Módulo 10 Resfriamento de um tanque com isolaç˜ao térmica

Módulo 10
Resfriamento de um tanque com isolação térmica
utilizado em um processo de maturação
EQ502 – Introdução à Análise de Processos
1o Semestre de 2006
Um tanque cilı́ndrico de 1 metro de diâmetro e 2 m de altura é isolado
com asbesto. A espessura do isolante é l = 4 cm. O equipamento é utilizado como um vaso de maturação para um processo quı́mico em batelada.
O lı́quido a ser armazenado é carregado a uma temperatura de 95 ◦ C e
permanecerá durante 5 dias no tanque. Para os dados abaixo, calcular a
temperatura do lı́quido em função do tempo e traçar um gráfico da mesma.
Figura 1: Tanque de maturação
Dados:
• Coeficiente convectivo de transferência de calor do lı́quido (h1 ): 150
W/2 m◦ C;
• Condutividade térmica do asbesto (k): 0,2 W/m◦ C;
• Coeficiente de transferência de calor por convecção na superfı́cie isolada (h2 ): 10 W/m◦ C;
• Densidade do lı́quido (ρ): 103 kg/m3 ;
• Capacidade térmica do lı́quido (Cp): 2500 J/kg◦ C;
• Temperatura atmosférica inicial (t): 20 ◦ C;
1
• A espessura do material metálico do tanque. l = 0,04m;
• É assumido que a temperatura ambiente varia com o tempo (t, em
horas) de acordo com a seguinte correlação:
µ
Tamb = 10 + 10 · cos
¶
π·t
.
12
(1)
A Figura 1 representa o sistema em estudo:
Para a resolução deste problema, é necessário fazer um balanço de energia
em relação ao tempo no sistema de interesse (tanque + isolante + lı́quido).O
interesse não é na variação de temperatura nas paredes do tanque, mas sim
sua variação, no lı́quido, ao longo do tempo. Desta forma, pela equação
geral de balanço, tem-se:
Entra − Sai + Gerado = Acúmulo
(2)
Analisando cada um dos termos da equação acima:
ENTRA: O lı́quido encontra-se em uma temperatura superior à ambiente
e, por isso, não há fluxo de energia entrando no sistema. Portanto,
Entra = 0
(3)
SAI: Calor sai do sistema pela superfı́cie externa do isolante que envolve
todo o tanque, incluindo as tampas superior e inferior. A transferência
de calor se dá por convecção. Portanto, o total de energia deixando o
sistema num intervalo de tempo ∆t é dado por:
Sai = h2 A (TS − Tamb ) · ∆t
(4)
onde A é a área externa que envolve o tanque. Desprezando a espessura
do isolante, essa área é dada por:
Ã
A = (πd · H) + 2
πd2
4
!
= 2π +
π
= 2, 5π m2
2
(5)
GERADO: Como não há geração ou consumo de energia no sistema este
termo é nulo. Portanto,
Gerado = 0
(6)
ACÚMULO: O acúmulo de energia no sistema pode ser determinado pela
variação de energia interna, ou entalpia, do sistema entre um tempo
t e t + ∆t. Pelo fato do isolante possuir um volume muito pequeno
frente ao volume do lı́quido e, também, por possuir capacidade térmica
muito baixa, o termo de variação de entalpia referente ao isolante pode
ser desprezado. Desta forma, para o termo de acúmulo, tem-se:
2
Acúmulo = H|t+∆t − H|t = V · ρ · Cp (T − Tref )|t+∆t − V · ρ · Cp (T − Tref )|t
(7)
Aplicando Taylor,
Acúmulo = V · ρ · Cp (T − Tref ) +
d
[V · ρ · Cp (T − Tref )] ∆t +
dt
... − V · ρ · Cp (T − Tref )
(8)
ou
Acúmulo = V · ρ · Cp
dT
∆t + ...
dt
(9)
Substituindo os termos determinados na equação de balanço:
dT
∆t + ...
dt
Dividindo toda a equação por ∆t e fazendo ∆t → 0:
−h2 A (TS − Tamb ) · ∆t = V · ρ · Cp
(10)
dT
(11)
dt
Como foi visto anteriormente, a temperatura ambiente é conhecida como
uma função do tempo. Por outro lado, a temperatura na superfı́cie do
isolante, TS , não é conhecida. Para isso, é necessário relaciona-la com a
temperatura do tanque, T .
