Exercícios Trigonometria

Exercícios Trigonometria
Temas Abordados: Funções Trigonométricas e
Equações; Arcos na Circunferência; Redução ao
Primeiro Quadrante; Razões Trigonométricas
étricas.
1. (Upe 2014) Um relógio quebrou e está marcando a
hora representada a seguir:
Sabendo-se
se que a altura do teodolito corresponde a
130
30 cm, a altura do monumento, em metros, é
aproximadamente
a) 6,86.
b) 6,10.
c) 5,24.
d) 3,34.
4. (Uel 2014) Analise a figura a seguir.
Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma
direção, mas a velocidade do ponteiro menor equivale
9
a
da velocidade do ponteiro maior. Depois de
8
quantas voltas, o ponteiro pequeno vai encontrar o
ponteiro grande?
a) 3,0
b) 4,0
c) 4,5
d) 6,5
e) 9,5
2. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o
exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento
de 1cm e um lado com comprimento de x cm.
a) Encontre o valor de x.
b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
3. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior,
Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de
arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus
conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito
distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°,
conforme mostra a figura:
A questão da acessibilidade nas cidades é um desafio para o
poder público. A fim de implementar as políticas inclusivas,
a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) criou
normas para acessibilidade arquitetônica e urbanística.
Entre elas estão as de construção de rampas de acesso, cuja
inclinação com o plano horizontal deve variar de 5% a
8,33%.
%. Uma inclinação de 5% significa que, para cada metro
percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m.
Recorrentemente, os acessos por rampas não respeitam
essas normas, gerando percursos longos em inclinações
exageradas. Conforme a figura, observou-se
observou uma rampa de
acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa
igual a 2 metros.
Se essa rampa fosse construída seguindo as normas da
ABNT, com inclinação de 5%, assinale a alternativa que
apresenta, corretamente, a diferença de comprimento
dessas rampas, em metros.
a) 5
b) 20
1
c) 2 +
20
d)
401 − 2
e)
4,01 +
1
20
5. (Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS
está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP
e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, com
0 < α < β < π.
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Página 1
medidas, em graus, são números inteiros
pertencentes ao intervalo [91, 269].
P = cos91° ⋅ cos 92° ⋅ cos93° ⋅ ... ⋅ cos 268° ⋅ cos 269°
Sabendo que cos α = 0,8, pode-se concluir que o valor de
cos β é
a) −0, 8.
b) 0, 8.
c) −0, 6.
d) 0, 6.
e) −0, 2.
6. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com
40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.
Nessas condições, é correto afirmar que
1
a) −1 < P < − .
4
1
b) − < P < 0.
4
c) P = 0.
1
d) 0 < P < .
4
1
e) < P < 1.
4
9. (Uece 2014) Usando a expressão clássica do
desenvolvimento da potência (a + b)n , onde a e b são
números reais e n é um número natural, pode-se
resolver facilmente a equação
sen4 x − 4sen3 x + 6sen2 x − 4senx + 1 = 0. Então, para
os valores de x encontrados, teremos que cosx é igual
a
a) 1.
3
.
2
2
c)
.
2
d) 0.
b)
10. (Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação
2sen2 x − 3sen x + 1 = 0 tais que senp ≠ senq, então o
Usando a aproximação π = 3, a medida, em cm, do arco
externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo
formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no
horário mostrado, vale aproximadamente
a) 22.
b) 31.
c) 34.
d) 29.
e) 20.
valor da expressão sen2p − cos2 q é igual a
a) 0.
b) 0,25.
c) 0,50.
d) 1.
11. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no
primeiro lance e seis, no segundo lance de escada.
7. (Uece 2014) Se f : R → R é a função definida por
f(x) = 2senx + 1, então o produto do maior valor pelo
menor valor que f assume é igual a
a) 4,5.
b) 3,0.
c) 1,5.
d) 0.
8. (Insper 2014) Considere o produto abaixo, cujos fatores
são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas
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b) 10 6
c) 12 6
d) 28
e) 14 5
14. (Ufg 2013) Um topógrafo deseja calcular a largura de
um rio em um trecho onde suas margens são paralelas e
retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está
na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na
ˆ e
margem na qual se encontra, tais que os ângulos ABC
ˆ medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo,
ACB
então, mediu a distância entre B e C, obtendo 20 metros.
Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.
Dado: 3 ≈ 1,7.
15. (G1 - ifsp 2013) Na figura, ABCD é um retângulo em que
BD é uma diagonal, AH é perpendicular a BD,
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de
ˆ
comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD
mede:
9
a)
10
14
b)
15
29
c)
30
d) 1
12. (Fgv 2013) Um triângulo isósceles tem os lados
congruentes com medida igual a 5. Seja α medida do
ângulo da base, para a qual a área do referido triângulo é
máxima. Podemos afirmar que
a) 10° ≤ α < 20°
b) 20° ≤ α < 30°
c) 30° ≤ α < 40°
d) 40° ≤ α < 50°
e) 50° ≤ α < 60°
13. (Mackenzie 2013)
AH = 5 3 cm e θ = 30°. A área do retângulo ABCD, em
centímetros quadrados, é
a) 100 3.
b) 105 3.
c) 110 3.
d) 150 2.
e) 175 2.
16. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) “NASCIDOS PARA VOAR: 60
ANOS DE FUMAÇA JÁ”
Fonte: Jornal EPCARIANO – Ano 1, no 01 – p. 4
Em maio de 2012, o esquadrão EDA (Esquadrilha da
Fumaça) comemorou 60 anos de apresentações.
Para homenagear esse esquadrão foi realizado na EPCAR
um concurso em que os alunos teriam que criar um
desenho.
Uma das regras desse concurso foi: elaborar um desenho
usando conhecimentos de matemática.
O aluno vencedor apresentou o desenho em
circunferências conforme esquema abaixo.
Se na figura, AD = 3 2 e CF = 14 6, então a medida de
AB é
a) 8 6
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Página 3
π
6730
9
π
d) D =
6730
36
c) D =
2
π
e) D =   6730
3
Com base nas informações do desenho, julgue verdadeira
ou falsa cada afirmativa.
19. (G1 - cftmg 2013) Se o relógio da figura marca 8 h e 25
min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é
02. A menor soma das medidas dos comprimentos dos
arcos PS, GH, FK, e LM é igual a 6π.
04. A razão entre PS e ST, nessa ordem, é
2 3
.
3
08. PS e GH são congruentes.
1
16. AQ = EJ.
2
3 3
.
32. ST =
4
A soma das alternativas verdadeiras é igual a
a) 20
b) 22
c) 36
d) 44
17. (Ufg 2013) As cidades de Goiânia e Curitiba têm,
aproximadamente, a mesma longitude. Goiânia fica a uma
latitude de 16°40', enquanto a latitude de Curitiba é de
25°25'. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente
esférica, com a linha do equador medindo,
aproximadamente, 40000 km, a distância entre as duas
cidades, em quilômetros, ao longo de um meridiano,
a) é menor que 700.
b) fica entre 700 e 800.
c) fica entre 800 e 900.
d) fica entre 900 e 1000.
e) é maior que 1000.
18. (Uel 2013) Uma família viaja para Belém (PA) em seu
automóvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica
que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude
21°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. O motorista solicita a
um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e
obtenha o raio médio da Terra, que é de 6730 km, e as
coordenadas geográficas de Belém, que são latitude 1°20’
Sul e longitude 48°30’ Oeste. A partir desses dados,
supondo que a superfície da Terra é esférica, o motorista
calcula a distância D, do veículo a Belém, sobre o meridiano
48°30’ Oeste.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor
da distância D, em km.
π
a) D = 6730
9
π
b) D =
( 6730 )2
18
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a) 12° 30’.
b) 90°.
c) 102° 30’.
d) 120°.
20. (Uern 2013) A razão entre o maior e o menor número
inteiro que pertencem ao conjunto imagem da função
2π 

