METROLOGIA BASICA PARA A QUALIDADE INDUSTRIAL PROF

METROLOGIA BASICA PARA A QUALIDADE INDUSTRIAL
PROF. ALCIR DE FARO ORLANDO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA
MESTRADO EM METROLOGLA PARA A QUALIDADE INDUSTRIAL
PUC-Rio
1. CONCEITOS BÁSICOS
1.1 Introdução
O processo de medição resulta da necessidade de quantificação dos fenômenos fisicos. Assim,
fundamentalmente, pode-se definir o processo de medição como a transferência da informação
desejada e não facilmente disponível no sistema fonte, através do chamado sistema de medições, para o
conhecimento do operador que a utilizará segundo seu objetivo e conveniência. Neste processo existe
portanto uma interação entre o sistema fonte e o sistema de medição, resultando na modificação das
propriedades de ambos, o que será usado como vetor de transferência da informação desejada.
Esta modificação de propriedades deve ser a menor possivel, de modo que a informação seja
transmitida mais fidedignamente. Assim, por exemplo, durante a medição de temperatura de um
líquido com massa grande, com um termômetro de liquido em vidro, o mercúrio em seu bulbo se dilata
(ou se contrai), ao entrar em equilíbrio térmico com o sistema fonte, se deslocando assim pelo seu
capilar, caracterizando a propriedade chamada de dilatação térmica. Esta será usada,
comparativamente, para quantificação dos diferentes níveis de agitação térmica do liquido em questão,
definindo assim uma escala de temperatura. Neste caso, como a massa do liquido é bem maior do que a
do mercúrio, a sua variação de temperatura será pequena e a transferência da informação será a mais
fiel possível. A medição da temperatura do café contido numa pequena xícara pode ser afetada pela
interação térmica que ocorre, mostrando que este não é o processo mais adequado de medição da
temperatura do café. Sensores menores seriam recomendados para a aplicação.
A medição analógica da corrente elétrica de um circuito com a bobina de D’Arsonval exige que
esta seja colocada em série com os outros componentes. Se sua impedância for grande em re1ação a do
circuito, a corrente resultante no novo circuito será menor do que a que existiria sem a introdução deste
componente de medição. A medição da vazão de um liquido através de uma tubulação, feita por um
dispositivo de obstrução ao escoamento, pode modificar o seu valor.
Assim, quando se quer medir uma grandeza de um fenômeno fisico, existe necessariamente uma
transferência de energia entre o sistema fonte e o sistema de medições. Medições feitas representam
mais fidedignamente o fenômeno a medida que esta interação é minimizada. De qualquer forma,
propriedades de materiais são usadas para, comparativamente quantificar os fenômenos fisicos e devem
ser bem conhecidas para que a transferência de informação seja eficiente.
A interface entre os dois sistemas é chamada de transdutor. Ele é considerado como um dispositivo
de conversão de energia. Sua função é transformar a grandeza física a ser medida, existente numa
forma de energia, em outra grandeza mais facilmente mensurável. Existem dois tipos básicos de
transdutores.

Transdutor ativo — para uma única entrada, produz uma única saida. Assim, quando uma
junção do termopar é submetida a um campo de temperatura diferente de sua segunda junção,
1

uma força eletromotriz é gerada no circuito. Quando cristais piezoelétricos são submetidos a
esforços que variam com o tempo, cargas elétricas se distribuem em sua superficie. Alavancas e
trens de engrenagem transmitem movimentos em velocidades diferentes.
Transdutor passivo — Precisa de uma entrada adicional para que o sinal de saida conduza a
informação necessária. Resistências de platina, ao entrarem em equilibrio térmico com um meio
ambiente tem seu valor modificado, que pode ser conhecido ao se passar uma corrente elétrica
pelo mesmo. Straingages (Extensômetros) têm também sua resistência elétrica modificada ao
serem submetidos a deformações. Deformações em materiais podem ser visualizadas após
iluminar as superficies previamente tratadas dos materiais.
O conhecimento das propriedades dos materiais empregados como transdutores permite uma
melhor transferência de informação, mais adequada e conveniente à medição do processo fisico em
questão. Assim, resistências de platina, fabricadas sob rígido controle de qualidade, têm uma relação
extremamente reprodutiva entre seu valor e a temperatura, sendo portanto utilizadas como padrão para
medição de temperatura.
O sistema geral de medições pode ser dividido em três partes, que devem ser especificadas para
satisfazer as seguintes funções:



Transdutor propriamente dito — interface entre o sistema fonte e o de medições.
Estágio intermediário - modifica o sinal direto, amplificando, filtrando ou seletivamente
tratando o sinal para que uma saída conveniente seja obtida. Sinais fracos de termopares podem
ser amplificados e injetados em registradores disponiveis no mercado na faixa de 1 mV de
fundo de escala.
Estágio final — com função de indicar, registrar ou controlar a variável. Torna disponivel ao
operador o valor da grandeza fisica que está sendo medida.
Quando se adquire numa indústria um sistema geral de medição, o fabricante normalmente especifica
os três componentes principais do sistema, de forma a otimizar o seu desempenho. Entretanto, quando
se conhecem as característica de cada um, pode-se extrair mais eficientemente a informação, inclusive
acoplando aos mesmos, equipamentos em disponibilidade na indústria, ou mesmo modificar suas
ligações de modo a atender novas ap1icações ainda não previstas.
Nesta linha de raciocínio, a informação pode ser transmitida através de propriedades como
amplitude, frequência e fase. A temperatura pode ser medida pela amplitude do sinal da força
eletromotriz gerada. Linhas longas devem ser evitadas pois atenuam o sinal, causando erros de
medição. Este problema não existe se a informação for transmitida pela frequência, como em
termômetros de quartzo, cuja frequência de ressonância é proporcional a temperatura. Ou mesmo em
sinais digitais, pois o que importa para sua interpretação é a sua frequência e não a amplitude dos
mesmos. A fase do sinal de saída pode ser usada para medição de propriedades tipicas de sistemas
elétricos.
Em resumo, a propriedade deve ser escolhida de modo que a modificação introduzida pelo sistema
de medições seja a menor possível, ou que o custo benefício que inclui a relação entre os aspectos
econômicos e técnicos seja o mais favorável possivel.
A quantificação dos fenômenos fisicos é importante na medida que o controle de qualidade dos
produtos fabricados contribua para a rea1ização de uma dada tarefa eficientemente, com repetitividade
e desempenho superiores ao de outros no mercado. Para que isto seja alcançado, é preciso montar uma
estrutura metrológica que garanta as medições realizadas, a despeito de flutuações normais de
desempenho dos medidores.
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Finalmente, a quantificação dos fenômenos fisicos é importante com a chamada metrologia legal, nas
relações entre o cliente e o fabricante. Naturalmente este último deve ter seus padrões de medição de
modo a garantir a qualidade do produto final entregue ao consumidor.
1.2.Rede Brasileira de Calibração
Ao INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, NORMALIZAÇÃO E QUALIDADE
INDUSTRIAL (INMETRO) cabe por lei a guarda dos padrões primários, sua manutenção e o
acompanhamento do desenvolvimento da tecnologia relacionada à metrologia básica, de modo a
coordenar a qualidade metrológica no pais. Em países mais desenvolvidos, cabe ao instituto
metrológico equivalente realizar pesquisas para o aprimoramente dos padrões de medições a nível
primário, e calibrações mais sofisticadas para clientes especiais, como laboratórios credenciados cuja
função é o atendimento as necessidades metrológicas da comunidade. Em certos casos, quando os
citados laboratórios não estão em condições de atender o cliente, o serviço poderá ser então ser feito no
INMETRO.
É interessante observar que coordenar a qualidade metrológica não implica necessariamente em
ascendência técnica sobre os demais laboratórios. Exemplos clássicos existem nos EEUU, onde a
pesquisa espacial patrocinada pelo govemo deu origem a uma capacitação técnica não existente no
NATIONAL INSTITUTE FOR STANDARDS AND TECHNOLOGY (NIST), o instituto americano
responsável pela metrologia básica. A reprodução da capacitação em termos dos recursos humanos e de
equipamentos seria demasiadamente cara, além de não ser justificada pela inexistência de uma
demanda de serviços para dois laboratórios. Assim, o laboratório em questão é qualificado
tecnicamente como depositário dos padrões das medições em questão, cabendo ao NIST a
compatibilização das atividades metrológicas com a dos outros laboratórios, inclusive os seus. E muito
comum um esforço cooperativo de pesquisas do NIST com outros laboratórios, com o intuito de
avançar no estado da arte da metrologia.
No Brasil, áreas, como tempo, criogenia e vazão, apresentam a mesma caracteristica. Na verdade,
como os recursos são escassos, uma coordenação metrológica nestes moldes, incluindo universidades,
institutos tecnológicos e de pesquisas, além de empresas, pode ser uma solução inicial para o
incremento da qualidade metrológica. Alguns fabricantes, na área de temperatura e pressão, possuem
laboratórios muito bem equipados e podem prestar serviços à comunidade. Naturalmente, o problema
do conflito de interesses deve ser levado em consideração por ocasião do credenciamento, ao se definir
as áreas de atuação e os objetivos do referido laboratório.
Em muitos casos, o reverso é verificado. O volume de serviços é grande o suficiente para justificar o
credenciamento de outros laboratórios para o atendimento da demanda. Também, se uma determinada
região apresenta um perfil privilegiado de demanda, a existência de um laboratório local é muito
conveniente.
Estes laboratórios credenciados não precisam necessariamente ter o mesmo padrão metrológico que a
entidade coordenadora. Como exemplo, um laboratório que tenha um equipamento de balança de
pressão (dead weight tester) para calibração de medidores de pressão, com incertezas estimadas em
0,05 %, está capacitado a atender à grande maioria de serviços oriundos do meio industrial. Cabe, no
caso do Brasil, ao INMETRO, calibrar periodicamente este padrão com um seu de ordem superior,
talvez dentro de 0,005 %.
O importante é que os referidos laboratórios estejam credenciados apenas para realizar ca1ibrações
numa determinada faixa de confiabilidade de medições. Usualmente, se a relação entre a incerteza do
padrão e a do objeto for menor do que 1:4, a incerteza do padrão não precisa ser levada em
consideração na analise metológica do instrumento em questão. Isto praticamente limita a capacitação
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de cada laboratório para calibração de instrumentos, tendo em vista seus padrões.
Seguindo esta filosofia, o INMETRO iniciou um trabalho de arregimentação de laboratórios
interessados em prestar serviços metrológicos a comunidade, e assim descentralizar a atividade afim de
calibração de instrumentos.
Uma equipe composta de técnicos do INMETRO visita a instituição candidata e avalia sua
capacitação metrológica, juntamente com o seu potencial de prestação de serviços, a partir de uma
solicitação detalhada que inclui recursos humanos, equipamentos, infraestrutura e experiência
metrológica. São exigidos que os equipamentos tenham certificados de ca1ibração num orgão
metrólogico superior, provando uma confiabilidade de medições na faixa em que o laboratório se
propõe a operar. A metodologia de calibração, a análise dos resultados e a emissão dos certificados são
discutidos com o pretendente, que deve seguir a orientação do INMETRO, como participante da Rede
Brasileira de Calibração (RBC). A instituição é submetida então a um teste de intercomparação
laboratorial, onde um mesmo instrumento é calibrado com os seus padrões e os do INMETRO,
independentemente. Isto permite analisar a confiabilidade das informações fornecidas pelo laboratório
candidato, o que poderá resultar em seu credenciamento na Rede.
Cada calibração realizada tem seu certificado escrito em papel oficial da Rede e um selo de
qualidade aposto ao mesmo, com número e identificação do instrumento registrados no INMETRO. A
emissão deste certificado implica no endosso do INMETRO às informações técnicas lá contidas.
O laboratório credenciado é reavaliado periodicamente tendo em vista a manutenção dos padrões de
qualidade existentes na época do credenciamento, tanto em pessoal como em instrumentos que devem
também periodicamente ser calibrados.
O responsavel técnico pelo laboratório, que assina os certificados, tem seu curriculum analisado
durante a fase do credenciamento, sendo parte integrante da estrutura montada pela Rede Brasileira de
Calibração para garantia da qualidade metrológica. Tanto é que sua saida da instituição implica num
reexame das credenciais do laboratório tendo em vista as atividades propostas de calibração. Pode-se
portanto dizer que o certificado de calibração é um documento eminentemente técnico e não
administrativo.
Um dos fatores importantes para o recredenciamento do laboratório é o seu desempenho em re1ação
ao atendimento ao mercado. Interessam a Rede laboratórios que realmente prestem serviços a
comunidade, contribuindo para a difusão da atividade metrológica e sua descentralização em re1ação
ao INMETRO.
1.3. Rastreabilidade
A quantificação dos fenômenos fisicos exige que se determine a posição do valor medido de uma
variável em relação a um conjunto de grandezas arbitrariamente escolhidas, oriundos de situações
fisicas que podem ser reproduzidas facilmente e com muita repetitividade, e que passam a ser
consideradas como de referência. Assim, a sensação de frio e quente não é suficiente para controlar um
processo de uma indústria, se uma repetitividade é exigida, tal qual requer um produto comercial
acabado.
Como consequência desta exigência, define-se uma escala da grandeza em questão. Para a
temperatura, por exemplo, inicialmente escolheu-se um termômetro de mercúrio em vidro. Dois traços
são marcados no capilar, correspondentes, respectivamente, a altura da coluna de mercúrio quando o
bulbo está imerso num banho de mudança de fase sólido-líquido e líquido-vapor para a água a 101325
Pa. Ao traço inferior atribui-se o valor de 0 oC ; ao traço superior atribue-se o valor 100 oC. Dividindose este intervalo em 100 partes iguais, obtém-se uma escala de temperatura que quantifica o nível de
agitação térmica conforme a altura da coluna de mercúrio no capilar em equilibrio com o fenômeno
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fisico em questão.
Em re1ação ao comprimento, estipulou-se inicialimente o metro como sendo igual ao comprimento
de uma barra de platina iridiada depositada no BIPM, em Sèvres, França. Uma comparação entre o
objeto e o padrão resulta na escalia de comprimento.
O mesmo aconteceu em re1ação ao padrão de massa, corrente elétrica, iluminação e quantidade de
matéria.
A tecnologia moderna, entretanto, exige que a escala da grandeza seja definida para faixas bem mais
estreitas do que as obtidas com a escala definida e de forma bem repetitiva. Assim, termômetros de
mercúrio em vidro não são adequados industrialmente para reproduzirem a escala de temperatura
dentro de 0,01 oC. O mesmo acontece para pequenos comprimentos de onda, ao nível de radiação
visível e de pequenas massas. Por outro lado, os pontos de referência utilizados nas escalas devem, ser
reproduzidos pelo menos dentro dos valores requeridos pela tecnologia moderna. Pequenas variações
de pressão fazem com que o ponto de mudança de fase líquido-vapor para a água se altere. Assim,
pontos de referência menos dependentes das condições ambientes devem ser escolhidos. O ponto triplo
é uma boa alternativa. Mais ainda, uma escala para ser utilizada universalmente deve ser reproduzida
facilmente, desde que se adote os mesmos procedimentos para sua realização, a partir de padrões que
sejam conseguidos facilmente pelos usuários. Este aspecto é importante no comércio internacional,
onde as indústrias de um determinado pais devem produzir seus bens de acordo com as exigências do
cliente de outro país.
Surgem então os padrões secundários e terciários, conforme a exigência, que em princípio são mais
baratos e operacionais, não requerendo cuidados especiais de manutenção. Em muitos casos pode-se
até usar um padrão de trabalho.
Pode-se portanto definir uma sequência de instrumentos, chamados de padrões por serem usados
apenas como mais alto nivel da escala de utilização, que em princípio representariam a escala da
grandeza em questão, em diferentes níveis de confiabilidade, e que devem ser relacionados entre si
através do processo chamado de rastreabilidade. Estes instrumentos, em princípio, não seriam
operacionais, sendo usados apenas para calibração de instrumentos do laboratório. Recomenda-se que
existam vários deste tipo, para aumentar a contiabilidade do laboratório em relação a escala da
grandeza em questão, após uma intercomparação de desempenho entre si.
Rastreabilidade é definida como a capacidade de um dado instrumento de se reportar a escala da
grandeza, a nivel primário, através da intercomparação de seu desempenho com o de outros padrões,
sucessivamente terciários e secundários, ou mesmo primários. Isto, em princípio responde a pergunta
dos clientes do laboratório em relação a confiabilidade das medidas e sua relação com a escala da
grandeza.
No Brasil, como já abordado, o INMETRO possui padrões primários, ou pelo menos secundários de
alta confiabilidade, que podem satisfazer as exigências da indústria nacional. Em casos especiais,
laboratórios podem ser acreditados para esta função, desde que tenham maior capacitação técnica para
tal. Estes padrões são intercomparados com outros de paises mais avançados, ou pelo menos calibrados
pelos mesmos com uma frequência compatível com a experiência adquirida universalmente para
garantia das medições num certo nivel de confiabilidade. Os laboratórios da Rede Brasileira de
Calibração (RBC) devem em princípio ter seus instrumentos calibrados pelo INMETRO com uma
frequência equivalente. Em muitos casos, uma calibração direta destes instrumentos pelos padrões
estrangeiros pode substituir esta exigência.
Recomenda-se também que existam em cada laboratório vários padrões, sendo pelos menos um deles
de trabalho, isto é, usado normalmente para calibrar os instrumentos dos clientes. Este é
intercomparado usualmente com os outros padrões do laboratório, antes de submetê-los a calibração
pelo INMETRO. Estes padrões não necessariamente precisam ter o mesmo nivel de confiabilidade em
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relação a escala da grandeza. Assim, transdutores de pressão, com incerteza de medição estimada em
0,1 %, podem ser usados como padrão para instrumentos da classe de 0,5 % e acima. A balança de
pressão (dead weight tester), da classe 0,025 %, calibraria eventualmente este padrão.
Finalmente, este procedimento pode ser usado com os instrumentos do cliente. A frequência de
calibração depende naturalmente da experiência universal ou da observação de que após um
determinado período o padrão tem seu desempenho alterado por um valor maior do que o exigido para
o processo industrial.
1.4. Padrões
Os padrões primários tem normalmente uma definição bastante abrangente de modo a permitir à
tecnologia uma representação cada vez mais precisa da escala teórica da grandeza em questão. Sua
definição é normalmente obtida das definições básicas da ciência, sendo suficientemente cíclica a
depender de outras defínições básicas. A seguir são apresentadas as definições em vigor para o Sistema
Intemacional de unidades (SI), único válido formalmente, com os respectivos nomes e símbolos.
(a) Padrão de comprimento: metro (m)
O metro é a distancia percorrida pela luz no vácuo durante 1/299792458 de um segundo. 17a
CGPM/1983.
(b) Padrão de massa: quilograma (kg)
Massa do protótipo universal do quilograma, mantido no BIPM em Sévres, França. 3a CGPM/19O1.
(c) Padrão de tempo: segundo (s)
Duração de 9192631770 períodos da radiação correspondente a transição entre dois níveis hiperfinos
do estado fundamental do átomo de Césio 133. 13a CGPM/1967.
(d) Padrão de intensidade de corrente elétrica: ampère (A)
Intensidade de corrente elétrica invariável, que mantida em dois condutores retilineos, paralelos, de
comprimento infinito e de área de seção transversal insignificante e situados no vácuo a 1 m de
distância um do outro produz entre estes condutores uma força igual a 2.1x10-7 newtons por metro de
comprimento desses condutores. 9a CGPM/l948.
(e) Padrão de temperatura termodinâmica: kelvin (K)
Fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. 13a CGPM/1967.
(f) Padrão de intensidade luminosa: candela (cd)
Intensidade luminosa numa dada direção de uma fonte que emite uma radiação monocromática de
frequência 540 x 1012 hertz e cuja intensidade energética naquela direção é 1/683 watt por esterradiano.
16a CGP/1979.
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(g) Padrão de quantidade de matéria: mol (mol)
Quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos são os
átomos contidos em 0,012 quilogramas de carbono 12. 14a CGPM/197l.
Estas unidades do SI definem todas as outras que são empregadas na tecnologia e na ciência
1.5.Definições
Existe uma regra bem estabelecida da investigação científica que diz que a primeira vez que um
experimento é realizado os resultados são bem diferentes da verdade que se procura. A medida que o
experimento é repetido, com sucessivos refinamentos de técnica e método, os resultados gradualmente
e assintóticamente se aproximam do que pode ser considerado com alguma certeza como uma
descrição confiável do fenômeno. Os conceitos expostos seguem o Vocabulário Internacional de
Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia, publicado pelo INMETRO em 1995.
(a) Erro é definido como a diferença entre o valor calculado ou observado e o valor verdadeiro do
mensurando. Como na maioria das vezes o segundo não é conhecido, o erro não pode ser determinado,
mas sim estimado. Em casos especiais, quando se usa um padrão primário para a medida, o valor
verdadeiro é conhecido por definição.
Existe uma classe de erros que pode ser reconhecida imediatamente e eliminada. São os erros
grosseiros oriundos de cálculo e medições. A fonte destes erros é usualmente aparente, tanto como
pontos experimentais obviamente incorretos, como resultados que não estão suficientemente próximos
dos valores esperados. Eles são corrigidos realizando a operação novamente, desta vez corretamente.
Uma outra classe de erro é chamada de erro sistemático e não pode ser tão facilmente detectada. A
análise estatistica não é normalmente útil. Eles tem origem numa calibração mal feita do sistema de
medições, ou em erros de interpretação fenômeno físico por parte do observador. Estes erros devem ser
estimados a partir de uma análise das condições experimentais ou da técnica utilizada, incluindo uma
interpretação do fenômeno físico com base em teorias já estabelecidas.
A terceira classe de erros está associada ao desconhecimento das condições de controle do
experimento (em maior ou menor escala), ou mesmo à falta de conhecimento sobre o desempenho do
sistema de medições. Assim, um termopar por mais que se meça cuidadosamente a força eletromotriz
gerada não reproduz a escala de temperatura com repetitividade dentro de menos de 0,1o C. Já uma
resistor de platina pode fazê-lo dentro de 0,001 oC algumas vezes. Transistores utilizados em circuitos
elétricos destinados a leitura do sinal do sensor para a medição de temperatura tem seu desempenho
dependente da flutuação da temperatura do ambiente que os envolve, normalmente desconhecida.
Alguns fabricantes tem resolvido este problema colocando-se em forno de temperatura controlada.
Estes erros são portanto dificeis de serem identificados. Uma análise estatistica de vários
experimentos, entretanto, mostra que muitas vezes estes erros seguem uma distribuição normal
(gaussiana) de probabilidade. Existem naturalmente exceções flagrantes a regra. A probabilidade de se
conseguir um certo número de “cara” ou “coroa” com uma moeda não viciada segue uma distribuição
binomial. A contagem de partículas radioativas emitidas de um núcleo por unidade de tempo segue
uma distribuição de Poisson, que é o limite de uma distribuição binomial quando o número de eventos
independentes é muito grande, e a probabilidade de ocorrência de cada um é muito pequena. A
distribuição retangular é caracterizada pelo fato de que a função densidade de probabilidade é
constante para um intervalo finito bastante definido em torno da média, sendo zero fora deste intervalo.
Ela é usada quando não existe muita informação estatística sobre um determinado fenômeno, não se
podendo privilegiar qualquer valor em relação a outro, em torno da média. Na distribuição triangular,
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seu valor segue uma função triangular neste intervalo, sendo máximo na média, e zero fora do mesmo,
sendo utilizada quando o nível de informação estatística disponível sobre o fenômeno é um pouco
melhor do que para a distribuição retangular.
A determinação da função densidade de probabilidade pode ser experimentalmente obtida através
de um histograma, que pode tambem determinar erros sistemáticos que não tenham sido detectados.
Este, entretanto é um procedimento raramente realizado. Pode-se assim verificar que as distribuições
mencionadas são na maioria das vezes uma aproximação boa do que ocorre no caso real, na faixa em
torno da média que contribui significativamente para a probablidade de ocorrência de um dado valor.
Não se pode esperar que, na medição de um comprimento, valores negativos ou muito grandes possam
ser obtidos, tal qual estipula a distribuição gaussiana ou normal.
O Guia para a Expressão da incerteza de Medição, publicado em sua edição revisada em 1998 pelo
INMETRO, ABNT e SBM, (GUIA) sugere que quando não existem muitas informações estatísticas, as
distribuições retangular e triangular devem ser usadas. Mais ainda, mesmo que as distribuições das
variáveis independentes de uma função não tenham distribuição normal, a distribuição resultante pode
