ) .q + q̄.S.b. (c3 .Cl + c4 .Cn )
(3.21)
¡
¢
q 0 = (c5 .p − c7 .heng ) .r − c6 . p2 − r2 + q̄.S.c̄.c7 .Cm
(3.22)
73
r0 = (c8 .p − c2 .r + c9 .heng ) .q + q̄.S.b. (c4 .Cl + c9 .Cn )
(3.23)
onde as seguintes substituições foram feitas:
c1 =
2
(Iy − Iz ) .Iz − Ixz
2
Ix .Iz − Ixz
(3.24)
c2 =
(Ix − Iy + Iz ) .Ixz
2
Ix .Iz − Ixz
(3.25)
c3 =
Iz
2
Ix .Iz − Ixz
(3.26)
c4 =
Ixz
2
Ix .Iz − Ixz
(3.27)
c5 =
Iz − Ix
Iy
(3.28)
c5 =
Iz − Ix
Iy
(3.29)
c6 =
Ixz
Iy
(3.30)
c7 =
1
Iy
(3.31)
2
(Ix − Iy ) .Ix − Ixz
2
Ix .Iz − Ixz
(3.32)
c8 =
Ix
(3.33)
2
Ix .Iz − Ixz
A cinemática rotacional inclui equações para a descrição das saídas da central inercial,
c9 =
ou seja, dos ângulos de atitude da aeronave - ângulos de Euler:
φ0 = p + tan θ. (q. sin φ + r. cos φ)
(3.34)
θ0 = q. cos φ − r. sin φ
(3.35)
q. sin φ + r. cos φ
cos θ
(3.36)
ψ0 =
74
Finalmente as equações de navegação, relacionando as variáveis de estado não lineares
que poderiam ser fornecidas pela leitura de um GPS são:
x0E = u. cos ψ. cos θ + v. (cos ψ. sin θ. sin φ − sin ψ. cos φ) +
+w. (cos ψ. sin θ. cos φ + sin ψ. sin φ)
yE0 = u. sin ψ. cos θ + v. (sin ψ. sin θ. sin φ + cos ψ. cos φ) +
+w. (sin ψ. sin θ. cos φ − cos ψ. sin φ)
zE0 = h0 = u. sin θ − v. cos θ. sin φ − w. cos θ. cos φ
(3.37)
(3.38)
(3.39)
Equações adicionais para os fatores de carga também foram incluídas, do qual derivam as acelerações lineares ao longo dos três eixos principais:
q̄.S.Cx + T
m
(3.40)
ay =
q̄.S.Cy
m
(3.41)
az =
q̄.S.Cz
m
(3.42)
ax =
A dinâmica do motor foi modelada por um atuador de primeira ordem de forma que
a potência comandada é calculada como função do percentual da alavanca de comando
do empuxo do motor, conforme em STEVENS (1992).
A atmosfera foi modelada como atmosfera padrão, para o cálculo do número de mach
M e da pressão dinâmica q̄ . O cálculo da pressão dinâmica, do qual dependem os valores
das velocidades lineares medidas ao longo dos três eixos da aernave, é realizado com
base no valor da densidade ρ do ar, considerada a atmosfera padrão, segundo a seguinte
fórmula:
1
q̄ = .ρ.Vt2
2
(3.43)
Tem-se até aqui estabelecido todo o conjunto de equações não-lineares que fazem
parte do núcleo do simulador.
As equações são escritas de forma a se isolar as
75
derivadas das variáveis de estado, de maneira que o conjunto se adeqüe à estrutura da
S-FUNCTION do MATLAB, tendo por base o seguinte vetor de estados:
h
~x =
Vt α β φ θ ψ p q r xE yE hE Pa
iT
e o seguinte vetor de entradas:
h
~u =
δth δe δa δr
iT
A pilotagem do modelo do simulador é realizada comandando-se estas 4 entradas, e
seus efeitos são melhor visualizados através da Figura 3.6.
FIG. 3.6: Pilotagem da aeronave.
A operação do simulador se inicia, para efeitos de identicação do sistema a partir
de dados experimentais de ensaio em vôo, partindo-se do que se convencionou chamar de
"condição de VREN", ou seja, de vôo reto, estável e nivelado. Esta condição de partida
76
se justica pelo fato de que modelos linearizados serão obtidos pela teoria das pequenas
perturbações, e desta forma a melhor maneira de se chegar às mesmas funções de transferência via identicação no domínio da freqüência é através de pequenas perturbações
no vôo da aeronave, com entradas especiais que serão estudadas à frente, partindo-se da
condição de VREN (equilíbrio).
No VREN, todas as acelerações de translação e rotação são nulas, e tal condição
pode ser descrita pela seguinte equação:
x00 = 0 = f~ (~x0 , ~u0 )
(3.44)
Apenas os estados Vt , α, β , p, q e r são incluídos na Equação 3.44, de forma que as
seis equações de forças e momentos são alimentadas com condições de contorno especiais,
para um total de 8 equações no sistema que determina o valor das variáveis de estado no
VREN. Matematicamente, o estado de VREN é então calculado igualando-se a zero as
variáveis de estado das acelerações lineares e angulares, ao mesmo tempo que se impõem
condições de contorno como altitude, velocidade do ar, e condições adicionais que digam
ao simulador se o vôo é retilíneo ou se está sendo realizada uma curva, coordenada ou
por derrapagem lateral. Estas condições adicionais correspondem a todas as variáveis
não zeradas pela condição de VREN, de forma que o conjunto resultante de equações
seja possível e, em alguns casos, determinado. A busca do estado de VREN é a busca por
uma combinação das variáveis de estado e entradas que satisfaça à condição de derivadas
nulas.
Imposta a condição, resta o seguinte conjunto de equações determinadoras do estado
de VREN:
u.u0 + v.v 0 + w.w0
Vt
0 = Vt0 =
u.w0 − w.u0
0=α =
u2 + w 2
0
0 = β0 =
Vt .v 0 − v.Vt0
r
³ ´
Vt2
77
1−
v
Vt
(3.45)
(3.46)
2
(3.47)
0 = p0 = (c1 .r + c2 .p + c4 .heng ) .q + q̄.S.b. (c3 .Cl + c4 .Cn )
(3.48)
¡
¢
0 = q 0 = (c5 .p − c7 .heng ) .r − c6 . p2 − r2 + q̄.S.c̄.c7 .Cm
(3.49)
0 = r0 = (c8 .p − c2 .r + c9 .heng ) .q + q̄.S.b. (c4 .Cl + c9 .Cn )
(3.50)
p
a.b + sin γ. a2 − sin2 γ + b2
0 = tan θ −
a2 − sin2 γ
para θ 6= 90o , respondendo pela condição de contorno da razão de subida, e
0 = G. cos β. (sin α. tan θ + cos α. cos φ)
(3.51)
(3.52)
também com θ 6= 90o , respondendo pela condição de contorno de curva coordenada, onde
a = cos α. cos β
b = sin φ. sin β + cos φ. sin α. cos β
G=
ψ 0 .Vt
g
Os coecientes adimensionais aerodinâmicos de forças e momentos de qualquer aeronave de asa xa variam não linearmente com os ângulos α e β , com as velocidades
angulares p, q e r, e com a deexão angular das superfícies de controle δe , δa e δr . Até
aqui, todas as equações apresentadas são comuns aos corpos rígidos descritos por 6 graus
de liberdade. A particularização para o caso do F-16 foi realizada através das equações
seguintes, que descrevem seus coecientes aerodinâmicos em função de valores tabelados
conforme MORELLI (1998), de forma que:
µ
Cx = Cx0 (α, δe ) +
78
q.c̄
2.Vt
¶
.Cxq (α)
(3.53)
¡ δr ¢
¡ δa ¢
Cy = −0, 02.β + 0, 021. 20
+ 0, 086. 30
+
³ ´ ¡
¢
b
+ 2.Vt . Cyp (α) .p + Cyr (α) .r
"
Cz = Cz0 (α) . 1 −
µ
β.π
180
¶2 #
µ
− 0, 19.
δe
25
¶
µ
+
q.c̄
2.Vt
(3.54)
¶
.Czq (α)
¡δ ¢
¡δ ¢
a
r
+ ∆Clδr =30o 30
+
Cl = Cl0 (α, β) + ∆Clδa =20o 20
³ ´ ¡
¢
+ 2.Vb t . Clp (α) .p + Clr (α) .r
µ
Cm = Cm0 (α, δe ) +
q.c̄
2.Vt
(3.55)
(3.56)
¶
.Cmq (α) + (xc.g.ref − xc.g. ) .Cz
¡δ ¢
¡δ ¢
a
r
Cn = Cn0 (α, β) + ∆Cnδa =20o 20
+ ∆Cnδr =30o 30
+
³ ´ ¡
¢
¡
¢
+ 2.Vb t . Cnp (α) .p + Cnr (α) .r − c̄b . (xc.g.ref − xc.g. ) .Cy
onde:
∆Clδa =20o = Clδa =20o (α, β) − Cl0 (α, β)
∆Clδr =30o = Clδr =30o (α, β) − Cl0 (α, β)
∆Cnδa =20o = Cnδa =20o (α, β) − Cn0 (α, β)
∆Cnδr =30o = Cnδr =30o (α, β) − Cn0 (α, β)
79
(3.57)
(3.58)
A dinâmica do motor foi retirada de STEVENS (1992), como sendo:




64,
94.δ
,
para
δ
≤
0,
77


th
th


Pc (δth ) =



 217, 38.δ − 117, 38 , para δ > 0, 77 

th
th
onde
Pa0 =
1
τeng
(Pc − Pa )
com os valores de Pc e τeng retirados de tabelas na referência STEVENS (1992).
Parâmetros do F-16 são retirados de LEONARD (2003), NGUYEN (1979), PETTERSSON (2002) e STEVENS (1992).
O simulador foi estruturado de forma que o processo de integração numérica destas
equações fosse encargo do SIMULINK, desde que estipulado um passo xo de integração,
ou passo de amostragem, que funcionará nos trabalhos de identicação como taxa de
amostragem dos sinais de entrada e saída. Dadas as condições iniciais das variáveis de
estado e de entrada como sendo as da condição de VREN, as relações entrada-saída
podem ser obtidas pelo monitoramento das variáveis do simulador.
Funções de transferência podem ser obtidas analiticamente, relacionando as entradas
e saídas de todos os canais do simulador, baseadas em parâmetros como constantes de
tempo, freqüências naturais de oscilação e coecientes de amortecimento. As funções
de transferência, entretanto, requerem equações linearizadas em torno de algum ponto
de operação, que será escolhido como sendo o da condição de vôo retilíneo, simétrico e
nivelado. Este tipo de linearização desacopla os canais horizontal e vertical da dinâmica
da aeronave, permitindo que seja realizado o processo de identicação a partir de
manobras que excitem apenas os modos que se deseja observar. O processo de linearização, segundo DUKE (1988), tendo sido utilizada a técnica das pequenas perturbações,
conduz a um conjunto de equações para as dinâmicas longitudinal e látero-direcional
que, transformados para o domínio de Laplace e resolvidos de forma a isolar as funções
de transferência dos canais, segundo procedimento sugerido por LEONARD (2003) e
NGUYEN (1979), nos conduzem ao seguinte conjunto de funções de transferência, para
os canais vertical e látero-direcional da aeronave, tendo sido substituídas as expressões das derivadas de estabilidade por amortecimentos, ganhos e freqüências naturais
que pudessem ser lidas diretamente do processo de identicação no domínio da freqüência:
80
canal VERTICAL
Saída: Velocidade do ar
Entrada: Empuxo
³
1
T1
´
K1 . s +
. (s2 + 2.ξ1 .ω1 .s + ω12 )
Vt (s)
= 2
δT (s)
(s + 2.ξA .ωA .s + ωA2 ) . (s2 + 2.ξB .ωB .s + ωB2 )
Saída: Velocidade do ar
Entrada: Profundor
³
K2 . s +
1
T2
´
. (s2 + 2.ξ2 .ω2 .s + ω22 )
Vt (s)
= 2
δe (s)
(s + 2.ξA .ωA .s + ωA2 ) . (s2 + 2.ξB .ωB .s + ωB2 )
Saída: Ângulo de ataque
Entrada: Empuxo
³
K3 .s. s +
1
T31
´ ³
. s+
1
T32
´
α (s)
= 2
δt (s)
(s + 2.ξA .ωA .s + ωA2 ) . (s2 + 2.ξB .ωB .s + ωB2 )
Saída: Ângulo de ataque
Entrada: Profundor
³
K4 . s +
1
T4
´
. (s2 + 2.ξ4 .ω4 .s + ω42 )
α (s)
= 2
δe (s)
(s + 2.ξA .ωA .s + ωA2 ) . (s2 + 2.ξB .ωB .s + ωB2 )
Saída: Velocidade angular de pitch
Entrada: Empuxo
³
K5 .s. s +
1
T51
´
q (s)
= 2
δt (s)
(s + 2.ξA .ωA .s + ωA2 ) . (s2 + 2.ξB .ωB .s + ωB2 )
81
Saída: Velocidade angular de pitch
Entrada: Profundor
³
K6 .s. s +
1
T61
´ ³
. s+
1
T62
´
q (s)
= 2
δe (s)
(s + 2.ξA .ωA .s + ωA2 ) . (s2 + 2.ξB .ωB .s + ωB2 )
canal LÁTERO-DIRECIONAL
Saída: Ângulo de guinada
Entrada: Aileron
³
K7 . s +
1
T7
´
. (s2 + 2.ξ7 .ω7 .s + ω72 )
β (s)
³
´ ³
´
=
1
1
δa (s)
2
2
(s + 2.ξC .ωC .s + ωC ) . s + TD1 . s + TD2
Saída: Ângulo de guinada
Entrada: Leme
³
K8 . s +
´ ³
´ ³
´
1
1
.
