Apresentação do PowerPoint

HIDROLOGIA – AULA 14
5° semestre - Engenharia Civil
HIDROLOGIA ESTATÍSTICA
Profª. Priscila Pini
[email protected]
INTRODUÇÃO
Chuva e vazão → Grande variabilidade no tempo!
Estatística em Hidrologia:
Estimativa da probabilidade de ocorrência de eventos
hidrológicos de uma determinada magnitude no futuro, com base
na análise dos dados do passado.
→ Técnicas de probabilidade e estatística
→ Variáveis hidrológicas são consideradas ALEATÓRIAS,
ou seja, não podem ser previstas com exatidão
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS
Número de anos entre 1942 e 2001
Gráfico que permite visualizar a frequência de ocorrência de
determinado estudo.
Histograma de frequência de chuvas anuais (Lamounier – MG)
1 ano com
chuva anual
entre 600 e
700 mm
9 anos com chuva
anual entre 1200
e 1300 mm
Chuva anual (mm)
CURVA DE PERMANÊNCIA
→ É equivalente a um histograma de frequências acumuladas
relativas das vazões de um rio em um local
O rio tem uma vazão
aproximadamente constante
ou extremamente variável
entre períodos de cheia e
estiagem?
Qual a porcentagem do
tempo em que o rio
apresenta
vazões
em
determinada faixa?
A CURVA PERMITE RESPONDER
ALGUMAS PERGUNTAS:
Qual a porcentagem do
tempo em que um rio tem
vazão suficiente para atender
determinada demanda?
CURVA DE PERMANÊNCIA
Expressa a relação entre a vazão e a frequência (estimada
empiricamente) com que essa vazão é superada ou igualada
• Pode ser elaborada a partir de dados diários ou mensais de
vazão
• Pode ser elaborada a partir do HIDROGRAMA
CURVA DE PERMANÊNCIA
Hidrograma de vazões diárias do rio Taquari (Muçum – RS)
CURVA DE PERMANÊNCIA
Curva de permanência com os mesmos dados do Hidrograma
(Muçum – RS)
A vazão de 1000 m³/s é
igualada ou superada em
menos de 10% do tempo
Em 20% do tempo a
vazão ≈ 500 m³/s é
igualada ou superada
CURVA DE PERMANÊNCIA
Para destacar mais a faixa de vazões mais baixas, a curva de
permanência é apresentada com eixo vertical logarítmico
Em 50% do tempo a
vazão ≈ 200 m³/s é
igualada ou superada
CURVA DE PERMANÊNCIA
Alguns pontos de destaque da curva:
• A vazão que é superada em 50% do tempo, corresponde à
mediana das vazões diárias: 𝑸𝟓𝟎
• A vazão que é superada em 90% do tempo, tem sido utilizada
como referência para legislação na área de Meio Ambiente e
Recursos Hídricos em muitos Estados: 𝑸𝟗𝟎
• A vazão que é superada em 95% do tempo é, por vezes,
utilizada para definir a capacidade de produzir energia de
forma confiável em uma usina hidrelétrica construída ou
projetada no local: 𝑸𝟗𝟎
CURVA DE PERMANÊNCIA
Legislação do Paraná: MANUAL DE OUTORGA INST. ÁGUAS
CURVA DE PERMANÊNCIA
EXEMPLO 1: Um empreendedor solicita outorga de 25 m³/s no rio
Taquari, em um local que possui a curva de permanência a
seguir. Considerando que a legislação permite outorgar apenas
20% da 𝑸𝟗𝟎 a cada solicitante, é possível atender à solicitação?
𝑸𝟗𝟎 = 57 m³/s
20% de 𝑸𝟗𝟎 =
0,2 x 57 =
11,4 m³/s
25 >11,4 m³/s
Não é possível
atender à
solicitação!
Estatísticas descritivas
Para analisar a vazão de um rio ou a precipitação em um local, é
necessário analisar alguns valores estatísticos que resumem o
comportamento hidrológico do rio ou da bacia:
MÉDIA
𝑛
𝑥𝑖
𝑥=
𝑖=1
𝑛
→ Média de todas as séries de vazões ou
precipitações registradas
DESVIO PADRÃO
→ Medida de dispersão dos
valores de uma amostra em
torno da média.