ser aproximada pela normal pelo Teorema Central do Limite. Sugere e justifica, também, que para o
cálculo de incerteza, as componentes aleatórias e sistemáticas possam ser tratadas da mesma forma.
Dois parâmetros definem a distribuição normal: média e desvio padrão. A estatística mostra que a
probabilidade de que uma medição realizada esteja num intervalo centrado em torno da média e dela
afastado de um desvio padrão é 68,27 %. Estes valores são 95,45 % e 99,73 %, respectivamente, para
dois e três desvios padrões. Logo, com estas distribuições pode-se ter uma idéia bastante boa da faixa
de variação de um resultado experimental.
A média da distribuição, também chamada de momento de la ordem, pode ser teoricamente calculada
quando o número de termos da população é muito grande. O mesmo acontece para o desvio padrão,
também chamado de momento de 2a ordem . Entretanto, para os casos reais, a amostra é finita e o
número de termos é pequeno. Deve-se portanto determinar os parametros estatísticos de medição a
partir de um número pequeno de valores. Assim, a média será estimada e não determinada. Novamente,
a estatística mostra que a melhor estimativa da média x  e do desvio padrão (s) são dadas
respectivamente pelas expressões. A Eq.(1) pode ser determinada minimizando o valor de s na Eq. (2),
em relação a x  , isto é, diferenciando s em relação a x  , e igualando a zero.
x   xi / n
(1)
s 2   ( xi  x ) 2 /(n  1)
(2)
(b) Exatidão de uma medição é o grau de concordância entre o valor verdadeiro e o resultado da
medição. Alguns definem como o maior desvio da leitura de um sistema de medidas para uma entrada
conhecida. Os erros envolvidos nesta discrepância são normalmente sistemáticos e randômicos.
(c) Repetitividade de uma medição define o grau de concordância entre resultados sucessivos obtidos.
Nesta definição não importa quão perto ou longe do valor verdadeiro o resultado se encontra, mas
simplesmente como os resultados são repetidos para uma entrada constante. As condições de
repetitividade incluem o mesmo procedimento de medição, o mesmo observador, o mesmo instrumento
de medição, utilizado nas mesmas condições, o mesmo local e a repetição num curto periodo. Ela pode
ser expressa em função das características de dispersão dos resultados. Um voltimetro digital que tenha
um deslocamento grosseiro de seu zero, pode ter uma repetitividade excelente e uma péssima exatidão.
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Esta última pode ser melhorada pela comparação do sistema de medições com um padrão. Mas não
abaixo de sua repetitividade que é inerente ao sistema de medidas. Este somente pode ser melhorado a
partir de um novo projeto.
(d) Reprodutibilidade dos resultados de medição define o grau de concordância entre os resultados das
medições de um mesmo mensurando, efetuadas sob condições variadas de medição. As condições
alteradas podem incluir o principio de medição, o método de medição, o observador, o instrumento de
medição, o padrão de referência, o local, as condições de utilização e o tempo. Ela pode ser expressa
em função das características da dispersão dos resultados. Assim, um teste realizado por dois diferentes
laboratórios sobre o desempenho de um produto, pode apresentar diferentes resultados.
(e) Resolução de um sistema de medidas é o menor incremento da variável a ser medida que pode ser
detectada pelo mesmo. Não deve ser confundido com exatidão, repetitividade ou sensibilidade
(f) Sensibilidade de um sistema de medição é a variação de seu sinal de saída em resposta à variação
da grandeza a ser medida. Um bom sistema de medição tem uma sensibilidade adequada a incerteza
desejada.
(g) O valor de uma divisão de um instrumento pode dar uma idéia bastante boa sobre a repetitividade
do mesmo, que é intrinseca ao seu projeto. Em princípio, na ausência de informações oriundas da
calibração, isto é, comparação de seu desempenho com o do padrão e indiretamente reportando-se a
escala da grandeza em questão, pode-se considerar a menor divisão como sendo igual a duas vezes o
desvio padrão (nivel de confiabilidade de 95,45 %). Alguns consideram até a metade do valor de uma
divisão para este indicador.
Em principio pode-se subdividir o valor de uma divisão em quantas partes forem desejadas e
possiveis, até o limite da reso1ução do instrumento, que está associada ao menor incremento da
grandeza medida a que o mesmo responde. Isto não quer dizer que se tenha aumentado a confiabilidade
da medida com o instrumento citado. As flutuações aleatórias de leitura, associadas a sua
repetitividade, podem ser maiores do que esta resolução, indicando que este procedimento talvez seja
desnecessário. Entretanto, quando se fazem várias leituras para uma mesma medição, com o valor
verdadeiro estimado a partir da média então calculada, este procedimento pode ser justificado. A teoria
estatistica mostra que nestes casos a incerteza da determinação da média é reduzida por um fator igual
a raiz quadrada do número de medições usadas para a sua determinação. Teoricamente, quando o
número de medições se toma muito grande, a estimativa da média se aproxima do valor verdadeiro
chamado de média. Em outras palavras a incerteza da média se aproxima de zero. Na prática, o limite
inferior desta incerteza é a resolução do instrumento, dai justificando a subdivisão de do valor de uma
divisão.
Pode-se claramente ver que o número de medições realizadas determina a incerteza do processo
metrológico. Assim, baixas incertezas de medição podem ser conseguidas com sistemas de medição de
baixa repetitividade, desde que se aumente o número de leituras aleatórias. Infelizmente, na prática,
apenas uma medição é realizada de cada vez, o que faz com que instrumentos com alta exatidão (em
relação a incerteza desejada) sejam selecionados para a tarefa metrológica.
(h) Incerteza de uma medição é uma faixa centrada em torno do valor medido x e distante de dois
desvios padrões (2.s) onde se supõe que o valor verdadeiro da medida esteja a um nível de
confiabilidade de 95,45 % (distribuição normal). Outros múltiplos do desvio padrão podem ser
utilizados, mas este é o mais comum. Afinal, a distribuição está automaticamente definida com estes
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dois parametros.
Conforme discutido anteriormente, como o valor verdadeiro da medição não é conhecido na maioria
das vezes, não tem sentido referir-se ao erro, mas sim a uma faixa em torno do valor medido onde se
supõe que o valor verdadeiro esteja. Rigorosamente, à luz da distribuição estatistica, existe uma
probabilidade, por menor que ela seja, de que o valor medido esteja infinitamente afastado da média.
Na prática isto não acontece, mostrando que o modelo estatístico de distribuição dos erros não é
exatamente gaussiano, mas apenas uma boa aproximação. Assim, pode-se associar a uma medição os
parametros determinísticos como o “erro máximo” da medição.
O método de avaliação de incerteza é chamado de Avaliação do tipo A quando é feito pela análise
estatística de uma série de observações. É chamado de Avaliação do tipo B quando é feito por outros
meios que não a análise estatística de uma série de observações.
Incerteza expandida (U) é definida como a grandeza que define um intervalo em torno do resultado
de medição com o qual se espera abranger uma grande fração da distribuição dos valores que possam
ser razoavelmente atribuidos ao mensurando. Normalmente, o nível de confiabilidade adotado é de
95,45 %, ou seja, dois desvios padrões quando a distribuição é normal.
Incerteza padrão (u) é definida como o resultado de uma medição expressa como um desvio padrão.
Pode ser calculada dividindo-se a incerteza expandida (U) por 2 quando a distribuição é normal, e o
nível de confiabilidade é 95,45% (Incerteza do tipo A). Quando a distribuição é retangular, ela pode ser
calculada dividindo-se a incerteza expandida (U) por 3 . Ou por 2 3 , quando a distribuição é
triangular. Estas duas distribuições são utilizadas quando o método de avaliação de incerteza é do tipo
B.
Incerteza padrão combinada (u) do resultado de uma medição, daquele obtido por meio dos valores
de várias outras grandezas, é igual à raiz quadrada positiva de uma soma de termos, que constituem as
variâncias ou covariâncias destas outras grandezas, ponderadas de acordo com quanto o resultado da
medição varia com mudanças nestas grandezas (sensibilidade).
O fator de abrangência (k) é definido como o fator numérico utilizado como um multiplicador da
incerteza padrão combinada (u) de modo a se obter a incerteza expandida (U), ou seja ,
U = k.u
(3)
Normalmente, a incerteza padrão combinada é estimada a partir da incerteza padrão das várias
grandezas, estimada conforme a distribuição estatística adotada, e então, a incerteza expandida é
calculada, multiplicando-se a primeira pelo fator de abrangência.
(j) Calibração de um instrumento é o resultado da comparação de seu desempenho com o do padrão,
reportando-se indiretamente a escala da grandeza em questão. Deve-se observar que as condições de
calibração devem ser rigorosamente iguais às de utilização do instrumento. Isto não é feito na maioria
das vezes, resultando em discrepâncias em relação aos valores de calibração, aumentando portanto a
incerteza da medição. As vezes este fenômeno é interpretado como degradação do desempenho do
sistema de medição, indicando valores bastante afastados dos supostamente verdadeiros. A calibração
de um instrumento pode ser seguida de um ajuste do mesmo para conformar sua resposta a valores
anteriormente estabelecidos pelo fabricante. Muitos laboratórios não se utilizam deste recurso, por
acharem que este pode resultar numa maior responsabilidade e tempo gasto na calibração do
instrumento. Curvas podem então ser fornecidas, relacionando o valor indicado com o valor do padrão.
Como o número de medições realizadas na calibração é normalmente pequeno, existe necessidade de
interpolação para valores não testados. Curvas são ajustadas aos pontos experimentais pelo método dos
minimos quadrados, representando um desempenho médio do sistema de medições na dada faixa de
10
operação. Um indicador do ajuste é o chamado desvio médio quadrático, que em muitos casos está
asssociado ao desvio padrão de cada modelo na faixa, incluindo a adequação da curva escolhida ao
desempenho do sistema de medição em questão. Observe-se que neste caso a curva média então
determinada passa a representar teoricamente o desempenho do sistema de medição na faixa de
operação, isto é, o valor supostamente verdadeiro da medição pode ser calculado a partir de sua relação
com o valor indicado pelo sistema de medição. No cálculo de sua incerteza devem ser levadas em
consideração, além da incerteza do ajuste (duas vezes o desvio médio quadrático), as incertezas do
padrão e do objeto (caracterizada por sua repetitividade ou habilidade de repetir valores para uma dada
exatidão).
Pode-se observar que a incerteza de medição depende da curva escolhida como ajuste. A linha reta,
por ser muito conveniente, é escolhida industrialmente, resultando em valores de incertezas maiores do
que os que seriam obtidos com um polinômio do segundo ou terceiro grau. Daí a definição conhecida
como linearidade do sistema de medição. A experiência mostra que se polinômios de ordem superior
fossem utilizados para representar o desempenho de um transdutor de pressão na faixa em questão a
incerteza de medição poderia ser reduzida por um fator de 2, eventualmente, em re1ação ao uso da
linha reta. O aumento da complexidade de manipulação dos dados não constitui problemas atualmente,
desde que se utilizem sistemas de aquisição de dados para as leituras, com as curvas de calibração
embutidas no respectivo “software” do computador.
Finalmente, deve-se observar um fenômeno que ocorre com muitos sistemas de medição: a histerese.
Sua resposta, quando se aumenta o valor da variável medida, é diferente do que quando se reduz a
mesma. Duas curvas de calibração podem ser determinadas, uma para valores ascendentes e outra para
descendentes. Assim, uma curva diferença entre os dois comportamentos pode ser calculada, com
incertezas que incluem os desvios médios quadráticos de cada ajuste, individualmente, além das
incertezas do padrão e da variável em questão. Em operação, entretanto, como não se tem certeza se os
valores são ascendentes ou descendentes, utiliza-se uma única curva de ca1ibração como representativa
da mesma, resultando num aumento da incerteza da medição. Este efeito só pode se eliminado através
da utilização de outros materiais, ou de uma modificação do projeto do sistema de medição.
Tansdutores de pressão do tipo Bourdon apresentam muitas vezes este efeito.
1.6.
Confiabilidade Metrológica e Metrologia Industrial
Um eficiente controle industrial requer que certas medidas sejam tomadas em relação a
instrumentação existente ou metodologia de medição.
Indústrias mecânicas são particularmente sensíveis ao controle metrológico diante da possibilidade
de não ajuste adequado de peças de um sistema em fabricação, acarretando prejuizos . Assim, peças do
tipo macho são ajustadas às do tipo fêmea em proporções que dependem do controle metrológico de
cada uma. Na realidade, pode-se considerar, por exemplo, que o diâmetro de uma peça torneada
obedece a uma distribuição aproximadamente normal, com desvio padrão dependente de fatores como
características de manutenção da máquina ferramenta. Erros sistemáticos podem existir se os
respectivos sistemas de medidas não estiverem calibrados. Assim, pode-se determinar estatisticamente
o número de peças com acoplamento rejeitado. Torna-se portanto importante que certas medidas sejam
tomadas para redução do indice de rejeição.
O sistema de medição das máquinas ferramentas pode ser calibrado através da medição das peças
fabricadas. Naturalmente, a temperatura é um importante parâmetro neste controle por causa da
expansão térmica. Em medições mais exatas, salas com temperatura controlada devem ser utilizadas.
Os padrões lá armazenados podem então ser usados nas condições de sua calibração. Nestes se incluem
os blocos padrões, os paquímetros e os micrômetros. Roscas podem ser verificadas com gabaritos, em
11
relação ao número de fios e o seu ângulo. Comparadores óticos são muitas vezes usados como valiosos
auxiliares das medições.
De qualquer forma, estes padrões metrológicos devem ser calibrados periodicamente em laboratórios
credenciados, com frequência controlada de várias formas, dependendo principalmente do seu uso.
Pode-se experimentalmente, durante os primeiros períodos de sua aquisição enviá-los para instituições
credenciadas e anotar as variações dimensionais. Quando estas ultrapassarem um valor determinado a
partir de critérios estabelecidos com base na aceitação das peças produzidas, eles devem ser calibrados,
reparados ou mesmo substituídos.
Um outro aspecto importante é o chamado desvio padrão do laboratório da indústria. Operadores
bem treinados e cuidadosos fazem com que a repetitividade das medições com um dado instrumento
seja muito boa. Naturalmente, todos os operadores, indiscriminadamente, devem entrar nesta
determinação, como um todo.
Não é preciso enfatizar que um hábito bastante salutar é a utilização de vários padrões que devem ser
intercomparados. Alguns são operacionais.
Existe uma máxima, em matéria de metrologia, que especifica que não se deve adquirir instrumento
com exatidão maior do que o necessário, pois o custo benefício se toma desfavorável. Os custos
operacionais aumentam pela complexidade de operação e sua manutenção toma-se cara devido aos
cuidados requeridos e frequência de calibração necessária. Assim, o controle de qualidade deve
especificar inicialmente todas as necessidades metrológicas, de modo que os instrumentos possam ser
adquiridos.
Atualmente o controle metrológico tende a ser feito via computador. Para isto, é necessário que os
padrões tenham uma saída elétrica. Na realidade, os principais institutos de metrologia do mundo
tendem a usar este procedimento. Transdutores são ligados diretamente aos canais de uma interface
analógico - digital e o sinal medido diretamente através do “software” instalado. Curvas de calibração
podem então estar embutidas no mesmo. Conversores A/D de 12 bits pelo menos são necessários,
normalmente, para leitura. Em casos mais exatos, podem-se usar 16 ou 18 bits. Ganhos programáveis
de 10 ou 100 também são opções a se considerar. Como técnica de garantia de confiabilidade de
medições, pode-se autocalibrar o circuito elétrico do instrumento, principalmente para leitura de
termômetros de resistência, com uma resistência padrão imersa num banho de temperatura controlada,
lida antes de cada leitura do objeto, para qualquer correção necessária de medição.
Transdutores de pressão muito exatos, com incertezas de medida de 0,05 % ou melhor, podem
substituir a chamada “balança de pressão” (dead weight tester). A nível industrial, na faixa de 0, 25 %
eles servem para medir a perda de pressão em tubulação, ou mesmo o diferencial de pressão de um
medidor de vazão do tipo obstrução ao escoamento.
O sinal dos termopares pode ser medido pelos mesmos conversores, desde que se usem ganhos
maiores para o sinal (10 ou 100), ou maior número de bits de conversão A/D. Neste caso, uma junção
de referência deve ser parte do sistema de medição.
Altemativas não computacionais, porem com saida elétrica, podem ser ligadas a um registrador
gráfico, muitas vezes com fundo de escala de 10 mV, principalmente para termopares. Dois tipos são
utilizados: registradores potenciométricos e galvanométricos. Estes últimos são menos exatos e mais
baratos, podendo ser usados em muitas aplicações.
A ligação do sensor ao sistema de leitura é feita por cabos coaxiais, normalmente, para minimizar
interferências externas, pois estes cabos podem funcionar como antenas. Cabos longos devem ser
evitados, pois provocam uma atenuação do sinal. Quando necessário, pode-se amplificar o sinal ao
nível do transdutor, antes de transmiti-lo pelo cabo.
Instrumentos analógicos, como medidores de pressão do tipo Bourdon, termômetros de mercúrio em
vidro, rotâmetros, entre outros, podem ser usados não só para verificação dos valores a serem medidos,
12
como para indicarem os valores desejados do processo.
Uma vez calibrados todos os instrumentos, rastreados aos laboratórios credenciados, via padrões do
laboratório da indústria, o processo em questão deve ser avaliado.
Erros de instalação do sensor podem acontecer, muito embora eles estejam calibrados corretamente.
Neste caso, informações falsas seriam transmitidas pelos instrumentos. Termopares colocados em
regiões não isotérmicas apresentam um efeito de aleta, conduzindo calor através do mesmo, do ponto
de leitura para o meio ambiente, modificando a temperatura local que se quer medir. Normalmente um
isolamento dos fios resolve este problema.
Transdutores de pressão usados para medir a pressão no interior de um cilindro de um motor de
combustão intema podem medir erroneamente se não forem instalados na posição correta.
Estes aspectos deve ser verificados gradativamente através de um procedimento denominado de
“Qualificação da Instalação”. Ele é conduzido colocando-se na instalação uma condição de operação
conhecida e comparando-se com os valores lidos.
A incerteza geral da medição pode então ser estimada por dois métodos. O primeiro deles parte do
conhecimento da incerteza dos componentes básicos, obtida através de calibração, isto é, comparação
com os padrões. O desvio padrão da grandeza assim calculada é portanto estimado. Uma medição
apenas é requerida. O segundo, parte do processamento de dados obtidos de várias medições diretas da
grandeza desejada. A média e o desvio padrão são estimados e a incerteza determinada. Se todas as
grandezas que influenciam o fenômeno tiverem sido levadas em consideração na estimativa da
incerteza a partir dos componentes básicos, os dois métodos devem produzir resultados muito
próximos. Caso contrario, como normalmente é o verificado, o último método produz valores mais
elevados de incerteza, que devem portanto ser adotados.
A confiabilidade metrológica é então assegurada por uma cadeia de procedimentos que começa com
a calibração dos instrumentos e seu rastreamento à escala da grandeza, passa pela leitura do sinal dos
mesmos, pela fidelidade de leitura do instrumento em relação ao valor verdadeiro e termina com
resultados confiáveis que resultam em qualidade do processo e produto industrial.
2. PROPAGAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
2.1. Conceitos básicos
Toda a teoria apresentada é baseada na determinação da incerteza com um número grande de
medições, pois desta forma a média e o desvio padrão podem ser estimados. Em determinados casos,
entretanto, quando um parâmetro numa experiêcia é calculado a partir da medição de outras grandezas
com incertezas, já determinadas pelos métodos anteriores, pode-se estimar a incerteza de medição do
referido parâmetro com apenas uma medição das grandezas associadas. Nesta categoria se encontra,
por exemplo, a determinação da área de um retângulo, a partir da medição de seus lados. Ou da
medição da viscosidade com um viscosimetro tubular, a partir da medição do comprimento e diametro
do tubo, da vazão e da perda de carga. Ou da permeabilidade de um meio poroso a partir da geometria
do mesmo, da viscosidade, do diferencial de pressão e da vazão que escoa através do mesmo. Também,
a medição da densidade a partir da medição do volume e da massa e mesmo a medição da vazão de
liquido a partir do volume e do intervalo de tempo.
O Guia para Expressão da Incerteza de Medição (INMETRO, Agosto/1998), simplesmente
denominado de GUIA, apresenta regras gerais para avaliar e expressar a incerteza de medição. Dois
tipos de incerteza são considerados

