2011 - REDE POC

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2011
Prova-ensaio
2011
Você deve justificar as resoluções: 1, 5, 6, 8, 9, 10, 12 e 13.
Qualquer tentativa gera alguma pontuação
A organização das resoluções será levada em conta
Responda em uma folha cada questão
2011
Língua Estrangeira
7 PONTOS
Q uestão 1
Responda em Inglês,Francês, Alemão, Espanhol ou Italiano
usando o mínimo de 30 palavras.
Grandpa has three daughters : Anne, Béatrice and
Chloé.
He has six grandchildren : four boys (Emile, François,
Gilles, Hector) and two girls (Irène, Jeanne).
Grandpa cannot now remember the names of
Béatrice’s
children but, on the other hand, he remembers clearly that
• of his three daughters, Béatrice has the most
children.
• Anne does not have a daughter
• Jeanne has two brothers and no sister
• Irène has no sister and no brother
• Gilles has a brother but no sister
• Emile has a sister. Hector has a sister.
Help Grandpa to remember the names of Béatrice’s
children.
Grand-Père a trois filles : Anne, Béatrice et Chloé.
Il a six petits-enfants : quatre garçons (Emile, François, Gilles, Hector) et deux filles (Irène, Jeanne).
Grand-Père ne se souvient plus des prénoms des enfants de Béatrice mais se rappelle bien, par
contre, que :
•
de ses trois filles, c’est Béatrice qui a le plus d’enfants ;
•
Anne n’a pas de fille ;
•
Jeanne a deux frères et pas de sœur ;
•
Irène n’a pas de sœur et n’a pas de frère ;
•
Gilles a un frère mais pas de sœur ;
•
Emile a une sœur ; Hector a une sœur.
Aider Grand-Père à retrouver les prénoms des enfants de Béatrice.
Opa hat drei Töchter: Anne, Beatrice und Chloé. Er hat sechs Enkel: vier Jungen (Emile, François,
Gilles, Hector) und zwei Mädchen (Irene, Jeanne).
Opa erinnert sich nicht an die Vornamen der Kinder von Beatrice. Er weiß aber noch, dass
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Língua Estrangeira
7 PONTOS
Q uestão 1
von seinen drei Töchtern Beatrice die meisten Kinder hat,
Anne keine Tochter hat,
Jeanne zwei Brüder und keine Schwester hat,
Irene keine Schwester und auch keinen Bruder hat,
Gilles einen Bruder, aber keine Schwester hat,
Emile eine Schwester und auch Hector eine Schwester hat.
Helft Opa die Vornamen der Kinder von Beatrice herauszufinden.
El abuelo tiene tres hijas: Anne, Béatrice y Chloé.
Tiene seis nietos: cuatro niños (Emile, François, Gilles, Hector) y dos niñas (Irène, Jeanne).
El abuelo ya no se acuerda de los nombres de los hijos de Béatrice pero sin embargo si
se acuerda, que:
•
De sus tres hijas, Béatrice es la que tiene más hijos;
•
Anne no tiene niña;
•
Jeanne tiene dos hermanos y no tiene hermana;
•
Irène no tiene hermana y no tiene hermano;
•
Gilles tiene un hermano pero no tiene hermana;
•
Emile tiene una hermana. Hector tiene una hermana.
Ayuda al abuelo a recordar los nombres de los hijos de Béatrice.
Nonno ha tre figlie: Anna, Beatrice e Cloe.
Ha sei nipoti: quattro maschi (Emilio, Francesco, Egidio ed Ettore) e due femmine (Irene e
Gianna).
Egli non si ricorda i nomi dei figli di Beatrice, ma è sicuro che:
•
delle tre figlie, Beatrice è quella con il maggior numero di figli ;
•
Anna non ha figlie ;
•
Gianna ha due fratelli e non ha sorelle ;
•
Irene non ha né sorelle né fratelli ;
•
Egidio ha un fratello, ma nessuna sorella ;
•
Emilio ha una sorella ; Ettore ha una sorella.
Aiutate il Nonno a ritrovare i nomi dei figli di Beatrice.
2011
Pérolas de grande valor
5 PONTOS
Q uestão 2
Ana tem 11 pérolas. Cada uma tem um número, como mostrado:
Ela quer fazer um colar de modo que quando o colar é fixado,
a soma de quaisquer duas pérolas que estejam em contato seja
-1, 0 ou 1.
Dê um exemplo de um colar que atenda esta condição.
Quantos colares são possíveis nessa condição?
Explique suas respostas.
2011
Dança do Quadrado
7 PONTOS
Q uestão 3
No Matemática sem Fronteiras, assim como nos Jogos Olímpicos, o importante é participar.
Esta semelhança fez João pensar num logotipo para o nosso concurso. Ele propõe um símbolo de 6
quadrados entrelaçados. Suas intersecções formam sete pequenos quadrados todos do mesmo
tamanho.
Desenhe este logotipo em sua folha de respostas. Escolha as dimensões de modo que a área
sombreada em cinza seja 40 vezes a área de preto. Mostre seus cálculos.
2011
No entanto ele se move*
Para aquecer o jantar Marcos o coloca no prato giratório do seu microondas. Se o prato do jantar for
pequeno ele irá girar sem dificuldade. Se o prato for um pouco maior ele irá bater nas paredes
internas do forno escorregando sobre o prato giratório, o que fará com que o prato gire sem
dificuldade. Se o prato for muito grande ele irá bater nas paredes do forno e não irá girar, deslizando
apenas sobre o prato giratório
O forno tem 16 cm de altura, com uma profundidade e uma largura ambas de 35 cm.
Marcos tem um prato quadrado que não consegue girar. E ele tem um prato retangular que gira
corretamente. No entanto, o comprimento do prato retangular é maior que o comprimento do lado do
prato quadrado.
Explique este enigma.
.
.
* Isto traduz aproximadamente uma citação famosa de Galileu –“e pur si muove”. Mas ele não estava
falando de microondas.
2011
5 PONTOS
Q uestão 4
Ouro ou Liga?
Dom João tem 2009 moedas. 2008 são de ouro puro e todas têm o mesmo peso.Uma moeda é
feita de uma liga metálica e é um pouco mais leve que as outras. No entanto não é possível saber
qual é a mais leve pela sua aparência.
Se a moeda de liga leve é misturada com 8 moedas de ouro em um saco de 9 moedas, Manoel seu
servo, é capaz de distingui-la em duas pesagens usando uma simples balança de dois braços.
Explique o método de Manoel.
Se você utilizasse este método quantas pesagens teria que fazer para escolher a moeda de liga leve
a partir das 2009 moedas? Justifique sua resposta.
2011
5 PONTOS
Q uestão 5
Que vaso romano é esse?
Agripina e Marius voltaram do mercado com um vaso cheio de óleo. O vaso possui 8 cótilas*. Em
casa eles têm outros dois vasos: um pequeno com capacidade de 3 cótilas e um maior de 5 cótilas.
Sem o uso de qualquer outro utensílio, eles querem dividir o óleo de maneira igual com o número
mínimo de despejos de um vaso para o outro.
Explique como eles podem fazer isto.
*Cótila era uma medida romana de volume
2011
5 PONTOS
Q uestão 6
Retalhos
Simone acabou de aprender o básico sobre a técnica de costura com retalhos. Ela cortou 9
quadrados de tamanhos diferentes de algumas sobras de tecido.O tamanho dos quadrados são tais
que, quando eles são costurados juntos, seus lados terão as seguintes medidas:
1, 4, 7, 8, 9, 10,14,15 e 18 centímetros.
Ela quer fazer uma capa para cobrir uma das faces de uma almofada retangular com seus 9
quadrados.
Trabalhe sobre o tamanho do retângulo e desenhe a capa de retalhos que Simone irá confeccionar.
Use uma escala de 1: 2.
