Pré-Cálculo

Operações e Propriedades em 1 Introdução
Os conjuntos formam a base da construção de toda a Matemática e a noção matemática de conjunto é
a mesma que usamos na linguagem cotidiana: os conjuntos estão relacionados com a idéia de
agrupamento, coleção, classe de objetos. O que caracteriza um conjunto, de modo geral, são seus
elementos e, portanto, quando pensamos em um conjunto, a primeira preocupação que temos é com a
relação de pertinência, ou seja, que elementos pertencem àquele conjunto. Quando trabalhamos
matematicamente com conjuntos, além dos elementos, devemos nos preocupar com as operações que
estes elementos podem realizar e quais propriedades são satisfeitas por estas operações. Estas
preocupações são fundamentais para a realização dos cálculos necessários à solução de problemas.
É sempre importante relembrar que para o bom acompanhamento de um curso de Cálculo é
necessário que todas as regras básicas das operações com os números reais estejam presentes na memória,
o tempo todo. Por isso apresentamos este material, que contém um breve resumo das operações e
propriedades válidas em ℝ . Como se trata de uma rápida revisão, a grande maioria não será deduzida ou
demonstrada, apenas apresentada e exemplificada. Por isso recomendamos não apenas o estudo desta
revisão, como também a constante busca pelos conteúdos já vistos e esquecidos. Para a elaboração deste
material utilizamos como referência principal o livro Pré-Cálculo, que acompanha o livro Cálculo
Diferencial e Integral, de Paulo Boulos – Ed. Makron Books. Uma boa referência para um estudo mais
detalhado é a coleção Fundamentos de Matemática Elementar, da Ed. Atual, com Gelson Iesi como autor
predominante. Todavia, este é um assunto que já foi estudado ao longo do Ensino Fundamental e Médio e,
portanto, seu livro didático também poderá te auxiliar nesta tarefa.
Iniciamos com uma revisão da simbologia utilizada em Matemática, especialmente a relacionada a
conjuntos.
2
Simbologia
• Φ (letra grega phi): representa um conjunto vazio, ou seja, aquele que não possui nenhum
elemento.
Exemplos: Conjunto dos dias da semana começados com a letra r.
ℕ − = {x ∈ℕ : x < 0} = Φ
• { } (chaves): utilizadas para representar o início e o fim de um conjunto finito ou representado
por uma sentença matemática.
Exemplo: Se A é o conjunto dos algarismos Indo-Arábicos, então A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Ou, se ℤ+
é o conjunto dos inteiros positivos, normalmente escrevemos ℤ+ = { x œ ℤ : x > 0}.
• : conjunto dos números naturais. = {0,1,2,3,4,5,6, ... }
• : conjunto dos números inteiros. = { ... -5, -4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,5,6, ...}
p

• ℚ : conjunto dos números racionais. ℚ =  tal que p, q ∈ ℤ; q ≠ 0  . É o conjunto dos inteiros,
q

dos decimais com número finito de casas e dos decimais com infinitas casas iguais ou formando
dízimas periódicas (um conjunto de algarismos que se repetem infinitamente).
• : conjunto dos números irracionais. São decimais com infinitas casas, cujos elementos aparecem
aleatoriamente, ou seja, sem estabelecer nenhuma sequência.
1
Exemplos: π = 3,1415926535897932384626433832795...; 2 = 1,4142135623730950488016887242097...
• ℝ : conjunto dos números reais. ℝ = ℚ ∪ .
• ℝ ∗ *: conjunto dos números reais, sem o zero
•
A × B = {( x, y ) : x ∈ A e y ∈ B} (produto cartesiano)
• ℝ 2 = ℝ × ℝ = {( x, y ) : x ∈ ℝ, y ∈ ℝ}
• ℝ n = ℝ × ℝ × ℝ × ⋯ × ℝ , n vezes.
• ∈ (pertence): símbolo utilizado para indicar que um elemento pertence a um conjunto. Note que
este símbolo não deve ser usado em uma relação entre dois conjuntos, por exemplo, subconjunto
não pertence a conjunto.
Exemplos: 2 ∈ ℕ ;
4 , 7 ∈ ℤ+, ( x , y ) ∈ ℝ 2 .
• ∉ (não pertence): símbolo utilizado para representar a negação da relação de pertinência.
Exemplo: -12 ∉ ℕ .
• ⊂ (está contido): símbolo utilizado para indicar uma relação entre dois conjuntos, onde todos os
elementos de um, pertencem ao outro. Assim, um subconjunto está contido em um conjunto.
Exemplos: {2,-4,6,-8}
⊂ ℤ,
ℤ ⊂ ℤ (todo conjunto está contido nele mesmo);
ℕ⊂ ℤ⊂ℚ⊂ ℝ.
• ⊃ (contém): símbolo também utilizado para indicar uma relação entre dois conjuntos,
semelhante ao uso do está contido, porém escrito na forma contrária.
Exemplo: ℝ ⊃ ℚ ⊃ ℤ ⊃ ℕ . Note que conjunto contém subconjunto.
• ∪ (união): símbolo utilizado para representar a junção de dois ou mais conjuntos, digamos B e
D, a qual será um novo conjunto composto por todos os elementos de B e por todos os elementos
de D.
Exemplo: Dados os conjuntos B = {1,2,4,6,7,9} e D = {2,3,4,5,8,0}, a união de ambos, representada
por B ∪ D é dada por {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} = A. Isso significa que cada elemento de A pertence ou a
B ou a D ou a ambos. Portanto, a palavra ou indica união.
Nota: Lembre-se que quando fazemos a união de conjuntos, os elementos repetidos
aparecem uma única vez
• ∩ (intersecção): símbolo utilizado para representar um novo conjunto formado pelos elementos
comuns entre dois ou mais conjuntos.
Exemplo: B ∩ D = {2, 4}. Isso significa que os elementos de B
mesmo tempo. Portanto, a palavra e indica intersecção.
∩
D pertencem a B e a D ao
• ∀ : símbolo utilizado para representar a frase “qualquer que seja”.
Exemplo: No caso da intersecção descrita acima, matematicamente dizemos “ ∀ x ∈ B ∩ D ,
temos que x ∈ B e x ∈ D ”.
• : ou / ou tq : símbolos utilizados para representar a frase “tal que”.
Exemplo: Ainda no caso da intersecção, matematicamente definimos a intersecção entre dois conjuntos
B e D por “B ∩ D = { x : x ∈ B e x ∈ D} ou B ∩ D = { x / x ∈ B e x ∈ D}”, onde lemos “B
intersecção com D é o conjunto de todos os elementos x tais que x pertence a B e x pertence a D”.
2
•
∃ : símbolo utilizado para representar a palavra “existe”.
Exemplo:
∃ x ∈ B ∪ D : x ∉ D ( x = 1, por exemplo).
• ∴ : símbolo utilizado para representar a palavra “ portanto”.
Exemplo: 2 ∈ B e 2 ∈ D ∴ 2 ∈ B ∩ D.
•
< : símbolo utilizado para representar a frase “menor que” ou “estritamente menor que”.
> : símbolo utilizado para representar a frase “maior que” ou “estritamente maior que”.
≤ : símbolo utilizado para representar a frase “menor ou igual a”.
≥ : símbolo utilizado para representar a frase “maior ou igual a”.
Exemplos: 2 < 4; 4 > 3; {x ∈ ℕ : x ≤ 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; { x ∈ B : x ≥ 7} = {7,9}.
• ⇒ : símbolo utilizado para representar a relação de lógica “se, então”, usada quando queremos
dizer que se um fato ocorre, então necessariamente um outro também ocorrerá, ou seja, a
ocorrência de um fato implica na ocorrência de outro.
Exemplo: x ∈ B ⇒ x ∈ B ∪ D ; lemos: “se x pertence a B, então x pertence a B união com D”.
Observe que só vale a ida; a volta não é necessariamente verdadeira.
Exemplo: x ∈ ℕ ⇒ x ∈ ℤ, porém x ∈ ℤ ⇒ x ∈ ℕ
• ⇔ : símbolo utilizado para representar a relação de lógica “se, e somente se”, usada quando
queremos dizer que se um fato ocorre, então necessariamente um outro também ocorrerá, e viceversa.
Exemplo: x ∈ B ∩ D ⇔ x ∈ B e x ∈ D ; lemos: “x pertence à intersecção de B com D se, e somente
se, x pertence a B e x pertence a D”, indicando que vale a ida e a volta, ou seja, se x ∈ B ∩ D então x
∈ B e x ∈ D e, por outro lado, se x ∈ B e x ∈ D, então x ∈ B ∩ D.
Nota: É muito utilizado para representar relação de equivalência entre dois conjuntos ou
sentenças matemáticas.
• ≈ : símbolo utilizado para representar a idéia de aproximação ou valor aproximado.
Exemplo: π ≈ 3,1416.
• Intervalos:
• Aberto: ( a, b ) = {x ∈ ℝ : a < x < b}
• Fechado: [a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
• Semi-aberto à direita: [a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}
• Semi-aberto à esquerda: ( a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}
• Infinito: ( −∞, +∞ ) = {x ∈ ℝ : −∞ < x < +∞} = ℝ
3 O Conjuntos dos Números Reais
A organização dos conjuntos numéricos foi feita a partir da estrutura algébrica de cada um, ou seja,
considerando os elementos que o compõe, as operações possíveis para estes elementos e as propriedades
satisfeitas por estas operações. Seguindo esta filosofia, chegou-se a um conjunto definido por
3
ℝ = ℚ∪ onde
p

