TRIGONOMETRIA
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TRIGONOMETRIA
Matemática - Trigonometria 129 Semelhança TRIGONOMETRIA 1. SEMEL EMELHANÇA Texto e contexto O bservando objetos, podemos perceber que alguns deles possuem uma característica comum: têm a mesma forma. Por exemplo, ao compararmos bolas utilizadas em diversas práticas esportivas, como futebol, basquete, tênis, verificamos que elas possuem a mesma forma esférica, diferenciando-se pela medida do seu raio. Para serem semelhantes, os objetos devem apresentar a mesma forma e manterem uma proporcionalidade entre suas medidas lineares. Consideremos os cilindros ao lado. 10 cm 7 cm Observe que a razão entre as alturas e entre os diâmetros são iguais. 7 = 3,5 = 0,7 10 5 5 cm 3,5 Disponível em: <www.lmc.ep.usp.br>. Acesso em: 28 set. 2012. Como a razão entre as medidas lineares são iguais e os cilindros têm a mesma forma, eles são semelhantes. Através do teorema de Thales ou da semelhança de triângulos, a proporcionalidade foi um dos conceitos geométricos mais úteis desde a antiguidade. Usando semelhança de triângulos, Thales de Mileto causou grande admiração no Egito ao calcular a altura de uma pirâmide. THALES E A PIRÂMIDE DE QUÉOPS Por volta do ano 600 a.C., Thales de Mileto, um dos sete sábios da antiguidade, surpreendeu o faraó Amasis por ter-se oferecido para determinar a altura da pirâmide de Quéops. Para demonstrar o seu método, Thales procedeu do seguinte modo: foi até a extremidade da sombra projetada pela grande pirâmide e cravou seu bastão no solo bem na vertical. A altura da pirâmide e sua sombra são os lados de um triângulo retângulo, e isso também acontece com o bastão e a sua sombra. A grande pirâmide Co mp da rimen bas to e Bastão H H = b+s c d ⇒ H = (b + s) . c d c b s d Por semelhança de triângulos, Tales deduziu a relação H = (b + s) . c , que permite calcular a altura H d da pirâmide, conhecendo-se as medidas de b (metade da base da pirâmide), s (comprimento da sombra da pirâmide), c (altura do bastão) e d (comprimento da sombra do bastão). Thales tinha consciência de que o método que acabara de utilizar era geral e podia ser empregado em muitas outras situações. Matemática - Trigonometria 130 Semelhança Portanto, para medir distâncias inacessíveis, podemos aplicar a semelhança de triângulos, como na determinação da altura de prédios, árvores, torres, etc., usando como referência suas sombras. Saiba mais THALES DE MILETO Disponível em: <www.iep.utm.edu>. Acesso em: 28 dez. 2012. Thales de Mileto nasceu em torno de 624 a.C. em Mileto, Ásia Menor (agora Turquia), e morreu em torno de 547 a.C. também em Mileto. É descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista da visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida. As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias, mas, com base em tradições, pode-se reconstruir algumas ideias. Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor II, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 a.C. conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apoiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade. Thales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de “primeiro matemático’’ verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Acreditase que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como “Teorema de Thales”. A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: “um circulo é bissectado por um diâmetro’’, “os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais”, “os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais”, e “se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes”. Thales foi mestre de um grupo de seguidores de suas ideias, chamado “Escola Jániá’’ e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descobertas matemáticas especificas e, como disse Aristóteles, “para Thales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos’’. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 28 set. 2012. 1.1 Semelhanças de triângulos Vamos analisar a seguinte situação-problema. A sombra de uma torre vertical, projetada pelo Sol sobre um chão plano, mede 8 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 0,8 m de altura mede 0,4 m. Qual é a altura dessa torre? Problemas como esse poderão ser resolvidos com a aplicação da semelhança de triângulos. Definição: Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (Homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais. Matemática - Trigonometria 131 Semelhança Consideramos os triângulos ABC e DEF: A D b c e f B a C E d F Â≡D a b c B ≡ E e = = = K (Constante ou razão de d e f proporcionalidade) C≡F ∆ABC ∼ ∆DEF ⇔ Busca Congruência (≡) Semelhança (∼) 1.2 Casos de semelhança 1o caso: AA (ângulo, ângulo) Dois triângulos são semelhantes se possuem dois ângulos ordenadamente congruentes. A D c b a B C  ≡ D ∆ABC ∼ ∆DEF B ≡E e f E d F 2o caso: LAL (lado, ângulo, lado) Dois triângulos são semelhantes se possuem dois lados proporcionais aos homólogos de outro e o ângulo compreendido entre esses lados são congruentes. A D c B a b C f E d c = b =K ∆ABC ∼ ∆DEF f e Â≡D e F 3o caso: LLL (lado, lado, lado) Dois triângulos são semelhantes se possuem lados homólogos proporcionais. A b D C c a B f E d e F a b c = = = K ⇒ ∆ABC ∼ ∆DEF d e f Vamos voltar ao problema proposto na introdução. Façamos um modelo matemático da situação apresentada. H (Torre) Raios Solares 0,8 m (Bastão) 8 m (Sombra) Raios Solares 0,4 m (Sombra) Matemática - Trigonometria 132 Semelhança Considerando que a torre e o bastão formam um ângulo reto com o plano horizontal, pelo caso AA temos dois triângulos semelhantes. Fazendo a razão entre as alturas e as sombras temos: H = 8 0,8 0,4 Dividindo os denominadores por 0,4, fica: H = 8 → usando a propriedade fundamental das proporções. 2 1 H = 16 m Portanto, a altura da torre é de 16 metros. 1.3 Relações métricas no triângulo retângulo Vamos relembrar os elementos do triângulo retângulo a seguir: BÂC = 90o, portanto, o ∆ABC é retângulo. A BC = a : hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). c b AC = b : cateto. h AB = c : cateto. n m AD = h : altura relativa à hipotenusa. B D C BD = n : projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa. a DC = m : projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa. Podemos relacionar esses elementos através da semelhança entre os triângulos. Observe o triângulo retângulo a seguir: A β B α A soma dos ângulos internos do ∆ABC é 180º, logo:  + B + C = 180o 90º + α + β = 180o α + β = 90o α β D C Veja que os ângulos α e β devem ser agudos já que a soma entre eles resulta em 90o . Quando a soma de dois ângulos resulta em 90o, eles serão ângulos complementares. Portanto, α é o complemento de β, ou β é o complemento de α. Ao projetarmos a altura relativa à hipotenusa, obtemos os triângulos BDA e ADC, semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo ABC pelo caso AA. A A c B α b a c β C β h αn B D A α h D b m β C Relações métricas ∆ABC ∼ ∆ABD: BC = AC ⇒ a = b ⇒ c h AB AD a.h=b.c O produto entre a hipotenusa e a sua altura relativa é igual ao produto dos catetos. AB = BC ⇒ c = a ⇒ n c BD AB c2 = a . n ∆ABC ∼ ∆ADC: AC = BC ⇒ b = a ⇒ b2 = a . m b m CD AC O cateto ao quadrado é igual ao produto da hipotenusa pela projeção ortogonal desse cateto. Matemática - Trigonometria 133 Semelhança ∆ABD ∼ ∆ADC: AD = BD ⇒ h = n ⇒ m h CD AD h2 = m . n A altura relativa à hipotenusa ao quadrado é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos. Somando membro a membro as relações b2 = a . m e c2 = a . n, fica: 2 b2 + c2 = am + an + b 2 = a . m ⇒ 2 2 a(m + n) ⇒ b +c = c =a.n a A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Esta relação é conhecida como Teorema de Pitágoras. b2 + c2 = a2 Pitágoras de Samos foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 571 a.C. e 570 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca de 497 a.C. ou 496 a.C. A sua biografia está envolta em lendas. Imagem disponível em: <http://mathsmusings.blogspot.com.br>. Acesso em: 28 out. 2012. Exemplo 1 Determine o valor de x, y, z e w no triângulo ao lado. Para obter o valor de x, apliquemos o Teorema de Pitágoras: x z a2 = b2 + c2 ⇒ 52 = 42 + x2 ⇒ 25 -16 = x2 x2 = 9 ⇒ 4 y w 5 x=3 Para obter y (altura relativa), vamos usar a relação a . h = b . c: 5 . y = 3 . 4 ⇒ y = 12 ⇒ y = 2,4 5 Como z e w são as projeções ortogonais dos catetos, vamos usar as relações b2 = a . m e c2 = a . n: 42 = 5 . w ⇒ 16 = w ⇒ 5 z = 1,8 32 = 5 . z ⇒ 9 = z ⇒ 5 w = 3,2 ou z + 3,2 = 5 ⇒ z = 1,8 Saiba mais MANIA DE PITÁGORAS Elisha Scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio (Estados Unidos), era realmente um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecionou demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou The Pythagorean Proposition (A Proposição de Pitágoras). A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. Na segunda edição, publicada em 1940, esse número foi aumentado para 370 demonstrações. Depois do falecimento do autor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo National Council of Teachers of Mathematics daquele país. O Professor Loomis classifica as demonstrações do teorema de Pitágoras em basicamente dois tipos: provas “algébricas” (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos) e provas “geométricas” (baseadas em comparações de áreas). Ele se dá ao trabalho de observar que não é possível provar o teorema de Pitágoras com argumentos trigonométricos, porque a igualdade fundamental da Trigonometria, cos2 x + sen2 x = 1, já é um caso particular daquele teorema. Como sabemos, o enunciado do teorema de Pitágoras é o seguinte: “A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”. Se a, b são as medidas dos catetos e c é a medida da hipotenusa, o enunciado equivale a afirmar que a2 + b2 = c2. Matemática - Trigonometria 134 Semelhança Documentos históricos mostram que os egípcios e os babilônios, muito antes dos gregos, conheciam casos particulares desse teorema, expressos em relações como: 32 + 42 = 52 e 12 + 3 4 2 = 1 1 2 . 4 O fato de o triângulo de lados 3, 4 e 5 ser retângulo foi (e ainda é) útil aos agrimensores. Há também um manuscrito chinês, datado de mais de mil anos antes de Cristo, em que se encontra a seguinte afirmação: “Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e some-os; a raiz quadrada dessa soma é a hipotenusa”. Outros documentos antigos mostram que, na Índia, bem antes da era Cristã, sabia-se que os triângulos de lados 3, 4, 5, ou 5, 12, 13, ou 12, 35, 37 eram retângulos. O que parece certo, todavia, é que nenhum desses povos sabia demonstrar o teorema. Tudo indica que Pitágoras foi o primeiro a prová-lo. (Ou alguém da sua Escola o fez, o que dá no mesmo, pois o conhecimento científico, naquele grupo, era propriedade comum.) A mais bela prova Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração do tipo “geométrico”, isto é, baseada na comparação de áreas. Não foi a que se encontra nos “Elementos” de Euclides, e que é, ainda hoje, muito encontrada nos livros de Geometria, pois tal demonstração parece ter sido concebida pelo próprio Euclides. A demonstração de Pitágoras poderia ter decorrido destas figuras: a b c c a b a b b c a Do quadrado que tem a + b como lado, retiremos 4 triângulos iguais ao dado. Se fizermos isso como na figura à esquerda, obteremos um quadrado de lado c. Mas se a mesma operação for feita como na figura à direita, restarão dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b. James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881), era também general e gostava de Matemática. Ele deu uma prova do teorema de Pitágoras baseada na figura a seguir. b c a c a b A área do trapézio com bases a, b e altura a + b é igual à semissoma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos: a + b (a + b) = a2 + ab + b2 = ab + c2 , implicando a2 + b2 = c2. 2 2 2 2 Essa é, provavelmente, a mais bela demonstração do teorema de Pitágoras. Entretanto, no livro de Loomis, ela aparece sem maior destaque, como variante de uma das provas dadas, não sendo sequer contada entre as 370 numeradas. Baseado no artigo Mania de Pitágoras. Euclides Rosa, RPM 02. (Adaptado) 1 Uma demonstração é conhecida como a prova mais curta. Baseando-se na semelhança entre os triângulos da figura ao lado, tente provar o Teorema de Pitágoras. a b m n c Matemática - Trigonometria 135 Semelhança 4 Para saber mais sobre Semelhança de triângulos, acesse: • <http://www6.ufrgs.br/espmat/geonoplano/ conteudo32.html>. • <http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/ geotri/modulo3/problema_triggeo.html>. (FUVEST) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. Determine o perímetro do retângulo MNPQ em cm. C Exercícios de sala Q 2 Na figura, determine o valor dos elementos a, b, c e d. A M P N B B D a c b C 3 24 7 A (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 5 (UEL-ADAPTADO) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio, obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em 0,5 metros. Sabendo que sua altura é de 1,8 metro, ele pôde calcular a altura do prédio. Determine a altura desse prédio em metros. Matemática - Trigonometria 136 Semelhança 6 (UFG-ADAPTADO) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir. Exercícios propostos 8 7 cm Fonte luminosa 25 cm 28 cm d (FAAP-ADAPTADO) Um crítico de arte, olha, através de uma câmara escura que tem 50 cm de comprimento, para um quadro pendurado de 3 metros de altura, cuja base está a 1,20 metros acima do solo, conforme a figura a seguir: Sabendo que o raio da esfera mede 7 cm, qual a medida, em cm, da distância (d) do centro da esfera até a parede? 15 cm 3m x 1,20 m 50 cm Sabendo-se que o quadro fornece uma imagem de 15 cm. A distância “x” da câmara ao quadro (em metros) é: a) 15 b) 3 c) 8 d) 12 e) 10 7 (FUVEST-ADAPTADO) Um banco de altura regulável, cujo assento tem forma retangular, de comprimento 40 cm, apoia-se sobre duas barras iguais, de comprimento 60 cm (ver figura 1). Cada barra tem três furos, e o ajuste da altura do banco é feito colocando-se o parafuso nos primeiros, ou nos segundos, ou nos terceiros furos das barras (visão lateral do banco, na figura 2). 40 cm 40 cm 25 cm 60 cm 5 cm 5 cm 25 cm Figura 1 Figura 2 9 (UFMG) Em determinada hora do dia, o sol projeta a sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra dele mede 16 m. Simultaneamente, um poste de 2,7 m, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra.Neste momento, essa sombra mede 4,8 m. A altura do poste de iluminação é de: a) 8,0 m. b) 8,5 m. c) 9,0 m. d) 7,5 m. 10 (VUNESP) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. Sol Determine a menor altura que pode ser obtida. prédio poste 5 15 3 A altura do prédio, em metros, é: a) 25. b) 29. c) 30. d) 45. e) 75. Matemática - Trigonometria 137 Semelhança 11 (UNIRIO) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura a seguir. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco voador mede, em metros, aproximadamente: 48 m N 16 m 50m sombra 16m b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 12 (VUNESP) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme a figura. A 12 m rio B r 14 (FUVEST) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e, quando passa pela linha de meio do campo, está a uma distância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: P O Q A distância do chão aos olhos do observador é 1,8 m e o segmento PQ = 61,6 m. O comprimento da parte do para-raios que o observador não consegue avistar é: a) 16 m. c) 8 m. e) 3 m. b) 12 m . d) 6 m. 30m a) 3,0 M P 32 m A L C A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 13 (UFF) Um prédio com a forma de um paralelepípedo retângulo tem 48 m de altura. No centro da cobertura desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura, está instalado um para-raios. No ponto Q sobre a reta r — que passa pelo centro da base do prédio e é perpendicular ao segmento MN — está um observador que avista somente uma parte do para-raios (ver a figura a seguir). a) 18,8 m. b) 19,2 m. c) 19,6 m. d) 20 m. e) 20,4 m. 15 (UEL) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura a seguir. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras. Matemática - Trigonometria 138 Semelhança a) b) c) d) e) 1,50m 1,75m 2,00m 2,25m 2,50m 9m 3m 16 (UFSCAR) A hipotenusa do triângulo retângulo ABC está localizada sobre a reta real, conforme indica a figura. B A -4 D x C 7 Se x > 0 e a medida da altura BD relativa ao lado AC do triângulo ABC é 2 6 , então x é o número real: a) 2 3 . b) 4. c) 3 2 . d) 5. e) 3 3 . 17 (ENEM) A rampa de um hospital tem, na sua parte mais elevada, uma altura de 2,2 metros. Um paciente, ao caminhar sobre a rampa, percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância, em metros, que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metro. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. Matemática - Trigonometria 139 Trigonometria 2. TRIGONOMETRIA Texto e contexto UM POUCO DA HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e os babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322. Papiro Rhind, Museu de Londres. O astrônomo Hiparco de Nicéia, ganhou o direito Hiparco, em grego Hipparkhos, foi um de ser chamado “o pai da Trigonometria” pois, na astrônomo, construtor, cartógrafo e segunda metade do século II a.C., fez um tratado matemático grego da escola de Alexandria nascido em 190 a.C. em Nicéia, na Bitínia, em doze livros em que se ocupou da construção do hoje Iznik, na Turquia. que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, Nascimento: 190 a.C., İznik incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Falecimento: 120 a.C., Rodes Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições à Astronomia atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes — duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclítica — e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br>. (Adaptado) Acesso em: 28 out. 2012. 2.1 Trigonometria no triângulo retângulo 2.1.1 Introdução de proporcionalidade é o ponto de partida da trigonometria. O conceito Como vimos na unidade anterior, é da semelhança de triângulos que desenvolveremos métodos para a medição de distâncias inacessíveis aos instrumentos mais comuns para medir comprimentos. A palavra trigonometria é de origem grega e significa medida dos triângulos (tri = três, gonos = ângulos, metron = medir). Há campos da matemática, como a geometria e a análise, que usam a trigonometria. Atualmente, a trigonometria encontra aplicações na eletricidade, na acústica, na mecânica, na engenharia civil, na topografia, na música, na astronomia e em outras áreas do conhecimento. Exemplo concreto Suponhamos que desejemos medir a altura de uma torre, como ilustrado na Figura 1. Não tendo um instrumento para medir a altura da torre, podemos usar a semelhança de triângulos retângulos e medidas de ângulos para obtermos essa altura. Consideremos o modelo matemático (Figura 2): Q Figura 1 O Observador Q Figura 2 P O P Matemática - Trigonometria 140 Trigonometria Suponhamos que o ângulo de visão do observador esteja no ponto O. Os pontos P e Q (sendo o ponto Q o topo da torre) formam uma perpendicular com o segmento de reta OP (OP é um segmento paralelo ao solo). Utilizando um instrumento chamado teodolito, podemos medir o ângulo POQ. Luneta capaz de girar no plano horizontal e vertical, com escalas em que se pode ler o ângulo de giro. O ângulo de giro da luneta fornece o ângulo POQ. Se soubermos as medidas do segmento OP e do ângulo POQ, podemos obter a medida inacessível do segmento PQ, através da semelhança de triângulos. Podemos fazer a medição de uma figura em escala. Vamos supor que a distância do observador até a torre seja de 100 m (segmento OP) e o ângulo POQ seja de 30º. Em uma folha, fazemos um desenho arbitrário com o cateto O’P’ = 10 cm e, usando um transferidor, construímos o triângulo O’P’Q’. Com uma régua, medimos o cateto PQ obtendo 5,8 cm. Q Q h O 30º 5,8 cm P 100 m 30º 10 cm O P O triângulo menor O’P’Q’ é semelhante ao original, pois tem os mesmos ângulos. Então, temos h = 100 m ⇒ h = 58 m. 5,8 cm 10 cm Assim o segmento PQ no mundo real mede aproximadamente 58 metros. Para termos a altura da torre, basta somarmos a altura do observador aos 58 metros. Nesse exemplo, observamos que são semelhantes os triângulos retângulos que têm um ângulo agudo em comum. Por essa semelhança, podemos usar medidas arbitrárias para os lados do triângulo na certeza de que a razão entre esses lados é a mesma que a no mundo real. Essas razões, que são denominadas de razões trigonométricas, dependem apenas dos ângulos do triângulo e não das medidas dos lados como poderemos constatar na unidade a seguir. 2.2 Razões trigonométricas Dado um triângulo ABC, retângulo em A, em que o ângulo ABC é igual a α (0º < α < 90º), tracemos a partir dos pontos C1, C2, C3, etc. da semirreta BC, perpendiculares A1C1, A2C2, A3C3, etc. à semirreta AB. C C1 B A B α A1 C2 A2 C3 A3 C A Os triângulos ABC, A1BC1, A2BC2, A3BC3, etc. são semelhantes por terem os mesmos ângulos. Então: A1C1 = A2C2 = A3C3 = ... BC1 BC2 BC3 I Estas razões dependem apenas do ângulo α, e não dos comprimentos envolvidos. Na relação I, fixando o ângulo α, a razão entre o cateto oposto a α e a hipotenusa são diretamente proporcionais. Essa razão é denominada seno do ângulo α. Busca sen α = A1C1 BC1 sen α = seno do ângulo α. Matemática - Trigonometria 141 Trigonometria Voltando aos triângulos semelhantes, vemos que as relações A1B = A2B = A3B = ... II BC1 BC2 BC3 A1C1 = A2C2 = A3C3 = ... III A1B A2B A3B também dependem apenas do ângulo α. Na relação II, fixando o ângulo α, a razão entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa são diretamente proporcionais. Busca Essa razão é denominada cosseno do ângulo α. cos α = cosseno do ângulo α. cos α = A1B BC1 Na relação III, fixando o ângulo α, a razão entre o cateto oposto a α e o cateto adjacente a α são diretamente proporcionais. Busca Essa razão é denominada tangente do ângulo α. tg α = tangente do ângulo α. tg α = A1C1 A1B Reforçamos que essas definições só fazem sentido devido à semelhança entre os triângulos retângulos, em que é conhecida a medida do ângulo agudo α. Por esse fato, as razões são sempre as mesmas não dependendo das medidas dos lados envolvidos. Exemplo 1 Considere o triângulo ABC, reto em A. Calcule: a) sen α b) cos α c) tg α C 26 x A 24 α B Resolução: Inicialmente, devemos obter a medida do lado AC, para isso, basta aplicar o Teorema de Pitágoras. 262 = 242 + x2 676 = 576 + x2 100 = x2 ⇒ x = 10 cateto oposto a α hipotenusa 10 5 sen α = = 26 13 a) sen α = cateto adjacente a α hipotenusa 24 12 cos α = = 26 13 b) cos α = cateto oposto a α cateto adjacente a α 10 5 tg α = = 24 12 c) tg α = 2.3 Tabela de razões trigonométricas Vimos que as razões trigonométricas dependem apenas do ângulo α, e não das medidas dos lados do triângulo. Portanto, podemos obter uma tabela de razões trigonométricas para ângulos agudos, os quais variam de 1º a 89º, usando valores arbitrários nos triângulos semelhantes. Se não tivermos uma tabela com esses valores, podemos usar uma calculadora que utilizam métodos numéricos baseados nas séries de Taylor das funções trigonométricas. A seguir, mostramos uma tabela para as principais razões trigonométricas. Matemática - Trigonometria 142 Trigonometria Ângulo sen cos tg 46° 0,7193 0,6947 1,0355 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22° 23° 24° 25° 26° 27° 28° 29° 30° 31° 32° 33° 34° 35° 36° 37° 38° 39° 40° 41° 42° 43° 44° 45° 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3990 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071 0,9998 0,9994 0,9986 0,9976 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0,9877 0,9848 0,9816 0,9781 0,9744 0,9703 0,9659 0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 0,9397 0,9336 0,9272 0,9205 0,9135 0,9063 0,8988 0,8910 0,8829 0,8746 0,8660 0,8572 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0,8090 0,7986 0,7880 0,7771 0,7660 0,7547 0,7431 0,7314 0,7193 0,7071 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000 47° 0,7314 0,6820 1,0724 48° 0,7431 0,6691 1,1106 49° 0,7547 0,6561 1,1504 50° 0,7660 0,6428 1,1918 51° 0,7771 0,6293 1,2349 52° 0,7880 0,6157 1,2799 53° 0,7986 0,6018 1,3270 54° 0,8090 0,5878 1,3764 55° 0,8192 0,5736 1,4281 56° 0,8290 0,5592 1,4826 57° 0,8387 0,5446 1,5399 58° 0,8480 0,5299 1,6003 59° 0,8572 0,5150 1,6643 60° 0,8660 0,5000 1,7321 61° 0,8746 0,4848 1,8040 62° 0,8829 0,4695 1,8807 63° 0,8910 0,4540 1,9626 64° 0,8988 0,4384 2,0503 65° 0,9063 0,4226 2,1445 66° 0,9135 0,4067 2,2460 67° 0,9205 0,3907 2,3559 68° 0,9272 0,3746 2,4751 69° 0,9336 0,3584 2,6051 70° 0,9397 0,3420 2,7475 71° 0,9455 0,3256 2,9042 72° 0,9511 0,3090 3,0777 73° 0,9563 0,2924 3,2709 74° 0,9613 0,2756 3,4874 75° 0,9659 0,2588 3,7321 76° 0,9703 0,2419 4,0108 77° 0,9744 0,2250 4,3315 78° 0,9781 0,2079 4,7046 79° 0,9816 0,1908 5,1446 80° 0,9848 0,1736 5,6713 81° 0,9877 0,1564 6,3138 82° 0,9903 0,1392 7,1154 83° 0,9925 0,1219 8,1443 84° 0,9945 0,1045 9,5144 85° 0,9962 0,0872 11,4301 86° 0,9976 0,0698 14,3007 87° 0,9986 0,0523 19,0811 88° 0,9994 0,0349 28,6363 89° 0,9998 0,0175 57,2900 Matemática - Trigonometria 143 Trigonometria Exemplo 2 B Neste triângulo, determine a medida dos catetos. 15 y Resolução: 36º Analisando essa figura, devemos utilizar as razões trigonométricas A x C para obtermos, pelo menos, um dos catetos. Como foi dada a medida da hipotenusa, usaremos, em relação ao ângulo de 36º, a razão seno para obter y ou a razão cosseno para obtermos x. y sen 36º = ⇒ y = 15 . sen 36º 15 Da tabela, temos que sen 36º ≅ 0,5878, então: y = 15 . 0,5878 ⇒ y = 8,817 De forma análoga cos 36º = x ⇒ x = 15 . cos 36º 15 Da tabela, temos que cos 36º ≅ 0,8090, então: x = 15 . 0,8090 ⇒ x = 12,135 Portanto, os catetos x e y medem, respectivamente, 12,135 e 8,817. Observamos que ao obtermos um dos catetos, poderíamos ter obtido o outro cateto pelo Teorema de Pitágoras. Exemplo 3 Uma rampa tem 10 m de comprimento, e sua parte mais alta está a 6 m do solo. Qual é o ângulo de inclinação (de subida) dessa rampa? Resolução: Nossa meta é determinar o ângulo de subida θ. Ao representar um modelo da rampa, obtém-se o ângulo θ, pela razão seno. 6 sen θ = ⇒ sen θ = 0,6 10 10 m 6m θ Procurando na tabela o valor mais próximo de 0,6 para o seno, encontramos 0,6018, portanto θ ≅ 37º. 2.4 Ângulos Notáveis Existem alguns ângulos que podem ser obtidos algebricamente, e suas razões trigonométricas podem ser determinadas com precisão, sem a necessidade de arredondamentos ou aproximações. Devido a essas particularidades, esses ângulos são frequentes nos exercícios e, por esse motivo, faremos um estudo mais detalhado de suas razões trigonométricas. • Ângulo de 45º Consideremos o triângulo retângulo isósceles ABC, com catetos de medida unitária. B a 45º A a 2 a 45º C AB = AC = a BC = a 2 (Pitágoras)  = 90º B = C = 45º Prezado leitor, Agradecemos o interesse em nosso material. Entretanto, essa é somente uma amostra gratuita. 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