File - 2º Curso Preparatório PROFMAT

Solução do Simulado PROFMAT/UESC 2012
(1) Encontre uma fração equivalente a 9/5 cuja soma dos termos é igual a 196:
(A) 96/100
(B) 106/90
(C) 116/80
(D) 126/70
(E) 136/60
Solução:
9 14
126
9
= ·
=
5
5 14
70
(2) Um grupo de 6 pessoas é formado por André, Bento, Caio, Luisa, Maria e Neide. Apenas
uma das três mulheres é irmã de um dos três homens. Bento é filho único, tal qual Neide.
Maria é prima de Caio, André não tem irmãs e é tio de Maria. Os irmãos são
(A) Caio e Luiza
(B) Caio e Maria
(C) André e Neide
(D) André e Luiza
(E) Bento e Maria
Solução: Bento é filho único, tal qual Neide, diante disso, analisaremos André, Caio,
Luiza e Maria. Como Maria é prima de Caio e André é tio de Maria, segue que André não
é irmão de Caio. Também temos que André não é irmão de Luiza nem de maria pois ele
não tem irmãs. Agora analisando Caio, Luiza e Maria, podemos concluir que os irmãos
são Caio e Luiza pois Caio é primo de Maria.
(3) A quantidade de números múltiplos de 4, com 4 algarismos distintos que se pode formar
com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6} é igual a:
(A) 12
(B) 18
(C) 24
(D) 26
(E) 36
Solução: Um número será múltiplo de 4 quando seus dois últimos algarismos for um
múltiplo de 4. Assim temos as seguintes possibilidades para os dois últimos algarismos: 12,
16, 24, 32, 36, 64. Então, para os três primeiros algarismo temos 3 × 2 = 6 possibilidades.
Portanto, há 6 × 6 = 36 números múltiplos de 4, com 4 algarismos distintos.
(4) Comparando os números x = 92,5 .103 e y = 10240,1 .105 , podemos afirmar que:
(A) x= 43.y
(B) y=43.x
(C) x=4300+y
(D) y= 43000 + x
(E) x= 43000 + y
Solução:
x = 92,5 · 103 = 95/2 · 103 = 35 · 103 = 243 · 103 = 243.000
e
y = 10240,1 · 105 = (210 )0,1 · 105 = 2 · 105 = 200.000
1
2
Logo, x = 43000 + y.
(5) A média aritmética de 10 números é 2,35. Retirando um desses números, a média passa a
ser 2,75. O número retirado é igual a:
(A) -1,25
(B) -0,4
(C) -2,75
(D) -2,25
(E) 3,3
a1 + a2 + a3 + . . . + a10
= 2, 35. Suponha
Solução: Sejam a1 , a2 , a3 , . . . , a10 tais que
10
a1 + a2 + a3 + . . . + a9
que retiramos o número a10 e, assim,
= 2, 75.
9
Daı́,
a1 + a2 + a3 + . . . + a10
10
=
2, 35
⇒ a1 + a2 + a3 + . . . + a10
=
23, 5
⇒ a10
=
23, 5 − (a1 + a2 + a3 + . . . + a9 )
=
23, 5 − 2, 75 · 9
=
23, 5 − 24, 75
= −1, 25
(6) O gráfico abaixo nos dar informações sobre a velocidade de conexão à internet utilizada
em domicı́lios no Brasil. Analisando os dados do gráfico, podemos afirmar que:
(A) Menos de 25% dos entrevistados tem em seus domicı́lios banda larga de conexão de
pelo menos 256 kbps.
(B) Mais de 27% dos entrevistados não sabem informar sobre a velocidade de conexão.
(C) É predominante há banda larga de conexão de 1Mbps a 2Mbps.
(D) Mais de 20% dos entrevistados tem em seus domicı́lios banda larga de conexão de
2Mbps a 8Mbps.
(E) Menos de 20% dos entrevistados tem em seus domicı́lios banda larga de conexão de
2Mbps a 8Mbps.