s
+
.
s
+
T82
T83
β (s)
´ ³
´
³
=
1
1
δr (s)
. s + TD2
(s2 + 2.ξC .ωC .s + ωC2 ) . s + TD1
1
T81
Saída: Velocidade angular de roll
Entrada: Aileron
³
K9 . s +
1
T9
´
. (s2 + 2.ξ9 .ω9 .s + ω92 )
p (s)
³
´ ³
´
=
1
1
δa (s)
(s2 + 2.ξC .ωC .s + ωC2 ) . s + TD1
. s + TD2
Saída: Velocidade angular de roll
Entrada: Leme
³
K10 . s +
´ ³
´ ³
´
1
1
. s + T102 . s + T103
T101
p (s)
³
´ ³
´
=
1
1
δr (s)
2
2
(s + 2.ξC .ωC .s + ωC ) . s + TD1 . s + TD2
1
82
Saída: Velocidade angular de yaw
Entrada: Aileron
³
K11 . s +
1
T11
´
2
. (s2 + 2.ξ11 .ω11 .s + ω11
)
r (s)
³
´
³
´
=
1
1
δa (s)
2
2
(s + 2.ξC .ωC .s + ωC ) . s + TD1 . s + TD2
Saída: Velocidade angular de yaw
Entrada: Leme
³
K12 . s +
1
T12
´
2
. (s2 + 2.ξ12 .ω12 .s + ω12
)
r (s)
³
´ ³
´
=
1
1
δr (s)
2
2
(s + 2.ξC .ωC .s + ωC ) . s + TD1 . s + TD2
Destas equações, pode-se depreender algumas leituras importantes para o trabalho
de identicação.
• Todas as funções de transferência do canal longitudinal, ou vertical, têm o mesmo
denominador, assim como todas as do canal látero-direcional. Isso se deve ao fato
de a linearização ter sido realizada em torno de um ponto pertencente ao conjunto
dos possíveis condições de VREN, o que acarreta o desacoplamento dos canais do
modelo linear da aeronave.
• Reescritas de forma simplicada através das variáveis intermediárias Ti , Ki , ωi e ξi ,
praticamente todas as funções de transferência apresentam a mesma ordem, o que
leva a seguinte situação: pelas simplicações adotadas quando se estava modelando
o simulador não-linear, os modelos que serão identicados a partir das relações
entrada-saída poderão ser adequadamente descritos por funções de transferência
identicadas de quarta ordem ou superior. Esta será uma das condições a serem
impostas ao algoritmo de Levy.
• Com as hipóteses simplicadoras adotadas, o modelo linearizado apresenta claramente pólos phugoid e pólos short-period, compartilhados por canal, o que condiz
com a física do vôo de um F −16, além de nos dar uma forma de conferir a qualidade
do modelo identicado após o processo de identicação.
83
Em termos de implementação no SIMULINK, o simulador não linear do F-16 é
dividido em 4 grandes blocos:
• Entradas e condicionamento de sinal;
• S-Function : dinâmica não linear;
• Saídas e geração de "time-histories "; e
• Interface do piloto.
Bloco de entradas e condicionamento de sinal
FIG. 3.7: Entradas do simulador.
A Figura 3.7 mostra a implementação dos blocos de entrada, onde se pode ver as
variáveis δt , δe , δa e δr , respectivamente os comandos de propulsão ou empuxo, profundor,
aileron e leme. No simulador, tais comandos são adicionados sob a forma normalizada,
sendo que valores compreendidos na faixa [−1; 1] representam deslocamentos de [−90; 90]
graus para aileron, leme e profundor, respeitada a orientação do referencial da aeronave.
O comando de empuxo na faixa [0; 1] representa uma variação de 0 a 100% da potência
total nominal do motor da aeronave.
84
Comandos de entrada podem também ser dados via manche, o que abre a possibilidade de se trabalhar com entradas o mais próximas possível de um comando real de
um piloto de ensaios em vôo. A Figura 3.7 mostra a entrada do ângulo de profundor
δe comandada desta maneira. Embora a interface desenvolvida para o manche admita o
controle de até 8 entradas simultâneas por manche, a lentidão do processamento e a probabilidade de sinais espúrios contaminarem canais que não estejam sendo identicados
indicam que é desejável manter todas as entradas nulas, exceto a que fará parte do canal
a ser identicado.
Note-se que o sinal de comando de profundor, em particular, é amostrado diretamente
para a área de trabalho, com o objetivo futuro de se realizar a identicação do canal
longitudinal.
Os blocos a que as entradas se ligam, antes do multiplexador, são condicionadores
de sinal, que adaptam o comando de entrada à dinâmica não-linear da aeronave. Como
exemplo, caças F-16 não aceitam comandos de 90 graus de profundor - e por isso entradas
não-realistas têm que ser limitadas e ltradas pela dinâmica dos atuadores, encontrada
na literatura em ASHLEY (1974) e BLAKELOCK (1991), aqui representadas apenas
pela sua saturação.
FIG. 3.8: Dinâmica do atuador de empuxo.
Além disso, dentro destes blocos, as entradas são somadas com as respectivas condições de VREN, o que signica que os comandos do piloto são na verdade diferenciais,
como se pode ver pela Figura 3.8. A variável empuxo_trim, no caso, é importada
diretamente da área de trabalho do MATLAB, como resultado do cálculo dos vetores de
estados e entradas para as condições de vôo simétrico, estável e nivelado.
Bloco da S-Function: dinâmica não linear
Este é o bloco que contém todo o conjunto de equações não-lineares, escritas de
forma que as variáveis a serem integradas estejam isoladas dentro de cada expressão, e é
associado a um recurso especíco do MATLAB que realizará a integração das equações
85
de estado conforme lógica interna que obriga a escrita do sistema não-linear sob a forma
de entradas, saídas e variáveis de estado, exatamente como foi concebido o simulador.
Bloco de saídas e geração de amostras temporais
FIG. 3.9: Saídas do simulador do F-16.
As saídas do simulador, conforme a Figura 3.9, são todas aquelas variáveis que se
pode monitorar em um vôo real. No ambiente SIMULINK, elas podem ser monitoradas
em tempo real através dos osciloscópios, ao mesmo tempo em que são automaticamente
gravadas sob a forma de vetor na área de trabalho do MATLAB, de forma a gerar os
"time histories" necessários ao processo de identicação.
Aqui deve ser anotada uma particularidade deste simulador em relação ao do míssil,
que ainda será apresentado. Como no míssil são utilizados passos variáveis de simulação,
o sistema é considerado contínuo pelo MATLAB. Este fato em particular é responsável
pela adição, no simulador do míssil, de amostradores de ordem zero, equivalentes a placas
de conversão analógica-digital, que garantem a discretização do sistema, necessária ao
processo de transformação para o domínio da freqüência via FFT.
O simulador do F-16 tem passo de simulação xo, sendo o sistema considerado discreto pelo MATLAB, o que dispensa o uso de amostradores de ordem zero. A distância
86
entre cada ponto da simulação é o próprio passo de simulação.
As variáveis de saída, ao término da simulação, estão disponíveis na área de trabalho do MATLAB, sob a forma de vetores no domínio do tempo, com mesmo nome, de
dimensão unitária e tamanho igual ao número de passos de simulação que se permitiu
serem executados.
Tendo-se a evolução temporal das entradas e das saídas de um sistema multicanal,
conhecido o passo de amostragem, tem-se por denição as evoluções temporais de todos
os canais, estando pronto o simulador para servir de fonte de dados para o processo de
identicação.
Bloco de interface com o piloto
Como se está lidando com a possibilidade de fornecer ao simulador entradas reais,
é necessária uma inteface homem-máquina mínima para que as manobras de entrada
possam ser acompanhadas em caso de ser utilizado o manche. Deve ser lembrado que
os processos de identicação de sistemas normalmente são levado a cargo com entradas
padronizadas tais como doublets, degraus e impulsos. Entretanto, este trabalho se dispõe
a explorar uma técnica que possa ser utilizada diretamente em dados com origem em
ensaios em vôo, e entradas degrau ou impulso são abstrações matemáticas impossíveis de
serem realizadas na prática, muito embora se consiga boas aproximações.
A existência do manche como gerador de entrada tem o signicado único de garantir
que o processo de identicação do modelo do F-16 possa ser executado para uma entrada
qualquer, com todos os ruídos inerentes ao sinal gerado por mãos humanas.
FIG. 3.10: Interface do simulador do F-16.
A interface entre o simulador e o piloto é composta por dois recursos disponíveis no
MATLAB a partir da versão 6.1, chamados "Dials and Gauges" e "Aerospace Blockset".
87
De um foi retirado o horizonte articial e do outro o bloco de realidade virtual correspondente a uma representação de aeronave, ambos como sendo representações pictóricas,
mas calibradas em rolamento, arfagem e guinada de acordo com a dinâmica não-linear
do F − 16. Os blocos são apresentados na gura 3.10.
Evolução temporal do comando de Profundor
40
20
0
−20
−40
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
800
900
1000
Evolução temporal do comando de Aileron
40
20
0
−20
−40
0
100
200
300
400
500
600
700
FIG. 3.11: Manobra de roll à esquerda - 2 das 4 entradas.
Para demonstrar as possibilidades do simulador, foi executada e monitorada uma
manobra, não de ensaio em vôo, sendo que a Figura 3.11 mostra a evolução temporal
dos comandos de profundor e aileron, para empuxo e leme constantes, a partir de uma
condição de VREN qualquer. A Figura 3.12, por sua vez, mostra a evolução temporal de
12 das 16 saídas do simulador, para as entradas da Figura 3.11, durante uma manobra
de roll à esquerda.
88
Alfa
0.4
680
200
300
0
0
0
200
300
100
200
300
300
400
100
200
300
400
100
200
300
400
100
200
300
400
0
4
0x 10 100
1.01
200
300
400
−5
0
−0.5
0
2
400
q
0
100
200
300
0
−1
0
100
100
200
300
400
0
0
1
0
0
2000
400
Norte
−5
0
1
Altitude
p
−0.5
0
5
r
200
−10
0
0.5
400
0
−100
100
Yaw
Pitch
100
0.2
400
0
−0.5
0
0.5
Leste
100
Roll
660
0
0.5
Beta
Veloc Ar
700
1000
1
0.99
100
200
300
400
Tempo de vôo − amostras
0
100
200
300
400
Tempo de vôo − amostras
500
FIG. 3.12: Manobra de roll à esquerda - 12 das 16 saídas.
O simulador do F-16, assim implementado, oferece a possibilidade de geração de
bases de dados no domínio do tempo, com tempo de amostragem conhecido, de um total
de 64 canais de um único sistema multivariável, com quaisquer entradas ou combinação
de entradas, via manche ou via linha de comando do MATLAB.
89
4 APLICAÇÃO DAS TÉCNICAS DE IDENTIFICAÇÃO
Este capítulo tem por objetivo a aplicação do ferramental de identicação apresentado no Capítulo 2 aos sistemas exemplo do Capítulo 3. São aplicadas entradas padrão
aos modelos desenvolvidos e medidas as suas relações entrada-saída. Estes dados são
transformados para o domínio da freqüência onde informações preliminares são extraídas
antes de se aplicar o método de Levy para obtenção do modelo linearizado, no ponto de
operação escolhido. Serão seguidos basicamente os procedimentos de passos descritos no
Capítulo 2.
4.1 IDENTIFICAÇÃO DO MODELO DO MÍSSIL
O simulador do míssil é um sistema muito mais simples do que o F-16, uma vez
que é restrito ao canal longitudinal e isso desobriga a escolha de manobras especícas
de entrada que não provoquem efeitos indesejados de acoplamentos entre canais.
Pode-se trabalhar com entradas quaisquer e realizar um estudo inicial a respeito do que
representará, para a identicação do F-16, o compromisso entre a banda passante do
sinal de entrada para identicação e a manobra realizada pela aeronave no domínio do
tempo.
O procedimento de identicação do modelo se inicia com a coleta de dados reais.
Foi executado um vôo do modelo não-linear do míssil, escolhido o ponto de operação
em número de Mach M = 3 e ângulo de ataque α = 15 graus. Sob as condições escolhidas,
a simulação se inicia levando-se o míssil ao ponto de operação escolhido para os processos
de linearização e de identicação local, que levarão aos dois sistemas a serem comparados.
A observação das saídas, devidas à entrada doublet aplicada, se inicia no tempo t = 20
segundos. O aspecto das evoluções temporais obtidas, para sinais amostrados por um
ZOH operando à taxa de 1000 Hz é mostrado na Figura 4.1.
90
Entrada Doublet
0.01
0
−0.01
0
1
2
3
4
5
6
7
Saida Acel. Normal
4
x 10
0.02
0
−0.02
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
Saida Veloc. Pitch
x 10
0.1
0
−0.1
−0.2
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
x 10
FIG. 4.1: Amostras do vôo não linear do modelo do míssil.
Os vetores que constituem os dados de entrada e saída são então submetidos ao
programa de MATLAB desenvolvido para a identicação, que realizará os seguintes procedimentos:
a) Carregar os valores temporais de entrada e saída;
b) Gerar a resposta em freqüência do sistema via FFT;
c) Realizar o processo de smoothing sobre a FRF;
d) Realizar a identicação pelo MÉTODO DE LEVY;
e) Comparar gracamente a FRF levantada com os diagramas de Bode da FT identicada.
91
As 5 etapas serão cumpridas para os dois canais, separadamente, estipulados na
forma:
• canal 1 - Ângulo de Aleta x Aceleração Normal
• canal 2 - Ângulo de Aleta x Veloc. Angular de arfagem
Assim, os procedimentos estabelecidos no Capítulo 2 são seguidos passo-a-passo.
4.1.1 IDENTIFICAÇÃO DO CANAL 1 DO MÍSSIL
Plotados sobre o mesmo gráco, a entrada e a saída do canal 1 apresentam o aspecto
da Figura 4.2.
Saída
Entrada
0.02
0
−0.02
−0.04
−3
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
x 10
3.8
4
4
x 10
Entrada
Saída
10
5
0
−5
1.99 −4
x 10
1.995
2
2.005
2.01
2.015
2.02
4
x 10
Saída
Entrada
1
0
−1
−2
1.985
1.99
1.995
2
2.005 2.01 2.015
Tempo em segundos de voo
2.02
2.025
4
x 10
FIG. 4.2: Vôo não-linear do míssil - Canal 1.
A ampliação das regiões demarcadas fornece alguns dados adicionais: o sistema é de
fase não-mínima para este canal, como indica a resposta que, inicialmente, tem o sinal da
92
primeira derivada oposto ao da entrada. Além disso, uma nova ampliação mostra que já
existia uma saída não nula antes de a entrada assumir valores não nulos. Esta característica se deve ao fato de que o simulador, como já foi dito, inicialmente coloca o míssil no
ponto de operação. Devido à existência deste transitório, o nível DC deve ser removido
da informação a ser utilizada para identicação, sob pena de ser identicado um sistema
não-causal. Além disso, o mesmo fenômeno pode também ser atribuído às imprecisões
numéricas do MATLAB. Deve-se portanto estabelecer como fonte de informação apenas a
saída devida à entrada em questão. Isto é feito de acordo com os procedimentos práticos
estabelecidos no Capítulo 2, de forma que os sinais de entrada e saída serão janelados
no domínio do tempo. Para este caso, a janela escolhida corta os sinais entre os tempos
t = 19.9 segundos e t = 69.9 segundos, de forma que é eliminada a história da saída
anterior à entrada doublet.
Passos adicionais são necessários de forma que, antes da transformação para o domínio da freqüência, é removido o nível DC dos sinais, também sendo incluída uma
seqüência de zeros no início e no m dos vetores de entrada e saída. Isto equivale a
informar ao algoritmo da FFT que esta saída é devida a esta entrada apenas.
A base de dados de entrada e saída do canal 1 é então carregada na rotina responsável
pela transformação dos sinais para o domínio da freqüência. Cada sinal é transformado
independentemente um do outro, obedecendo à seguinte seqüência de ações:
a) Remove-se o nível DC do sinal;
b) Completa-se o último valor do sinal (zeros) até a próxima potência de 2;
c) Realiza-se a FFT;
d) Despreza-se meio espectro (simetria);
e) Calcula-se o módulo e a fase do vetor resultante.
93
A entrada e seu conteúdo espectral em módulo podem ser vistos na Figura 4.3.
Sinal de Entrada amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
0.01
Sinal
0.005
0
−0.005
−0.01
0
5
10
15
20
25
30
Tempo (s)
−3
Amplitude
3
x 10
2
1
0 −2
10
−1
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
10
Frequencia (rad/s)
FIG. 4.3: Espectro em módulo da entrada do canal 1.
A saída e seu conteúdo espectral em módulo podem ser vistos na Figura 4.4.
Sinal de Saida amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
0.02
0.01
Sinal
0
−0.01
−0.02
−0.03
0
5
10
15
20
25
30
35
Tempo (s)
−3
Amplitude
3
x 10
2
1
0 −2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequencia (rad/s)
FIG. 4.4: Espectro em módulo da saída do canal 1.
Deve ser lembrado que, até aqui, não foram encontrados problemas numéricos com
relação à transformada de Fourier. Os grácos apresentados são a expressão direta do
módulo da FFT dos sinais temporais de entrada e saída do canal 1.
94
A próxima etapa é a geração da curva de resposta em freqüência do sistema. Com
base nos procedimentos do Capítulo 2, o vetor da FFT da saída é dividido pelo vetor da
FFT da entrada, ponto a ponto. Este procedimento pode causar problemas numéricos
no MATLAB. Uma vez que a divisão de dois números complexos é realizada pela divisão
dos módulos e subtração dos ângulos de fase, valores de módulo muito pequenos podem
ser confundidos pelo MATLAB com zero, se estiverem abaixo de uma variável interna
do MATLAB conhecida como "eps", ou Floating point relative accuracy, neste caso
assumindo o valor de 2, 22.10−16 . Tal fato acarretará um espectro da FRF contaminado
com valores que tendem a innito.
Este efeito pode ser contornado de forma simples por dois procedimentos diferentes:
a) Retira-se estes pontos do espectro, por ocasião da identicação. A remoção de informações, entretanto, pode acarretar uma deciência de dados para estas freqüências. Deve ser lembrado que o algoritmo de identicação se utilizará destes dados,
e a falta deles em determinadas freqüências pode provocar uma resposta pobre do
algoritmo em termos de função identicada para estas freqüências.
b) Baseando-se nas técnicas apresentadas no Capítulo 2, sabe-se que não haverá surpresas em termos de espectro, se as curvas de módulo e fase da FRF forem interpoladas entre os pontos que foram retirados. Diagramas de Bode de sistemas
aeronáuticos, à exceção de picos devidos a pólos complexos de segunda ordem, são
contínuos e continuamente deriváveis, aliados ao fato de que é conhecida a quantidade de modos oscilatórios - diga-se: phugoid e curto período - o que fornece uma
idéia precisa de onde pode ou não ser feita a interpolação espectral.
A segunda alternativa foi adotada, e a divisão ponto a ponto dos vetores das FFT
da saída pela entrada resultou nos grácos das Figuras 4.5 e 4.6.
A FRF é então janelada para que se elimine os últimos pontos, que não são representativos, por resultarem da conta de divisão da FFT da saída pela FFT da entrada
realizada para números muito próximos do valor da variável "eps". É devido a este fato
que se encontra um "borrão" no gráco da FRF para altas freqüências, onde os módulos
das FFT tendem a zero. Pode-se observar este fato nos grácos das Figuras 4.5 e 4.6.
95
Modulo de Y(jw)/U(jw)
30
20
10
Amplitude (dB)
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70 −2
10
−1
10
0
10
1
2
10
10
Frequencia em rad/seg
3
10
4
10
FIG. 4.5: Módulo da FRF do canal 1.
As guras 4.5 e 4.6 mostram a FRF e o problema numérico das altas freqüências.
Fase de Y(jw)/U(jw)
200
150
100
Fase (graus)
50
0
−50
−100
−150
−200 −2
10
−1
10
0
10
1
2
10
10
Frequencia em rad/seg
FIG. 4.6: Fase da FRF do canal 1.
96
3
10
4
10
Pode-se agora, com alguma liberdade, estabelecer um corte no espectro, de forma que
se escolha para o exemplo os 5000 primeiros pontos da FRF. Esta escolha é feita baseada
nos grácos das Figuras 4.5 e 4.6, levando-se em conta a separação da informação de
interesse. Sistemas aeronáuticos possuem largura de banda conhecida por observação
dos dados de ensaios em vôo, sendo que para o caso um total de 5000 pontos do espectro
traz informação mais do que suciente para a identicação dos modos oscilatórios do
canal longitudinal.
Serão omitidos os grácos do espectro janelado, por serem essencialmente idênticos
aos das Figuras 4.5 e 4.6, plotados para freqüências até aproximadamente 1000 Hz.
Na seqüência, tem-se agora um conjunto de pontos correspondente à resposta em
freqüência do canal 1 do míssil, para todas as freqüências resultantes da aplicação da
FFT. Antes, entretanto, de se utilizar estas freqüências no algoritmo de identicação, é
necessário lembrar que o processo de Levy trabalha com ponderação sobre as freqüências
de que dispõe. Se for obtida uma concentração maior de pontos resultantes da FFT sobre
as altas freqüências, a identicação será pobre para as baixas freqüências, e vice-versa.
Por outro lado, quando se trabalha com a identicação de engenhos aeronáuticos,
deve-se estar preocupado mais com as baixas do que com as altas freqüências, pois estas
são as mais visíveis a partir de dados de ensaios em vôo.
Existindo tal compromisso entre riqueza de identicação e necessidade de utilizar
freqüências de todo o espectro, uma vez que sensores comercialmente disponíveis para a
aviação normalmente trabalham na faixa dos 1000 Hz, optou-se por realizar uma nova
interpolação espectral, mas desta vez não apenas sobre os buracos no espectro, e sim
sobre toda a faixa, de forma que as freqüências envolvidas estejam logaritmicamente
igualmente espaçadas.
Este processo se dá segundo a escolha de um vetor de freqüências, variando entre
0.01 Hz e 1000 Hz, de 1000 pontos, cujas ordenadas representem pontos pertencentes à
linha de interpolação da FRF original obtida das medidas do simulador.
O resultado obtido pode ser visualizado nas Figuras 4.7 e 4.8. Em breve será visto
que, mesmo não sendo cumprida esta etapa de interpolação espectral, o algoritmo de
Levy resulta em funções de transferência satisfatórias em termos de identicação.
97
30
FRF interpolada
FRF original
20
Modulo em dB
10
0
−10
−20
−30
−40
−50 −2
10
−1
10
0
1
10
10
Frequencia em rad/s
2
10
3
10
FIG. 4.7: Interpolação espectral do módulo da FRF do canal 1.
As guras 4.7 e 4.8 mostram os resultados da interpolação espectral.
200
FRF interpolada
FRF original
150
Fase em graus
100
50
0
−50
−100
−150
−200 −2
10
−1
10
0
1
10
10
Frequencia em rad/s
2
10
3
10
FIG. 4.8: Interpolação espectral da fase da FRF do canal 1.
98
Seguindo o processo de identicação, dispõe-se agora de uma base de dados preparada para ser submetida ao algoritmo de Levy, o que será feito de diversas maneiras
diferentes, supondo-se o modelo não-linear desconhecido e partindo-se, devido a este
fato, para uma pesquisa de modelos de estrutura, conforme delineado no Capítulo 2.
Esta pesquisa não será repetida para o canal 2.
• Sistema estritamente próprio de quarta ordem.
• FRF não-interpolada.
Função de transferência identicada:
Ḡ1 (s) =
1, 283.10−7 .s3 −0, 0002924.s2 − 0, 01043.s + 0, 8237
6, 849.10−8 .s4 + 1, 546.10−5 .s3 + 0, 002073.s2 + 0, 0139.s + 1
(4.1)
A FRF do canal 1 é comparada com o diagrama de Bode de Ḡ1 nos grácos da Figura
4.9.
Medida
Identificada
40
Modulo (dB)
20
0
−20
−40
−60
0
Fase (deg)
−90
−180
−270
−360
−450
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequencia (rad/sec)
FIG. 4.9: Comparação do diagrama de Bode de Ḡ1 com a FRF do canal 1.