tal que p, q ∈ ℤ; q ≠ 0  e Èé o conjunto dos números chamados irracionais. Um pouco
q

ℚ = 
da história destes números será apresentada no final destas notas.
Operações em ℝ .
No conjunto dos números reais ℝ são definidas duas operações fundamentais, a adição (soma),
representada pelo símbolo + e a multiplicação (produto), representada pelos símbolos ×, ∙ ou
simplesmente um espaço. Estas operações satisfazem as seguintes propriedades:
(A1) Associativa da adição: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, sempre teremos:
(a + b) + c = a + (b + c)
(A2) Comutativa da adição: quaisquer que sejam dois números reais a e b, sempre teremos:
a+b=b+a
(A3) Elemento neutro da adição: chamamos de elemento neutro de uma operação, um elemento
pertencente ao conjunto onde a operação está definida e que possui a seguinte característica:
quando operado com qualquer elemento do conjunto, não altera este elemento.
O elemento neutro da adição é o número zero, o que significa que qualquer que seja o número
real a, sempre teremos:
a + 0 = 0 + a = a.
(A4) Elemento simétrico, ou oposto para a adição, ou inverso aditivo: qualquer que seja a ∈ ℝ ,
existe - a ∈ ℝ tal que a + (- a) = (- a) + a = 0.
Observação: Devido a esta propriedade podemos definir em a operação de subtração, estabelecendo
que
a − b = a + (−b), ∀ a, b ∈ ℝ.
(M1) Associativa da multiplicação: quaisquer que sejam os números reais a, b e c, sempre teremos:
(a b) c = a (b c)
(M2) Comutativa da multiplicação: quaisquer que sejam dois números reais a e b, sempre teremos:
a.b=b.a
(M3) Elemento neutro da multiplicação: o elemento neutro da multiplicação é o número 1, o que
significa que qualquer que seja o número real a, sempre teremos:
a . 1 = 1 . a = a.
4
(M4) Elemento inverso multiplicativo: dado um número real a ≠ 0, existe um único número real,
1
1
indicado por
ou a −1 tal que a ⋅ = 1.
a
a
(D) Distributiva da multiplicação em relação à adição: quaisquer que sejam a, b e c reais, sempre
teremos:
a (b + c) = ab + ac
Exemplo:
e
7. (8 + 2) = 7 . 10 = 70
e
7 . 8 + 7 . 2 = 56 + 14 = 70
(a + b) c = ac + bc
(7 + 8) . 2 = 15 . 2 = 30
7 . 2 + 8 . 2 = 14 + 16 = 30
Com apenas estas operações e propriedades podemos provar muitas “regras operatórias” que
utilizamos diariamente, como as que apresentamos abaixo:
i. Regra da balança: a = b ⇒ a + c = b + c e ac = bc .
Em palavras: em uma igualdade sempre podemos somar ou multiplicar uma mesma quantidade sem alterar
o resultado. O nome da regra advém de interpretar a e b como pesos de uma balança (aquela de dois pratos),
os quais sendo iguais, mantêm a balança em equilíbrio (idéia da igualdade na equação). Este equilíbrio é
mantido se acrescentarmos (ou retirarmos) a mesma quantidade em cada prato, ou seja, adicionarmos (ou
subtrairmos) c. Como o produto é definido em termos de somas de parcelas iguais, vale o mesmo princípio.
Consequência: a + b = c ⇒ a = c − b, pois a + b − b = c − b ⇒ a = c − b (somamos (−b) .
Esta regra possibilita a resolução de muitas equações, como por exemplo,
2x + 4 = x − 3 ⇔ 2x – x = −3 − 4 ⇔ x = −7
ii. Cancelamento: a + b = a + c ⇒ b = c e ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c .
Nota: A condição a ≠ 0 é fundamental para o cancelamento da multiplicação, senão teríamos, por
exemplo, 3⋅ 0 = 2 ⋅ 0 ⇒ 3 = 2, o que é naturalmente errado.
iii. Regra do fator nulo: a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0.
iv. Regra do produto nulo: ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0.
Esta regra é muito utilizada na resolução de equações algébricas, como por exemplo
x2 + x − 2 = 0 ⇔ (x −1) (x + 2) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ou x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ou x = −2.
ex (x3 – 4 x2) = 0 ⇔ ex = 0 ou x3 – 4 x2 = 0. Como ex ≠ 0 (aprenderemos isso mais tarde), segue que
x3 – 4 x2 = x2 (x – 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4.
v. Regras de sinal: representando por (+) um número inteiro positivo e por (-) um número inteiro
negativo, temos: (+) ⋅ (+) = (+);
(+) ⋅ (-) = (-);
(-) ⋅ (+) = (-);
(-) ⋅ (-) = (+);
(+) + (+) = (+);
(-) + (-) = (-).
5
Como curiosidade, vejamos algumas demonstrações ...
Você sabe por que 0 × a = 0, - (- a) = a, (- a) b = - a b ou (-a) (-b) = ab ?
Por causas destas definições e propriedades que acabamos de ver .... Quer conferir?
0 × a = 0 para todo inteiro a.
De fato, utilizando as propriedades vistas, podemos escrever
0 ⋅ a = (0 + 0) ⋅ a = 0 ⋅ a + 0 ⋅ a ⇒ 0 ⋅ a − 0 ⋅ a = (0 ⋅ a + 0 ⋅ a ) − 0 ⋅ a = 0 ⋅ a + (0 ⋅ a − 0 ⋅ a ) .
Portanto,
0 = 0⋅a + 0
⇒
0 = 0 ⋅ a. ♦
A verificação das regras do produto envolvendo números negativos não é tão imediata e para fazê-la,
precisamos antes verificar alguns resultados:
1) a + b = 0 fl b = - a
De fato, se a + b = 0, somando (- a) em ambos os lados e aplicando as propriedades A1, A3 e A4,
teremos
a + b = 0 fl (- a) + (a + b) = (- a) + 0 fl (- a + a) + b = - a fl b = - a.
2) - (- a) = a.
Isso pode ser visto como uma consequência imediata da definição de simétrico ou oposto.
3) a = b ⇒ a + c = b + c
De fato, utilizando as propriedades D, M1, A2 e A3, temos
a + c − (b + c) = 0, pois a + c − 1(b + c) = a + c − b − c = a − b + c − c = a − a + c − c = 0 + 0 = 0
Logo, por i) e ii) segue que
a + c − (b + c) = 0 ⇒ a + c + [−(b + c)] = 0 ⇒ a + c = −[−(b + c)] ⇒ a + c = b + c
4) (- a) b = - a b.
Para verificar esta igualdade observamos que:
• Por um lado temos [(- a) + a] b = (- a) b + a b.
• Por outro lado, temos [(- a) + a] b = 0 b = 0.
• Portanto, (- a) b + a b = 0. Aplicando o item i) acima, concluímos que (- a) b = - a b.
Isso mostra que se a , b > 0, então o produto de negativo com positivo é negativo!
5) (-a) (-b) = ab.
Utilizando os itens iv), ii) e a propriedade M2, podemos afirmar que
(-a) (-b) = -[ a (-b)] = -[(-b) a] = -[-b a] = ba = ab .
Portanto, se a, b > 0, então o produto de dois números negativos é um número positivo.
6
Potenciação (com expoente inteiro positivo)
Definimos a potência de um número real a do seguinte modo:
a0 = 1, a ≠ 0
a1 = a
an = an-1 .a, onde n = 2, 3, 4 …
Nesse contexto, a é referido como base e n como expoente.
Note, por exemplo, que
→
a3⋅a2 = (a.a.a)⋅(a.a) = a.a.a.a.a = a5 = a3+2 .
→
(a2)3 = (a.a)3 = (a.a)⋅(a.a)⋅(a.a) = a.a.a.a.a.a = a6 = a2.3.
→
(ab)3 = (ab) (ab) (ab) = a.a.a.b.b.b = a3 . b3.
Estes exemplos são apenas casos particulares de regras mais gerais, que descrevemos abaixo.
Regras de potenciação: se a ∈ ℝ e m, n ∈ℤ + tem-se:
• am + n = am an
• (am)n = am n
• (ab)n = an bn
• a m−n =
am
, se a ≠ 0, m > n
an
n
an
a
•   = n , se b ≠ 0
b
b
Nota: Quando se faz uma definição, em geral tem-se em mente a utilidade da mesma no
desenvolvimento daquela teoria, ou seja, a definição deve garantir que as propriedades sejam
satisfeitas para todo elemento do conjunto em questão. Por exemplo, uma pergunta muito
frequente é: por que a0 = 1 ? Bem, com o espírito de garantir que as propriedades formais da
potenciação com expoentes naturais se mantenham, não temos outra alternativa senão definir
a0 como foi feito. Por exemplo, pelas propriedades já vistas, para todo n ∈ ℤ + temos:
an = an+0 = an a0 ⇒ an = an a0 ⇒ a0 = 1 (para valer o elemento neutro da multiplicação)
a 0 = a n −n =
an
1
= a n n = 1 ⇒ a0 = 1
n
a
a
(para valer o elemento inverso da multiplicação)
7
Divisão
Se a e b são números reais, a ≠ 0, definimos a divisão (ou quociente) de b por a por:
b
1
= b⋅ ,
a
a
1
b
é o inverso multiplicativo de a. Neste caso, temos uma fração, que pode ser denotada por
ou
a
a
b/a, onde b é chamado numerador e a, denominador.
onde
CUIDADO: Não existe divisão por zero !!!
Exemplos: A fração
2
não tem significado em Matemática.
0
A expressão
x+2
só tem significado para valores de x diferentes de 3 (x − 3 ≠ 0).
x −3
Quando trabalhamos com frações devemos ter um cuidado especial com as operações, com os sinais e
mesmo com a igualdade. Vejamos porque ...
Igualdade de frações:
Se b ≠ 0, d ≠ 0, temos
a c
=
⇔ ad = bc .
b d
Isso significa que frações aparentemente diferentes podem ser iguais.
3 9
=
4 12
Exemplos: a)
b)
pois 3 . 12 = 4 . 9
x+4 1
= se x = 1 ou x = −5, pois ( x + 4) x = 5 ⇔ x 2 + 4 x − 5 = 0 ⇔ x = 1 ou x = −5
5
x
Consequências da definição de igualdade
•
a ac
= , ∀ a, b, c ∈ ℝ, b, c ≠ 0 .
b bc
Exemplo:
3 9
9 3⋅3
=
porque
.
=
4 12
12 4 ⋅ 3
• Uma fração é igual a zero se, e somente se, que seu numerador for zero, pois para quaisquer
a, b ∈ ℝ, b ≠ 0 , tem-se
0=
0
a
a 0
⇒
= 0 ⇔ = ⇔ a ⋅1 = b ⋅ 0 = 0
1
b
b 1
Exemplos: a)
x2 − 4
= 0 ⇔ x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2
x+8
8
⇒
a
= 0 ⇔ a = 0.
b
b) A equação
3
3
= 0 não possui solução , pois pela definição de igualdade,
= 0 ⇔ 3 = 0,
x −1
x −1
o que não faz sentido. Neste caso escrevemos
3
≠ 0, ∀ x ∈ ℝ ou S = F.
x −1
Regra de sinais para frações:
São as mesmas utilizadas para números inteiros, porém, aqui vale observar que:
−a a
a
=
=−
b −b
b
−a a
ii.
=
−b b
i.
Exemplos: a)
−5
5
5
=
=− ;
7
−7
7
b)
x−a
a−x
;
=− 2
2
2
x +a
x + a2
c)
3− x
−( x − 3)
−1
1
=
=
=−
, para x ≠ −3 e x ≠ 3.
2
x+3
x − 9 ( x + 3) ( x − 3) x + 3
As operações de adição, multiplicação, divisão e potenciação possuem definições específicas para o
caso de frações.
1.
Adição:
a c ad + bc
.
+ =
b d
bd
Exemplos: a)
b)
3 5 12 + 35 47
;
+ =
=
7 4
28
28
13 +
5 13 5 13 ⋅ 3 + 1 ⋅ 5 39 + 5 44
= + =
=
=
3 1 3
1⋅ 3
3
3
10 2 10  2  10 −2 30 − 6 24 8
− =
+ −
=
+
=
=
=
3 3 3  3  3
3
9
9 3
Observação: Conforme vimos no exemplo b), se os denominadores são iguais, basta
conservar os denominadores e somar os numeradores. Isso é uma regra geral, pois pela definição
temos
a b ac + cb c(a + b) c ( a + b) (a + b)
+ =
=
=
=
, ∀ a , b, c ∈ ℤ, c ≠ 0.
c c
cc
cc
c c
c
Por isso fazemos:
5 7 −2 −1
− =
=
;
6 6
6
3
CUIDADO: Vimos acima que
1 92 93
+
= ;
5 5
5
x
3
x −3
−
=
, x ≠ −3.
x+3 x+3 x+3
a+b a b
= + , para todo número real a, b, c , c ≠ 0 . Porém, em geral,
c
c c
a
a a
≠ + . Veja, se isso fosse verdadeiro sempre, teríamos, por exemplo,
b+c b c
12
12
12 12
=
=
+
= 4 + 12 = 16 !!!! Absurdo !!!!
4 3+1 3
1
9
2.
Multiplicação:
a c ac
.
⋅ =
b d bd
A multiplicação é mais simples, pois basta multiplicar os numeradores e os denominadores.
Exemplos: a)
9 3 27
⋅ =
;
4 7 28
x sen(x ) x sen(x)
⋅
=
, x ≠ −5.
x+5
3
3( x + 5)
CUIDADO: Não confunda o procedimento de somar com o de multiplicar, pois se fizer isso obterá
a b a+b a+b
a b a+b a+b
, quando o correto seria
.
+ =
=
+ =
=
c c c+c
2c
c c
c
c
Exemplos:
15 5 15 + 5 22
+ =
=
7 7 7 + 7 14
→
15 5 15 + 5 22
+ =
=
→
7 7
7
7
ERRADO
CORRETO
Divisão de frações
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela inversa da segunda, ou seja,
a c a d
: = ⋅ , para quaisquer a, b, c, d ∈ ℝ, b, c, d ≠ 0.
b d b c
Usualmente escrevemos
a
b = a⋅d .
c b c
d
Observações
1. Para dividir a por b/c escrevemos a = a/1 e procedemos como acima. Assim,
a
a 1 a c ac
.
= = ⋅ =
b b 1 b b
c c
1
1 1 1 5 5
= = ⋅ = .
Exemplos: a) O inverso de 4/5 é:
4 4 1 4 4
5 5
2
2
2 8
16
= 1 = ⋅
=− .
b)
3 −3 1 −3
3
−
8
8
2. Para dividir a/b por c escrevemos c = c/1 e procedemos segundo a definição. Assim,
10
a a
b = b = a⋅1 = a .
c c b c bc
1
−15
−15
−15  −3  45
= 1 =
⋅
=
Exemplos: a)
.
−2
−2
1  2  2
3
3
−x
−x
− x 1 − x − x(1 − x) x 2 − x
= 1 =
⋅
=
=
b)
10
10
1 10
10
10
1− x 1− x
Observação: Para evitar erros, ao trabalhar com frações, sempre coloque o traço da fração principal
na mesma linha do sinal de igual.
Potências com expoentes inteiros
Podemos agora estender a definição de am, para m inteiro qualquer, do seguinte modo:
Sejam a ≠ 0, b ≠ 0 e m, n inteiros quaisquer (positivos ou negativos). Então temos:
a)
a0 = 1
b)
a −n =
c)
an
a
  = n
b
b
d)
am
= a m −n
an
1
an
n
a
Consequência:  
b
−1
−n
=
a
b
 
1 5
3
Exemplos: a)   = = ;
3 3
5
5
−1
n
1
n
=
1
bn b n  b 
b
a
=
1
⋅
= n =   ; em particular:   = .
n
n
a
a
a
a
a
b
bn
8
b)  
3
−2
=
1
8
 3
 
2
=
1
32
9
= 2 =
2
64
8
8
32
Potências com expoentes fracionários - Raiz n-ésima
Definição: Seja b > 0 um número real e r um racional (fração). Escrevendo r = p/q, p e q inteiros, q > 0,
definimos
q
br = b p / q = b p .
Destacaremos o caso particular em que r = 1/n, n > 1, inteiro. Neste caso temos
11
1
n
b =nb
que é chamado de raiz n-ézima de b.
Esta definição pode ser estendida para valores negativos de b, sob certas condições. Assim, temos:
•
Se b ≥ 0 é um número real e n > 1 é um inteiro par, definimos a raiz n-ésima de b como sendo
•
um número real a ≥ 0 tal que a n = b . Indicamos a = n b . b é chamado radicando ,
é o
radical e n é o índice.
Se b é um número real qualquer e n > 1 é um inteiro ímpar, definimos a raiz n-ésima de b como
sendo o único número real a tal que a n = b . Indicamos a = n b .
Decorre da definição que
n
n
8 = 2, pois 23 = 8;
3
Exemplos:
( b)
= b.
3
−8 = −2, pois ( −2)3 = −8 ... observe que o índice 3 é ímpar.
16 = 2, pois 24 =16;
4
( −9)2 = 9, pois
( −9)2 = 81 = 9; o índice 2 é par, logo a raiz é positiva.
Propriedades:
Valem as seguintes propriedades para a e b reais e n, p, m inteiros, n > 1, m > 1:
(i )
n
(ii )
ab = n a
n
n
a
=
b
( a)
(iv )
p n
n
m
b
a
, b≠0
b
n
(iii )
n
= n am
pn
a =
a
com a ressalva de que, se n é par, então a ≥ 0, b ≥ 0, e a ≠ 0 se n, m < 0.
Exemplos:
a.
b.
5
4 5 6 = 5 24
3
3
36
=
6
c.
( 8)
d.
3 4
9
2
3
36 3
= 6
6
= 9 82 = 9 64
2 = 12 2
CUIDADO: Em geral,
n
a+b ≠ n a + n b .
16 + 9 = 25 = 5 , porém
De fato,
3
16 + 9 = 4 + 3 = 7 .
8 + 1 = 3 9 = 2,080038... , porém
12
3
8 + 3 1 = 2 +1 = 3 .
Observações:
1. É muito comum a confusão entre a raiz quadrada de um número, digamos a, e a solução de uma
equação quadrática do tipo x2 = a. Observe que tanto
dada, pois
( a)
2
(− a )
=a e
2
= ( −1) 2
soluções, a saber, x = ± a . No entanto,
( a)
2
a quanto − a são soluções da equação
= 1 ⋅ a = a . Portanto, a equação x2 = a possui duas
a é um único número positivo b tal que, b2 = a.
Exemplo: As soluções da equação x2 = 144 são x = ± 144 = ±12 . Assim ≤12 são as raízes da equação
dada e não os valores de
144 , que é apenas 12.
2. Generalizando temos que, se b > 0 e n é par, então existem dois números, a saber,
a+ = n b e a− = − n b , tais que a n = b , porém a raiz n-ésima de b é apenas a+ , pois é positiva
por definição.
3. Quando se pergunta quanto é
x 2 , a resposta quase sempre é x, ou seja, escreve-se
Todavia, se tomarmos, por exemplo, x = - 4, teríamos
errado, pois
x2 = x .
( −4) 2 = −4 , o que evidentemente está
( −4) 2 = 16 = 4 . Qual seria então a resposta correta? Bem, segue da definição de
raiz-quadrada que
x 2 é o único número positivo ou nulo que elevado ao quadrado dá x2.
2
Como x = x 2 e x ≥ 0 , segue que
x2 = x .
Relações de Ordem
Até agora vimos propriedades dos números reais que envolvem igualdade. Para examinarmos as
propriedades que envolvem desigualdades é interessante termos uma visão geométrica do conjunto dos
números reais, o que facilitará a compreensão dos resultados. Convenciona-se representar o conjunto dos
números reais por uma reta e sobre ela, escolhe-se um ponto para ser a origem. Neste ponto posiciona-se o
número 0. À direita do 0 e em ordem crescente, encontram-se os números positivos e à esquerda, de modo
simétrico, os números negativos.
...
-4
-3
-P
-2
-1
0
1
2 P 3
4
...
Assim, estabelecemos uma ordem entre os elementos dizendo que:
→ Se um número a está à esquerda de um número b, então a é menor que b e indicamos a < b.
→ Se um número b está à direita de um número a, dizemos que b é maior que a e indicamos b > a.
Do ponto de vista algébrico, dizemos que:
→ b > a se b – a é positivo;
→ a < b se a – b é negativo.
13
Em particular, se b é positivo, podemos indicar b > 0, pois b – 0 = b é positivo. Do mesmo modo, se b
é negativo, podemos indicar b < 0, pois b – 0 = b é negativo. Assim, temos:
a < b ou b > a ⇔ b − a > 0
.
b < a ou a > b ⇔ b − a < 0
Introduzimos a seguinte notação :
a ≥ b significa a > b ou a = b.
a ≤ b significa a < b ou a = b.
Convenção: Se x > a e x < b, costuma-se combinar isso escrevendo a < x < b. Significado análogo
tem as expressões a ≤ x ≤ b, a ≤ x < b, a < x ≤ b .
CUIDADO: A convenção acima só se aplica a intervalos contínuos e com a utilização do sinal < ou §.
Portanto, nunca escreva, por exemplo, 5 > x > 10 para representar x < 5 ou x > 10. Neste caso escreva
(−¶,5) » (10,+¶) ou { x ∈ ℝ : x < 5 ou x > 10 }.
Propriedades: Para todo a, b, c ∈ ℝ temos:
•
a≤b e b≤c ⇒ a≤c
(transitividade)
•
a ≥ b ⇒ a + c ≥ b + c

a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
(soma de valores iguais não altera a desigualdade)
•
 a ≥ b ⇒ ac ≥ bc
c>0 ⇒ 
 a ≤ b ⇒ ac ≤ bc
(a multiplicação por valores positivos não altera a desigualdade)
•
 a ≥ b ⇒ ac ≤ bc
c<0 ⇒ 
 a ≤ b ⇒ ac ≥ bc
(a multiplicação por valores negativos inverte a desigualdade)
Demonstração:
Estas demonstrações são simples e, a fim de não tornar o estudo por demais abstrato, faremos somente o
último caso, como exemplo. Os leitores mais curiosos poderão fazer as demais sem dificuldades.
Por definição, a ≤ b significa que b - a ≥ 0. Multiplicando o lado esquerdo por c < 0 e usando a regra do
produto de um número positivo por um negativo, obtemos
(b - a) ⋅ c ≤ 0.
Pela propriedade distributiva segue que bc – ac ≤ 0, de onde obtemos ac ≥ bc.
♦
4 Expressões polinomiais
Informalmente falando, podemos dizer que uma expressão polinomial é a soma de parcelas do tipo
ax , a real e n natural (se n = 0, convenciona-se que ax n = a). No caso de duas incógnitas é a mesma
n
coisa, o tipo sendo ax n y m , m natural. Os números que multiplicam as potências nas expressões e os que
figuram isoladamente são chamados de coeficientes.
2
Assim, −2, 3 e 7 são os coeficientes de
−2 x + 3x + 7 , e assim por diante. Cada parcela da expressão polinomial é referida como termo. Assim,
14
−2 x 2 , 3x e 7 são os termos de −2 x 2 + 3x + 7 . O termo no qual não aparece x é chamado de termo
independente ou termo constante. Os termos de mesmo expoente, do tipo ax n e bx n , são chamados
termos semelhantes. Por exemplo, 4 x 2 e −3 x 2 são termos semelhantes.
Operações:
•
Soma: A soma de expressões polinomiais é feita somando todos os termos, podendo-se usar a
propriedade distributiva para os termos semelhantes.
Exemplo:
(5 x 4 − 2 x 2 + x + 4) + ( x3 + 8 x 2 − 5 x − 1) = 5 x 4 + x3 + (−2 + 8) x 2 + (1 − 5) x + (4 − 1) = 5 x 4 + x 3 + 6 x 2 − 4 x + 3
•
Produto: O produto de expressões polinomiais é feito termo a termo, respeitando-se as regras de
potência e a propriedade distributiva.
Exemplo:
(5 x 4 − 2 x 2 + x + 4) ( x3 + 8 x 2 − 5 x − 1) =
5 x 4 ( x 3 + 8 x 2 − 5 x − 1) − 2 x 2 ( x3 + 8 x 2 − 5 x − 1) + x( x 3 + 8 x 2 − 5 x − 1) + 4( x3 + 8 x 2 − 5 x − 1) =
5 x 7 + 40 x 6 − 25 x 5 − 5 x 4 − 2 x 5 − 16 x 4 + 10 x 3 + 2 x 2 + x 4 + 8 x 3 − 5 x 2 − x + 4 x 3 + 32 x 2 − 20 x − 4 =
5 x 7 + 40 x 6 − 27 x5 − 20 x 4 + 22 x 3 + 29 x 2 − 21x − 4
•
Produtos notáveis: alguns produtos são tão utilizados que acabam recebendo nomes e métodos
especiais de resolução. Eis alguns deles:
( x + a)( x − a) = x 2 − a 2
( x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2
( x − a)2 = x 2 − 2ax + a 2
( x + a)3 = x3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a3
( x − a)3 = x3 − 3x 2 a + 3xa 2 − a3
Observações:
1. Os produtos notáveis são identidades, ou seja, as igualdades acima são verdadeiras para todo x real.
2. A expressão ( x + a) n , n > 1 é denominada Binômio de Newton, devido ao matemático que determinou
uma fórmula para a sua expansão. Os casos exemplificados acima são casos particulares desta fórmula
geral, a qual é dada por:
n
n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3
n(n − 1)⋯ 2 n −1
x a +
x a +⋯ +
xa + a n ,
( x + a) n = x n + x n −1a +
1!
2!
3!
(n − 1)!
sendo que 1! = 1, 2! = 2.1, 3! = 3.2.1, n! = n. (n-1).(n-2).(n-3) ... 2.1
3. Muita atenção para o fato de que, em geral,
( x ± a) 2 ≠ x 2 ± a 2
( x ± a )3 ≠ x 3 ± a 3
( x ± a) n ≠ x n ± a n , n > 1
Quando dizemos “em geral” queremos dizer podem existir alguns valores de x ou de a que tornem, por
exemplo, a igualdade ( x + a)2 = x 2 + a 2 verdadeira. a = 0 é um caso.
15
Quociente: O teorema (algoritmo de Euclides) que fala sobre a divisão de inteiros positivos é o
seguinte: Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado (q, r) de números inteiros tal que
a = bq + r, com 0 ≤ r < b . Neste contexto, q e r são chamados, respectivamente, quociente e resto da
divisão euclidiana de a por b, onde a é o dividendo e b, o divisor. Assim, ao dividirmos, por exemplo, 50
por 13, obtemos o quociente igual a 3 e o resto igual a 11, ou seja, podemos escrever
50
11
50 = 3 . 13 + 11 ou equivalentemente,
= 3+ .
13
13
Existe um teorema análogo que diz respeito à divisão de uma expressão polinomial por outra. Para
enunciá-lo, introduzimos a seguinte nomenclatura:
Se na expressão polinomial an x n + an−1 x n−1 + ⋯ a1 x + a0 tem-se a ≠ 0 , ela é dita ter grau n.
Agora podemos formular o seguinte resultado:
Se A e B são expressões polinomiais, B ≠ 0 , existe um único par (Q, R) de expressões polinomiais
tal que a identidade A = BQ + R se verifica, com R = 0 ou grau de R < grau de B.
Existe um algoritmo para efetuar a divisão de polinômios, análogo ao algoritmo utilizado para dividir
números inteiros. O exemplo a seguir ilustra.
Exemplo: Para dividir 5 x 3 − 3x + 4 por x 2 − x + 1 podemos proceder de maneira análoga à divisão entre
números inteiros. Podemos inclusive usar a mesma disposição prática do processo:
5 x 3 + 0 x 2 − 3x + 4 x 2 − x + 1
a)
Divida 5x 3 (primeira parcela do dividendo) por
x 2 (primeira parcela do divisor) para obter 5x (primeira parcela
do quociente):
5 x 3 + 0 x 2 − 3x + 4
b)
x2 − x + 1
5x
Multiplique 5x pelo divisor, mudando o sinal, para obter −5 x 3 + 5 x 2 − 5 x . Escreva isso abaixo do dividendo
para somar com ele:
5 x 3 + 0 x 2 − 3x + 4
−5 x 3 + 5 x 2 − 5 x + 0
5x 2 − 8 x + 4
c)
x2 − x + 1
5x
Repita o processo com 5 x 2 − 8 x + 4 como dividendo:
5 x 3 + 0 x 2 − 3x + 4
−5 x 3 + 5 x 2 − 5 x + 0 x 2 − x + 1
5x 2 − 8 x + 4
5x + 5
2
−5 x + 5 x − 5
−3 x − 1
Como a expressão –3x –1 tem grau 1, menor que o grau 2 do divisor, devemos parar por aqui.
16
Observação: O processo de divisão acima nos permite escreve a seguinte identidade em :
5 x 3 − 3x + 4 = ( x 2 − x + 1 )( 5 x + 5 ) − 3x − 1
ou equivalente
5 x3 − 3x + 4
3x + 1
= 5x + 5 − 2
2
x − x +1
x − x +1
Fatoração: Fatorar um polinômio significa escreve-lo como um produto de outros polinômios, onde
cada fator é um polinômio de grau inferior ao do polinômio fatorado. Existem vários tipos, porém só
vamos tratar aqui o caso que mais nos interessa:
Teorema Fundamental da Álgebra: Seja Pn ( x ) um polinômio de grau n, com variável x. Então
Pn ( x ) pode ser escrito na forma
Pn ( x) = c ( x − a1 ) m1 ( x − a2 ) m2 ⋯ ( x − an ) mn
onde c é uma constante, a1 , a2 ,⋯, an são as n raízes de Pn (x) (reais ou complexas) e mi denota a
multiplicidade da i-ésima raiz.
Observações:
(i) Um número a é dito raiz de um polinômio em x se ao ser colocado no lugar de x, anula o polinômio.
(ii) Chamamos de multiplicidade de uma raiz o número de vezes que ela ocorre no mesmo polinômio. Se
a multiplicidade for 1, chamamos a raiz de simples.
(iii) Um polinômio é dito irredutível quando só possui raízes simples. Se as raízes são admitidas apenas
em , então o polinômio é dito irredutível quando só possui raízes simples ou não possui raízes reais.
(iv) O Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que todo polinômio pode ser fatorado, bastando para
isso, conhecer suas raízes.
Exemplo:
Logo,
x = 1 é raiz do polinômio p( x) = x3 − 1 , pois substituindo x por 1 obtemos p(1) = 0 .
x – 1 é um fator do polinômio p(x) , quando na forma fatorada, ou seja, p(x) pode ser escrito
na forma p( x) = ( x − 1) q( x) . Para determinarmos q( x) basta dividirmos p( x ) por ( x − 1) e obteremos
q( x) = ( x 2 + x + 1) . Logo, podemos escrever p( x) = x3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1) .
Neste exemplo observamos que x = 1 é uma raiz simples de p( x) = x3 − 1 e que q( x) = ( x 2 + x + 1) é
um polinômio irredutível em , pois não possui raízes reais. Portanto, se estamos trabalhando apenas no
conjunto dos reais, a expressão fatorada de p( x ) é ( x − 1)( x 2 + x + 1) .
Expressões racionais
Como já foi visto, as operações com expressões algébricas seguem as mesmas regras das
operações com números reais. Todavia, quando se trata de frações, um cuidado a mais sempre é
necessário, pois muitos detalhes precisam ser observados:
• O denominador não pode ser zero. Portanto, ao efetuar um cálculo do tipo
2
5x4
−
x2 − 1 x2 + 2 x + 1
17
a primeira preocupação deve ser a determinação dos valores de x que podem ser utilizados nas operações,
ou seja, o domínio da expressão. Neste caso, temos x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1 e x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = −1 .
Portanto, ao trabalhar com a expressão acima, devemos ter sempre em mente que estamos considerando
x ≠ ±1 .
• A fatoração deve ser sempre utilizada para verificar a presença ou não de fatores comuns nos
denominadores, o que facilitarão os cálculos. Observe que:
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1) e x2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 .
Logo, existe um fator comum no denominador, que é ( x + 1) , e assim a operação acima torna-se:
2
5x4
2
5x4
2( x + 1) − 5 x 4 ( x − 1) −5 x5 + 5 x 4 + 2 x + 2
−
=
−
=
=
x 2 − 1 x 2 + 2 x + 1 ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2
( x − 1)( x + 1)2
( x − 1)( x + 1) 2
•
0
b
= 0, ∀ a ≠ 0 e = 0 ⇔ b = 0 . Mas é muito comum erros do tipo:
a
a
2
=0 ⇔ x−2=0 ⇔ x=2.
( x − 2)2
A solução para a equação proposta é, naturalmente, o conjunto
vazio, pois 2 ≠ 0 .
Módulo ou Valor Absoluto
Definição: Seja x ∈ ℝ. O módulo de x é dado por
 x, se x ≥ 0
x =
 − x, se x < 0
Interpretação Geométrica: distância de x até a origem.
|x|
|x|
0
-x
x
Propriedades: ∀ a, b ∈ ℝ , temos:
•
a ≥0 e a =0 ⇔ a=0
•
ab = a b e se b ≠ 0,
•
−a = a
•
a = a2
•
 a + b ≤ a + b

 a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0
2
= 0 ⇔ x = 0 ou
( x − 2) 2
a
a
=
b
b
2
(desigualdade triangular)
18
Exemplos: Nestes exemplos vamos exercitar um pouco do que vimos através da resolução de equações e inequações
(com desigualdades), buscando encontrar o conjunto solução.
1) Resolva a equação |x - 2| = 5.
Solução: Da definição de módulo, temos:
x−2
 x − 2, se x − 2 ≥ 0
 x − 2, se x ≥ 2
= 
= 
.
 −( x − 2), se x − 2 < 0
 2 − x, se x < 2
Portanto a equação torna-se:
 x − 2 = 5, se x ≥ 2

2 − x = 5, se x < 2
 x = 7, se x ≥ 2
⇔ 
.
 x = −3, se x < 2
Assim, as soluções da equação são x = 7 e x = -3, ou S = {-3, 7}.
2) Resolva a equação | x | = 2 |-x| .
Solução: Da definição de módulo, temos:
 x, se x ≥ 0
x =
 − x, se x < 0
e
 − x, se − x ≥ 0
 − x, se x ≤ 0
−x = 
= 
.
 x, se − x < 0
 x, se x > 0
Portanto a equação torna-se:
 x = 2 x, se x > 0

 − x = −2 x, se x < 0
 0 = 0,
se x = 0

, cujo conjunto solução é S = {0}.
3) Resolva a inequação x ≤ a .
Solução: Utilizando a definição de módulo, a inequação torna-se:
 x ≤ a, se x ≥ 0
 x ≤ a, se x ≥ 0
≈ 
.

 − x ≤ a, se x < 0
 x ≥ −a, se x < 0
Assim, o conjunto solução é S = {x ∈ ℝ : − a ≤ x ≤ a} = [ − a , a ] .
4) Resolva a inequação x − 1 < 2 .
Solução: Utilizando a definição de módulo, a inequação torna-se:
 x − 1 < 2, se x ≥ 1
 x < 3, se x ≥ 1
≈ 

1 − x < 2, se x < 1
 x > −1, se x < 1
.
Assim, o conjunto solução é S = {x ∈ ℝ : − 1 < x < 3} = ( −1, 3) .
5) Resolva a inequação x − 4 ≥ 3 .
Solução: Utilizando a definição de módulo, a inequação torna-se:
 x − 4 ≥ 3, se x ≥ 4
 x ≥ 7, se x ≥ 4
 x ≥ 7, se x ≥ 4
≈ 
≈ 
.

4 − x ≥ 3, se x < 4
 − x ≥ −1, se x < 4
 x ≤ 1, se x < 4
Assim, o conjunto solução é S = {x ∈ ℝ : x ≤ 1 ou x ≥ 7} = ( −∞, 1]) ∪ [7, + ∞) .
6) Resolva a inequação 2 x − 6 > x + 4 .
Solução: Neste caso, como os dois termos da desigualdade são positivos, elevando ambos ao quadrado, o sinal da
desigualdade permanecerá e os cálculos serão simplificados. Assim teremos
19
2x − 6 > x + 4
⇔
2
2x − 6 > x + 4
2
⇔
(2 x − 6)
2
> ( x + 4)
4 x 2 − 24 x + 36 > x 2 + 8 x + 16 ⇔ 3 x 2 − 32 x + 20 > 0 ⇔
Portanto, S = (- ∞ ,
x<
2
2
3
⇔
ou
x > 10.
2
) ∪ (10, + ∞ ).
3
O Conjunto dos Números Irracionais - Pitágoras e seus seguidores constataram a existência de números que não podiam ser expressos na
forma de um decimal exato ou uma dízima periódica, como por exemplo, 2 . A existência deste número
era “visível” geometricamente, pois o próprio Teorema de Pitágoras garantia que “em todo triângulo
retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Logo, o tamanho da
diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 seria dado pela solução da equação d 2 = 2, pois d 2 = 12 + 12,
conforme podemos ver na figura abaixo.
Geometricamente estimavam o valor destes números com régua e compasso, utilizando o raciocínio
expresso na figura abaixo:
E foram além, construindo geometricamente a raiz quadrada de todos os inteiros positivos usando
régua, compasso e o Teorema de Pitágoras. Veja como:
Acredita-se que a origem do símbolo adotado para representar estes valores esteja na primeira letra
minúscula da palavra radix, que significa raiz (em latim). Como radix era o nome dado à solução de uma
20
equação igual a zero, o valor procurado seria a solução de uma equação do tipo d 2 = a ou d 2 - a = 0,
que estava associado à diagonal de um quadrado, daí o nome “raiz quadrada”.
O cálculo numérico destas raízes quadradas era uma difícil tarefa para números que não eram
quadrados perfeitos. Lembramos que um número é dito ser um quadrado perfeito quando é o quadrado de
um número natural. Por exemplo, 1, 4 e 9 são quadrados perfeitos, pois 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, e assim por
diante. Porém a grande questão era como calcular a raiz quadrada de um número natural qualquer. E isso
foi feito por aproximações, como mostra o esquema abaixo:
Prosseguindo com as aproximações, encontraremos 2 = 1,4142135623730950488016887242097...
Com estes cálculos foi-se percebendo que
2 não é um decimal exato, pois tem infinitas casas
decimais; também não é uma dízima periódica. Então 2 não pode ser escrito na forma de fração, ou seja,
não é um número racional. Então foi dado a ele o nome de número irracional.
Assim, números irracionais são todos os números que possuem infinitas casas decimais não
periódicas e, portanto, não podem ser expressos na forma de fração. A proposição abaixo nos fornece uma
quantidade infinita de números irracionais.
Proposição: Se p é um número primo, então
p é um número irracional.
Além destes, existem outros números irracionais que são muito utilizados na matemática, como por
exemplo, os números
π = 3,1415926535897932384626433832795 ... e
e = 2,7182818284590452353602874713527 … ,
ambos com uma longa história.
O número pi, representado pela letra grega π, é mais conhecido por estar associado à medida de
ângulos, porém sua descoberta é muito antiga e está estreitamente ligada ao problema da quadratura do
círculo, o qual consistia em encontrar um quadrado cuja área fosse igual a de um círculo dado. Este
problema se remota aos egípcios (1800 a.C.) e perdurou durante muito tempo, sendo que se pode
21
conseguir uma solução elegante do problema da quadratura com a espiral de Arquimedes que,
efetivamente, foi utilizada por Arquimedes (250 a.C.) com esta finalidade. O fato é que durante estes
estudos, percebeu-se que a razão entre o comprimento da circunferência de um círculo qualquer e seu
diâmetro, era sempre constante. Esta constante foi chamada de π, porém seu valor foi lentamente sendo
calculado. No Oriente antigo tomava-se frequentemente o número 3 como valor de π. Para a quadratura do
círculo egípcia dada no papiro Rhind, temos π = (4/3)4 = 3,1604 … . Porém a primeira tentativa científica
de encontrar o valor de π parece ter sido a de Arquimedes, por volta de 240 a.C., que concluiu que π
estava entre 223/71 e 22/7, ou que, até a segunda casa decimal, π é dado por 3,14. Depois de Arquimedes,
a primeira aproximação notável de π foi dada por Claudio Ptolomeu em sua famosa Syntaxis
mathematica, a maior obra de astronomia produzida na Grécia antiga (150 d.C.). O valor de π usado neste
trabalho era de 377/120 ou 3,1416. Deste este trabalho até a década de 80 (a última), inúmeros estudos
foram realizados a fim de determinar o valor de π com um número maior de casas decimais e entender sua
natureza. Para conhecer toda esta história é necessário ler as várias obras que existem sobre este número,
mas nos limitaremos aos fatos mais relevantes: em 1767, Johann Heinrich Lambert provou que π é
irracional. Em janeiro de 1986, D. H. Bailey, da NASA, fez funcionar um supercomputador Cray-2 por 28
horas, usando um algoritmo de J.M. e P.D. Borwein, para obter π com 29 360 000 dígitos. Pouco depois,
Yasumasa Kanada, da Universidade de Tóquio, usando um supercomputador NEC SX-2 e o mesmo
algoritmo dos Borwein, calculou π com 137 217 700 dígitos.
A história do número e é bem mais recente e está intimamente relacionada com a história dos
logaritmos, que foram inventados por John Napier em 1614 e publicados em 1619. A princípio só
existiam os logaritmos na base 10 e provocaram uma revolução no processo de fazer cálculos. Questões
financeiras, como o procedimento para se calcular juros compostos, levaram a uma fórmula para calcular
quanto teria uma pessoa que aplicou uma quantia S0, a uma taxa de r %, após um período de tempo t,
nt
n
r
1


sendo os juros compostos n vezes neste período. Este valor seria S = S0  1 +  . A expressão  1 + 
n
 n

chamou a atenção pelo fato de que, na medida em que n aumentava, ela se aproximava de um certo valor,
conforme podemos ver na tabela abaixo:
A questão era saber se este padrão continuava, ou seja, se os valores de (1+1/n)n se estacionariam em
torno de 2,71828 para valores muito elevados de n. Esta intrigante possibilidade foi de fato confirmada
por uma cuidadosa análise matemática, que será omitida aqui, porém pode ser encontrada nas referências
22
citadas ao final do capítulo. Não se sabe ao certo quem primeiro notou o comportamento peculiar da
n


 1
expressão (1+1/n) à medida que n tende ao infinito  lim  1 +  = e  , e por isso a data do nascimento
n →∞ 
n


do número que mais tarde seria denotado por e, permanece obscura. Parece provável, no entanto, que suas
origens recuem até o início do século XVII, por volta da época em que Napier inventou os logaritmos.
Aquele período foi marcado por um enorme crescimento do comércio internacional e as transações
financeiras de todo tipo proliferaram. Em consequência, um bocado de atenção foi dada à lei dos juros
compostos, e é possível que o número e tenha sido reconhecido pela primeira vez neste contexto. Mas
várias outras questões também levaram ao mesmo número na mesma época, e a sua utilização como base
n


dos logaritmos, nos chamados logaritmos naturais ou neperianos  ln x = log x  e da função exponencial
e 

 f ( x ) = e x ou f ( x ) = exp( x )  ocupam até hoje um lugar de destaque no Cálculo Diferencial e Integral.


Geometricamente o número e pode ser interpretado de vários modos, como a área sob o gráfico da função
f(x) = ex, quando x varia de -∞ até 1; como a inclinação da reta tangente ao gráfico da mesma função em x
= 1; e ainda, a área sob a hipérbole y = 1/x, de x = 1 a x = e, é igual a 1. Vejamos os gráficos para entender
melhor:
y
y
3
f(x) = exp(x)
f(x) = 1/x
4
A = e (área da região rachurada)
2
3
(1, e)
A = 1 (área da região rachurada)
2
1
1
A
A
x
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
1
2
e
3
4
2
reta tangente em x = 1
Curiosidade: Observe que se escrevermos o número e com apenas 9 casas decimais, teremos e =
2,718281828 ... e poderemos achar que o bloco 1828 continuará se repetindo, fazendo com que e seja
uma dízima periódica. Todavia, este bloco é enganador, pois e é um número irracional e representado por
uma sequência infindável de casas decimais que não se repetem, conforme apresentado acima. A
irracionalidade de e foi provada em 1737 pelo matemático Leonhard Euler, que o utilizou em muitos
estudos, inclusive utilizando a letra e para representá-lo, mas não se sabe ao certo se ela foi escolhida por
ele e se está relacionada ao seu nome.
23
EXERCÍCIOS
1. Sabendo que 102 = 100; 103 = 1.000 , etc. e 10-1 = 0,1; 10-2 = 0,01; etc. estabeleça uma regra geral
para 10n, onde n é um inteiro qualquer.
2. A partir do exercício 1, responda:
a) Que potência de 10 é um trilhão?
b) 1051 é o número 1 seguido de quantos zeros?
c) 10-51 é um número1 precedido de quantos zeros?
3. Determine o valor de n para:
i) 10n = 100.000
ii) 10n = 0,001
iii) 2n = 64
n
iv) 7n = 343
n
 3
  = 0,09
v)  10 
4
  =1
vi)  3 
4. Quantos dias inteiros há em 108 segundos?
5. Estima-se que a massa da Terra seja 6,0×1024 Kg. Já ultrapassamos a marca de 6 bilhões de
habitantes. Imaginemos que cada habitante tenha, em média, 50 Kg. Quantas vezes a massa da
Terra é maior que a massa de toda a população humana?
6. Uma molécula de açúcar comum (sacarose) pesa 5,7×10-22 g e uma de água, 3×10-23 g. Qual das
duas é mais pesada? Quantas vezes uma é mais pesada que a outra?
7. Num copo de água com açúcar há 180 g de água e 11,4 g de açúcar. Usando os dados do exercício
anterior, calcule:
a) Quantas moléculas de água há no copo;
b) Quantas moléculas de açúcar;
c) Quantas vezes mais moléculas de água há do que de açúcar;
d) O total de moléculas de água com açúcar.
8. Uma molécula de sal de cozinha pesa 9,7×10-23 g. Quantas moléculas existem em 1 Kg de sal?
Responda na notação científica (a×10n, 1 ≤ a ≤ 10).
9. O Sol é formado por uma massa de gases quentes, sendo 1 milhão de vezes maior e cerca de
300.000 vezes mais pesado que a Terra. Calcule a massa do Sol.
10. Brasil e Itália disputaram a final da copa do mundo de futebol de 1994. Calcule qual foi o resultado
do jogo, antes dos pênaltis:
Brasil:
( −1)2 n + ( −1)2 n+1 + ( −1)2 n+ 2 + ( −1) 2n +3
Itália:
( −1)4 n + ( −1)4 n+1 + ( −1)4 n+ 2 + ( −1) 4n +3
11. Suponha que um país A tenha uma renda per capta anual de 20.000 dólares e uma população de 50
milhões de habitantes. Um outro país B tem uma renda per capta de 10.000 dólares e uma
população de 20 milhões. Se os dois países se fundirem para formar um novo país, a renda per
capta resultante estará mais próxima de qual valor?
24
12. Calcule o valor das expressões abaixo e responda qual tem o maior valor e qual tem o menor valor:
−1
 −1 
b) ( −1)3 +   + ( −2) −1
 2 
a) 025 + ( −25)0 + ( −1)4
c)
10−1
5−1 + 2 −1
d)
4 −2 − 4 −2
4 −2 + 4 −2
13. Coloque em ordem crescente os seguintes números racionais:
15 11 18
47 2
a)
, , , 1,
,
16 12 19
48 3
4 3 7
1 6
b) −2, , − , , −1, 0, 2, − ,
3 2 3
4 2
14. Simplifique as frações abaixo:
145
1540
;
b)
;
a)
86
3720
15. Efetue as operações abaixo:
2 4
5 7
a) + ;
b)
− ;
3 15
12 18
16. Efetue e/ou simplifique:
3x + 1
x2
a)
+
x +1 x +1
x
x2
d)
+ 2
x+3 x −9
c)
c)
987
343
2 1 1
+ − ;
3 4 5
d)
10 3 1 3
− + −
3 10 5 4
x − 2 2x −1
−
x + 2 2x + 1
1
e) x − 1 +
x −1
b)
x
1
−
x +1 x
2 4 

f) x  3 x 4 − + 3 
x x 

c)
2
4
7 x18
g)
2 x11
h) x ( x )
 2x 
i)  
 3 
j) ( −2 x ) x 7
k) −( −3x ) 2 ( −2 x 3 )
l) (4rs 2 )( −3 xr 3 )
b) −( −4 + a ) = 4 − a
c) ( − x ) 2 = − x 2
d) ( −a + b)( −c) = ac − bc
e) ( −6)( a − b) = −6a + b
f) ( −1 − w)( −1) = 1 − w
36 144
=
13 42
3x x
j)
=
6 2
m) x > y ⇒ 2 x > 2 y
−6 42
=
7 −49
x + 3 4 x + 12
k)
=
4
16
n) x ≤ y ⇒ zx ≤ zy
−4 36
=
−9 81
4ab 8( −ab)
l)
=
−2
4
o) x < y ⇒ − x > − y
b) − 12 x + 5 ≤ 2
e) ax < − ax + 1
c) 4 − x ≥ 2 x − 5
f) ax − 2 ax ≥ a
17. Verdadeiro ou falso?
a) −( − a + 3) = a + 3
g)
18. Resolva as desigualdades:
a) 7 x − 2 > 9
d) 19 x + 5 ≥ − 3 x
4
3 7
h)
25
i)
19. Determine o conjunto solução das equações e inequações abaixo:
a) 2 x − 4 = 6
b) 7 x − 4 < 10
c) x = −2
d) x + 5 ≥ 2
e) 3x + 1 = x − 2
2
2
f) 2 − 4 x > 3
g) ( 2 x − 1) = 25
h) ( x + 2 ) = a 2 , a > 0
i) x2 = -9
j) 3x2 – 6 = 0
k) ( x − 1)( x + 2) = 0
l) 1 − 5x < 4
20. Calcule:
4
1
+3
25
9
a) 5 49 − 121
b)
d)
e) − 1.000.000
g)
j)
625
−
3
4
8
27
h)
1
125
3
k) −3 324
4096
c)
1,21 − 0,01
f)
−900
i)
10
1024
l)
3
26 36 53
21. Simplifique:
−2
a)
4
x 4x 5 x x 3
9
x2 + 5 7 x3
d)
g)
j)
5
3
b)
(
8
4
e)
x4
x
5
y2
)
40
c) x 3 x + 4 x 4/3 − 5 3 x 4
5
33 3
3
f)
3
32 3 3 2
512
k)
3
a10b6
4
2 5
8
( x)
2
h) 18000
1024
5 4 x 4 16 3 x 3
4
i)
3
a 4b7
l)
4
14.256
ab
22. Uma determinada marca de tinta é vendida num recipiente cúbico que tem capacidade de 4096 cm3
(o mesmo que 4,096 l ). Quanto mede a aresta do recipiente?
a + a + ⋯ + an
23. A média aritmética de n números positivos a1, a2, …, an é dada por 1 2
, e a média
n
geométrica é
n
a1 ⋅ a2 ⋅ ⋯ ⋅ an .
a) Calcule a média aritmética e a geométrica de 3, 8 e 9.
b) Qual das médias é maior?
24. a) Calcule 1001, 1001,5 e 1002.
b) A média aritmética dos expoentes 1 e 2 é 1,5. A média aritmética das potências 1001 e 1002 é
1001,5? Justifique sua resposta.
c) Verifique se a média geométrica de 1001 e 1002 é 1001,5.
25. Indique qual é a média aritmética e geométrica de 10m e 10n.
26
26. Quanto mede a aresta de um cubo que tem volume igual ao de um bloco retangular de 512 mm ×
216 mm × 125 mm?
27. A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar,
o número de fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule:
a) O número de fumantes da cidade.
b) O número de habitantes da cidade.
28. Efetue os produtos:
2
a) ( x + 1) (2 x − 1) (4 x )
2
2
b) (3u − 6v) (u − v )
2
2
c) (3x − 4 x + 5) ( x − 6 x + 4)
29. Resolva a equação (2 x + 3) 2 = (2 x) 2 + 32 .
30. Divida (isto é, dê o quociente e o resto):
2
a) 4 x − 3x + 6 por x + 2
4
3
2
b) x + x + 2 x + 15 por 2 x − 6 x + 4
31. Fatore:
2
a) x + 4 x + 3
2
2
b) x − 3x + 2
3
c) 25x − 4
d) 8 x − 27
3
e) x − 7 x + 6
3
f) 2 x − 4 x + 2
32. Verdadeiro ou falso? Justifique ou dê contra-exemplo.
a) a é sempre positivo
b)
9 = ±3
c) a pode ser nulo
d)
a + b = a + b , ∀ a, b ∈ R
e) a + b = a + b , ∀a, b ∈ R
f)
3
g) ab < a b
i)
k)
1
(x − a )
2
=
3
h)
1
1
− 2
2
x
a
x 2 + 2x + 1 2x + 1
=
x +1
x 2 + x +1
x2 = x 2
( x ) = x, x ≥ 0
2
j) x − 2 = 3 x 3 − 8
2
l) (− x ) = − x 2
27
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Boyer, Carl B.. História da Matemática, Ed. Edgard Blücher, 6ª edição, São Paulo, 1986.
Eves, Howard. Introdução à História da Matemática, Ed. da UNICAMP, Campinas (SP), 2004.
Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo e Machado, Antonio. Matemática e Realidade – 9º ano, Ed. Atual, São
Paulo, 2007.
Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar – Conjuntos e Funções, Ed.
Atual, 8ª edição, 6ª reimpressão, São Paulo, 2008.
Maier, Rudolf R.. Teoria dos Números – Texto de Aula, Versão atualizada 2005,
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Maor, Eli. e: a história de um número, Ed. Record, 5ª edição, Rio de Janeiro, 2008.
Moretti, Méricles T.. -1 × -1 = +1? REPPEMAT, p. 20-21, UFSC, 2006.
Shokranian, Salahoddin. Uma Introdução à Teoria dos Números, Ed. Ciência Moderna, Rio de
Janeiro, 2008.
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