Recorrência e teoria ergódica de grupos de difeomorfismos

Plano de Trabalho de Bolsista:
Recorrência e teoria ergódica de grupos de
difeomorfismos
(Edital EDITAL PROPCI/UFBA 01-2013 - PIBIC )
Orientador: Paulo César Rodrigues Pinto Varandas
Prof. Adjunto III, Instituto de Matemática – UFBA
Coordenador do Programa de Doutorado em Matemática UFBA/UFAL
Salvador, 2 de Abril de 2013
Palavras Chave: Teoremas ergódicos, recorrência de Poincaré, formalismo
termodinâmico
1
1
Objetivos específicos do bolsista
Conhecer os fundamentos da Teoria Ergódica e Formalismo Termodinâmico para sistemas dinâmicos discretos bem como aplicação dos mesmos para grupos de difeomorfismos do círculo.
Conhecer os elementos teóricos de sistemas dinâmicos envolvidos no projeto. Amadurecer matematicamente e ter tido contato com objetos importantes em pesquisa na matemática e ciŘncia
atuais. Ter participado ativamente nas pesquisas descritas no projeto de pesquisa.
2
Resultados específicos do bolsista
O bolsista deve no final do projeto conhecer os elementos da teoria de Sistemas Dinâmicos envolvidos no projeto de pesquisa, mais precisamente, a caracterização de caoticidade de um sistema
dinâmico pela nocção de entropia, propriedades sobre grupos de difeomorfismos e a caracterização de recorrência e teoremas ergódicos para tais classes de sistemas dinâmicos. Pretende-se
ainda que o aluno estude a entropia do grupo de centralizadores de sistemas iterados de funções
e participe ativamente das pesquisas do projeto e na análise dos resultados obtidos.
3
Cronograma específico de execução
Relação itimizada das atividades previstas, em ordem sequencial e temporal, para o bolsista dentro do período proposto.
-Agosto e setembro de 2013
Estudo em Teoria Ergódica e Dinâmica Unidimensional (ênfase em grupos de difeomorfismos do círculo e noções provenientes do formalismo termodinâmico clássico). Participação nos
Seminários em Matemática da Pós-Graduação em Matemática da UFBA. Os Seminários em Matemática da Pós-Graduação terá parte de suas atividades voltadas para a formação de aluno de
iniciação científica e mestrado. Mais precisamente teremos pelo menos duas horas por semana
(em geral serão 4 horas) dedicadas a iniciação científica. Estas atividades serão compostas de
palestras e aulas para complementar a formação dos alunos.
-Novembro e dezembro de 2013
Estudo da noção de entropia de grupos e sistemas iterados de difeomorfismos, iniciando pelo
caso de difeomorfismos do círculo e difeomorfismos conservativos.
-Janeiro e Fevereiro de 2013
Participação em cursos de Verão em Matemática com o objetivo de fortalecer a formação, o
que será de extrema importância para posteriormente redigir os resultados obtidos.
-Março até Julho de 2013
Participação nas pesquisas e estudo dos resultados do projeto de pesquisa. Participação dos
Seminários em Matemática e da Pós-Graduação em Matemática da UFBA, participação na redação sobre os resultados obtidos.
Referências
[AMM] A. Arbieto and C. Matheus and C. G. Moreira Aspectos ergódicos da teoria dos números
Publicações Matemáticas do IMPA - 26o Colóquio Brasileiro de Matemática, 2007.
[Bis]
A. Biś Partial variational principle for finitely generated groups of polynomial growth
and some foliated spaces. Colloq. Math., 110, no. 2, 431–449, 2008.
[BU]
A. Biś and M. Urbański Some remarks on topological entropy of a semigroup of continuous maps. Cubo, 8, no. 2, 63Ð71, 2008.
2
[BDV]
C. Bonatti and L. J. Díaz and M. Viana. Dynamics beyond uniform hyperbolicity.
Springer-Verlag, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 2005.
[F]
H. Furstenberg Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. Princeton University Press, 1981.
[B]
M. D. Boshernitzan, Quantitative recurrence results, Invent. Math., 113 (1993), pp. 617?631.
[MR]
P. Marie and J. Rousseau , Recurrence for random dynamical systems, Discrete Contin. Dyn.
Syst. 30 (2011), no.1, 1-16
[MW]
D. Ma and M. Wu Topological pressure and topological entropy of a semigroup of maps
Discrete Contin. Dyn. Syst., 31, no. 2, 545–557, 2011.
[OW]
D. S. Ornstein and B. Weiss, Entropy and data compression schemes, IEEE Trans. Inform.
Theory, 39 (1993), pp. 78?83.
[RS]
J. Rousseau and B. Saussol, Poincaré recurrence for observations, Trans. Amer. Math. Soc.,
362 (2010), pp. 5845?5859.
[S]
B. Saussol. On fluctuations and exponential statistics of return times. Nonlinearity,
14:179–191, 2001.
[V1]
P. Varandas, Entropy and Poincaré Recurrence from a geometrical viewpoint. Nonlinearity 22
(2209).
[V2]
P. Varandas, Ergodic properties of generalized Viana maps, Preprint 2012.
[V3]
P. Varandas, Non-uniform specification and large deviations for weak Gibbs measures,
Journal of Statistical Physics, 146, 330–358, 2012.
[VV]
Varandas, Paulo. Viana, Marcelo. Existence, uniqueness and stability of equilibrium states
for non-uniformly expandings maps. Annales de l’Institut Henri Poincaré, Anaalyse Non
Linéaire, 27 (2010).
3