99
Da Figura 4.9, observa-se que o algoritmo de Levy pondera seus resultados com o
número de amostras em determinada região do espectro, o que acarretou uma deciência
na identicação para a região próxima ao pico do diagrama de Bode em módulo. Este
fato não ocorre se o algoritmo for alimentado pela base de dados interpolada, como se
pode observar na Figura 4.10.
• Sistema estritamente próprio de quarta ordem.
• FRF interpolada.
Função de transferência identicada:
3, 816.10−7 .s3 −0, 0008342.s2 − 0, 0003558.s + 1, 014
1, 819.10−7 .s4 + 3, 855.10−5 .s3 + 0, 004135.s2 + 0, 01457.s + 1
Ḡ2 (s) =
(4.2)
A FRF do canal 1 é comparada com o diagrama de Bode de Ḡ2 nos grácos da Figura
4.10.
Medida
Identificada
40
Modulo (dB)
20
0
−20
−40
−60
0
Fase (deg)
−90
−180
−270
−360
−450
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequencia (rad/sec)
FIG. 4.10: Comparação Bode de Ḡ2 com a FRF do canal 1.
100
Pesquisas de modelos de estrutura revelarão que ordens inferiores são inecientes,
e ordens superiores desnecessárias. Ḡ2 então pode ser eleita a função de transferência
identicada de ordem 4, e apenas com base na comparação das respostas em freqüência.
Obviamente, a ordem mínima do sistema já poderia haver sido estimada anteriormente
com base nas informações contidas no Capítulo 2, observando-se a inclinação dos grácos
de módulo, picos de ressonância e outras técnicas apresentadas.
Mas não há teste melhor do que o teste de vôo do simulador de função de transferência. No gráco da Figura 4.11, pode-se ver a resposta do simulador não-linear do míssil,
sobreposta à resposta da função de transferência identicada, para o canal da aceleração
normal. Observa-se que a sobreposição acontece apenas a partir de quando o modelo não
linear atinge o ponto de operação escolhido para a linearização e para a identicação do
sistema linearizado.
A observação da resposta do sistema linearizado cou comprometida, uma vez que
coincide com a resposta do sistema identicado.
Medida
Identificada
0.02
0.015
0.01
Aceleracao Normal
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
−0.03
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Tempo de voo
6
6.5
7
7.5
4
x 10
FIG. 4.11: Comparação da resposta do míssil não-linear com a do identicado
101
Resta agora a comparação entre os pólos e zeros do sistema linearizado e do identicado, no ponto de operação escolhido.
Uma primeira observação dos diagramas de pólos e zeros do sistema identicado e
do sistema linearizado sobrepostos traz a coincidência entre os 4 pólos e 2 dos 3 zeros
encontrados. o zero que sobrou existe devido ao fato de haver-se decidido pela identicação do canal 1 do míssil por um modelo de estrutura de terceira ordem no numerador e
quarta ordem no denominador, quando na verdade a linearização do míssil para o ponto
de operação escolhido mostra que o sistema tem numerador de segunda ordem. Entretanto, a inuência deste zero é discutível, uma vez que ele se localiza praticamente no
innito.
150
Polo Linear
Zero Linear
Polo Identificado
Zero Identificado
Polo short−period
100
Erro de identificação
Polo phugoid
50
0
Fase não−mínima
−50
−100
−150
−500
0
500
1000
1500
2000
2500
FIG. 4.12: Pólos e zeros do míssil linearizado e identicado sobrepostos
Entretanto, a construção do simulador de função de transferência sobreposto ao simulador não linear, e a subseqüente extrapolação das respostas no tempo devidas à mesma
entrada, como mostrado na Figura 4.11, mostram que a identicação foi satisfatória.
Os pólos e zeros encontrados na identicação, se comparados aos originais do sistema
linearizado, demonstram tal fato, conforme a Tabela 4.1.
Observando-se mais atentamente o diagrama de pólos e zeros da Figura 4.12,
desprezando-se o zero no innito, nota-se a mesma coincidência (Figura 4.13). Pode102
Zeros linearização
−35, 0
35, 1
Zeros identicados
−34, 8
34, 9
2.190, 0
Pólos linearização
−105 + 107.j
−105 − 107.j
−0, 628 + 15, 7.j
−0, 628 − 15, 7.j
Pólos identicados
−105 + 105.j
−105 − 105.j
−0, 63 + 15, 7.j
−0, 63 − 15, 7.j
TAB. 4.1: Zeros e pólos do míssil - Canal 1.
se notar também em evidência os dois modos naturais de oscilação do míssil, phugoid e
short-period, bem como a característica inconfundível da resposta no domínio do tempo
conhecida como fase não-mínima.
Polo Linear
Zero Linear
Polo Identificado
Zero Identificado
100
Phugoid
Eixo Imaginario
50
Short Period
0
−50
Fase não−mínima
−100
−100
−50
0
50
Eixo Real
FIG. 4.13: Pólos e zeros do míssil linearizado e identicado - coincidentes
Concluído este procedimento, passa-se à identicação do canal 2 do míssil.
103
4.1.2 IDENTIFICAÇÃO DO CANAL 2 DO MÍSSIL
Durante a identicação do canal 2 não será, como para o canal 1, executado um trabalho de pesquisa tutorial. Serão utilizados os conhecimentos adquiridos na identicação
do canal 1.
De volta ao simulador do míssil não-linear, o processo se inicia sem nenhuma
expectativa a respeito do comportamento de seus pólos e zeros em relação aos do canal
1, recolhendo-se novamente a evolução temporal de entrada e saída, mas desta vez do
canal velocidade angular de arfagem - canal 2 -, para a mesma entrada que foi aplicada
na identicação do canal 1.
Plotados sobre o mesmo gráco, a entrada e a saída do canal 2 apresentam o aspecto
da Figura 4.14.
Entrada
Saida
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
20
25
30
Tempo de voo em segundos
35
40
FIG. 4.14: Vôo do modelo não linear do míssil - Canal 2.
Esta relação entrada-saída no domínio do tempo apresenta as mesmas características,
embora não visíveis na gura, de existência de resposta anterior à entrada bem como
presença de nível DC, que são corrigidas pela rotina de identicação a m de se obter a
transformada para o domínio da freqüência apenas da informação relativa ao canal 2.
Uma vez realizados o janelamento no domínio do tempo, a inserção de zeros no início
e no m do vetor, bem como a remoção do nível DC, que não interessa para a identicação
da função de transferência, o par entrada-saída é transformado via FFT para o domínio
104
da freqüência, segundo os mesmos procedimentos descritos para o canal 1, com a mesma
taxa de amostragem de 1000 Hz, de forma que se obtenha espectros igualmente úteis.
A entrada e seu conteúdo espectral podem ser vistos na Figura 4.15.
Sinal de Entrada amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
0.01
Sinal
0.005
0
−0.005
−0.01
−0.015
0
5
10
15
Tempo (s)
20
25
30
−3
Amplitude
3
x 10
2
1
0 −2
10
−1
0
10
10
1
2
10
10
Frequencia (rad/s)
3
10
4
10
FIG. 4.15: Espectro em módulo da entrada do canal 2.
A saída do canal 2, bem como seu conteúdo espectral, podem ser visualizados na
Figura 4.16.
Sinal de Saida amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
Sinal
0.1
0
−0.1
0
5
10
Tempo (s)
15
20
Amplitude
0.015
0.01
0.005
0 −2
10
−1
10
0
10
1
2
10
10
Frequencia (rad/s)
3
10
4
10
FIG. 4.16: Espectro em módulo da saída do canal 2.
A etapa seguinte é a divisão ponto a ponto da transformada de Fourier da saída pela
105
transformada de Fourier da entrada do canal 2, de forma que se possa obter a FRF, que
será a fotograa espectral do canal.
A Figura 4.17 mostra o módulo da FRF do canal 2.
MODULO de Y(jw)/U(jw)
50
Amplitude (dB)
0
−50
−100 −2
10
−1
10
0
10
1
10
Frequencia (rad/s)
2
10
3
10
4
10
FIG. 4.17: Módulo da FRF do canal 2.
A gura 4.18 mostra a fase da FRF do canal 2.
FASE de Y(jw)/U(jw)
200
150
100
Fase (graus)
50
0
−50
−100
−150
−200 −2
10
−1
10
0
10
1
10
Frequencia (rad/s)
2
10
3
10
4
10
FIG. 4.18: Fase da FRF do canal 2.
Em ambas as guras é possível perceber novamente os problemas numéricos acarretados pela divisão de números complexos onde o denominador tem módulo muito pequeno.
Como a largura de banda do canal 2 é nitidamente menor do que a do canal 1, proble106
mas na FRF começam a surgir a partir de freqüências mais baixas. Este efeito poderá
ser corrigido pelo corte do espectro na região de interesse, e será assim esperada uma
identicação pobre para as altas freqüências. Entretanto, nada que provoque grandes
diferenças no domínio do tempo.
A identicação do canal 1 foi discutida segundo a opção entre se realizar ou não a
interpolação espectral. Foi decidido que seria melhor realizar a interpolação, com base
em duas identicações com mesmo modelo de estrutura e fonte de informações diferentes.
A identicação do canal 2 será realizada mediante outro tipo de discussão: a opção entre
dois modelos de estrutura, sendo ambos de quarta ordem, porém um com 2 zeros e outro
com 3.
• Sistema estritamente próprio de quarta ordem com 2 zeros nitos
A função de transferência identicada pelo método de Levy é:
0, 0002541.s2 − 0, 5305.s − 0, 551
Ḡ3 (s) =
1, 801.10−7 .s4 + 3, 824.10−5 .s3 + 0, 004134.s2 + 0, 0145.s + 1
(4.3)
A FRF do canal 2 é comparada com o diagrama de Bode de Ḡ3 nos grácos da Figura
4.19.
Medida
Identificada
40
Modulo (dB)
20
0
−20
−40
−60
−90
Fase (deg)
−180
−270
−360
−450
−540
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequencia (rad/sec)
FIG. 4.19: Comparação do diagrama de Bode de Ḡ3 com FRF do canal 2.
107
Um modelo de estrutura com ordem superior no numerador é abordado a seguir, e
trará um resultado não previsto que conduzirá à pesquisa de um numerador de ordem
inferior.
• Sistema estritamente próprio de quarta ordem com 3 zeros nitos
Função de transferência identicada pelo método de Levy:
−1, 28.10−7 .s3 +0, 0002785.s2 − 0, 5305.s − 0, 551
1, 783.10−7 .s4 + 3, 805.10−5 .s3 + 0, 004133.s2 + 0, 01446.s + 1
Ḡ4 (s) =
(4.4)
A FRF do canal 2 é comparada com o diagrama de Bode de Ḡ4 nos grácos da Figura
4.20.
Medida
Identificada
40
Modulo (dB)
20
0
−20
−40
−60
−90
Fase (deg)
−180
−270
−360
−450
−540
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequencia (rad/sec)
FIG. 4.20: Comparação do diagrama de Bode de Ḡ4 com FRF do canal 2.
Pelas comparações efetuadas no domínio da freqüência, aparentemente, não há razão
para escolher entre um modelo de estrutura ou outro, exceto pelo fator simplicidade.
Sendo assim, a função Ḡ3 é escolhida em vez da Ḡ4 .
Analisando na Figura 4.21 a resposta do simulador não-linear, para o canal da velocidade angular de arfagem, e a resposta da função de transferência identicada para a
mesma entrada, sob as condições do ponto de operação escolhido - M = 3 e α = 15 graus
108
-, percebe-se que as respostas estão sobrepostas, o que signica que o sistema foi bem
identicado por um modelo de estrutura com numerador de ordem 2 e denominador de
ordem 4.
0.15
Medida
Identificada
Veloc Ang de Pitch
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
4
4.5
5
5.5
6
6.5
Tempo de voo
7
7.5
8
4
x 10
FIG. 4.21: Comparação do míssil não-linear com o identicado Ḡ3 - Canal 2.
Observa-se agora na Figura 4.22 o diagrama de pólos e zeros do canal 2 linearizado
quando sobreposto ao do sistema identicado.
Polo Identificado
Zero Identificado
Polo Linear
Zero Linear
150
100
Erro de Identificação
Eixo Imaginario
50
0
−50
−100
−150
−500
0
500
1000
1500
2000
2500
Eixo Real
FIG. 4.22: Pólos e zeros do míssil linearizado e identicado por Ḡ3 - Canal 2.
109
O zero assinalado como erro de identicação no gráco da gura 4.22 pode estar
mostrando que o canal 2 do modelo é identicável por uma função de transferência
de ordem ainda menor no numerador. De fato, este teste de modelo de estrutura foi
realizado no canal 1 e não foi bem sucedido. Como entretanto mais tarde serão tecidas
considerações a respeito do aspecto multivariável dos sistemas exemplo, cabe aqui dizer
que este resultado foi, no caso do canal 2, bem sucedido. Por ser repetitivo será omitido.
Resta então uma observação: com base no gráco da resposta temporal do canal 2,
apresentado na Figura 4.21, sabe-se que o canal 2 tem característica de fase não-mínima.
Entretanto, o próprio sistema linearizado não apresenta, para o canal 2, um zero no
semiplano direito. Já a identicação pelo método de Levy força um zero no SPD para o
caso de numerador de segunda ordem, a que foi atribuído um erro de identicação. Por
outro lado, mesmo o sistema identicado com numerador de primeira ordem não mostra
zeros no semiplano direito, embora mantenha a característica de fase não-mínima.
110
4.2 IDENTIFICAÇÃO DO MODELO DO F-16
O modelo não-linear do F-16 é o que mais se aproxima do verdadeiro objetivo deste
trabalho: estabelecer um caminho para a identicação de veículos não-tripulados no
domínio da freqüência, a partir de dados obtidos por ensaios em vôo.
A identicação do modelo em questão portanto se inicia com o planejamento de
um ensaio em vôo virtual para o simulador apresentado no Capítulo 3, através do qual
o modo phugoid da aeronave será completamente identicado, tendo seus resultados
comparados com os da identicação via método de Levy.
O modo longitudinal phugoid é descrito sicamente como uma oscilação vertical
amortecida da trajetória do C.G. da aeronave sobre a trajetória de vôo horizontal, com
a velocidade em relação ao ar Vt que diminui (ou que aumenta) durante um aumento
da altitude (ou diminuição). Fisicamente, este modo de oscilação resulta em uma troca
entre energia potencial gravitacional e energia cinética, incluindo a perda subseqüente da
energia devida ao arrasto aerodinâmico, que fornece amortecimento ao sistema. Em geral,
o modo phugoid das aeronaves, mesmo quando instável, não afeta de forma sensível a
manobrabilidade da aeronave, já que a freqüência natural é tipicamente muito mais baixa
do que a freqüência das correções dinâmicas efetuadas pelo piloto.
4.2.1 IDENTIFICAÇÃO POR ENSAIO EM VÔO
Neste ensaio em vôo virtual, apenas a dinâmica longitudinal do modelo não-linear do
F-16 foi excitada, através de um doublet de empuxo. Todos os canais foram monitorados
durante um período de tempo sucientemente grande para que se manifestassem as
oscilações dos modos pouco amortecidos, e os resultados de telemetria do vôo utilizados
para dois processos de identicação por técnicas diferentes: ensaio em vôo e Levy. Ao
nal do procedimento, deve-se obter o mesmo resultado para amortecimento e freqüência
natural do modo phugoid.
A seguir, um ensaio em vôo simulado é relatado exatamente como se estivesse sendo
executado em um campo de provas.
Este ensaio foi conduzido em ambiente de simulação.
As condições de vôo simulado eram de vento zero, em todas as direções, altitude em
10.000 pés e massa aproximada da aeronave de 16.875 Kg.
111
A área de testes é restrita ao ambiente de simulação desenvolvido para este propósito
no MATLAB, e apresentado no Capítulo 3. A coordenação do simulador com o procedimento de identicação foi estabelecida antes do vôo, e variáveis de armazenamento na
memória foram denidas para coleta de dados.
Técnica aplicada durante o ensaio
A aeronave foi condicionada em vôo reto, estável e nivelado a 10.000 ft (indicados)
de altitude h e a uma velocidade em relação ao ar Vt inicial de 400 ft/s.
A aeronave foi então desacelerada pela aplicação de um doublet no comando de
empuxo, variando esta entrada dentro de uma faixa de 20% do valor nominal de VREN,
em seguida sendo permitido o vôo livre de comandos até que as oscilações cessassem.
Com o início do ensaio um relógio foi ligado no ambiente de simulação. A altitude,
a velocidade aerodinâmica e o tempo foram gravados durante todo o ciclo.
Condições de VREN
A aeronave foi estabilizada segundo as condições listadas na Tabela 4.2.
Variável de Estado
Valor
Velocidade do ar (ft/s) Vt
Ângulo de Ataque (rad) α
Ângulo de Derrapagem (rad) β
Ângulo de Euler (rad) φ
Ângulo de Euler (rad) θ
Ângulo de Euler (rad) ψ
Veloc Ang Rolamento (rad/s) p
Veloc Ang Arfagem (rad/s) q
Veloc Ang Guinada (rad/s) r
∆ Norte GPS (ft)
∆ Leste GPS (ft)
Altitude (ft) h
Potência % (0-100)
400
0, 11737
9, 8063e − 014
0
0, 11737
0
0
0
0
0
0
10.000
12, 4304
Empuxo (0-1) δth
Profundor (graus) δe
Aileron (graus) δa
Leme (graus) δr
0, 19141
−5, 5736
−2, 9288e − 012
1, 5797e − 011
Variável de Controle
Valor
TAB. 4.2: Ponto de VREN do F-16.
112
Os sinais de entrada tem sua evolução temporal descrita na Figura 4.23.
1
0.2
0.5
Aileron
Empuxo
0.1
0
−0.1
−0.2
0
5
Tempo de voo
−1
0
10
1
1
0.5
0.5
Leme
Profundor
0
−0.5
0
−0.5
0.5
1
1.5
Tempo de voo
2
0.5
1
1.5
Tempo de voo
2
0
−0.5
−1
0
0.5
1
1.5
Tempo de voo
−1
0
2
FIG. 4.23: Evolução temporal dos comandos durante o ensaio
Alfa
400
395
−7
x 10 50
200
250
−5
x 10 50
100
150
200
250
300
0.13
0.12
0.11
−6
150
200
250
300
100
150
200
250
300
5
0
−5
−6
x 10 50
1
0
−1
100
150
200
250
300
Altitude
50
50
100
150
200
250
1
0
−1
−2
1
0
−1
−2
4
2
0
−2
−4
100
150
200
250
300
100
150
200
250
300
100
150
200
250
300
100
150
200
250
300
x 10 50
100
150
200
250
300
50
100
150
200
250
300
−5
x 10 50
−3
x 10 50
4
x 10 50
Norte
r
100
q
p
x 10 50
0.1
0
−0.1
−0.2
0.116
300
Yaw
Pitch
150
5
0
−5
50
Leste
100
0.118
Roll
Beta
Veloc Ar
A evolução temporal das saídas é descrita na Figura 4.24.
300
Tempo de voo
15
10
5
0
4
1.001
1
0.999
Tempo de voo
FIG. 4.24: Evolução temporal das saídas não lineares do F-16 no ensaio
113
É oportuno observar que apenas 12 das 16 variáveis de saída do modelo não-linear
foram plotadas por uma questão de legibilidade gráca e repetitividade. Deixaram de
ser plotadas, embora tenham sido gravadas, a potência de saída do motor, a pressão
atmosférica, a aceleração normal e o número de Mach.
Da Figura 4.24 pode-se observar que as grandezas que fazem parte da dinâmica
látero-direcional da aeronave praticamente não sofreram variação, ou sofreram pequenas
variações da ordem de 1e − 5, devidas ao acoplamento entre os canais longitudinal e
látero-direcional, uma vez que o ensaio foi realizado sem vento.
Passa-se então ao procedimento de cálculo do modo phugoid, sendo que para isso
devem ser separados da Figura 4.24 os grácos de altitude e velocidade do ar, onde
se pode ver o modo oscilatório em ação. Vale lembrar que a manobra de entrada não
faz parte deste método de identicação uma vez que representa apenas uma pequena
perturbação no canal longitudinal da aeronave, suciente para excitar o modo phugoid
de oscilação.
As amplitudes, tanto da resposta em altitude como da resposta em velocidade do
ar, foram calculadas e são apresentadas na Figura 4.25 subtraindo-se dos sinais a sua
respectiva condição de VREN. As variáveis β (ângulo de derrapagem), p (velocidade
angular de rolamento) e r (velocidade angular de guinada) têm seus valores de ordenada
multiplicados por 10−7 ; a variável q (velocidade angular de arfagem) por 10−2 , φ e ψ por
10−2 e a altitude por 104 . A velocidade em relação ao ar apresenta a leitura real, e as
demais não representam interesse.
Este procedimento seria mais eciente se efetuado a partir do sinal de velocidade
do ar, uma vez que a altitude aumenta enquanto sua oscilação amortece, devido às
condições de ângulo de ataque em que a manobra foi realizada.
Observando-se a Figura 4.25, pode-se ainda notar a conversão de energia cinética
em potencial gravitacional e vice-versa realizada pela aeronave, enquanto oscila alternadamente entre picos de altitude e de velocidade.
O período de oscilação do modo phugoid é determinado gracamente, subtraindo-se
o tempo de dois picos sucessivos de velocidade. Como este procedimento está sujeito a
diversos erros, recomenda-se que seja realizada a média entre várias medidas entre picos
sucessivos.
114
20
Variação de Altitude
Variação de Velocidade
15
10
5
0
−5
−10
Tempo entre 2 picos
−15
0
1
2
3
4
Tempo de Voo
5
6
7
4
x 10
FIG. 4.25: Conversão de energia e phugoid
O amortecimento ξ pode ser então calculado segundo um procedimento de log-
decremento, de acordo com a seguinte fórmula (NELSON (1989)):
µ ¶
ya
2.π.ξ
ln
=p
yb
1 − ξ2
onde ya e yb são as ordenadas correspondentes a dois picos sucessivos de qualquer canal
excitado pela perturbação da dinâmica longitudinal, neste caso particular a velocidade
do ar.
Algebricamente, a equação anterior resolvida para ξ ca:
v
u
1
ξ=u
t 4.π2
2 + 1
ya
ln
yb
o que resulta para o vôo ensaiado em um valor de ξ = 0, 06454.
Utilizando-se agora de ambos os valores, ξ calculado e T medido, as freqüências
naturais amortecida e não-amortecida podem ser determinadas a partir de:
2.π
T
115
ωd =
onde ωd é a freqüência natural amortecida, e
ωd
ωn = p
1 − ξ2
onde ωn é a freqüência natural não amortecida.
Os valores obtidos a partir do ensaio são ωn = 0, 11024 Hz e ωd = 0, 11001 Hz.
Estes valores podem ser utilizados na modelagem do modo phugoid do F-16,
utilizando-se de um modelo de estrutura de segunda ordem, tal como:
Y (s)
ωn2
= 2
U (s)
s + 2.ξ.ωn .s + ωn2
de forma que se obtenha a seguinte aproximação do modo phugoid :
Y (s)
0, 0121534
= 2
U (s)
s + 0, 01462.s + 0, 0121534
(4.5)
A equação 4.5 corresponde à metade da função de transferência total deste canal,
sendo a outra metade correspondente ao modo curto-período não analisado durante este
procedimento de identicação.
116
4.2.2 IDENTIFICAÇÃO DO MODO PHUGOID NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
Voltando-se as atenções agora para os procedimentos já estudados no modelo do
míssil, segue-se a etapa de identicação no domínio da freqüência, a partir dos mesmos
dados de ensaios em vôo, através da utilização do método de Levy.
O interesse agora é sobre apenas 1 dos 64 canais da matriz de transferência multivariável obtida a partir da linearização do modelo de simulação do F-16 no ponto de VREN
especicado na Tabela 4.2, de forma que será buscado o mesmo resultado da subseção
anterior, por um caminho totalmente diferente.
Sendo então tomado o canal empuxo-velocidade do ar, a evolução temporal dos sinais
de entrada e saída é apresentada na Figura 4.26.
Empuxo
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
Veloc Ar
0
−2
−4
0
1
2
3
4
5
Tempo de Voo
6
7
5
x 10
FIG. 4.26: Entrada e saída - modo phugoid.
Esta não é uma base de dados simples de ser trabalhada. Na verdade, há mudanças
drásticas em relação ao modelo do míssil, embora o resultado buscado seja relativamente
mais simples.
A taxa de amostragem continua sendo de 1000 Hz, mas o simulador opera com passo
xo de simulação o que signica que, considerando-se as freqüências naturais muito mais
lentas de uma aeronave de asa xa em relação a um míssil, o tempo de vôo necessário
ao amortecimento dos modos oscilatórios e, conseqüentemente, o tempo para a obtenção
de uma base de dados útil para o processo de identicação no domínio da freqüência
são muito maiores. O número de pontos agora envolvido na transformada de Fourier
é da ordem de 108 , e a probabilidade de os módulos da FRF caírem para valores menores do que eps (precisão numérica do MATLAB) causando problemas numéricos é alta.
117
Embora a entrada tenha as características conhecidas de um doublet, seu espectro é
diferente do apresentado na Figura 4.3. Pela Figura 4.27, percebe-se que o alargamento
no tempo em relação ao doublet aplicado no míssil provoca uma compactação no espectro
em termos de largura de banda.
Sinal de Entrada amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
0.3
0.2
Sinal
0.1
0
−0.1
−0.2
0
1
2
3
4
Tempo (s)
5
6
7
−3
Amplitude
1.5
x 10
1
0.5
0 −3
10
−2
10
−1
10
0
1
10
10
Frequencia (rad/s)
2
10
3
10
4
10
FIG. 4.27: Espectro em módulo da entrada - F16.
O espectro da saída do canal estudado, apresentado na Figura 4.28, apresenta uma
característica interessante do ponto de vista da identicação.
Sinal de Saida amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
Sinal
0
−2
−4
0
100
0 −3
10
10
200
300
400
Tempo (s)
500
600
700
0.25
Amplitude
0.2
0.15
0.1
0.05
−2
−1
10
0
1
10
10
Frequencia (rad/s)
2
10
3
10
4
10
FIG. 4.28: Espectro em módulo da saída - F16.
Foi realizada uma manobra durante o ensaio em vôo que fosse capaz de excitar apenas
o modo phugoid do F-16. O espectro apresentado na Figura 4.28, além de apresentar uma
118
característica de pico que ressalta a freqüência dominante presente na resposta temporal
como sendo aquela da oscilação observada na Figura 4.26, também decai rapidamente, de
forma que para freqüências acima de 30 Hz a resposta é praticamente inexistente, como
é de se esperar uma vez que o modo phugoid é sicamente caracterizado pela oscilação
lenta do C.G. da aeronave ao longo da trajetória de vôo.
MODULO de Y(jw)/U(jw)
150
Amplitude (dB)
100
50
0
−50
−100 −3
10
−2
10
−1
10
0
1
10
10
Frequencia (rad/s)
2
10
3
10
4
10
FIG. 4.29: Módulo da FRF do F16 - phugoid
Se na busca da FRF deste canal for realizada a divisão das transformadas de Fourier
da saída pela entrada à revelia deste fato, serão encontrados problemas numéricos no
MATLAB.
Nas Figuras 4.29 e 4.30 pode ser visualizado o problema numérico das freqüências
acima de 30 Hz. Claramente, a manobra efetuada para a identicação do modo phugoid
foi eciente a ponto de excitar apenas este modo, exceto por eventuais acoplamentos
entre canais devidos a não-linearidades.
O projeto de manobras no domínio do tempo é assunto de longos trabalhos na teoria
da identicação de aeronaves, uma vez que aí reside o segredo da boa identicação.
Considerações a respeito de perturbação de modos em particular pela execução de
diferentes manobras de ensaios em vôo são deixadas como sugestão para análise futura
através dos grácos de densidade espectral de manobras especiais, tais como a 3-2-1-1,
conhecida dos pilotos de provas, a ser denida nas conclusões deste trabalho.
Por hora, será adotada a entrada doublet como entrada padrão, de forma a se poder
comparar qualitativamente os resultados da identicação do míssil com os do F-16, de
forma mais direta e clara.
119
FASE de Y(jw)/U(jw)
200
150
100
Fase (graus)
50
0
−50
−100
−150
−200 −3
10
−2
−1
10
10
0
1
10
10
Frequencia (rad/s)
2
3
10
10
4
10
FIG. 4.30: Fase da FRF do F16 - phugoid
Se há uma lição a ser aprendida neste capítulo, é de que o processo de identicação
pode ser desenvolvido de diversas maneiras diferentes. Não há um compromisso, na
identicação de sistemas em geral, de se chegar ou não aos mesmos pólos e zeros obtidos
durante a linearização do sistema. Antes, a busca deve ser pelo sistema equivalente
que produza a mesma resposta em termos de tempo e freqüência, quando submetido às
mesmas entradas.
Modulo da resposta em frequencia do sistema
70
60
Amplitude (dB)
50
40
30
20
10
0 −3
10
−2
10
−1
10
Frequencia (rad/s)
0
10
1
10
FIG. 4.31: Corte do módulo da FRF do F16 - phugoid
Por outro lado também não deve haver a preocupação com a identicação de todos os
pólos e zeros, ou pelo menos de tantos pólos e zeros quanto se tenha obtido ou se estime
120
obter via linearização. A entrada escolhida pode ser capaz de excitar um ou mais modos,
talvez todos os modos dominantes. O que torna interessante o processo de identicação é
justamente a liberdade de se poder escolher a entrada de acordo com o modo oscilatório
que se deseja identicar. Isso só acontecerá quando houver compreensão da física do
sistema sob pesquisa.
Retornando ao modo phugoid, deve ser lembrado que não há nenhuma necessidade
de ter o espectro limpo sobre toda a faixa de freqüência, uma vez que se deseja identicar
apenas um modo dominante de baixa freqüência natural.
Fase UNWRAPPED da resposta em frequencia do sistema
100
0
Fase (graus)
−100
−200
−300
−400
−500
−600 −3
10
−2
10
−1
10
Frequencia (rad/s)
0
10
1
10
FIG. 4.32: Corte da fase da FRF do F16 - phugoid
O corte da FRF é, por outro lado, uma etapa indispensável, de forma que se possa
eliminar do processo de identicação todas as informações espúrias ao sistema, uma vez
que a interpolação espectral não sabe qual informação deve ser considerada ou não, a
não ser que lhe seja indicado.
Uma vez aplicado o método de Levy sobre a FRF nal condicionada das Figuras
4.31 e 4.32, os pólos e zeros identicados são mostrados na Figura 4.33, ampliada na
vizinhança da origem.
Não existe preocupação com os pólos e zeros restantes, e nem as diferenças entre os
dois sistemas serão chamadas de erros de identicação. O sistema foi identicado sem
a preocupação com o modelo de estrutura e isso por si só representa uma abordagem
completamente alternativa do problema. De fato, foi solicitado ao algoritmo de Levy
que ajustasse à FRF das Figuras 4.31 e 4.32 uma função de transferência de ordem 3 no
numerador e ordem 4 no denominador, quando se buscava apenas a coincidência de 2
121
Pole−Zero Map
Polo linearizado
Zero linearizado
Polo identificado
Zero identificado
0.1
Polos phugoid identificados
Imaginary Axis
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
Real Axis
FIG. 4.33: Pólos e zeros do F16 - phugoid
dos 10 pólos do sistema linearizado do F-16. Com resultado, o método retorna 2 zeros
e 2 pólos sem signicado, mas retorna também os 2 pólos correspondentes ao modo de
oscilação phugoid que foi excitado com a entrada doublet durante o ensaio em vôo.
A Tabela 4.3 relaciona os pólos phugoid obtidos via linearização do F-16 e via
2 processos diferentes de identicação - por ensaio em vôo e pelo método de Levy -,
comparados com a linearização realizada via MATLAB.
Linearização
−0, 00711 ± 0, 11.j
ξ = 0, 06450
ωn = 0, 1100
ωd = 0, 10977
Ensaio em vôo
−0, 00731 ± 0, 11.j
ξ = 0, 06454
ωn = 0, 11024
ωd = 0, 11001
Levy
−0, 00727 ± 0, 11.j
ξ = 0, 0662
ωn = 0, 1100
ωd = 0, 10975
TAB. 4.3: Pólos phugoid do F-16.
Um doublet agora aplicado ao canal Profundor - Velocidade em relação ao ar,
respeitadas as diferenças do signicado da amplitude mas mantidas as características
temporais, fornece um outro panorama da identicação do modelo multivariável.
122
No gráco da Figura 4.34 pode-se ver a evolução temporal dos sinais de entrada de
profundor δe e saída velocidade em relação ao ar Vt , na aplicação da manobra que tem a
intenção de identicar o mesmo modo oscilatório phugoid através da excitação de outro
canal da mesma planta.
Profundor
10
5
0
−5
−10
1
2
3
4
5
6
7
8
440
Veloc Ar
420
400
380
360
0
100
200
300
400
500
600
Tempo de Voo
700
800
900
1000
FIG. 4.34: Entrada e saída F-16 - segundo canal
O espectro da entrada se comporta como na Figura 4.35.
Sinal de Entrada amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
10
Sinal
5
0
−5
−10
0
1
2
3
4
5
6
Tempo (s)
7
8
9
10
0.08
Amplitude
0.06
0.04
0.02
0 −3
10
−2
10
−1
10
0
1
10
10
Frequencia (rad/s)
2
10
3
10
4
10
FIG. 4.35: Espectro da entrada doublet de profundor.
Pode-se observar que foi necessário um ajuste na amplitude do sinal, mas que seus
períodos foram preservados, na intenção de se mostrar que uma entrada de largura de
banda estreita será capaz de excitar apenas os modos que estejam mais próximos da
123
região de denição do phugoid do que da região do curto-período.
A Figura 4.36 apresenta o espectro da saída, com sua característica oscilação pouco
amortecida do modo phugoid. Percebe-se que, devido à característica espectral da entrada, a saída apresenta um modo dominante, sob a forma de pico no diagrama de módulo
da transformada de Fourier, que era exatamente a intenção deste procedimento.
Sinal de Saida amostrado a 1000 Hz: Ts=0.001s
40
Sinal
20
0
−20
−40
0
100
200
300
400
500
600
Tempo (s)
700
800
900
1000
8
Amplitude
6
4
2
0 −3
10
−2
−1
10
10
0
1
10
10
Frequencia (rad/s)
2
3
10
10
4
10
FIG. 4.36: Espectro da saída - Velocidade do Ar.
Novamente, quando se tem um espectro tendendo a zero para freqüências baixas,
não se pode esperar uma FRF representativa nas altas freqüências.
Modulo da resposta em frequencia do sistema
70
60
Amplitude (dB)
50
40
30
20
10
0
−10 −3
10
−2
10
−1
10
Frequencia (rad/s)
0
10
1
10
FIG. 4.37: Módulo da FRF do canal 2 do F-16.
Entretanto, deve ser lembrado que se deseja identicar um modo oscilatório que
124
admite o corte no espectro da FRF apresentado nas Figuras 4.37 e 4.38.
Fase UNWRAPPED da resposta em frequencia do sistema
100
0
−100
Fase (graus)
−200
−300
−400
−500
−600
−700
−800 −3
10
−2
−1
10
10
Frequencia (rad/s)
0
1
10
10
FIG. 4.38: Fase da FRF do canal 2 do F-16.
A Figura 4.39 apresenta o diagrama de pólos e zeros do sistema identicado pelo
método de Levy, com base na FRF das Figuras 4.37 e 4.38, sendo ampliada a região
próxima aos pólos phugoid.
Pole−Zero Map
Polo linearizado
Zero linearizado
Polo identificado
Zero identificado
0.15
0.1
Imaginary Axis
0.05
Polos phugoid identificados
0
−0.05
−0.1
−0.035
−0.03
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
Real Axis
FIG. 4.39: Pólos e zeros do canal 2 do F-16.
Novamente, a aplicação de uma entrada que é sabida excitar apenas este modo de
oscilação obriga ao abandono dos demais pólos e zeros identicados. A identicação dos
polos e zeros restantes deverá ser feita através do projeto de uma manobra capaz de
excitar os modos oscilatórios correspondentes, e extensa literatura pode ser encontrada
125
a respeito, como por exemplo em NASA (1974), MORELLI (1996) e MORELLI (1997).
Este procedimento especíco sugerido visa estipular o poder das técnicas de identicação quando associadas ao projeto especíco da manobra de entrada. Um detalhe
importante que deve ser ressaltado é o de que os mesmos pólos phugoid do modelo do
F-16 foram agora identicados através da excitação por canais de duas entradas diferentes, para uma mesma saída, resultado já esperado sicamente, uma vez que as oscilações
de período longo e levemente amortecidas de uma aeronave podem ser provocadas por
uma série de manobras diferentes executadas pelo piloto. O modo longitudinal phugoid
e todos os outros modos das dinâmicas longitudinal e látero-direcional são comportamentos naturais das aeronaves de asa xa e também dos mísseis, devendo aparecer nas
linearizações ou procedimentos de identicação realizados a partir de bons modelos nãolineares e suas respectivas respostas temporais às diferentes manobras de ensaio em vôo
executadas.
126
5 CONCLUSÕES
Neste capítulo é encerrada a presente dissertação, sendo abordadas as principais
contribuições do estudo realizado e apresentadas algumas críticas e perspectivas de continuidade sob a forma de sugestões para trabalhos futuros.
5.1 RESUMO DA CONTRIBUIÇÃO
Esta dissertação buscou estabelecer um conjunto de procedimentos, segundo uma
seqüência básica de aplicação, que conduz à identicação de modelos de aeronaves de asa
xa, partindo do modelo simplicado da dinâmica longitudinal de um míssil genérico arar e chegando à dinâmica de seis graus de liberdade de um caça F-16 Fighting Falcon. Os
procedimentos são estabelecidos de forma que sejam completamente aplicados a aeronaves
não-tripuladas, com base nas simplicações adotadas por ocasião da modelagem nãolinear, que tornam o modelo de um VANT praticamente igual ao modelo simplicado de
uma aeronave de grande porte, a menos das constantes características de cada um.
