Integrais por substitui o
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Integrais por substitui o
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO a) ∫ sec 2 5 xdx Resolução du 1 ′ du Fazemos 5 x = u ⇒ (5 x ) = ⇒ 5= ⇒ 5dx = du ⇒ dx = du dx dx 5 Logo: 1 1 1 2 2 2 ∫ sec 5 xdx = ∫ sec u ⋅ 5 du = 5 ∫ sec u du = 5 tg u + c 1 Voltando u para x, temos: ∫ sec 2 5 xdx = tg (5 x) + c 5 b) ∫ ctg x dx Resolução cos x , assim temos que: sen x cos x 1 ∫ ctg x dx = ∫ sen x dx = ∫ sen x cos x dx du ′ du Agora fazemos sen x = u ⇒ (sen x ) = ⇒ cos x = ⇒ cos x dx = du dx dx E finalmente: cos x 1 1 ∫ ctg x dx = ∫ sen x dx = ∫ sen x cos x dx = ∫ u du = ln u + c = ln senx + c Observe que ctg x = x3 − 6x + 5 c) ∫ dx x Resolução x3 6x x3 − 6x + 5 dx = ∫ x ∫ x − x + 5 5 dx = ∫ x 2 − 6 + dx = x x 1 x3 ∫ x dx − 6∫ dx + 5∫ x dx = 3 − 6 x + 5 ln x + c 2 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I d) ∫ Prof.: Joaquim Rodrigues ax − b dx Resolução (ax − b )′ = du Fazendo ax − b = u ⇒ dx du dx ⇒ a= 1 1 ⇒ adx = du ⇒ dx = 1 du a 3 +1 1 1 1 u2 1 u2 2 ax − b dx = u du = u du = ⋅ + c = ⋅ +c = ∫ ∫ a a∫ a 1 a 3 +1 2 2 3 1 2 2 2 3 2 = ⋅ ⋅u 2 + c = u +c = (ax − b) 3 + c a 3 3a 3a e) ∫ senx ⋅ cos x dx Resolução du ′ du Fazemos sen x = u ⇒ (sen x ) = ⇒ cos x = ⇒ cos x dx = du dx dx u 1+1 u2 ( senx) 2 sen 2 x senx ⋅ cos x dx = u du = + c = + c = + c = +c ∫ ∫ 1+1 2 2 2 f) x ∫1+ x 2 dx Resolução Observe que x ∫1+ x 2 1 x dx 1+ x2 ′ du 1+ x2 = dx dx = ∫ ( Fazendo 1 + x 2 = u ⇒ xdx = ) ⇒ 2x = du dx ⇒ 2 xdx = du ⇒ 1 du 2 Logo: x 1 1 1 1 1 1 1 2 ∫ 1 + x 2 dx = ∫ 1 + x 2 x dx = ∫ u ⋅ 2 du = 2 ∫ u du = 2 ln u + c = 2 ln 1 + x + c g) x ∫1+ x 4 dx Resolução Observe que x ∫1+ x 4 Fazendo x 2 = u ⇒ x dx = ∫ 1 1 xdx = ∫ xdx 4 1+ x 1 + (x2 )2 (x )′ = du dx 2 ⇒ 2x = du dx ⇒ 2 xdx = du ⇒ xdx = 1 du 2 1 1 1 1 1 1 xdx = ∫ xdx = ∫ ⋅ du = ∫ du = 4 2 2 2 2 1+ u2 1+ x 1 + (x ) 1+ u 2 1 1 = arc tg u + c = arc tg ( x 2 ) + c 2 2 Daí ∫1+ x 4 dx = ∫ 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I h) Prof.: Joaquim Rodrigues et ∫ 1 + e 2 t dt Resolução et 1 t ∫ 1 + e 2 t dt = ∫ 1 + (e t ) 2 e dt ′ du du Daí, fazemos: e t = u ⇒ (e t ) = ⇒ et = ⇒ e t dt = du dt dt t e 1 1 Assim: ∫ dt = ∫ e t dt = ∫ du = arc tg u + c = arc tg (e t ) + c 2t t 2 1+ e 1 + (e ) 1+ u2 Observe que i) ∫ sec x ⋅ tg x 1 − sec 2 x Resolução Observe que sec x ⋅ tg x ∫ 1 − sec x 2 dx dx = ∫ 1 1 − sec x 2 Fazendo sec x = u ⇒ sec x ⋅ tg x dx = ∫ (sec x )′ = du 1 sec x ⋅ tg x dx 1 − (sec x) 2 du ⇒ sec x ⋅ tg x = ⇒ dx dx sec x ⋅ tg x dx = du Assim, temos que: sec x ⋅ tg x 1 1 ∫ 1 − sec 2 x dx = ∫ 1 − sec 2 x sec x ⋅ tg x dx = ∫ 1 − (sec x) 2 sec x ⋅ tg x dx = 1 ∫ 1 − u 2 du = arc sen u + c = arc sen (sec x) + c j) ∫a 5x dx Resolução Fazendo 5 x = u ⇒ (5 x )′ = du dx ⇒ 5= du dx ⇒ 5dx = du ⇒ dx = 1 du 5 1 u 1 au 1 a 5x 5x u 1 a dx = a ⋅ du = a du = ⋅ + c = ⋅ +c ∫ ∫ 5 5∫ 5 ln a 5 ln(5 x) k) ∫a x ⋅ e x dx Resolução Observe que x x x ∫ a ⋅ e dx = ∫ (a ⋅ e) dx Note que agora, faremos apenas a ⋅ e = A e desta forma, não estamos mudando a variável. Ax (ae) x x x x x a ⋅ e dx = ( a ⋅ e ) dx = A dx = + c = +c ∫ ∫ ∫ ln A ln (ae) 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I l) Prof.: Joaquim Rodrigues cos x + sen x dx sen 3 x Resolução cos x + sen x 1 cos x sen x cos x Veja ∫ dx = ∫ + dx = ∫ + dx 3 3 3 3 2 sen x sen x sen x sen x sen x ∫ 2 1 1 = (csc x )2 = csc 2 x Note ainda que = 2 sen x sen x cos x + sen x 1 cos x sen x cos x Logo: ∫ dx = ∫ + dx = ∫ + dx = 3 3 3 3 2 sen x sen x sen x sen x sen x cos x cos x = ∫ + csc 2 x dx = ∫ dx + ∫ csc 2 x dx = 3 3 ( sen x) sen x 1 =∫ cos x dx + ∫ csc 2 x dx ( sen x) 3 1 Vamos resolver a primeira integral: ∫ cos x dx e para isso devemos fazer ( sen x) 3 du ′ du sen x = u ⇒ (sen x ) = ⇒ cos x = ⇒ cos x dx = du dx dx 1 1 1 u −2 −3 cos Donde ∫ x dx = du = u du = +c =− 2 +c = 3 3 ∫ ∫ −2 ( sen x) 2u u 1 1 =− +c =− +c 2 2 ( sen x) 2 sen 2 x E agora a segunda integral que é ∫ csc 2 x dx = −ctg x + c E finalmente as duas juntas: 1 1 2 ∫ ( sen x) 3 cos x dx + ∫ csc x dx = − 2sen 2 x − ctg x + c m) 1 ∫ 1 + 4x 2 dx Resolução 1 dx 1 + (2 x) 2 du 1 ′ du ⇒ 2= ⇒ 2dx = du ⇒ dx = du Fazemos 2 x = u ⇒ (2 x ) = dx dx 2 1 1 1 1 1 1 Agora temos ∫ dx = ∫ dx = ∫ du = ∫ du = 2 2 2 2 1+ u2 1 + 4x 1 + (2 x) 1+ u 2 1 1 = arc tg u + c = arc tg (2 x) + c 2 2 Observe que 1 ∫ 1 + 4x 2 dx = ∫ 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I n) 3 1 ∫ cos x ⋅ x 2 Prof.: Joaquim Rodrigues dx Resolução 3 1 −1 −2 ∫ cos x ⋅ x 2 dx = ∫ cos (3x ) ⋅ x dx ′ du Agora fazemos 3 x −1 = u ⇒ 3 x −1 = dx ( ) du ⇒ − 3 x −2 dx = du dx 1 − 3 x − 2 dx = du (−1) ⇒ 3 x −2 dx = −du ⇒ x − 2 dx = − du 3 3 1 1 E finalmente ∫ cos ⋅ 2 dx = ∫ cos (3 x −1 ) ⋅ x − 2 dx = ∫ cos u ⋅ − du = x x 3 1 1 1 1 3 = − ∫ cos u du = − sen u + c = − sen 3 x −1 + c = − sen + c 3 3 3 3 x ⇒ − 3 x −2 = ( o) ∫ tg 2 ) x dx Resolução 2 sen 2 x 1 − cos 2 x 1 cos 2 x 1 − 1 = (sec x) 2 − 1 Observe que tg x = = = − = cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos x Ou seja tg 2 x = sec 2 x − 1 , logo: 2 ∫ tg p) 2 x dx = ∫ (sec 2 x − 1) dx = ∫ sec 2 x dx − ∫ dx = tg x − x + c ∫ (tg θ + ctg θ) 2 dθ Resolução Observe que: (tg θ + ctg θ) 2 = tg 2 θ + 2 ⋅ tg θ ⋅ ctg θ + ctg 2 θ = tg 2 θ + 2 ⋅ tgθ ⋅ 1 + ctg 2 θ = tg θ = tg 2 θ + 2 + ctg 2 θ = tg 2 + 1 + 1 + ctg 2 θ = sec 2 θ + csc 2 θ 123 1 424 3 sec 2 θ csc 2 θ Logo, temos que ∫ (tg θ + ctg θ) 2 dθ = ∫ (sec 2 θ + csc 2 θ) dθ = ∫ sec 2 θ dθ + ∫ csc 2 θ dθ = tg θ + (−ctg θ) + c = tg θ − ctg θ + c 5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I q) Prof.: Joaquim Rodrigues 1 + sen x ∫ x − cos x dx Resolução Fazemos x − cos x = u ⇒ ( x − cos x)′ = du dx ⇒ 1 − (− sen x) = du dx ⇒ du ⇒ (1 + sen x) dx = du dx Agora, temos que 1 + sen x 1 1 ∫ x − cos x dx = ∫ x − cos x (1 + sen x)dx = ∫ u du = ln u + c = ln x − cos x + c 1 + sen x = r) sen x ∫ 1 − cos x Resolução dx Fazemos 1 − cos x = u ⇒ (1 − cos x)′ = sen x = du dx ∫ u 1 2 du = ∫ u ⇒ 0 − (− sen x) = du dx ⇒ ⇒ sen x dx = du Agora temos que 1 du dx − 1 2 ∫ sen x 1 − cos x u − 1 +1 2 1 dx = ∫ 1 − cos x 1 2 sen x dx = ∫ 1 u du = 1 u 2 du = +c = + c = ⋅ u 2 + c = 2 ⋅ u + c = 2 1 − cos x + c 1 1 1 − +1 2 2 et + 2 s) ∫ t dt e + 2t Resolução et + 2 1 t ∫ e t + 2t dt = ∫ e t + 2t ⋅ (e + 2)dt du du Agora fazemos e t + 2t = u ⇒ (e t + 2t )′ = ⇒ et + 2 = ⇒ (e t + 2)dt = du dt dt et + 2 1 