𝑠=
𝑛
𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥)²
𝑛−1
Estatísticas descritivas
PROBABILIDADE E TEMPO DE RETORNO
1
𝑇𝑅 =
𝑃
TR: Tempo de retorno de uma dada vazão (anos)
P: Probabilidade de excedência
→ TR é o intervalo médio de tempo que decorre entre duas ocorrências
subsequentes de uma vazão maior ou igual a “Q”
→ Ex: A vazão máxima de 10 anos de TR é excedida em média 1 vez a
cada dez anos, ou seja, P = 1/10 = 0,1 = 10%
Chuvas anuais e distribuição normal
A chuva total anual em determinado posto fluviométrico pode ser
considerada uma
variável
aleatória, com distribuição
aproximadamente normal
→ Um gráfico da função densidade de probabilidade e da distribuição
normal tem uma forma de sino e é simétrico em relação à media, que é
o valor central
Chuvas anuais e distribuição normal
Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e o
desvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal:
A área total sob a curva é igual a 1
A área hachurada representa
a probabilidade de ocorrer
um valor maior do que z
A área hachurada representa
a probabilidade de ocorrer
um valor menor do que z
Chuvas anuais e distribuição normal
Para o caso mais simples, onde a média da população é zero e o
desvio padrão é igual a 1, segue o gráfico da distribuição normal:
-z
Probabilidade de ocorrer um valor menor do que - z é igual à
probabilidade de ocorrer um valor maior do que z
Chuvas anuais e distribuição normal
→ A área sob a curva é encontrada em tabelas que relacionam o valor
de z calculado com a probabilidade de ocorrer um valor maior ou menor
do que z
→ A forma de sino indica que existe uma probabilidade maior de
ocorrerem valores próximos à média, do que valores extremos
→ Para isso, uma variável aleatória x pode ser transformada em uma
variável aleatória z com média zero e desvio padrão 1, pela equação:
𝑥−𝑥
𝑧=
𝑠
x: variável aleatória
𝑥: média
s: desvio padrão
→ Esta transformação pode ser utilizada para estimar a probabilidade
associada a um determinado evento hidrológico, em que a variável
segue uma distribuição normal
Chuvas anuais e distribuição normal
Tabela A: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z,
considerando uma distribuição normal com 𝑥 = 0 e s = 1
z
Probabilidade
z
Probabilidade
z
Probabilidade
0,0
0,5
1,1
0,1357
2,2
0,0139
0,1
0,4602
1,2
0,1151
2,3
0,0107
0,2
0,4207
1,3
0,0968
2,4
0,0082
0,3
0,3821
1,4
0,0808
2,5
0,0062
0,4
0,3446
1,5
0,0668
2,6
0,0047
0,5
0,3085
1,6
0,0548
2,7
0,0035
0,6
0,2743
1,7
0,0446
2,8
0,0026
0,7
0,242
1,8
0,0359
2,9
0,0019
0,8
0,2119
1,9
0,0287
3,0
0,0013
0,9
0,1841
2,0
0,0228
1,0
0,1587
2,1
0,0179
Chuvas anuais e distribuição normal
Tabela B: Probabilidade de ocorrer um valor maior do que z,
considerando uma distribuição normal com 𝑥 = 0 e s = 1
z
Probabilidade
TR
0,000
0,5
2
0,842
0,2
5
1,282
0,1
10
1,751
0,04
25
2,054
0,02
50
2,326
0,01
100
2,878
0,002
500
3,090
0,001
1.000
3,719
0,0001
10.000
Chuvas anuais e distribuição normal
EXEMPLO 2: As chuvas anuais no posto pluviométrico localizado em
Lamounier, MG, seguem, aproximadamente, uma distribuição normal,
com média igual a 1433 mm e desvio padrão igual a 299 mm. Qual a
probabilidade de ocorrer um ano com chuva total superior a 2000 mm?
𝑥−𝑥
𝑧=
𝑠
2000 − 1433
𝑧=
299
𝑧 = 1,8963
De acordo com a Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor
maior do que z = 1,9 é de aproximadamente 0,0287 = 2,87%
O tempo de retorno é de:
1
𝑇𝑅 =
𝑃
1
𝑇𝑅 =
0,0287
𝑇𝑅 = 34,84 ≈ 35 𝑎𝑛𝑜𝑠
Em média, 1 ano a cada 35 anos
apresenta chuva total superior a
2000 mm nesse local
Chuvas anuais e distribuição normal
EXEMPLO 3: Considerando os dados do exercício anterior, qual a
probabilidade de ocorrer um ano com chuva total inferior a 550 mm?
𝑥−𝑥
𝑧=
𝑠
550 − 1433
𝑧=
299
𝑧 = −2,9532
A distribuição normal é simétrica, ou seja, a probabilidade de ocorrer um
valor superior a z é igual a probabilidade de ocorrer um valor inferior a – z.
Probabilidade de ocorrer valor menor que z = - 2,95 é igual à
probabilidade de ocorrer valor maior que z = 2,95
De acordo com Tabela A, a probabilidade de ocorrência de um valor
maior do que z = 2,95 está entre 0,0019 e 0,0013
A probabilidade de ocorrência de um ano com chuva inferior a 550 mm
é de, aproximadamente, 0,16%
O tempo de retorno é de, aproximadamente, 625 anos
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
Conhecendo-se as vazões máximas de cada ano, em um determinado
local, é possível realizar análises estatísticas relacionando vazão e
probabilidade.
