PROF. ENZO

PROF. ENZO
IMERSÃO 4
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FUNÇÕES
RESUMO TEÓRICO:
DOMÍNIO: É O CONJUNTO DE VALORES QUE O X
PODE ASSUMIR PARA QUE EXISTA Y (PROJEÇÃO
DO GRÁFICO NO EIXO X)
Admitindo que Q = mt + p, temos:
Em 2010, t = 0 e Q = 49.
Em 2020, t = 10 e Q = 44
CONTRA DOMÍNIO: É O CONJUNTO DE VALORES
QUE O Y PODE ASSUMIR.
P = Q(0) = 49 e m 
IMAGEM: É O CONJUNTO DE VALORES QUE O Y
EFETIVAMENTE ASSUME (PROJEÇÃO DO GRÁFICO
NO EIXO Y).
1
Logo, Q   t  49.
2
44  49
1

10  0
2
FUNÇÃO SOBREJETORA: É AQUELA CUJO
CONTRA-DOMÍNIO É IGUAL A IMAGEM
FUNÇÃO INJETORA: VALORES DIFERENTES DO
DOMÍNIO RELACIONAM COM VALORES
DIFERENTES DA IMAGEM. A FUNÇÃO INJETORA É
CRESCENTE OU DECRESCENTE.
FUNÇÃO BIJETORA: É INJETORA E SOBREJETORA.
FUNÇÕES SOBREJETORAS ADMITEM INVERSAS.
2. (UEL 2015) ViajeBem é uma empresa de aluguel de
veículos de passeio que cobra uma tarifa diária de
R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro percorrido, em
carros de categoria A. AluCar é uma outra empresa que
cobra uma tarifa diária de R$ 146,00 mais R$ 2,00 por
quilômetro percorrido, para a mesma categoria de carros.
FUNÇÃO ÍMPAR: f(-x) = -f(x) EX: f(x) = senx
a) Represente graficamente, em um mesmo plano
cartesiano, as funções que determinam as tarifas
diárias cobradas pelas duas empresas de carros da
categoria A que percorrem, no máximo, 70
quilômetros.
FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
b) Determine a quantidade de quilômetros percorridos
para a qual o valor cobrado é o mesmo. Justifique sua
resposta apresentando os cálculos realizados.
FUNÇÃO PAR: f(-x) = f(x) EX: f(x) = cosx
1. (UFSM 2014) De acordo com dados da UNEP - Programa
das Nações Unidas para o Meio Ambiente, a emissão de
gases do efeito estufa foi de 45 bilhões de toneladas de
CO 2 em 2005 e de 49 bilhões de toneladas em 2010. Se as
emissões continuarem crescendo no mesmo ritmo atual, a
emissão projetada para 2020 é de 58 bilhões de toneladas.
Porém, para garantir que a temperatura do planeta não
suba mais que 2°C até 2020, a meta é reduzir as
emissões para 44 bilhões de toneladas. Suponha que a
meta estabelecida para 2020 seja atingida e considere que
Q e t representam, respectivamente, a quantidade de
gases do efeito estufa (em bilhões de toneladas) e o tempo
(em anos), com t  0 correspondendo a 2010, com t  1
correspondendo a 2011 e assim por diante, sendo Q uma
função afim de t .
a) Sejam f,g : [0, 70]  , com f(x)  1,5x  160 e
g(x)  2x  146, cujos gráficos estão representados na
figura abaixo.
A expressão algébrica que relaciona essas quantidades é
a) Q  
9
t  45.
10
c) Q  5t  49.
e) Q 
9
t  49.
10
b) Q  
1
t  49.
2
1
d) Q  t  45.
2
b) Queremos calcular o valor de x para o qual se tem
f(x)  g(x). Logo, segue que
1,5x  160  2x  146  x  28km.
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU
1. Seja f uma função quadrática dada por f(x) =ax² + bx + c e
a, b e c  R são constantes e cujo gráfico (parábola) está
esboçado na figura.
4-(GV) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem o
vértice no ponto ( 4, -1) e intercepta o eixo das
abscissas no ponto ( 5,0). Determine essa função.
RESP: F(X) =X² - 8X +15
FUNÇÃO COMPOSTA
1) Se f(x) = 3x-5 e f(g(x)) = x+3, calcule g(x)
Resp: g ( x) 
É correto afirmar-se que
a) a  0.
b) b  0.
c) c  0.
2
e) f(a  bc)  0.
2
d) b  4ac.
ALTERNATIVA D
x 8
3
2) Se f(x) = 3x-5 e g(f(x)) = x+3, calcule g(x)
Resp: g ( x) 
x  14
3
2. (AMAN) Uma indústria produz mensalmente x lotes de
um produto. O valor mensal resultante da venda deste
2
produto é V(x)  3x  12x e o custo mensal da produção
2
é dado por C(x)  5x  40x  40. Sabendo que o lucro é
obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e
o custo da produção, então o número de lotes mensais
que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é
igual a
a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes.
Seja L(x) o lucro obtido, então:
3. (UNICAMP 2015) Seja a um número real positivo e
considere as funções afins f(x)  ax  3a e g(x)  9  2x,
definidas para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação
f(x)g(x)  0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x))  g(f(x)) para
todo número real x.
a) Sendo a  0, temos
L(x) = V(x) – C(x) = – 2x2 + 28x + 40
O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por:
b
28

