série infinita harmônica e as notas musicais

SÉRIE INFINITA HARMÔNICA E AS NOTAS MUSICAIS
BORO, M. C.
[email protected]
FRANCISCON, H. M.
[email protected]
MERLI, R. F.
[email protected]
Resumo: Este trabalho traz um estudo sobre as séries infinitas harmônicas, algumas das
suas propriedades, e também uma aplicação. Explica o conceito de divergência e
convergência e aplica nestas séries, contém uma breve apresentação histórica do
trabalho bem sucedido de grandes matemáticos para desenvolver, não só as séries
harmônicas, como também todas as séries infinitas.
Palavras-Chave: divergência, infinito, música.
Abstract: This paper presents a study of the infinite harmonic series, some of its
properties, and also an application. Explains the concept of convergence and divergence
and applies these series, contains a brief historical presentation of the successful work of
great mathematicians to develop not only the harmonic series, as well as all the infinite
series.
Keywords: divergence, infinite, music.
1. INTRODUÇÃO
As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade, pois relatos
apontam que os matemáticos Arquimedes e Pitágoras foram os seus grandes
precursores. Como apresenta Ávila (1996, p. 2) a primeira série de quem se tem
notícia é a “série geométrica de razão 1/4, que intervém no cálculo da área da
parábola feito por Arquimedes”.
Séculos mais tarde, Newton também desenvolveu alguns trabalhos nessa
área, que culminou com uma expressão que exprimisse potências racionais de
binômios por meio de séries.
Thomas (2003, p. 1) salienta que “muitos matemáticos usaram estas séries
para calcular resultados nunca alcançados”. Como exemplo Laplace usou-as para
provar a estabilidade do sistema solar.
As pesquisas de séries infinitas procuram investigar se determinada série é
convergente ou divergente. Nesse sentido, o objetivo deste trabalho é verificar se
a série harmônica, que é uma série infinita, é uma série convergente ou
divergente. O nome harmônica vem da semelhança com a proporcionalidade do
comprimento de onda sonoras. Estas séries têm grandes aplicações na música e
são objetos de nosso estudo.
O trabalho utilizará um dos testes presentes na literatura para provar se a
série harmônica é ou não divergente, para isso fará uma breve revisão
bibliográfica, onde será possível compreender as principais características e
propriedades dessas séries.
2. SÉRIES HARMÔNICAS.
Segundo Garbi (2010, p. 252-255) “Euler fez uma célebre descoberta
envolvendo a série harmônica (dos inversos dos números naturais).”
Seja a série geométrica
para
Se In I< 1, tal soma converge
. Euler tomou n como o inverso de um primo
qualquer e obteve
A série harmônica é provavelmente um das mais famosas séries em
matemática (Thomas, 2003, p. 35) e seu enésimo termo é dado por (1/n), onde n
compreende os números inteiros e positivos maiores ou iguais a um.
Segundo Ávila (1995 p. 55-56)
[...] a série harmônica, também a mais simples dentre as séries
divergentes com termo geral tendendo a zero. Aliás, para algum
aluno iniciante e inexperiente em séries infinitas é levado a crer
que a série
deva ser convergente, e não divergente. Afinal, os termos estão
decrescendo pra zero após uma soma muito grande deles,
contudo é necessário uma análise mais cuidadosa.
Existem algumas séries harmônicas especiais, por exemplo, a Série
Harmônica Alternada que é definida por:
De acordo com Thomas (2003, p. 34) “o teste da Integral pode ser usado
para resolver as questões de convergência de qualquer série com forma
), sendo p uma constante real. Tais séries são chamadas de p-séries. A p-série
com p=1 é a série harmônica.
O teste da p-série mostra que a série harmônica é divergente por um triz;
se aumentarmos p para 1, 000000001, por exemplo, a série converge. A lentidão
com a qual as somas parciais da série harmônica se aproximam do infinito é
muito impressionante.”
De acordo com ÁVILA (1995, p. 56)
O raciocínio usado nessa demonstração e ensinado nos cursos de
Cálculo consiste em agrupar os termos das séries, de forma que a
soma em cada grupo supere ½. Assim,
Em vista disso, concluímos que a série diverge.