trigonométrica y = −4 + 2cos  x −
 é
3 

a) 2.
1
b) .
3
c) – 3.
1
d) − .
2
21. (Ufpr 2013) O pistão de um motor se movimenta
para cima e para baixo dentro de um cilindro, como
ilustra a figura.
Página 4
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura
h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela
expressão:
c) − 2
d) – 1
e)
 2πt 
h ( t ) = 4 sen 
 + 4.
 0,05 
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão
atinge.
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza,
funcionando durante um minuto?
22. (Ufsm 2013) Em muitas cidades, os poluentes emitidos
em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda
população. Durante o inverno, a poluição demora mais para
se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de
doenças respiratórias.
Suponha que a função
2
2
25. (Pucrs 2013) A figura a seguir representa um esboço do
x
gráfico de uma função y = A + B sen   , que é muito útil
4
quando se estudam fenômenos periódicos, como, por
exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o
produto das constantes A e B é
π

N ( x ) = 180 − 54 cos  ( x − 1) 
6

represente o número de pessoas com doenças
respiratórias registrado num Centro de Saúde, com
x = 1 correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, ao
mês de fevereiro e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças
respiratórias registrado nos meses de janeiro, março,
maio e julho é igual a
a) 693.
b) 720.
c) 747.
d) 774.
e) 936.
23. (Uem 2013) Com relação aos conceitos e às
propriedades de funções e equações trigonométricas,
assinale o que for correto.
01) A equação tg(x)=sen(x) não tem soluções.
02) Se f é definida por f ( x ) = sen ( x ) ⋅ cos ( x ) , então a
equação f(x)=0 tem como conjunto solução
π


 x ∈ | x = k ⋅ , k ∈ .
2


 π
04) A função f(x)=cos(x) é crescente no intervalo 0,  .
 2
08) O gráfico da função f, definida por
1
f ( x ) = sen ( x ) − sen ( 2x ) cos ( x ) , coincide com o
2
3
gráfico da função g, definida por g(x)=sen (x).
16) Para qualquer a ∈ , existe x ∈ , tal que tg(x)>a.
π

24. (Uepb 2013) Sendo f(x) = −4 cos  − x  + 2cos x, o
2


 7π 
valor de f  −
 é:
 4 
a) 6
b) 10
c) 12
d) 18
e) 50
26. (Ufpe 2013) Seja f uma função que tem como
domínio o conjunto dos números reais e é dada por
f ( x ) = a ⋅ sen ( ω ⋅ x + b ) , com a, ω e b constantes
reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao
 π 5π 
intervalo fechado  − ,
. A função f tem período
 6 6 
π e seu conjunto imagem é o intervalo fechado
[ −5,5].
Determine as constantes a e ω e o menor valor
positivo de b. Indique a2 + ω2 + 3b π .
a) 2
b) 2
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Página 5
27. (G1 - cftmg 2013) O conjunto formado pelas raízes da
 2x 
 3x 
função f(x) = cos   ⋅ cos   que estão contidas no
 3 
 2 
intervalo [0, π ] é
π 
a)  , π  .
3 
 3π 
b)  , π  .
 4