A conservação de energia implica que a taxa de perda de calor pelo
lı́quido é a mesma taxa de calor que atravessa o isolante e, também, a mesma
taxa de calor que é perdida pela superfı́cie. Equacionando estas taxas:
−h2 A (TS − Tamb ) = V · ρ · Cp
• Taxa de perda de calor perdido pelo lı́quido:
h1 A (T − Tw )
(12)
• Taxa de perda de calor através do isolante:
kA
dT
dxi
(13)
onde xi representa uma variável espacial.
Conforme visto em módulos anteriores, a variação de temperatura
através de uma parede cilı́ndrica é diferente da variação de temperatura através de uma parede plana, que no caso é linear. No problema, tem-se uma parede cilı́ndrica (lateral do tanque) e duas paredes planas (tampa e fundo do tanque). A abordagem do modelo matemático deste módulo considera que a variação de temperatura dentro da parede cilı́ndrica do tanque pode ser representada pela equação
de parede plana. Esta simplificação não traz erros significativos nos
3
resultados do problema visto que o raio de curvatura do tanque é elevado aproximando-se, neste caso, do perfil de parede plana. Com esta
hipótese:
−kA
∆T
kA
dT
= −kA
=
(TW − TS )
dxi
∆xi
l
(14)
• Taxa de perda de calor pela superfı́cie exposta do isolante
h2 A (TS − Tamb )
(15)
Igualando-se as três taxas determinadas anteriormente, tem-se:
kA
(Tw − Ts ) = h2 A (Ts − Tamb )
l
Isolando Tw da primeira das igualdades acima:
h1 A (T − Tw ) =
µ
Tw
k
h1 +
l
¶
(16)
k
= h1 T + Ts
l
(17)
e substituindo na segunda igualdade, tem-se:
µ
Ts = Tamb +
¶
kh1
(T − Tamb )
h1 h2 l + h1 k + h2 k
(18)
Aplicando os valores fornecidos:
T s = 0, 326 · T + 0, 674 · Tamb
(19)
Substituindo a expressão para Ts acima, e lembrando que um fator de
conversão de 3600 deve ser utilizado para transformar segundos em horas:
−10 · 2, 5 · π · (0, 326 · T + 0, 674 · Tamb − Tamb ) · 3600 = π · 0, 52 · 2 · 103 · 2500 ·
dT
= −0.072 (0, 326 · T − 0, 326 · Tamb )
dt
dT
dt
(20)
(21)
µ
dT
π·t
+ 0, 0235 · T = 0, 0235 · Tamb = 0, 235 + 0, 235 cos
dt
12
¶
(22)
A equação acima é uma equação diferencial de primeira ordem que pode
ser resolvida por meio de um fator de integração µ (t) = exp(0, 0235 · t).
Assim, a solução é:
Z ·
Z
0.0235t
Te
= 0, 235
e
0,0235t
dt + 0, 235
µ
0,0235t
e
π·t
cos
12
¶¸
dt
(23)
O segundo termo do lado direito da equação acima pode ser integrado
por partes, fornecendo:
4
0, 235e0,0235t
[0, 0235 · cos (0, 262 · t) + 0, 262 · sin (0, 262 · t)] (24)
(0, 0235)2 + (0, 262)2
Portanto, a expressão obtida para T é:
T = 10 + 0, 08 · cos (0, 262 · t) + 0, 89 · sin (0, 262 · t) + Ke−0,0235t
(25)
com a condição de contorno de que quando t = 0, T = 95.
95 = 10 + 0, 08 + K
(26)
K = 84, 92
(27)
Portanto, a solução final para a variação da temperatura do lı́quido como
função do tempo t é:
T = 10 + 0, 08 · cos (0, 262 · t) + 0, 89 · sin (0, 262 · t) + 84, 92 · e−0,0235t (28)
Uma análise da equação acima mostra que o segundo termo da equação
afeta a temperatura do lı́quidoem, no máximo, ± 0,08 o C. O terceiro termo
contribui no máximo com, no máximo, ± 0,89 o C. Do ponto de vista prático
estes termos podem ser desprezados, já que praticamente não afetam a variaçao de temperatura do lı́quido. Assim, a equação pode ser simplificada
para:
T = 10 + 85 · e−0,0235t
(29)
No tempo inicial (t = 0), a temperatura do lı́quido é 95 ◦ C. Com o
passar do tempo esta temperatura vai diminuindo e, ao final dos cinco dias
de maturação (t = 120 horas), a temperatura final é de T = 15 ◦ C. É importante salientar que neste nı́vel de temperatura, o termo 0,89.sen(0,262.t)
não é desprezı́vel. No entanto, ele vale praticamente zero em t = 120 horas.
A Figura 2 mostra o comportamento da temperatura do lı́quido com o
passar do tempo durante o processo de maturação.
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Figura 2: Variação da temperatura no tanque de maturação
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