Introdução ao cálculo estocástico e o lema de Ito

Introdução ao cálculo estocástico e o lema de Ito
Na postagem O preço da bebedeira ou a bebedeira do preço? argumentei que a
densidade de probabilidade para o movimento browniano é dada por
[
]
2
exp − (x−µt)
2
2σ t
√
.
2πσ 2 t
u (x, t) =
No limite em que t vai a zero por valores positivos, essa expressão tende à
função delta de Dirac e descreve, portanto, a densidade de probabilidade de
encontrar a partícula browniana entre x e x + dx no instante t > 0, tendo
partido de x = 0 em t = 0. Agora tomemos µ = 0 e σ = 1. Assim, a distribuição
resultante,
u (x, t)
( 2)
1
x
√
,
exp −
2t
2πt
=
para qualquer x real, é conhecida como a distribuição browniana padrão, ou a
distribuição do processo de Wiener padrão.
A distribuição
u (x, t) =
( 2)
1
x
√
exp −
2t
2πt
descreve a densidade de probabilidade para cada instante de tempo de uma
variável estocástica que podemos denotar por W (t) (por causa de W iener).
Podemos considerar agora a variável estocástica dada pelo incremento
∆W (t)
= W (t + ∆t) − W (t) .
Como cada incremento é, por hipótese, independente de outro incremento e é
distribuído normalmente, sua distribuição ca
√
P (z) =
(
)
1
z2
exp −
.
2∆t
2π∆t
Assim, o resultado só depende das variações z e ∆t, pois o movimento browniano
é markoviano.
Consideremos agora a distribuição normal da variável estocástica S :
N (s) =
[ 2]
1
s
√ exp −
.
2
2π
Para manter a normalização igual à unidade, a distribuição da variável estocástica
Z
√
S ∆t
=
1
é dada por
(
= N
P (z) dz
z
√
∆t
ou seja,
P (z)
(
1
√ N
∆t
=
Logo, podemos escrever:
) (
)
z
d √
,
∆t
z
√
∆t
)
.
√
= S ∆t
∆W (t)
e, no limite innitesimal,
√
S dt.
dW (t) =
Porque S é distribuída normalmente, com média nula, seu valor esperado é zero.
Sua variância é igual à unidade:
ˆ
+∞
var (S) =
−∞
ds s2 N (s) = 1.
Logo,
⟨dW (t)⟩
= 0
e
var [dW (t)] = dt.
Calculemos:
{
var [dW (t)]
2
}
(
2
= (dt) var S
2
)
{ˆ
2
}
+∞
2
ds s N (s) − [var (S)]
4
= (dt)
−∞
e, portanto,
{
}
2
var [dW (t)]
{ˆ
}
+∞
2
ds s N (s) − 1 .
4
= (dt)
−∞
Para completar esse cálculo, consideremos a integral:
ˆ
+∞
−∞
[
]
ds s4 exp −αs2
=
∂2
∂α2
ˆ
+∞
−∞
√
[
] √ ∂2
3 π
ds exp −αs2 = π 2 α−1/2 =
.
∂α
4α5/2
Tomando
α
=
2
1
,
2
obtemos
ˆ
+∞
−∞
Logo,
[ 2]
s
=
ds s4 exp −
2
{
}
2
var [dW (t)]
25/2
√
√
3 π
= 3 2π.
4
2
2
= (3 − 1) (dt) = 2 (dt) .
Temos também:
⟨dtdW (t)⟩
= 0
e, usando
var [dW (t)] = dt,
calculamos que
2
3
var [dtdW (t)] = (dt) dt = (dt) .
Com esses resultados, consideremos incrementos dt muito pequenos e, portanto, desprezemos
(dt)
2
e ordens superiores. Podemos, então, dizer que, sendo assim, os termos
[dW (t)] e dtdW (t)
2
não são estocásticos, já que suas variâncias são desprezíveis. Consequentemente,
as igualdades
2
[dW (t)]
= dt
e
dtdW (t) = 0
não apenas são satisfeitas em valor esperado, mas exatamente, já que não utuam, pois suas variâncias são desprezíveis.
A partir de agora, podemos descrever o movimento browniano como sendo
dado por esta equação diferencial estocástica:
dX (t)
= µdt + σdW (t) .
O valor esperado dessa expressão dá
⟨dX (t)⟩ = ⟨µdt + σdW (t)⟩ = µ ⟨dt⟩ + σ ⟨dW (t)⟩ = µdt + 0 = µdt,
onde usamos que
⟨dW (t)⟩
3
= 0
Também é notório o cálculo seguinte:
2
[dX (t)]
=
2
2
2
[µdt + σdW (t)] = µ2 (dt) + 2µσdtdW (t) + σ 2 [dW (t)] = σ 2 dt,
onde usamos
2
[dW (t)]
= dt
dtdW (t)
=
e
0,
além de tomar o quadrado de dt como desprezível. Embora dX (t) seja uma
variável estocástica, [dX (t)]2 é uma variável determinística.
O lema de Ito
Dada uma variável estocástica X (t) satisfazendo
dX (t)
= a (X, t) dt + b (X, t) dW (t) ,
onde, por clareza,
X
= X (t) ,
então, para uma função não estocástica u (y, t), para y real, temos:
{
du (X, t) =
2
∂u
∂u
1
2 ∂ u
+ a (X, t)
+ [b (X, t)]
∂t
∂X
2
∂X 2
}
dt + b (X, t)
∂u
dW (t) ,
∂X
onde
u
= u (X, t) .
Prova:
Façamos uma expansão da função u (X + dX, t + dt) em potências de dt, até
segunda ordem em dW (t):
u (X + dX, t + dt)
= u (X, t) + dt
2
∂u
1
∂u
2 ∂ u
+ dX
+ (dX)
.
∂t
∂X
2
∂X 2
Usando [dX (t)]2 = σ 2 dt e
dX (t)
= a (X, t) dt + b (X, t) dW (t) ,
obtemos
du (X, t)
= u (X + dX, t + dt) − u (X, t) ,
4
isto é,
du (X, t) =
dt
∂u
∂u
1
∂2u
2
+ [a (X, t) dt + b (X, t) dW (t)]
+ [b (X, t)] dt
,
∂t
∂X
2
∂X 2
ou seja,
{
du (X, t) =
dt
2
∂u
∂u
1
2 ∂ u
+ a (X, t)
+ [b (X, t)]
∂t
∂X
2
∂X 2
}
+ b (X, t)
∂u
dW (t) ,
∂X
quod erat demonstrandum.
Como exemplo, considere o movimento browniano geométrico, isto é,
Y (t)
= exp [X (t)] ,
com X (t) satisfazendo dX (t) = µdt+σdW (t) . Usando o lema de Ito, facilmente
obtemos
dY (t) =
(
)
σ2
µ+
Y (t) dt + σY (t) dW (t) .
2
5