Matemática - Escola Virtual

Matemática
Álgebra
› Princípios de equivalência. Equações lineares
Uma igualdade entre duas funções designa-se por equação. Caso as funções envolvidas sejam
funções afins a equação designa-se por equação linear com uma incógnita. Através dos
princípios de equivalência podemos determinar o conjunto-solução de uma equação linear.
› Princípio de equivalência da adição
Dada uma equação numérica, adicionando (ou subtraindo) o mesmo número racional a ambos
os membros da equação obtém-se uma equação que lhe é equivalente.
Ou seja, dado um número racional q, f (x)  g(x)  f (x)  q  g(x)  q .
ex.
2x  3  7  2x  3  3  7  3  2x  4
1
1
1
x  2  10  x  2  2  10  2  x  12
2
2
2
› Princípio de equivalência da adição – regra prática
Qualquer número (ou expressão) que esteja a somar ou a subtrair num membro de uma
equação pode passar para o outro membro a subtrair ou a somar, respetivamente.
ex.
2x  3  7  2x  7  3  2x  4
1
1
1
x  2  10  x  10  2  x  12
2
2
2
› Princípio de equivalência da multiplicação
Dada uma equação numérica, multiplicando (ou dividindo) ambos os membros de uma equação
por um mesmo número, não nulo, obtém-se uma equação que lhe é equivalente.
Ou seja, dado um número racional, não nulo, q, f (x)  g(x)  q  f (x)  q  g(x) .
ex.
2x  3  7  2x  4 
2x
4

 x 2
2
2
1
1
1
x  2  10  x  12  2  x  2  12  x  24
2
2
2
Nota que, em geral, a multiplicação por zero de uma dada equação não conduz a uma equação
equivalente.
2 
Por exemplo, o conjunto-solução da equação 5x  2 , em , é S    . No entanto, o conjunto5 
solução da equação 0  5x  0  2 , nesse mesmo domínio, é o conjunto dos números racionais.
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Matemática
› Princípio de equivalência da multiplicação – regra prática
Qualquer número, não nulo, que esteja a multiplicar ou a dividir num membro de uma
equação passa para o outro membro a dividir ou a multiplicar, respetivamente.
ex.
2x  3  7  2x  4  x 
4
 x 2
2
1
1
x
x  2  10  x  12 
 12  x  12  2  x  24
2
2
2
› Equações lineares
Designa-se por equação linear com uma incógnita, ou simplesmente equação linear, qualquer
igualdade de funções afins com a mesma incógnita, ou seja, uma equação f (x)  g(x) , tal que f
e g são funções afins.
Aplicando os princípios de equivalência, conclui-se que qualquer equação linear é equivalente a
uma equação cujo primeiro membro é dado por uma função linear e o segundo por uma função
constante, ou seja, equivalente a uma equação do tipo ax  b .
ex.
As seguintes equações são exemplos de equações lineares:
2x  1  x;
5x  x  1;
 3x  4  2x  1 .
Aplicando os princípios de equivalência, tem-se:
2x  1  x  2x  x  1  (2  1)x  1  x  1
5x  x  1  5x  x  1  (5  1)x  1  4x  1
 3x  4  2x  1  3x  2x  1  4  (3  2)x  3  5x  3
› Resolução de uma equação linear
Após reduzir uma equação linear à igualdade entre uma função linear e uma constante,
determina-se o seu conjunto-solução aplicando o princípio de equivalência da multiplicação.
b
Ou seja, dadas as funções lineares f e g, tem-se f (x)  g(x)  ax  b  x  , a  0.
a
ex.
5x  x  1  (5  1)x  1  4x  1  x 
1 
S  
4
ou
1
4
S  0,25
 3x  4  2 x  1  (3  2)x  3  5x  3  x 
3 
S  
5 
ou
3
3
 x 
5
5
S  0,6
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