Solução: ANULADA
(7) Dezoito litros de água foram dispostos em três garrafões. O maior deles tem o dobro da
capacidade de um dos outros dois e a diferença entre os volumes dos dois menores é de
dois litros. O volume do garrafão menor pode ser de:
(A) 1
3
(B)
(C)
(D)
(E)
2
3
4
5
Solução: ANULADA
(8) Na figura a seguir, dois triângulos equiláteros são sobrepostos de modo que a região comum
dos triângulos seja um hexágono com pares de lados paralelos e de perı́metro 12 cm. Qual
é o perı́metro de cada um dos triângulos?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
12 cm
16 cm
18 cm
24 cm
36 cm
Solução:
(9) Renata pagou R$ 102, 00 ao comprar um celular devido ao fato de ter feito o pagamento à
vista obtendo um desconto de 15%. Qual era o seu preço original?
(A) R$ 120, 00
(B) R$ 117, 30
(C) R$ 110, 00
(D) R$ 117, 00
(E) R$ 112, 00
Solução:
Valor à vista com o desconto = R$ 102, 00
Desconto = 15%
Valor do preço original = x
Assim,
x − 15%x
= 102, 00
x − 0, 15x
=
102, 00
x(1 − 0, 15)
=
102, 00
x
=
102,00
0,85
x
=
120, 00
(10) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Sejam M e N os pontos médios de AB e BC,
respectivamente. Dado que AN=19 e CM=22, determine a medida do segmento AC.
(A) 24
(B) 26
(C) 28
(D) 30
4
(E) 32
Solução: Sejam AB = 2y e BC = 2x, como mostra a figura abaixo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABN e BM C, obtemos
 2
+ 4y 2 = 192
 x

4x2
+
y2
=
2
222 .
2
Resolvendo o sistema, obtemos x = 105 e y = 64. Portanto,
AC 2 = 4x2 + 4y 2 = 4 · 105 + 4 · 64 = 676
e, assim, AC = 26.
(11) O número 16−3/4 é igual a:
(A) 2−1
(B) 2−2
(C) 2−3
(D) 1/16
(E) 1/32
Solução:
16−3/4 =
√
4
16
−3
= 2−3
(12) Assinale a alternativa verdadeira.
(A) Se f for uma função, então f (u + v) = f (u) + f (v)
(B) Se f (u) = f (v), então u = v
(C) Se f for uma função, então f (3u) = 3f (u)
(D) Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez
(E) Se f e g são funções, então f ◦ g = g ◦ f
Solução:
(13) Considere três quadrados de área igual a 1 inscritos no retângulo, como mostra a figura
abaixo.
A área√do retângulo é:
(A) 3√ 2
(B) 4 2
5
(C) 6 √
(D) 6 2
(E) 8
Solução: Consideremos a figura abaixo.
2
2
2
2
Usando o Teorema
√ de Pitágoras, obtemos 2x = 2 e 2y = 1 , donde concluimos que
√
√
√
2
. Portanto, a área do retângulo é igual ao produto da base ( 2 + 2)
x= 2ey=
2 √
√
2
pela altura ( 2 +
), isto é,
2
√ !
√
√ √
2
A=
2+ 2 ·
2+
= 6.
2
(14) Se a + b + c = 8, ab + ac + bc = 12 e abc = 4, o valor de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
6
7
8
9
10
b
c
a
+
+
é igual a:
bc ac ab
Solução:
b
c
a2 + b2 + c2
(a + b + c)2 − 2(ab + ac + bc)
a
+
+
=
=
= 10
bc ac ab
abc
abc
(15) Qual dever ser o valor de y para o número de divisores do número A = 22 .34 .5y seja igual
ao número de divisores do número B = 104 .38 .
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
(E) 16
Solução: Seja C = 2α 3β 5λ um número qualquer. O número de divisores de C é igual a
(α + 1)(β + 1)(λ + 1).
Assim, o número de divisores de B é igual a
(4 + 1)(4 + 1)(8 + 1) = 225.
Para que A tenha o mesmo número de divisores de B devemos ter
(2 + 1)(4 + 1)(y + 1) = 225.
Portanto, y = 14.
(16) Os valores de n ∈ R tais que a equação (2 − n)x2 + 2nx + n + 2 = 0 tenha duas raı́zes reais
distintas√e maiores
que zero devem pertencer ao intervalo:
√
(A) (− 2, √2)
√
(B) (−∞, − 2) ∪ ( 2, +∞)
6
√
(C) (−2,
√ − 2)
(D) ( 2, 2)
(E) (−2, 2)
Solução: Para determinar o número de raı́zes de uma equação do segundo grau ax2 +
bx + c = 0 calcula-se o valor do discriminante, isto é, o valor de ∆ = b2 − 4ac. Se o valor
encontrado for maior que zero então a equação do segundo grau tem duas raı́zes reais
distintas. Portanto, é preciso que
(2n)2 − 4(2 − n)(n + 2) > 0,
ou seja,
n2 − 2 > 0,
o que implica
n>
√
√
2 ou n < − 2.
Agora, para as raı́zes serem positivas devemos ter que o produto e soma sejam maiores que
0. Assim,
c
a
>0
n+2
2−n
>
0
n
>
−2
−b
a
>0
−2n
2−n
>
0
−2n
>
0
n
<
0
e
√
Portanto, o intervalo ao qual devem pertencer as raı́zes reais distintas positivas é (−2, − 2).
(17) Depois que o pai de Pedro faleceu, os dois irmãos de Pedro, sua mãe e ele receberam cada
um uma parte da herança. A irmã de Pedro e o irmão ficaram com a metade, distribuı́da
na proporção de 4 para 3, respectivamente. A viúva ganhou o dobro do que coube ao irmão
de Pedro, e Pedro, R$ 800, 00. Qual o valor da herança?
(A) R$ 7.200, 00
(B) R$ 8.400, 00
(C) R$ 11.200, 00
(D) R$ 15.800, 00
(E) R$ 13.700, 00
Solução: Sejam x o valor que a irmã de Pedro recebeu de herança, y o valor que o
irmão de Pedro recebeu de herança, z o valor que a viúva recebeu de herança e w o valor
total da herança. Assim, x + y + z + 800, 00 = w.
Temos que a irmã de Pedro e o irmão ficaram com a metade, isto é, x + y = w2 .
Distribuı́da na proporção de 4 para 3, respectivamente. Assim, xy = 43 , e obtemos que
x+y
4+3
w
2w
3w
x = 4 = 2x . Isolando os valores de x e y obtemos x = 7 e y = 7 .
A viúva ganhou o dobro do que coube ao irmão de Pedro, isto é, z = 2y. Substituindo
o valor de y temos z = 3w
7 .
Portanto,
7
x + y + z + 800, 00
⇒
2w
7
+
3w
14
+
⇒
3w
7
= w
+ 800, 00
−w
14
⇒w
=
w
=
−800, 00
=
11.200, 00
(18) Camila comprou uma cartolina retangular de 120 centı́metros de comprimento por 80
centı́metros de largura. Ela pintou 20% da cartolina. Ela faz isso pintando-a em duas
faixas de mesma largura nas laterais da cartolina, conforme mostra a figura. Qual é essa
largura?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
6
8
10
16
24
Solução: Seja x a largura de cada faixa. A área pintada por Camila é 2x · 120. Por
outro lado, Camila pintou 20% da área total, isto é, ela pintou
20
· 120 · 80 = 1920 cm2 .
100
Portanto, 240x = 1920 e, assim, x = 8.
20% de 120 · 80 =
(19) Sejam√a e b números reais. Assinale a alternativa correta.
