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Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Divisão Biblioteca Central do ITA/CTA
Falcão Filho, João Batista Pessoa
Estudo Numérico do Processo de Injeção em um Túnel de Vento Transônico / João Batista
Pessoa Falcão Filho.
São José dos Campos, 2006.
369f.
Tese de doutorado – Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica. Área de Aerodinâmica,
Propulsão e Energia – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 2006. Orientador: Dr. Marcos
Aurélio Ortega
1. Mistura de Jatos. 2. Escoamento turbulento. 3. Túnel Transônico. I. Centro Técnico
Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Engenharia Aeronáutica. II. Estudo
Numérico do Processo de Injeção em um Túnel de Vento Transônico.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
Falcão Filho, João Batista Pessoa. Estudo Numérico do Processo de Injeção em um Túnel
de Vento Transônico. 2006. 369 folhas. Tese de doutorado – Instituto Tecnológico de
Aeronáutica, São José dos Campos.
CESSÃO DE DIREITOS
NOME DO AUTOR: João Batista Pessoa Falcão Filho
TÍTULO DO TRABALHO: Estudo Numérico do Processo
de Injeção em um Túnel de Vento
Transônico
TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese
de doutorado/2006
É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta
tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos.
O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida
sem a autorização do autor.
________________________________________
João Batista Pessoa Falcão Filho
H-20B-119, CTA, São José dos Campos – SP
tel.: 3947-3604
e-mail: [email protected]
iii
Estudo Numérico do Processo de Injeção em um Túnel de Vento
Transônico
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Dr.
Prof. Dr.
Prof. Dr.
Prof. Dr.
Dr.
Paulo Afonso de Oliveira Sovieiro
Marcos Aurélio Ortega
Nide Geraldo do Ramos Couto Fico Júnior
Leandro Franco de Souza
Sidney Lage Nogueira
ITA
Presidente
Orientador
ITA
ITA
ITA
USP
Embraer
iv
A Valerie,
Priscila
e Débora,
pelas quais tudo fez valer a pena.
v
Agradecimentos
A Deus, pelo dom da vida e por todas as coisas. Como nas palavras do salmista Davi,
“Bendize, ó minha alma, ao Senhor, e tudo o que há em mim bendiga o seu santo nome.
Bendize, ó minha alma, ao Senhor, e não te esqueças de nenhum de seus benefícios.”
Ao professor Ortega pela preciosa orientação, minha eterna gratidão.
Ao Comando-geral de Tecnologia Aeroespacial, ao Instituto de Aeronáutica e Espaço,
e, em particular, os chefes diretos Eng. Pedro de Oliveira Neto e Ten Cel Eng Olympio
Achilles de Faria Mello, pelo apoio e incentivo institucionais recebidos.
Ao Ten Cel Eng Breno Moura Castro pelas sugestões quanto à utilização da rotina de
turbulência de Spalart e Allmaras bidimensional e ao Eng. Maurício Guimarães da Silva
quanto à implementação da rotina de viscosidade artificial não linear de Pulliam.
Ao meu pai João Batista, pelo incentivo a cada passo e à terna memória de minha mãe
Elizette. À minha família pelo apoio recebido.
vi
Quem
dera
as
minhas
palavras
fosses
registradas! Quem dera fossem escritas num
livro, fossem talhadas a ferro no chumbo, ou
gravadas para sempre na rocha! Eu sei que o
meu Redentor vive, e que no fim se levantará
sobre a terra. E depois que o meu corpo estiver
destruído e sem carne, verei a Deus. Eu o verei
com os meus próprios olhos; eu mesmo e não
outro! Como anseia no meu peito o coração!
Jó 19:23-27
vii
campo da turbulência na câmara de injeção do TTP
viii
Resumo
Injetores supersônicos são instalados em túneis de vento transônicos com a finalidade
de estender o envelope operacional baseado no número de Reynolds, sem demandar maior
potência do compressor principal. O objetivo deste trabalho é estudar numericamente o
processo de injeção do Túnel Transônico Piloto do CTA. A câmara de injeção contém cinco
bicos injetores localizados no piso e cinco no teto do túnel, os quais operam com número de
Mach 1,9, fornecendo quantidade de movimento adicional à corrente principal do circuito do
túnel. Tal câmara na verdade é a própria seção de transição do túnel, a qual, por sua vez,
localiza-se imediatamente antes do difusor. Devido à grande diferença entre as dimensões dos
injetores e da seção transversal do túnel, onde os mesmos encontram-se montados,
o tratamento tem que ser necessariamente tridimensional. Para tanto foi desenvolvido um
código numérico baseado nas equações de Navier-Stokes com média de Reynolds, seguindose o princípio do algoritmo diagonal em diferenças finitas, e efeitos de turbulência foram
previstos por meio do esquema de Spalart e Allmaras. Várias hipóteses simplificadoras foram
introduzidas para tornar o problema factível e a integração numérica é realizada dividindo o
domínio de cálculo em sub-regiões. Mesmo assim, devido ao grande número de pontos,
foi aplicada uma técnica de malhas seqüenciais para economizar o tempo computacional.
O escoamento na região de mistura foi simulado com sucesso e os resultados foram todos
consistentes. Com os valores dos parâmetros conhecidos em todo o domínio computacional,
foram calculados o coeficiente de perda de carga, o ganho e a eficiência do processo de
injeção – parâmetros estes de grande importância na engenharia de túneis de vento.
Entre diversos aspectos físicos muito interessantes, destaca-se a formação de domos de
choque e expansão ao longo da direção longitudinal no processo de mistura.
ix
Abstract
Supersonic injectors are installed in a transonic wind tunnel with the ultimate
objective of expanding the Reynolds number envelope, without demanding extra power from
the main compressor. The injectors are positioned at the entrance of the transition module,
whose exit section constitutes the beginning of the first diffuser. This idea is being
incorporated to the design of the Brazilian transonic wind tunnel (it is already installed in the
pilot facility). The aim of this research effort is to calculate numerically, and, in the sequel,
analyze, the mixing process involving the supersonic jets from the injectors and the tunnel
subsonic main stream. Five nozzles are positioned at the floor and five at the ceiling of the
tunnel, and due to the great difference between a typical dimension of the nozzles and the
lateral width of the tunnel section, the study has, necessarily, to take into account the threedimensionality of the resulting flow. A Reynolds-Averaged Navier-Stokes numerical code
was developed following the main lines of the finite-difference diagonal algorithm,
and turbulence effects are accounted for through the use of the Spalart and Allmaras oneequation scheme. Several simplifying assumptions are introduced in order to render the
problem minimally tractable, and the numerical integration is accomplished by dividing the
calculation domain in sections. Even then, and due to the great number of node points in each
section, a sequence-of-grids technique was applied in order to gain in computational time.
The flow field in the mixing region was successfully simulated, and the results are all
consistent. After having the values of the parameters over the entire computational domain,
the injection process loss factor, gain, and efficiency were duly calculated. These figures are
of great importance to those who deal with the engineering of wind tunnels. Many very
interesting physical aspects are encountered, and among them, it is worth noting the formation
of shocks’ and expansions’ “domes” along the longitudinal direction.
x
Sumário
Lista de Figuras .................................................................................................................xiv
Lista de Tabelas .................................................................................................................xxviii
Lista de abreviaturas e siglas .............................................................................................xxx
Lista de símbolos ...............................................................................................................xxxiii
1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 41
1.1 Objetivo e motivação..................................................................................................... 41
1.2 Perspectiva histórica ...................................................................................................... 41
1.3 Injeção e mistura de jatos .............................................................................................. 48
1.4 Abordagem computacional............................................................................................ 51
1.5 Organização do trabalho................................................................................................ 55
2 ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA E EQUAÇÕES
BÁSICAS ................................................................................................... 56
2.1 Estabelecimento do Problema ....................................................................................... 56
2.2 Hipóteses básicas consideradas ..................................................................................... 67
2.3 Equações de Navier-Stokes ........................................................................................... 67
2.4 Equações médias de Reynolds....................................................................................... 71
2.5 Transformação de coordenadas ..................................................................................... 78
2.6 Adimensionalização e expressão final das equações..................................................... 83
2.7 O modelo de turbulência ............................................................................................... 89
2.7.1 O modelo de turbulência de Spalart e Allmaras ......................................................... 90
2.7.2 Considerações sobre a aplicação do modelo de turbulência ao problema da injeção
do TTP ....................................................................................................................... 93
xi
3 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA, CONDIÇÕES INICIAIS E DE
CONTORNO.............................................................................................. 103
3.1 Algoritmo de Beam e Warming .................................................................................... 103
3.2 Considerações sobre esquemas de discretização........................................................... 108
3.3 Algoritmo diagonal de Pulliam e Chaussee................................................................... 114
3.3.1 Algoritmo diagonal aplicado às equações de Euler.................................................... 115
3.3.2 Algoritmo diagonal aplicado às equações de Navier-Stokes ..................................... 122
3.4 Dissipação numérica...................................................................................................... 123
3.5 Implementação numérica do modelo de turbulência de Spalart e Allmaras ................. 128
3.6 Esquema numérico de malhas seqüenciais.................................................................... 130
3.7 Condições iniciais e de contorno ................................................................................... 134
3.7.1 Condições iniciais....................................................................................................... 135
3.7.2 Condições de contorno ............................................................................................... 136
3.7.3 Camada limite hidrodinâmica..................................................................................... 146
3.7.4 Viscosidade turbulenta na camada limite ................................................................... 154
4 VALIDAÇÃO E VERIFICAÇÃO DO CÓDIGO
COMPUTACIONAL................................................................................ 158
4.1 Interferência de onda de choque sobre camada limite laminar com M∞ = 2,00 –
campo bidimensional..................................................................................................... 160
4.2 Camada limite turbulenta ao longo da placa plana com M∞ = 2,96 – campo
bidimensional ................................................................................................................ 168
4.3 Interferência de onda de choque sobre camada limite turbulenta com M∞ = 2,96 –
campo bidimensional..................................................................................................... 174
campo tridimensional .................................................................................................... 181
4.5 Mistura de jatos supersônicos – campo bidimensional ................................................. 187
xii
4.6 Mistura de jatos supersônicos – campo tridimensional................................................. 200
4.7 Mistura de jatos supersônico e subsônico – campo bidimensional ............................... 202
4.8 Mistura de jatos supersônico e subsônico – campo tridimensional............................... 210
4.9 Análise de refinamento de malha e da ordem do método ............................................. 214
5 ANÁLISE DA INJEÇÃO NO TTP ......................................................... 219
5.1 Introdução...................................................................................................................... 219
5.1.1 Parâmetros gerais na entrada da câmara de injeção e modelagem do escoamento
nos injetores................................................................................................................ 219
5.1.2 Operação conjunta túnel/injetores .............................................................................. 225
5.2 Malha tridimensional do problema da injeção no TTP ................................................. 229
5.2.1 Câmara de mistura da injeção..................................................................................... 229
5.2.2 Simplificação geométrica ........................................................................................... 231
5.2.3 Processo de obtenção das malhas fina e grossa.......................................................... 235
5.2.4 Estratégia de cálculo e passagem de parâmetros entre as malhas seqüenciais –
questão referente ao plano de simetria ....................................................................... 240
5.2.5 Espalhamento da malha de cálculo............................................................................. 244
5.3 Condições de contorno para as diversas malhas............................................................ 245
5.3.1 Condições de contorno para a malha A ...................................................................... 246
5.3.1.1 Face de entrada ........................................................................................................ 246
5.3.1.2 Condições de contorno para as outras faces da malha A (FIG. 5.17) ...................... 264
5.3.2 Condições de contorno para a malha E ...................................................................... 264
5.3.3 Condições de contorno para as outras malhas ............................................................ 267
5.4 Análise no ponto de projeto........................................................................................... 267
5.4.1 Aspecto físico geral do campo de escoamento........................................................... 267
5.4.2 Análise do desenvolvimento dos jatos ....................................................................... 288
xiii
5.5 Análise fora do ponto de projeto ................................................................................... 296
5.6 Análise do desempenho da injeção................................................................................ 311
5.6.1 Análise teórica ............................................................................................................ 312
5.6.2 Parâmetros de desempenho da injeção no ponto de projeto....................................... 318
5.6.3 Parâmetros de desempenho da injeção nas três condições......................................... 322
5.7 Comparação dos resultados das malhas fina e grossa no ponto de projeto ................... 323
5.8 Conclusões..................................................................................................................... 324
5.9 Comentários finais e sugestões para futuros trabalhos.................................................. 326
Referências .................................................................................................... 328
Apêndice A AS RELAÇÕES CARACTERÍSTICAS E SUA
APLICAÇÃO ÀS CONDIÇÕES DE CONTORNO............ 335
A.1 As relações características ............................................................................................ 335
A.2 Entrada subsônica ......................................................................................................... 344
A.3 Entrada supersônica ...................................................................................................... 349
A.4 Saída subsônica............................................................................................................. 350
A.5 Saída supersônica ......................................................................................................... 353
Apêndice B CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO DO TTP SEM
INJEÇÃO ................................................................................ 356
Apêndice C INSTALAÇÃO E CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO
DA CÂMARA DE INJEÇÃO................................................ 359
C.1 Vistas gerais da instalação ............................................................................................ 359
C.2 Vistas de detalhes da instalação dos injetores .............................................................. 363
C.3 Gráficos de desempenho do sistema de injeção............................................................ 366
xiv
Lista de Figuras
FIGURA 1.1
Fotografia do túnel de vento utilizado por Goebel e Dutton (1991) para
a realização das experiências, com seus equipamentos de medição. ...... 50
FIGURA 1.2
Esquema do domínio de cálculo utilizado por Georgiadis et al. (2003)
para a simulação do problema da mistura de jatos supersônicos, caso 2
do artigo de Goebel e Dutton (1991), destacando as regiões do campo,
para as quais foram usados enfoques RANS e LES. .............................. 53
FIGURA 1.3
Campo instantâneo de densidade para o caso da mistura de jatos
supersônicos, calculada por Georgiadis et al. (2003). (a) – solução
bidimensional; (b) – solução tridimensional. .......................................... 53
FIGURA 2.1
Esquema de instalação do TTP (itens na TAB. 2.1). .............................. 59
FIGURA 2.2
Detalhe do interior da câmara plena. ......................................................
60
FIGURA 2.3
Envelope de operação do túnel transônico industrial. ............................
63
FIGURA 2.4
Envelope de operação do TTP. ............................................................... 64
FIGURA 2.5
Esquema da seção transversal do túnel onde estão montados os bicos
injetores. .................................................................................................. 65
FIGURA 2.6
Detalhe esquemático da montagem de um injetor na câmara de
mistura. ................................................................................................... 66
FIGURA 2.7
Etapas no desenvolvimento de um jato bidimensional. .......................... 95
FIGURA 2.8
Etapas no desenvolvimento de um jato puro tridimensional. ................. 96
FIGURA 2.9
Pontos relativos aos experimentos de Goebel e Dutton (1991):
× - início; - extensão da região de similaridade da camada de mistura
dos experimentos, incluindo as linhas de tendência respectivas. A linha
vertical representa o número de Mach relativo do problema no TTP. ... 101
FIGURA 2.10 Variação de db/dx em função do número de Mach relativo. .................. 102
xv
FIGURA 3.1
Esquema da célula de cálculo tridimensional utilizada. Círculos cheios
– pontos relativos aos nós da malha, círculos vazados – pontos
relativos aos pontos meio da malha. ....................................................... 112
FIGURA 3.2
Detalhe do cálculo no ponto meio (i+1/2, j, k). ...................................... 112
FIGURA 3.3
Procedimentos para geometria bidimensional da ponderação completa
e da interpolação bilinear, respectivamente. ........................................... 132
FIGURA 3.4
Geometria genérica empregada no estabelecimento das condições de
contorno. ................................................................................................. 137
FIGURA 3.5
Esquema de uma fronteira simétrica em j = (jmax-1). ........................... 139
FIGURA 3.6
Esquema físico da mistura de jatos da injeção na fronteira de entrada
com a representação esquemática das camadas limite. ........................... 147
FIGURA 3.7
Camada limite turbulenta típica e os modelos para cada sub-região.
Os pontos pretos indicam um perfil real típico. As linhas indicam as
equações de modelo para cada sub-região. ............................................. 150
FIGURA 3.8
Perfil do comprimento característico da turbulência na camada limite. . 155
FIGURA 3.9
Exemplo de perfil de energia cinética turbulenta na camada limite
(Wilcox, 1998). ....................................................................................... 156
FIGURA 4.1
Representação esquemática da interação: onda de choque / camada
limite laminar. ......................................................................................... 161
FIGURA 4.2
Condições de contorno para o problema da interferência onda de
choque / camada limite laminar. Destaque para o ângulo de choque e
posição de interferência sobre a placa plana, medida a partir do bordo
de ataque. ................................................................................................ 162
FIGURA 4.3
Perfis de velocidade sobre a placa plana antes do descolamento da
camada limite, i = 13, x = 0,037 m. ........................................................ 163
FIGURA 4.4
Perfis de velocidade sobre a placa plana na região descolada da
FIGURA 4.5
Perfis de velocidade sobre a placa plana depois do recolamento da
FIGURA 4.6
Campo de pressão estática. Valores adimensionalizados pela pressão
na entrada. Coordenadas em metros. ...................................................... 165
xvi
FIGURA 4.7
Detalhe do campo de pressão estática e perfis de velocidade, na região
de recirculação. Valores de pressão adimensionalizados pela pressão
na entrada. Destaque das linhas sônica e de recirculação, esta última
mais próxima da parede. Coordenadas em metros. ................................ 166
FIGURA 4.8
Detalhe do campo de pressão estática e perfis de velocidade, nas duas
estações de maior recirculação. Valores de pressão adimensionalizados
pela pressão na entrada. Destaque das linhas sônica e de recirculação,
esta última mais próxima da parede. Coordenadas em metros. .............. 167
FIGURA 4.9
Distribuição da pressão na fronteira inferior do campo. Valores
adimensionalizados pela pressão do escoamento livre na entrada
(a placa plana começa em x = 0,012 m). Malha 32 x 45 pontos. ............ 168
FIGURA 4.10 Esquema do campo de escoamento adotado, com condições de
contorno, para o problema da camada limite turbulenta. ........................ 169
FIGURA 4.11 Perfil de viscosidade turbulenta na entrada, adimensionalizado pela
viscosidade laminar do escoamento livre na entrada, em função da
distância adimensionalizada pela espessura da camada limite
(δ = 0,0042 m). ....................................................................................... 171
FIGURA 4.12 Perfis normalizados de velocidade em algumas estações transversais
ao longo da placa plana. ( y + = y uτ / ν w , u + = u / uτ ). ........................... 171
FIGURA 4.13 Campo de pressão estática do problema da camada limite turbulenta
sobre a placa plana (M∞ = 2,96). Valores adimensionalizados pela
pressão na entrada. Coordenadas em metros. ......................................... 172
FIGURA 4.14 Campo de viscosidade turbulenta do problema da camada limite sobre
a placa plana (M∞ = 2,96). Valores adimensionalizados pela
viscosidade dinâmica laminar no escoamento livre na entrada.
Coordenadas em metros. ......................................................................... 172
FIGURA 4.15 Campo de pressão estática no início do desenvolvimento da camada
limite turbulenta (M∞ = 2,96). Valores adimensionalizados pela
pressão na entrada. Coordenadas em metros. ......................................... 173
FIGURA 4.16 Perfis em desenvolvimento ao longo da placa plana. (*) x = 0,305 m é
a posição correspondente ao problema do choque sobre a camada
limite (Wilcox, 1974). Os parâmetros de adimensionalização do
gráfico são u∞ = 596 m/s e δ = 0,0041 m. ............................................... 174
xvii
FIGURA 4.17 Desenho esquemático do domínio utilizado por Wilcox (1974) em
função da espessura da camada limite δ para a análise do problema da
interferência da onda de choque sobre a camada limite turbulenta. ....... 175
FIGURA 4.18 Esquema da malha utilizada no presente trabalho para o problema da
interferência da onda de choque sobre a camada limite turbulenta (δ é
a espessura da camada limite logo antes da região de recirculação). ..... 177
FIGURA 4.19 Campo de pressão estática para o problema do choque sobre a camada
limite turbulenta. Valores adimensionalizados pela pressão na entrada.
FIGURA 4.20 Detalhe da região de recirculação com os vetores de velocidade.
Linha cheia, limite da região de recirculação. Linha tracejada, posições
de velocidade nula. Coordenadas em metros. ......................................... 179
FIGURA 4.21 Campo de viscosidade turbulenta para o problema da interferência da
onda de choque sobre a camada limite turbulenta, com a região de
recirculação destacada. Valores adimensionalizados pela viscosidade
laminar no escoamento livre de entrada. Coordenadas em metros. ........ 179
FIGURA 4.22 Distribuição da pressão ao longo da parede da placa plana. ................... 181
FIGURA 4.23 Campo de pressão estática para o problema do choque sobre a camada
limite turbulenta. Valores adimensionalizados pela pressão na entrada.
Coordenadas em metros. Plano xy tal que k = 11. .................................. 182
FIGURA 4.24 Campo de velocidade no plano horizontal em y = 0,016 δ.
Linhas verticais de pressão estática. Valores adimensionalizados pela
pressão no escoamento livre da entrada. Coordenadas em metros. ........ 183
FIGURA 4.25 Campos de vorticidade e tensões cruzadas no plano vertical central da
malha, onde se indica a região de recirculação. Valores de vorticidade
e tensão em 1/s e N/m2, respectivamente. ............................................... 184
FIGURA 4.26 Campos de vorticidade e tensões cruzadas no plano vertical k = 6,
onde se indica a região de recirculação. Valores de vorticidade e
tensão em 1/s e N/m2, respectivamente. ................................................. 185
FIGURA 4.27 Campos de tensões cruzadas na simulação bidimensional e no plano
vertical k = 11 da simulação tridimensional, onde está indicada a
região de recirculação. Valores de tensão em N/m2. .............................. 186
xviii
FIGURA 4.28 Campos de vorticidade na simulação bidimensional e no plano vertical
k = 11 da simulação tridimensional, onde está indicada a região de
recirculação. Valores de vorticidade em 1/s. .......................................... 186
FIGURA 4.29 Esquema da câmara de mistura da experiência de Goebel e Dutton
(1991). ..................................................................................................... 188
FIGURA 4.30 Detalhe da parte inicial da malha utilizada. ............................................ 191
FIGURA 4.31 Campo de pressão estática (vermelho – pressão mais alta, azul –
pressão mais baixa). Coordenadas em metros. ....................................... 191
FIGURA 4.32 Perfis de velocidade nas primeiras estações. .......................................... 192
FIGURA 4.33 Isobáricas nas primeiras estações. Valores adimensionalizados pela
pressão na entrada do escoamento superior. Coordenadas em metros. .. 193
FIGURA 4.34 Isobáricas em todo o campo. Valores adimensionalizados pela pressão
na entrada do escoamento superior. Coordenadas em metros. ............... 193
FIGURA 4.35 Campo de viscosidade turbulenta. Valores adimensionalizados pela
viscosidade laminar na entrada do escoamento superior. Coordenadas
em metros. ............................................................................................... 194
FIGURA 4.36 Variação transversal da viscosidade turbulenta. H – altura do canal na
saída. Jato inferior, M = 1,36, jato superior, M = 1,91. µ ref é a viscosidade
laminar nas condições de entrada do escoamento superior. ................... 195
FIGURA 4.37 Variação da espessura da camada de mistura e valor de db/dx na região
de crescimento. ....................................................................................... 196
FIGURA 4.38 Perfis normalizados de velocidade em x = 0,050 m. .............................. 197
FIGURA 4.41 Campo de pressão (vermelho – pressão mais alta, azul – pressão mais
baixa). ..................................................................................................... 201
FIGURA 4.42 Isobáricas em todo o campo. Valores adimensionalizados pela pressão
na entrada do escoamento superior. Solução tridimensional –
plano k = 11. Coordenadas em metros. ................................................... 201
xix
FIGURA 4.43 Variação da espessura da camada de mistura e valor de db/dx na região
de crescimento. ....................................................................................... 201
FIGURA 4.44 Condições de contorno para o problema da mistura de jatos
supersônico e subsônico. ......................................................................... 206
FIGURA 4.45 Campo de pressão estática. Valores adimensionalizados pela pressão
estática na entrada. Coordenadas em metros. ......................................... 206
FIGURA 4.46 Detalhe do campo de pressão na entrada do canal para o problema 3r
de Goebel e Dutton (1991). Malha reduzida a 0,15 m. Valores
adimensionalizados pela pressão na entrada supersônica. Coordenadas
em metros. ............................................................................................... 207
FIGURA 4.47 Campo do número de Mach para o problema 3r de Goebel e Dutton
(1991). Malha reduzida a 0,15 m. Coordenadas em metros. .................. 208
FIGURA 4.48 Campo de viscosidade turbulenta. Valores adimensionalizados pela
viscosidade laminar na entrada do escoamento superior. Coordenadas
em metros. ............................................................................................... 209
FIGURA 4.49 Variação da espessura da camada de mistura b ao longo da direção
longitudinal. É destacada a região de crescimento da camada de
mistura, segundo a experiência de Goebel e Dutton (1991), na qual é
avaliada a taxa de crescimento da camada de mistura. ........................... 209
FIGURA 4.50 Campo de pressão estática para a solução tridimensional da mistura de
jatos supersônico e subsônico, no plano vertical k = 11. Valores
adimensionalizados pela pressão na entrada do escoamento
supersônico. Coordenadas em metros. .................................................... 210
FIGURA 4.51 Variação da espessura da camada de mistura b ao longo da direção
longitudinal, medida no plano vertical central da malha tridimensional.
É destacada a região de crescimento, segundo a experiência de Goebel
e Dutton (1991). ...................................................................................... 211
FIGURA 4.52 Campos de componentes de vorticidade para o plano central. Valores
em 1/s. ..................................................................................................... 212
FIGURA 4.53 Campos de componentes de tensões cruzadas para o plano central.
Valores em N/m2. .................................................................................... 212
FIGURA 4.54 Campos de componentes de vorticidade para as simulações
bidimensional e tridimensional. Valores em 1/s. .................................... 213
xx
FIGURA 4.55 Campos de componentes de tensões cruzadas para as simulações
bidimensional e tridimensional. Valores em N/m2. ................................ 213
FIGURA 4.56 Perfis de velocidade com o emprego das diversas malhas. Na abscissa
a distância à parede é adimensionalizada pela espessura da camada
limite e na ordenada a velocidade é adimensionalizada pela velocidade
do escoamento livre. ............................................................................... 216
FIGURA 4.57 Erros nas diversas malhas em comparação com o resultado de
malha fina. .............................................................................................. 217
FIGURA 5.1
Detalhe da instalação do injetor na câmara de injeção, destacando as
distâncias externa e interna ao injetor para cálculo da espessura da
camada limite. Destaque da vista em perspectiva mostrando a possível
formação do vórtice em ferradura. .......................................................... 222
FIGURA 5.2
Detalhe da modelação da superfície externa do injetor na câmara de
injeção, destacando seu comprimento efetivo. As linhas tracejadas
indicam os contornos reais do injetor, as linhas cheias o contorno da
modelação adotada e as linhas com pontos o início das camadas limite. 223
FIGURA 5.3
Variação da pressão de estagnação na seção de testes. Pressão de
estagnação dos injetores, po,inj = 400 kPa. .............................................. 226
FIGURA 5.4
Variação do número de Mach na seção de testes – pressão de
estagnação dos injetores po,inj = 400 kPa. ............................................... 227
FIGURA 5.5
Esquema ilustrativo da câmara de mistura da injeção. ........................... 230
FIGURA 5.6
Seção de entrada da câmara de mistura vista de frente. Eixo x entrando
no papel. .................................................................................................. 232
FIGURA 5.7
Vista tridimensional da câmara de injeção, destacando o quadrante
inferior direito e os planos de suas fronteiras. Direções: x, longitudinal,
y, vertical e z, lateral. ............................................................................... 232
FIGURA 5.8
Detalhe da seção de entrada da câmara de mistura da injeção. .............. 233
FIGURA 5.9
Fronteira de entrada da malha adotada para a região A da FIG. 5.8. ...... 237
FIGURA 5.10 Fronteira de entrada da malha adotada para a região E da FIG. 5.8. ...... 237
FIGURA 5.11 Detalhe da seção de entrada da malha de cálculo tridimensional.
Cotas em metros. Os índices nas direções y e z, estão indicados para as
malhas fina e grossa (entre parênteses). .................................................. 238
xxi
FIGURA 5.12 Esquema do campo de cálculo global. .................................................... 239
FIGURA 5.13 Estratégia empregada para o cálculo na seqüência de malhas. ............... 241
FIGURA 5.14 Obtenção da malha grossa a partir da malha fina para a região A. ......... 242
FIGURA 5.15 Obtenção da malha grossa a partir da malha fina para a região A,
mantendo a posição geométrica do plano de simetria. ........................... 243
FIGURA 5.16 Cortes transversais da malha tridimensional em diversas estações na
direção longitudinal. ............................................................................... 245