1 E finalmente ∫ t dt = ∫ t ⋅ (e t + 2)dt = ∫ du = ln u + c = ln e t + 2t + c u e + 2t e + 2t Observe que 6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I t) Prof.: Joaquim Rodrigues 1 ∫ x ⋅ ln x dx Resolução Observe que podemos fazer 1 1 du dx E fazemos ainda ln x = u ⇒ (ln x)′ = 1 1 1 1 ∫ x ⋅ ln x dx = ∫ ln x ⋅ x dx = ∫ u du = ln u) ∫ (1 + 3 x) ⋅ x Resolução 1 ∫ x ⋅ ln x dx = ∫ ln x ⋅ x dx 1 du = x dx ⇒ ⇒ 1 dx = du x u + c = ln ln x + c dx ∫ (1 + 3 dx = 3∫ 1 ⋅ 1 dx 1+ x x 1 1 1 ′ du 1 2 − 1 du 1 − 2 du 2 ⇒ ⋅x = ⇒ ⋅x = ⇒ Fazemos 1 + x = u ⇒ 1 + x = dx 2 dx 2 dx 1 1 1 1 1 ⋅ 1 dx = du ⇒ ⋅ dx = du ⇒ dx = 2du 2 2 2 x x x 3 1 1 1 1 1 Logo ∫ dx = 3∫ ⋅ dx = 3∫ ⋅ 2du = 3 ⋅ 2∫ du = 6∫ du = u u u (1 + x ) ⋅ x 1+ x x Note que x)⋅ x = 6 ln u + c = 6 ln 1 + x + c v) ∫ 3 x 2 + 1 ⋅ xdx Resolução Fazendo 3 x 2 + 1 = u ⇒ (3 x 2 + 1)′ = du du ⇒ 6x = dx dx ⇒ 6 xdx = du ⇒ xdx = Agora 1 1 +1 3 3 1 1 1 u2 1 u2 1 2 2 2 3 x + 1 ⋅ xdx = u du = u du = ⋅ + c = ⋅ + c = ⋅ ⋅u 2 + c = ∫ ∫ 6 ∫ 6 6 1 6 3 6 3 +1 2 2 2 1 1 = 2 u3 + c = u3 + c = (3 x 2 + 1) 3 + c 18 9 9 7 1 du 6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I w) ∫ 2 + 3x 1 + 4 x + 3x 2 Resolução Prof.: Joaquim Rodrigues dx Fazendo 1 + 4 x + 3 x 2 = u ⇒ (1 + 4 x + 3 x 2 )′ = 2( 2 + 3 x ) = du dx Agora temos que du dx ⇒ 4 + 6x = ⇒ 2(2 + 3 x) dx = du ⇒ (2 + 3 x) dx = 2 + 3x ∫ 1 + 4 x + 3x 2 dx = ∫ 1 1 + 4 x + 3x 1 − +1 2 1 2 du dx ⇒ 1 du 2 (2 + 3x) dx = ∫ 1 1 ⋅ du = u 2 1 1 1 − 1 1 1 1 u 1 u2 1 2 2 du = u du = ⋅ + c = ⋅ + c = ⋅ ⋅u 2 + c = u 2 + c = 1 ∫ ∫ 1 2 1 2 2 2 2 1 − +1 u2 2 2 = u + c = 1 + 4 x + 3x 2 + c x) ∫ sec x dx Resolução Aqui precisamos fazer um pequeno artifício sec x + tg x sec 2 x + sec x ⋅ tg x sec x dx = sec x ⋅ dx = dx ∫ ∫ ∫ sec x + tg x sec x + tg x Agora fazemos sec x + tg x = u ⇒ (sec x + tg x)′ = sec x ⋅ tg x + sec 2 x = du dx du dx ⇒ (sec x)′ + (tg x)′ = ⇒ (sec x ⋅ tg x + sec 2 x) dx = du sec x + tg x sec 2 x + sec x ⋅ tg x dx = ∫ E finalmente ∫ sec x dx = ∫ sec x ⋅ dx = sec x + tg x sec x + tg x 1 1 =∫ (sec 2 x + sec x ⋅ tg x) dx = ∫ du = ln u + c = ln sec x + tg x + c sec x + tg x u 8 du dx