Estimativas de probabilidade são atribuídas a cada um dos valores
observados, depois que os valores são organizados em ordem decrescente
Tabela 1: Vazões máximas do rio Cuiabá, em Cuiabá, entre 1984 e 1991
Ano
Q máx (m³/s)
Ano
Q máx (m³/s)
Ordem
1984
1796,8
1988
2218,0
1
1985
1492,0
1989
2190,0
2
1986
1565,0
1987
1812,0
3
1987
1812,0
1984
1796,8
4
1988
2218,0
1991
1747,0
5
1989
2190,0
1986
1565,0
6
1990
1445,0
1985
1492,0
7
1991
1747,0
1990
1445,0
8
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
A probabilidade pode ser estimada a partir do valor correspondente de
m e do tamanho da amostra (N).
Existem várias equações para estimar a probabilidade empírica de
excedência, onde m é a ordem e N é o tamanho da amostra:
Equação de Weibull (EUA):
𝑚
𝑃=
𝑁+1
Equação de Hazen (França):
𝑚 − 0,5
𝑃=
𝑁
Ano
Q máx (m³/s) Ordem (m)
1988
2218,0
1
1989
2190,0
2
1987
1812,0
3
1984
1796,8
4
1991
1747,0
5
1986
1565,0
6
1985
1492,0
7
1990
1445,0
8
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
Utilizando a fórmula de Weibull, as probabilidades são apresentadas a
seguir, com os tempos de retorno.
Tabela 2: Vazões máximas e probabilidade de ocorrência (rio Cuiabá,
entre 1984 e 1991)
Ano Q máx (m³/s)
Ordem (m) Probabilidade
TR (anos)
1988
2218,0
1
0,11
9,0
1989
2190,0
2
0,22
4,5
1987
1812,0
3
0,33
3,0
1984
1796,8
4
0,44
2,3
1991
1747,0
5
0,56
1,8
1986
1565,0
6
0,67
1,5
1985
1492,0
7
0,78
1,3
1990
1445,0
8
0,89
1,1
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
com base em distribuições teóricas
Permite a extrapolação da análise de eventos extremos para tempos de
retorno maiores
Distribuição log-normal
Uma vazão máxima pode ser estimada pela equação:
log(𝑥) = log(𝑥) + 𝑧 ∙ 𝑠log 𝑥
log (x): logaritmo da vazão máxima
log(𝑥) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais
𝑠log 𝑥 : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais
z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
Ano
Máxima
Ano
Máxima
1978
760
1986
728
1979
780
1987
809
1980
653
1988
945
1981
537
1989
1380
1982
945
1990
falha
1983
1650
1991
falha
1984
1165
1992
falha
1985
888
1993
639
Falhas são períodos em
que
não
houve
observação
e
são
desconsideradas.
Amostra com 16 – 3 = 13
valores
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
log(𝑥) = log(𝑥) + 𝑧 ∙ 𝑠log 𝑥
log (x): logaritmo da vazão máxima
log(𝑥) : média dos logaritmos das vazões máximas anuais
𝑠log 𝑥 : desvio padrão dos logaritmos das vazões máximas anuais
z: fator de frequência (obtido das tabelas A e B)
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
Ano
Máxima
Log
Ano
Máxima
Log
1978
760
2,880814
1986
728
2,862131
1979
780
2,892095
1987
809
2,907949
1980
653
2,814913
1988
945
2,975432
1981
537
2,729974
1989
1380
3,139879
1982
945
2,975432
1990
falha
-
1983
1650
3,217484
1991
falha
-
1984
1165
3,066326
1992
falha
-
1985
888
2,948413
1993
639
2,805501
log(𝑥) = 2,94
𝑠log 𝑥 =0,137
Análise de frequências empíricas de vazões máximas
com base em distribuições teóricas
EXEMPLO 4: As vazões máximas anuais do rio Guaporé no posto
fluviométrico Linha Colombo (RS) são apresentadas na tabela abaixo.
Utilize a distribuição log-normal para estimar a vazão máxima com 100
anos de tempo de retorno.
log(𝑥) = 2,94
𝑠log 𝑥 =0,137
Na Tabela B: TR = 100 anos, Prob. = 0,01, z = 2,326
log(𝑥) = log(𝑥) + 𝑧 ∙ 𝑠log 𝑥
log(𝑥) = 2,94 + 2,326 ∙ 0,137 = 3,2587
𝑥 = 103,2587 ≈ 1814 𝑚3 /𝑠