CÁLCULO E MATEMÁTICA – 4º e 5º ano

Objetivo Pedagógico e Metas de Ensino de uma Escola Waldorf - Tobias Richter
CÁLCULO E MATEMÁTICA – 4º e 5º ano
ASPECTOS PRINCIPAIS E METAS PEDAGÓGICAS GERAIS - 1° AO 8° ANO
"NAS ESCOLAS WALDORF, O ENSINO DA MATEMÁTICA É DIVIDIDO EM TRÊS FASES. Na primeira, a qual
abrange os 5 primeiros anos da escola, o cálculo é derivado de atividades infantis intimamente ligadas com
as funções vitais da criança, sendo ampliado pouco a pouco de dentro para fora. Na segunda fase, do 6° ao
8° ano, predomina o aspecto prático... A transição para a terceira fase, do 9° ano em diante, é caracterizada
pelo acréscimo do ponto de vista racionalista". É assim que H. v. Baravalle, primeiro professor de
matemática na escola Waldorf de Stuttgart, descreve a estrutura dessa matéria, em seu livro Rechenunterricht und der Waldorfschulplan [O ensino da matemática e o plano de ensino Waldorf.
COM RELAÇÃO À PRIMEIRA FASE
Convém, em primeiro lugar, responder a duas perguntas:
1. Como ocorre a primeira formação de conceitos matemáticos?
2. Como é que ela se enquadra na psicologia do desenvolvimento humano?
R. 1. A observação mais cuidadosa mostra que a formação de conceitos aritméticos e geométricos decorre
de percepções e de atos do organismo motor. Fazer contas já é movimento interiorizado, acom-panhado da
percepção do mesmo movimento. E. Schuberth denomina isso de "conteúdo sensorial do ensino
matemático" (Schuberth, Stgt. 1976). Também os resultados das pesquisas de Piaget, relativas ao
desenvolvimento da inteligência infantil, apontam nessa direção: "na fase das operações concretas" (até a
idade dos 12, 13 anos), a criança realizamovimentos quando precisa relacionar uma coisa com outra. Esses
movimentos dependem também de percepções concretas, das quais a criança ou dificilmente se desliga ou
ainda não consegue se desligar.
R. 2. Isso leva à resposta à segunda pergunta: se a formação de conceitos matemáticos está ainda vinculada,
na primeira fase, às percepções concretas, a meta do ensino não é "generalizar e abstrair", mas "concretizar
e considerar cada caso isolado" (Cf. E. Schuberth, Op. cit.). Com isso está caracterizado um caminho que
possibilita ligar o matematizar com toda a capacidade de vivenciar da criança, em vez de fazer com que ela
se defronte com estruturas lógicas e abstratas. Convém, nesta altura, apontar para a relação que existe
entre o matematizar e a consciência necessária do movimento das mãos no desenho de formas, no qual este
movimento é concretamente treinado e cultivado. Essa experiência ativa da criança é a base para uma
vivência correta da "fase da operação formal" (Piaget). A regra "da mão, pelo coração, até a cabeça" (é esse
o sentido da "capacidade de vivenciar") permite às crianças fazer uso das suas predisposições. "As melhores
perguntas quanto a conceitos e explicações são formuladas por alunos que não as fazem a partir de uma
intelectualidade rápida, mas a partir de uma procura emocional de maior clareza no pensar" (B. Ulin,
Stgt.1987, p. 276).
No ensino fundamental, essa relação concreta com a matemática requer ainda um outro elemento não
ligado ao movimento. É aquele da qualidade, poder-se-ia também dizer da essência de cada número.
Se antes, ao contar, a ênfase fora colocada na quantidade enquanto resultado de um movimento o qual
momentaneamente cessou ou sobre o próprio movimento, na introdução do conceito número a qualidade
deve se acercar da quantidade. Chegamos mais perto do aspecto qualitativo do número ao investigarmos,
por meio de muitos exemplos, em que lugar do mundo o número em questão realmente tem uma função
ativa; como por exemplo o número 5 na flor de uma rosa (Cf. E. Bindel: Die geistigen Grundlagen der Zahlen
[A base espiritual dos números]). Respondemos dessa maneira ao desejo da criança de saber mais a respeito
do mundo e das coisas produzidas pelos homens, isto é, de procurar aquilo que está por traz dos
fenômenos. O físico W. Heitler considera isso quando afirma, numa palestra: "Dirigimos a atenção aos
fenômenos qualitativos, isto é, às qualidades relacionadas à totalidade a os objetos observados". Rudolf
Steiner recomenda partir daí quando se introduzem os números: "No decorrer da civilização chegamos,
pouco a pouco, ao ponto de operar com os números de uma maneira sintética. Temos uma unidade, temos
uma segunda unidade e uma terceira, e quando contamos e juntamos uma à outra pela adição, as unidades
ficam justapostas, uma ao lado da outra. Mas a criança não entende intimamente esse processo; é fácil
convencer-se disso. E não foi dessa maneira que a essência do ser humano desenvolveu a operação de
contar. O ponto de partida da atividade de contar foi a unidade. Mas o dois não era uma repetição exterior
da unidade, ele fazia parte dela. O 1 resulta no 2, e o 2 faz parte do 1. O 1 dividido dá o 3, e o 3 está contido
no 1. Quando se começou a escrever o 1, não se abandonou o 1 ao chegar ao 2. Chegar ao 2 era um
processo orgânico interior, o 2 estava contido no 1, o 3 também etc. A unidade continha tudo, e os números
eram divisões orgânicas da unidade." (R. Steiner, GA 303, 9a palestra).
Esse enfoque dos números de acordo com sua essência, leva também à maneira de escrevê-los, à cifra. Esta
não é uma imagem no sentido de como as letras são introduzidas no lÜ ano (vide "Língua Materna",
Escrever), mas uma imagem da qualidade do número; a ima-gem esta, portanto, relacionada com a essência
do número, não com a forma exterior da cifra (Cf. E. Bindel, Die geistigen Grundlagen der Zahlen [A base
espiritual dos números]). Convém apontar aqui para um outro aspecto mais abrangente desse ensino que
enfatiza a qualidade. É justamente na época atual, quando nos deparamos com os resultados de uma
relação meramente quantitativa com o mundo sob forma de catástrofes e devastação em nosso meio
ambiente, que tal enfoque, mesmo no ensino da matemática, pode revestir-se de uma importância maior.
A partir de um enfoque concreto e qualitativo dos números e a partir do aspecto dinâmico das operações
matemáticas, a criança pode desenvolver um tipo de inteligência capaz de procurar o caminho da realidade,
e de encontrá-lo.
Chegamos agora à segunda fase da divisão, acima mencionada, do ensino da matemática. Trata-se da sua
aplicação prática.
Se o cálculo tem sido praticado, na primeira fase, de maneira intensiva sob os referidos aspectos, a
matemática "prática" também terá uma conotação qualitativa. As forças da inteligência que usam o cálculo
comercial, os juros e as percentagens não são neutras, elas podem implicar numa atitude de observação e
de avaliação. Aquilo que é pensado pode e deve ter, em suas conseqüências, um aspecto humano.
Nesse contexto convém mencionar a sugestão de Rudolf Steiner de incluir, no ensino da matemática,
elementos de contabilidade. O sentido profundo dessa recomendação resulta da resposta dada à per-gunta
seguinte: quais são as capacidades estimuladas pela contabilidade (Cf. M. Brater/C. Munz, Die pãdagogische
Bedeutung der Buchführung [O significado pedagógico da contabilidade] e E. Schuberth, Der
Mathematikunterricht in der 6. Klasse an Waldorfschulen [O ensino da matemática nas escolas Waldorf no
6" ano], Stuttgart 1995). Será possível constatar, em primeiro lugar, que a competência moral para agir pode
ser incentivada de maneira decisiva por esse estudo.
De tudo que precede, decorreram ainda outras metas pedagógicas: A elasticidade interior faz nascer, na
resolução de problemas matemáticos, a capacidade de fantasia.
Vivenciando as qualidades dos números, a criança sente confiança e segurança: os números, o mundo e o
ser humano pertencem a um mesmo todo.
A criança pode ainda ter, pelo cálculo, uma sensação de segurança quando percebe que um problema é
resolvido corretamente. Com isso ela conquistou uma certa autonomia. "Por isso, a matemática constitui um
campo de exercícios apropriado para livrar os alunos de vínculos de autoridade, mesmo quando eles
dependem, inicialmente, da ajuda do professor." (B. Ulin, Op. cit. p. 240)
E por fim, convém mencionar um resultado pedagógico que não deve ser subestimado e que está
relacionado ao que foi exposto acima-. não é possível praticar o cálculo sem um treino constante, o qual
constitui, portanto, um meio excelente para treinar a vontade.
Uma descrição detalhada da terceira fase encontra-se no capítulo "Aspectos principais e metas pedagógicas
gerais" para o ensino médio, sendo, portanto, omitida aqui.
A Geometria, como parte do ensino da matemática, começa no 5° ou 6° ano, e é ensinada em épocas
separadas. Uma das idéias básicas desta matéria é o desenvolvimento e o cultivo da capacidade de formar
imagens espaciais.
Na geometria à mão livre é treinada, pela estimativa das proporções e relações, a segurança do movimento;
o desenho de formas nos primeiros 4 anos da escola tem sido um bom preparo para isso.
As capacidades básicas, os conhecimentos e as técnicas são ensinados de acordo com a idade dos alunos
(aproveitando eventualmente outras matérias).
• O aluno deve aprender a descobrir relações geométricas, captando-as intelectualmente e aproveitando-as
para encontrar soluções práticas por meio de desenhos.
• O uso dos instrumentos de desenho deveria permitir uma construção (apresentação) clara e exata.
• O prazer de desenhar deverá desenvolver a paciência, o esmero, a precisão e, de modo geral, a atuação
autônoma e criadora.
4° e 5° ANO
CRITÉRIOS E PRINCÍPIOS GERAIS DE ENSINO:
Ocorre uma transformação decisiva ao redor dos 9 anos: a relação inquebrantável entre a criança e o mundo
se transforma; a distância entre ambos aumenta. A harmonia anterior entre o meio ambiente e a própria
alma literalmente se quebra, se "fraciona".
Essa transformação da atitude anímica é levada em consideração no ensino da matemática que introduz, no
4° ano, a criança no manejo dos números fracionados. A criança encontra na matéria ensinada algo que ela
também já vivenciou em seu interior.
Não se trata de fazer com que ela aprenda rapidamente a lidar com as frações. É muito mais importante
proporcionar à criança, por meio de uma vivência profunda, o surgimento de uma "fração exterior". O
professor pode tirar proveito do conhecimento da origem das frações no antigo Egito, para aprender
interessantes e significativos critérios didáticos (Cf. E. Bindel Das Rechnen [Os Cálculos], p. 64 e ss.). Para
fazer jus às frações, convém introduzi-las de três maneiras: do todo à parte, da parte ao todo, e fazendo
comparações. Em seguida, pratica-se as quatro operações fundamentais em relação com as frações; e além
disso, a simplificação e a ampliação delas e a decomposição do denominador em fatores primos.
Vem, em seguida, o cálculo com frações decimais, como convenção prática. Depois de ultrapassar o "limite
de divisibilidade", os alunos podem descobrir, no 5° ano, o aspecto prático do cálculo com números
decimais.
A meta foi formulada por Rudolf Steiner da seguinte maneira: "Continuaremos no 5° ano com as frações,
com as frações decimais, tornando a criança capaz de mover-se livremente dentro dos números inteiros,
fracionados, ou expressos por meio de frações decimais." (GA 295, r palestra relativa ao currículo).
É também no 5° ano que o desenho de formas é levado para o desenho geométrico elementar, começando
com as polaridades básicas do círculo e da reta. A fim de produzir no aluno uma vivência intensiva dessas
duas formas geométricas, convém, inicialmente, fazer desenhos à mão livre, sem o uso da régua e do
compasso.
Embora se trate em nossa geometria apenas dos primeiros elementos, é importante que o aluno tenha uma
sensação daquilo que, transcendendo o que é apenas útil e prático, está relacionado com a solução de
grandes problemas do mundo e da vida. Isso será facilitado se o aluno sentir, além das leis atuantes,
também a beleza das formas e a ordem que prevalece nas relações existentes." (E. Bühler, Stuttgart 1985, p.
158 e s.)
Em combinação com relatos do Antigo Egito na aula de história, o professor pode introduzir o "Cordão de
Pitágoras", e os alunos podem, pela primeira vez, conhecer o teorema de Pitágoras.
POSSÍVEIS CONTEÚDOS DE ENSINO:
4° ANO
• Cálculos mentais.
• Cálculos escritos com números maiores.
• Introdução das frações. Conhecimento da fração como parte de um todo - Da parte ao todo; a fração como
comparação. (Relação com a multiplicação).
• A soma e a subtração, a multiplicação e a divisão de frações simples, com o mesmo denominador ou não.
Transformação de frações impróprias em números mistos e vice-versa.
• Introdução das frações decimais.
• Recapitulação: as quatro operações básicas; a multiplicação e a divisão com números de mais de um dígito.
5° ANO
• Treinar constantemente os cálculos mentais.
• Recapitulação: as quatro operações fundamentais com números naturais.
• Combinações das quatro operações fundamentais.
• Cálculos com frações: Ampliar e simplificar (decompor em fatores primos). Comparação de frações.
Cálculos com frações decimais. Fixar o cálculo frações.
• O valor de posição - introduzido ritmicamente, com movimento e qualitativamente.
• Introdução do número decimal por via do valor de posição.
• Medidas expressas por meio de números decimais.
• Reconhecimento da correspondência entre números e frações decimais.
•, Problemas.
Geometria (se possível sem compasso e sem régua):
• Triângulo, quadrado, círculo, triângulos eqüilátero e retângulo.
• Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo isósceles.
• Descrição das várias relações para a compreensão de transformações, ainda sem demonstração.