História dos Números Complexos Arquivo

Números Complexos
Prof. Renato Mucciacito
Conteúdo Abordado
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Histórico
A unidade imaginária
Forma algébrica
Conjunto dos Números Complexos
História
Século XVI
Niccolo
Tartaglia
Descobriu uma fórmula
geral para resolver equações
do tipo x³ + px = q, com p, q €
IR.
Século XVI
Gerônimo Cardano
Publicou a obra que apresentava
a fórmula descoberta por Tartaglia.
Mas a primeira dificuldade surgiu
quando Cardano aplicou essa
fórmula na resolução da equação x³
– 15x = 4, chegando à solução:
𝒙=
𝟑
𝟐+
−𝟏𝟐𝟏 +
𝟑
𝟐−
−𝟏𝟐𝟏
Século XVI
Gerônimo Cardano
Nela aparece a raiz quadrada de
um número negativo, o que era
considerado inexistente na época.
Porém, Cardano já sabia que x = 4
era uma solução para a equação x³ 15x = 4, porque:
4³ - 15.4 = 4 => 64 – 60 = 4.
Cardano não conseguiu
compreender como aplicar a fórmula
nesse caso.
Século XVI
Raphael Bombelli
Prosseguiu com a solução
encontrada por Cardano e, usando
aquilo que chamou de “ideia louca”,
considerou −1 um número
“imaginário” e desenvolveu regras
para trabalhar com esse tipo de
número.
A partir de então, outros
matemáticos trabalharam com esses
números.
Século XVIII
Leonard Euler
Usou pela primeira vez o
símbolo i para representar −1.
Século XIX
Carl Friederich Gauss
Em 1801 usou o símbolo i, criado
por Euler e, após seu uso, esse
símbolo se tornou amplamente
aceito.
Em 1831, fez um estudo,
independentemente
de
Argand,
sobre representação geométrica dos
números complexos. Em 1832
Gauss introduziu a expressão
número complexo.
Unidade
Imaginária
Se i = −𝟏, então i² = -1
Assim, podemos resolver equações que em R não têm
solução.
Exemplo:
𝑥² + 9 = 0 => 𝑥² = −9 => 𝑥 = ± −9
Anteriormente, terminaríamos a conta aqui, não
havendo resultado. Mas com o uso do i² = -1, teremos:
𝑥 = ± −9 => 𝑥 = ± 9𝑖² => 𝑥 = ±3𝑖
Resolvendo assim a equação. Mas estes números NÃO
pertencem aos números reais, mas sim aos Números
Complexos.
A forma Algébrica de
um Número Complexo
Todo número complexo pode ser escrito
na forma z = a + bi. O que é chamado de
forma algébrica do número complexo z.
Onde a é a parte real - RE(z) - e b a parte
imaginária - Im(z).
Conjunto dos
Números Complexos
Com aparecimento dos números
complexos, consequentemente, surgiu o
conjunto dos números complexos,
representado por C. Quando a parte
imaginária de um número z é 0, nós temos
um número real. Portanto, o conjunto dos
Números Reais está contido no conjunto dos
Números Complexos.
Ou seja: