ENG285-Resolução lista 3

Transcrição

Adriano Alberto
ENG285
Adriano Alberto
Fonte: Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais 5ª edição; Beer 5ª Ed; Barroso,
L.C., Cálculo Numérico (com aplicações) 2ª edição; slides do Prof. Alberto B.
Vieira Jr.; http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geomareas-circ.htm
TORÇÃO
=G.
(material linear-elástico)
= . á
= . á
máx =
.
máx = Tensão de cisalhamento máxima do eixo, que ocorre na superfície externa.
T = torque interno resultante que atua na seção transversal.
J = momento de inércia polar da área da seção transversal [mm4 ou pol4]
c = raio externo do eixo
1
Adriano Alberto
=
.
2
= Tensão de cisalhamento
= distância intermediária
J = . = . (. ) = 2 . ci = raio interno
ce = raio externo
J = . c4
J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal circular maciça, logo:
máx =
.
J = . ( - )
J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal tubular (eixo vazado)
dT = . dF
dF = . dA
dA = 2 . . d
=
á
=> = f() =
=> dT = . {[
T=
.á
. !á"
. !á" ] . (2 . . d)} =
. á
. 2 . 3 . d
Adriano Alberto
3
Transmissão de potência
P=
.#$
&=
;
#%
#$
#%
;
P=T. &
[P] = [W] = [N.m/s]
[&] = [rad/s]
1 Hz =
'()
*
;
=
[f] = [Hz]
+,#
*
1 rad ≅ 1 raio
& = 2 . f
adm =
=> P = 2 . f . T
.
RESOLUÇÃO DA LISTA 3ª UNIDADE
PROBLEMAS ENVOLVENDO ANÁLISE DE TENSÕES
1 a 3) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão normal e a tensão de
cisalhamento que se exercem em um plano paralelo à linha a–a. Adotar o método de
análise baseado nas equações de equilíbrio da parte sombreada do cubo elementar
indicada.
Adriano Alberto
1)
4
Adriano Alberto
2)
5
Adriano Alberto
3)
6
Adriano Alberto
4 a 6) Determinar, para o estado de tensões indicado: a) os planos principais; b) as tensões
principais; c) os planos de máxima tensão de cisalhamento; d) a máxima tensão de
cisalhamento; e) as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de
cisalhamento.
4)
.! =
/01230
4
= 6,5 MPa
R = 5(41 + 6,5)4 + (36)4 = 59,60075503 MPa = á
.!á" = .! + R = 66,10075503 MPa
.!í> = .! - R = - 53,10075503 MPa
@A
arctg(2?) = 012A,3 => $ = 18,57914839° (anti-horário)
?’ = 90º - 18,57914839° = 71,42085161° (horário)
2B = 90° - 2? => C = 26,42085161° (horário)
7
Adriano Alberto
B’ = 90° - 14,03624347° = 63,57914839° (anti-horário)
5)
.! =
1@D,E24D,A
4
= 82,75 MPa
R = 5(82,75 I 27,6)4 + (41,4)4 = 68,96000653 MPa = á
.!á" = .! + R = 151,7100065 MPa
.!í> = .! - R = 13,78999347 MPa
01,0
arctg(2?) = J4,D3/4D,A => $ = 18,44741165° (anti-horário)
?’ = 90º - 18,44741165º = 71,55258835° (horário)
2B = 90° - 2? => C = 26,55258835° (horário)
8
Adriano Alberto
B’ = 90° - 26,55258835° = 63,44741165° (anti-horário)
6)
.! =
/14K20K
4
= - 40 MPa
R = 5(40 + 40)4 + (150)4 = 170 MPa = á
.!á" = .! + R = 130 MPa
.!í> = .! - R = - 210 MPa
13K
arctg(2?) = 0K20K => $ = 30,96375653° (horário)
?’ = 90º - 30,96375653° = 59,03624347° (anti-horário)
2B = 90° - 2? => C = 14,03624347° (anti-horário)
9
Adriano Alberto
B’ = 90° - 14,03624347° = 75,96375653° (horário)
7 a 9) Determinar as tensões principais e os planos principais para o estado plano de
tensões, resultante da superposição dos dois estados planos indicados.
*** 7)
10
Adriano Alberto
8)
11
Para o primeiro estado de tensão:
.! =
R=
MN 2K
OP
4
=
OP
Para o estado de tensão resultante:
Adriano Alberto
.! =
QRN
R .TUV(SW)
R
R .TUV(SW)
2 N
2 N / N
S
S
S
S
4
R = XY
@MN
4
+ = XY 4N + M
MN .Z[\(4])
4
MN .Z[\(4]) 4
4
4
4
=
4MN
I .K ^ + Y
^ + (MN )4
0
4
= OP
12
MN .\_`(4]) 4
4
^ =
.abcd(2?)e4 =
4
4
X(MN ) + 4MN .MN.Z[\(4]) + (MN ) .afgb(2?)e4 + (MN ) .abcd(2?)e4
0
0
4
X4(MN ) + 4(MN )
0
a)*($)e =
S .Z[\(4])
0
'2klm($)
Logo:
R = OP . cos$
0
= X
(MN )4
4
0
.a1 + cos(2?)e = .K . X
12Z[\(4])
4
=
Adriano Alberto
.1 = .! + R = .K + .K . cos? = OP . (1 + cos$)
13
.4 = .! - R = .K - .K . cos? = OP . (1 - cos$)
2 . ?n = arctgo
=> $w =
9)
$
RN .Vpq(SW)
S
RN
R .TUV(SW)
2 N
S
S
r = arctgs
\_`(4])
12Z[\(4])
t = arctgs
4\_`]. uv]
4.( uv])S t = arctg(tg?) =>
Adriano Alberto
14
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
.! =
JK24K
4
= 50 MPa
R = 5(30)4 + (40)4 = 50 MPa = á
.!á" = .! + R = 100 MPa
.!í> = .! - R = 0 MPa
0K
arctg(2?) = @K => $ = 26,56505118° (anti-horário)
?n = 26,56505118° + 45° = 71,56505118° (anti-horário)
?′n = 90º - 71,56505118° = 18,43494882° (horário)
Adriano Alberto
10) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima
quando:
a) σy = 14 MPa; b) σy = 98 MPa.
a)
Para o estado plano:
.! =
102EA,3
4
= 55,25 MPa
R = 5(55,2)4 + (55,25 I 14)4 = 68,91010448 MPa = á
.!á" = .! + R = 124,1601045 MPa
.!í> = .! - R = - 13,66010448 MPa
Para os círculos internos:
y1 =
K/1@,AAK1K00J
y4 =
140,1AK1K032K
4
4
= - 6,83005224 MPa
= 62,08005225 MPa
15
Adriano Alberto
16
b)
.! =
EJ2EA,3
4
= 97,25 MPa
4 = 55,20509487 MPa = R = 5(55,2)4 + (98 I 97,25)
97
á
.!á" = .! + R = 152,4550949 MPa
.!í> = .! - R = 42,04490513 MPa
y1 =
K204,K00EK31@
y4 =
134,033KE0E2K
4
4
= 21,02245256 MPa
= 76,22754745 MPa = R = á
Adriano Alberto
17
11)
Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima
quando:
a) σy = +48 MPa; b) σy = – 48 MPa; c) σy = 0.
Adriano Alberto
18
.! =
0J2K
4
= 24 MPa
R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa
.!á" = .! + R = 64 MPa
.4 = .! - R = - 16 MPa
Para o estado tridimensional:
.! =
A0/4K
4
= 22 MPa
R = 64 - 22 = 42 MPa = á
.!á" = .! + R = 64 MPa
Oí{ = - 20 MPa
Adriano Alberto
19
.! =
/0J2K
4
= - 24 MPa
R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa = á
.!á" = .! + R = 16 MPa
.4 = .! - R = - 64 MPa = Oí{
y1 =
/4K/A0
y4 =
1A/4K
4
4
= - 42 MPa
= - 2 MPa
Adriano Alberto
20
.! =
/@42@4
4
= 0 MPa
R = 32 MPa = á = Oá
Oí{ = - 32 MPa
y1 =
/4K/@4
y4 =
@4/4K
4
4
= - 26 MPa
= 6 MPa
12) Determinar, para o estado de tensões indicado, a máxima tensão de cisalhamento.
Adriano Alberto
21
.! =
DK2K
4
= 35 MPa
R = 5(120)4 + (70 I 35)4 = 125 MPa = á
.!á" = .! + R = 160 MPa
.!í> = .! - R = - 90 MPa
y1 =
/EK210K
y4 =
1AK210K
4
4
= 25 MPa
= 150 MPa
Adriano Alberto
PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO
22
13)
Um momento de torção T = 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze.
Determinar:
a) A máxima tensão de cisalhamento;
b) A tensão de cisalhamento no ponto D que fica numa circunferência de 15 mm de raio
desenhada na seção extrema do cilindro;
c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
T = 3 kN.m
a) ce = 30 mm = 0,03 m
|
J = 4 . (0,03)4 = 1,272 . 10-6 m4
máx
b) =
c) T
=
@KKK.K,K@
= 70,755 MPa
@KKK.K,K13
= 35,377 MPa
=
=
1,4D4.1K}~
1,4D4.1K}~
4|.á

. d
4|.DK,D33.1K~
K,K@

.
@
K,K13
0
=>
T’ =
4|.DK,D33.1K~
= 187,552 N.m
K,K@
K,K13
K
@ . d
Adriano Alberto

. 100 =
1JD,334
@KKK
23
. 100 = 6,25 %
14) T = 2,4 kN.m
a) máx (AB) = ?
TAB = TA = 2 400 N . m
|
J = 4 . (0,027)4 = 8,348 . 10-7 m4
máx
=
40KK.K,K4D
J,@0J.1K}
= 77,623 MPa
b) máx (BC) = ?
TBC = TA + TB = (2 400 – 1 200) N . m = 1 200 N . m
|
J = 4 . (0,022)4 = 3,680 . 10-7 m4
máx
15)
=
14KK.K,K44
@,AJK.1K}
= 71,739 MPa
Adriano Alberto
24
|
JCD = 4 . [(0,040)4 - (0,034)4] = 1,922 . 10-6 m4
40 . 106 =
.K,K0K
1,E44.1K}~
=> TCD = 1 922 N . m
|
JAB = 4 . (0,028)4 = 9,655 . 10-7 m4
55 . 106 =
.K,K4J
E,A33.1K}
=> TAB = 1 896,518 N . m
Tadm = TAB = 1 896,518 N . m
Ângulo de Torção
()#
∅=
P ().
Para torque e área da seção constantes:
∅=

Para mudança de área e/ou torque e/ou G:
Adriano Alberto
25

∅=∑

16) G = 80 . 109 Pa
a) T(3 m) = (- 20 -5) kN.m = - 25 kN.m = - 25 000 N.m
máx
=
43KKK.K,K3K
b) T(1m
T(0 m

Y S ^.(K,K3K) a 2 m) =
a 1 m)
= 127,324 MPa
- 5 – 20 + 100 => T(2m) = 75 000 N.m
= - 5 – 20 + 100 - 35 => T(1m) = 40 000 N.m
D3KKK.1
= 0,01457107 rad
0KKKK.1
= 7,771237456 . 10-3 rad
∅(1 m
a 2m)
=

Y S ^.(K,KJK) .JK.1K
∅(0 m
a 1m)
=

∅Total
= 0,01457107 rad + 7,771237456 . 10-3 rad = 0,022342307 rad
17) G = 75 . 109 Pa ; P = 450 N ; adm = 30 . 106 Pa
; BC = 0,610 m ; AB = 0,380 m
Deflexão máxima de A = 0,002 m
S = ∅ . r => 0,002 = ∅ . 0,380 => ∅ = 5,263157895 . 10-3 rad
T = 0,380 . 450 = 171 N.m
Adriano Alberto
1D1.
1D1
30 . 106 = => c3 =
=> c = 0,015366854 m => d = 30,733708 mm (não
0D14@JJE,J
.
S
serve)
5,263157895 . 10-3
=
1D1.K,A1K

Y S ^.(
) .D3.1K
=> 5,263157895 . 10-3 . c4 = 8,854107794 . 10-10
=> c = 0,020252311 m => d = 40,50462335 mm (ok)
18) G = 80 . 109 Pa ; máx(AB) = 120 . 106 Pa ; ∅C/A = - 0,018 rad no sentido de T1
T1 = ?
; T2 = ?
T2 + T1 + T3 = 0
Q .K,KJ
120 . 106 =
=> T3 = - 96 509,72632 N.m
.(K,KJ)
S
∅C/A = ∅B/A + ∅C/B
∅B/A =
/EA3KE,D4A@4.@

= - 0,05625 rad
-0,018 = -0,05625 + ∅C/B => ∅C/B = 0,03825 rad
0,03825 =
(S /EA3KE,D4A@4).4

Y S ^.(K,K3K) .JK.1K
=> T2 = 111 530,4662 N.m
T2 + T1 + T3 = 0 => T1 = -111 530,4662 + 96 509,72632 = - 15 020,73988 N.m
26
Adriano Alberto
27
***19) Os binários, aplicados, como mostrado, ao eixo de aço (G = 80 GPa) da figura,
produzem uma tensão tangencial máxima de 80 MPa e torcem o extremo livre de 0,014
rad. Determine os momentos torques T1 e T2.
G = 80 . 109 Pa ;
máx = 80 . 106 Pa ;
c = 0,050 m
∅T = ∅1 + ∅2 = - 0,014 rad
L1 = 0,6 m ; L2 = 0,3 m
T1 = ? ; T2 = ?
∅=

|
J = . c4
4
∅1 =
.K,A

;
∅2 =
S .K,@

7,639437268 . 10-7 . T1 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = - 0,014
máx =
.

= máx =

. Q
S
(I)
Adriano Alberto
80 . 106 =
28
( 2S )
.(K,K3K)Q
S
=> T1 + T2 = 15 707,96327
(II)
T1 = 15 707,96327 - T2
7,639437268 . 10-7 . (15 707,96327 - T2) + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014
=> 0,012 - 7,639437268 . 10-7 . T2 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014
=> T2 = 5 235,987756 N.m
=> T1 = 15 707,96327 - T2 = 10 471,97551 N.m
Obs: como os dois torques são aplicados no mesmo sentido, eles possuem o mesmo e sinal
e, o somatório dos dois é igual a |15 707,96327 N.m|
Resp. da lista: 19) T1 = 10470 N.m
; T2 = 5240 N.m
()#
20) ∅ = P ().
;
J=
Determinando o raio menor:
4

=

T(x) = T
=> rmenor =
; J(x) =?
S
4
=

4
. ( - )
Adriano Alberto
29
4/

/(S)

=
4/
"
=
/
"
+

ce = 2r –
+
=>
+ 4
)

J(x) = . [(2r –
=>
ci = r –
+
- (r – )4]
4
(a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b
|
J(x) = 4 . [(16r4 – 4 . 8r³ .
"
(r4 – 4r³ . 4 - 4r .
|
" Q . Q
JQ
"
= [(16r4 – 32r4 . - 8r4 .
4
=

|.
4
= |.
4
=
|.
4
4
Q
" S + 24r4 .
S
" S +
"
" Q + 24 .
" S +
Q
"

– 7,5 .
" Q Q
30
S
S
+ 22,5 .

"
" S S
"
+
+ r4 .
" + 6 . 4r² .
" .
)]
1A
"
"
13 " .

;
h = x1 – x0
1

) – 1+ 2.
1A
" .
)

+
) – (r4 – 2r4 . - r4 . .
) – (1 – 2 .
+
" S . S
S
"

]=
"

–
=
-
1 " Q +
1 " Q 4
4
|.
4
7,5
22,5
15
a15–x. –x3 . 3 +x2 . 2 +
.4 e

16.4
Pela regra dos trapézios:
I = (y0 + y1)
" Q . Q
Q
" S . S
0S
+ 24 .

" Q Q
[16 – 32 . - 8 .
∅ = ..4 K
+ 6r² .
" Q
[15 – 30 .
- 4 . 2r .
"
[(16 – 32 . - 8 .

"

4
.
.
Q
Q
4
@
+ .
4
@
- .
4
[15 – x .
=>
S
" S @K

" S S
" Q Q
-
1A
1
1A
– x3 .
S
4
1
+
" S @
+ r4 . .
+ r4 .
1
1A
.
"
)] =
" .

)]
" .

D,3
Q
]=
44,3
+ x2 .
S
+
13
1A.
. 0]
Adriano Alberto

I = K
y=
30
7,5
"
22,5
15
a15–x. –x3 . 3 +x2 . 2 +
.4 e

16.4
30
7,5
1
22,5
30
;
15
a15–x. –x3 . 3 +x2 . 2 +
.4 e

16.4
x0 = 0 ; x1 = L
h=L–0=L
y0 =
y1 =
1
30
7,5
22,5
15
a15–0. –03 . 3 +02 . 2 +
.04 e

16.4
1
30
7,5
22,5
15
a15–L. –L3 . 3 +L2 . 2 +
.4 e

16.4
'
= ' =
1
¢
13/@K/D,3244,32( )
~
=
'£
' Logo:
1
1A
'¤
I = 4 (13 + 13) = P
4
1D
@K
=> ∅ = ..4 .
=
'¤
' ...+
Cálculo da Equação Geral:
ce2 = a ; ce1 = b ; ci2 = c ; ci1 = d
¥/¦

=
/

=
¥/
"
/
"
=>
ce = a – (, I §)
=>
ci = c – ( I #)
J(x) = . {[a – (, I §)]4 - [c – ( I #)e4}
(a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4
(a - b)3 = (a – b)² . (a – b) = (a² - 2ab + b²) ( a – b) = a3 - 3a2b + 3ab2 – b3
Adriano Alberto
|
4
"

J(x) = . {¨ - 4 . ¨ . (¨ I ©) - 4 . ¨ .[
"

0
@
"

"
(¨

31
I ©)e + 6 . ¨ .
@
4
"

"

. [ (¨ I ©)e4 + [ (¨ I ©)e0 - {f 0 - 4 . f @ . (f I ª) - 4 . f .[ (f I ª)e@ + 6 . f 4 .
"
"
. [ (f I ª)e4 + [ (f I ª)e0 }} =
|
4
"

. {¨0 - 4 . ¨@ . (¨ I ©) - 4 . ¨ .
"

"Q
Q
3
2
2
3
"

. [a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4] - {f 0 - 4 . f @ . (f I ª) - 4 . f .
. [c – 3c d + 3cd – d e + 6 . f 4 .
3
2
2
3
|
=> J(x) = 4 . {¨0 - x [
0¥ /0¥Q ¦
]

- x³ [
"
0¥ /14¥Q ¦214¥S ¦S /0¥¦Q
]
Q
A /14 Q 2A S S
]
S
/0 Q /0

+ x 4[
"
∅ = K
J(x)
Pela regra dos trapézios:

I = (y0 + y1)
;
h = x1 – x0
"
I = K
J(x)
1
;
J(x)
h=L–0=L
y0 = '
(¬ Ik )
x0 = 0 ; x1 = L
"Q
Q
[¨4 – 2ab + b²e +
.
[f 4 – 2cd + d²e + . [c – 4c³d – 4cd³ + 6c²d² + d ] }}
- {f 0 - x [
+ x² [
y=
"S
S
¥ /0¥ Q ¦/0¥¦Q 2A¥ S ¦S 2¦
]

+ x 4[
"S
S
[a - 3a b + 3ab – b e + 6 . ¨4 .
0 /0 Q
]

- x³ [
Q 2A S S 2
]}}

4
4
A¥ /14¥Q ¦2A¥S ¦S
]
S
+ x² [
0 /14 Q 214 S S /0 Q
]
Q
+
+
Adriano Alberto
y1 =
1

(® /0¥ 20¥ Q¦/0¥ 214¥ Q¦/14¥ S¦ S 20¥¦ Q 2A¥ /14¥ Q ¦2A¥ S ¦ S2¥ /0¥ Q¦/0¥¦ Q 2A¥ S¦ S 2¦ /Z 20 /0 Q 20 /14 Q214 SS /0 Q /A 214 Q /A SS / 20 Q20 Q /A S S / )
S
=> y1 =
I = 4 (π
'
(¯ I )
1
(a4 Ic4 )
2
+

π
1
(b4 Id4 )
2
1
=> ∅ = .| ((®/Z) +
ce2 = a ; ce1 = b ;
∅=

1
(³ /´ )
+
. (kµ ) /(k¶ )

1

.|
1D
( 13 ) =

1

Y ^. .
1
¸
(· / )
~
)=
)
(kµ' ) /(k¶' )
ci2 = c = r ;

1
(
.| 13·
' ...+ ∅ = .| ((® /K) +
'
(¯ I )
'
ce1 = b = r ;
'¤
Fazendo c= d = 0 e
+
)
'
(
∅ = .| ((1A·/· ) +
=
'

(
(¬ Ik )
=
ci2 = c ; ci1 = d
Fazendo ce2 = a = 2r ;
=
)
+
1
¢¸
~
)
[Equação Geral]

ci1 = d = 4

1
) = .| (13· +
) =

.|
.
4
®
=

Y ^.( ) .
S
[cilindro maciço]
Fazendo c= d = ci2 = ci1 = ci
e
)=
(confere com o resultado anterior)
a = b = ce2 = ce1 = ce:
1
(® /K)
1A
13
a = b = ce2 = ce1 = ce:
=
32
Adriano Alberto
∅=
=

1
(
.| (® /Z )
+
1
(® /Z )
)=

.|
.
4
(® /Z )

=

33

Y ^.a( S ) –( S ) e.
S
[cilindro vazado]
Y ^.( – ).
Resposta da lista:
¹
...+
Obs: Os cálculos efetuados para a determinação da equação geral estão corretos. Logo,
a diferença da resposta da lista se deve ao fato dela estar errada ou não interpretei
corretamente o desenho para poder atribuir os valores corretos de a, b, c, d em relação a r.
(")"
21) ∅ = K
.
=
4

. º()ª
|.. K
T(x) = ?
→
T(x) = (L – x ) . q
=> ∅ =
=> ∅ =
22)
4
|..
4¿
|..

. K a¼L– x½. qeª =
. (Lx
"S
)
4
4¿

. ¼L– x½ª
|.. K
À.
⎂ K => ∅ = |..4¿ . (4 - 4 ) => ∅ = |..4¿ . 4 => ∅ = ..
S
S
Adriano Alberto
34
(")"
∅ = K
.
4

. º()ª
|.. K
=
T(x) = ?
→
¿

=
¿(")
"
=> q(x) =
T(x) = (L - x)
=
¿."

a¿2¿(")e
4
ÁÂS }ÁÂÃÁÂ}ÁS Â
∅=
4
4
|..
=> ∅ =
=> ∅ =

= (L - x)
=
ÁÂS }ÁS Â
4
4
=
=
a¿(/")2
Á(Â}).
e
Â
4
=
ÁÂ(Â})ÃÁ(Â})
Â
4
À( / )

¿

Ä(2 I2 )
ª =
. (4 I 4 )ª
2
|.. K
. K
¿
|..

. (L².x -
"Q
)
@
¿
⎂ K => ∅ = |..

Q
. (L².L - @ ) => ∅ =
¿
|..

4Q
)
@
.(
À
..
Obs: Na lista a resposta é ∅ =
___
Á.
e
Â
a¿2
_____
______
À
..
.
Acredito que minha resposta está correta.
Adriano Alberto
Cálculo para o caso de uma distribuição invertida, com zero na região engastada e q na
outra extremidade:
(")"
∅ = K
.
=
4

. º()ª
|.. K
T(x) = ?
→
T(x) =
¿

=
(/").¿(")
4
¿(")
/"
=> q(x) =
=> T(x) =
∅=
4
|..
=> ∅ =
=> ∅ =
(/").
¿(/")

Á(Â})
Â
4

=> T(x) =
Ä(2 I2+2 )
. K ¿
|..
¿
|..
2
. (L².x – Lx² +

.

Q
@
=> ∅ =
¿(S /4"2" S )
4
ª => ∅ =
"Q
@
)
À

. (4 I 2 + 4 )ª
|.. K
⎂K => ∅ =
..
¿
¿
|..
. (L².L – L.L² +

Q
@
) =>
(resposta igual a da lista)
PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO – TENSÕES EM PLANOS
INCLINADOS
35
Adriano Alberto
23) Determine o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado,
tendo um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo de 50 mm, sem exceder a
tensão normal de 70 MPa T ou a tensão tangencial de 75 MPa.
.¥! = 70 MPa
; ¥! = 75 MPa
Dint = 25 mm ;
Dext = 50 mm
36
Adriano Alberto
máx =
máx =
=
.
Y ^.( – )

Åá .Y ^.( – )
DK.1K~ .Y ^.Æ(K,K43) –(K,K143) Ç
.
S
S
=> T =
=
=>

K,K43
Y S ^.( – )
=> Tmáx = 1 610,679827 N.m
*** 24) Para o eixo mostrado, determine:
a) As tensões correntes no ponto A (na superfície da haste) sobre o plano B-B (o qual é
normal à superfície da peça no ponto A e faz um ângulo de 40º com o eixo da mesma).
Mostre essas tensões sobre um esboço ampliado da área elementar representando o ponto
A;
b) As máximas tensões normais ocorrentes no ponto A. Mostre essas tensões sobre um
esboço representando a área elementar em torno de A.
b)
máx =
=
.
Y ^.
0|.1KQ =
Y ^.
máx = K,3|.(K,K3)Q =>máx = 64 . 'P£ Pa
37
Adriano Alberto
38
a)
Adriano Alberto
.1 = 64 . cos(10°) = 63,02769619 MPa
1 = 64 . sen(10°) = - 11,11348337 MPa
Obs: Na resposta da lista, os sinais estão invertidos. Acredito que minha resposta está
certa.
***25) Um cilindro maciço de aço (G = 80 GPa) com 1 m de comprimento é solicitado,
torcendo de 0,03 rad. Se a tensão tangencial não excede 60 MPa, determine:
a) O diâmetro permissível máximo para a peça;
b) A tensão normal sobre um plano a-a, o qual é normal à superfície da peça no ponto A e
tem uma inclinação de 3 para 4 com o eixo longitudinal quando a tensão tangencial
máxima na peça é de 60 MPa.
a)

60. 10A = K,3|.(
0,03 =
)Q
=> T = £P. 'P£ . 0,5 . .() (I)
AK.1K~ .K,3.|.( )Q .1
K,3.|.( ) .JK.1K
=> c = 0,025 m => D = 0,050 m = 50 mm
Tmáx = 30. 10A . .(0,025)@ = 468,75 . N.m
b)
39
Adriano Alberto
@
tg? = 0 => $C = 36,86989765°
$C = 73,73979529°
2?P = 90° - 73,73979529° = 16,26020471°
1 = 60 . sen(16,26020471°) = - 16,8 MPa
.1 = 60 . cos(16,26020471°) = 57,6 MPa (compressão)
Obs: Na lista consta Tração
PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO COMBINADA COM CARGA AXIAL
26)
40
Adriano Alberto
41
27)
Adriano Alberto
42
Adriano Alberto
43
Adriano Alberto
28)
44
Adriano Alberto
29)
45
Adriano Alberto
30) T – Taço – TAl = 0
;
∅A = ∅Aço = ∅Al
È .4,30K

Y S ^.a(K,K@J) /(K,K4J3) e.4D,3.1K
46
=
ç .4,30K

Y S ^.(K,K4J3) .DA.1K
TAl . ((0,0285)0 .76) = TAço . (a(0,038)0 I (0,0285)0 e.27,5) => TAl = 0,7818 . TAço
55 . 106 =
41 . 106 =
á(ç) .K,K4J3

.(K,K4J3)
S
=> Tmáx(aço) = 1 999,9408 N.m
á(È) .K,K@J

.a(K,K@J) /(K,K4J3) e
S
=> Tmáx(al) = 2 415,7534 N.m
Logo: Taço = 1 999,9408 N.m ;
TAl = 0,7818 . 1 999,9408 = 1 563,5537 N.m
T = Taço + TAl = 3 563,4945 N.m
∅A = ∅Aço = ∅Al =
1EEE,E0KJ.4,30K

Y S ^.(K,K4J3) .DA.1K
= 0,0645 rad = 3,696°
31) TC = 75 N.m ; G = 80 . 109 Pa
a) máx(CD) = ?
b) ∅CD = ?
∅CD . 0,040 = ∅A . 0,060 => ∅CD = 1,5 . ∅A
F=

K,KAK
=>
T(engrenagem menor) = 0,040 .
(I)

K,KAK
Adriano Alberto
Obs: o torque de 75 N.m é distribuído para os dois eixos. Porém, faz-se o somatório dos torques
apenas para o eixo CD. Acredito que não se possam somar diretamente torques de dois eixos
diferentes. A parcela do torque que é transferida para a engrenagem maior, causa uma reação na
engrenagem menor, porém não significa que a reação seja com um torque igual, devido às
engrenagens serem de diâmetros diferentes. Como a força exercida é igual para as duas
engrenagens, essa reação é igual a F . R(Eng. menor) (não o raio da engrenagem maior). A soma
dessa reação com a parcela do torque que foi distribuída para o eixo CD (TCD) é igual ao torque
de 75 N.m.
TCD = 75 – 0,040 . F = 75 – 0,040 .

K,KAK
(75–0,6667.ºÊ ).0,200
∅CD =
=>
Y ^.(K,KKA) .JK.1K
S
TA .0,200
∅A =
=>
Y ^.(K,KKD3) .JK.1K
S
= 75 – 0,6667 . TA
(II)
∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (¤ I P, £££¤. )
∅A = 5,03008252 . 10-4 . TA
∅CD = 1,5 . ∅A => ∅CD = 7,545123228 . 10-4 . TA
(IV)
(V)
Igualando III e V:
1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667.ºÍ ) = 7,545123228 . 10-4 . TA
TA = 1,627604166 . (75) - 1,085123697 . TA => TA = 58,54343922 N.m
TCD = 75 - 0,6667.ºÍ => TCD = 75 – 39,03091093 = 35,96908907 N.m
máx(CD) =
@3,EAEKJEKD.K,KKA

Y S ^.(K,KKA)
= 106,0121912 MPa
∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667.58,54343922)= 0,044171746 rad = 2,5309°
32) G = 80 . 109 Pa
; c = 0,040 m ; T = 12 000 N.m ; L1 = 1,5 m ;
L2 = 2 m
(III)
47
Adriano Alberto
máx = ?
∅=

;
48
∅=?
;
máx
=

T2 + T1 = 12 000 N.m => T1 = 12 000 – T2
S .4
∅2 - ∅1 = 0 =>
K,3.|.(K,K0K) .JK.1K
-
.1,3
K,3.|.(K,K0K) .JK.1K
=0
=>2 . T2 = 1,5 . T1 => 2 . T2 = 1,5 .( 12 000 – T2) => 2 . T2 = 18 000 – 1,5 . T2
=> T2 = 5 142,857 N.m
T1 = 6 857,143 N.m
S .4
∅ = ∅2 = ∅1 =
K,3.|.(K,K0K) .JK.1K
máx(2)
=
S .
=
3104,J3D.K,K0K
máx(1)
=
.
=
AJ3D,[email protected],K0K

K,3.|.(K,K0K) K,3.|.(K,K0K) => ∅ = 0,0320 rad
= 51 156 944,570 Pa
= 68 209 262,750 Pa = máx
33) G = 80 . 109 Pa ; ci = 0,025 m ; ce = 0,050 m ; T = 13 000 N.m ; L1 = 2 m ; L2 = 3 m
máx = ?
∅=

;
máx
=

Adriano Alberto
49
T2 + T1 = 13 000 N.m => T1 = 13 000 – T2
S .@

K,3.|.a(K,K3K) /(K,K43) e.JK.1K
∅2 - ∅1 = 0 =>
-
.4
K,3.|.(K,K3K) .JK.1K
=0
=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . T1
=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . (13 000 – T2)
=> 4,074366543 . 10-6 . T2 = 0,104 - 2,546479089 . 10-6 . T2 => T2 = 15 707,96327 N.m
=> T1 = 13 000 – 15 707,96327 => T1 = 25 132,74123 N.m
.4
∅ = ∅2 = ∅1 =
K,3.|.(K,K3K) .JK.1K
máx(2)
=
S .K,K3K
máx(1)
=
.

=
=
13DKD,[email protected],K3K
=> ∅ = 2,546479089 . 10-6 rad
K,3.|.a(K,K3K) /(K,K43) e
431@4,[email protected],K3K
K,3.|.(K,K3K) = 85 333 333,34 Pa
= 128 000 000 Pa = máx
34) GBronze = 40 . 109 Pa ; ci = 0,050 m ; ce = 0,075 m ; GAço = 80 . 109 Pa ; c = 0,025 m ;
L= 2 m ;
T = 67 000 . 0,3 = 20 100 N.m
∅= ?
∅=

;
máx
=

Adriano Alberto
50
TBronze + TAço = 20 100 N.m => TBronze = 20 100 – TAço
∅AB = ∅Bronze = ∅Aço
=>
Ï .4
K,3.|.a(K,KD3) /(K,K3K) e.0K.1K
=
ç .4
K,3.|.(K,K43) .JK.1K
=> 1,253651244 . 10-6 . TBronze = 40,74366543 . 10-6 . TAço
=> 1,253651244 . 10-6 . (20 100 – TAço) = 40,74366543 . 10-6 . TAço
=> 0,079163076 - 1,253651244 . 10-6 . TAço = 40,74366543 . 10-6 . TAço
=> TAço = 1 884,95607 N.m
=> TBronze = 20 100 – 1 884,95607 = 61 261,05627 N.m
∅AB = ∅Bronze = ∅Aço
=> ∅AB =
1JJ0,E3AKD.4
K,3.|.(K,K43) .JK.1K
35) GAço = 80 . 109 Pa
; GBronze = 40 . 109 Pa ; c = 0,040 m ; LAço = 1,5 m ;
LBronze = 2,5 m ; adm(Aço) = 130 . 106 Pa
∅=

;
máx
=
= 0,076800019 rad
;
adm(Bronze) = 40 . 106 Pa

TAço + TBronze = T => TAço = T – TBronze (I)
∅Bronze - ∅Aço = 0 =>
Ï .4,3

K,3.|.(K,K0K) .0K.1K
ç .1,3
K,3.|.(K,K0K) .JK.1K
=0
Adriano Alberto
51
=> 5 . TBronze = 1,5 . TAço => 5 . TBronze = 1,5 .( T – TBronze) => 5 . TBronze = 1,5 . T – 1,5 . TBronze
=> 6,5 . TBronze = 1,5 . T => T =
TAço = T – TBronze => TAço =
adm(Bronze)
adm(Aço)
=
=
Ï .

ç .

A,3
1,3
£, ', . TBronze (II)
. TBronze - TBronze => TAço =
=> 40 . 106
=> 130 . 106
=
=
Ï .K,K0K
K,3.|.(K,K0K) ç .K,K0K
K,3.|.(K,K0K) 'P
. TBronze (III)
=> TBronze = 4 021,238597 N.m
=> TAço = 13 069,02544 N.m (IV)
Verificando (IV) em (III):
TAço =
1K
@
. 4 021,238597 = 13 404,12866 N.m > 13 069,02544 N.m
Logo, TAço = 13 069,02544 N.m
Então:
13 069,02544 =
1K
@
. TBronze => TBronze = 3 920,707632 N.m
T = 13 069,02544 N.m + 3 920,707632 N.m => T = 16 989,73307 N.m
Adriano Alberto
36) A máxima tensão ocorre quando o acoplamento se dá ao mesmo tempo da aplicação
de T0. Se a retirada de T0 for no mesmo instante do acoplamento, a tensão em BC será
zero. Se o segmento AB girou antes do acoplamento, é necessário saber o ângulo de giro.
GBC = 80 . 109 Pa
LAD = 1,2 m ;
∅=