Incerteza Tipo A: Obtida pela análise estatistica de uma série de observações.
13

Incerteza Tipo B : Obtida por outros meios que não a análise estatística de uma série de
observações.
Ele define ainda uma Incerteza Padrão, que é o resultado de uma medição expressa como um desvio
padrão (68,27 % de confiabilidade). A Incerteza Padrão Combinada, tambem expressa como um desvio
padrão, é determinada pelos métodos apresentados anteriormente, substituindo a incerteza expressa
como dois desvios padrões (95,45 % de confiabilidade) por apenas um (68,27 % de confiabilidade), e
leva em consideração a distribuição estatistica de todos os fatores que contribuem para a incerteza
combinada de medição. Finalmente, define uma Incerteza Expandida, multiplicando-se a Incerteza
Padrão Combinada por um fator de abrangência, para associar a confiabilidade deste valor (tipicamente
tem o valor 2 para 95,45 % de confiabilidade, e 3 para 99,73 % de conflabilidade, para um grande
numero de medições).
Na verdade, conforme descrito anteriormente, uma distribuição Gaussiana necessita de dois
parametros para a sua definição : média e desvio padrão. Assim, estimando-se o desvio padrão de uma
distribuição complexa e sua média, conhece-se o nivel de confiabilidade. Então todos os esforços
objetivam a estimativa da Incerteza Padrão. A Incerteza Tipo A é caracterizada pela análise estatistica
de uma série de observações e normalmente supõe uma distribuição Gaussiana. Entretanto, em muitos
casos, as informações estão disponiveis de forma incompleta, sem a caracterização estatística
necessária, podendo inclusive estar disponivel de forma não cientifica e subjetiva. A Incerteza neste
caso é chamada Tipo B. Este conjunto de informações pode incluir, conforme o GUIA, o seguinte:





Dados de Medições Prévias, sem caracterização estatística
Experiência ou o conhecimento geral do comportamento e propriedades de materiais e
instrumentos relevantes, especificando os limites superior e inferior do parâmetro
Informações do fabricante, com faixa de erro máximo, sem caracterização estatística
Dados fornecidos em certificados de calibração e outros certificados, representando o
comportamento médio, ou com informações incompletas
Incertezas relacionadas a dados de referência extraídos de manuais, como limites superiores de
“erros”
Normalmente os dados disponiveis de “erro” ou de Incerteza, sem o rigorismo estatístico, são
apresentados como uma faixa em torno do valor médio onde se acredita que o valor verdadeiro esteja,
sem inclusive caracterizar o nível de confiabilidade. O Guia sugere então que se utilize uma
distribuição retangular (em lugar de Gaussiana), o que tende a superestimar o desvio padrão de uma
suposta distribuição Gaussiana. Em alguns casos, uma distribuição triangular pode ser utilizada. Se os
dados fornecidos indicam os limites superior e inferior do parâmetro, pode-se considerar que o valor
médio destes limites representa o seu valor médio. A diferença entre estes dois limites pode ser
considerada como igual a duas vezes a incerteza expandida (U) Tipo B do parâmetro, normalmente
com um nível de confiabilidade de 95,45 %. Assim, se a informação disponível para uma medição
puder ser descrita pela Eq.(4),
x  x U
(4)
a incerteza padrão (u) pode ser representada como
u U / 3
(5)
14
o
O GUIA apresenta a metodologia de como estimar a incerteza padrão para diferentes situações.
2.2. Incerteza padrão combinada
O procedimento descrito a seguir é chamado de “Propagação da Incerteza de Medição”, que na
verdade pode ser interpretado como a propagação do desvio padrão de uma variável z a partir do desvio
padrão de suas variáveis dependentes, x e y. Inicialmente, as incertezas de cada variável são
classificadas do Tipo A ou B. A incerteza padrão (u) é então estimada, conforme a discussão do item
2.1.
Considerando z uma função das variáveis estatisticamente independentes x e y, pode-se escrever,
u 2  c x u x   c y u y 
2
2
(6)
cx 
z
x
(7)
cy 
z
y
(8)
onde u x e u y são as incertezas padrão estimadas previamente das grandezas x e y, e, c x e c y são os
coeficientes de sensibilidade.
Desta forma, pode-se estimar a incerteza z pelo conhecimento apenas das variáveis x e y e de suas
incertezas, com apenas uma medição. Como exemplo, podem-se escrever as seguintes expressões mais
comuns para as incertezas estimadas com uma única medição, a partir da Eq. (6).

Multiplicação
z = x.y
(9)
(u / z ) 2  (u x / x) 2  (u y / y ) 2

(10)
Divisão
z = x/y
(11)
(u / z ) 2  (u x / x) 2  (u y / y ) 2
(12)

Multiplicação e Divisão
z = x.y/t
(13)
(u / z ) 2  (u x / x) 2  (u y / y ) 2  (u t / t ) 2
(14)

Potência n
15
o
z = xn
(15)
(u / z ) 2  n 2 .(u x / x) 2
(16)

Soma
z= x + y
(17)
u 2  u x2  u y2
(18)
Subtração
z=x–y
(19)
u 2  u x2  u y2
(20)

Soma e Subtração
z=x+y–t
(21)
u 2  u x2  u y2  u t2
(22)
2.3. Incerteza expandida
A incerteza expandida (U) é calculada multiplicando-se a incerteza padrão combinada (u) pelo fator
de abrangência (k), Eq. (3). Para sua determinação é necessário o conhecimento do número efetivo de
graus de liberdade do parâmetro υ eff , resultante da combinação dos diferentes parâmetros, cada um
com seu respectivo número de graus de liberdade υ i e incerteza padrão u i e coeficiente de
sensibilidade c i . A seguinte fórmula de Welch-Satterthwaite é usada :
u 4 /  eff   (ci u i ) 4 /  i
(23)
A calibração de um instrumento é feita normalmente com um número pequeno de pontos,
comparando-se o seu desempenho com o padrão. Teoricamente, várias medições deveriam ser
realizadas para cada ponto, de tal forma que a média e o desvio padrão possam ser determinados. Estes
são os parâmetros usados para a estimativa da incerteza de medição.
A estatistica mostra que a melhor estimativa da média da população é a média aritmética x  obtida
com as n medidas realizadas, Eq.(l). Existe portanto uma diferença entre o valor calculado e a média da
população, tendendo a zero quando o número de medidas é muito grande. A incerteza da estimativa da
média da população, ou seja o valor supostamente verdadeiro da medida, é definida como o intervalo
em torno da média aritmética onde se supõe que o valor da média da população esteja localizado, ao
nível de confiabilidade de 95,45%, normalmente. A estatistica também mostra que a melhor estimativa
do desvio padrão da população é o desvio padrão (s) da amostra dado pela Eq. (2). Para a distribuição
Gaussiana, a amplitude deste intervalo é igual a duas vezes o desvio padrão da população para cada
lado da média. Quando a amostra é pequena a amplitude é igual a t vezes (t-Student ) o desvio padrão
16
o
da amostra, pois este último estima por baixo o desvio padrão da popu1ação. Este valor é dado pela
Tabela 1, para níveis de confiabilidade de 68,27%, 94,45% e 99,73%, respectivamente 1, 2 e 3 desvios
padrões. O número de graus de liberdade υ i é igual ao número de pontos n i menos 1, para uma cada
variável. Usando-se a Eq. (23), pode-se estimar o número efetivo de graus de liberdade υ eff .
Conhecendo-se o número efeitvo de graus de liberdade e o nível de confiabilidade, pode-se obter da
Tabela 1 o valor de t-student, que multiplicado pela incerteza padrão combinada u é igual à incerteza
expandida U.
υi
(24)
=
ni
–
1
Tabela 1 : Valores de t-student para diferentes níveis de confiabilidade
υ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
40
50

