de matriz rigidez
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de matriz rigidez
CAPÍTULO 8 ASSEMBLAGEM DE ELEMENTOS FINITOS No Capítulo 3, foi apresentado com detalhe o caso da assemblagem de barras em problemas unidimensionais. Neste capítulo apresenta-se de um modo sucinto a adaptação da técnica já descrita ao caso dos elementos finitos com mais do que dois nós e mais do que um grau de liberdade por nó [8.1]. 8.1 - Simbologia Apresenta-se em primeiro lugar a simbologia adoptada na descrição da assemblagem de elementos finitos. Tabela 8.1 - Simbologia relativa à assemblagem de elementos finitos. x Coordenada cartesiana a Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da estrutura, no referencial geral ag Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade do elemento finito, no referencial geral K Matriz de rigidez da estrutura no referencial geral Kg Matriz de rigidez do elemento finito no referencial geral F Forças nodais equivalentes à acção exterior, nos graus de liberdade da estrutura, no referencial geral Fg Forças nodais equivalentes à acção exterior, nos graus de liberdade do elemento finito, no referencial geral 145 Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo 8.2 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitação Depois de calculadas as matrizes de rigidez de todos os elementos finitos no referencial geral ( Kg ), é necessário proceder ao cálculo da matriz de rigidez global da estrutura ( K ). Uma operação semelhante tem de ser efectuada com os vectores solicitação dos diversos elementos finitos. A assemblagem das matrizes de rigidez dos diversos elementos finitos na matriz de rigidez global é em seguida apresentada com base no exemplo da Figura 8.1. a4 a2 1 a1 a6 a3 2 B 3 a5 A a8 x2 a10 a7 a9 5 4 a12 C a11 6 x1 Fig. 8.1 - Estrutura constituída por um elemento de 4 nós (A), um elemento de 2 nós (B) e um elemento de 3 nós (C). A estrutura representada na Figura 8.1 tem seis nós (1 a 6) e três elementos finitos (A, B e C). O elemento A tem quatro nós, o elemento B tem dois nós e o elemento C tem três nós. Em cada nó existem dois graus de liberdade. Em correspondência com os doze graus de liberdade da estrutura existem doze deslocamentos nodais ( a ) e doze forças nodais equivalentes à acção exterior ( F ). 146 Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo F1 F11 F F 2 12 F3 F21 F4 F22 F5 F31 F F F = 6 = 32 F F 7 41 F8 F42 F F 9 51 F10 F52 F11 F61 F12 F62 a1 a11 a a 2 12 a3 a21 a4 a22 a5 a31 a a a = 6 = 32 a a 7 41 a8 a42 a a 9 51 a10 a52 a11 a61 a12 a62 (1) De acordo com (1), nas considerações que se seguem é adoptada a numeração dos graus de liberdade de 1 a 12. Na relação de rigidez correspondente à estrutura Ka=F (2) a matriz de rigidez global ( K ) é uma matriz 12x12. Nas Figuras 8.2, 8.3 e 8.4 encontram-se representados os elementos finitos que vão ser assemblados e a respectiva numeração local (nós e graus de liberdade). a6 a8 4 a7 3 a5 A a2 a4 a1 a3 2 1 Fig. 8.2 - Numerações locais do elemento finito de 4 nós (A). 147 Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo a2 a4 a1 1 a3 2 B Fig. 8.3 - Numerações locais do elemento finito de 2 nós (B). a6 3 a2 a5 a4 C a1 a3 1 2 Fig. 8.4 - Numerações locais do elemento finito de 3 nós (C). São as seguintes as matrizes de rigidez dos três elementos finitos no referencial geral Elemento A: A11 A 21 A31 A A K g = 41 A51 A61 A71 A81 A12 A22 A32 A42 A52 A62 A72 A82 A13 A23 A33 A43 A53 A63 A73 A83 A14 A24 A34 A44 A54 A64 A74 A84 Elemento B : B11 B B K g = 21 B31 B41 B12 B22 B32 B42 B13 B23 B33 B43 B14 B24 B34 B44 148 A15 A25 A35 A45 A55 A65 A75 A85 A16 A26 A36 A46 A56 A66 A76 A86 A17 A27 A37 A47 A57 A67 A77 A87 A18 A28 A38 A48 A58 A68 A78 A88 (3) (4) Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo C11 C 21 C C K g = 31 C41 C51 C61 Elemento C : C12 C22 C32 C42 C52 C62 C13 C23 C33 C43 C53 C63 C14 C24 C34 C44 C54 C64 C16 C26 C36 C46 C56 C66 C15 C25 C35 C45 C55 C65 (5) Atendendo à numeração global dos graus de liberdade indicada na Figura 8.1 (1 a 12), as matrizes de rigidez dos elementos finitos passam a ser A77 A 87 A57 A67 0 0 A K = A17 A27 A37 A47 0 0 0 0 0 0 0 0 B K = 0 0 0 0 0 0 A78 A88 A58 A68 0 0 A18 A28 A38 A48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B11 B21 B31 B41 0 0 0 0 0 0 A75 A85 A55 A65 0 0 A15 A25 A35 A45 0 0 0 0 B12 B22 B32 B42 0 0 0 0 0 0 A76 A86 A56 A66 0 0 A16 A26 A36 A46 0 0 0 0 B13 B23 B33 B43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B14 B24 B34 B44 0 0 0 0 0 0 A71 A81 A51 A61 0 0 A11 A21 A31 A41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A72 A82 A52 A62 0 0 A12 A22 A32 A42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 149 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A73 A83 A53 A63 0 0 A13 A23 A33 A43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A74 A84 A54 A64 0 0 A14 A24 A34 A44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (6) (7) Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo 0 0 0 0 0 0 C K = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C55 C65 0 0 C15 C25 C35 C45 0 0 0 0 C56 C66 0 0 C16 C26 C36 C46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C51 C61 0 0 C11 C21 C31 C41 0 0 0 0 C52 C62 0 0 C12 C22 C32 C42 0 0 0 0 C53 C63 0 0 C13 C23 C33 C43 0 0 0 0 C54 C64 0 0 C14 C24 C34 C44 (8) De acordo com o que foi exposto no Capítulo 3, a matriz de rigidez global é a soma de (6), (7) e (8), resultando K =K +K +K = A A77 A 87 A57 A67 0 0 A17 A27 A 37 A47 0 0 A78 B C A75 A76 0 0 A71 A72 A73 A74 0 A88 A85 A86 0 0 A81 A82 A83 A84 0 A58 A55 + B11 A56 + B12 B13 B14 A51 A52 A53 A54 0 A68 0 A65 + B21 B31 A66 + B22 B32 B23 B33 + C55 B24 B34 + C56 A61 0 A62 0 A63 C51 A64 C52 0 C53 0 B41 B42 B43 + C65 B44 + C66 0 0 C61 C62 C63 A18 A15 A16 0 0 A11 A12 A13 A14 0 A28 A25 A26 0 0 A21 A22 A23 A24 0 C13 A38 A35 A36 C15 C16 A31 A32 A33 + C11 A34 + C12 A48 A45 A46 C25 C26 A41 A42 A43 + C21 A44 + C22 C23 0 0 0 C35 C36 0 0 C31 C32 C33 0 0 0 C45 C46 0 0 C41 C42 C43 0 0 0 0 C54 C64 0 0 C14 C24 C34 C44 (9) Em correspondência com os graus de liberdade indicados nas Figuras 8.1 a 8.4, têm-se as forças nodais equivalentes às acções exteriores sobre a estrutura. Assim, e de acordo com o que foi exposto no Capítulo 3, são os seguintes os vectores solicitação correspondentes a cada elemento finito, atendendo à numeração global da estrutura 150 Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo F7A A F8 F5A A F6 0 0 A F = A F 1A F2 F A 3A F4 0 0 0 0 0 0 F5C C F C F = 6 0 0 F1C C F2 F C 3C F4 0 0 F1B B F2 F3B B F B F = 4 0 0 0 0 0 0 (10) O vector F é a soma destes três vectores F7A A F8 F5A + F1B A B F6 + F2 F3B + F5C B F4 + F6C A B C F =F +F +F = FA 1 A F2 F A + F C 1 3A C F4 + F2 FC 3 F4C (11) A relação de rigidez correspondente à totalidade dos graus de liberdade, no referencial geral, é a seguinte (ver o Capítulo 3) (K A +K +K B C )a ( = F +F +F A Ka=F 151 B C ) (12) (13) Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo Depois de acrescentar a (13) as condições de apoio (ver o Capítulo 3), é possível resolver o sistema de equações lineares que daí resulta e obter os deslocamentos segundo todos os graus de liberdade da estrutura. 8.3 - Considerações finais Neste capítulo foi apresentada a assemblagem da matriz de rigidez global com base no armazenamento de todos os seus termos. A matriz de rigidez global apresenta uma distribuição de termos particular, que, quando devidamente explorada, conduz a significativas economias de recursos informáticos, nomeadamente a redução do número de operações de cálculo e a diminuição da quantidade de memória consumida. A característica mais simples de explorar é o facto de a matriz de rigidez global ser simétrica, evitando-se assim o cálculo e o armazenamento dos termos do seu triângulo inferior, bem como todas as operações de cálculo que sobre eles teriam de ser efectuadas. Considerando apenas os termos do triângulo superior, é ainda vantajoso atender ao facto de muitos desses termos serem nulos. O critério de selecção da técnica de armazenamento dos termos da matriz depende do método que vai ser usado para resolver o sistema de equações. As técnicas de armazenamento mais comuns são as seguintes: armazenamento em semibanda de largura constante, armazenamento em semibanda de largura variável, armazenamento em skyline e armazenamento esparso [8.2]. BIBLIOGRAFIA [8.1] - Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L. - The Finite Element Method, Fourth Edition, McGraw-Hill, 1988. [8.2] - Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. E.; Witt, R. J. - Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2002. 152