De quantas maneiras posso passar meu cadarço

Análise de dados
e probabilidade
Guia do professor
Experimento
De quantas maneiras posso passar meu cadarço?
Objetivo da unidade
Fazer uma abordagem diferenciada sobre um problema
de combinatória.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo Federal
Guia do professor
De quantas
maneiras
posso passar
meu cadarço?
Sinopse
Neste experimento, será enunciado um problema de combinatória que trata
do número de maneiras de passar o cadarço em um tênis, obedecendo a
certas regras. Os alunos deverão, então, em uma primeira etapa, tentar fazer
alguns esboços de passadas de cadarço que satis­façam todas as regras,
para ajudá-los a entender o problema de fato e, só então, deverão pensar
em uma maneira de descobrir quantas possibilidades de passadas exis­
tem. Na segunda etapa, uma das regras será removida, fazendo aumentar
o número de maneiras possíveis, e os alunos deverão tentar calculá-las
também. No fechamento, poderá ser promovida uma discussão sobre
as generalizações dos problemas das etapas anteriores e, por fim, o que
aconteceria com o número de possibilidades de passadas de cadarço caso
qualquer outra regra fosse removida, confi­gurando uma maneira diferen­
ciada para o trata­mento de um problema de combinatória.
Conteúdos
Combinatória: Técnicas de Contagem.
Objetivos
Fazer uma abordagem diferenciada sobre um problema de combinatória.
Duração
Uma aula simples.
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Material relacionado
Experimento: Como economizar cadarço; Combinação com o Táxi;
Vídeo: Cara ou coroa;
Software: Geometria do Táxi – Contagem;
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Este experimento trata das possibilidades de passar um cadarço. O principal
objetivo da amarração de um cadarço é aproximar as duas abas do sapato,
bota, vestido, tecido cortado em cirurgia ou acidente etc.
A maioria de nós e dos alunos do Ensino Médio usam um ou dois tipos
de tracejado do cadarço: um zigue-zague com cruzamentos e um estilo
reto. Mas há várias outras formas de passar o cadarço, e este experimento
usa este mote para tratar de permutação, contagem e principalmente da
abstração e do método de imaginar outras maneiras de passar o cadarço.
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Os adolescentes e jovens em geral gostam de variações nos seus modos
de se apresentar, quer seja no comportamento, quer seja no vestuário,
na forma de cabelo, nos adornos etc. Desta forma, ao colocar a pergunta
sobre quantas maneiras eles podem passar o cadarço no tênis, sapato ou
bota, é bem provável que fiquem estimulados a tentar variações dos modos
clássicos de passar o cadarço.
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E[nf[h_c[dje
Comentários iniciais
É provável que alguns alunos queiram variar seus próprios cadarços, o que
pode tomar muito tempo. Sugira a eles que testem no máximo uma variação
antes do experimento propriamente dito e desafie-os a utilizarem uma das
variações estudadas depois de concluída a atividade.
Consideramos que os furos nos sapatos ou botas vêm aos pares e que
há uma quantidade de furos em uma aba e uma quantidade de furos
na outra aba.
As regras iniciais para a passagem do cadarço pelos pares de furos
são as seguintes:
o cadarço deve formar um padrão simétrico em relação ao eixo vertical;
o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente
se ele o faz por cima ou por baixo;
o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar
diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos;
o cadarço deve alternar de um lado para o outro a cada passada.
Qual é o número total de possibilidades que se tem para passar o cadarço
na bota, obedecendo às regras acima?
;jWfW' Quantos furos tem o seu tênis?
A proposta nesta etapa é experimentar o caso de cinco pares de furos.
Podemos representar este caso como na figura 1. Os furos de baixo já estão
conectados e os furos de cima são as saídas por imposição das regras.
Assim, temos três furos de cada lado para fazer as variações, que neste
caso são permutações, e a imposição de simetria entre as duas abas implica
que a escolha da sequência de furos em uma aba vincula a sequência
de furos em outra aba. Desta forma, vamos encontrar o fatorial de três
possibilidades.
ZWh‚e5 =k_WZefhe\[iieh
( % -
fig. 1 Representação da configuração inicial para 5 pares de furos
As seis possibilidades para o caso de cinco pares de furos
A seguir apresentamos as seis possibilidades.
1–2–3
2–1–3
fig. 2
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1–3–2
3–1–2
3–2–1
2–3–1
fig. 3
Observe que fechamos o circuito por simplicidade. Para facilitar a
comparação, indicamos as permutações de , considerando os furos
disponíveis e contando os pares de furos. Assim, por exemplo, o caso
mostra a passagem do cadarço após os dois furos de baixo para
o primeiro furo imediatamente acima, passa para o segundo furo do outro
lado, volta para o lado para o terceiro furo e vai para o furo do amarramento.
Por simetria, a outra parte do cadarço tem a sequência determinada da
mesma forma.
ZWh‚e5 =k_WZefhe\[iieh
) % -
;jWfW( Resolução de um problema da obm
O problema da obm (Olimpíada Brasileira de Matemática) tem as seguintes
regras:
o cadarço deve formar um padrão simétrico em relação ao eixo vertical;
o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente
se ele o faz por cima ou por baixo;
o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar
diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos.
O problema
Qual é o número total de possibilidades para se amarrar o cadarço de
um tênis com 5 furos, obedecendo às regras acima?
A solução deste problema é mais elaborada do que a do problema da
Etapa 1, mas devemos enfatizar o procedimento sistemático da contagem
das possibilidades, não tanto a solução, pois algumas possibilidades permitidas pelas regras deixam um ou mais furos sem o papel de amarração,
como nos casos abaixo.
fig. 4
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Mesmo não sendo de utilidade prática, o problema é interessante, pois
é acessível para os alunos de Ensino Médio e permite algumas abstrações
interessantes.
Vale observar que as maneiras exibidas a seguir devem ser consideradas
iguais, isto é, devemos levar em conta apenas a ordem na qual o cadarço
passa pelos furos, não o contorno do cadarço.
fig. 5
1.
2.
3.
4.
O procedimento de contagem é similar ao feito na Etapa 1. Considerando
a configuração inicial da figura 1 e partindo de um dos lados do furo inferior, temos:
opções para o segundo furo;
opções para o terceiro furo;
duas opções para o quarto furo; e
mais duas opções para chegar ao furo da amarração, no topo.
Para manter a simetria, o outro lado deve seguir os furos simétricos.
Assim, neste caso, temos: .
Podemos mostrar, por construção, que a generalização para o caso de
pares de furos é .
ZWh‚e5 =k_WZefhe\[iieh
* % -
A dica para demonstrar o resultado acima é fazer a contagem a partir
do furo inferior e lembrar que o último furo deve ser o furo do topo:
. . . .
Proposta de fechamento
O fechamento consiste na confirmação das contagens feitas pelos alunos.
Para as Etapas 1 e 2, os alunos devem tomar cuidado para respeitar
a simetria.
LWh_W‚[i
A principal variação desta atividade é eliminar a regra da simetria. Por
exemplo, as ilustrações abaixo não têm a simetria entre um lado e outro:
fig. 6
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fig. 7
Em outras palavras, vamos usar as seguintes regras:
As regras iniciais para a passagem do cadarço pelos pares de furos serão
as seguintes:
o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente
se ele o faz por cima ou por baixo;
o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar
diretamente os dois furos inferiores, isto é, sem passar por outros furos;
o cadarço deve alternar de um lado para o outro a cada passada.
Com essas regras, partindo de um dos lados da parte inferior do cadarço,
há furos para escolher. Em seguida, há furos, mas, como
devemos mudar de lado, então há na realidade furos à disposição,
e assim sucessivamente. Temos, então:
ZWh‚e5 =k_WZefhe\[iieh
+ % -
8_Xb_e]hWÅW
Olimpíada Brasileira de Matemática de 2001, nível 2 problema 6.
Stewart, Ian; Mania de Matemática – 2. Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
Morgado, Augusto et al. Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de
Janeiro: sbm, 2008
Fieggen, Ian. Ian's Shoelace Site. Disponível em <http://www.fieggen.com/
shoelace/>. Acesso em: 29 de agosto de 2010.
Polster, Burkard. The Shoelace Book: A Mathematical Guide to the Best
(And Worst) Ways to Lace Your Shoes, American Mathematical Society
(June 3, 2006) .
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ZWh‚e5 =k_WZefhe\[iieh
, % -
Ficha técnica
Autor
Samuel Rocha de Oliveira
Projeto gráfico
Preface Design
Revisores
Matemática
Laura Letícia Ramos Rifo
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Vice-Reitor e Pró-Reitor
de Pós-Graduação
Edgar Salvadori De Decca
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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