;
; GAB = 40 . 109 Pa ; cAB = 0,050 m ; cBC = 0,025 m ; LAB = 2,0 m ;
LDB = 0,8 m ; LBC = 1,0 m ; T0 = 15 000 N.m
máx
=

TDC = TDB = TBC
T0 = TAD + TDC = 15 000 N.m
∅BC + ∅DB - ∅AD = 0 =>
.1,4
K,3.|.(K,K3K) .0K.1K
=>
(I)
K,3.|.(K,K43) .JK.1K .J
K,3.|.(K,K3K) .0K.1K
+
.K,J
K,3.|.(K,K3K) .0K.1K
=0
.1,K.J
.1,4
.1,K
K,3.|.(K,K43) .JK.1K
+
.K,J
K,3.|.(K,K3K) .0K.1K
–
=0
=> 8 . TBC + 0,8 . TDB – 1,2 . TDA = 0 => 8 . TBC + 0,8 . TDB = 1,2 . TAD
=> 8 . TDC + 0,8 . TDC = 1,2 . TAD => 8,8 . TDC = 1,2 . TAD (II)
Substituindo II em I:
–
52
Adriano Alberto
8,8 . TDC = 1,2 . (15 000 – TDC) => 8,8 . TDC + 1,2 . TDC = 18 000
53
=> TDC = TDB = TBC = 1 800 N.m
TAD = 13 200 N.m
máx(AD)
=
.
=>
máx(AD) =
máx(DB)
=
.
=>
máx(DB) =
máx(BC)
=
.
=>
máx(BC) =

[email protected],K3K
=> máx(AD) = 67 227 047,96 Pa
K,3.|.(K,K3K) 1JKK.K,K3K
=> máx(DB) = 9 167 324,722 Pa
K,3.|.(K,K3K) 1JKK.K,K43
K,3.|.(K,K43) => máx(BC) = 73 338 597,78 Pa
37)
a) máx = ?
TAB = 18 000 . N.m - 8 000 . N.m = 10 000 . N.m
TBC = - 8 000 . N.m
b) ∅D = ?
∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC
∅AB =
.4,K
K,3.|.(K,KJK) .JK.1K
∅BC = ∅BC(Bronze) = ∅BC(Aço) =
(Ï) .1,3
K,3.|.(K,K3K) .0K.1K
=
(ç) .1,3
K,3.|.a(K,KJK) /(K,K3K) e.JK.1K
Adriano Alberto
=>
(Ï) .1,3.11,1KD4
K,3.|.(K,K3K) .0K.1K .11,1KD4
=
54
(ç).1,3
K,3.|.a(K,KJK) /(K,K3K) e.JK.1K
=> 16,6608 . ÐÑ(Ð+){Ò) = 1,5 . ÐÑ(ç)) (I)
TBC = - 8 000 . N.m = ºÓÔ(Óu>ÕÖ) + ºÓÔ(Íçu) => ÐÑ(Ð+){Ò) = - 8 000 . - ÐÑ(ç)) (II)
Substituíndo II em I:
16,6608 . [ - 8 000 . - ºÓÔ(Íçu) ] = 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => - 418 731,5751 – 16,6608 . ºÓÔ(Íçu) =
= 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => ÐÑ(ç)) = - 23 056,89039 N.m
ÐÑ(Ð+){Ò) = - 2 075,850835 N.m
∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC =
1KKKK.|.4,K
K,3.|.(K,KJK) .JK.1K
-
4KD3,[email protected],3
K,3.|.(K,K3K) .0K.1K
= 0,012207031 - 0,007929166116 = 0,004277864884
=
rad
a)
máx[BC(Bronze)] =
máx[BC(Aço)] =
máx(AB)
=
(Ï) .

(ç) .

.

=>
=
=
4KD3,[email protected],K3K
K,3.|.(K,K3K) => máx[BC(Bronze)] = 10 572 221,49 Pa
4@K3A,[email protected],KJK
K,3.|.a(K,KJK) –(K,K3K) e
máx(AB) =
1KKKK.|.K,KJK
K,3.|.(K,KJK) => máx[BC(Aço)] = 33 831 108,76 Pa
=> máx(AB) = 39 062 500,00 Pa (resp)
Eixos Sólidos Não Circulares
Adriano Alberto
55
Tabela
máx =
'
.,§
;
∅=

.,§ .
a×b
Obs: para a/b × 5 => c1 = c2
Tubos de Paredes
Parede Finas com Seções Transversais Fechadas
méd =
%.
Adriano Alberto
∅=

..%
. ∮ #*
56
A . tA = B . tB (fluxo de cisalhamento)
q = méd . t
Para seção circular (t constante):
méd =
∅=
%.+

S )S .Ù
0(|
. 2 . rm =

.+ .%
Para seção quadrada (t constante):
méd =
∅=
%.,

.Ù
0¥
. 4 . am =

, .%
Para seção de triângulo equilátero (t constante):
méd =
∅=
%., .*{£P

.K.D3.Ù
¥
. 3 . am =

, .%
Adriano Alberto
38)
57
a) máx =
∅=
0,J1
¥Q
D,1K
=> 35 . 106 =
=> ∅ =
¥ .
b) a = 0,070 m
;
0,J1
(K,K3)Q
=> T = 909,563 N.m
D,1K.EKE,[email protected],@43
(K,K3) .0K.1K
= 8,3953 . 10-3 rad = 0,481°
b = 0,035 m ; a/b = 2
Obs: utilizar tabela acima
máx =
∅=

S
.¥¦

S .¥¦
Q .
=> 35 . 106 =
=> ∅ =

K,40A.K,KDK.(K,K@3)S
=> T = 738,3075 N.m
D@J,@KD3.K,@43
K,44E.K,KDK.(K,K@3)Q .0K.1K
39) a = 0,019 m ; b = 0,0095 m ; a/b = 2 ;
= 0,500°
máx = 100 . 106 Pa
; G = 79,3 . 109 Pa ;
∅máx = 15° = 0,2618 rad ; c1 = 0,246 ; c2 = 0,229
máx =
∅=
S

.¥¦S

.¥¦Q .
=> 100 . 106 =
=> 0,2618 =

K,40A.K,K1E.(K,KKE3)S
04,1J4J3.í
=> T = 42,18285 N.m
K,44E.K,K1E.(K,KKE3)Q .DE,@.1K
=> Lmín = 1,8360 m
Adriano Alberto
58
40) a = 0,030 m ; b = 0,020 m ; a/b = 1,5 ; G = 80 . 109 Pa ;
∅máx = 2° = 0,0349 rad ; c1 = 0,231 ; c2 = 0,1958
L = 0,750 m ;
máx = ?
máx =
∅=
S

.¥¦S

.¥¦Q .
máx =
=

K,[email protected],K@K.(K,K4K)S
=> 0,0349 =
1D0,E@3A
4,DD4.1K}~
41) T = 300 N.m ;
=> T = 2,772 . 10-6 .
.K,D3K
K,1E3J.K,K@K.(K,K4K)Q .JK.1K
S
(La respuesta soy yo!!!)
adm = 60 . 106
Pa
@KK
=> c = 0,014710 m = 14,710 mm
. Q d = 2 . c = 29,42 mm
b) a = d ; b = d ; a/b = 1 ;
máx =

.¥¦S
=> T = 174,9356 N.m
= 63,1081 MPa
d=?
a) 60 . 106 =
máx
=> 60 . 106 =
adm = 60 . 106 Pa
@KK
K,4KJ. Q
; c1 = 0,208
=> d = 28,860 mm
Adriano Alberto
c) a = 2d ; b = d ; a/b = 2 ;
máx =

.¥¦S
=> 60 . 106 =
42) T = 90 N.m ;
adm = 60 . 10
@KK
K,40A.4 Q
59
6
Pa ; c1 = 0,246
=> d = 21,660 mm
r1 = 0,027 m ; r2 = 0,030 m ; a = 0,0025 m ; b = 0,0035 m
rm = (30 + 27)/2 = 28,5 mm = 0,0285 m
méd =

4Ù.Í
b(méd) =
=>
a(méd) =
EK
4.K,KK43.|.K,K4J3S
4.K,KK@3.|.K,K4J3S
*** 43) T = 90 N.m ;
EK
= 7,054 MPa
= 5,039 MPa
r1 = 0,038 m ; r2 = 0,040 m ; a = 0,004 m ; b = 0,002 m
Adriano Alberto
60
Atotal =
(
+ Asegmento
Obs: na questão r ≠ l
Asegmento = Asetor - Atriângulo
2
------
?
. r2
-------
Asetor
=>
Asetor =
$.+
(? em radianos)
Atriângulo = ?
Diagonal do quadrado = l√2 = base do triângulo
Dividindo o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos para calcular a altura h:
Adriano Alberto
r2 =
(Ü√44)2
Atriângulo = X
+ h2 => h2 = r2 -
ÜS
4
ÜS
4
=> h = X 4 I S
Ü
(
. ( 4 I ) = X
4
.+
I
No mesmo trângulo retângulo, obtemos:
]
Fazendo = B
4
vÖ>EK
=
È√S
S
vÖ>Ý
=> senB =
=> $ = 2 . arcsen
(
(√
+
Ü √4
4
=> B = arcsen
(
)
Então,
Asetor = r2 . arcsen(
(√
+
)
Vamos agora calcular a área do segmento:
Asegmento = Asetor - Atriângulo
Ü √4
4
4
(
Cálculo de ?:

ÜS
)
61
Adriano Alberto
=>
Asegmento = r2 . arcsen(
(√
+
(
) - X
.+
I
(
62
Cálculo da área total:
Atotal =
ÜS
4
Atotal =
+ Asegmento
(
=>
+ r2 . arcsen(
(√
+
(
) - X
.+
I
(
Obs: O arcsen tem que ser calculado em radianos
Cálculo da área média:
Am =
(
+ + . arcsen(
( .√
+
( .+
(
) - X I rm = (40 + 38)/2 = 39 mm = 0,039 m
lm = 55 – 2 – 1 = 52 mm = 0,052 m
Logo,
Am = 1,352 . 10-3 + (1,521 . 10-3) . (1,230959417) – 4,780041841 . 10-4 =>
Am = 2,746285089 . 10-3 m²
Adriano Alberto
méd =

4Ù.Í
b(méd) =
=>
a(méd) =
63
EK
4.K,KK0.4,D0A4J3KJE.1K}Q
EK
4.K,KK4.4,D0A4J3KJE.1K}Q
= 4,096 MPa
= 8,193 MPa
Testando a validade da equação fazendo l = r:
Atotal =
=
S
4
S
4
2
+ r .
2
+ r . arcsen(
|
0
44) t = 0,0015 m ;
méd =

- X 0
=
√4
4
) - X
4 S 2|. S
0
S . S
4
-
S
4
I
=

0
22 +.2I22
0
adm = 2,5 . 106 Pa

4Ù.Í
am = 0,050 – 0,0015 = 0,0485 m ;
bm = 0,020 – 0,0015 = 0,0185 m
Am = am . bm + (am – bm) . bm = bm . (2am – bm)
Am = 0,0185 . 0,0785 = 1,45225 . 10-3 m²
2,5 . 106 =
á
4.K,KK13.1,03443.1K}Q
=> Tmáx = 10,891875 N.m
=
.+
(ok)
Adriano Alberto
45) t = 0,0032 m ; T = 339 N.m ;
adm = 3,45 . 106 Pa
d=?
3,45 . 106 =
@@E
4.K,KK@4.Í
=> Am = 0,01535326 m²
Am = (d – 0,0032) . (3 . 0,051 – 0,0032) + 0,0635 . (0,051 – 0,0032) = 0,01535326
=> (d – 0,0032) . 0,1498 + 0,0635 . 0,0478 = 0,01535326
=> 0,1498 . d - 4,7936 . 10-4 + 3,0353 . 10-3 = 0,01535326 => d = 0,085429372 m =>
d = 85,429 mm
Concentração de Tensão
Torção Inelástica
Tensão Residual
64