(A) a2 + b2 = a + b
1
(B) a−b
= a1 − 1b
2
2
2
≤ a +b
(C) a+b
2
2
(D) (a + b)2 = a2 + b2
a
(E) 1+T
=1+T
a
Solução: Como
a−b
2
2
≥ 0,
para todo a, b números reais, segue que
a2 + b2 − 2ab
≥ 0,
4
ou seja,
a2 + b2
(a2 + 2ab + b2 )
−
≥ 0.
2
4
Isto implica que
a+b
2
2
≤
a 2 + b2
.
2
8
(20) Considere o conjunto A = r ∈ Q : r ≥ 0 e r2 < 3 . As seguintes afirmações são feitas sobre A:
I. 32 ∈ A e 1, 666... ∈ A
√
II. {x√∈ R : 0√< x < 3} ∩ A = φ
III. ( 2 + 7) 12 ∈ A
Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s) apenas
(A) I e II
(B) I e III
(C) II e III
(D) I
(E) II
Solução: I é verdadeira. Com efeito, o conjunto A é dado por
√
A = r ∈ Q : r ≥ 0 e r2 < 3 = [0, 3).
Diante disso, é fácil ver que 23 ∈ A e 1, 666... ∈ A.
II é falsa.
√
√
{x ∈ R : 0 < x < 3} ∩ A = (0, 3) 6= φ
III é falsa.
√
√
√
√
√
3 < 2 6 + 7 2 = ( 2 + 7) 12
(21) Para preparar um chocolate quente para 8 pessoas, foi necessário misturar 3 colheres de
chocolate com 7 copos de leite. Então, para preparar esse mesmo chocolate para 24 pessoas, mantidas as proporções, seriam necessários
(A) 6 colheres de chocolate e 14 copos de leite.
(B) 6 colheres de chocolate e 21 copos de leite.
(C) 9 colheres de chocolate e 14 copos de leite.
(D) 9 colheres de chocolate e 21 copos de leite.
(E) 12 colheres de chocolate e 28 copos de leite.
Solução:
x
(22) Sejam f (x) = x e g(x) = x+1
duas funções reais. Assinale a alternativa correta.
(A) Se x < −1, então f (x) < g(x)
(B) Se x < 0, então f (x).g(x) > 0
(C) Para todo x ∈ R, f (x) > g(x)
(D) Se −5/3 < x < 3, então g(x) ≤ f (x)
(E) Se x < 0, então f (x) > g(x)
Solução: (A) Verdadeira. De fato, para x < −1,
f (x) − g(x) = x −
x
x(x + 1) − x
x2
=
=
< 0.
x+1
x+1
x+1
Assim, f (x) < g(x).
(B) Falso, pois para x = −2,
f (−2) · g(−2) = (−2) · 2 = −4 < 0.
(C) Falso, pois para x = 0, f (x) = g(x).
9
3
(D) Falso. Para x = − , temos g (−3/2) = 3 e f (−3/2) = −3/2. Portanto, g(x) > f (x).
2
(E) Falso, pois para x = −2, f (−2) = −2 e g(−2) = 2, o que implica f (−2) < g(−2).
(23) O perı́metro de um retângulo é 100 centı́metros e a diagonal mede x centı́metros. Qual é
a área do retângulo, em centı́metros quadrados?
(A) 625 − x2
2
(B) 625 − x2
2
(C) 1250 − x2
2
(D) 250 − x2
2
(E) 2500 − x2
Solução: Sejam a e b as dimensões do retângulo. Sabendo que a+b = 50 e a2 +b2 = x2 ,
temos que a área A do retângulo é dada por
A =
a·b
=
a(50 − a)
=
50a − a2
=
50a − x2 + b2
=
50a − x2 + (50 − a)2
=
50a − x2 + 2500 − 100a + a2
=
2500 − 50a + a2 − x2
=
2500 − A − x2 .
Daı́ concluimos que
A = 1250 −
x2
.
2
(24) Permutam-se de todas as formas possı́veis os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e escrevem-se os números
assim formados em ordem crescente.