FIGURA 5.17 Malha de cálculo “A” com detalhe das sub-regiões da fronteira de
entrada. .................................................................................................... 247
FIGURA 5.18 Malha de cálculo “A” com detalhe das sub-regiões c1 e c2. .................. 251
FIGURA 5.19 Detalhes dos campos de velocidade e viscosidade turbulenta no canto
c2, interior ao injetor, destacado pelas linhas tracejadas. Coordenadas
em metros. ............................................................................................... 252
FIGURA 5.20 Detalhe da sub-região d. ......................................................................... 254
FIGURA 5.21 Detalhe das sub-regiões e1 e e2. ............................................................. 256
FIGURA 5.22 Roteiro de cálculo empregado nas camadas limite. ................................ 257
FIGURA 5.23 Detalhe da sub-região g. ......................................................................... 258
g, destacado pelas linhas tracejadas. Coordenadas em metros. .............. 259
FIGURA 5.25 Detalhe da sub-região h. ......................................................................... 260
h, canto externo ao injetor, destacado pelas linhas tracejadas.
Os círculos estão colocados nas mesmas posições da FIG. 5.25.
FIGURA 5.27 Detalhe da parede do injetor. .................................................................. 263
FIGURA 5.28 Malha de cálculo E com detalhe das sub-regiões da fronteira
de entrada. ............................................................................................... 266
xxii
j, destacado pelas linhas tracejadas. Coordenadas em metros. ............... 266
FIGURA 5.30 Definição de linhas especiais no plano de entrada para fins de
plotagem da pressão estática. .................................................................. 268
FIGURA 5.31 Distribuição da pressão estática ao longo das linhas 1, 3, 5, 6 e 7,
respectivamente. Valores adimensionalizados pela pressão no jato
subsônico na entrada. As linhas finas destacam as posições das paredes
dos injetores. ........................................................................................... 269
FIGURA 5.32 Isobáricas no plano de centro vertical do injetor 1. Valores
adimensionalizados pela pressão na saída do injetor. Coordenadas
em metros. ............................................................................................... 270
em metros. ............................................................................................... 270
em metros. ............................................................................................... 271
FIGURA 5.35 Isolinhas de número de Mach no plano de centro vertical do injetor 1.
FIGURA 5.38 Isolinhas de número de Mach no plano horizontal passando pelo
centro dos injetores. Parede lateral do túnel na parte inferior, indicada
pela linha mais grossa. Coordenadas em metros. ................................... 273
FIGURA 5.39 Isobáricas de estagnação na fronteira de entrada da câmara de mistura.
Valores adimensionalizados pela pressão estática na saída do injetor.
FIGURA 5.40 Isolinhas de número de Mach na fronteira de entrada da câmara de
mistura. Coordenadas em metros. ........................................................... 275
xxiii
FIGURA 5.41 Isobáricas de pressão estática na fronteira de entrada da câmara de
mistura. Valores adimensionalizados pela pressão estática na saída do
injetor. Coordenadas em metros. ............................................................ 276
FIGURA 5.42 Isolinhas de número de Mach no plano horizontal passando pelo
centro dos injetores. Parede lateral do túnel na parte inferior, indicada
pela linha mais grossa. Coordenadas em metros. ................................... 277
FIGURA 5.43 Isolinhas de número de Mach em um plano horizontal passando acima
dos injetores (y = 0,100m). A parede lateral do túnel na parte inferior é
indicada pela linha mais grossa. Estão indicadas na figura as posições
dos injetores. Coordenadas em metros. .................................................. 278
FIGURA 5.44 Campo de número de Mach em diversos planos transversais. 279,
FIGURA 5.45 Vetores de velocidade no plano vertical passando pelo centro do
injetor número 1 (ver FIG. 5.12), no início da câmara de injeção.
FIGURA 5.46 Vetores de velocidade no plano horizontal passando pelo centro do
injetor número 1 (ver FIG. 5.12), no início da câmara de injeção.
FIGURA 5.47 Vetores de velocidade no plano vertical passando pelo centro do
injetor número 1 (ver FIG. 5.12), na saída da câmara de injeção.
A linha tracejada corresponde à altura do injetor. Coordenadas
em metros. ............................................................................................... 282
FIGURA 5.48 Isolinhas de viscosidade turbulenta no plano horizontal que contém o
centro dos injetores. Valores adimensionalizados pela viscosidade
molecular na entrada supersônica. Coordenadas em metros. ................. 282
FIGURA 5.49 Campos de distribuição de viscosidade turbulenta adimensional.
Diversos planos transversais. Valores adimensionalizados em relação à
viscosidade molecular de referência (ver TAB. 5.2). Coordenadas em 283,
metros. ..................................................................................................... 284
FIGURA 5.50 Campo do número de Mach no plano horizontal passando pelo centro
dos injetores. Coordenadas em metros. .................................................. 285
FIGURA 5.51 Campo de pressão de estagnação no plano horizontal passando pelo
centro dos injetores. Coordenadas em metros. ....................................... 285
FIGURA 5.52 Campo de viscosidade turbulenta no plano horizontal passando pelo
centro dos injetores. Coordenadas em metros. ....................................... 286
xxiv
FIGURA 5.53 Campo de viscosidade turbulenta na seção de injeção. Plano horizontal
contendo o centro dos injetores (figura obtida por duplicação da
FIG. 5.52) ................................................................................................ 287
FIGURA 5.54 Indicação da localização das camadas de mistura analisadas,
numeradas de 1 a 8. Apresentação dos resultados na TAB. 5.5. ............ 288
FIGURA 5.55 Resultados para as oito camadas de mistura, com os valores
respectivos de db/dx. ............................................................................... 290
FIGURA 5.56 Perfis de velocidade no plano horizontal no centro dos jatos, na região
final da câmara de mistura. ..................................................................... 291
FIGURA 5.57 Isolinhas de velocidade (U1 – 0,10 ∆U) e (U2 + 0,10 ∆U). Velocidades 293,
em m/s e coordenadas em metros. .......................................................... 294
FIGURA 5.58 Vista tridimensional dos jatos. ................................................................ 295
respectivamente, para a condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr.
Valores adimensionalizados pela pressão estática no jato subsônico na
entrada. As linhas finas destacam as posições das paredes dos
injetores. .................................................................................................. 297
respectivamente, para a condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr.
Valores adimensionalizados pela pressão estática no jato subsônico na
entrada. As linhas finas destacam as posições das paredes dos
injetores. .................................................................................................. 298
FIGURA 5.61 Condição de projeto, po,inj = po,pr. Isobáricas no plano vertical central
do injetor 1. A pressão é praticamente uniforme em todo o campo.
FIGURA 5.62 Condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Isobáricas no plano vertical
central do injetor 1. Pressões na entrada para os escoamentos
subsônico e supersônico, 1,14 e 1,55, respectivamente,
adimensionalizadas pela pressão na entrada subsônica na condição de
projeto. Coordenadas em metros. ........................................................... 300
FIGURA 5.63 Condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Isobáricas no plano vertical
central do injetor 1. Pressões na entrada para os escoamentos
subsônico e supersônico de 1,23 e 0,85, respectivamente,
adimensionalizadas pela pressão na entrada subsônica na condição de
projeto. Coordenadas em metros. ........................................................... 300
xxv
FIGURA 5.64 Condição de projeto, po,inj = po,pr. Distribuições longitudinais de pressão
estática ao longo da câmara de mistura. Valores adimensionalizados
pela pressão na entrada do escoamento subsônico. ................................ 301
FIGURA 5.65 Condição fora do ponto de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Distribuições
longitudinais de pressão estática ao longo da câmara de mistura.
Valores adimensionalizados pela pressão na entrada do escoamento
subsônico. ............................................................................................... 303
FIGURA 5.66 Condição fora do ponto de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Distribuições
longitudinais de pressão estática ao longo da câmara de mistura.
Valores adimensionalizados pela pressão na entrada do escoamento
subsônico. ............................................................................................... 304
FIGURA 5.67 Campos de pressão estática na condição de projeto, po,inj = po,pr. (azul –
pressão baixa, vermelho – pressão alta). Coordenadas em metros. h e
w indicam a altura e a largura do injetor, respectivamente. .................... 305
FIGURA 5.68 Campos de pressão estática na condição fora do ponto de projeto,
po,inj = 1,30 po,pr. (azul – pressão baixa, vermelho – pressão alta).
FIGURA 5.69 Campos de pressão estática na condição fora do ponto de projeto,
FIGURA 5.70 Campo tridimensional com superfícies de pressão estática na condição
do ponto de projeto, po,inj = po,pr. (azul – pressão baixa, vermelho –
pressão alta). Coordenadas em metros. ................................................... 307
fora do ponto de projeto, po,inj = 1,30 po,pr (azul – pressão baixa,
vermelho – pressão alta). Coordenadas em metros. ................................ 308
fora do ponto de projeto, po,inj = 0,70 po,pr (azul – pressão baixa,
vermelho – pressão alta). Coordenadas em metros. ................................ 308
FIGURA 5.73 Condição de projeto, po,inj = po,pr. Isolinhas de número de Mach no
plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3.
FIGURA 5.74 Condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Isolinhas de número de
Mach no plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3.
xxvi
FIGURA 5.75 Condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Isolinhas de número de
Mach no plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3.
FIGURA 5.76 Condição de projeto, po,inj = po,pr. Isolinhas de viscosidade turbulenta
em um plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3.
Valores adimensionalizados pela viscosidade molecular de referência
(ver TAB. 5.2). Coordenadas em metros. ............................................... 310
FIGURA 5.77 Condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Isolinhas de viscosidade
turbulenta em um plano vertical que contém o centro geométrico do
injetor 3. Valores adimensionalizados pela viscosidade molecular de
referência (ver TAB. 5.2). Coordenadas em metros. .............................. 311
FIGURA 5.78 Condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Isolinhas de viscosidade
turbulenta em um plano vertical que contém o centro geométrico do
injetor 3. Valores adimensionalizados pela viscosidade molecular de
referência (ver TAB. 5.2). Coordenadas em metros. .............................. 311
FIGURA 5.79 Célula de cálculo na estação longitudinal i. ............................................ 314
FIGURA 5.80 Eficiência do processo de injeção para ganho de 1,06 (Nogueira et al.,
1988). Minj representa o número de Mach na seção de saída dos
injetores. .................................................................................................. 321
FIGURA A.1
Sistema de coordenadas esféricas utilizado para os componentes de
velocidade na entrada. ............................................................................. 345
FIGURA B.1
Circuito aerodinâmico do TTP com principais elementos numerados –
a linha tracejada indica a seção de entrada do elemento. ........................ 356
FIGURA C.1
Vista panorâmica do circuito aerodinâmico do TTP. ............................. 359
FIGURA C.2
Câmara Plena. ......................................................................................... 360
FIGURA C.3
Circuito do TTP e tubulação da injeção. ................................................. 360
FIGURA C.4
Interior da câmara Plena – tubulação de distribuição da injeção. ........... 361
FIGURA C.5
Tubulação de distribuição da injeção. ..................................................... 361
FIGURA C.6
Vista interna do difusor com detalhe da câmara de injeção com cinco
injetores no teto e cinco no piso. Vê-se ainda, ao fundo, na ordem, o
corpo central da segunda garganta, a abertura dos flapes (nas laterais)
e as fendas nas paredes da seção de testes. ............................................. 362
xxvii
FIGURA C.7
Instalação da câmara de injeção no circuito do TTP. ............................. 363
FIGURA C.8
Detalhe da instalação da câmara de injeção destacando seu início
e final. ..................................................................................................... 364
FIGURA C.9
Instalação do injetor na sede. A linha que demarca o injetor
corresponde ao seu contorno interno. ..................................................... 364
FIGURA C.10 Projeto do contorno interno do injetor. Curva x-y conforme projeto
(Grupo TTP, 1996). ................................................................................ 365
FIGURA C.11 Pressão de estagnação na seção de testes ao acionar a injeção
(po,inj = 400 kPa). .................................................................................... 366
(po,inj = 600 kPa). .................................................................................... 367
(po,inj = 800 kPa). ..................................................................................... 367
FIGURA C.14 Número de Mach na seção de testes ao acionar a injeção
(po,inj = 400 kPa). ..................................................................................... 368
(po,inj = 600 kPa). ..................................................................................... 368
(po,inj = 800 kPa). ..................................................................................... 369
xxviii
Lista de Tabelas
TABELA 2.1 Componentes principais do TTP, como apresentados na FIG. 2.1. .......
57
TABELA 2.2 Classes de escoamentos presentes no desenvolvimento do jato
da injeção. ..............................................................................................
94
TABELA 2.3 Comparação de resultados de simulação numérica de turbulência com
a experiência (Bardina et al., 1997) – valores da taxa de espalhamento
para geometrias bidimensionais. ............................................................
98
TABELA 2.4 Resumo de casos experimentais da mistura bidimensional de jatos de
Goebel e Dutton (1991). M1 e M2 são os números de Mach
correspondentes aos núcleos potenciais dos dois jatos, Mr o número de
Mach relativo, xi o início da região similar e ∆ x sua extensão. ............ 100
TABELA 4.1 Casos utilizados na validação e na verificação do código. .................... 159
TABELA 4.2 Parâmetros do caso 2 da experiência de Goebel e Dutton (1991). ........ 189
TABELA 4.3 Parâmetros do caso 3r da experiência de Goebel e Dutton (1991). ....... 203
TABELA 4.4 Resultados obtidos na determinação da ordem do método. ................... 218
TABELA 5.1 Parâmetros de projeto no início da injeção. ........................................... 220
TABELA 5.2 Parâmetros de adimensionalização empregados. ................................... 224
TABELA 5.3 Impacto causado pelo sistema de injeção sobre o circuito do TTP
(Falcão Filho, 1996). .............................................................................. 228
TABELA 5.4 Parâmetros da câmara de injeção. .......................................................... 239
TABELA 5.5 Valores de b, em metros, e de db/dx para várias camadas de mistura e
diversas posições longitudinais. ............................................................. 289
TABELA 5.6 Parâmetros iniciais na fronteira de entrada dos dois jatos. .................... 319
TABELA 5.7 Resultados finais da simulação numérica nas fronteiras de entrada
(1 – supersônico, 2 – subsônico) e de saída (3). ................................ 320
xxix
TABELA 5.8 Resultados finais das condições de projeto e fora de projeto (malha
grossa). ................................................................................................... 323
TABELA 5.9 Resultados finais comparativos das malhas fina e grossa. ..................... 324
TABELA B.1 Nomenclatura utilizada para os elementos do circuito aerodinâmico
do TTP e a área transversal de sua seção de entrada. ............................ 356
TABELA B.2 MST = 0,200. ........................................................................................... 357
TABELA B.3 MST = 0,300. ........................................................................................... 357
TABELA B.4 MST = 0,400. ........................................................................................... 357
TABELA B.5 MST = 0,500. ........................................................................................... 357
TABELA B.6 MST = 0,600. ........................................................................................... 357
