Distribuição Exponencial

Distribuição Exponencial
• Aplicada a dados com forte assimetria
• Caso especial da distribuição gamma com
o parâmetro λ = 1.
Distribuição Exponencial
PDF
f(X ) = λe
CDF
− Xλ
∞
F(X ) = ∫ λe
− Xλ
0
Parâmetro
Ou,
1
λ=
X
F(X ) = 1 − e
−
X
X
=1− e
− Xλ
• Dessa maneira:
A esperança e a variância da distribuição
exponencial são obtidas através das
expressões:
X = 1/λ e;
s2 = σ2 = 1/λ2,
Exemplo: Chuva em Pelotas
f
frequencia
absoluta
Classes
X
Valor Central
1 – 10
5,5
450
10 – 20
15
184
20 – 30
25
80
30 - 40
35
43
40 – 50
45
23
50 - 60
55
9
60 -70
65
7
70 – 80
75
5
80 – 90
85
2
90 -100
95
2
100 – 110
105
0
110 -120
115
1
Totais
-
806
Calculando os Parâmetro da f(x)
• Média ou Esperança
fX
∑
X =
∑f
• Parâmetro λ
1
λ=
X
Exemplo: Chuva em Pelotas
Classes
X
Valor Central
1 – 10
5,5
10 450
2475
10 – 20
15
2760
20 – 30
25
20 184
30 80
30 - 40
35
40
43
1505
40 – 50
45
50
23
1035
50 - 60
55
60
9
495
60 -70
65
70
7
455
70 – 80
75
80
5
375
80 – 90
85
90
2
170
90 -100
95
100
2
190
100 – 110
105
110
0
0
110 -120
115
120
1
115
806
11575
Totais
X
-
f
f x X
2000
Σf Xcentral =
5,5x450 + 15x184
+
25x80 + .......
= 11575
Σf = 450 + 184 +
80 + 43 + 23
+ 9 + 7 + ....
= 806
Calculando os Parâmetro da f(x)
• Média ou Esperança
fX 11575
∑
X =
=
= 14,361
∑ f 806
• Parâmetro λ
1
1
λ= =
= 0,0696
X 14,361
Classes
X
f
F(X)=1-e-Xλλ
Valor Esperado
Σf-F(X)*Σ
Σf
1 – 10
10
450
0,5016
402
10 – 20
20
184
0,7516
201
20 – 30
30
80
0,8762
100
30 - 40
40
43
0,9383
50
40 – 50
50
23
0,9692
25
50 - 60
60
9
0,9847
12
60 -70
70
7
0,9924
6
70 – 80
80
5
0,9962
3
80 – 90
90
2
0,9981
2
90 -100
100
2
0,9990
1
100 – 110
110
0
0,9995
0
110 -120
120
1
0,9998
0
806
-
806
Totais
-
F(X=10) = 1 – exp(-10 x 0,0696) = 0,5016
F(X=20) = 1 – exp(-20 x 0,0696) = 0,7516.....
Excercicio:
0
0.1-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
100-110
110-120
120-130
130-140
140-150
Frequency
0
11105
1755
870
400
206
121
50
32
7
9
4
5
2
2
1
Chuva Diaria Observada na EM/IAG/USP
12000
10000
Frequencia Absoluta
Bin
8000
6000
4000
2000
0
5
15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145
Chuva Diaria (mm)
Distribuição de valores extremos,
Tipo I de Fisher-Tippet ou Gumbel.
• Utilizada para calcular a probabilidade de
ocorrência de eventos extremos (chuva,
vazão, vento e etc.)
Distribuição de valores extremos
PDF
1
f(X ) = e
β
CDF
X −α
−
β
e
−e
−
X−α
β
F(X ) = e
−e
±
X−α
β
O duplo sinal no segundo expoente da CDF refere-se aos
valores extremos máximo (sinal negativo) e mínimo
(sinal positivo)
Os parâmetros α e β podem ser calculados por diversos
métodos.
α e β via Método dos Momentos
• As estimativas dos parâmetros β e α com
base nos dois primeiros momentos da
amostra (média X e desvio-padrão - s)
α = X − 0,5772β
β=
6
π
s
Chuva máxima de 24 horas de Piracicaba, SP, no período de 1917 a 1988
Ano
0
1
2
3
4
5
6
191...
7
8
9
65,0
68,0
65,0
59,2
192...
64,0
65,0
55,0
64,0
60,0
57,0
66,5
64,0
50,0
193...
86,5
93,0
69,0
65,0
83,0
50,0
64,4
58,8
58,0 109,5
194...
83,3
77,9 104,9 97,7
111,2
95,3
64,4
75,2
46,8 108,4
195...
55,5
62,4
73,9
54,4
57,8
80,1
39,9
59,1
80,0
78,4
196...
83,8
55,5
82,9
52,0
48,3
80,4
70,7
49,1
63,0
73,7
197...
71,6
68,5
80,4
99,5
68,6
76,0
72,7
71,8
46,4
63,4
198...
50,7
59,2
68,6
114,0
51,1
70,4
62,0 103,2 86,7
X=
∑X
N
=
65,0 + 68,0 + 65,0 + ... 62,3 + 103,2 + 86,7 5120,64
=
= 70,7
72
72
[∑ ( X − X ) ] = 364,34
=
2
s
β=
2
s = s 2 = 19,08
N −1
6
19,08 = 14,87
3,14
α = 70,7 − 0,5772 ×14,87 = 62,11
α e β via Método da Regressão
Tomando-se os valores da variável aleatória
X, ordenados em forma crescente, faz-se
a regressão de n/(N+1) contra F(X), ou
seja:
F(X ) = e − e
−
X−α
β
n
=
N +1
 n 
ln
=e
N + 1
  n 
X −α α X
ln ln
= −
 = −
β
β β
  N +1 
−
X−α
β
• Assim, se utilizarmos uma equação da
forma Y = a + bX, temos que
  n 
Y = ln ln