2011
7 PONTOS
Q uestão 7
Beijinhos
Dez amigos de três diferentes regiões da Europa encontram-se em Estrasburgo. Um grupo é de
Auvergne, outro da Bretanha e o terceiro da Catalunha. Quando eles se encontram se beijam em
saudação, mas cada região tem um costume diferente.
Na Bretanha são quatro beijos: uma vez em cada bochecha e depois se repete.
Em Auvergne são só dois beijos.
Na Catalunha são três: uma vez em cada bochecha e mais uma vez para dar sorte.
Por educação você deve sempre trocar o mesmo número de beijos que a pessoa que oferece o menor
número.
Eles chegaram em três carros que levam até 5 pessoas. Os passageiros no mesmo carro não se beijam
porque eles se conheceram no início do dia.
Na reunião um total de 75 beijos são trocados.
Tente descobrir o número de pessoas de Auvergne, Bretanha e Catalunha.
Mostre como chegou ao resultado.
2011
5 PONTOS
Q uestão 8
Pêntado
Com um quadrado de lado a, dois triângulos equiláteros de lado a e dois losangos formados por dois
triângulos equiláteros também de lado a, você pode construir um sólido curioso de 5 faces - o
pêntado, um dado de 5 lados.
Se você lançar esse sólido como se fosse um dado 100 vezes você pode descobrir qual face cai na
maioria das vezes.
Faça um pêntado, numere suas faces e jogue-o100 vezes.
Desenhe um esquema do seu pêntado em sua folha de respostas e escreva com que frequência cada
face aparece quando a pêntado é jogado.
2011
7 PONTOS
Q uestão 9
10
Sala de Estar
O chão de uma sala retangular é coberto por ladrilhos quadrados. A diagonal atravessa 36 pisos e
dois nós. Um nó é um ponto em que quatro ladrilhos se encontram.
Qual é o número máximo de ladrilhos para cobrir o chão da sala?
Justifique sua resposta.
2011
10 PONTOS
Questão
Hot’n cold
5 PONTOS
Q uestão 11
Apenas ensino Médio.
Quando Jorge volta para casa, ele percebe que o relógio digital da cozinha está piscando e
mostrando 01:15. Enquanto ele esteve fora, houve uma queda de energia. Quando a energia
voltou o relógio foi reiniciado às 00h00.
Para calcular a duração da queda de energia ele olha para o termômetro em seu freezer. Ele mostra
-17 ° C. A temperatura normal é de -18 ° C. Geoffroy sabe que as variações na temperatura são
proporcionais à duração do tempo que o freezer está ligado ou desligado. A temperatura do freezer
sobe 0,5 ° C por hora quando está desligado e cai cerca de 2 ° C por hora, quando é ligado
novamente.
Quanto tempo durou a falta de energia? Justifique sua resposta.
2011
Embrulhando
7 MARKS
Q uestão 12
Apenas Ensino Médio
No Natal, Gabriela empacotou um presente numa caixa que é um cubóide com
dimensões 6 cm x 4 cm x 2 cm. Ela quer decorá-la com uma fita como mostrado na
figura. Gabriela percebeu que quando ela estica a fita sobre as faces da caixa
e a fita cruza uma aresta, o ângulo formado entre a fita e a aresta permanece o mesmo
nas duas faces adjacentes a essa aresta. Ela gostaria de escolher esse ângulo para voltar
ao ponto inicial.
Desenhe o esquema de dobradura para montar essa caixa, em uma única peça, e
desenhe nela o caminho da fita. Ache o ângulo em graus que seja mais próximo do
valor α desejado.
2011
A marca do Zorro
10 PONTOS
Q uestão 13
Apenas Ensino Médio
Dentro de um triângulo retângulo com lados de 20 cm, 16 cm e
12 centímetros Don Diego de la Vega traça um Z com a ponta de
sua espada. Ele corta o triângulo em quatro triângulos de áreas
iguais. Seu Z é uma linha com três segmentos e as extremidades
estão nas laterais ou nos vértices do triângulo retângulo.
Encontre e mostre três soluções. Para cada solução mostre
claramente onde estão os quatro pontos do Z em relação ao
triângulo retângulo.
2011