 3π 4 π 
c)  ,
.
 4 3 
 π 3π 
d)  ,
, π .
3 4

a) 26 3.
b)
3.
3
.
2
3
d)
.
3
c)
30. (Insper 2012) O professor de Matemática de Artur e Bia
pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras
científicas no modo “radianos” e calculassem o valor de
π
sen . Tomando um valor aproximado, Artur digitou em
2
sua calculadora o número 1,6 e, em seguida, calculou o seu
seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou o seno de 1,5,
28. (Upe 2012) Na figura a seguir, estão representados o
ciclo trigonométrico e um triângulo isósceles OAB.
obtendo o valor B. Considerando que
Qual das expressões abaixo corresponde à área do
triângulo OAB em função do ângulo α ?
a) tg α ⋅ sen α
π
correta ordenação dos valores A, B e sen .
2
π
a) sen < A < B.
2
π
b) A < sen < B.
2
π
c) A < B < sen .
2
π
d) B < sen < A.
2
π
e) B < A < sen .
2
1
⋅ tgα ⋅ cos α
2
c) sen α ⋅ cos α
1
d) ⋅ tgα ⋅ sen α
2
e) tg α ⋅ cos α
π
vale
2
aproximadamente 1,5708, assinale a alternativa que traz a
b)
29. (G1 - cftmg 2012) A figura abaixo representa uma
circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o
5π
ângulo α mede
radianos.
6
Solução Trigonometria
Resposta da questão 1:
[B]
Seja ω a velocidade do ponteiro maior.
A posição do ponteiro menor após t minutos é dada por
9
α = ωt, enquanto que a posição do ponteiro maior é
8
igual a β = π + ωt. Logo, para que o ponteiro menor
encontre o ponteiro maior, deve-se ter
9
ω t = π + ωt
8
⇔ ωt = 8 π.
α =β⇔
Portanto, o resultado pedido é
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é
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8π
= 4.
2π
Resposta da questão 2:
Página 6
a) Considere a figura.
Admitindo que 1,20m seja a distância do
teodolito ao eixo vertical do monumento,
temos:
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC,
ACD, ADE e AEF, vem
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Sendo x a altura do monumento, temos:
x − 1,30
= tg60°
1,20
AC = AB + BC = 12 + 12 = 2,
x − 1,30 = 1,20 ⋅ 3
AD = AC + CD = 2 + 12 = 3,
Logo, x é aproximadamente 1,30+2,04, ou seja, x = 3,34m.
AE = AD + DE = 3 + 12 = 4
Resposta da questão 4:
[D]
e
2
2
2
AF = AE + EF ⇔ x 2 = 4 + 12
⇔ x = 5 cm.
b) É imediato que BAC = 45°.
Rampa com inclinação de 5% :
Do triângulo ACD, temos
tgCAD =
CD
AC
⇔ CAD = arctg
1
2
< 45°.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
Do triângulo ADE, vem
tgD AE =
DE
AD
⇔ D AE = arctg
d2 = 12 + 202 ⇒ d = 401 m
1
3
= 30°.
EF
AE
⇔ E AF = arctg
Portanto, tem-se
α = BAC + CAD + DAE + EAF
Logo, a diferença pedida é de ( 401 − 2)m.
Resposta da questão 5:
[C]
Do triângulo AEF, segue
tgE AF =
1
5
=
⇒ x = 20m.
x 100
1
4
< 30°.
Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Como POQ = β − α = 90°, segue-se que β = α + 90°.
Além disso, sabendo que cos(α + 90°) = − sen α,
sen2 α + cos2 α = 1 e cos α = 0,8, com 0 < α < β < 180°,
temos
< 45° + 45° + 30° + 30°
= 150°.
Resposta da questão 3:
[D]
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cos β = cos(α + 90°)
= − sen α
= −0,6.
Página 7
Resposta da questão 6:
[B]
cos 91° ⋅ cos92° ⋅ cos93° ⋅ K ⋅ cos 268° ⋅ cos 269° = −
com α ∈ ]0, 1[, o que implica em −
o
Cada minuto do relógio corresponde a 6 , portanto,
α = 60° + 6° = 66°.
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se
desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
1
⋅ α,
4
1
< P < 0.
4
Resposta da questão 9:
[D]
sen 4 x − 4sen3 x + 6sen 2 x − 4senx + 1 = 0 ⇒ (senx − 1)4 = 0 ⇒ senx − 1 = 0 ⇒ senx = 1
Utilizando a relação Fundamental, temos:
2
2
sen x + cos x = 1
60min
54min
30°
β
2
2
1 + cos x = 1
Logo, β = 27°, portanto o arco pedido mede 66° + 27° =
93°.
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de
93°, temos:
93° ⋅ 2π ⋅ 20
= 31 cm (considerando, π = 3)
360°
2
cos x = 0
Portanto, cosx = 0.
Resposta da questão 10:
[B]
2sen2 x − 3sen x + 1 = 0
Δ = ( −3)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1
Δ =1
Resposta da questão 7:
