se cancelam e obtemos a=2.

ANÁLISE DE MÉTODOS
MÁTEMÁTICOS
NÚMEROS COMPLEXOS
Leia e descubra que eu não vim
do além
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PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva
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Os números complexos desempenham um papel
extremamente importante nos mais diversos ramos
da Matemática e têm aplicação em outros áreas do
conhecimento.
Em geral, os números complexos são introduzidos no
ensino médio para resolver equações do segundo
grau com discriminante negativo. As equações do
segundo grau aparecem em muitas tabuletas de
argila da Suméria, por volta do ano 1700 a.C. e,
ocasionalmente, levaram a radicais de números
negativos; porém, não foram elas, em momento
algum, que sugeriram o uso de números complexos.
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Por volta de 1500 d.C., a impressão que se tinha é
que, com a criação dos números reais – que tinham
representação para a solução de todos os problemas
de medida -, não seria mais necessária a ampliação
de nenhum campo numérico. O pensamento corrente
era que “um número negativo não é raiz quadrada
de nenhum número; logo, não existe raiz quadrada
de um número negativo”.
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EQUACIONANDO A MATEMÁTICA
Em 1545, o matemático, físico e médico italiano,
Girolano Cardano (1501-1576), publicou uma obra,
Ars magna, que iria causar um grande impacto sobre
os algebristas da época. Nessa obra são apresentadas
ao conhecimento público, pela primeira vez, as
resoluções da cúbica (equação de 3º grau) e da
quártica (equação de 4º grau). A importância da
publicação da Ars magna foi tão grande que o ano
de 1545 passou a ser considerado o marco inicial do
período moderno na Matemática.
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É importante assinalar, no entanto, que
Cardano não foi o descobridor original das
soluções da cúbica e da quártica. A sugestão
para a solução da cúbica, como o próprio
Cardano afirmou em sua obra, lhe foi
fornecida pelo matemático italiano Niccolo
Tartaglia (cerca de 1500-1557) e a solução da
quártica tinha sido descoberta inicialmente por
outro matemático italiano e antigo auxiliar de
Cardano, Ludovico Ferrari (1522-1565).
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O fato que Cardano nunca mencionou é que
ele obteve o “segredo” da resolução da cúbica
sob juramento solene de não o revelar a
ninguém; já que Tartaglia pretendia firmar a
sua reputação de matemático, publicando a
dedução da fórmula como sendo o coroamento
de um tratado de Álgebra. A deslealdade de
Cardano mostra como a evolução das ciências
nem sempre é movida por bons propósitos. O
próprio Tartaglia, vítima de Cardano no evento
mencionado, foi, em outros momentos,
acusado de apropriações científicas indébitas.
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Na obra publicada por Cardano, a fórmula utilizada
para a resolução das cúbicas do tipo x3 + ax + b = 0 :
b
3
x= − +
2
2
3
b
a
b
3
+
+ − −
4
27
2
2
3
b
a
+
4
27
Tendo conhecimento dessa fórmula, outro algebrista
italiano, Rafael Bombelli (cerca de 1526-1573), viuse diante de um interessante impasse. Ele sabia que a
cúbica x3-15x+4=0 tinha o número 4 como uma de
suas raízes, já que:
43 - 15.4 – 4 = 0
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Raphael Bombelli era um admirador da Ars Magna de
Cardano, publicada em 1545, mas achava que seu estilo de
exposição não era claro. Decidiu, então, escrever um livro
expondo os mesmos assuntos, mas de forma tal que um
principiante pudesse estudá-los sem necessidade de
nenhuma outra referência. Em 1572, Bombelli publicou
l’Algebra, obra na qual ele estuda a resolução de equações
de grau não superior a quatro e na qual considera a equação
x3=15x+4. Ao aplicar a fórmula de Cardano para o cálculo
de uma raiz, obtém:
3
3
x = 2 + −121 + 2 − −121
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Seguindo Cardano, Bombelli percebe que 4 é, de fato, uma
raiz da equação proposta, ou seja, que 3 2 + −121 + 3 2 − −121 = 4 .
Assim, pela primeira vez, nos deparamos com uma situação
em que, apesar de termos radicais de números negativos,
existe verdadeiramente uma solução da equação proposta. É
necessário, então, compreender o que está acontecendo.
Bombelli concebe daí a existência de expressões da forma
que possam ser consideradas,
a +
− b
e a −
− b
respectivamente, como 3 2 + −121 + 3 2 − −121.
Substituindo as expressões na igualdade acima, ele escreve
a +
− b
e a −
− b =4.
Neste ponto, felizmente,as
quantidades “não existentes” se cancelam e obtemos a=2.
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Com esse resultado, pode-se voltar à
3
equação ( a + −b ) = 2 + −121 e deduzir
que b=1. Assim, ele obtém que:
3
2 + −121 = 2 + −1
3
2 − −121 = 2 − −1
x = 2 + −1 + 2 − −1 = 4
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Evolução histórica dos números complexos:
- O símbolo −1 foi introduzido em 1629 por Albert
Girard.
- No século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler
(1707-1783) usou pela primeira vez o símbolo i para
representar −1 , mais precisamente em 1777.
Apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se
tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em
1801.
- Os termos real e imaginário foram empregados pela
primeira vez por René Descartes em 1637.
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Finalmente, no início do século XIX, a Europa
iria tomar contato com a representação
geométrica para os números complexos no
plano,
criada,
através
de
trabalhos
independentes, pelo matemático, físico e
astrônomo alemão Carl Friedrich Gauss (17771855) e pelo matemático suíço Jean Robert
Argand (1768-1822).
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A
expressão
número
complexo
foi
introduzida por Carl Friederich Gauss em
1832.
No início do século XIX, Gauss observou
que assim como cada ponto de uma reta
corresponde a um número real, cada ponto
do plano podia ser associado a um número
complexo.
Convencionou, então, associar o número
complexo z = a + bi ao ponto P(a,b),
estabelecendo uma correspondência um a
um entre os números complexos e os ponto
Assim,
no
eixo
das
do
plano
xOy.
abscissas, representa-se a parte real de z
e,no eixo das ordenadas, a parte imaginária
de z. O plano xOy é chamado de plano de
Argand-Gauss.
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A partir do trabalho de Bombelli, os
números complexos começaram a ser
utilizados devido à sua utilidade para
resolver equações do terceiro grau mas, ao
mesmo tempo, era claro que tais números
não poderiam existir. A primeira tentativa
de legitimação, via uma “interpretação
geométrica”, é devida a John Wallis (16161703), contemporâneo de Newton e
professor na Universidade de Oxford.
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