I. O número 43 521 ocupa o 90o lugar.
II. O 85o lugar é ocupado pelo número 43 152.
III. Podemos formar 120 algarismos distintos, usando-se estes algarismos.
Podemos afirmar, que é(são) verdadeira(s) apenas:
(A) I e II são verdadeiras
(B) I e III são verdadeiras
(C) II e III são verdadeiras
(D) Nenhuma afirmação é verdadeira
(E) Todas as afirmações são verdadeiras
Solução: ANULADA
(25) Nos três primeiros meses de funcionamento de uma pizzaria, 120 pizzas foram vendidas.
Somando três pizzas ao número de pizzas vendidas no primeiro mês, subtraindo três pizzas
ao número de pizzas vendidas no segundo mês e dividindo por três o número de pizzas
vendidas no terceiro mês, obtém-se o mesmo número. Comparando o número de pizzas
vendidas em cada um desses meses, o maior desses números é:
(A) Ímpar
(B) Menor que 40
(C) Divisı́vel por 7
(D) Cubo perfeito
10
(E) Múltiplo de 8
Solução: Sejam x o número de pizzas vendidas no primeiro mês, y o número de pizzas
vendidas no segundo mês e z o número de pizzas vendidas no terceiro mês. Temos que
x+y+z = 120. Sabemos que somando três pizzas ao número de pizzas vendidas no primeiro
mês, subtraindo três pizzas ao número de pizzas vendidas no segundo mês e dividindo por
três o número de pizzas vendidas no terceiro mês, obtém-se o mesmo número. Logo,
z
3+x=y−3= .
3
Isolando os valores de y e z em função de x obtemos, y = 6 + x e z = 9 + 3x.
Assim,
x+y+z
=
120
x + (6 + x) + (9 + 3x)
=
120
5x
=
120 − 15
x
=
21
Substituindo x em y e z temos que y = 27 e z = 72. Logo o maior desses números é um
múltiplo de 8.
(26) A figura ao lado é formada por dois quadrados de área 400 cm2 cada um, parcialmente
sobrepostos, de modo que o perı́metro da figura (linha mais grossa) é igual 100 cm. Qual
é a área da região comum aos dois quadrados, em cm2 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
50
100
200
400
450
Solução: Cada quadrado tem lado igual a 20 cm. Sejam X e Y as interseções dos
quadrados, como mostra a figura abaixo.
A reta XY divide a parte hachurada em 2 triângulos retângulos de catetos 20 cm e 10 cm.
Portanto, a área na região hachurada é
2·
20 · 10
= 200.
2
11
(27) A subtração das soluções da equação |x − 6|2 − 4|x − 6| − 5 = 0 é igual a:
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
(E) 13
Solução: Consideremos w = |x − 6|. Então w2 − 4w − 5 = 0 implica que w = 5 (w = −1
não satisfaz pois w ≥ 0). Assim, |x − 6| = 5 implica que x1 = 11 e x2 = 1. Portanto,
x1 − x2 = 10.
(28) No conjunto R dos números reais, a alternativa falsa é:
(A) Se 0 < x < 1 então x2 < x
(B) Se x > 1 então x2 > x
(C) Se x < y então x < x+y
2
(D) Se x(x2 − x − 2) = 0 então x = 0 ou x = 2 ou x = −1
(E) Se x < y e u < v então xu < yv
Solução: (A) Verdadeiro. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x, ou seja, x2 < x.
(B) Verdadeiro.
x > 1 ⇒ x · x > 1 · x ⇒ x2 > x
(C) Verdadeiro.
x < y ⇒ x + x < x + y ⇒ 2x < x + y ⇒ x <
x+y
2
(D) Verdadeiro. De fato, qualquer um dos valores x = 0, x = 2 ou x = −1 satisfaz a
equação.
(E) Falso. De fato, se x = −1, y = 2, u = −5, v = 1 então (−1).(−5) = 5 > 2.1 = 2.
(29) Em um curso de Inglês com 35 pessoas, 16 são homens e 11 são mulheres com 18 anos ou
mais. Se nesse curso há 15 pessoas com menos de 18 anos, o número de homens com 18
anos ou mais é:
(A) 10
(B) 9
(C) 8
(D) 7
(E) 6
Solução: O número total de pessoas é 35. Como 16 são homens, temos que 19 são
mulheres. Sabemos que 11 mulheres tem 18 anos ou mais, logo 8 mulheres tem menos de
18 anos. Sabemos também que 15 pessoas tem menos de 18 anos, e 8 delas são mulheres,
logo 7 são homens. Como há 16 homens e 7 deles tem menos de 18 anos obtemos que o
número total de homens com 18 anos ou mais é igual a 9.
(30) Para sua festa de aniversário Joana fez 144 brigadeiros para serem distribuı́dos igualmente
entre todas as pessoas que foram convidadas. No dia da festa faltaram 12 pessoas, ela
dividiu os 144 doces igualmente entre os convidados presentes, cabendo a cada convidado
um doce a mais.
O número de convidados que estavam presentes na festa era:
(A) 36
(B) 40
(C) 42
(D) 48
(E) 50
12
Solução: Sejam x o número de convidados e d a quantidade de brigadeiros para cada
pessoa da festa. A questão nos diz que
 144

=
d


x



144
x − 12
= d + 1.
Resolvendo o sistema, obtemos x = 48 e d = 3. Logo, o número de convidados que estavam
presentes na festa era x − 12 = 36.
(31) Um número é chamado capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para
a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo, o número 77. Quantos
são os números de três algarismos que são capicuas e pares?
(A) 40
(B) 50
(C) 69
(D) 99
(E) 120
Solução: Para formar um número temos os seguintes algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9. Como não podemos iniciar o número com o algarismo 0, restam 9 possibilidades
para o primeiro algarismo do número, mas como queremos que o número seja par, restam
4 possibilidades para o último algarismo. Assim temos 4 × 10 × 1 = 40 números de três
algarismos que são capicuas e pares.
(32) A nota de João na disciplina de Fı́sica será dada pela média aritmética das notas das
provas. Depois das duas primeiras provas sua nota era 3, com a terceira prova sua nota
aumentou um ponto. Que nota João tirou na terceira prova?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
Solução: Sejam n1 , n2 e n3 as notas de João das 1a , 2a e 3a provas, respectivamente.
Então




n1 + n2
2


 n1 + n2 + n3
3
=
3
=
4.
Daı́ obtemos n3 = 6.
(33) Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferências que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as
áreas hachuradas indicadas na figura. Então a diferença a − b é igual a:
13
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
1
2
π
r
2
0
r
rπ
Solução: Sejam S1 , S2 e S3 as áreas hachuradas como mostra a figura abaixo.
1 2
1
1
πr , S2 = πr2 e S3 = πr2 . Assim,
2
4
2
1
S1 + S2 + S3 + b = π(3r)2
4
⇒ b = πr2 .
A área a é a área de uma circunferência de raio r, isto é, a = πr2 .
Portanto, a − b = 0.
p
p
√
√
(34) Podemos garantir que o número x = 3 − 8 − 3 + 8 é:
(A) Irracional e positivo
(B) Inteiro e negativo
(C) Um número entre -1 e 0
(D) Múltiplo de 7
(E) Decimal e positivo
Daı́ vemos que S1 =
Solução:


x2



























√
√
p
√ p
√
8) − 2 3 − 8 · 3 + 8
=
(3 −
=
q
√
√
6 − 2 (3 − 8)(3 + 8)
=
√
6−2 9−8
=
4
8) + (3 +
⇒ x = ±2.
p
√
√
Como 3 − 8 < 3 + 8, segue que x < 0. Logo, x = −2, que é um número inteiro e
negativo.
p
(35) Quantos divisores positivos e pares o número 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 possui?
(A) 36
(B) 30
(C) 24
(D) 12
(E) 8
Solução: