Análise espectral de Hilbert-Huang: Introdução e aplicação em

Transcrição

Análise espectral de Hilbert-Huang:
Introdução e aplicação em problemas
de VIV.
Seminário de Pesquisa - EPUSP
Guilherme R. Franzini [email protected]
1/67
Escola Politécnica
Universidade de São Paulo
Resumo
1 Objetivos
2 Introdução
3 Transformada de Fourier (TF) - Revisão
4 Transformada de Hilbert
5 Transformada de Hilbert-Huang
IMF - Intrinsic mode function
EMD - Empirical mode decomposition
6 Exemplo clássico
7 Aplicações em VIV
Cilindro rígido em base elástica ([Franzini et al. 2010])
Cilindro flexível, montado em base elástica - [Franzini et al. 2011]
8 HHT-3
2/67
Escola Politécnica
• Apresentar a técnica de análise espectral de Hilbert-Huang
(HHT);
• Discutir suas motivações;
• Breve fundamentação teórica;
• Apresentar exemplos;
• Novos desenvolvimentos;
3/67
Escola Politécnica
• Introduzida no artigo [Huang et al. 1998]
• Apropriada para sinais não estacionários e/ou provenientes de
um sistema não-linear
• Amplitude definida no domínio tempo-frequência
4/67
Escola Politécnica
Definição
Define-se o par transformado de Fourier:
Z +∞
1
g (t)e −jωt dt
G (ω) = √
2π −∞
Z +∞
1
g (t) = √
G (ω)e +jωt d ω
2π −∞
(1)
(2)
5/67
Escola Politécnica
Hipóteses
• A TF é válida à luz das chamadas condições de Dirichilet
• Descontinuidades em número finito
• Sinal de energia:
R +∞
−∞
|x(t)|dt < 0
6/67
Escola Politécnica
Limitações da TF
• A TF pode ser entendida como uma superposição de funções
harmônicas, portanto admite-se que o sistema que originou o
sinal seja LINEAR
• O sinal é projetado em uma base composta por sinais de
frequências determinadas, portanto modulações não são
adequadamente tratadas.
• Wavelet também é baseada na TF
7/67
Escola Politécnica
o que fazer?
8/67
Escola Politécnica
Definição
Seja g (t) uma série temporal. Sua Transformada de Hilbert (TH)
h(t) é o valor principal da integral:
Z +∞
g (τ )
1
dτ
(3)
h(t) = P
π
−∞ t − τ
9/67
Escola Politécnica
Definição de a(t) e ω(t)
Seja z(t) = g (t) + jh(t) um sinal analítico. Logo
z(t) = g (t) + jh(t) = a(t)e jφ(t)
Sob algumas condições definem-se a amplitude a(t) e a fase
instantâneas (φ).
q
a(t) = g (t)2 + h(t)2
ω=
dφ
dt
(4)
(5)
(6)
10/67
Escola Politécnica
Exemplos
• Caso 1: g1 (t) = sin(t)
• Caso 2: g2 (t) = α + sin(t)
11/67
Escola Politécnica
Análise no plano complexo
a(t)=1
a(t)
j(t)
j(t)
Caso 1
Caso 2
12/67
Escola Politécnica
Análise no plano complexo
• No Caso 1: A amplitude constante igual a 1 e a fase
monotônica crescente (φ̇ > 0)
• No Caso 2: Amplitude não constante e fase não monotônica
crescente (φ̇ < 0 para algum t)
13/67
Escola Politécnica
Frequências negativas de oscilação não tem sentido físico.
Consequência
Para que a frequência instantânea tenha significado, é necessário
que a média local do sinal z(t) seja nula.
14/67
Escola Politécnica
E se a TH não é suficiente?
15/67
Escola Politécnica
Existe uma alternativa viável?
16/67
Escola Politécnica
Sim, existe a...
Transformada de Hilbert-Huang
17/67
Escola Politécnica
Resumo
1 Objetivos
2 Introdução
6 Exemplo clássico
8 HHT-3
18/67
Escola Politécnica
Intrinsic Mode Functions
Deve satisfazer duas condições
• Número de extremos e número de cruzamentos nulos deve ser
o mesmo ou diferir no máximo por um (Banda estreita)
• Média local, definida pela envoltória dos máximos e dos
mínimos deve ser nula.
19/67
Escola Politécnica
Resumo
1 Objetivos
2 Introdução
6 Exemplo clássico
8 HHT-3
20/67
Escola Politécnica
O que é EMD?
• Adaptativa, a posteriori
• Baseada e derivada do próprio sinal (Empírica)
• Separa o sinal segundo as diversas escalas de tempo
• Gera um certo número de IMFs.
21/67
Escola Politécnica
Processo de sifting
Dado uma série temporal h1 (t) (sinal original ou não)
• Identifico dois envelope contendo os extremos (positivos e
negativos)
• Calculo da média dos envelopes m1 (t)
• h2 (t) = h1 (t) − m1 (t)
• Repete-se o processo utilizando h2 (t) como a série original.
• O processo é repetido até que a série resultante seja uma IMF.
22/67
Escola Politécnica
Completando a EMD...
Identificada uma IMF, o processo de sifting repete-se, considerando
agora o sinal original subtraído da IMF.
23/67
Escola Politécnica
Sifting ([Huang et al. 1998])
Wind speed m s–1
(a)
Wind speed m s–1
(b)
Wind speed m s–1
(c)
Time (s)
24/67
Escola Politécnica
C4
C3
C2
C1
u
Exemplo de um sinal com várias IMFs ([Huang et al. 1998])
Time (s)
25/67
Escola Politécnica
C9
C8
C7
C6
C5
Exemplo de um sinal com várias IMFs ([Huang et al. 1998])
Time (s)
26/67
Escola Politécnica
Transformada de Hilbert-Huang
Seja x(t) um sinal qualquer. Sua HHT é obtida pelo seguinte
procedimento:
• Aplicação da EMD → Obtenção das IMFs
• Aplicação da TH para cada IMF
• Composição de todas as TH em um mapa de cores
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Escola Politécnica
Exemplo de aplicação
y /D = cos(Ω1 t) cos(Ω2 t(1 + ε cos Ω3 t))
Ω2 = 2π, Ω1 =
Ω2
100 ,
Ω1 =
Ω2
ε = 0.1
50 ,Crosswise
Vibration
1
0.8
0.6
0.4
y/D
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
20
40
60
80
100
Time [s]
28/67
Escola Politécnica
Ω2 = 2π, Ω1 =
Ω2
100 ,
Ω1 =
Ω2
50 ,
ε = 0.1
Mean TrendImf 7
Imf 6
Imf 5
Imf 4
Imf 3
Imf 2
Imf 1
Signal
Empirical Mode Decomposition
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
0
10
20
30
40
50
Time [s]
60
70
80
90
29/67
Escola Politécnica
Ω2 = 2π, Ω1 =
Ω2
100 ,
Ω1 =
Ω2
50 ,
ε = 0.1
Hilbert−Huang Spectrum
3.5
1
0.9
3
0.8
0.7
0.6
2
0.5
y/D
Frequency [Hz]
2.5
1.5
0.4
0.3
1
0.2
0.5
0.1
0
0
20
40
60
80
100
0
Time [s]
30/67
Escola Politécnica
Resumo
1 Objetivos
2 Introdução
6 Exemplo clássico
8 HHT-3
31/67
Escola Politécnica
Descrição geral
• Re constante, sob modulação da frequência.
• 3 < VR < 9 em única série temporal de deslocamento
• Duas taxas distintas de modulação da frequência
32/67
Escola Politécnica
Base elástica
33/67
Escola Politécnica
Taxa de modulação 2.5mm/s - Sinal
1
0.8
0.6
0.4
y/D
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Time [s]
34/67
Escola Politécnica
Taxa de modulação 2.5mm/s - Amplitude
1
0.9
0.8
A*(t)=A/D
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Vr increasing: Re=6400
Vr decreasing: Re=6400
Standard: 3000<Re<9000
0.1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vr(t)=U/fn(t)D
35/67
Escola Politécnica
2
0.1
Taxa de0modulação 2.5mm/s - Frequência
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vr(t)=U/fn(t)D
2
1.8
1.6
f*(t)=f(t)/fN (t)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vr(t)=U/fn(t)D
36/67
Escola Politécnica
Taxa de modulação 5.0mm/s - Sinal
1
0.8
0.6
0.4
y/D
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Time [s]
37/67
Escola Politécnica
Taxa de modulação 5.0mm/s - Amplitude
1
0.9
0.8
A*(t)=A/D
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vr(t)=U/fn(t)D
2
Escola Politécnica
Universidade
1.8 de São Paulo
38/67
0.1
Taxa de0modulação 5.0mm/s - Frequência
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vr(t)=U/fn(t)D
2
1.8
1.6
f*(t)=f(t)/fN (t)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vr(t)=U/fn(t)D
39/67
Escola Politécnica
HHT nos ajudou a ver que...
• Modulação da rigidez → amplitude menor
• Histerese é influenciada pela taxa de modulação
40/67
Escola Politécnica
Resumo
1 Objetivos
2 Introdução
6 Exemplo clássico
8 HHT-3
41/67
Escola Politécnica
Descrição geral
• Rigidez ajustada para que a frequência correspondente a de
um cilindro rígido fosse a mesma da primeira frequência
natural do flexível
• Pontos de medição: Engaste do modelo e sua extremidade
• Acelerômetros
42/67
Escola Politécnica
Set-up
Carriage
z
y
Y accelerometer
water flume
4000mm
XY accelerometer
6000mm
43/67
Escola Politécnica
Modos e Frequências naturais
1
2
3
4
Figura: Eigenmodes - FEM Analysis
44/67
Escola Politécnica
Modos e Frequências naturais
Tabela: Non-damped eigenfrequencies - Numerical analysis.
Mode shape
1
3
fN [Hz]
0.97
2.39
Mode shape
2
4
fN [Hz]
1.24
7.73
45/67
Escola Politécnica
Figuras de Lissajous xt (t) × yt (t)
VR = 0
Lissajous Figure - Re = 2276
VR = 3.6
1.5
1
1
0.5
0.5
0.5
0
−0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
yt∗
1.5
1
yt∗
yt∗
1.5
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
0
−0.5
−1
−1
VR = 4.9
−1
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
Figura: Lissajous figures - Trajectories in the plane (xt∗ , yt∗ ).
46/67
Escola Politécnica
VR = 6
VR = 7.3
1.5
1
1
0.5
0.5
0.5
0
−0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
yt∗
1.5
1
yt∗
yt∗
1.5
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
0
−0.5
−1
−1
VR = 8.5
−1
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
47/67
Escola Politécnica
VR = 9.8
VR = 11
1.5
1
1
0.5
0.5
0.5
0
−0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
yt∗
1.5
1
yt∗
yt∗
1.5
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
0
−0.5
−1
−1
VR = 12.2
−1
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
48/67
Escola Politécnica
VR = 13.9
VR = 15.1
1.5
1
1
0.5
0.5
0.5
0
−0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
yt∗
1.5
1
yt∗
yt∗
1.5
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
0
−0.5
−1
−1
VR = 16.4
−1
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
x∗t
0.5
1
1.5
49/67
Escola Politécnica
VR = 4,9
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
1
2
0.1
0.2
0
0
10
20
30
40
0.05
0
0
0
50
t[s]
10
20
Imf 1
0
Imf 2
−1
1
0
Imf 3
−1
1
Imf 4
0
−1
1
Imf 5
0
−1
1
Imf 6
0
−1
1
0
−1
1
0
10
20
0
50
Signal
0
30
Time [s]
40
50
Mean TrendImf 7
Mean Trend Imf 6
Imf 5
Imf 4
Imf 3
Imf 2
Imf 1
Signal
1
0
40
t[s]
−1
1
−1
30
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
0
10
20
30
Time [s]
40
50
50/67
Escola Politécnica
VR = 6,0
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
1
2
0.1
0.2
0
0
10
20
30
40
0.05
0
0
0
50
t[s]
Signal
Imf 1
Imf 2
Imf 3
Imf 4
Imf 5
10
20
30
40
0
50
30
Time [s]
40
50
Mean Trend Imf 6
Signal
Imf 1
Imf 2
Imf 3
Imf 4
Imf 5
Imf 6
Mean TrendImf 7
0
20
t[s]
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
10
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
0
10
20
30
Time [s]
40
50
51/67
Escola Politécnica
VR = 7,3
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
1
2
0.1
0.2
0
0
10
20
30
40
0.05
0
0
0
50
t[s]
10
20
Imf 1
0
Imf 2
−1
1
0
Imf 3
−1
1
Imf 4
0
−1
1
Imf 5
0
−1
1
Imf 6
0
−1
1
0
−1
1
0
10
20
0
50
Signal
0
30
Time [s]
40
50
Mean TrendImf 7
Mean Trend Imf 6
Imf 5
Imf 4
Imf 3
Imf 2
Imf 1
Signal
1
0
40
t[s]
−1
1
−1
30
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
0
10
20
30
Time [s]
40
50
52/67
Escola Politécnica
VR = 8,5
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
1
2
0.1
0.2
0
0
10
20
30
40
0.05
0
0
0
50
t[s]
Signal
Imf 1
Imf 2
Imf 3
Imf 4
Imf 5
10
20
30
40
0
50
30
Time [s]
40
50
Mean Trend Imf 6
Signal
Imf 1
Imf 2
Imf 3
Imf 4
Imf 5
Imf 6
Mean TrendImf 7
0
20
t[s]
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
10
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
1
0
−1
0
10
20
30
Time [s]
40
50
53/67
Escola Politécnica
VR = 9,8
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
1
2
0.1
0.2
0
0
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10
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0
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40
50
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Mean Trend Imf 6
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Imf 3
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Imf 1
Signal
2
0
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10
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30
Time [s]
40
50
54/67
Escola Politécnica
VR = 11,0
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
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1
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10
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0
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10
20
30
Time [s]
40
50
Mean Trend
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Signal
Imf 1
Imf 2
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Imf 4
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0
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1
0
−1
0
10
20
30
Time [s]
40
50
55/67
Escola Politécnica
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1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