Nível de confiabilidade
68,27%
95,45%
99,73%
1,84
13,97
235,80
1,32
4,53
19,21
1,20
3,31
9,22
1,14
2,87
6,62
1,11
2,65
5,51
1,09
2,52
4,90
1,08
2,43
4,53
1,07
2,37
4,28
1,06
2,32
4,09
1,05
2,28
3,96
1,03
2,18
3,59
1,03
2,13
3,42
1,02
2,11
3,33
1,02
2,09
3,27
1,01
2,06
3,20
1,01
2,05
3,16
1,00
2,00
3,00
Deve-se observar que com este procedimento, ao se estimar a incerteza de medição, na realidade o
que se faz é estimar o desvio padrão da população a partir do desvio padrão da amostra, que subestima
o primeiro. O valor estimado, portanto, é o que se deve usar em futuras medições, com um número
infinito de graus de liberdade.
2.4. Incerteza de medição com várias replicações
Naturalmente, se várias medições foram feitas, a incerteza é igual a incerteza estimada com uma
única medida dividida pela raiz quadrada do número de medições n .
Para uma utilização correta deste procedimento, exige-se o conhecimento da correlação entre as
variáveis, ou mesmo, na falta dela, que experiências sejam conduzidas utilizando os conceitos
embutidos na Eq. (6). Assim, as derivadas parciais devem ser calculadas experimentalmente, variandose uma parâmetro e mantendo constante os demais.
A dificuldade encontrada é que um controle experimental é difícil e depende da habilidade do
17
o
operador e dos instrumentos e assim os resultados encontrados podem divergir dos verdadeiros. Muitas
vezes a experiência realizada não reproduz adequadamente as condições de validade das correlações
utilizadas. Se um regime permanente, por exemplo, não for estabelecido numa experiência, a
correlação para a permeabilidade, deduzida pela lei de Darcy para o escoamento unidimensional num
meio poroso, não pode ser utilizada. Ou mesmo a equação de Hagen-Poiseuille para a viscosidade e a
determinação do volume para medição da densidade podem conduzir a resultados errôneos, dentro da
categoria dos chamados erros sistemáticos. Teoricamente, se todas as hipéteses forem corretas, os
resultados obtidos com este procedimento e com o procedimento anterior, com várias medições e sem
propagação de incertezas, devem coincidir. De qualquer forma, anotando-se uma atitude conservadora,
isto é, levando-se em consideração que problemas experimentais possam ter ocorrido, deve-se sempre
escolher o maior valor dos dois para a incerteza, se eles forem disponiveis.
Neste ponto deve-se distinguir entre o desvio padrão da grandeza medida e o desvio padrão da
média da grandeza de medição. A primeira população é composta de todos os elementos medidos da
grandeza, tendo como média o valor supostamente verdadeiro da grandeza. Em outras palavras, após
terem sido determinados os parametros da distribuição Gaussiana, existe 95,45% de probabilidade de
que o próximo valor a ser medido da grandeza esteja no intervalo centrado em torno da média
aritmética com amplitude igual a duas vezes o desvio padrão para cada lado da mesma. A segunda
população é composta de elementos que representam, cada um, a média aritmética de um determinado
número de medições da grandeza, com distribuição anteriormente determinada. Pelos argumentos
anteriores, a média da população é também igual ao valor supostamente da grandeza medida. Da
mesma forma, após terem sido determinados os parametros da distribuição Gaussiana, existe 95,45%
de probabilidade de que o próximo valor a ser obtido da média, com um determinado número de
medidas da grandeza, esteja no intervalo centrado em torno da média aritmética das médias (que para
um número grande de medidas coincide com o valor supostamente verdadeiro da grandeza), com
amplitude igual a duas vezes o desvio padrão para cada lado da mesma. A relação que existe entre o
desvio padrão da população (s) e o desvio padrão da média da popu1ação (s m ) é igual a raiz quadrada
do número de medições usadas para se calcular a média aritmética dos valores da grandeza medida,
conforme demonstrado pela estatistica.
sm 
s
(25)
n
Teoricamente, a medida que o número de medidas aumenta, a incerteza da determinação da média
da população tende a zero. Na prática, entretanto, o limite inferior deste valor é igual a resolução do
instrumento de medição ou ao valor de leitura indicado pelo instrumento, o que for maior.
Desta forma, foi demonstrado que o uso de instrumentos de medição com diferentes niveis de
repetitividade pode resultar em valores da grandeza medida com uma mesma incerteza, desde que um
número adequado de pontos seja utilizado, tendo como limite inferior a resolução do instrumento ou de
sua leitura. Na prática, entretanto existe uma restrição a este raciocínio. Normalmente só pode ser feita
uma medição da grandeza para o processo em questão, após terem sido determinados os parâmetros da
distribuição Gaussiana. Nestes casos, instrumentos de mais elevado nivel de repetitividade devem ser
especificados. Também, padrões de laboratórios, hierarquicamente inferiores, podem ter a
confiabilidade de medição melhorada através do uso de um maior número de medições. Em todos os
casos, deve-se analisar o custo benefício deste procedimento, uma vez que se aumentou o tempo
necessário a calibração ou medição.
2.5. Critério de Chauvenet : Eliminação de pontos
18
o
Muitas vezes, um operador, ao analisar os pontos experimentais obtidos, tem a impressão que
houve algum problema com o seu procedimento experimental, porque alguns não parecem fazer parte
do conjunto. Ele então tem de decidir se houve algum erro experimental grosseiro e portanto o ponto
deve ser eliminado, ou se realmente é uma aparente discrepância, devido à falta de conhecimento do
fenômeno físico em questão, e portanto não deve ser eliminado. O critério de Chauvenet apresenta uma
base consistente para este julgamento, e considera que o conjunto de n pontos experimentais obtidos
fazem parte de uma distribuição gaussiana de erros.Ele então especifica que um determinado ponto
pode ser eliminado se a probabilidade de se obter um dado desvio relativo em relação à media  é
menor do que 1/(2n).
  x  x /
(26)
onde, x é o valor medido, x é a media dos pontos, e  é o desvio padrão da população (que pode ser
substituido por s, desvio padrão da amostra. A Tabela 2 apresenta o maior desvio permitido para
aceitação do ponto experimental. Este critério deve ser aplicado apenas uma vez ao conjunto de pontos.
Se algum for eliminado, deve-se calcular novamente a média e o desvio padrão da amostra reduzida..
Tabela 2 : Critério de Chauvenet : maior desvio permitido

Tamanho da
Amostra (n)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
40
50
1,15
1,38
1,54
1,65
1,73
1,80
1,86
1,92
1,96
2,13
2,24
2,33
2,39
2,49
2,57
Finalmente, um procedimento normalmente utilizado por diferentes laboratórios é a chamada
intercomparação de medições ou instrumentos. Pretende-se neste caso minimizar o erro sistemático das
experiências, tendendo as diferenças encontradas para os erros aleatórios ou randômicos, que podem
ser tratados pela metodologia exposta.
3. METODOLOGIA DE MEDIÇÃO E INTERPOLAÇÃO DE DADOS EXPERIMENTAIS
Calibração é um processo de comparação entre os valores de uma grandeza por um instrumento e por
um padrão, através do qual pode-se rastrear o primeiro em relação a escala da grandeza em questão.
19
o
Os padrões escolhidos para esta comparação possuem uma exatidão e repetitividade adequadas,
compativeis com a incerteza de medição requerida, obtida através da utilização do instrumento. Assim,
pode-se definir um conjunto de padrões que possuem diferentes níveis de exatidão, comparados
sucessivamente ao seu superior hierárquico, até que finalmente pode-se reproduzir a escala de uma
grandeza com incerteza zero, por definição.
A definição da escala de uma grandeza é realizada normalmente pelo seguinte procedimento:


Escolha de um número pequeno de pontos determinados por fenômenos fisicos extremamente
repetitivos (os pontos fixos) e que servem de base a definição da grandeza em questão.
Instrumentos interpoladores entre os referidos pontos fixos, fabricados segundo o estado da arte
da tecnologia, e possuindo desempenho com elevado grau de confiabilidade, de modo que a
escala possa ser definida continuamente, tal qual é requerido para medição dos outros
fenômenos fisicos ou processos industriais.
Os padrões normalmente tem um nivel de exatidão bastante superior ao do instrumento, de modo que
sua incerteza de reprodução da escala da grandeza não precisa ser levada em consideração para a
estimativa da incerteza de medição com o instrumento. Isto, entretanto não é mandatório, desde que
uma estimativa correta das incertezas seja feita.
Os conceitos expostos seguem o Guia para a Expressão da incerteza de Medição (GUIA), publicado
em 1998, em sua edição revisada, pelo INMETRO, ABNT e SBM.
A escolha de um padrão para uma determinada calibração deve ser feita com base numa análise de
custo beneficio, onde a incerteza de medição a ser obtida com a utilização do instrumento a ser
calibrado deve ser especificada a priori. Deve-se levar em consideração neste processo que padrões
com elevado grau de exatidão, além de serem muito custosos, requerem cuidados especiais para sua
operação, tomando a calibração bastante demorada, inadequada muitas vezes para os objetivos em
vista.
A repetitividade de um instrumento de medição é uma característica intrínsica de projeto, associada a
tecnologia usada para sua fabricação, e não pode ser modificada por uma calibração. Nesta, os erros
sistemáticos são minimizados pela comparação de seu desempenho com o de um padrão ou mesmo
padrões hierarquicamente superiores. Tem sido mostrado, na maioria dos casos, que os erros de
repetitividade do instrumento em relação ao valor verdadeiro da grandeza de medição podem ser
representados com boa aproximação por uma distribuição Gaussiana (ou normal), onde a média e o
desvio padrão são os parâmetros que definem a mesma. O GUIA apresenta diretrizes para a estimativa
da incerteza de medição.
A resolução de um instrumento de medição é definida como o menor valor da grandeza que pode ser
detectada pelo mesmo. Normalmente este valor é menor do que a sua repetitividade, e do que o menor
valor de leitura, indicado pelo instrumento.
Surge então uma pergunta. Como representar o valor medido pelo instrumento? Um número
qualquer de subdivisões da menor divisão do instrumento pode ser feito até o limite inferior
representando por sua reso1ução, mesmo que este valor seja menor do que a sua repetitividade.
Entretanto, uma análise de repetitividade do instrumento de medição pode realisticamente selecionar o
valor mais adequado, com base em argumentos estatisticos. Este pode ser às vezes uma ordem de
grandeza menor do que duas vezes o desvio padrão da distribuição de erros. Este raciocínio pode ser
feito para indicadores analógicos ou implantados na fase de projeto de indicadores digitais.
O erro é definido como a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro. Este último
normalmente não é conhecido, a menos que se use o padrão primário de definição da escala da
grandeza. Na melhor das hipóteses, se a incerteza de medição com o padrão for bem menor do que com
20
o
o instrumento calibrado, principalmente se a incerteza de medição com o primeiro for menor do que a
resolução do último, pode-se considerar com boa aproximação que o valor indicado pelo padrão é o
valor verdadeiro da grandeza medida.
A questão que se impõe a seguir é como o usuário poderá utilizar os resultados da calibração. Em
principio, nas condições descritas no parágrafo anterior, uma tabela pode ser elaborada, comparando o
valor indicado pelo padrão (supostamente o valor verdadeiro) e o valor indicado pelo instrumento. A
diferença encontrada pode ser interpretada, nas condições acima, como o erro de medição do
instrumento, constituindo um fator de correção a ser aplicado ao valor indicado pelo instrumento. Este
procedimento, entretanto, não tem muita utilidade para o usuário, visto que a distribuição de erros é
estatística e não determinística. De fato, se uma outra calibração fosse feita a seguir, a probabilidade de
obtenção do mesmo fator de correção encontrado anteriormente seria baixa, e o usuário não poderia
prever o erro de medição com base nesta informação. O procedimento adequado neste caso é atribuir
uma faixa de incerteza a cada ponto medido pelo instrumento, com base na sua repetitividade, obtida
através de um determinado número de medições, resultando na estimativa da média e do desvio padrão.
Muito embora o usuário não possa estimar o erro de medição, visto que em operação o padrão não é
usado, pelo menos ele conhece a faixa em que o valor verdadeiro deve se situar, com um determinado
nível de confiabilidade (normalmente 95,45%).
Como resultado da calibração, normalmente feita com um número pequeno de pontos, pode-se
apresentar uma tabela comparando-se o valor verdadeiro (o do padrão) com o valor indicado pelo
instrumento e sua faixa de incerteza.
A estimativa da incerteza padrão de medição (u ins ) com o instrumento para cada ponto pode ser feita,
escolhendo-se o maior valor dentre os seguintes:

Repetitividade do instrumento (duas vezes o desvio padrão das medições feitas com o
instrumento, mantendo constante o valor da grandeza medida com o padrão), multiplicada pela
sua sensibilidade, e dividida por 2 (k=2).

