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1 Formulário Seqüências e Séries Diferença entre Seqüência e Série Uma seqüência é uma lista ordenada de números. Uma série é uma soma innita dos termos de uma seqüência. As somas parciais de uma série também formam uma seqüência que pode convergir ou divergir. Exemplo: a sequência {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · ·} é uma PG innita de primeiro termo 1 e razão 1/2. As somas nitas dessa PG são dadas por n X 1 1 − (1/2)n+1 Sn = = i 1 − (1/2) i=0 2 essa seqüência é da forma {3/2, 7/4, 15/8, 31/16, 63/32, · · ·}. O limite dessa seqüência para n → ∞ é a soma da série. Se essa soma for um número nito, a série converge, se a soma for ±∞ ela é divergente. Progressão Geométrica A soma de uma PG innita converge se sua razão r for tal que |r| < 1 nesse caso ela converge para ∞ X an = n a 1−r onde an = rn e a é o primeiro termo da PG. Teorema do Confronto Dadas 3 seqüências tais que para todo n, an ≤ bn ≤ cn , se limn→∞ an = L = limn→∞ cn , então, limn→∞ bn = L. Teorema: Condição Necessária para Convergência Se a série P∞ n=1 an converge, então limn→∞ an = 0. Cuidado! A condição limn→∞ an = 0 é necessária mas não é suciente para que uma série convirja. Por exemplo, a série harmônica ∞ X 1 n=1 1 n é tal que limn→∞ 1 n = 0, mas a série é, de fato, divergente. Teste para Divergência Se limn→∞ an 6= 0 ou se o limite não existir, então a série é divergente. P∞ n=1 an P n Note que uma série do tipo ∞ n=1 (−1) não vai a ±∞, mas é divergente n porque o limite limn→∞ (−1) não existe. Combinação de Séries Convergentes P Teorema: Se ∞ n=1 an e combinações também são: P∞ são séries convergentes, então as seguintes n=1 bn ∞ X βan = β n=1 ∞ X an n=1 ∞ X ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 n=1 ∞ X (an + bn ) = (an − bn ) = an + an − bn bn n=1 com β um número real qualquer. Teste da Integral Suponha que an = f (n) é uma função decrescente e positiva a P∞ partir de n = 1, então a série n=1 an é convergente se a integral Z ∞ 1 f (x)dx for convergente, caso contrário, se o resultado da integral for ±∞, a série é divergente. Note que no caso de convergência, o resultado da integral não é o resultado da soma da série, apenas um limite superior! Séries Harmônicas ou Sériesp Uma série do tipo ∞ X 1 n=1 2 np com p real é chamada série harmônica ou sériep. Uma série harmônica converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1. Critério de Convergência para Séries Alternadas P n Uma série do tipo ∞ n=1 (−1) an , com an positivos é chamada alternada, pois os sinais do termos alternam-se entre negativos e positivos. Considere uma série alternada. Se a seqüência an for decrescente e se limn→∞ an = 0, então a série é convergente. P ∞ k Exemplo: k=2 (−1) / ln k é convergente pois é alternada e 1/ ln k decresce e seu limite vai a zero quando k → ∞. Note que no caso de uma seqüência alternada limn→∞ an = 0 garante a convergência. Teste da Comparação P P ∞ Considere duas séries ∞ n=1 an e n=1 bn tais que 0 ≤ an ≤ bn a partir de um dado termo das seqüências. Nestas condições (i) Se P∞ (ii) Se P∞ n=1 bn n=1 converge, então an diverge, então P∞ n=1 P∞ an também é convergente. n=1 bn também é divergente. Se você descona que uma série converge, precisa encontrar outra série comprovadamente convergente cujos termos que estão sendo somados sejam maiores que o da série que você está considerando. Se você descona que uma série diverge, precisa encontrar outra série comprovadamente divergente cujos termos que estão sendo somados sejam menores que o da série que você está considerando. Teste da Comparação do Limite P P ∞ Considere duas séries ∞ n=1 bn tais que an > 0 e bn > 0 a n=1 an e partir de um dado termo das seqüências. Seja o limite an n→∞ b n L = lim se: 3 (i) L > 0 e real, então ou ambas as séries convergem, ou ambas divergem. (ii) L = ∞, se (iii) L = 0, se P∞ diverge, então P∞ an diverge. converge, então P∞ an converge. n=1 bn P∞ n=1 bn n=1 n=1 Teste da Razão P Considere a série ∞ n=1 an com an > 0 a partir de um certo termo da seqüência. Se o limite L = n→∞ lim an+1 an existir, nito ou innito, então: (i) L < 1, a série é convergente. (ii) L > 1 ou L = ∞, a série é divergente. (iii) L = 1, o teste nada revela. Teste da Raiz Considere a série P∞ n=1 an com an > 0 sempre. Se o limite 1 L = n→∞ lim (an ) n existir, nito ou innito, então: (i) L < 1, a série é convergente. (ii) L > 1 ou L = ∞, a série é divergente. (iii) L = 1, o teste nada revela. Veja que isso é bem parecido com o teste da razão, com a única diferença que os termos da seqüência nesse caso nunca podem ser negativos. Dica! Se o teste da razão for inconclusivo (L = 1), o teste da raiz também será, e vice-versa. 4 Séries Absolutamente e Condicionalmente Convergentes P Uma série ∞ n=1 an é chamada absolutamente convergente se a série P∞ |a | for convergente. n=1 n Uma série pode ser convergente, mas não absolutamente convergente. Por exemplo, a série ∞ X (−1)n n n=1 é uma série alternada convergente, mas a série ∞ X |(−1)n | n=1 |n| = ∞ X 1 n=1 n é uma sériep com p = 1, portanto divergente. Uma série deste tipo é chamada condicionalmente convergente. Teorema: Se uma série é absolutamente convergente, ela sempre é convergente. Séries de Potências Uma série de potências centrada em torno de um número real x0 é uma série do tipo ∞ X cn (x − x0 )n = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + · · · n=0 Para uma série deste tipo existem 3 a tão somente 3 possibilidades: (i) A série converge apenas para x = x0 . (ii) A série converge para todo x. (iii) Existe um número R > 0, chamado raio de convergência, tal que a série converge se |x − x0 | < R e diverge se |x − x0 | > R. O raio de convergência pode ser calculado como R = n→∞ lim 5 |an | |an+1 | desde que exista, nito ou innito. Se R é nito, a série converge no intervalo ]x0 − R, x0 + R[. Note que o intervalo é aberto, pois inicialmente nada se pode armar sobre a convergência nos extremos. Séries de Taylor A série de Taylor de uma função F (x) em torno de um número real x0 é dada por ∞ X F (n) (x0 ) F (x) = (x − x0 )n n! n=0 onde F (n) (x0 ) é a derivada de ordem n da função calculada em x = x0 . Note que isso é uma série de potências com coecientes dados por cn = F (n) (x0 ). A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, onde x0 = 0. 6
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