Sabendo que a série diverge, procuramos usar essa propriedade em uma
de suas aplicações, como veremos na seção seguinte.
3.
APLICAÇÕES DAS SÉRIES HARMÔNICAS
Uma das grandes aplicações das séries harmônicas é na música. Segundo
Anderle (2001, p. 1-2)
O som emitido por um instrumento musical é resultado de uma
vibração. A série harmônica é resultado dos sons geradores e
mais as notas agudas. Se tomarmos como exemplo a corda de
um violão notaremos que além de vibrar em toda a sua extensão,
também vibra em sua metade, em sua terça parte, em sua quarta
parte e quinta parte, etc. produzindo sons cada vez mais agudos.
A vibração da corda pode ser definida como ciclos ou Hertz. [...] A
série harmônica é fisicamente infinita, e suas primeiras 16 notas
surgem ao subdividir uma corda vibrante (experiência de
Pitágoras) em 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 partes iguais.
Podemos observar o que Anderle descreveu por meio da Figura1.
Figura 1- Subdivisão de harmônicos
Fonte: http://pt.scribd.com/doc/56289539/Apostila-Acustica-Eletrica-Em-Audio
A Figura 1 mostra que cada nota omitida (ou também frequência
fundamental) por um instrumento ou objeto excita outros harmônicos, que
originam a série harmônica de frequências.
Segundo Thomas (2003, p. 35)
Os termos da série harmônica correspondem aos nós em uma
corda vibrando que produzem múltiplos da frequência
fundamental. Por exemplo, 1/2 produz o harmônico que é o dobro
da frequência fundamental, 1/3 produz uma frequência que é 3
vezes a frequência fundamental e assim por diante. A frequência
fundamental é a nota ou a altura do som mais baixa que ouvimos
quando uma corda é tangida.
Assim, podemos verificar na Figura 2, as notas musicais atreladas aos
termos da série harmônica.
Figura 2- Exemplo de uma série harmônica - nota dó como som fundamental
Fonte: http://www.estacaomusical.com.br/aprendendomusica/17/serie-harmonica
Segundo Bartz (2010)
A quantidade de harmônicos de um som fundamental é infinita.
Quanto mais afastados do som fundamental, menos audíveis e
consonantes os harmônicos vão ficando com relação à nota
principal. Os intervalos entre os harmônicos também se tornam
menores. A série harmônica nos permite observar os intervalos
consonantes e dissonantes com relação a uma nota específica.
Como a série diverge no infinito, então no infinito os harmônicos tendem a
se tornar inaudíveis.
4.
CONCLUSÃO
Foi possível com este trabalho concluir que as séries infinitas harmônicas
são séries divergentes, e que, uma de suas aplicações está relacionada às notas
musicais.
A pesquisa com séries ainda está em contínuo movimento, existem
estudos recentes principalmente na área da música, prova de que grandes
matemáticos como Euler terão sempre seus trabalhos lembrados pela grande
importância que tiveram.
Um exemplo disso é trabalho realizado por Castro
(2012) que propõe a fusão de duas grandes artes a música e a pintura, utiliza do
conceito de séries harmônicas para estabelecer uma cor para cada nota musical.
5.
REFERÊNCIAS
ANDERLE, D. Série Harmônica, 2001. Disponível em:<
http://www.dirsom.com.br/index_htm_files/Serie%20Harmonica.pdf>. Acesso em:
25 set 2012.
ÁVILA, G. As Séries Infinitas. In: Revista do Professor de Matemática–nº 30.
SBM. São Paulo, 1996.
ÁVILA, G. A Série Harmônica e a fórmula de Euler – MacLaurin. Disponível
em: <http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/Conteudo/n19/n19_Artigo05.pdf>.
Acesso em: 21 set 2012.
BARTZ, G. Série Harmônica, 2010. Disponível em: <
http://www.estacaomusical.com.br/aprendendomusica/17/serie-harmonica>
Acesso em: 29 set 2012.
CASTRO, D. S. Cores Harmônicas. Disponível em: <
http://culturadigital.br/dacio/2012/07/02/cores-harmonicas/> Acesso em: 29 set
2012.
GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da matemática. 5. ed., São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.
THOMAS, G. B. Cálculo, volume 2, 10. ed., São Paulo: Pearson Addison Wesley,
2003.