TABELA B.7 MST = 0,700. ........................................................................................... 357
TABELA B.8 MST = 0,800. ........................................................................................... 358
TABELA B.9 MST = 0,900. ........................................................................................... 358
TABELA B.10 MST = 1,000. ........................................................................................... 358
TABELA B.11 MST = 1,100. ........................................................................................... 358
TABELA B.12 MST = 1,200. ........................................................................................... 358
TABELA B.13 MST = 1,300. ........................................................................................... 358
xxx
Lista de abreviaturas e siglas
AEDC
“Arnold Engineering Development Center”. Centro de
pesquisas em aerodinâmica e propulsão da força aérea
americana em Tullahoma, Tennessee, EUA.
AMD
“Advanced Micro Devices Inc.”, fabricante de um modelo de
processador para PC.
“bilinear interpolation”
Procedimento de passagem dos valores dos parâmetros da
malha grossa para a malha fina (Press et al., 1992).
Calspan
Túnel de vento transônico instalado em Buffalo, NY, EUA.
Área da ST de 2,44m x 2,44m. Trabalha com sistema auxiliar
de injeção.
CFL
Número de Courant, Friedrichs e Lewy (Courant et al., 1928),
que dá a eficiência de um algoritmo em termos de sua
velocidade de convergência.
CL
Camada limite.
CTA
Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial (em São José dos
Campos, SP, Brasil).
DC-2
Douglas Company – 2, avião comercial fabricado pela
Douglas.
ETW
“European Transonic Wind Tunnel” – Túnel de vento
transônico criogênico, com ST de 2,4m x 2m, instalado em
Colônia, Alemanha.
“full-weighting”
Procedimento de passagem dos valores dos parâmetros da
malha grossa para a malha fina (Press et al., 1992).
k-ε
Denomina o modelo de turbulência completo com duas
equações, da energia cinética turbulenta, k, e da dissipação da
energia turbulenta, ε.
xxxi
LES
“Large Eddy Simulation” – Simulação numérica de grandes
escalas para o escoamento turbulento.
LHS
“Left Hand Side” – o lado esquerdo da equação, em geral
atribuído à equação principal de resolução do método implícito
na forma fatorada.
NACA
“National Advisory Committee for Aeronautics”, EUA.
NASA
“National Aeronautics and Space Administration”, EUA.
NS
Conjunto de equações conhecidas como “Equações de NavierStokes”.
NTF
“National Transonic Facility” – túnel transônico com ST de
2,5 m x 2,5 m do complexo de Langley, Virgínia, EUA.
PC
“Personal Computer” – computador tipo pessoal com um único
processador.
RANS
“Reynolds-Averaged Navier-Stokes” – conjunto de equações
de Navier-Stokes com médias de Reynolds.
RHS
“Right Hand Side” – o lado direito da equação, em geral
atribuído à equação principal de resolução do método implícito
na forma fatorada.
SA
Modelo de Turbulência de Spalart e Allmaras.
ST
Seção de testes.
Sverdrup Technology Inc.
“Sverdrup Technology Incorporated”. Firma norte-americana
de Tullahoma, Tennessee, EUA, especialista em projeto e
operação de túneis de vento.
“stiffness”
Efeito de “rigidez computacional” ocasionada pelo excessivo
acúmulo de pontos em regiões da malha de cálculo.
“straight injection”
Passagem direta dos parâmetros da malha grossa para a malha
fina (Press et al., 1992).
Tecplot
Programa de computador para plotagem gráfica da “Amtec
Engineering Inc.”.
xxxii
TsAGI
Instituto Central de Aero-hidrodinâmica, situado em Jukowski,
Rússia.
TTP
Túnel Transônico Piloto do CTA.
TVD
“Total Variation Diminishing”
“up wind”
Indica um esquema assimétrico de discretização numérica.
VKI
“von Kármán Institute”, Bruxelas, Bélgica.
xxxiii
Lista de símbolos
Caracteres Latinos
a
velocidade do som
m/s
a, b, c, d
variáveis auxiliares do seqüenciamento de malhas
A1, A4, A6
termos auxiliares da matriz métrica (Eq. (3.30),
pág. 118)
A, B, C
matrizes jacobianas (Eq. (3.5), pág. 105)
b
espessura da camada de mistura (TAB. 2.2, pág. 94 e
pág. 99)
c
coeficiente do modelo de turbulência SA
cp
calor específico a pressão constante
J/(kg.K)
cv
calor específico a volume constante
J/(kg.K)
C
constante da equação da lei logarítmica da parede
d
distância à parede mais próxima
D Dt
derivada substancial (pág. 68)
Di
termo de dissipação artificial implícito (Eq. (3.42),
pág. 124)
De
termo de dissipação artificial explícito de 4a ordem
(Eq. (3.43), pág. 124)
D( )
matriz de termos dissipativos do modelo de turbulência
SA (Eq. (3.58), pág. 129)
e
energia total por unidade de volume (Eq. (2.12)
pág. 71)
J/m3
ec
energia cinética específica (Eq. (A.26), pág. 345)
J/kg
m
m
xxxiv
et
energia interna específica (Eq. (2.6), pág. 69)
J/kg
em
energia total por unidade de massa (Eq. 2.4, pág. 68)
J/kg
E, F, G
vetores de fluxo nas direções x, y e z, respectivamente
(Eqs. (2.37) a (2.39), págs. 79)
E, F, G
vetores de fluxo nas direções ξ, η e ζ, respectivamente
(Eqs. (2.51) a (2.53), pág. 83)
f
função do modelo de turbulência SA (pág. 91) e função
auxiliar na matriz de autovetores (Eq. (3.33d), pág. 119)
g
função do modelo de turbulência SA (pág. 92) e função
auxiliar na matriz de autovetores (Eq. (3.33d), pág. 119)
h
entalpia específica
h
função auxiliar na matriz de autovetores (Eq. (3.33e),
pág. 119)
ho
entalpia total específica
i, j, k
índices do campo computacional
I
matriz identidade
J
jacobiano da transformação entre sistemas de
coordenadas (Eq. (2.46), pág. 81)
k
energia cinética turbulenta específica (Eq. (2.20),
pág. 74)
k2 , k4
constantes do modelo de dissipação artificial de
Pulliam (pág. 128)
K
coeficiente de perda de carga (Eq. (5.10), pág. 312)
~
k
grandeza genérica na matriz de autovetores
(Eq. (3.33c), pág. 119)
~ ~
k,l
grandezas genéricas do modelo de Pulliam e Chaussee
(pág. 121)
l
comprimento
J/kg
J/kg
J/kg
m
xxxv
m
função auxiliar da matriz de autovetores (Eq. (3.33e),
pág. 119)
m&
fluxo de massa
M
número de Mach
Mr
número de Mach relativo (pág. 99)
Mτ
número de Mach de “escorregamento” na parede
(Eq. (3.89a), pág. 148)
M( )
matriz de termos convectivos do modelo de turbulência
SA (Eq. (3.56), pág. 128)
n
nível temporal
N
matriz auxiliar (Eq. (3.37a), pág. 120)
O
ordem de erro na aproximação em diferenças finitas
(Eq. (4.4), pág. 214)
p
pressão
Pa
pascal, unidade de pressão igual a 1 N/m2
Pr l
número de Prandtl molecular (pág. 77)
Prt
número de Prandtl turbulento (pág. 77)
P( )
matriz de termos de produção do modelo de turbulência
SA (Eq. (3.57), pág. 129)
P
matriz auxiliar (Eq. (3.37b), pág. 120)
r
q
vetor fluxo de calor
q
pressão dinâmica
Q
vetor das quantidades conservadas em coordenadas
cartesianas (Eq. (2.36), pág. 79)
Q
vetor das quantidades conservadas em coordenadas
generalizadas (Eq. (2.50), pág. 82)
kg/s
N/m2 ou kPa
J/(m2.s)
N/m2 ou kPa
xxxvi
r
função no modelo de turbulência SA (Eq. (2.75e),
pág. 92), fator de recuperação (pág. 153)
R
constante do gás perfeito
Re
número de Reynolds (Eq. (2.63), pág. 85)
R1,... R5
variáveis auxiliares no emprego das equações
características (Eq. (3.75), pág. 142, Eq. (A.35), pág. 347,
Eq. (A.48), pág. 352, Eq. (A.50), pág. 353 e 354)
S
vorticidade (Eq. (2.75f), pág. 92)
t
tempo
s
T
temperatura absoluta estática
K
To
temperatura absoluta total ou de estagnação
K
Tξ, Tη, Tζ
matrizes de autovetores (Eq. (3.31), pág. 118)
r
u
vetor velocidade
u, v, w
componentes cartesianos do vetor velocidade
u+
velocidade adimensionalizada por uτ
u*
velocidade de van Driest (Eq. (3.88), pág. 148)
uτ
velocidade de atrito na parede (pág. 148)
r
U
vetor velocidade
U, V, W
componentes contravariantes do vetor velocidade
(Eq. (2.70) pág. 87)
U, V (genérico) velocidade
Vp
velocidade de propagação (pág. 145)
x, y, z
coordenadas cartesianas
y+
coordenada y adimensionalizada por ν w / uτ
Z
vetor de variáveis de transferência (pág. 122)
N.m/(kg.K)
1/s
m/s
m/s
m/s
m/s
m/s
m
xxxvii
Caracteres Gregos
α
grandeza genérica, função auxiliar na matriz de
autovetores (Eq. (3.33b), pág. 119)
β
grandeza genérica, função auxiliar na matriz de
autovetores (Eq. (3.33b), pág. 119)
βx, βy, βz
termos viscosos na equação da energia (Eq. (2.71),
pág. 87)
χ
função auxiliar do modelo de turbulência SA
(Eq. (2.75f), pág. 92)
δ
espessura da camada limite
δij
delta de Kronecker
δ
operador central padrão de diferenças de 2a ordem
(Eq. (3.14c), pág. 110)
δ
operador central de diferenças de 2a ordem de ponto
meio (Eq. (3.16), pág. 111)
∂ ∂ξ
derivada parcial em relação a ξ
∆ξ
operador de diferenças à trás na direção ξ (Eq. (3.14a),
pág. 110)
∇ξ
operador de diferenças à frente na direção ξ
(Eq. (3.14b), pág. 110)
r
∇
operador gradiente
ε
dissipação da energia cinética turbulenta k
εi , εe
coeficientes de dissipação numérica (implícito e
explícito, respectivamente) (pág. 124)
φ
função auxiliar na matriz de autovetores (Eqs. (3.33a),
pág. 119), variáveis auxiliares no termo de dissipação
artificial (Eqs. (3.44) a (3.46), pág. 125)
γ
razão de calores específicos
m
xxxviii
η
eficiência (Eq. (5.23), pág. 318)
κ
constante de von Kármán
κ
coeficiente de condutividade térmica efetiva
(Eq. (2.32), pág. 77)
J/(K.m.s)
κl
coeficiente de condutividade térmica molecular
J/(K.m.s)
κt
coeficiente de condutividade térmica turbulenta
J/(K.m.s)
λ
segundo coeficiente de viscosidade (pág. 70)
λc
ganho do injetor (Eq. (5.22), pág. 317)
λ1,... λ5
variáveis auxiliares no emprego das equações
características (Eq. (3.77), pág. 142, Eq. (A.32) pág.
346, Eq. (A.45), pág. 351, Eq. (A.51), pág. 354)
Λ ξ , Λη , Λ ζ
matrizes de autovalores (Eq. (3.29), pág. 117)
µ
viscosidade dinâmica efetiva (Eq. (2.31), pág. 77)
N.s/m2
µl
viscosidade dinâmica laminar (molecular)
N.s/m2
µt
viscosidade dinâmica turbulenta (de vórtice)
N.s/m2
νl
viscosidade cinemática molecular
m2/s
νt
viscosidade cinemática turbulenta
m2/s
ν~
valor auxiliar associado à viscosidade cinemática no
modelo de turbulência SA (Eq. (2.75a), pág. 91)
θ
ângulo do escoamento
σ
constantes do modelo de turbulência SA (pág. 92) e das
matrizes N e P (Eq. (3.40a), pág. 121)
ρ
densidade
grau
kg/m3
xxxix
ξ ,η , ζ
coordenadas curvilíneas generalizadas
ψ
função de pressão (Eq. (3.49), pág. 126)
τ
tempo
rr
s
τ
tensor de tensões (pág. 68)
N/m2 ou kPa
τ xx , τ yy , τ zz
τ xy , τ yz , τ xz
componentes cartesianos do tensor de tensões
(Eq. (2.8), pág. 69)
N/m2 ou kPa
Ω
rotacional (Eq. (2.75g), pág. 92)
Símbolos Especiais
()
~
valor médio e também utilizado para destacar
grandezas no sistema de coordenadas generalizadas
()
valor médio ponderado pela massa
( )′
flutuação em torno da média
( )′′
flutuação em torno da média ponderada pela massa
∧
()
indica valor adimensional
1/s
xl
Subscritos
c
indica grandeza convectiva
inj
relativo à injeção/injetor
max
valor máximo
min
valor mínimo
o
relativo à condição de estagnação
pr
relativo à condição de projeto
ref
indica valor de referência
ST
relativo à seção de testes
t
turbulento
v
indica grandeza viscosa
w
indica grandeza relativa à parede (“wall”)
∞
relativo à condição do escoamento livre
Superescritos
+
indica grandeza adimensionalizada por ν w e uτ
×
indica grandeza adimensionalizada por δ e u∞
n
momento temporal
41
1 INTRODUÇÃO
1.1 Objetivo e motivação
O objetivo principal deste trabalho é a simulação numérica do escoamento na região
da mistura de jatos, supersônico e subsônico, do sistema de injeção de um túnel de vento
transônico. A motivação deste esforço de pesquisa tem por inspiração a possibilidade da
utilização dos resultados da simulação, tanto no entendimento da física da mistura, quanto na
avaliação global do mecanismo de injeção no TTP – Túnel Transônico Piloto do CTA.
1.2 Perspectiva histórica
Avanço experimental – Túneis Transônicos
No desenvolvimento dos túneis de vento, por mais de cem anos, observa-se uma
preocupação constante em se reproduzir as condições de vôo pelo controle dos parâmetros do
escoamento confinado. À medida que os projetos de aeronaves se aperfeiçoavam, túneis mais
modernos eram necessários e esses viabilizavam passos mais ousados no desenvolvimento
tecnológico das aeronaves (Goethert, 1961).
O estabelecimento do escoamento transônico controlado e de alta qualidade em seções
de teste com paredes perfuradas ou fendidas constitui um desses desafios vencidos pela
42
comunidade aeronáutica na década de 50 – um surpreendente ganho tecnológico atingido após
uma longa trajetória.
Até a década de 30 a indústria aeronáutica contou com a pesquisa em túneis para criar
uma aeronave bem sofisticada na época, sem elementos estruturais externos na asa, com tremde-pouso retrátil, sem protuberâncias e com boa conformação na instalação dos motores, com
contornos de asa e fuselagem limpos e suaves, como é o caso do avião de uso comercial,
o Douglas DC-2. Àquela época o limite máximo de velocidade das aeronaves atingia
números de Mach da ordem de 0,5. O erro percentual na densidade ao se ignorar o efeito de
compressibilidade do ar nesta velocidade é de 11,5 %, que pode ser contornado por pequenas
correções nas medidas, permitindo a obtenção de resultados confiáveis em túneis de regime
de baixo subsônico. Mas, a partir da década de 30, observa-se uma tendência por aeronaves
mais velozes (caças), aproximando-se do regime sônico, onde o erro percentual na densidade
chega a atingir 36,6 % e os ensaios em regime de baixo subsônico se distanciam muito da
realidade do vôo. Foram construídos, nessa década, os primeiros túneis experimentais
pequenos de alta velocidade, como os túneis de vento da NACA (“National Advisory
Committee for Aeronautics”, EUA) e do Instituto Göttingen de Pesquisas Aerodinâmicas, na
Alemanha. Pela primeira vez, foram realizados ensaios sistemáticos com o objetivo de
levantar características de famílias de perfis. Os testes, nesses pequenos túneis, revelaram
significativas mudanças aerodinâmicas nos projetos e provocaram, ao redor do mundo, um
esforço no sentido de se analisar mais acuradamente esses efeitos em túneis grandes. A forma
aerodinâmica das aeronaves já era tão limpa que se conseguia números de Mach muito
próximos de 1 em vôo descendente. Entretanto, os testes em túneis enfrentavam dificuldades
crescentes à medida que a velocidade se aproximava da “fronteira sônica”, como se entendia.
Após um período marcado por uma falta de entendimento do que ocorria na faixa de
velocidades do alto subsônico, tendo havido, inclusive, quebras de partes da estrutura de
43
aeronaves por uma distribuição inadequada de pressão ou por inabilidade dos controles,
os túneis de vento sofreram sua mais extraordinária modificação. Concluiu-se que as paredes
sólidas não mais possibilitavam a realização de testes em altas velocidades por causa do
fenômeno do “entupimento” aerodinâmico, ou efeito de bloqueio. Após muito esforço
despendido para se obter condições de ensaio em alto subsônico, ora utilizando jato livre,
que levava a pulsações indesejáveis e alto consumo de potência, ora com grandes seções de
testes e modelos diminutos e ainda outras idéias, chegou-se ao primeiro sucesso em 1947,
pela NACA. A partir de cálculos teóricos percebeu-se que uma parede semi-aberta (fendida
ou perfurada) permitia o alívio no problema de bloqueio. Então, construiu-se um pequeno
túnel com seção de testes de 30 cm de diâmetro, com oito fendas longitudinais nas paredes,
razão de área aberta de 12,5 %, o qual confirmou os estudos teóricos. Assim, foi possível
testar neste túnel modelos com razão de bloqueio de 9 % e com um número de Mach igual
a 0,97. Logo, notou-se ser possível atingir velocidades ainda maiores (baixo supersônico)
aumentando-se a potência do túnel.
Com o sucesso obtido, essa tecnologia foi rapidamente difundida e vários túneis foram
construídos na Inglaterra, Suíça, França, etc. A década de 50 foi cenário para o avanço da
concepção de paredes perfuradas, as quais se aplicam melhor ao regime do baixo supersônico
enquanto que as paredes fendidas se adaptam mais ao regime do alto subsônico
(Goethert, 1961). Além disto, projetos mais elaborados de confinamento da seção de testes
por um envoltório fechado, conhecido como “Câmara Plena”, propiciaram um controle mais
efetivo das condições na seção de testes. Este controle se dá pela extração de massa através
das aberturas das paredes da seção de testes, de forma espontânea pelo efeito de flapes de
reentrada que retornam a massa extraída pelo efeito venturi, ou forçada pelo uso de
compressores auxiliares extraindo ar da câmara plena.
44
Foram obtidos grandes avanços a partir daí, com a instalação de muitos túneis de alta
velocidade ao redor do mundo, desde os pequenos para uso em pesquisa básica até os
industriais, como, por exemplo, é o caso do túnel transônico de 4,88 m x 4,88 m de
seção de testes, com 292 MW de potência total, instalado no AEDC (“Arnold Engineering
Development Center” – Tullahoma, Tennessee, EUA). Os Estados Unidos lideram em
instalações de túneis de vento de alta velocidade, com mais de uma centena
deles (Pope e Goin, 1978). O projeto recente mais arrojado é o NTF (“National Transonic
Facility”), na NASA Langley que, além da pressurização, usa também a criogenia – injeção
de nitrogênio líquido vaporizado no escoamento principal – para aumento do número de
Reynolds na seção de testes. Esta instalação chega, em alguns casos, a reproduzir
integralmente as condições de vôo. Na Europa, com muitas instalações produtivas na França,
Inglaterra, Alemanha, Suécia, etc., destaca-se o túnel criogênico ETW (“European Transonic
Wind Tunnel”) (Quest, 1994). Este túnel, instalado em Colônia, foi construído por um
consórcio europeu entre Holanda, Inglaterra, França e Alemanha. Também se destaca
a Rússia com vários complexos de túneis de vento, sendo o mais representativo
o TsAGI (Instituto Central de Aero-hidrodinâmica)
em
Jukowski,
nos
arredores
de
Moscou (Bedrzhitsky e Roukavets, 1996).
Os túneis transônicos modernos buscam uma otimização em seus projetos, operam
numa faixa típica de número de Mach de 0,2 a 1,6 e incorporam muitos avanços acumulados
ao longo das últimas décadas para atender essencialmente a representatividade do vôo,