5.1.1 PONTO DE VISTA METODOLÓGICO
Uma extensa revisão bibliográca foi realizada antes de ser feita a escolha de um
método particular de identicação de aeronaves no domínio da freqüência.
Considerando-se que a identicação de parâmetros de aeronaves no Brasil vem sendo
realizada no domínio do tempo desde os anos de 1960, houve diculdades em se estabelecer
a ligação entre ensaios em vôo, análise modal e identicação por métodos de otimização
no domínio da freqüência devido à falta de fontes de consulta na literatura clássica de
aeronáutica e sistemas de controle.
Foram também testados algoritmos de identicação no domínio da freqüência por
funções ortogonais, mas não com tanto sucesso quanto na aplicação do método de Levy.
Este, apesar da relativa complexidade na sua dedução, mas devido à grande simplicidade
de aplicação, representou um ganho efetivo de espaço para discussões importantes em
relação à análise modal de aeronaves de asa xa, o que signicou a ligação e a compatibilização da linguagem dos sistemas de controle com a linguagem dos ensaios em vôo,
necessária no caso de se desejar realmente aplicar as técnicas de sistemas de controle
estudadas no IME a um projeto de VANT.
127
A metodologia estabelecida permite ainda a discussão de projetos de manobras a
serem executadas nos ensaios em vôo com objetivo de se identicar modos naturais especícos. Abre espaço para o tratamento de sinais obtidos a partir de plataformas de vôo
reais, pois o condicionamento de sinais no domínio do tempo para a geração de conjuntos
de treinamento no domínio da freqüência adequados ao processo de identicação comporta a abordagem de sistemas com modelos de estrutura completamente desconhecidos e
ainda fontes de distorções que surgem naturalmente em casos práticos, como por exemplo
as distorções provocadas por sensores sensíveis às vibrações da aeronave sob ensaio.
5.1.2 PONTO DE VISTA DA APLICAÇÃO
O método de Levy, apresentado como ferramenta básica de identicação de parâmetros no domínio da freqüência associado à transformada de Fourier, não é um método
novo. Foi apresentado pela primeira vez em LEVY (1959), e deu origem a uma série de
outros trabalhos, como por exemplo SANATHANAN (1963), e com aplicações atuais em
áreas diversas tais como as citadas em COUTLIS (2000), VARGAS (1999), TISCHLER
(1992) e TAYLOR (2003).
A releitura do método de Levy nesta dissertação se deve ao fato de ter sido eleito
o método de abordagem que melhor permitiu a compreensão dos modos oscilatórios
das dinâmicas longitudinal e látero-direcional das aeronaves de asa xa em termos de
ensaios em vôo e sistemas de controle. Representa um método de aplicação direta, por
apresentar solução analítica, desde que o problema da identicação seja adequadamente
formulado. Tal formulação é realizada com base em conhecimentos mínimos de dinâmica
e estabilidade de vôo.
O método de Levy apresenta deciências relativas à ponderação em freqüências apresentando soluções mais ajustadas à faixa do espectro sobre a qual se tenha maior quantidade de informações, mas estas podem ser contornadas facilmente pela análise física dos
sistemas identicados à luz de conhecimentos especícos de engenharia aeronáutica.
5.2 CRÍTICAS
A intenção inicial deste trabalho era realizar a identicação no domínio da freqüência
do modelo de um VANT real, o que não foi possível devido à indisponibilidade de plataformas de testes adequadas aos ensaios em vôo necessários. Tal problema foi contornado
com a implementação de simuladores não-lineares, capazes de reproduzir a maior parte
das diculdades encontradas durante um ensaio real, exceto por eventos imprevisíveis que
128
só a prática permite desaar, e que tornam os sistemas de controle tão atraentes quando
se oferece uma aplicação no mundo real.
Tal modelagem não-linear acarretou lentidão de processamento e de geração de alguns
resultados.
Quanto à metodologia de identicação sugerida, foram encontradas diculdades com
relação ao projeto de manobras de aeronaves no domínio do tempo capazes de excitar
modos de oscilação especícos nas aeronaves de asa xa. As manobras doublet foram
adotadas como padrão por representarem uma cultura largamente praticada no mundo
dos ensaios em vôo, muito embora não seja a manobra mais eciente em termos de
densidade espectral. Manobras como a 3 − 3 − 2 − 1, comparada ao doublet na gura
5.1, apresentam uma largura de banda muito maior e são capazes de excitar mais modos
oscilatórios do que o doublet.
1
0.5
0
−0.5
−1
0
5
10
15
20
25
30
Sinal Doublet
35
40
45
50
1
0.5
0
−0.5
−1
0
10
20
30
40
Sinal 3−3−2−1
50
60
70
FIG. 5.1: Manobras doublet e 3 − 3 − 2 − 1 genéricas.
A utilização da manobra 3 − 3 − 2 − 1 neste trabalho foi comprometida devido à
excessiva lentidão das simulações não-lineares em ambiente MATLAB, o que por sua
vez foi acarretado pela utilização da s-function do MATLAB na implementação dos
simuladores.
O problema gerado pelas condições de geração dos conjuntos de treinamento, por
outro lado, permitiu mostrar que manobras simples eram capazes de excitar modos oscilatórios especícos, o que não era um resultado esperado inicialmente do ponto de vista
da aplicação do método de Levy. O poder da simplicidade do método, entretanto, foi
testado e aprovado quando houve sucesso na convergência das respostas em freqüência
129
identicadas para pólos particulares das FRF originais.
5.3 PERSPECTIVAS
Acredita-se que a metodologia apresentada tenha grande potencial de aplicação prática. É deixada como sugestão a realização de um ensaio em vôo real, com uma aeronave
de grande porte ou pertencente à classe dos VANTs.
Adicionalmente, como sugestão de continuidade deste trabalho, sugere-se o estudo de
manobras no domínio do tempo, exeqüíveis por um piloto de ensaios em vôo, capazes de
excitar todos os modos das dinâmicas longitudinal e látero-direcional de aeronaves de asa
xa. Tais manobras seriam implementadas preliminarmente em simuladores não-lineares
em ambiente SIMULINK/MATLAB. Para cumprir tal tarefa sem custos computacionais
excessivamente altos, sugere-se que novos simuladores sejam programados sem a utilização da s-function. Para isso há ferramentas disponíveis nas toolboxes e blocksets do
MATLAB conhecidas como AEROSIM e AEROSPACE, com as quais podem ser gerados
simuladores de seis graus de liberdade de aeronaves de asa xa em mais alto nível, pela
utilização de blocos prontos sem que haja necessidade de implementação das equações
não-lineares da aeronave.
130
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABRAHAM, L. H. Structural design of missiles and spacecraft. McGraw-Hill Book
Company Inc., 1962.
ALLEMANG, R. J. Vibrations: analytical and experimental modal analysis.
UC-SDRL-CN-20-263-662 University of Cincinnati, 1999.
ANDRADE, D. Fundamentos da engenharia aeronáutica. Notas de Aula - Instituto
Tecnológico da Aeronáutica, Junho 1999.
ASHLEY, H. Engineering analysis of ight vehicles. Dover Publications Inc - New
York, 1974.
BLAKELOCK, J. H. Automatic control of aircraft and missiles. John Wiley and
Sons Inc., 2nd edition, 1991.
BRUMBAUGH, R. W. An aircraft model for the AIAA Controls Design Challenge. NASA Contractor Report, (186019), Dezembro 1991.
BULTHEEL, A. e LASAROW, A. Orthogonal basis functions in estimation, identication, systems and control. Proceedings on 16th Mathematical Theory of
Networks and Systems Conference, Julho 2004.
CARLSON, A. B. Communication systems. McGraw-Hill International Editions, 3rd
edition, 1986.
CHIN, S. Missile conguration design. McGraw-Hill Book Company Inc., 1961.
CIAVEX. Aerodinâmica básica. Notas de aula - Centro de Instrução de Aviação do
Exército, 1997a.
CIAVEX. Piloto automático - generalidades. Notas de Aula - Centro de Instrução
de Aviação do Exército, 1997b.
CIAVEX. Piloto automático - localização de componentes. Notas de Aula - Centro
de Instrução de Aviação do Exército, 1997c.
CIAVEX. Teoria de vôo do helicóptero. Notas de Aula - Centro de Instrução de
Aviação do Exército, 1997d.
COUTLIS, A., LIMEBEER, D., WAINWRIGHT, J., LISTER, J. e VYAS, P. Frequency
response identication of the dynamics of a tokamak plasma. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 8(4):646659, Julho 2000.
DAY, K., CONTI, J., KNOBF, R., LIRA, E., REID, J., RICCA, E. e WALTER, R.
Glide-slope control design. Class Notes - California Polytechnic State University,
Março 2002.
131
DOYLE, J., FRANCIS, B. e TANNENBAUM, A. Feedback control theory. Macmillan
Publishing Co., 1990.
DUKE, E. L., ANTONIEWICZ, R. F. e KRAMBEER, K. D. Derivation and denition
of a linear aircraft model. NASA Reference Publication, (1207), Agosto 1988.
ESKINAT, E. Identication and uncertainty modeling for multivariable processes. ADCHEM, 2000.
FALEIRO, L. F. The application of eigenstructure assignment to the design of
ight control systems. Tese de Doutorado, Loughborough University, 1998.
FRANDSEN, P. E., JONASSON, K., NIELSEN, H. B. e O.TINGLEF. Unconstrained
optimization. Lecture Notes - Technical University of Denmark, (H69):IMMLec2,
Agosto 1999.
FRANKLIN, G., POWELL, J. e WORKMAN, M. Digital control of dynamic systems. Addison Wesley Longman,Inc., 3th edition, 1998.
GARNELL, P. Guided weapon control system. Pergamon Press - Oxford, 2nd edition,
1980.
GAUTREY, J. Introduction to autopilots. Class notes - National Flying Laboratory
Centre - Craneld University, 1999.
GELB, A. e VELDE, W. Multiple-input describing functions and nonlinear system design. McGraw-Hill Book Company and MIT Press, 1967.
GONZALEZ, L. e AGUILAR, L. H∞ Robust control design for an arm manipulator. Journal of Intelligent and Robotic Systems, 27:2130, 2000.
GUCHT, P. V. e BULTHEEL, A. State space representation for arbitrary orthogonal rational functions. Preprint - Dept of Computer Science, Celestijnenlaan,
Setembro 2002.
GUCHT, P. V. e BULTHHEEL, A. Using orthogonal rational functions for system
identication. Report TW 314 - Katholieke Universiteit Leuven, Setembro 2000.
HEFFLEY, R. K. e MNICH, M. A. Minimum-complexity helicopter simulation
math model. NASA USAAVSCOM Technical Report, NAS2-11665(177476), Abril
1988.
HEUBERGER, P., SZABO, Z., HOOG, T., VANDENHOF, P. e BOKOR, J. Realization
algorithms for expansion in generalized orthonormal basis functions. Selected
Topics in Identication, Modelling and Control, 11:6168, Dezembro 1998.
HUZMEZAN, M. Modeling identication and control of aordable UAVs. Notas
de aula - University of British Columbia, 2003.
JOHNSON, E. N., FONTAINE, S. e KAHN, A. D. Minimum complexity uninhabited air vehicle guidance and ight control system. AIAA Digital Avionics
Conference, 2001.
132
KAILATH, T. Linear systems. Prentice Hall, 1980.
KARLSSON, M. Control of unmanned aerial vehicles using non-linear dynamic
inversion. Tese de Doutorado, Department of Electrical Engineering - Linköping
University, 2002.
KLEIN, V. Estimation of aircraft nonlinear unsteady parameters from wind
tunnel data. NASA / Technical Memorandum, (208969), Dezembro 1998.
KOPP, K. G. Flight tests. Naval Test Pilot School - Patuxent River, 1999.
LAMB, J. An improved technique for transfer function synthesis from frequency response data. IEEE Transactions on Automatic Control, ac-3:480483,
Agosto 1970.
LEONARD, J. R. Investigation of lateral-directional coupling in longitudinal
responses of a transfer function simulation model. Tese de Doutorado, Virginia
Polytechnic Institute and State University, 2003.
LEVY, E. Complex curve tting. IRE Transactions on Automatic Control, ac-4:3744,
Maio 1959.
LITTLEBOY, D. M. Numerical techniques for eigenstructure assignment by
output feedback in aircraft applications. Tese de Doutorado, Loughborough University of Technology, 1994.
LLIFF, K. W. Aircraft parameter estimation. NASA Technical Memorandum AIAA Dryden Lecture in Research, (88281), Janeiro 1987.