7
2a
2  ( 2)
ALTERNATIVA D
xV  
3- Um restaurante a quilo vende 140 kg de comida por dia
a R$ 21,00 o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou
que , a cada real de aumento no preço do quilo, o
restaurante deixa de vender o equivalente 5 kg de
comida.
a) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a
receita do restaurante como função da quantia x,em
reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado por
quilo de refeição.
RESP: F(X)=(140-5x).(21+x)
b) Qual deve ser a quantia x, em reais , a ser acrescida ao
valor cobrado para que o restaurante tenha a maior
receita possível ?
RESP: r$ 3,50
c) Qual é a receita máxima ?
r$ 3001,25
9

f(x)g(x)  0  a(x  3)  x    0

2
9
 3  x  .
2
Portanto, segue que x  {2,  1, 0, 1, 2, 3, 4}, ou seja, a
inequação possui 7 soluções inteiras.
b) Tem-se que
f(g(x))  ag(x)  3a  a(9  2x)  3a  2ax  12a
e
g(f(x))  9  2f(x)  9  2(ax  3a)  2ax  6a  9.
Logo, vem
f(g(x))  g(f(x))  2ax  12a  2ax  6a  9
1
a .
2
4. (UNICAMP 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos
estão representados na figura abaixo.
2-(UNIFESP) Considere as funções dadas por
f(x) =sen
x
e g(x)=ax+b, sendo o gráfico de g fornecido na
2
figura.
O valor de
a)

 é:
f g 1 2
2 /4
b) 1/2
c)
2 /2
d)
3 /2
e)13.
ALTERNATIVA C
O valor de f(g(1))  g(f(1)) é igual a
a) 0. b) – 1. c) 2. d) 1.
3a) Determine os conjuntos A e B ( mais amplos possíveis)
para que a função F: A B/ f(x) =x² -2x +4=0 admita
inversa
ALTERNATIVA D
5. (ESPM) A figura abaixo representa o gráfico cartesiano da
função f (x).
e
REsp: A= [1,∞[
Ou A= ]- ∞,1]
e
B= [3, ∞[
B= [3, ∞[
b) Nas condições do item a determine a função inversa de
f(x)=x²-2x+4
Se A= [1,∞[ então
Se
Sabendo-se que f (1) = 2, o valor de f
3
3
a) 1 b)
c)
2
4
 f  π  
5
d) 2 e)
2
A= ]- ∞,1]
f 1 ( x)  1  x  3
então
f 1 ( x)  1  x  3
4. (AMAN-2015) Considere a função bijetora
f : 1,     ,3, definida por f(x)   x 2  2x  2 e
seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa.
ALTERNATIVA D
O valor numérico da expressão a  b é
a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.
FUNÇÃO INVERSA
ALATERNATIVA B
1-(AMAN) Na figura abaixo está representado o gráfico de
uma função real do 1º grau f(x).
Os pontos comuns de uma função com a sua inversa são da
forma (a, a), portanto, para determinar estes pontos devemos
considerar f(x)  x na função dada. Daí, temos:
x   x2  2x  2   x2  x  2  0  x  1 [1,  ) ou x  2.
Logo, o ponto (a, b) pedido é (2, 2) e 2  2  4.
A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é
x
1
1
b) y  x 
c) y  2x  2
2
2
d) y  2x  2 e) y  2x  2
a) y 
ALTERNATIVA C
05. (MED. JUNDIAI) Sejam as funções f e g , de R em R,
definidas por f(x) = 2x - 1 e g(x) = kx + t. A função g
será inversa de f se, e somente se,
a)
k 1

t 4
funções definidas para x  0 . Se
1
inversa de g(x), resolva a equação f(f(x)) =
b) k - t = 1 c) k = 2t
d) k + t =0 e) k = t = 1/ 2
RESP: S= { 8 , -2 }
ALTERNATIVA E
06. (UFSJ) Sendo a função f  x   ax  b, tal que
f  f  x    9x  8, é CORRETO afirmar que
x
a) f 1  x    2
b) f  0  8
c) f  x   3x  4
 x  2
d) f 1  x  
3
3
ALTERNATIVA D
f  f  x    9x  8
a  ax  b   b  9x  8
a2 x  b  a  1  9x  8
a2  9, logo a  3 ou a  3.
Considerando a  3, temos:
b  3  1  8
b2
 x  2
Logo f  x   3x  2 e f 1  x  
3
OBS: Poderíamos também ter considerado a  3.
7-Considere a função f(x) = x² - 4x+3, de domínio
A=]-∞ , 2] .
a) Determine o contradomínio B para que a função f A B
seja bijetora
RESP:
1  x  2 duas
g ( x) é a função
8-(FUVEST) Sejam f(x) = 2x+5 e g(x) =
B   1, 
b) Determine a função
f 1 ( x)  2  x  1
f 1 (x)
g 1 ( x)