Resoluções Ângulos em um triângulo

Pré-vestibular – Matemática
Caderno 1 – Unidade IV – Série 2
Resoluções
Segmento: Pré-vestibular
Coleção: Alfa, Beta e Gama
Disciplina: Matemática
Volume: 1
Unidade IV: Série 2
Ângulos em um triângulo
1.
a) 2x + 80° + 40° = 180
2x + 120° = 180°
2x = 60°
x = 30°
b) 40° + 4x + x = 180°
5x = 140°
x = 28°
c) x − 10° + x = 90°
2x = 100°
x = 50°
ɵ = BCA = x .
d) Como AB = AC, temos que ABC
x + x + 100° = 180°
2x = 180°
x = 40°
ɵ = BCA = BAC = x .
e) Como AB = AC = BC, temos que ABC
x + x + x = 180°
3x = 180°
x = 60°
f) Pelo teorema do ângulo externo, temos:
70° + x = 110°
x = 40°
g) Pelo teorema do ângulo externo, temos:
x + 100° = 60° + 90°
x = 50°
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2.
a)
Note que:
α + x = 90°
∴ x = 30°

α + 30° = 90°
b)
Da figura, temos:
50° + α = 90° ∴ α = 40°
α + β = 90° ∴ β = 50°
β + x = 90° ∴ x = 40°
c)
Do triângulo menor: x + 20° + α = 90°
Do triângulo maior: 80° + α = 90°
Logo: x + 20° = 80° ∴ x = 60°
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3. E
Note que α + 140° = 180° ∴ α = 40°.
Como t // s temos que α = β, isto é, β = 40°.
Pelo teorema do ângulo externo temos: x + 90° = 120° + 40° ∴ x = 70°
4. B
Prolonguemos o segmento MN.
Como AC // MN , α = β e pelo teorema do ângulo externo, β + 90° = 4x. Logo:
α + 90° = 4α
90° = 3α
30° = α
5.
Do triângulo ABT e do ângulo externo, temos:
60° + α = 100° ∴ α = 40°
Assim, do triângulo ACT, temos:
40°+ 100° + x = 180° ∴ x = 40°
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6. D
Prolonguemos um dos lados.
Note que, pelo teorema do ângulo externo temos:
α = 35° + 70° ∴ α = 105°
Logo, x = 40° + α ∴ x = 145°.
7. A
Como o triângulo ABC é isósceles de base BC, temos:
2α = 2β, isto é α = β.
Do triângulo BPC, temos:
100° + α + β = 180°
100° + α + α = 180°
α = 40°
Do triângulo ABC, temos:
x + 2α + 2β = 180°
x + 4αx = 180°
x + 4 ⋅ 40° = 180°
x = 20°
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8.
Pelo teorema do ângulo externo temos:
α = a + b; β = g + h; γ = e + f; θ = c + d
Como PQ // RS , temos:
α + β = 180° a + b + g + h = 180°
⇒
⇒ a + b + c + d + e + f + g + h = 360°

 γ + θ = 180°
e + f + c + d = 180°
9. Como AD é bissetriz, então BAD = DAC = x , assim:
 x + b + β = 180°
∴ x + b + β = x + c + α ∴α − β = b − c

 x + c + α = 180°
Como queríamos demonstrar.
10.
ɵ =x.
a) Como AD = BD, então BAD = ABD
Pelo teorema do ângulo externo, BDC = x + x = 2x .
Como BD = BC, então BDC = BCD = 2x .
ɵ = BCA = 2x .
Como AB = AC, então ABC
Assim, temos a seguinte figura:
Logo:
x + 2x + 2x = 180°
5x = 180°
x = 36°
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ɵ = x.
b) Como AD = DE, então DEA
Pelo triângulo ADE e pelo teorema do ângulo externo, temos EDC = 2x .
DE = EC ∴ EDC = ECD = 2x . Pelo triângulo ACE e do teorema do ângulo
ɵ = 3x , logo:
externo, temos que CEB
ɵ = EBC
ɵ = 3x
EC = BC ∴ CEB
ɵ = 3x
AB = AC ∴ ACB = ABC
Obtemos a figura.
Assim:
x + 3x + 3x = 180°
7x = 180
180°
x=
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11. E
Como AC = CD, temos CDA = CA D .
Assim, x + x + 30° = 180° ∴ x = 75°.
Como AB = BC, temos BAC = BCA .
Assim, x + x + y = 180° ∴ 75° + 75° + y = 180° ∴ y = 30°
∴ x + y = 105°
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12. B
Como a figura foi obtida a partir de uma dobradura, temos que PA = PM, isto
é, PAM = PMA = a .
Assim, pelo teorema do ângulo externo, temos:
a + a = b ∴ b = 2a
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