Desigualdades de Markov e Chebyshev
Transcrição
Desigualdades de Markov e Chebyshev
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MOQ-13/MB-210: Probabilidade e Estatística Desigualdades de Markov e Chebyshev Prof. Denise Beatriz Ferrari [email protected] 1 Introdução Vimos em aulas anteriores que podemos caracterizar a distribuição de probabilidades de va’s das seguintes maneiras: através da fdp, FDA ou fgm da va. Podemos, no entanto, não ter informações a respeito da distribuição da va e, ainda assim, conseguir fazer algumas inferências a respeito da dispersão da va. Podemos, por exemplo, querer saber com que probabilidade uma va X (ou uma função de X) é maior do que um número qualquer (P [g(X)] > k). Se conhecermos a distribuição de X, essa probabilidade pode ser facilmente calculada ou estimada. Caso contrário, o máximo que conseguimos é encontrar um valor limitante, determinado através da Desigualdade de Markov. Da mesma forma, podemos desejar saber com que probabilidade a va X encontra-se afastada de uma certa distância de sua média (P |X − µ| > hσ). Podemos determinar os limites desta probabilidade a partir da Desigualdade de Chebyshev. Desigualdade de Markov Seja X uma va e g(·) uma função não-negativa, cujo domínio é R. Então: P [g(X) ≥ k] ≤ E[g(X)] , k ∀k > 0. Demonstração: Consideremos, sem perda de generalidade, que X é uma va discreta com fdp fX (·); então: E[g(X)] = ∞ X g(X)fX (x) = x=−∞ X g(X)fX (x) + {x:g(x)≥k} ≥ X X g(X)fX (x) {x:g(x)<k} g(X)fX (x) {x:g(x)≥k} ≥ X {x:g(x)≥k} 1 kfX (x) = kP [g(X) ≥ k]. Prof. Denise B. Ferrari E, portanto, P [g(X) ≥ k] ≤ E[g(X)] . k A desigualdade de Markov nos fornece um limite “universal”, válido, independentemente da distribuição de X. Este valor é facilmente estimável, mesmo sem conhecermos a distribuição de X. Desigualdade de Chebyshev Para uma va X com média µ e variância σ 2 , ambas finitas, e para qualquer número positivo h, a probabilidade de obter um valor que dista da média de uma medida de h desvios-padrão ou mais é menor ou igual a 1/h2 : P [|X − µ| > hσ] ≤ 1 , h2 ∀h > 0. Demonstração: Seja X é uma va discreta com fdp fX (·) e k um número positivo qualquer. Podemos escrever: 2 σ = V ar[X] = ∞ X (x − µ)2 fX (x) x=−∞ = µ−k X (x − µ)2 fX (x) + −∞ ≥ µ−k X x<µ+k X (x − µ)2 fX (x) + x>µ−k ∞ X (x − µ)2 fX (x) µ+k 2 (x − µ) fX (x) + −∞ ∞ X (x − µ)2 fX (x), µ+k P 2 pois o somatório x<µ+k x>µ−k (x − µ) fX (x) é, obviamente, não negativo. Agora, se x ≤ µ − k ou x ≥ µ + k, então (x − µ)2 ≥ k 2 . Portanto, µ−k µ−k ∞ ∞ X X X X σ2 ≥ k 2 fX (x) + k 2 fX (x) = k 2 fX (x) + fX (x) −∞ −∞ µ+k µ+k = k 2 {P [X ≤ (µ − k)] + P [X ≥ (µ + k)]} = k 2 P [|X − µ| ≥ k]. Segue que P [|X − µ| ≥ k] ≤ σ 2 k . Se fizermos k = hσ, chegamos ao resultado P [|X − µ| ≥ hσ] ≤ 1 . h2 A Desigualdade de Chebyshev também pode ser enunciada da maneira complementar: P [|X − µ| < hσ] ≥ 1 − 1 h2 =⇒ P [µ − hσ < X < µ + hσ] ≥ 1 − 2 1 , h2 ∀h > 0. Prof. Denise B. Ferrari Nota 1 A desigualdade de Chebyshev não gera resultados muito precisos, mesmo porque nenhuma hipótese foi feita a respeito da distribuição de X, exceto que possui média e variância conhecidas. Se tivermos alguma informação a respeito da distribuição de X, podemos obter resultados mais precisos. Mesmo no caso em que dispomos de mais informações, a desigualdade de Chebyshev continua verdadeira, mas podemos obter um resultado mais preciso. O fato é que essa desigualdade é útil ao fornecer bastante informação, levando-se em conta a pouca informação que ela leva em consideração. Exemplo Seja h = 2. A desigualdade de Chebyshev garante que: P [|X − µ| ≥ 2σ] ≤ 1/4 Ou seja, a probabilidade de que uma determinada observação esteja dentro do intervalo de dois desvios-padrão com respeito à média é menor que 0,25 para qualquer distribuição que tenha média e variância finitas. Nota 2 Se quisermos expressar a probabilidade para um grande número de diferentes classes de va’s, a desigualdade de Chebyshev é a melhor ferramenta de que dispomos. Exemplo Considere a classe de todas as va’s com média µ e variância σ 2 . Um membro desta classe é a va constituída por três pontos: −h, 0, h, (h > 0), com probabilidades: P [−h] = P [h] = 1 1 e P [0] = 1 − 2 . 2 2h h Claramente, esta distribuição tem E[X] = 0 e V ar[X] = 1, de forma que: P [|X − µ| ≥ hσ] = P [|X| ≥ h] = P [X = −h] + P [X = h] = 1 . h2 Este limite é obtido para um dos membros da classe, no caso, a va considerada. E esta é a melhor inferência da probabilidade procurada, para a toda a classe de va’s consideradas. Nota 3 A desigualdade se aplica para h < 1? Discuta a utilidade da inequação neste caso. Exemplo Suponha que, em média, a demanda diária por certo produto seja de 28 unidades, com variância 16. Quantos itens devem ser disponibilizados para atender à demanda diária em pelo menos 90% dos casos? Solução Seja X = demanda diária. Queremos encontrar k tal que P [X ≤ k] ≥ 0,9 ou, equivalentemente, P [X ≥ k] ≤ 0,1. Método 1: Desigualdade de Markov P [X ≥ k] ≤ 28 E[X] = = 0,1 k k ∴ k = 280 e 3 P [X ≥ 280] ≤ 0,1. Prof. Denise B. Ferrari Portanto, se disponbilizarmos diariamente 280 itens, a demanda será atendida em pelo menos 90% dos casos. Método 2: Desigualdade de Chebyshev P [|X − 28| ≥ k] ≤ V ar[X] 16 = 2 = 0,1 k2 k √ ∴ k = 4 10 ≈ 13. Pela desigualdade de Chebyshev, temos que disponibilizar 13 itens diariamente para garantir que a demanda seja atendida em, pelo menos, 90% dos casos. Um resultado mais limitado e melhor, portanto. 4
Documentos relacionados
Desigualdade de Chebychev
situar no interior de certa região centrada na sua função de valor médio. Se se considerarem duas realizações do processo estocástico em causa, sejam X e Y , ambas com valor médio nulo e variância ...
Leia mais