principalmente no que concerne a altos números de Reynolds (Davis et al., 1986).
Concomitantemente, ocorre também um crescente uso de novas tecnologias na operação e na
aquisição de dados e estudos mais aprofundados na compreensão dos fenômenos
aerodinâmicos. Entretanto, os ensaios realizados em túneis que usam alta tecnologia chegam a
custar mais de dez mil dólares a hora (Burgsmüller e Schimanski, 2005), indicando que é
45
sempre de grande importância para o país os avanços que possam ser feitos, quer em
instalações similares, quer em estudos que visem à compreensão dos fenômenos envolvidos
nas diversas tecnologias empregadas.
Avanço experimental - túneis com injeção
Uma constante preocupação com a questão energética, quer pela escassez dos recursos
naturais do planeta ou pela desejável redução de custos, tem levado ao uso de soluções
inovadoras, inclusive no que diz respeito à operação dos túneis de vento. Um exemplo disto é
a injeção de ar comprimido como supridora de energia para o funcionamento de túneis de
vento, já empregada há muito tempo em túneis de alta velocidade (Stack, 1933), sendo muito
difundida
na
Rússia
(Arkadov e Roukavets, 1996,
Bedrzhitsky e Roukavets, 1996).
Túneis acionados só por injeção funcionam intermitentemente enquanto dura o ar comprimido
armazenado, o qual é introduzido no circuito após passar por válvulas controladoras de
pressão. Um importante trabalho desenvolvido por Muhlstein et al. (1974) analisa a questão
do ponto de vista energético e da qualidade do escoamento em túneis operados somente com
injeção. Para isto foi utilizado um túnel transônico piloto com seção de testes de 15 cm
de diâmetro. Algumas conclusões importantes foram destacadas naquele trabalho: tanto uma
melhor distribuição dos injetores, quanto o aumento do número de Mach na saída dos
mesmos, aumentam a eficiência em termos do fluxo de massa. A razão em massa ótima é
aproximadamente 10 (fluxo de massa na seção de testes dividido pelo fluxo de massa da
injeção) e o uso de injetores localizados apropriadamente não compromete a qualidade do
escoamento do túnel.
Entretanto, o uso de injetores em ação conjunta com o compressor principal de túneis
contínuos representa, ainda hoje, uma inovação e uma dificuldade tecnológica. Isto porque o
perfeito ajuste entre os parâmetros do sistema de injeção e os parâmetros da operação
46
contínua do túnel é bastante complexo, sendo objeto de contínua investigação. Um exemplo
bem sucedido é o túnel transônico com seção de testes de 2,44 m x 2,44 m da Calspan
(Cotter, 1973, Rose et al., 1982). Originalmente só com acionamento contínuo, este túnel teve
sua capacidade dobrada em termos do número de Reynolds, utilizando apenas quatro injetores
em operação intermitente, com uma alimentação correspondente a 4 % da vazão em massa na
seção de testes e com um número de Mach na saída dos injetores igual a 3.
Túnel Transônico do CTA
O Brasil possui hoje uma única instalação industrial para ensaios aeronáuticos de
grande porte, que é o túnel subsônico do CTA, Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial,
em São José dos Campos. Construído na década de 50, com área de seção de testes
2,0 m x 3,0 m, este equipamento chega a desenvolver velocidades até número de Mach 0,4.
Há cerca de 20 anos, o Ministério da Aeronáutica iniciou um esforço no sentido de instalar no
país um complexo de túneis industriais de alta velocidade – um túnel transônico e um
supersônico –, os quais dariam suporte à aeronáutica nacional.
Devido a dificuldades surgidas naquela época, todos os esforços foram canalizados
para o desenvolvimento apenas do túnel transônico. Inicialmente, a equipe técnica do CTA
elaborou a especificação conceptual para o túnel transônico industrial, incorporando a idéia
inovadora da injeção combinada com o acionamento contínuo. Desta forma, o envelope de
operação do túnel foi estendido, sem necessidade de aumentar a potência prevista para o
compressor principal de 35 MW, para 70 MW. Após processo de licitação, foi escolhida para
conduzir o projeto a firma norte americana “Sverdrup Technology Inc.” de Tullahoma, TN,
EUA, para a tarefa de projetar um túnel transônico industrial moderno, tendo como parceira a
equipe técnica do CTA no processo de adaptação do empreendimento à realidade nacional.
O túnel concebido tem seção de testes com área de 2,0 m x 2,4 m, regime de velocidades na
47
faixa de número de Mach de 0,2 a 1,3, pressurização de 0,50 x 105 N/m2 a 3 x 105 N/m2
(0,5 bar a 3 bar), podendo operar continuamente ou com uso combinado de sistema de injeção
(visando ampliar o envelope de operação sem aumentar em demasia a potência instalada).
Antes de qualquer iniciativa, entretanto, procurou-se projetar e construir um túnel transônico
piloto, em escala 1/8, de maneira a simular, na prática, os fenômenos envolvidos.
Paralelamente, cálculos e previsões foram realizados na procura do entendimento de alguns
dos diversos mecanismos físicos presentes durante a operação do túnel. Neste sentido, podese citar os trabalhos desenvolvidos em teses de doutorado e mestrado (Fico Júnior, 1991,
Falcão Filho, 1996), sendo o presente trabalho mais uma contribuição neste sentido.
Além disto, várias análises e revisões de projeto foram realizadas por especialistas nos EUA e
na Rússia, e diversos artigos foram publicados em congressos e em revistas no país e no
exterior (Fico Júnior e Ortega, 1993, Falcão Filho et al., 2000a, Falcão Filho et al., 2000b,
Escosteguy e Nogueira, 1997, entre outros). Destaque-se no entanto que, até a data atual
(junho de 2006), em função das programações e dos interesses particulares do Ministério da
Aeronáutica, ainda não foram iniciadas as fases de projeto detalhado e construção do túnel
transônico industrial.
A construção do Túnel Transônico Piloto, doravante denominado TTP, iniciou-se
em 1996 e foi concluída em 2002. Atualmente, encontra-se o mesmo em fase de calibração.
Seu circuito permite a realização de ensaios numa escala reduzida, ideal para uso acadêmico,
embora podendo servir à indústria aeronáutica em muitos aspectos: pesquisas de modelos,
testes de geometrias simplificadas (mísseis), pesquisas de perfis, testes de configurações
básicas de aeronaves, testes anemométricos, etc. Além disto, e sobretudo, o TTP foi instalado
primordialmente com a finalidade de se testar as soluções inovadoras adotadas no projeto do
túnel transônico industrial, destacando-se o uso do sistema de injeção, combinada com o
acionamento contínuo. O presente trabalho representa um avanço para uma melhor
48
compreensão dos vários aspectos técnicos do projeto, constituindo-se numa análise do sistema
de injeção do TTP.
1.3 Injeção e mistura de jatos
O problema particular da injeção e da mistura de jatos compressíveis é relativamente
escasso na literatura, quer seja por pertencer a uma classe de escoamentos de uso restrito por
muitas décadas, quer seja pela extrema complexidade dos fenômenos físicos, requerendo
abordagens tecnológicas muito avançadas. Mais recentemente, este tipo de problema tem
recebido cada vez mais atenção em função do desenvolvimento de novas técnicas de medida e
de computadores mais velozes. Mesmo assim, atualmente, e dentro do melhor conhecimento
do autor deste trabalho, não há na literatura trabalhos teóricos que enfoquem o uso da injeção
exatamente dentro do espírito utilizado no TTP.
No que diz respeito à mistura simples de jatos, dentre os diversos trabalhos teóricos
encontrados, destacam-se dois artigos de Alperin e Wu (1983a, 1983b). Os autores analisam
os efeitos globais da injeção numa câmara de mistura de uma aeronave em vôo até número de
Mach 2,0, enfocando, no primeiro artigo, a operação que resulta numa mistura subsônica e, no
segundo, a condição de mistura supersônica, para as quais são propostas fórmulas e gráficos
para análise. Entretanto, sua aplicação para o circuito de um túnel de vento apresenta alguma
dificuldade. Ginoux (1972) compilou importantes trabalhos de análise unidimensional para
projeto de injetores supersônicos de alto desempenho, que foram apresentados num curso
organizado pelo Instituto von Kármán (VKI). Carrière (1973) apresenta notas de um curso
49
sobre o projeto de um túnel de vento induzido por injeção, com métodos de análise
unidimensional para a avaliação de desempenho, ruídos e eventuais instabilidades.
Há alguns trabalhos experimentais relevantes para a mistura de jatos compressíveis,
nos quais foram empregadas diversas técnicas modernas de aquisição de dados.
Chinzei et al. (1986)
investiga
camadas
de
mistura
de
dois
jatos
compressíveis,
correlacionando suas taxas de crescimento com a razão de velocidades entre eles.
Samimy e Addy (1986) apresentam resultados referentes à mistura entre dois escoamentos
supersônicos, avaliando a influência da placa de separação entre eles. Clemens e
Mungal (1992) comparam a estrutura turbulenta da camada de mistura entre dois jatos, um
supersônico e outro subsônico, em três experiências. Variou-se o número de Mach relativo
dos escoamentos para investigar a influência do efeito de compressibilidade da mistura –
o aumento do número de Mach relativo faz surgir um caráter altamente tridimensional na
camada de mistura.
Goebel e Dutton (1991) apresentam os resultados de sete casos de estudo da mistura
entre dois escoamentos em alta velocidade. Investigou-se experimentalmente a camada de
mistura turbulenta, quanto a vários aspectos importantes, como sua região de similaridade e
sua taxa de crescimento, para diferentes condições de ambos os jatos. O equipamento
utilizado foi um túnel de vento de laboratório (Universidade de Illinois, Urbana-Champaign,
Illinois, EUA), ver FIG. 1.1, especialmente adaptado para gerar dois escoamentos
bidimensionais conduzidos até uma câmara de mistura, com dimensões de 96 mm de largura,
48 mm de altura e 500 mm de comprimento, suficiente para permitir o pleno desenvolvimento
da camada de mistura. Há uma placa de separação de 0,5 mm de espessura entre os
escoamentos que termina na fronteira de entrada da câmara, no centro da seção.
A FIG. 1.2 mostra um esquema da seção de entrada e da seção de testes do túnel.
A FIG. 1.1 mostra a instalação, destacando-se a câmara de mistura, com janelas laterais para
50
utilização de dispositivo de fotografia schlieren, e a mesa de deslocamento com o sistema de
velocimetria a laser Doppler para medidas de velocidade bidimensionais.
Para obter condições diferentes de operação, o túnel tem capacidade de controlar a
temperatura de estagnação e a pressão de estagnação nos dois escoamentos, separadamente.
Além disto, o equipamento permite ajuste dos ângulos das paredes da câmara de mistura,
ângulos da placa de separação entre os jatos e ângulos das paredes do difusor de saída.
Com isto pode-se obter condições ótimas de ensaio, proporcionando uma mistura adequada –
gradiente mínimo de pressão estática entre os escoamentos na entrada e ao longo da
câmara de mistura.
FIGURA 1.1 – Fotografia do túnel de vento utilizado por Goebel e Dutton (1991) para a
realização das experiências, com seus equipamentos de medição.
51
Pela riqueza das informações, o trabalho de Goebel e Dutton (1991) é considerado
uma das maiores contribuições em termos de banco de dados disponível sobre camada de
mistura compressível (Georgiadis et al., 2003). Por esta razão, dois dos seus casos foram
utilizados pelo presente trabalho para fins de validação do código desenvolvido,
cujos resultados comparativos se acham detalhados no capítulo 4, itens 4.5, 4.6, 4.7 e 4.8.
Além disso, mais informações sobre os casos ensaiados por Goebel e Dutton podem ser
encontradas no capítulo 2, item 2.7.2.
1.4 Abordagem computacional
Paralelamente ao progresso na experimentação dos fenômenos físicos em escoamentos
na área aeronáutica, os estudos numéricos tiveram um grande desenvolvimento,
principalmente com os contínuos avanços em termos computacionais. A utilização de códigos
numéricos na análise de escoamentos tem sido crescente, com uma variedade de metodologias
específicas para cada caso (Marvin, 1983). Nas últimas décadas, os principais problemas
enfrentados foram a geração de malhas apropriadas, a elaboração de um modelo de
turbulência representativo, a perfeita adequação das metodologias aplicadas e a capacidade
computacional (Kutler, 1985). Em particular, para o problema da mistura de jatos,
as dificuldades aumentam pela necessidade da utilização de modelos de turbulência que sejam
suficientemente representativos, uma vez que a mistura de escoamentos é um fenômeno
essencialmente turbulento. Além disto, na maior parte das vezes, estes problemas requerem
grandes refinamentos de malha, exigindo enorme capacidade computacional.
52
O trabalho de Ota e Goldberg (1991) simula numericamente a camada de mistura
turbulenta entre dois jatos supersônicos, com a técnica de volumes finitos e modelo de
turbulência k-ε, num campo computacional muito semelhante ao do túnel utilizado por
Goebel e Dutton (aqui k indica energia cinética turbulenta e ε a dissipação da energia cinética
turbulenta). Obata e Hermanson (2000) estudam a interação de ondas de choque normais em
escoamentos turbulentos, com modelo numérico dependente no tempo. Benay e Servel (2001)
analisam o campo turbulento na saída de um corpo cilíndrico a alta velocidade, comparando
três modelos diferentes de turbulência. Freund et al. (2000) calculam a expansão de um jato
supersônico com número de Mach 1,92 por simulação direta, incluindo análises do campo
acústico, com 22 milhões de pontos de cálculo.
Georgiadis et al. (2003) utilizam um método híbrido RANS/LES (RANS – “ReynoldsAveraged Navier-Stokes equations” e LES – “Large-eddy simulation”) para calcular a mistura
de dois jatos supersônicos, inicialmente separados por uma placa, que representa exatamente
o caso experimental número 2 tratado por Goebel e Dutton (1991). A FIG. 1.2 mostra um
esquema representativo do campo de cálculo utilizado por Georgiadis et al., idealizado para
simular a experiência de Goebel e Dutton, com as dimensões, o ângulo de entrada do
escoamento inferior e as regiões nas quais são aplicados os modelos RANS e LES.
Os números de Mach na seção de entrada dos dois jatos são M1 = 1,91 e M2 = 1,36,
respectivamente. A FIG. 1.3 mostra os campos instantâneos de densidade para as soluções
bidimensional
e
tridimensional,
segundo
reportado
por
Georgiadis et al. (2003).
Novamente, pela riqueza de detalhes nas informações contidas nesta simulação, a mesma foi
utilizada para fins de validação do código desenvolvido neste trabalho, cujos resultados
comparativos se encontram no capítulo 4, itens 4.5 e 4.6.
53
500 mm
96 mm
jato 1
48 mm
0,5 mm
o
2,5
jato 2
RANS
LES
FIGURA 1.2 – Esquema do domínio de cálculo utilizado por Georgiadis et al. (2003) para a
simulação do problema da mistura de jatos supersônicos, caso 2 do artigo de
Goebel e Dutton (1991), destacando as regiões do campo, para as quais foram
usados enfoques RANS e LES.
FIGURA 1.3 – Campo instantâneo de densidade para o caso da mistura de jatos supersônicos,
calculada
por
Georgiadis et al. (2003).
(a) – solução bidimensional;
(b) – solução tridimensional.
54
Para a análise numérica do problema específico da injeção no TTP a dificuldade é
grande, devido à geometria bastante complexa na representação de parte do circuito do túnel,
o que requer necessariamente um tratamento tridimensional. Assim, buscou-se implementar
um código computacional adequado, que além de preservar ao máximo a fidelidade dos
fenômenos físicos, ainda assim, assegurasse um bom desempenho, dentro das limitações dos
recursos computacionais disponíveis ao autor.
O código desenvolvido simula a forma conservativa das equações de Navier-Stokes
com média de Reynolds em coordenadas generalizadas tridimensionais. A discretização
espacial é feita utilizando-se diferenças centradas de segunda ordem de precisão e o avanço
no tempo é realizado pelo método de Euler implícito (Anderson et al., 1984). O esquema de
resolução utiliza a técnica da fatoração aproximada (Beam e Warming, 1978), adaptada à
forma diagonal proposta por Pulliam e Chaussee (1981), com uso de viscosidade artificial
espectral e não-linear de Pulliam (1986). O modelo de turbulência é o de Spalart e
Allmaras (1994), tido como uma abordagem tipo “uma equação” segundo classificação
padrão da literatura. Para aceleração do processo de convergência, foi empregada a técnica de
malhas seqüenciais. O código desenvolvido é de aplicação universal e representa uma
ferramenta de cálculo que poderá ser utilizada de forma conveniente em trabalhos futuros.
A situação física a ser simulada é bastante complexa devido à alta velocidade dos
escoamentos, à existência de diversas camadas de cisalhamento em planos diferentes,
presença de paredes etc. Nestas condições, algumas simplificações foram introduzidas na
modelagem, procurando-se, no entanto, manter a essência do processo de injeção.
Estas simplificações serão introduzidas e discutidas ao longo do corpo da tese.
55
1.5 Organização do trabalho
O estabelecimento do problema, com uma descrição das particularidades do TTP no
uso da injeção, e a formulação matemática empregada estão apresentados no capítulo 2.
O capítulo 3 apresenta os detalhes da implementação numérica das equações desenvolvidas,
incluindo o tratamento geral das condições iniciais e de contorno. O capítulo 4 apresenta os
resultados mais importantes utilizados para a validação e verificação do código e a análise da
precisão do método. Finalmente, no capítulo 5, os resultados obtidos da análise da injeção
do TTP são apresentados, seguidos de discussão dos casos e comentários.
56
2 ESTABELECIMENTO DO PROBLEMA E EQUAÇÕES BÁSICAS
Este capítulo apresenta o problema físico a ser estudado, descrevendo as principais
características do TTP, com detalhes da operação pelo uso acoplado do sistema de injeção
de massa. Também são apresentadas as equações básicas da formulação no espaço