[A]
senx =
Se sen x = 1, então f(x) = 21 + 1 = 3 (maior valor).
−( −3) ± 1 senx = 1
2⋅2
senx = 1/ 2
sen2p − cos2 q = sen2p − (1 − sen2 q) = sen2p + sen2 q − 1 = 12 + (1/ 2)2 − 1 = 1/ 4 = 0,25.
Se sen x = −1, então f(x) = 2
−1
3
+ 1 = (menor valor).
2
3 9
Logo, o produto pedido será 3 ⋅   = = 4,5.
2 2
Resposta da questão 8:
[B]
Resposta da questão 11:
[B]
Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano
horizontal, temos
AB = 8 ⋅ 30 = 240 cm,
1
Dentre os fatores de P, temos cos120° = cos 240° = −
2
e cos180° = −1. Além disso, cada um dos
(269 − 91 + 1) − 3 = 176 fatores restantes é um número
BC = 6 ⋅ 30 = 180cm
e
CD = (8 + 6) ⋅ 20 = 280cm.
real pertencente ao intervalo ] − 1, 0[.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
ABC, encontramos
Portanto, como o produto de um número par de fatores
negativos é um número positivo, segue-se que
2
2
2
2
AC = AB + BC ⇔ AC = 2402 + 1802
⇒ AC = 300 cm.
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Página 8
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
tg ACB =
AH
HB + BC
⇔ tg30° =
⇔
CD
280 14
tgCAD =
=
=
.
AC 300 15
Como cada ângulo da base mede α, segue que o ângulo do
vértice é igual a (180° − 2α ). Portanto, a área do triângulo
pode ser obtida por meio da expressão
AH + 20
3
AH
=
3
AH + 20
⇔ AH =
Resposta da questão 12:
[D]
AH
20 3
3− 3
⇔ AH = 10( 3 + 1)
⇒ AH ≅ 27 m.
Resposta da questão 15:
[A]
1 2
25
⋅ 5 ⋅ sen(180° − 2α ) =
⋅ sen2α.
2
2
Sabendo que a função sen 2α atinge seu valor máximo
para 2α = 90°, ou seja, α = 45°. Logo, 40° ≤ α < 50°.
Resposta da questão 13:
[C]
Considerando que o quadrilátero ABCF é um trapézio
isósceles, temos:
No triângulo ACD:
tg60° =
3 2
3 2
⇒ 3=
⇒ CD = 6 e EF = 6.
CD
CD
5. 3
⇒ AD = 10. 3
AD
5. 3
no ΔAHB ⇒ cos30o =
⇒ AB = 10
AB
no ΔAHD ⇒ sen30o =
Portanto a área do retângulo ABCD será dada por:
Logo, AB = DE = 14 6 − 6 − 6 = 12 6.
A = 10. 3.10 = 100 3
Resposta da questão 14:
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular
suur
baixada de A sobre a reta BC.
Resposta da questão 16:
[D]
$ = 135°, segue que ABH
$ = 180° − ABC
$ = 45°
Como ABC
e, portanto, o triângulo ABH é retângulo isósceles. Logo,
AH = HB.
Do triângulo AHC, obtemos
02) Falsa.
π π π
+ + + π = 2⋅π
3 3 3
04) Verdadeira. No triângulo PTS, temos: sen60°=
ST
3 ST
PS
2
PS 2 3
⇔
=
⇔
=
⇔
=
.
PS
2
PS
ST
ST
3
3
08) Verdadeira. Os triângulos EGH e APS são congruentes
pelo caso L.A.L.; portanto, as cordas PS e GH são
congruentes.
16) Falsa. No triângulo ANQ, temos
tg30° =
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AQ
3
3
⇔ AQ = AN ⋅
⇔ AQ =
⋅ EJ.
AN
3
3
Página 9
32) Verdadeira. No triângulo PTS, temos: PS = 1,5 e sen60°
=
ST
3 ST
3 3
⇔
=
⇔ ST =
.
PS
2
1,5
4
Somando as afirmações corretas, temos: 4 + 8 + 32 = 44.
Resposta da questão 17:
[D]
[B]
Supondo que a função esteja definida de
em , segue-se que a sua imagem é
Im = [ −4 + 2 ⋅ ( −1), − 4 + 2 ⋅ 1] = [ −6, − 2].
Portanto, o resultado é igual a
−2 1
= .
−6 3
Resposta da questão 21:
a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é
 2πt 
máximo, ou seja, sen 
 = 1.
 0,05 
hmáxima = 5 cm
b) Determinando o período P da função, temos:
P=
α = 25°25'− 16°40 ' = 8°45 ' = 8,75°
360° _______ 40 000km
8,75° ______ x
Resolvendo a proporção, temos: x = 972,2km.
Resposta da questão 18:
[A]
O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um
ângulo central cuja medida é
21°20 '− 1°20 ' = 20° ⋅
=
π
rad
180°
π
rad.
9
Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.730 km,
vem
D=
π
⋅ 6730km.
9
Resposta da questão 19:
[C]
O deslocamento do ponteiro das horas, em 25 minutos, é
25
= 12°30'. Logo, como o ângulo entre as
igual a
2
posições 5 e 8 mede 3 ⋅ 30° = 90°, segue que
x = 90° + 12°30' = 102°30'.
2π
= 0,05s.
2π
0,05
1 ciclo se realiza em 0,05; em 60s teremos 60/0,05 = 1200
ciclos completos
Resposta da questão 22:
[B]
Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos
simétricos, concluímos que:


π
2π
f(1) + f(3) + f(5) + f(7) = 4 ⋅ 180 − 54 ⋅  cos0 + cos + cos
+ cos π 
3
3


= 720.
Resposta da questão 23:
02 + 08 + 16 = 26.
[01] Incorreto. x = 0 é solução.
[02] Correto. Lembrando que uma função está bem
definida apenas quando se conhece o domínio, o
contradomínio e a lei de associação, iremos supor que
o domínio de f seja o conjunto dos números reais.
Logo,
1
sen(2x) = 0
2
⇔ sen(2x) = sen0
sen(x) ⋅ cos(x) = 0 ⇔
⇔
2x = k ⋅ 2π
2x = π + k ⋅ 2π
π
⇔ x = k ⋅ ,k∈ .
2
Resposta da questão 20:
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Página 10
Portanto, o conjunto solução da equação f(x) = 0 é

x ∈

Desse modo, como a imagem da função seno
é o intervalo [ −1, 1], deve-se ter

π
| x = k ⋅ , k ∈ .
2

 π
π
1
[04] Incorreto. Temos 0 < e f(0) = 1 > = f   .
3
2
3
[08] Correto. De acordo com o comentário do item (02),
iremos supor que o domínio e o contradomínio de f e
g sejam iguais. Desse modo, temos
1
f(x) = sen(x) − sen(2x)cos(x)
2
1
= sen(x) − ⋅ 2sen(x)cos(x)cosx
2
= sen(x) − sen(x)cos2 (x)
A + B[ −1, 1] = [ −1, 5] ⇒ [A − B, A + B] = [ −1, 5].
Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade
são A = 2 e B = 3. Por conseguinte, A ⋅ B = 2 ⋅ 3 = 6.
Resposta da questão 26:
Sabendo que o período fundamental da função seno é 2π,
e que o período de f é π, temos π = 2π ⇔ | ω | = 2.
|ω|
Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo
[ −1, 1], e a imagem de f é o intervalo [ −5, 5], temos
[ −5, 5] = a ⋅ [ −1, 1] ⇒ a = 5 (supondo senb > 0).
2
= sen(x) − sen(x)(1 − sen (x))
= sen3 (x)
= g(x).
Por conseguinte, como os valores de f e g são iguais
para todo x pertencente ao domínio de ambas,
segue-se que f e g são iguais e, portanto, seus
gráficos coincidem.
[16] Correto. Sabendo que a função f : D → , com


kπ
D =  x ∈ | x ≠ , k ∈  , definida por f(x) = tgx, é
2


uma função ilimitada superiormente, segue-se que para
todo a ∈ existe um real x, tal que tg(x) > a.
Resposta da questão 24:
[C]
Sabendo que cos( − x) = cos x, temos
 7π 
 9π 
 7π 
f −
 = −4 sen  4  + 2cos  − 4 
 4 




π
π
= −4 sen + 2cos
4
4
π
= −2 sen
4
= − 2.
Resposta da questão 25:
[A]
Lembrando que uma função está bem definida apenas
quando são fornecidos o domínio, o contradomínio e a lei
de associação, vamos supor que o domínio seja o conjunto
dos números reais, e que o contradomínio seja o intervalo
[ −1, 5].
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

Finalmente, como f  − π  = 0, temos:
 6
  π

 π

0 = 5 ⋅ sen 2 ⋅  −  + b  ⇔ sen  − + b  = sen0,
6
3



 

donde concluímos que o menor valor positivo de b que
satisfaz a igualdade é b = π .
3
Portanto,
a2 + ω2 +
3b
3 π
= 52 + 22 + ⋅ = 30.
π
π 3
Resposta da questão 27:
[D]
 2x 
 3x 
 2x 
 3x 
cos   ⋅ cos   = 0 ⇒ cos   = 0 ou cos  
 3 
 2 
 3 
 2 
2x π
3π
3π
 2x 
cos   = 0 ⇒
,k ∈
= + k ⋅ π,k ∈ ⇒ x =
+k⋅
3
2
4
2
 3 
3π
para k = 0, temos x =
4
9π
para k = 1, temos x =
(maior que π )
4
3x π
π
2π
 3x 
cos   = 0 ⇒
= + k ⋅ π, k ∈ ⇒ x = + k ⋅
,k∈
2
2
3
3
 2 
π
para k = 0, temos x =
3
para k = 1, temos x = π
5π
para k = 2, temos x =
(maior que π )
3
Página 11
sen1,5 < sen1,6 < 1.
 π 3π 
Logo, o conjunto solução da equação será  ,
, π .
3 4

Resposta da questão 28:
[C]
A triângulo =
Logo,
π
B < A < sen .
2
base × altura
2senα × cos α
⇒ A triângulo =
⇒ A triângulo = senα × cos α
2
2
.
Resposta da questão 29:
[B]
AB = − cos
AC = sen
5π
3
=−
6
2
5π 1
=
6
2
Portanto:
3
AB
2
=
= 3.
1
AC
2
Resposta da questão 30:
[E]
De acordo com a figura a seguir, concluímos que:
Circunferência trigonométrica
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