Resolução de leitura do instrumento (por exemplo, metade da menor divisão), multiplicada pela
sua sensibilidade, e dividida por 3

Incerteza de medição estipulada pela Rede Brasileira de Ca1ibração, obtida através de
intercomparações entre o INMETRO e o laboratório secundário, levando-se em consideração as
características metrológicas da fonte de calibração e de sua incerteza de medição, e dividida por
2 (k=2).
A incerteza padrão de medição com o instrumento (U) poderá ser estimada através da Eq.(25)
2
u 2  u ins
 u 2p
(27)
U = k.u
(3)
onde u p , é a incerteza padronizada do padrão, que pode ser desprezada quando seu valor for pelo
menos 4 ou 5 vezes menor do que a do instrumento.
Deve-se também observar que o valor de incerteza global de medição com o instrumento (U) deve
ser estimado para apenas uma medição. O usuário deste instrumento deverá dividi-lo pela raiz
quadrada do número de medições feitas n, n , para estimativa da incerteza (U m ). Desta forma, os
resultados fomecidos pelo laboratório de calibração deverão indicar a incerteza minima que poderá ser
21
o
obtida pelo usuário com apenas uma medição e não a incerteza de calibração do laboratório (que
poderá realizar várias medições para maior confiabilidade).
Entretanto, como muito provavelmente os valores a serem medidos pelo instrumento não são os
mesmos verificados durante a calibração, estes resultados serão úteis apenas se procedimentos
interpoladores foram utilizados, com base no desempenho global do mesmo. Três são os
procedimentos normalmente utilizados.
 O primeiro deles segue a especificado do fabricante, através de uma escala, linear ou não, que
relaciona a resposta do instrumento com a escala da grandeza medida. Em outras palavras,
admite-se que se durante a calibração os valores indicados pelo instrumento de medida
estiverem dentro da faixa de incerteza atribuida, o mesmo provavelmente ocorrerá para valores
intermediários não testados. Este procedimento é simples e normalmente verifica calibrações
anteriores realizadas.
 O segundo deles é aplicado quando por algum motivo os valores obtidos durante a ca1ibração
não se encontram dentro da faixa de incerteza atribuida. Neste caso, pode-se manter o mesmo
procedimento interpolador, ou seja a escala especificada pelo fabricante, e aumentar a faixa de
incerteza de medição, incluindo prováveis erros sistemáticos, e fazendo com que o primeiro
procedimento possa ser utilizado. A nomenclatura normalmente utilizada é que o instrumento
mudou de classe de medição.
 O terceiro procedimento é uma analíse estatística mais complexa e fornece elementos para
elaboração da escala do próprio fabricante ou elaboração de uma nova escala em substituição
sua original, após o instrumento, por algum motivo, ter tido a mesma alterada com o seu uso, o
que é verificado pela sua calibração. Por este procedimento ajusta-se uma função (na maioria
das vezes um polinômio) aos pontos de calibração identificados pelos valores do padrão e pelos
do instrumento, de tal forma que para cada valor indicado por este último possa ser calculado o
valor verdadeiro que seria obtido numa calibração (representado pelo padrão) dentro de uma
faixa de incerteza estimada com os dados deste experimento. Normalmente, o critério para
determinação dos coeficientes da função do ajuste inclui argumentos como o que o desvio
padrão da grandeza medida é aproximadamente o mesmo para todos os pontos na faixa de
calibração do instrumento, ou pelo menos estima-se um valor médio para ele. Esta hipótese
simplificadora permite o uso de apenas uma medição em cada ponto da faixa, desde que um
número estatisticamente suficiente de pontos ao longo da mesma seja utilizado (pelo menos 1020). Assim, um desempenho médio do instrumento ao longo da faixa pode ser obtido. Para um
polinômio de grau m, as seguintes expressões podem ser utilizadas para estimativa do valor
verdadeiro e do desvio padrão do ajuste (muitas vezes conhecido como desvio médio
quadrático do ajuste).
m
y ( x )   c i .x i
(28)
i 0
n
s 2   [ y ( xi )  y i ] 2 /(n  m  1)
(29)
i 0
onde,
ci
x
y(x)
yi
xi
coeficientes de polinômio de grau m
-variável representando valor indicado pelo instrumento durante a calibração
-variável representando o valor verdadeiro durante a calibração, avaliada em x.
-valor verdadeiro medido pelo padrão durante a calibração
- valor indicado pelo instrumento durante a calibração
-
22
o
s
-desvio médio quadrático do ajuste.
O método de determinação dos coeficientes é conhecido como “método dos minimos quadrados”, e
consiste em determinar valores dos coeficlientes que minimizem o desvio médio quadrático (s).
Para um dado grau de polinômio de grau m, pode-se definir uma incerteza padrão do ajuste (u ajuste )
como igual ao desvio médio quadrático do ajuste, desde que um número grande de pontos seja usado.
Pode-se mostrar numericamente que a partir de um determinado número de pontos usados no ajuste o
valor dos coeficientes permanece praticamente o mesmo. Assim, dependendo da repetitividade do
instrumento, pode-se determinar o número mínimo de pontos a ser usado no ajuste. Este normalmente
se situa na faixa de 10-20.
Como resultado deste ajuste pretende-se informar a incerteza global de medição da grandeza com o
instrumento, usando-se o polinômio ajustado anteriormente. Em outras palavras, qual a incerteza de
reprodução com o instrumento da escala da grandeza, obtida no processo de calibração, incluindo a
incerteza do padrão, incerteza de leitura do instrumento e curva de ajuste do seu desempenho? No
calculo da incerteza combinada (u), com apenas uma medição, os seguintes termos devem ser
considerados.
 Incerteza padrão do ajuste (u ajuste ) : igual ao desvio médio quadrático do ajuste, para um
número grande de pontos.
 Incerteza padrão do padrão (u p ) : determinada a partir da rastreabilidade do mesmo, em
calibrações anteriores.
 Incerteza padrão de leitura do instrumento (u ins ) : igual a incerteza ao se ler o instrumento
multiplicada pela sua sensibilidade (S = dy/dx) obtida através da curva determinada de ajuste, e
dividida por 3
A incerteza global (U), com apenas uma medição, pode então ser estimada pela Eq.(32) :
2
2
u 2  u ajuste
 u 2p  u ins
(30)
U = k.u
(3)
Se o usuário do instrumento fizer várias medições, ele deverá dividir o valor da incerteza (U) pela
raiz quadrada do número de medições feitas, n , para estimar a incerteza global de medição do
instrumento (U m ) com várias medições.
Numericamente, as normas recomendam que o valor de incerteza seja expresso com apenas dois
algarismos significativos, o que determina com quantos algarismos significativos deve ser escrito o
valor da medição.
A incerteza global de medição varia com o grau do polinômio, ou com a função escolhida para o
ajuste. Na realidade, as curvas que descrevem o desempenho do padrão e do instrumento são
normalmente diferentes, daí havendo necessidade de um estudo prévio do comportamento para uma
escolha adequada. Isto pode explicar porque com um número grande de pontos e resolução adequada, a
média pode não se situar sobre a curva de ajuste. Prefere-se neste caso usar esta última como o valor
verdadeiro, em favor do desempenho do instrumento como um todo, e não para uma resposta em
particular do mesmo. Espera-se, naturalmente, que a faixa de incerteza apresentada cubra estas
diferenças, para um bom instrumento. Finalmente a experiência mostra que o uso de polinômios do
grau 3 pode muitas vezes reduzir o desvio médio quadrático do ajuste por um fator de 2, em relação ao
polinômio de grau 1. Assim, uma análise adequada dos dados de calibração pode inclusive mudar a
classe de medida de um instrumento ou de um padrão.
23
o
A escolha da função mais adequada de ajuste pode ser feita de quatro formas.
 Estatística Qui-Quadrado. Conforme Experimental Methods for Engineers, de Holman, J.P, o
teste começa calculando-se o parâmetro denominado Qui-Quadrado (  2 ), com os dados
experimentais e os correspondentes dados ajustados, para o número de graus de liberdade. Este
é definido como a diferença entre o número de pontos experimentais e o número de parâmetros
calculados no ajuste. A probabilidade de que valores maiores ou iguais a  2 possam ocorrer é
calculada pela estatística Qui-Quadrado. Quando  2 = 0, o ajuste é perfeito. Quanto maior este
valor, menor a probabilidade de concordância entre os dados experimentais e o ajuste. Na
prática, valores encontrados de probabilidade(P) fora da faixa 0,1 < P < 0,9 , resultam na não
aceitação do teste, considerado não confiável (ou muito bons, ou muito ruins).
 Correlação. Indica a dispersão entre os dados experimentais e o ajuste. Quanto mais próximo de
um (1) o coeficiente calculado de correlação (ou regressão), melhor o ajuste.
 Estatística F.Conforme discutido em Data Reduction and Error Analysis for the Physical
Sciences, de Bevington, P.R, a estatística F é mais confiável do que a Qui-Quadrado porque
separa dois efeitos : discrepância entre a função de ajuste e a verdadeira, e a discrepância entre
os dados experimentais e os da função verdadeira, concentrando-se no primeiro.
 Desvio médio quadrático do ajuste. Indica diretamente a dispersão dos dados experimentais em
relação ao ajuste, não levando em consideração se o ajuste é bom ou não. O menor valor dentre
os das diferentes funções pode ser o escolhido e usado no cálculo da incerteza de medição para
pontos interpolados entre os medidos experimentalmente.
Um outro parâmetro muito utilizado é a linearidade, ou seja a incerteza de medição do instrumento
quando se usa uma linha reta para ajuste dos dados de calibração. Como já visto anteriormente, embora
conveniente, a linha reta pode não ser a melhor opção se o melhor ajuste e a menor incerteza forem
requeridos.
Finalmente, um parâmetro indicativo do desempenho de um instrumento é sua histerese. Esta pode
ser determinada conduzindo-se a calibração quando se aumenta gradativamente o valor da grandeza
(carga), ou quando, ao contrário, se reduz gradativamente o valor da grandeza (descarga). Dois ciclos,
pelo menos, de carga e descarga, são recomendados por norma, para se determinar inclusive a
repetitividade do instrumento. Duas curvas de ajuste podem ser obtidas para estas calibrações.
Subtraindo-se uma da outra pode-se obter uma curva que representa a histerese ponto a ponto do
instrumento. Se estes valores forem menores do que a incerteza de medição de cada curva, pode-se
dizer que a histerese é desprezivel, a nível da incerteza de medição. De qualquer forma, a curva a ser
utilizada como representante da calibração dever incluir todos os pontos, tanto em carga como em
descarga, pois não se sabe a priori como a grandeza irá variar durante a utilização do instrumento. Este
procedimento estatístico pode substituir com vantagem o que normalmente é utilizado
determinísticamente, tanto para definição da histerese, como para definição da linearidade, ou seja,
respectivamente, maior diferença encontrada durante a calibração entre carga e descarga, e maior
afastamento da linha reta durante a ca1ibração. Como a distribuição de erros do instrumento é
estatistica, se um critério deterministico fosse utilizado, vários valores de histerese e de linearidade
seriam obtidos como função da época de calibração.
4. INCERTEZA DOS COEFICIENTES DO AJUSTE
A incerteza dos coeficientes determinados anteriormente é importante principalmente quando eles
representam uma caracteristica do instrumento (por exemplo, um fator de proporcionalidade na
calibração), ou determinadas propriedades de fluidos ou sólidos. De qualquer forma, a medida que se
24
o
aumenta o número de pontos da calibração, os coeficientes do ajuste tendem assintoticamente a um
valor constante e sua incerteza diminui até um limite inferior associado a resolução de medida. Pode-se
assim determinar para um dado processo de medida o número de pontos adequado a ca1ibração, acima
do qual não se teria qualquer beneficio estatístico para a determinação dos coeficientes.
No primeiro caso, está enquadrada a calibração de uma turbina, onde a vazão volumétrica é
proporcional a rotação da mesma. Também, a calibração de gasômetros e hidrômetros, onde o volume
deslocado é proporcional ao número de revoluções de seu elemento de medida. Mais ainda, a
calibração de orificios (meios porosos) usados para medir baixas vazões, onde existe uma relação
linear entre estas últimas, e o diferencial de pressão através do elemento sensor. Ou mesmo, de um
medidor de pressão do tipo Bourdon, onde o deslocamento angular do ponteiro do indicador é
proporcional ao diferencial de pressão aplicado ao elemento sensor.
No segundo caso, está enquadrada a medição da viscosidade de um fluido, onde a tensão de
cizalhamento é proporcional a taxa de deformação. Ou a medição da condutividade térmica de um
material, onde o fluxo de calor é proporcional ao diferencial de temperatura aplicado. E também a
medição da permeabilidade de um meio poroso, onde o diferencial de pressão do mesmo é
proporcional a vazão.
Existem dois métodos para a determinação da incerteza dos coeficientes.
O primeiro deles, mais simples, exige o uso de um conjunto de duas variáveis medidas para se
determinar pelo método dos mínimos quadrados a constante de proporcionalidade. Repetindo-se a
medição várias vezes, pode-se determinar a média e o desvio padrão da constante de proporcionalidade
assim determinada. A incerteza de medição da constante de proporcionalidade, para um número grande
de medidas, é igual a duas vezes o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do número de medidas,
n . Novamente, o limite inferior destra incerteza está associado a resolução de medida de cada
parâmetro.
Ajustando-se, pelo método dos mínimos quadrados, a Eq. (12) aos dados experimentais
y = k.x
(31)
onde, k é a constante de proporcionalidade
Pode-se mostrar que o valor de k é dado por
k
x y
x
i
i
(32)
2
i
onde, x i e y i representam os dados experimentais.
Várias calibrações são então feitas para a estimativa do valor médio da constante de
proporcionalidade e de sua incerteza, obtida como duas vezes o desvio padrão (k=2), dividido pela raiz
quadrada do número de calibrações, n .
Pelo segundo método, apenas uma ca1ibração é necessária.
A incerteza do coeficiente k pode ser determinada a partir das incertezas de x i e y i , supostamente
conhecidas. O método consiste em mudar numericamente o valor de um ponto experimental, x i e y i ,
por um valor igual a sua incerteza expandida (para cima ou para baixo), mantendo os demais
constantes e iguais aos valores medidos. Isto significa calcular aproximadamente o coeficiente de
sensibilidade. Pelo método dos mínimos quadrados, usando a Eq.(12) para este conjunto de pontos,
determina-se um valor k j . Pode-se então definir um afastamento em relação a média k ,
25
o
k j  k j  k
(33)
Repetindo-se o procedimento acima, podem-se determinar 2.n valores k j sendo n pontos para a
variação do parâmetro x, e n pontos para a variação do parametro y. A raiz quadrada da soma dos
quadrados destes pontos é igual a incerteza combinada (U k ) da medição da constante de
proporcionalidade k.
U k2   k 2j
(34)
Quando a função a ser ajustada tem vários coeficientes a serem determinados, o procedimento é
idêntico, isto é, para cada mudança de x i e y i , são gerados conjuntos de valores de coeficientes. A
metodologia acima se aplica para cada coeficiente.
A interpretação do significado da incerteza de medição com o instrumento está relacionada ao
número de medições realizadas para a determinação do valor da grandeza. Em princípio, um número
grande de medições tende a reduzir a incerteza na determinação dos coeficlientes do ajuste. Em outras
palavras, a curva determinada pelo método dos minimos quadrados se aproxima do valor supostamente
verdadeiro, para uma dada função de ajuste. As características do instrumento de medida definem uma
faixa de incerteza (± U k ), associada a sua repetitividade, a curva de ajuste e ao padrão utilizado, onde
se supõe que a próxima medição realizada com o instrumento esteja, dentro de um determinado nivel
de confiabilidade (normalmente 95,45%). Repetindo-se n vezes esta medição com o instrumento, podese fazer com que o valor da medição (representado pela média aritmética) se aproxime da curva de
ajuste, dividindo-se a faixa de incerteza, dada pela Eq. (9), pela raiz quadrada do número de medições
n, n . Pode-se assim, em princípio, com um instrumento de baixa repetitividade, conseguir uma
medição com uma incerteza igual a que seria obtida com um instrumento de melhor repetitividade.
Como, entretanto, na maioria das vezes, só é permitida apenas uma medição de um processo, deve-se
especificar o instrumento adequado para um dado nivel de incerteza, com apenas uma medição.
5. Reprodutibilidade : Teste de hipóteses
Quando dois laboratórios diferentes realizam um teste para a medição de um parâmetro, porem com
metodologias diferentes, surge o problema da reprodutibilidade dos resultados. Os resultados podem
ser considerados os mesmos? Neste teste, o laboratório 1 mediu n 1 vezes o parâmetro, obtendo uma
média x1 e um desvio padrão s 1 . O laboratório 2 mediu n 2 vezes o parâmetro, obtendo uma média x 2 e
um desvio padrão s 2 . O desvio padrão de cada laboratório pode ser considerado a repetitividade de
cada um, respectivamente. O teste de hipótese a ser feito é denominado de Teste da diferença de duas
médias. Considerando que quando o número de medições de cada laboratório aumenta muito, a
incerteza da média de cada um tende a um valor muito pequeno, demonstrando que a faixa de
coincidência das respectivas distribuições estatísticas é pequena, o que indicaria que os dois valores
médios podem ser considerados diferentes, dentro de um arbitrado nível de significância do teste,
normalmente 5%. A incerteza padrão de cada laboratório é, respectivamente,
u1  s1 / n1
(35)
u 2  s 2 / n2
(36)
26
 ~: ~,,,.
Para a diferença das duas médias, os seguintes valores de média ( x ) e incerteza padrão combinada
(u) podem ser escritos :
x  x1  x 2
(37)
u 2  u12  u 22
(38)
A incerteza expandida (U) pode ser calculada determinando-se o número efetivo de graus de
liberdade pela Eq.(23), e o fator de abrangência pela Tabela 1, usando-se a Eq. (3). Se,
x U
(39)
os resultados podem ser considerados os mesmos, dentro de um nível de significância de 5%.
Esta metodologia pode ser utilizada para se determinar se a histerese de um transdutor de pressão é
significativa. Quando se calibra um transdutor de pressão em carga e descarga, para se determinar a
histerese, e, com vários ciclos, para se determinar a repetitividade, a Eq,. (27) pode ser utilizada para se
determinar a incerteza padrão para carga e descarga. A Eq. (25) pode então ser usada para se
determinar a incerteza padrão da média, obtida com n medições. Teoricamente, a medida que o número
de medições cresce, esta incerteza de medição decresce e, eventualmente, a superposição entre as
curvas estatísticas de carga e descarga torna-se desprezível, caracterizando a diferença entre os dois
valores. Pode-se também determinar o número máximo de medições que é necessário para que os dois
valores sejam considerados os mesmos, dentro de um nível de significância de 5 %, usando a Eq. (39).
Neste caso, pode-se dizer que a histerese é desprezível a nível da incerteza de medição. Inversamente,
quando se usa o transdutor para medição da pressão, a histerese pode também ser desprezível a nível da
incerteza de medição se o número de pontos for pequeno. Quando se utiliza um ajuste para
interpolação dos resultados, a mesma metodologia pode ser utilizada, porém com a Eq. (30).
6. Incerteza da integral de perfis obtidos experimentalmente
Muitas vezes existe a necessidade de se calcular a integral de um perfil obtido experimentalmente.
Tipicamente, o método se aplica quando se mede instantaneamente a vazão de um fluido com um
medidor, e se deseja contabilizar o volume que passou por ele durante um dado intervalo de tempo.
Genericamente, por exemplo, quando se quer determinar a área sob uma curva, obtida de um
monitoramento de um processo, três fatores são responsáveis pela incerteza de medição.



Erro de discretização do perfil experimental. Ele depende da função utilizada para o cálculo da
integral e do intervalo da variável dependente utilizado. Reduzindo-se este intervalo, para a
mesma função, pode-se minimizar este erro de discretização.
Incerteza de medição da variável independente x, que pode ser o tempo.
Incerteza de medição da variável dependente y(x), que pode ser o medidor de vazão.
Assim, deseja-se determinar a seguinte integral (I).
I   y ( x).dx
(40)
27
 ~: ~,,,.
Para o cálculo da integral I, pode-se subdividir o intervalo de medição em n subintervalos,
totalizando (n+1) pontos. Portanto, tem-se (n+1) pares de pontos x i , y i , cada um com sua incerteza
padrão u xi e u yi , respectivamente. A regra do trapézio pode ser utilizada para calcular a integral,
resultando na seguinte expressão algébrica.
n
I   y ( x).dx   [( y i  y i 1 ) / 2].( xi  xi 1 )
(41)
i 1
Não considerando o erro de discretização, a incerteza padrão combinada (u) pode ser escrita :
2
2
 n  I
 
   n  I
u   
.u xi     
.u yi  
 i 0   xi
 
   i 0   y i
2
(42)
onde,
( y  y1 )
I
 0
 x0
2
( y  y i 1 )
I
  i 1
 xi
2
(43)
i=1,n-1
(44)
( y  yn )
I
 n 1
 xn
2
(45)
( x  x0 )
I
 1
 y0
2
(46)
( x  xi 1 )
I
 i 1
 yi
2
i=1,n–1
(47)
( x  x n 1 )
I
 n
 yn
2
(48)
7. Planejamento de experimentos
A análise de incerteza pode ser utilizada para o planejamento de experimentos., quando diferentes
métodos e instrumentos de medição estão disponíveis. Neste caso, pode-se decidir pelo método que
resulte na menor incerteza de medição da grandeza desejada. Para exemplificar, considere-se o
seguinte problema.
Num teste de um motor de combustão interna, quer-se medir o consumo específico de combustível
(C), em kg/kWh, definido como a relação entre o consumo de combustível (Q), em kg/h, e a potência
no eixo do motor (P), em kW. Quer-se escolher um método para se determinar a incerteza padrão
combinada do consumo específico de combustível u C .
28
 ~: ~,,,.
C=Q/P
(49)
O procedimento experimental consiste em medir a massa de combustível (M), consumida num
determinado intervalo de tempo (t), de modo que a vazão de combustível (Q) possa ser calculada pela
expressão :
Q=M/t
(50)
Neste caso, o consumo específico de combustível (C ) pode ser expresso como :
C = M / (P.t)
(51)
A incerteza padrão combinada do consumo específico (u C ), pelas Eq. (10,(12) e (14) é :
2
2
2
 uC 
u  u  u 
   M   P   t 
M   P  t 
C 
2
(52)
onde, u M , u P e u t são respectivamente as incertezas padrão de M, P e t. O consumo específico de
combustível (C) desejado no experimento tem o valor de C = 0,5 kg/kWh. A incerteza padrão relativa
da potência (u P / P) é igual a 1 %. Dois métodos estão disponíveis, juntamente com os equipamentos de
medição.
1. Medindo o tempo requerido (t) para consumir uma quantidade fixa de combustível (M). Neste caso,
os seguintes instrumentos estão disponíveis.
 Uma balança comparadora com capacidade fixa de M = 1,00 kg. A incerteza padrão é estimada
em u M = 0, 01 kg.
 Um cronômetro para medição do tempo com incerteza padrão de u t = 0,0002 h.
Substituindo-se os valores de C e M na Eq. (51), tem-se que :
t=2/P
(53)
Assim, a Eq. (52) fica :
2
2
 0,01 
 uC 
 0,0002.P 
2
  0,01  
  

2


C 
 1,00 
2
(54)
2. Medindo-se a quantidade de combustível (M) consumida num tempo fixo (t). Neste caso, os
seguintes instrumentos estão disponíveis.
 Um contador de tempo com capacidade fixa de t = 0,0100 h. A incerteza padrão é estimada em
u t = 0,0002 h.
 Uma balança para medição da massa com incerteza padrão de u M = 0,01 kg.
Substituindo-se os valores de C e t na Eq. (51), tem-se que :
M = 0,005.P
(55)
29
 ~: ~,,,.
Assim, a Eq. (52), fica :
2
2
 0,01 
 0,0002 
 uC 
2
  0,01  

  
C 
 0,005.P 
 0,01 
2
(56)
Pode-se então colocar num gráfico os valores das Eq. (54) e (56) para os dois métodos, como
função da potência (P). As duas curvas se cruzam em P = 200 kW, com uma incerteza padrão
combinada relativa de 2,45%. O método 1 produz valores menores de incerteza para potências menores
do que 200 kW. Para valores maiores de potência, o método 2 produz valores menores de incerteza.
Incerteza
relativa (%)
Figura 1 : Incerteza padrão combinada
relativa
10
8
6
4
2
0
Método 2
Método 1
0
50 100 150 200 250 300 350 400
Potência (kW)
30
 ~: ~,,,.
ANEXO 1
Medição do Volume de um cilindro
31
 ~: ~,,,.
Medição do volume de um cilindro
O volume (V) de um cilindro de seção circular pode ser expresso como função de seu diâmetro (d)
e de sua altura (h) através da seguinte expressão :
V 
 d2
4
.h
(57)
Dois métodos estão disponíveis para sua medição :
1. Medição indireta : Medindo-se o diâmetro e a altura n=8 vezes com um paquímetro, com incerteza
expandida de U = 0, 05 mm, e usando a Eq. (57). A incerteza padrão é portanto u = 0, 05/2 = 0,025
mm. Este valor deve ser combinado com o desvio padrão das medições do diâmetro e altura, segundo a
Eq. (27). Os seguintes dados foram obtidos e apresentados na Tabela 3.
Tabela 3 : Dados experimentais de medição do volume de um cilindro : Medição Indireta
Medição
1
2
3
4
5
6
7
8
Diâmetro (d)
mm
15,80
16,10
16,10
16,10
16,10
16,10
16,10
16,05
Altura (h
mm
39,70
39,80
40,00
39,85
40,05
40,50
40,90
39,80
Volume (V)
ml
7,784
8,103
8,143
8,113
8,154
8,245
8,327
8,052
Média ( x )
Desv.Pad
u [Eq.(27)]
Média ( x )
Desv.Pad (u)
u [Eq.(27)]
16,056
0,105
0,108
16,093
0,019
0,031
40,075
0,416
0,417
40,129
0,418
0,419
8,115
0,159
8,162
0,093
η
2,078
0,078
0,178
0,014
0,242
0,817
1,328
0,393
antes
antes
antes
depois
depois
De acordo com a Tabela 2, o critério de Chauvenet indica que se η > 1,86 (n=8) o ponto
experimental pode ser rejeitado. Neste caso, o ponto 1 deverá ser rejeitado. Os valores da média e do
desvio padrão (incerteza padrão) são apresentados antes e depois da aplicação do critério de Chauvenet
(eliminando o ponto 1), tanto para o diâmetro e a altura, como para o volume.
A média do volume também pode ser calculada, utilizando-se na Eq. (57) os valores médios do
diâmetro d =16,093 mm, e da altura h =40,129 mm. Após a conversão de unidades, resulta V = 8,162
ml, o mesmo que é obtido ao se calcular diretamente a média dos volumes. A incerteza padrão também
pode ser calculada utilizando-se as Eq. (14) e (16) para a propagação da incerteza.
2
2
 uV 
 2.u   u 
   d   h 
 d   h
V 
2
(58)
Substituindo os valores
32
 ~: ~,,,.
2
2
 2 x0,031   0,419 
 uV 

 
 

 8,162 
 16,093   40,129 
2
(59)
obtem-se uV = 0,091 ml, um pouco menor do que aquele que se obtem diretamente do volume (0,093
ml). O número efetivo de graus de liberdade pode ser calculado, substituindo os coeficientes de
sensibilidade na Eq. (23). Após um algebrismo,
(uV / V ) 4 /  eff  (2.u d / d ) 4 /  d  (u h / h) 4 /  h
(60)
Substituindo os valores, com  d =  h = 7 –1 = 6,
(0,091 / 8,162) 4 /  eff  (2 x0,031 / 16,093) 4 / 6  (0,419 / 40,129) 4 / 6
(61)
obtem-se  eff = 7,7, ou seja 8. Consultando a Tabela 1, para 8 graus de liberdade e 95,45% de nível de
confiabilidade, k = 2,37. Assim, usando a Eq. (3),
U = 2,37 x 0,091 = 0,22 ml
(62)
A incerteza expandida do volume também pode ser calculada diretamente consultando a Tabela 1
para 6 graus de liberdade e 95,45% de nível de confiabilidade, resultando em k = 2,52. Assim, usando a
Eq. (3),
U = 2,52 x 0,093 = 0,23 ml
(63)
Pode-se, portanto, alternativamente, usar qualquer método, preferindo-se neste caso a Eq. (63) por
ser ligeiramente maior e, portanto, mais conservador.
O significado da incerteza expandida Eq. (63) é que se o volume do cilindro for medido mais uma
vez, existe 95,45 % de probabilidade de que o valor medido esteja no intervalo (8,16 ± 0,23) ml.
Entretanto, o que se deseja é a incerteza expandida da média, ou seja, quão próximo do valor
verdadeiro se encontra a média da amostra. Isto pode ser calculando usando-se a Eq. (25), com n=7,
resultando em,
U m = 0,23 /
7 = 0,09 ml
(64)
Assim, pode-se dizer que existe 95,45 % de probabilidade de que o valor verdadeiro do volume
esteja no intervalo
(8,16 ± 0,09) ml
(65)
2. Medição direta : Medido-se o volume d´água deslocada numa bureta n=8 vezes, ao se colocar o
cilindro em seu interior, com incerteza expandida U = 0,1 ml. A incerteza padrão é portanto u = 0,05
ml. Para se medir o volume deslocado de água, mede-se o seu nível na bureta antes e depois de
introduzir o cilindro. Portanto, a incerteza padrão da diferença segue a Eq. (20), resultando em u = 0,07
ml. Este valor deve ser combinado com o desvio padrão das medições do diâmetro e altura, segundo a
Eq. (27). Os seguintes dados foram obtidos e apresentados na Tabela 4.
33
 ~: ~,,,.
Tabela 4 : Dados experimentais de medição do volume de um cilindro : Medição direta
Medição
V inicial
V final
V
η
1
2
3
4
5
6
7
8
202,0
204,7
207,2
208,4
203,4
206,5
205,0
205,3
208,7
212,8
215,2
216,8
210,4
214,8
213,0
213,0
6,7
8,1
8,0
8,4
7,0
8,3
8,0
7,7
1,75
0,53
0,37
1,02
1,26
0,86
0,37
0,12
Média ( x )
Desv.Pad
u [Eq.(27)]
7,78
0,61
0,62
Aplicando-se o critério de Chauvenet, observa-se que nenhum ponto deve ser eliminado. A
incerteza expandida do volume pode ser calculada diretamente consultando a Tabela 1 para 7 graus de
liberdade e 95,45% de nível de confiabilidade, resultando em k = 2,43. Assim, usando a Eq. (3),
U = 2,43 x 0,62 = 1,5 ml
(66)
O significado da incerteza expandida Eq. (65) é que se o volume do cilindro for medido mais uma vez,
existe 95,45 % de probabilidade de que o valor medido esteja no intervalo (7,8 ± 1,5) ml. Entretanto, o
que se deseja é a incerteza expandida da média, ou seja, quão próximo do valor verdadeiro se encontra
a média da amostra. Isto pode ser calculando usando-se a Eq. (25), com n=8, resultando em,
U m = 1,5 /
8 = 0,5 ml
(67)
Assim, pode-se dizer que existe 95,45 % de probabilidade de que o valor verdadeiro do volume
esteja no intervalo
(7,8 ± 0,5) ml
(68)
Portanto, os dois métodos produzem valores diferente de volume, com incertezas diferentes. Para
saber se a diferença é significativa, deve-se aplicar o teste de hipótese da diferença de duas médias. A
diferença das médias, Eq. (37), e sua incerteza, Eq. (38), podem ser calculadas, resultando :
x = 0,36
(69)
U = 0,51
(70)
Como
x  U , Eq. (39), conclui-se que ao nível de significância de 5%, os resultados são
considerados os mesmos. Entretanto, como a incerteza do Metodo 1 é bem menor do que a incerteza do
Método 2, prefere-se o primeiro, resultando em um menor número de medições para obtenção de uma
dada incerteza.
34
 ~: ~,,,.
ANEXO 2
Calibração de uma turbina
35
 ~: ~,,,.
Uma turbina, usada para medição da vazão de um líquido, foi calibrada contra um padrão de vazão
que tem uma incerteza de  0,1 % do valor indicado. A frequência de rotação foi medida com incerteza
de  1 Hz. Os seguintes resultados foram obtidos :
Tabela 5 : Resultados da Calibração
Padrão (y)
Vazão (kg/s)
Objeto (x)
Frequência
(Hz)
46,470
45,691
33,446
28,016
18,906
16,184
15,837
11,831
7,823
6,019
4,750
3,644
1194
1172
853
719
486
416
407
304
201
155
122
94
O ajuste pelo método dos mínimos quadrados pode ser feito utilizando a Eq. (31), resultando no
seguinte valor para o coeficiente de proporcionalidade e desvio médio quadrático do ajuste :
k = 0,038985 kg/(Hz.s)
(71)
u ajuste = 0,0663 kg/s
(72)
As incertezas padrão de x e y podem ser calculadas com um divisor 2 :
u p = u y = (0,001/2)*y = 0,0005y kg/s
(73)
u ins = u x = (1/2)*0,038985= 0,0195 kg/s
(74)
O fator de abrangência pode ser calculado para 12-1 = 11 graus de liberdade. Da Tabela 1, é igual a
2,26. Pelas Eq. (30) e (31), a incerteza expandida pode ser expressa como :
U  2,26. 0,0663 2  (0,0005. y ) 2  0,0195 2
(75)
A máxima incerteza expandida é verificada para o máximo valor de vazão, ou seja, y = 46,470
kg/s, o que resulta em U = 0,16 kg/s. A mínima, para y=0, ou seja, U = 0,16 kg/s. Verifica-se portanto
que a incerteza expandida é praticamente constante, porque a incerteza do padrão é muito pequena.
Dividindo a Eq. (75) por 12 =3,46, obtem-se a incerteza de calibração. O usuário da turbina,
36
 ~: ~,,,.
entretanto, deverá dividir o valor da Eq. (75) por n , onde n é o número de medidas feitas. Na
maioria das vezes, n = 1. O certificado de calibração deverá fornecer apenas a Eq. (75), e não a
incerteza de calibração, deixando ao usuário a escolha do número de medidas e do cálculo da incerteza
de medição da vazão.
A incerteza do coeficiente de proporcionalidade poderá ser calculada pela Eq. (34). A Tabela 6
apresenta os valores de k usados na Eq. (33).
Tabela 6 : Incerteza expandida do coeficiente k = 0,038985 kg/(Hz.s)
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Variação de x
kj
0,038975
0,038975
0,038978
0,038979
0,038981
0,038982
0,038982
0,038982
0,038983
0,038984
0,038984
0,038984
Variação de y
kj
0,038996
0,038996
0,038991
0,038989
0,038987
0,038986
0,038986
0,038986
0,038985
0,038985
0,038985
0,038985
Usando a Eq. (34), obtem-se U k = 0,000025 kg/(Hz.s). Portanto, pode-se dizer que :
k = (0,038985 ± 0,000025) kg/(Hz.s), para 95,45% de confiabilidade
37
(76)
 ~: ~,,,.
ANEXO 3
Calibração de um Transdutor de Pressão
38
 ~: ~,,,.
Um transdutor de pressão, com saida na faixa de 4 a 20 mA, foi calibrado contra um padrão com
incerteza de  0,02 MPa. A leitura da corrente é feita com um amperímetro, com incerteza de  0,01
mA.Cinco (5) ciclos de carga e descarga foram feitos para se determinar a repetitividade e a histerese.
Os seguintes resultados foram obtidos :
Tabela 1 : Calibração de transdutor de pressão
Pressão
MPa
0,00
0,49
0,98
1,47
1,96
2,45
2,94
3,43
3,92
4,41
4,90
Corrente Medida em Carga (mA)
1
2
3
4
5
4,38
5,74
7,32
8,89
10,50
12,18
13,70
15,29
16,85
18,40
19,93
4,43
5,75
7,32
8,92
10,48
12,17
13,74
15,24
16,86
18,37
19,91
4,43
5,79
7,38
8,93
10,50
12,16
13,70
15,23
16,84
18,41
19,94
4,46
5,77
7,34
8,96
10,52
12,18
13,67
15,23
16,83
18,38
19,94
4,45
5,76
7,32
8,94
10,50
12,18
13,68
15,27
16,87
18,38
19,96
Corrente Medida em Descarga (mA)
1
2
3
4
5
4,38
5,70
7,35
8,92
10,52
12,11
13,68
15,23
16,78
18,40
19,91
4,36
5,69
7,31
8,88
10,48
12,10
13,68
15,24
16,84
18,37
19,92
4,38
5,70
7,32
8,90
10,48
12,12
13,67
15,24
16,80
18,41
19,97
4,38
5,73
7,42
8,98
10,55
12,18
13,72
15,27
16,87
18,34
19,94
Pede-se determinar:
(1) Melhor curva de calibração do transdutor, carga, descarga e carga-descarga
(2) Incerteza da medição de pressão com o transdutor e com a melhor curva
(3) Repetitividade
(4) Histerese
(5) A partir de quantas medidas a histerese passa a ser significativa?
39
4,43
5,75
7,40
8,98
10,60
12,20
13,70
15,30
16,82
18,40
19,94
 ~: ~,,,.
ANEXO 4
Circuito Medidor de Tensão
40
 ~: ~,,,.
Um circuito divisor de tensão é usado para medir a saida de um transdutor, cuja resistência total é R m =
(1000  10) . A resistência interna do multímetro é R v = (10000  500) . A tensão aplicada E o =
(24  0,05) V. Para valores de R = (250,0  2,5) , R = (500  5) , R = (750,0  7,5)  e R = (1000
 10)  , e para incerteza de medição do multímetro de  1% do valor lido, calcule :
(1) Valor medido pelo multímetro e erro sistemático.
(2) Incerteza do valor medido pelo multímetro.
Eo
Rm
R
Rv
E
41
 ~: ~,,,.
ANEXO 5
Calibração de um Termômetro de Líquido em Vidro
42
 ~: ~,,,.
Um termômetro de mercúrio em vidro, de imersão total, tem uma menor divisão de 0,5 oC, e escala de 11,0 oC a + 201,0 oC. Ele foi calibrado no LPT/ITUC com um padrão PT100 com incerteza de  0,05
o
C em toda a faixa. A leitura do objeto é feita com a metade do valor de uma divisão. O termômetro foi
calibrado em imersão parcial e apresentou os seguintes resultados.
Tabela 1 : Calibração de Termômetro de Mercúrio em Vidro
T p (oC)
T ind (oC)
T col (oC)
T sup (oC)
T amb (oC)
-10,01
-0,76
29,62
59,57
79,58
99,64
129,10
160,16
180,96
200,54
-9,50
-0,25
30,00
59,75
79,50
99,25
129,25
160,25
180,75
199,75
10,7
16,0
24,9
42,9
49,4
59,3
70,9
86,1
87,8
98,9
-15,00
-10,00
20,00
46,00
65,00
90,00
110,00
110,00
120,00
120,00
23,1
22,6
22,5
20,0
22,7
21,5
21,6
21,9
20,2
21,2
onde,
Tp
T ind
T col
T sup
Temperatura do padrão
Temperatura indicada pelo objeto
Temperatura média da coluna emergente
Temperatura indicada pelo objeto na interface banho - ar
A incerteza da temperatura média da coluna emergente é estimada em  2 oC.
Sabendo-se que a incerteza de calibração do laboratório é :
faixa de -50 oC < T < 100 oC, incerteza  0,1 oC
faixa de 100 oC < T < 200 oC, incerteza  0,2 oC
faixa de 200 oC < T < 300 oC, incerteza  0,3 oC
Pede-se determinar,
(1) Erro sistemático do objeto
`
(2) Incerteza de medição da temperatura com o objeto
(3) Interpolação para valores não calibrados e sua incerteza
43
 ~: ~,,,.
ANEXO 6
Calibração de um Termômetro de Resistência de Platina – Pt100
44
 ~: ~,,,.
A calibração de um termômetro de platina Pt100 do LPT/ITUC, foi feita na faixa de -50 oC a 300 oC,
comparando-se sua resposta com a de um termômetro de platina padrão, com incerteza em toda a faixa
de  0,01 oC. A incerteza de medição da resistência do Pt100 é  0,005 . A Tabela 1 apresenta os
resultados:
Tabela 1 : Calibração do Pt100
T p (oC)
R o ()
R ()
-41,66
-30,67
0,00
59,89
89,66
119,87
149,60
179,38
210,21
249,13
300,27
99,942
99,942
99,942
99,942
99,942
99,938
99,938
99,938
99,938
99,938
99,938
83,567
87,905
99,942
123,134
134,509
145,946
157,073
168,149
179,489
193,669
212,035
onde,
Tp
Ro
R
Temperatura do padrão
Resistência do objeto a 0 oC
Resistência do objeto a T p oC
Um ajuste pelo método dos mínimos quadrados deve ser usado para se obter uma relação entre a
resistência do objeto e a temperatura verdadeira, segundo a expressão :
R/R o = 1 + .T + .T2
(1)
Pede-se determinar
(1) Constantes  e 
(2) Incerteza de  e 
(3) Incerteza para se determinar a temperatura T a partir da Expressão (1), medindo-se as
resistências R e R o com as incertezas acima.
45