Exame de Ingresso na Pós-graduaç˜ao

Exame de Ingresso na Pós-graduação
Instituto de Fı́sica - UFF
Profissional - 09 de Dezembro de 2008
Resolva 6 (seis) questões, com pelo menos uma questão de cada uma das
seções. A duração da prova é de 3 (três) horas.
Mecânica Clássica
g
a
1. Um cilindro homogêneo de massa m e raio a gira sem deslizar por um fio
INEXTENSÍVEL enquanto desce sob a ação da gravidade (ver figura).
Supondo que não existem perdas no sistema:
(a) Quantas coordenadas seriam, A PRINCÍPIO, necessárias para descrever o movimento de um ponto qualquer do cilindro?
(b) É possı́vel reduzir este número de coordenadas usando algum tipo
de relação? Em caso afirmativo, efetue esta redução.
(c) Construa uma lagrangiana L para este sistema.
(d) Utilizando as equações de Lagrange, obtenha a equação de movimento do sistema.
1
2. Considere o pêndulo simples ilustrado na figura. Supondo que não há
perdas, e adotando para zero de energia potencial gravitacional o nı́vel
indicado na figura, correspondente ao pêndulo na posição vertical:
O
g
θ
l
V=0
m
(a) Obtenha a seguinte expressão para uma lagrangiana do sistema
(use um sistema de coordenadas polares (r,θ) com origem em O,
o ponto de suspensão do pêndulo):
L=
1
mℓ2 θ̇2 − mgl(1 − cos θ) .
2
(b) Como este movimento ocorre em um plano, seriam necessárias,
a princı́pio, duas coordenadas para descreve-lo. No entanto, só
a coordenada θ aparece em L. Qual o procedimento usado para
eliminar a coordenada r ?
(c) A partir da lagrangiana obtida em (a), obtenha a hamiltoniana H
do sistema, usando sua definição.
(d) Obtenha as equações diferenciais de primeira ordem no tempo
para momento e coordenada, a partir das equações canônicas de
Hamilton.
(e) Verifique, a partir do resultado de (c), que H = T + V .
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Mecânica Estatı́stica
1. Num modelo clássico simples para as oscilações numa rede cristalina
de um sólido, consideramos um conjunto de N átomos descritos como
osciladores harmônicos tridimensionais localizados e independentes. A
hamiltoniana de um desses osciladores é dada por:
Hi =
1
p2i
+ mω 2 ri2 ,
2m 2
onde o momento linear p~i e a posição do átomo em relação ao centro
de força ~ri são vetores com três componentes.
(a) Obtenha a função de partição canônica desse modelo.
(b) Determine a energia livre de Helmholtz por átomo como função
da temperatura T .
(c) Calcule a entropia do sistema e a sua capacidade térmica por
átomo.
2. Considere um sistema formado por N partı́culas localizadas e não interagentes, no qual cada partı́cula pode estar em três estados, de energias
0, ǫ e 2ǫ.
(a) Obtenha a entropia s(T ) desse sistema por partı́cula como função
da temperatura.
(b) Obtenha os limites de s(T ) quando T → 0 e T → ∞. Discuta o
seu resultado.
(c) Determine o número médio de partı́culas em cada estado como
função de T . Obtenha e discuta os limites T → 0 e T → ∞ desses
resultados.
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Eletromagnetismo
1. (a) Mostre que as placas de um capacitor de placas pararalelas se
atraem mutuamente com uma força dada por F = q 2 /(2ǫ0 A),
onde A, é a área das placas.
(b) Utilizando o resultado anterior, mostre que a força por unidade de
área (tensão electrostática) atuando sobre cada placa do capacitor
é dada por ǫ0 E 2 /2. Este resultado é geral.
2. Obtenha uma expressão para o valor do campo magnético B a uma
distância r do eixo (z) de um longo cilindro de raio R conduzindo
corrente elétrica, para r < R e r > R, nas seguintes condições:
(a) A densidade de corrente J~ é uniforme e de valor J~ = J0 ẑ.
(b) A densidade de corrente varia como J~ = k r ẑ, onde k é uma
constante de proporcionalidade.
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Mecânica Quântica
1. Um certo sistema de spin 1 pode ser descrito pelo Hamiltoniano


0 a 0


Ĥ = h̄w  a 0 0 
0 0 b
O sistema é inicialmente preparado no estado


0
1  
ψ1 (t = 0) = √  1 
2 1
(a) Se a energia for medida quais valores podem ser obtidos e com
quais probabilidades.
(b) Encontre ψ1 (t) para t 6= 0.
(c) O sistema está em auto-estado de energia?
(d) Considerando que a componente ”z” operador de spin pode ser
escrita como


1 0 0


Ŝz = h̄  0 0 0 
0 0 −1
Descreva quais os valores podem ser obtidos numa medida deste
observável e as suas respectivas probabilidades em função do tempo.
2
~
(e) Se o observável medido for Ŝ
quais valores podem ser obtidos
e quais probabilidades?
2. Considere um sistema de uma partı́cula movendo-se em uma dimensão
sem spin.
(a) Defina os operadores x̂ e p̂ descrevendo suas ações nas funções de
onda para um sistema unidimensional sem spin. Mostre a partir
destas definições que vale a relação [x̂, p̂] = ih̄.
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(b) Discorra sobre as consequências desta relação no formalismo da
mecânica quântica.
(c) Mostre que o operador
ıα
exp
p̂
h̄
efetua translações espaciais no sistema. Lembre-se da expressão
Pn=∞ n ′ n
da série de Taylor de uma função f (x + a) = n=0
a f (x)/n!
′n
onde f representa a n-ésima derivada da função f .
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