tridimensional para a representação física do problema abordado, juntamente com os modelos
e algumas das simplificações adotadas.
2.1 Estabelecimento do Problema
O Túnel Transônico Piloto do CTA
O TTP tem seção de testes com área de 0,25 m x 0,30 m, com faixa de número de
Mach de 0,2 a 1,3. É um túnel em circuito fechado e opera continuamente por meio de um
compressor principal com potência de 830 kW, com uma unidade comutadora de freqüência
que controla a rotação do compressor para atingir a velocidade desejada na seção de testes.
Seu circuito é pressurizado de 0,5 x 105 a 1,25 x 105 N/m2 (0,5 bar a 1,25 bar), por meio de um
sistema de compressor auxiliar. O túnel possui controles automáticos de pressão, temperatura,
umidade, número de Mach, taxa de extração de massa pelas paredes fendidas da seção de
testes, sendo também dotado de um sistema de injeção que opera intermitentemente,
para atingir pontos extremos em seu envelope de operação. A FIG. 2.1 apresenta um esquema
da instalação do túnel, no qual se observam suas principais áreas: A – sala de controle,
B – galpão de instalação do circuito aerodinâmico, C – casa de máquinas, D – casa dos
57
transformadores e E – instalações ao ar livre. A TAB. 2.1 denomina os principais
componentes e suas funções básicas, de acordo com a FIG. 2.1.
O TTP, como é típico para um túnel transônico, tem uma operação bastante complexa,
na qual todos os seus sistemas e componentes desempenham funções, de forma coordenada,
para atingir condições controladas e estáveis na seção de testes. Estas são principalmente a
temperatura de estagnação e a pressão de estagnação que, associadas à rotação imposta ao
compressor principal, resultará numa condição única para o ensaio, através do
estabelecimento do número de Mach e do número de Reynolds. Para tanto, o TTP ainda
incorpora um sistema central de controle que realiza, de forma integrada, procedimentos
automáticos para os diversos sistemas, através de um programa dedicado. O programa realiza
a leitura dos parâmetros dos diversos sistemas, os cálculos e a lógica necessários para acionar
as diversas válvulas pneumáticas, hidráulicas, os motores elétricos e outros dispositivos para a
manutenção da configuração desejada.
TABELA 2.1 – Componentes principais do TTP, como apresentados na FIG. 2.1.
N.
Componente
Função
1
Câmara Plena
Hermeticamente fechada, abriga a primeira garganta, a seção de
testes com paredes fendidas, a seção de flapes de reentrada, a
segunda garganta e a seção de injeção.
2
Seção de injeção
Abriga os injetores que fornecem ar comprimido a alta
velocidade (número de Mach 1,9), aumentando a quantidade de
movimento do escoamento principal.
3
Compressor principal
Fornece energia mecânica de eixo, acionando o túnel em
operação contínua (opera de 0 a 7400 rpm)
4
Caixa de transmissão e
unidade de refrigeração
Amplia a rotação do motor elétrico (2,7 vezes) para acionar o
compressor principal, com sistema de lubrificação e resfriamento.
5
Motor elétrico principal
Fornece potência de eixo à caixa de transmissão (0 a 3600 rpm,
830 kW).
58
TABELA 2.1 – (continuação).
N.
Componente
Função
6
Conversor de freqüências
Modula a freqüência elétrica para controle da rotação do motor
principal.
7
Trocador de calor
Extrai o calor gerado pelas irreversibilidades ao longo do circuito
aerodinâmico do túnel.
8
Câmara de tranqüilização
Condiciona o escoamento
uniformizando-o ao máximo.
9
Extrai massa da ST (seção de testes) pelo controle da pressão
Extração forçada de
da Câmara Plena, aumentando o efeito de desbloqueio
massa da seção de testes. aerodinâmico, para permitir ensaios com maiores razões de
bloqueio.
10
Extração de massa do
circuito
Extrai ar do circuito para controle da pressão do túnel.
11
Readmissão de massa
Readmite ar ao túnel para controle da pressão.
12
Válvula da injeção
Ajusta a pressão de estagnação dos injetores para controle do
fluxo de massa dos injetores.
13
Válvula de exaustão da
injeção
Extrai a massa injetada para balanço de massa no circuito do
túnel.
14
Reservatórios de arcomprimido
Armazenam ar comprimido para a operação com injeção (10 m
cada um, com tempo de descarga mínimo de 45 segundos).
15
Compressores a pistão
Carregam os reservatórios de ar comprimido do sistema de
6
2
injeção com pressão até 4 x 10 N/m (40 bar).
16
Secador de alta pressão
Seca o ar da injeção até ponto de orvalho de -45 C, para evitar
condensação durante a expansão do escoamento a alta
velocidade.
17
Compressor centrífugo
Controla a pressão do circuito, a umidade e a porcentagem de
extração forçada de massa pela Câmara Plena (taxa 4:1).
18
Secador de baixa pressão
Seca o ar a ser readmitido no circuito do túnel, para evitar
condensação durante a expansão do escoamento a alta
velocidade.
19
Torre de resfriamento
Resfria a água que circula nos diversos componentes
(compressores, motor, trocador de calor do túnel, unidade
hidráulica).
20
Bombas hidráulicas
Circulam água pelos diversos componentes a serem resfriados.
21
Transformadores elétricos
Condicionam a tensão para as diversas aplicações.
através
de
telas
e
colmeia,
3
o
59
D
A
B
6
21
1
7
8
2
13
5
4
9
12
3
10
11
14
19
14
E
20
18
16
C
17
15
15
FIGURA 2.1 – Esquema de instalação do TTP (itens na TAB. 2.1).
60
A FIG. 2.2 mostra um esquema em detalhe do interior da Câmara Plena, onde estão
instaladas a primeira garganta, a seção de testes, a seção de flapes, a segunda garganta e a
câmara de mistura da injeção. Ainda há outras vistas (e fotografias) do túnel e do sistema de
injeção no apêndice C.
Câmara Plena
Injetor
Primeira
Garganta
Seção de
Testes
Seção
de flapes
Segunda
Garganta
Câmara de
Mistura da
Injeção
tubo de alimentação
de ar-comprimido
FIGURA 2.2 – Detalhe do interior da câmara plena.
O estabelecimento do escoamento na faixa transônica propriamente dita, num túnel
transônico (número de Mach de 0,85 a 1,3) não é simples. Este regime é caracterizado por um
escoamento misto no qual regiões subsônicas e supersônicas coexistem tornando-o, muitas
vezes, instável. A configuração do escoamento, em regime permanente, em termos das
precisas localizações das diversas fronteiras sônicas, só é obtida com uma escolha adequada
dos dois principais parâmetros de definição do escoamento: os números de Mach e de
Reynolds. Além disto, um cuidado especial deve ser dado para se obter uma distribuição
espacial uniforme na seção de testes, através de diversos dispositivos auxiliares.
61
A primeira garganta, formada a partir de uma geometria criteriosamente projetada,
acelera o escoamento da câmara de tranqüilização até a entrada da seção de testes.
Esta geometria pode ser fixa, como é o caso do TTP, ou variável com uso de atuadores sobre
uma superfície de contorno flexível, num projeto mais caro, mas de mais fácil operação.
Até o número de Mach 1 na seção de testes, a primeira garganta terá uma geometria fixa.
Para o regime supersônico, sua geometria pode ser modificada para operar como um bocal
convergente-divergente. Entretanto, através da extração de massa pelas paredes semi-abertas
da seção de testes, é possível atingir números de Mach até cerca de 1,2 com a primeira
garganta sônica.
As paredes da seção de testes do TTP são semi-abertas, com fendas longitudinais, que
permitem que parte do escoamento atravesse espontaneamente as mesmas, evitando o efeito
de bloqueio. O ar é readmitido à corrente principal através da abertura dos flapes, que sugam
o ar da câmara plena por efeito venturi. Fico Júnior e Ortega (1993) detalham a operação dos
flapes de reentrada e calculam as perdas localizadas para a seção. Além da abertura dos
flapes, o compressor centrífugo (item 17 na FIG. 2.1) pode extrair mais massa pelas paredes,
diminuindo ainda mais o efeito de bloqueio, permitindo assim ensaiar modelos com razões de
área maiores. A combinação do ângulo de abertura dos flapes com a porcentagem de massa
extraída da câmara plena deve ser determinada experimentalmente para cada modelo e
configuração de ensaio, visando uma distribuição uniforme de velocidades dentro da seção de
testes. A saída de massa pelas paredes da seção de testes causa, como efeito final, o alívio do
bloqueio além de praticamente cancelar as reflexões de eventuais ondas de choque.
Além disso, como efeito secundário, a espessura da camada limite junto às paredes é bastante
diminuída quando da passagem pelas fendas. Este fato será levado em conta neste trabalho
quando da determinação da espessura de camada limite na região onde estão instalados os
injetores (ver capítulo 5, item 5.1.1).
62
A segunda garganta é utilizada para o funcionamento do túnel no regime plenamente
supersônico, criando condições para o estabelecimento de choque localizado de maneira
controlada, reduzindo as perdas de carga e evitando instabilidades na operação do túnel.
A fixação do choque nesta região evita a entrada do fluxo supersônico no primeiro difusor.
O dispositivo consiste em um mecanismo de avanço de segmentos da parede, com ajustes
independentes. Este dispositivo, presente em duas paredes opostas, cria um novo contorno do
circuito do túnel, com uma seção de menor área.
O que distingue o circuito do TTP dos túneis transônicos tradicionais é a introdução da
seção de injeção de massa a alta velocidade, fornecendo quantidade de movimento extra à
corrente principal no túnel. Desta forma, com o compressor principal mantido numa mesma
condição de potência, pode-se atingir regiões extremas do envelope de operação. Observa-se,
historicamente, que essas regiões extremas do envelope têm demanda de cerca de 10 % dos
ensaios (Christophe, 1985) mas que, para serem atingidas de forma contínua – só com o
compressor principal – necessitariam o dobro da potência instalada. Por outro lado, como o
uso da injeção combinada impõe cuidados especiais de operação, seu emprego representa uma
solução de compromisso.
No túnel transônico industrial, o sistema de injeção terá um papel muito significativo.
A FIG. 2.3 mostra seu envelope de operação relativo às condições na seção de testes.
Observe-se a extensa região exclusivamente alcançada pela operação combinada (indicada
pelos termos “Injeção combinada”), além da curva de potência limite do compressor
principal (35 MW) – representando um aumento de 70% no número de Reynolds para a
condição de número de Mach 1 na seção de testes. Na FIG. 2.3 vê-se ainda o envelope do
TTP, que é ampliado e detalhado na FIG. 2.4.
63
10
T 0 = 313 K
corda típica = 0,22 m
(10% da raiz quadrada da área da seção de testes)
número de Reynolds (milhões)
9
8
Injeção
Combinada
curva de limite de potência
7
TTS
limite estrutual (3 bar)
6
5
Acionamento contínuo
(compressor principal)
4
3
2
1
TTP
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
número de Mach
FIGURA 2.3 – Envelope de operação do túnel transônico industrial.
Embora o TTP preserve as principais características do túnel industrial, algumas
simplificações foram adotadas no seu projeto. Em particular, enquanto no túnel industrial o
limite de pressurização do túnel é de 3 bar, no TTP é de 1,25 bar. Por isto, seu envelope,
representado na FIG. 2.4, apresenta uma forma um pouco diferente. A figura destaca ainda a
região na qual é possível o uso da injeção combinada com a operação contínua do túnel
(indicada pelos termos “Injeção combinada”). A região que representa uma extensão real do
envelope de operação é muito pequena – o canto superior direito do envelope, em forma de
triângulo. Esta região só é atingida com o compressor na potência máxima (observe-se a linha
de limite de potência do compressor) e com uso da injeção. O restante da região indicada
como “Injeção combinada” pode ser atingida pelo uso conjunto da injeção e do compressor
em condições de potência inferiores, ou só com o compressor principal. As outras regiões do
envelope operacional do túnel são atingidas usando-se somente o compressor principal,
64
devido aos limites de “bombeamento” da máquina e de extração via válvula de exaustão –
limites impostos para uma operação segura do sistema de injeção. A razão para que se tenha
uma região relativamente grande de redundância de operações (só compressor principal,
ou compressor principal mais injeção), vem do fato de que o TTP foi construído
principalmente para testar a injeção, e é desejável que haja mais de uma possibilidade de se
atingir estas regiões, com o intuito de se avaliar o processo.
0.55
0.50
número de Reynolds (milhões)
Limite de Potência do
Compressor Principal
T o = 313 K
corda típica = 2,74 cm
( = 10% da raiz quadrada da área da seção de testes)
0.45
Injeção combinada
0.40
0.35
0.30
Limite da
garganta
sônica
Limite estrutural do circuito
Limite de extração
via "blow-off"
Limite de
"bombeamento"
do Compressor
Principal
0.25
0.20
0.15
0.10
Limite de sucção do compressor de
extração de massa da câmara Plena
0.05
0.00
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
número de Mach
FIGURA 2.4 – Envelope de operação do TTP.
Dentre as diversas curvas que limitam a operação do TTP (ver FIG. 2.4), destacam-se
o limite de bombeamento que deve ser obedecido para que o compressor principal não opere
como turbina, efeito este provocado pela intensidade exagerada da injeção comparada à
potência do compressor principal, e o limite de extração via válvula de exaustão, que garante
que a massa de ar injetada possa sair espontaneamente do circuito.
65
O Sistema de Injeção do TTP
Este sistema gera ar comprimido a alta pressão, 40x105 N/m2 (40 bar), e armazena-o
em dois reservatórios de 10 m3 cada, o que garante uma operação mínima do mecanismo de
injeção por 45 segundos. Durante o processo esse ar é descarregado através de uma válvula de
controle (item 12 na FIG. 2.1), para garantir o fluxo de massa desejado, direcionado para dez
bicos injetores, que estão localizados no ponto 2 da FIG. 2.1 (ver detalhe na FIG. 2.2).
Cinco destes bicos estão localizados no piso e cinco estão localizados no teto do túnel –
ver FIG. 2.5 –, e deve-se observar que estes bicos não são retráteis, i.e., eles ficam expostos à
corrente durante todo o tempo. No apêndice C há fotografias ilustrativas com mais detalhes da
instalação atual do TTP.
FIGURA 2.5 – Esquema da seção transversal do túnel onde estão montados os bicos injetores.
66
Cada bico injetor funciona como um bocal convergente-divergente com geometria
fixa, “fornecendo” na seção de saída o escoamento com número de Mach 1,9, na condição de
operação de projeto. A FIG. 2.6 mostra, numa vista lateral, o detalhe da instalação de um dos
injetores na câmara de mistura. A saída do jato supersônico, por projeto, é perfeitamente
alinhada com a parede do túnel. A câmara de mistura é também câmara de transição, na qual a
geometria quadrada da seção em “A” (ver FIG. 2.6), onde o processo de injeção se inicia,
vai passando por transformações, mantendo a área transversal aproximadamente constante,
até “D” onde a seção é circular. A geometria real da câmara de mistura e mais detalhes serão
mostrados posteriormente no capítulo 5, quando da apresentação das malhas de cálculo.
linha de simetria longitudinal do túnel
A
B
C
seção de
estagnação
do injetor
FIGURA 2.6 – Detalhe esquemático da montagem de um injetor na câmara de mistura.
D
67
O presente trabalho objetiva simular, da melhor maneira possível, a câmara de mistura
da injeção, com as condições de projeto relativas à operação do sistema de injeção combinado
com o escoamento do circuito do túnel, para permitir uma análise dos principais parâmetros
do processo de mistura.
2.2 Hipóteses básicas consideradas
As seguintes hipóteses simplificadoras foram assumidas:
•
O fluido de trabalho é o ar, considerado como um gás, térmica e caloricamente
perfeito;
•
O fluido é newtoniano;
•
As forças de corpo (de campo) são desprezíveis;
•
As fontes de calor internas são desconsideradas.
Além destas, outras hipóteses simplificadoras específicas foram empregadas, as quais
serão introduzidas oportunamente.
2.3 Equações de Navier-Stokes
O processo físico em questão será modelado matematicamente por meio das chamadas
equações gerais da dinâmica dos fluidos, também conhecidas como equações de NavierStokes. Está se tornando usual na dinâmica dos fluidos computacional classificar como
68
“Equações de Navier-Stokes” o conjunto completo das equações básicas da continuidade,
da quantidade de movimento e da energia, além do conjunto das equações constitutivas
pertinentes. Destarte, em forma diferencial, estas equações são (Anderson et al., 1984):
Continuidade:
r r
Dρ
+ ρ ∇ ⋅u = 0 .
Dt
(2.1)
r
r
r vv
Du
ρ
= −∇ p + ∇ ⋅τ .
Dt
(2.2)
(
)
Quantidade de Movimento:
Energia:
ρ
Nestas
D(
)
equações
Dt ≡ ∂ (
o
r
r rr r r
D em r
= ∇ ⋅ − p u + τ ⋅u − q .
Dt
[
símbolo
) ∂t + ur ⋅ ∇( ) , e
D/Dt
]
representa
(2.3)
a
derivada
substancial,
r
∇ o operador gradiente. O símbolo ρ indica a densidade,
rr
r
r
u o vetor velocidade, p a pressão, τ o tensor de tensões viscosas, q o vetor fluxo de
calor por condução, t o tempo e em é a energia total por unidade de massa dada por
1r r
em = et + u ⋅ u ,
2
onde et é a energia interna específica ou energia termodinâmica propriamente dita.
(2.4)
69
Em geral o número de variáveis em um problema é maior que o número de equações
básicas. Nessas condições, usualmente lança-se mão das chamadas equações constitutivas,
as quais caracterizam o fluido em movimento. A seguir são listadas as principais equações
constitutivas aqui utilizadas.
(i) Equação dos gases perfeitos. Para um gás térmica e caloricamente perfeito, escreve-se
p = ρ ( γ − 1 ) et ,
(2.5)
sendo γ = cp / cv a relação entre os calores específicos a pressão constante e a volume
constante. Como o gás é caloricamente perfeito tem-se que
(2.6)
et = cv T ,
sendo T a temperatura estática absoluta.
(ii) Lei de Fourier. O calor transferido por condução é expresso por
r
r
q = −κ ∇ T ,
(
)
(2.7)
r
onde q é o vetor de fluxo de calor e κ é o coeficiente de condutividade térmica molecular.
(iii) Relação entre o tensor de tensões viscosas e o tensor taxa de deformação. Dada por
 ∂ ui ∂ u j
+
 ∂ x j ∂ xi
τ ij = µl 
 2  ∂ uk
 − µl 
 3  ∂x
 k


 δ ij ,

(2.8)
70
onde µl é a viscosidade dinâmica molecular, o fluido é considerado isotrópico e leva-se em
conta a hipótese de Stokes (λ = – (2/3) µl ). O símbolo δ ij representa o tensor de Kronecker,
sendo que a equação segue a notação chamada de Einstein quanto à operação dos termos a
partir dos seus índices (também conhecida como notação indicial).
As Eqs. (2.1), (2.2) e (2.3) estão escritas na forma não-conservativa. Isto pode causar
distorções numéricas pela geração de massa nas passagens por descontinuidades como,
por exemplo, ondas de choques. Para evitar isto lança-se mão da forma conservativa ou forma
divergente
das
equações
(Anderson et al., 1984,
Chapman, 2000).
Em
coordenadas
cartesianas e notação indicial obtém-se,
Continuidade:
∂ρ ∂
(ρ uj )= 0 .
+
∂t ∂ xj
(2.9)
∂(ρui
∂t
)+ ∂(ρu
i
uj
∂xj
)+
∂ τ ij
∂p
=0.
−
∂ xi ∂ x j
(2.10)
Energia:
∂e ∂
+
∂t ∂ xj
onde
[( e + p ) u
j
]
− τ ij ui + q j = 0 ,
(2.11)
71
1 r r

e = ρ em = ρ  et + u ⋅ u 
2


(2.12)
é a energia total por unidade de volume.
2.4 Equações médias de Reynolds
As equações de Navier-Stokes na forma conservativa, Eqs. (2.9), (2.10) e (2.11),
requerem uma capacidade computacional, para representar todas as escalas de turbulência
envolvidas em um escoamento a altos números de Reynolds, que inviabiliza seu uso direto no
presente contexto. Por exemplo, para representar o menor vórtice de turbulência, seriam
necessários, em geral, no mínimo, dez pontos de cálculo, o que significa para um escoamento
típico, 106 pontos por 1 cm3 (Anderson et al., 1984). Para a análise da mistura de jatos do TTP
em toda a câmara de mistura dos injetores (33 cm x 33 cm x 60 cm), seriam necessários cerca
de 65 bilhões de pontos de cálculo, que transcende em muito a capacidade de armazenamento
de dados e a velocidade dos computadores atuais. É importante salientar que o enfoque deste
trabalho é essencialmente “de engenharia” e, em conseqüência, ele pode ser encarado com
tranqüilidade como um problema de “estado estacionário”. Isto tende a diminuir o tempo total
de cálculo considerando que o número final de iterações será muito menor. Técnicas tipo
simulação direta e simulação de grandes vórtices, além de necessitar de uma capacidade de
memória extraordinária, em geral exigem um número de iterações muito grande, por serem
métodos tipo “acurados no tempo” (“time accurate”), e pela necessidade de reproduzirem pelo
menos alguns ciclos de evolução do processo.
72
Assim, o mais prático é trabalhar com as chamadas equações de Navier-Stokes com
média de Reynolds. Considera-se uma variável do escoamento expressa pelo seu valor médio
mais um termo de flutuação, conceito este introduzido por Reynolds (1895) para o
escoamento incompressível. No caso do escoamento compressível o usual é utilizar as médias
de Favre (1965), médias estas ponderadas pela massa, o que simplifica sobremaneira a forma
final das equações. Define-se então:
ρ = ρ + ρ′ ,
(2.13a)
ρ ui = ρ ui + (ρ ui )′ ,
(2.13b)
e = e + e′ ,
(2.13c)
ρ et = ρ et + (ρ et )′
(2.13d)
p = p + p′ ,
(2.13e)
τ ij = τ ij + τ ij′ ,
(2.13f)
qi = qi + qi′ ,
(2.13g)
ρ h = ρ h + (ρ h )′ ,
(2.13h)
onde a barra indica grandeza média e o símbolo (⋅)´ indica flutuação em torno da média.
Nas equações acima, h indica entalpia específica. Entretanto, como se estabeleceram as
médias de ρ ui, ρ et e de ρ h, caso as velocidades, energia interna e entalpia médias sejam
necessárias, será preciso introduzir uma outra definição, qual seja,
73
ρ ui
u~i =
,
(2.14a)
ρ et
~
et =
,
(2.14b)
~ ρh
h=
,
(2.14c)
ρ
ρ
ρ
o que leva à introdução das seguintes grandezas de flutuação:
ui = u~i + ui′′ ,
(2.15a)
et = ~
et + et′′ ,
(2.15b)
~
h = h + h′′ .
(2.15c)
Observe-se que as médias das quantidades de perturbação ui′′ , et′′ e h′′ não são
necessariamente nulas.
Estabelecendo-se a média das Eqs. (2.9), (2.10) e (2.11) chega-se, finalmente, ao
seguinte sistema de equações, na forma conservativa (Wilcox, 1998):
Continuidade:
∂ρ ∂
+
∂t ∂ xj
( ρ u~ ) = 0 .
j
(2.16)
74
∂ ( ρ u~i ) ∂ ( ρ u~i u~ j ) ∂ p ∂
+
+
−
τ ij − ρ ui′′u′j′ = 0
∂t
∂ xj
∂ xi ∂ x j
(
)
(2.17)
Energia:
∂e
∂
+
∂t ∂ xj
[ ( e + p )u~ ] − ∂∂x

