CAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL
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CAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO 2 CÁLCULO VECTORIAL 2.1. Grandezas escalares e vectoriais. Noção de Vector. As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais. As grandezas massa, comprimento, tempo ficam completamente definidas pelo seu valor numérico e por uma unidade: 22 kg, por exemplo. São grandezas escalares. As grandezas escalares combinamse de acordo com as regras de álgebra ordinária. Pelo contrário, a acção de um corpo sobre outro (uma força) só fica caracterizada pelas suas intensidade, direcção e pelo seu sentido. Trata-se de uma grandeza vectorial. Os vectores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direcção e sentido, e que se combinam segundo certas regras específicas: a álgebra vectorial. Representação gráfica Considere-se o sistema P ( x, y , z ) G r ortonormado representado na ĵ figura. Os vectores representam-se k̂ iˆ graficamente por segmentos orientados. Nos diagramas, escolhida uma escala, o comprimento de um vector é proporcional ao seu módulo; a direcção e o sentido do vector representam a direcção e o sentido da grandeza em causa. Estática 2003/04 – Pág. 10 Vector livre / vector aplicado Um vector utilizado para representar uma força que actua num determinado ponto material tem bem definido o seu ponto de aplicação, o ponto material. É um vector aplicado; não pode ser deslocado sem modificar as condições do problema. Outras grandezas físicas, e.g. os momentos, são representadas por vectores que se podem deslocar paralelamente a si mesmos, livremente no espaço. São vectores livres. Finalmente, há ainda outras grandezas físicas, e.g. as forças actuantes em corpos rígidos, que são representadas por vectores que se podem deslocar ao longo da sua linha de acção. São vectores deslizantes. G G Dois vectores P e P ’ de mesma intensidade, direcção e sentido são ditos iguais quer tenham ou não o mesmo ponto de aplicação. G O vector oposto ou simétrico de um determinado vector P é definido G como sendo um vector com a mesma intensidade e direcção de P , e G G G G sentido oposto ao de P . Representa-se por – P . Os vectores P e – P são designados vectores directamente opostos. G A soma de dois vectores directamente opostos é o vector nulo, 0 . G G G P + (- P ) = 0 Estática 2003/04 – Pág. 11 2.2. Método gráfico de adição de vectores. A adição de vectores efectuase segundo a regra do paralelogramo. O vector soma é a diagonal do paralelogramo. Propriedades Como o paralelogramo G G P construído com os vectores e Q não depende da ordem segundo a qual são tomados, verifica-se que a adição de dois vectores é comutativa: G G G G P +Q =Q + P Ou alternativamente pela regra do triângulo. O vector soma obtem-se unindo a origem de um vector com a extremidade do outro. (Propr. Comutativa) Subtrair um vector é somar ao primeiro vector o oposto do segundo vector. G G G G P - Q = P + (- Q ) Adição de três ou mais vectores A adição de três ou mais vectores pode ser obtida pela aplicação repetida da regra do paralelogramo ou do triângulo aos sucessivos pares de vectores, até que todos os vectores tenham sido substituídos por um único vector. Se os vectores iniciais forem coplanares (i.e., contidos no mesmo plano), será facil obter a sua soma graficamente. Estática 2003/04 – Pág. 12 G G G A adição de três vectores P , Q e S será, por definição, obtida pela G G G adição inicial dos vectores P e Q e, adicionando posteriormente S G G Q ao vector P + Aplicação sucessiva da regra do triângulo: regra do polígono para a adição de vectores. G G Q e S forem O resultado permanece inalterado se os vectores G G substituídos pela sua soma Q + S , o que exprime o facto da adição vectorial ser uma operação associativa: G G G G G G G G G Q Q Q P + + S = (P + )+ S = P +( + S ) A ordem pela qual os vários vectores são somados é irrelevante. Estática 2003/04 – Pág. 13 Produto de um escalar por um vector G G Define-se o produto kP , de um escalar k por um vector P , como um vector com: G a mesma direcção e sentido de P (se k for positivo) ou G P direcção igual e sentido oposto ao de (se k for negativo), e em qualquer caso, a intensidade igual ao produto de P pelo valor absoluto de k. As propriedades e os resultados apresentadas para vectores são válidos para qualquer sistema de vectores, em particular para os vectores que representam forças. Na sequência utilizaremos forças físicas em vez de vectores com o objectivo de tornar este curso mais intuitivo. Resultante de várias forças concorrentes Considere-se um ponto material A sujeito à acção de diversas forças. Como todas elas passam pelo ponto A, são chamadas forças concorrentes. Pela utilização repetida da regra do paralelogramo (regra do polígono) G obtém-se o vector R , que representa a força resultante das forças concorrentes, i.e. uma força única que produz o mesmo efeito que as forças originais sobre o ponto material A. regra do polígono ordem irrelevante Estática 2003/04 – Pág. 14 2.3. Componentes cartesianas de vectores. Sistema de coordenadas cartesianas. Versores. Se duas ou mais forças actuantes sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força resultante, G reciprocamente, uma única força F que actua sobre um ponto material pode ser substituída por duas ou mais forças que, juntas, tenham o mesmo efeito sobre o ponto material. A estas G forças chamamos componentes da força original F , e este processo de substituição denomina-se decomposição da força G F em componentes. G Facilmente se verifica que para cada força F existe um número infinito de conjuntos possíveis de componentes. Contudo, na maioria dos problemas é conveniente decompor a força em componentes normais entre si, que são as mais utilizadas: as componentes rectangulares, onde um vector se exprime como a soma de dois vectores perpendiculares entre si. Estática 2003/04 – Pág. 15 Forças no Plano (2 dimensões): G A força F é decomposta nas componentes G Fx , segundo o eixo G F Ox, e y , segundo o eixo Oy, no caso bidimensional. O paralelogramo desenhado para obtenção das duas componentes G G é um rectângulo, e Fx e Fy são denominadas componentes cartesianas. Nos casos que envolvem apenas duas dimensões (i.e., podem ser formulados e resolvidos num plano) os eixos Ox e Oy são escolhidos segundo duas direcções perpendiculares quaisquer, escolhidas convenientemente para cada problema. Ao sistema ortogonal de eixos chama-se Sistema de Coordenadas Cartesianas 2-D. Se definirmos agora dois vectores de intensidade ou módulo 1, orientados respectivamente segundo os eixos Ox e Oy; são denominados vectores unitários ou versores, e representados por iˆ e ĵ , respectivamente. Estática 2003/04 – Pág. 16 Relembrando a definição do produto de um escalar por um vector podemos então escrever G Fx = Fx iˆ G Fy = Fy ˆj G G G F = Fx + Fy = Fx iˆ + Fy ˆj e então temos onde os escalares Fx e Fy podem ser positivos ou negativos, G G F F dependendo do sentido dos vectores x e y coincidir ou não com o sentido do vector unitário (i.e., do eixo) correspondente. Os valores absolutos de Fx e Fy são respectivamente iguais às G G F F intensidades das forças componentes x e y . G Não esquecer: Fx e Fy componentes escalares da força F G G Fx e Fy G componentes vectoriais de F G G F F F a intensidade da força e θ o ângulo entre Denominando e o eixo Ox , medido sempre a partir do semi-eixo positivo e no G sentido anti-horário, as componentes escalares de F exprimimem-se como Fx = F cos θ e Fy = F sin θ e tem-se que F 2 = Fx2 + Fy2 e tan q = Fy Fx As relações obtidas