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20
30
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0
0
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20
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Signal
Imf 1
Imf 2
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1
0
−1
0
10
20
30
Time [s]
40
50
56/67
Escola Politécnica
VR = 13,9
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
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0.15
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Time [s]
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0
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1
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1
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1
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1
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1
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1
0
−1
0
10
20
30
Time [s]
40
50
57/67
Escola Politécnica
VR = 15,1
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
1
2
0.1
0.2
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0.05
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0
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20
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40
50
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Imf 2
Imf 3
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Imf 5
Imf 6
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20
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0
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0
−2
2
0
−2
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1
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−1
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10
20
30
Time [s]
40
50
58/67
Escola Politécnica
VR = 16,4
5
1.6
10
0.5
1.4
0.45
4
8
1.2
0.4
2
6
0.3
x∗
0.8
f [Hz]
y∗
f [Hz]
0.35
1
3
0.25
4
0.6
0.2
0.15
0.4
1
2
0.1
0.2
0
0
10
20
30
40
0.05
0
0
0
50
t[s]
10
20
30
Time [s]
40
50
Mean Trend
Imf 1 Signal
Imf 2
Imf 3
Imf 4
Imf 5
Imf 6
Imf 7
Mean TrendImf 8
0
20
30
40
0
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t[s]
2
0
−2
2
0
−2
2
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2
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1
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1
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0
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1
0
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0
10
20
30
Time [s]
40
50
59/67
Escola Politécnica
HHT nos ajudou a ver...
• Identificar, em conjunto com Figuras de Lissajous saltos e
trocas modais
• Identificar entre quais modos houve a troca (Não possível via
TF)
60/67
Escola Politécnica
Conferência
• Participação na HHT-3, organizada pelos próprios criadores da
técnica.
• Foco da conferência: Aplicações e teoria
61/67
Escola Politécnica
Teoria
• Comparação da HHT com outras ferramentas de análise no
domínio tempo-frequência (por ex, wavelets)
• Alguns trabalhos buscando um maior embasamento teórico ao
processo de EMD
• Estágio atual: ?
62/67
Escola Politécnica
Aplicações
• Aplicações em quase todos os campos do conhecimento
• Finanças, ciências sociais, medicina, bioengenharia, dinâmica
de sistemas...
63/67
Escola Politécnica
Novos desenvolvimentos
• EEMD: Ensemble Empirical Mode Decomposition: Sistemas
multidimensionais (imagens ou sólidos de densidade variável)
“For multi-dimensional temporal-spatial data, EEMD is applied to
time series of each spatial location to obtain IMF-like components
of different time scales. All the ith IMF-like components of all the
time series of all spatial locations are arranged to obtain ith
temporal-spatial multi-dimensional IMF-like component. The same
approach to the one used in temporal-spatial data decomposition is
used to obtain the resulting two-dimensional IMF-like components.
This approach could be extended to any higher dimensional
temporal-spatial data”. ([Wu, Huang e Chen 2009])
64/67
Escola Politécnica
Onde usar EEMD?
• PIV ?
• Vibração de estruturas ?
• Ondas de superfície?
• ...
65/67
Escola Politécnica
Obrigado
66/67
Escola Politécnica
FRANZINI, G. R. et al. An experimental investigation on
frequency modulated viv in a water channel. In: IUTAM
Symposium on Bluff Bodies Wakes and Vortex-Induced
Vibrations - BBVIV6. [S.l.: s.n.], 2010.
FRANZINI, G. R. et al. Analysis of multimodal vortex-induced
vibrations using the hilbert-huang spectral analysis. In:
Proceeding of the third Internation Conference on Hilbert-Huang
Transform: Theory and Applications. [S.l.: s.n.], 2011.
HUANG, N. E. et al. The empirical mode decomposition and the
hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series
analysis. Royal Society London, v. 454, p. 903–955, 1998.
WU, Z.; HUANG, N. E.; CHEN, X. The multi-dimensional
ensemble empirical mode decomposition method. Advances in
Adaptative Data Analysis, v. 1, p. 339–372, 2009.
67/67
Escola Politécnica

Análise espectral de Hilbert-Huang: Introdução e aplicação em

Transcrição

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