LY, U. Stability and control of ight vehicle. Tese de Doutorado, University of
Washington - Department of Aeronautics and Astronautics, 1997.
MAGNI, J., BENNANI, S. e TERLOUW, J. Robust ight control: a design challenge. ONERA CERT - Département d'Ètudes et Recherches en Automatique - Toulouse, 1997.
MCKELVEY, T., AKÇAY, H. e LJUNG, L. Subspace-based multivariable system
identication from frequency response data. IEEE Transactions on Automatic
Control, 41(7):960979, Julho 1996.
MORELLI, E. A. Piloted parameter identication ight test maneuvers for
closed-loop modeling of the F-18 High Alpha Research Vehicle HARV.
Lockheed Martin Engineering and Sciences Company - NASA Contractor Report,
(198268), Maio 1996.
MORELLI, E. A. Flight test validation of optimal input design and comparison to conventional inputs. AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference, New
Orleans, Louisiana, (AIAA-97-3711):1113, Agosto 1997.
MORELLI, E. A. Global nonlinear parametric modeling with application to
F-16 aerodynamics. American Control Conference, Philadelphia, PA, 1(5):2428,
Junho 1998.
133
MORELLI, E. A. Real-time parameter estimation in the frequency domain.
Proceedings of the AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference, Portland, (AIAA99-4043), Agosto 1999.
MORELLI, E. A. e GARZA, F. R. A collection of nonlinear aircraft simulations
in MATLAB. NASA Technical Memorandum, (TM-2003-212145), Janeiro 2003.
MURPHY, P. C. e KLEIN, V. Estimation of aircraft unsteady aerodynamic parameters from dynamic wind tunnel testing. AIAA / NASA Technical Report,
(4016), 2001.
NASA. Parameter estimation and applications in aircraft ight testing, volume
TN D-7647. National Aeronautics and Space Administration, 1974.
NELSON, R. C. Flight stability and automatic control. McGraw-Hill International
Editions - Aerospace Series, 1989.
NGUYEN, L., OGBURN, M., GILBERT, W., KIBLER, K., BROWN, P. e DEAL, P.
Simulator study of stall/post-stall characteristics of a ghter airplane with
relaxed longitudinal static stability. NASA Technical Paper, (1538), Dezembro
1979.
O'DWYER, A. Time delayed process model parameter estimation: a classication of techniques. Proceedings of the Irish Signals and Systems Conference, Dublin
Institute of Technology, Technical Report AOD-01-04, Junho 2001.
PELLANDA, P., APKARIAN, P. e TUAN, H. Missile autopilot design via a multichannel LFT/LPV control method. Int J. Robust and Nonlinear Control, 12(1):
120, 2002.
PETTERSSON, H. B. Variable stability transfer function simulation. Tese de
Doutorado, Virginia Polytechnic Institute and State University, 2002.
RABENSTEIN, R. Transfer function models of multidimensional physical systems. Digest of the IEE Coll. on Multidimensional Systems, págs. 1/11/7, Janeiro
1998.
RICHARDSON, M. H. e FORMENTI, D. L. Parameter estimation from frequency
response measurements using rational fractional polynomials. 1st IMAC Conference, FL, Novembro 1982.
RODRIGUEZ, A. A. A pratical approach to signals, systems and controls. Arizona
State University Press, 1998.
ROLAIN, Y., SHOUKENS, J. e PINTELON, R. Order estimation for linear timeinvariant systems using frequency domain identication methods. IEEE
Transactions on Automatic Control, 42(10):14081417, Outubro 1997.
SABINO, J. A primer on control theory and pseudospectral analysis of linear
time-invariant dynamical systems. Tutorial Notes - Department of Computational
and Applied MAthematics - Rice University, Abril 2003.
134
SANATHANAN, C. On the systhesis of space dependent transfer functions. IEEE
Transactions on Automatic Control, ac-11(4):724729, Outubro 1966.
SANATHANAN, C. A frequency domain method for tuning hydro governors.
IEEE Transactions on Energy Conversion, 3(1):1417, Março 1988.
SANATHANAN, C. e KOERNER, J. Transfer function as a ratio of two complex
polynomials. IEEE Transactions on Automatic Control, ac-4:5658, Janeiro 1963.
STECK, J., ROKHSAZ, K., PESONEN, U., BRUNER, S. e DUERKSEN, N. Simulation
and ight test assessment of safety benets and certication aspects of
advanced ight control systems. Wichita State University and Raytheon Aircraft
Company Technical Report, (DOT/FAA/AR-03/51), Agosto 2003.
STEVENS, B. L. Derivation of aircraft linear state equations from implicit
nonlinear equations. Proceedings of the 29th IEEE Conference on Decision and
Control, Honolulu, Hawaii, Dezembro 1990.
STEVENS, B. L. e LEWIS, F. L. Aircraft control and simulation. John Wiley and
Sons, Inc., 1992.
TAYLOR, G. e THOMAS, A. Dynamic ight stability in the desert locust Schistocerca gregaria. The Journal of Experimental Biology, 206:28032829, Janeiro 2003.
TISCHLER, M. B. System identication methods for aircraft ight control development and validation. NASA Technical Memorandum 110369 - USAATCOM
Technical Report 95-A-007, Outubro 1995.
TISCHLER, M. e CAUFFMAN, M. Frequency-response method for rotorcraft
system identication: ight applications to BO-105 coupled rotor/fuselage
dynamics. Journal of the American Helicopter Society, 37(3):317, Julho 1992.
VARGAS, R. e BURRUS, C. Adaptative interative reweighted least squares design of Lp FIR lters. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP Proceedings, IEEE International Conference on Automatic Control, 3:1519, Março 1999.
VARGAS, R. e BURRUS, C. On the design of Lp IIR lters with arbitrary frequency response. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal
Processing (ICASSP), 6:38293832, Maio 2001.
VIDYASAGAR, M. Nonlinear systems analysis. Prentice Hall, 1978.
VRIES, D. K. e VANDENHOF, P. M. J. Frequency domain identication using generalized orthonormal basis functions. IEEE Transactions on Automatic Control,
43(5):656669, Maio 1998.
WANG, F., ABRAMOVITCH, D. e FRANKLIN, G. A method for verifying measurements and models of linear and nonlinear systems. Proceedings of American
Controls Conference in San Francisco, CA, 1993.
ZADEH, L. A. On the identication problem. IRE Transactions on Circuit Theory,
(3):277281, 1956.
135
7 APÊNDICES
136
7.1 APÊNDICE 1: MODELOS DE ESTRUTURA E DIAGRAMAS DE BODE
Visando o ganho de intuição a respeito dos comportamentos temporal e freqüencial
de um sistema, neste apêndice são vinculadas as informações contidas nas respostas nos
dois domínios ao respectivo modelo de estrutura, com a nalidade de permitir a escolha
do mesmo por ocasião da análise do conjunto de treinamento do processo de identicação.
O primeiro fato a ser lembrado é que sistemas lineares e invariantes no tempo, ao
serem submetidos a entradas senoidais, produzem saídas senoidais de mesma freqüência,
no estado estacionário.
Por sua vez, o módulo da resposta em freqüência de um sistema linear e invariante
no tempo pode ser denido como a relação entre o módulo da sua saída e o módulo da
sua entrada em função da freqüência. Do mesmo modo, a fase da resposta de freqüência
é a diferença entre o ângulo de fase da saída e o da entrada, em função da freqüência.
As informações de módulo e fase combinadas fornecem a FRF do sistema.
A saída por sua vez é composta pela soma de uma resposta natural, devida a condições iniciais não nulas presentes no sistema, e uma resposta forçada, devida à entrada.
Para sistemas estáveis, a resposta natural desaparece com a evolução temporal do sistema, restando apenas a saída do estado estacionário, de forma que se pode raciocinar
apenas com as freqüências s = j.ω para efeito de diagramas de Bode.
Deve ser ressaltado que o conhecimento da relação entre os modelos de estrutura
sugeridos neste apêndice, suas respostas temporais e respectivos diagramas de Bode são
de grande importância no processo de identicação. O método de Levy, cuja utilização é proposta, leva em conta a escolha de um modelo de estrutura compatível com
a informação apresentada como conjunto de treinamento no domínio da freqüência. A
escolha incorreta de tal modelo pode acarretar problemas numéricos no MATLAB, que
felizmente provocam erros na execução do algoritmo, indicando que a estrutura errada foi
escolhida. De outra forma, o sistema em estudo poderia ser identicado por uma função
de transferência não-causal.
Toda a análise de freqüência realizada posteriormente será baseada nas "fotograas"
do comportamento dos sistemas, como expresso nas Figuras 7.1 a 7.12.
137
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
(sec)
FIG. 7.1: Resposta ao degrau - Passa baixa de ordem 1.
Um sistema do tipo
G (S) =
A0
1 + s.τ
onde A0 é o ganho DC e τ = 1/ω0 é a constante de tempo, tem sua resposta ao degrau
representada na Figura 7.1 e seus diagramas de Bode na Figura 7.2. A freqüência de
corte do sistema é ω0 . Sistemas deste tipo são chamados passa-baixa de primeira ordem.
10
Magnitude (dB)
0
−10
−20
Phase (deg)
−300
−45
−90
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
FIG. 7.2: Diagramas de Bode - Passa baixa de ordem 1.
138
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
(sec)
FIG. 7.3: Resposta ao degrau - Passa alta de ordem 1.
Um sistema do tipo
G (s) =
A0 .s.τ
1 + s.τ
onde A0 é o ganho da alta freqüência e τ = 1/ω0 é a constante de tempo, tem sua
resposta ao degrau representada na Figura 7.3 e seus diagramas de Bode na Figura 7.4.
A freqüência de corte do sistema é ω0 . Sistemas deste tipo são chamados passa-alta de
primeira ordem.
Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
−5
−10
−15
−20
−25
Phase (deg)
−30
90
45
0
−2
10
−1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
FIG. 7.4: Diagramas de Bode - Passa alta de ordem 1.
139
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
(sec)
FIG. 7.5: Resposta ao degrau - Passa baixa de ordem 2.
Um sistema do tipo
G (s) =
A0 .ω02
s2 + 2ξω0 s + ω02
onde A0 é o ganho DC, ξ é o coeciente de amortecimento e ω0 é a freqüência natural
não amortecida, tem suas respostas ao degrau na Figura 7.5, e seus diagramas de Bode
na Figura 7.6, para diversos ξ . Tais sistemas são chamados de passa-baixa de segunda
ordem.
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
20
0
−20
−40
−60
−800
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
FIG. 7.6: Diagramas de Bode - Passa baixa de ordem 2.
140
3
2
1
0
−1
−2
−3
0
1
2
3
4
5
6
(sec)
FIG. 7.7: Resposta ao degrau - Passa alta de ordem 2.
Um sistema do tipo
G (s) =
A0 .s2
s2 + 2ξω0 s + ω02
onde A0 é o ganho na alta freqüência, ξ é o coeciente de amortecimento e ω0 é a
freqüência natural não amortecida, tem suas respostas ao degrau na Figura 7.7, e seus
diagramas de Bode na Figura 7.8, para diversos ξ . Tais sistemas são chamados de passaalta de segunda ordem.
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
−50
−100
180
Phase (deg)
135
90
45
0
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
FIG. 7.8: Diagramas de Bode - Passa alta de ordem 2.
141
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
1
2
3
4
5
6
(sec)
FIG. 7.9: Resposta ao degrau - Passa banda de ordem 2.
Um sistema do tipo
G (s) =
s2
A0 .2ξω0 s
+ 2ξω0 s + ω02
onde A0 é o ganho de meia banda, ξ é o coeciente de amortecimento e ω0 é a freqüência
natural não amortecida, tem suas respostas ao degrau na Figura 7.9, e seus diagramas
de Bode na Figura 7.10, para diversos ξ . Tais sistemas são chamados de passa-banda de
segunda ordem.
Bode Diagram
20
10
Magnitude (dB)
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
90
Phase (deg)
45
0
−45
−90
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
FIG. 7.10: Diagramas de Bode - Passa banda de ordem 2.
142
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
(sec)
FIG. 7.11: Resposta ao degrau - Rejeita banda de ordem 2.
Um sistema do tipo
G (s) =
A0 (s2 + ω02 )
s2 + 2ξω0 s + ω02
onde A0 é o ganho DC, ξ é o coeciente de amortecimento e ω0 é a freqüência natural
não amortecida, tem suas respostas ao degrau na Figura 7.11, e seus diagramas de Bode
na Figura 7.12, para diversos ξ . Tais sistemas são chamados de rejeita-banda de segunda
ordem.
Bode Diagram
50
Magnitude (dB)
0
−50
−100
−150
−200
450
Phase (deg)
405
360
315
270
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
FIG. 7.12: Diagramas de Bode - Rejeita banda de ordem 2.
143