são válidas para quaisquer ângulos θ entre 0º e 360º, que definem os sinais e os valores absolutos das componentes escalares Fx e Fy . Estática 2003/04 – Pág. 17 Forças no Espaço (3 dimensões): G Consideremos agora a força F aplicada na origem O do Sistema de G Coordenadas Cartesianas 3-D, x, y e z. Para definir a direcção de F , G considera-se o plano OBAC que contém simultaneamente F e um eixo, neste caso, o eixo vertical. O ângulo φ, que o plano OBAC forma com o plano xOy, define a orientação do plano OBAC, enquanto que a direcção G G de F nesse plano é definida pelo ângulo θ y, que F forma com o eixo Oy. G G F A força F é decomposta numa componente vertical y , e numa G F componente horizontal h . Temos uma força no plano OBAC, e podemos escrever as componentes escalares Fy = F cos θy Fh = F sen θy G Mas Fh encontra-se no plano xOz, pelo que pode ser decomposta G G F F em duas componentes cartesianas x e z , segundo os eixos Ox e Oz, respectivamente. Tem-se então Fx = Fh cos φ = F sen θy cos φ Fz = Fh sen φ = F sen θy sen φ Estática 2003/04 – Pág. 18 Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD, pode escrever-se F 2 = (OA) 2 = (OB) 2 + ( BA) 2 = Fy2 + Fh2 Fh2 = (OC ) 2 = (OD) 2 + ( DC ) 2 = Fx2 + Fz2 donde se obtem F = Fx2 + Fy2 + Fz2 Denominando θx e θz respectivamente os G ângulos que F forma com os eixos Ox e Oz, podemos escrever Fx = F cos θx Fy = F cos θy Fz = F cos θz G F . Os cosenos Os três ângulos θx, θy e θz definem a direcção da força G de θx, θy e θz são conhecidos por cosenos directores da força F , e obtém-se como cos θx = Fx F cos θy = Fy F cos θz = Fz F Introduzindo os vectores iˆ , ĵ e k̂ , orientados segundo os eixos Ox, Oy e Oz, G respectivamente, a força F escreve-se G G G G F = Fx + Fy + Fz = Fx iˆ + Fy ˆj + Fz kˆ onde as componentes escalares Fx , Fy e Fz são definidas atrás. Substituindo as componentes escalares Fx , Fy e Fz obtemos ( ) G F = F cosθ xiˆ + cosθ y ˆj + cosθ z kˆ = Fλˆ com λˆ = cos θ iˆ + cos θ ˆj + cos θ kˆ x y z Força como produto de escalar F por vector unitário da direcção de G F. Estática 2003/04 – Pág. 19 triedro positivo de eixos ortogonais 2.4. Método analítico de adição de vectores Quando pretendemos adicionar três ou mais forças, torna-se complicado obter uma solução gráfica, pelo que convém utilizar uma solução analítica, através da decomposição de cada força nas suas componentes cartesianas. Se considerarmos, por exemplo, a acção de três forças complanares sobre um ponto material, A. G G G G G Determinaremos a sua resultante, definida por R =  Fi = P + Q + S , G Gi G pela soma das suas componentes cartesianas. R = Rx + Ry . Decompondo cada força nas suas componentes cartesianas, temos G G G R = Rx + Ry = Rx iˆ + Ry ˆj = Px iˆ + Py ˆj + Qx iˆ + Qy ˆj + S x iˆ + S y ˆj = ( ) = ( Px + Qx + S x ) iˆ + Py + Qy + S y ˆj ou seja Rx = Px + Qx + S x Ry = Py + Qy + S y ou, de forma compacta, para o caso bidimensional, Rx =  Fx Ry =  Fy Estática 2003/04 – Pág. 20 Genericamente, no espaço tridimensional, as componentes escalares G Rx, Ry e Rz da resultante R de várias forças que actuam sobre um ponto material obtém-se pela adição algébrica das correspondentes componentes escalares das forças iniciais. ( ) G G G G R = Rx + Ry + Rz = ∑ Fxiˆ + Fy ˆj + Fz kˆ = (∑ Fx )iˆ + (∑ Fy ) ˆj + (∑ Fz )kˆ ou seja Ry = ∑ Fy Rx = ∑ Fx Rz = ∑ Fz G O módulo da resultante R e os ângulos θx, θy e θz formados com os eixos coordenados são obtidos analogamente: R = R x2 + R y2 + R z2 G R e os cosenos directores da resultante cos θx = Rx R cos θy = Ry R cos θz = Rz R 2.5. Produto escalar ou interno de dois vectores G G O produto escalar ou interno de dois vectores, P e Q , é definido G G como sendo o produto dos módulos de P e Q pelo coseno do ângulo θ G G Q formado por P e (θ ≤180º). G G P • Q = PQ cosθ Muito importante: o resultado não é um vector, mas um escalar. Estática 2003/04 – Pág. 21 Em termos das suas componentes cartesianas, o produto escalar de G G dois vectores, P e Q , escreve-se ( )( ) G G P • Q = Pxiˆ + Py ˆj + Pz kˆ • Qxiˆ + Qy ˆj + Qz kˆ = PxQx + PyQy + Pz Qz (prop. distrib) iˆ • iˆ = 1 iˆ • ˆj = 0 e.g. ˆj • ˆj = 1 ˆj • kˆ = 0 kˆ • kˆ = 1 kˆ • iˆ = 0 O produto escalar de dois vectores é comutativo, i.e., G G G G P•Q = Q• P O produto escalar é também distributivo, i.e., G G G G G G G P • Q1 + Q2 = P • Q1 + P • Q2 ( ) Determinação do ângulo formado por dois vectores G G Q Dados os mesmos vectores P e , escritos em termos das suas componentes: G P = Px iˆ + Py ˆj + Pz kˆ G Q = Q x iˆ + Q y ˆj + Qz kˆ igualando as expressões obtidas atrás para o seu produto escalar, tem-se G G P • Q = PQ cosθ = Px Q x + Py Q y + Pz Qz que nos permite escrever cosθ = Px Qx + Py Q y + Pz Qz Estática 2003/04 – Pág. 22 PQ Projecção de um vector sobre um eixo G Consideremos um vector P que forma um ângulo θ com um eixo ou recta orientada G OL. A projecção de P sobre o eixo OL é definida como sendo o escalar POL = P cosθ . G Se considerarmos que o vector Q está orientado segundo o eixo OL, o produto G G escalar entre P e Q escreve-se G G P • Q = PQ cosθ = POL Q de onde se deduz POL ou ainda POL G G P • Q Px Q x + Py Q y + Pz Q z = = Q Q G = P • λˆ = Px cosθ x + Py cosθ y + Pz cosθ z 2.6. Produto vectorial ou externo de dois vectores O produto vectorial ou externo de G G Q dois vectores, P e , representado pela expressão matemática G G G V = P ×Q G é definido como sendo o vector V que satisfaz as seguintes condições: Estática 2003/04 – Pág. 23 G 1. A linha de acção de V é perpendicular ao plano que contém os G G vectores, P e Q ; G 2. O módulo de V é o produto dos módulos de G G P e Q pelo seno do ângulo θ formado V = PQ sen θ G G por P e Q (θ ≤180º). G 3. O sentido de V é tal que uma pessoa colocada na extremidade de G V observará como sendo anti-horária a rotação θ que traz o vector G G G G G P sobre o vector Q . Os três vectores P , Q e V formam um triedro positivo ou directo. G G NOTA: Se P e Q não tiverem, inicialmente, o mesmo ponto de aplicação, deverão ser colocados com as origens no mesmo ponto. Determinemos os produtos vectoriais dos diversos pares possíveis de vectores unitários iˆ , ĵ e k̂ . iˆ × iˆ = 0 iˆ × ˆj = kˆ ˆj × iˆ = − kˆ ˆj × ˆj = 0 kˆ × iˆ = ˆj kˆ × ˆj = −iˆ iˆ × kˆ = − ˆj ˆj × kˆ = iˆ kˆ × kˆ = 0 Estática 2003/04 – Pág. 24 Determinação do sinal do produto vectorial ou externo de dois vectores unitários: será positivo se se seguirem um ao outro no sentido antihorário e negativo em caso contrário. Em termos das suas componentes cartesianas, o G G produto vectorial de dois vectores, P e Q , escreve-se G G G V = P ¥ Q = Pxiˆ + Py ˆj + Pz kˆ ¥ Qxiˆ + Qy ˆj + Qz kˆ = ( ( ) ) ( ) ( ) = Py Qz - Pz Qy iˆ + ( Pz Qx - Px Qz ) ˆj + Px Qy - Py Qx kˆ (prop. distrib) As componentes cartesianas do produto G vectorial V são então: V x = Py Q z − Pz Q y V y = Pz Q x − Px Q z V z = Px Q y − Py Q x G O produto vectorial V pode ser expresso através de um determinante. Da 3ª condição resulta que o produto vectorial não é comutativo: G G G G Q× P = − P×Q ( ) A propriedade associativa também não se verifica no produto vectorial. Em geral, G G G G G G P×Q × S ≠ P× Q× S ( por exemplo: ) ( ) (iˆ × ˆj )× ˆj ≠ iˆ × ( ˆj × ˆj ) Mas o produto vectorial é distributivo, i.e., verifica-se a seguinte relação, de extrema importância neste curso de Estática: G G G G G G G P × Q1 + Q2 = P × Q1 + P × Q2 ( ) Estática 2003/04 – Pág. 25 2.7. Produto misto de três vectores G G G Q S P O produto misto de três vectores, , e , é definido como sendo G G G Q o produto escalar de S pelo produto vectorial de P e ; é dado pela expressão G G G S • P × Q = PQ cos θ ( ) Estática 2003/04 – Pág. 26