  N + 1 
α
a=
β
b=
1
β
Portanto, os parâmetros a e b podem ser estimados por
a = Y − bX
b=
X∑ Y
∑
∑ XY −
N
(
X)
∑
−
2
∑X
2
N
Exemplo:
Valores anuais de
chuva máxima de
24 horas de
Piracicaba, SP,
ordenados para
estimativa dos
parâmetros da
distribuição de
valores extremos
b=
a = Y − bX
X∑ Y
∑
∑ XY −
N
(
X)
∑
−
2
∑X
2
N
  n 
Y = ln ln 

(
)
N
+
1

 
∑ X = 39,9 + 46,4 + ... + 111,2 + 114,0 = 5120,7
∑ X = 39,9 + 46,4 + ... + 111,2 + 114,0 = 38255,29
∑ Y = 1,4564 + 1,2802 + ... + −3,5835 + −4,2836 = −39,97
2
2
2
2
∑ XY = 39,9 × 1,4564 + 46,4 × 1,2802 + ... + 111,2 × (−3,5835) + 114,0 × (−4,2836) = −4295,91
a = 4,3492 e b = -0,06896
β=−
1
1
=−
= 14,5012
b
− 0,06896
α = aβ = 14,5012 × 4,3492 = 63,0686
Lista de Exercício 4
Entrega: 24 de Junho
• 1) A partir da Tabela de Precipitação
máxima diária observada na Estação
Meteorológica do IAG/USP, calcule os
parâmetros alfa e beta da distribuição de
valores extremos segundo os seguintes
métodos:
a) momentos
b) regressão
Obs. Apresente todos os passos.
Valor Médio da Classe
• 2) A partir da tabela (ao
lado) de frequência de
ocorrência de
precipitação mensal
observada na
EM/IAG/USP, ajuste uma
distribuição de frequência
exponencial e plote os
resultados (observação e
modelo)
Frequencia Absoluta
25
128
50
120
75
117
100
96
125
99
150
69
175
55
200
62
225
47
250
39
275
29
300
12
325
10
350
8
375
4
400
5
425
1
450
1
475
1
500
0