ρ ui′′u′j′

u~i τ ij − ρ ui′′u′j′ + ui′′  τ ij −
2


(
j
j
)
∂ qj
∂ xj
+

 +

∂
ρ u′j′ h′′ = 0 .
∂ xj
(
)
(2.18)
Deve-se observar que, no caso turbulento, a expressão para a energia total média por unidade
de volume passa a ser
1

 ρ ui′′ui′′
,
e = ρ ~
et + u~i u~i  +
2
2


(2.19)
e percebe-se imediatamente que
ρk=
ρ ui′′ ui′′
2
,
(2.20)
onde k é a energia cinética turbulenta por unidade de massa.
Comparando-se as Eqs. (2.9), (2.10) e (2.11), respectivamente, com as Eqs. (2.16),
(2.17) e (2.18), observa-se o “surgimento” de novos termos com nova terminologia,
representando algum aspecto físico do escoamento, quais sejam:
75
Tensões de Reynolds:
ρ ui′′u ′j′ .
(2.21)
Dissipação de Reynolds:
ρ ui′′u′j′ 

.
ui′′ τ ij −
2 

(2.22)
Fluxo de calor de Reynolds:
ρ u′j′ h′′ .
(2.23)
Pode-se obter novas equações de transporte para estas grandezas, entretanto, novos
termos surgirão envolvendo correlações triplas (Wilcox, 1998). Deste ponto de vista,
o problema continua “aberto”. A maneira mais tradicional para se fechar o problema é a
introdução da hipótese de Boussinesq (1877), segundo a qual os termos de flutuação são
correlacionados diretamente com o campo médio. Assim, no caso mais geral, o termo de
Reynolds se relaciona com o tensor taxa de deformação média através da expressão:
(τ )
ij Re
 ∂ u~i ∂ u~ j
≡ − ρ ui′′u ′j′ = µ t 
+
 ∂x
∂ xi
j

~
 2
 − µ t δ ij ∂ u k − 2 δ ij ρ k ,
 3
∂ xk 3

(2.24)
onde µt é a chamada viscosidade turbulenta, ou viscosidade de vórtice. O fluxo de calor de
Reynolds é suposto ser proporcional ao gradiente de temperatura médio e é dado por
(q )
j Re
= − ρ u′j′ h′′ = − κ t
onde κt é a condutividade térmica turbulenta.
~
~
κ ∂h
∂T
,
=− t
cp ∂ x j
∂ xj
(2.25)
76
Em geral o termo
molecular, e
(2 3) δ ij ρ k
(1 2) ρ ui′′ ui′′ u′j′ ,
na Eq. (2.24) e as contribuições ui′′τ ij , difusão
transporte turbulento, que vêm da equação da energia
(dissipação de Reynolds) são considerados desprezíveis. Esta é uma prática comum e
representa uma boa aproximação para escoamentos com números de Mach até a faixa
~
supersônica, o que decorre de que ρ k << p (e, portanto, k << h ) para a maioria dos
escoamentos de interesse em engenharia (Wilcox, 1998). Para se ter idéia, no caso presente da
injeção no TTP, o valor de ρ k é, em geral, da ordem de 0,3 % de p , sendo, portanto,
bastante plausível a adoção desta simplificação.
Aplicando os conceitos de Boussinesq às Eqs. (2.16), (2.17) e (2.18), estas serão
escritas em função, apenas, das variáveis médias do escoamento. Para simplificar a notação,
as barras e os tils que indicam as médias serão abolidos. Mas deve-se ter sempre em mente
que as equações estão escritas em função das quantidades médias do escoamento. Assim,
Continuidade:
∂ρ
∂
( ρ uj )= 0.
+
∂t ∂ xj
(2.26)
∂ ( ρ ui ) ∂
( ρ ui u j + p δ ij − τ ij ) = 0 .
+
∂t
∂ xj
(2.27)
∂e ∂
+
∂t ∂ xj
(2.28)
Energia:
[( e + p ) u
j
]
− τ ij ui + q j = 0 ,
77
sendo os parâmetros τij e qj dados agora por
 ∂u
∂uj  2
 − ( µ l + µt ) ∂ uk δ ij ,
τ ij = ( µ l + µt )  i +

(2.29)
µ
µ  ∂ et
q j = −  l + t  γ
,
Pr
Pr
∂
x
l
t
j


(2.30)
 ∂ xj
∂ xi 
3
∂ xk
onde Prl = (µ l c p / κ l ) é o número de Prandtl laminar e Prt = (µt c p / κ t ) é o número de
Prandtl turbulento. Valores constantes para Prt são normalmente adotados, em geral entre 0,8
e 0,9. A previsão da troca de calor em camadas limite pode ser melhorada admitindo-se uma
certa variação de Prt com a distância à parede (Cebeci e Bradshaw, 1984). Neste trabalho,
entretanto, utilizou-se sempre Prt = 0,89.
Neste ponto define-se o que costumeiramente se conhece por viscosidade efetiva, µ,
e condutividade térmica efetiva, κ, por
µ = µ l + µt ,
(2.31)
κ = κl + κt .
(2.32)
Assim, as Eqs. (2.29) e (2.30) podem ser reescritas como
 ∂ ui ∂ u j
+
∂
∂ xi
x
j

τ ij = µ 
q j = −κ
 2 ∂ uk
− µ
δ ,
 3 ∂ x ij
k

∂T
κ ∂ et
=−
.
cv ∂ x j
∂ xj
(2.33)
(2.34)
78
A pressão é calculada das Eqs. (2.4) e (2.5) (após a operação de média).
As Eqs. (2.26) a (2.28) são usualmente conhecidas na literatura como equações médias
de Reynolds (englobando-se nesta nomenclatura as equações da continuidade e da energia),
ou também de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds (RANS – “ReynoldsAveraged Navier-Stokes Equations”). Este é o sistema de equações que será utilizado na
modelagem do escoamento que acontece na câmara de injeção.
Mas a representação acima ainda está na forma cartesiana, o que não é totalmente
desejável, uma vez que dificuldades adicionais aparecem no caso de geometrias complexas.
Por exemplo, para alguns casos de estudo da mistura de jatos a malha mais apropriada
precisou ser alterada da sua forma cartesiana original para diminuir o acúmulo de pontos e
acompanhar melhor a camada de mistura (ver capítulos 4 e 5).
2.5 Transformação de coordenadas
O sistema de coordenadas cartesianas apresenta inconvenientes para o caso de
geometrias não retangulares. Assim adotou-se como referência um sistema de coordenadas
curvilíneas generalizadas, ξ, η e ζ, aumentando-se a flexibilidade do código desenvolvido,
uma vez que, neste caso, as coordenadas se adaptam às superfícies de contorno
(Anderson et al., 1984).
Inicialmente, o sistema de equações principais do escoamento (Eqs. (2.26), (2.27)
e (2.28)) é reescrito na forma conservada matricial, porém ainda, em coordenadas cartesianas.
79
∂Q ∂ E ∂ F ∂G
+
+
+
=0,
∂t ∂ x ∂ y ∂ z
(2.35)
onde o vetor de quantidades conservadas é
 ρ 
ρ u
 
Q = ρ v,
 ρ w
 
 e 
(2.36)
ρu




2
ρ u + p − τ xx


ρ u v − τ xy
E=
,


ρ u w − τ xz


(e + p − τ xx ) u − τ xy v − τ xz w + q x 
(2.37)
ρv




ρ u v − τ xy


ρ v 2 + p − τ yy
F =
,


ρ v w − τ yz


(e + p − τ yy ) v − τ xy u − τ yz w + q y 
(2.38)
ρw




ρ u w − τ xz


ρ v w − τ yz
G=
.
2


ρ w + p − τ zz


(e + p − τ zz ) w − τ xz u − τ yz v + q z 
(2.39)
e os vetores de fluxo E, F e G são
80
O procedimento padrão para se obter as equações de Navier-Stokes em coordenadas
curvilíneas generalizadas, a partir da sua forma em coordenadas cartesianas, começa com o
uso das seguintes transformações, temporal e espaciais:
τ =t,
(2.40)
ξ = ξ ( x , y , z ,t ) ,
(2.41a)
η = η ( x , y , z ,t ) ,
(2.41b)
ζ = ζ ( x , y , z ,t ) .
(2.41c)
É importante observar que, se a transformação direta foi possível, sempre existirá a
transformação inversa, dada por:
t =τ ,
(2.42)
x = x ( ξ ,η ,ζ ,τ ) ,
(2.43a)
y = y ( ξ ,η ,ζ ,τ ) ,
(2.43b)
z = z ( ξ ,η ,ζ ,τ ) .
(2.43c)
Usando a regra da cadeia, as derivadas, em relação às variáveis cartesianas, podem ser
expressas em termos das derivadas curvilíneas, na forma matricial, como
81
 ∂  τ t
 ∂t  
  
  
∂  
  0
 ∂ x  
 =
∂  
  0
∂ y  
  
∂  
  
 ∂ z  0
ξt
ξx
ηt
ηx
ξy
ηy
ξz
ηz
xτ
yτ
xξ
yξ
ζt   ∂ 
  ∂τ 

 
 
 
ζx ∂ 
  ∂ ξ 
  ,
∂ 
ζ y   ∂η 
 
 
∂ 
 
ζ z   ∂ ζ 
(2.44)
sendo a expressão inversa dada por
 ∂  tτ
 ∂τ  
  
  
∂  
  0
 ∂ ξ  
 =
∂  
  0
 ∂η  
  
∂  
  
 ∂ ζ  0
xη
yη
xζ
yζ
zτ   ∂ 
 
  ∂t 
 

zξ   ∂ 
 
 ∂ x 
 
  .
 ∂ 
zη   
 ∂ y 
 
 ∂ 
 
zζ   ∂ z 
(2.45)
Devido à forma especial das matrizes de transformação acima, o jacobiano da
transformação, J, pode ser escrito como (Pulliam e Steger, 1980):
J=
ou, como empregado no código,
∂ ( ξ ,η ,ζ )
,
∂ ( x , y ,z )
(2.46)
82
J −1 =
∂ (x , y , z )
,
∂ (ξ ,η ,ζ )
(2.47)
ou então em forma aberta (sabendo que tτ = 1):
J −1 = [ yξ ( xζ zη − xη zζ ) + yη ( xξ zζ − xζ zξ ) + yζ ( xη zξ − xξ zη
) ].
(2.48)
Substituem-se as transformações dadas pelas Eqs. (2.42) e (2.43) na Eq. (2.35) e
trabalha-se algebricamente, atentando para não se perder a forma conservativa da equação.
Isto consiste em incluir o Jacobiano na derivada através da regra da cadeia, observando-se que
uma combinação de termos se anula. Assim, obtém-se a equação escrita na forma
conservativa em coordenadas generalizadas (Anderson et al., 1984),
∂Q ∂ E ∂ F ∂G
+
+
+
= 0,
∂τ
∂ξ
∂η
∂ζ
(2.49)
para a qual o vetor das variáveis conservadas e os vetores de fluxo são expressos por
 ρ 
ρ u 
1  
Q = ρ v ,
J  
ρw
 
 e 
(2.50)
83
E=
1
( ξt Q + ξ x E + ξ y F + ξ z G ) ,
J
(2.51)
F =
1
(ηt Q + η x E + η y F + η z G ) ,
J
(2.52)
G=
1
( ζ t Q + ζ x E + ζ y F + ζ z G ).
J
(2.53)
Destaque-se que, no trabalho, a malha foi considerada fixa, o que, em princípio, é uma
decorrência da hipótese de estado estacionário. Daí resulta que os termos ξt, ηt e ζt,
que aparecem nas equações acima, se anularão.
2.6 Adimensionalização e expressão final das equações
É aconselhável a adimensionalização das equações, garantindo maior generalidade na
formulação, além de se obter ordem de grandeza mais conveniente para os termos. O seguinte
conjunto consistente de parâmetros foi adotado como referência:
•
densidade de referência, ρref,
•
velocidade do som de referência, aref,
•
comprimento de referência, l ref , e
•
viscosidade dinâmica molecular de referência, µref.
Esses valores de referência são escolhidos adequadamente para cada problema
em questão. Por exemplo, no problema típico da mistura de jatos, os valores de referência
correspondem à média entre os valores de cada jato na condição de escoamento livre.
84
Feita a escolha dos parâmetros de adimensionalização, tem-se como resultado as seguintes
expressões das diversas variáveis envolvidas. As variáveis grafadas com chapéu são
grandezas adimensionalizadas que, por simplicidade de notação, somente aqui serão
apresentadas assim (Eqs. de 2.55 a 2.62). No texto que segue a partir deste, embora não haja o
chapéu, as grandezas serão adimensionais.
t̂ =
t
,
l ref
(2.54a)
aref
x
y
,
ŷ =
û =
u
,
aref
v̂ =
ρˆ =
ρ
,
ρ ref
p
,
p̂ =
2
ρ ref aref
T̂ =
et
,
2
aref
ê =
e
,
2
ρ ref aref
µˆ =
x̂ =
êt =
κˆ =
l ref
κ
µ ref c p
,
k̂ =
,
ẑ =
v
,
aref
ŵ =
l ref
z
,
(2.54b)
w
,
aref
(2.54c)
l ref
T
a
,
2
ref
(2.54d)
cv
k
.
2
aref
µ
,
µ ref
(2.54e)
(2.54f)
As relações termodinâmicas e equações constitutivas tomam as seguintes formas:
1


ê = ρˆ êt + û 2 + v̂ 2 + ŵ2 + k̂  ,
2


(2.55)
êt = T̂ ,
(2.56)
â = γ (γ − 1) T̂ ,
(2.57)
p̂ = (γ − 1) ρˆ T̂ ,
(2.58)
(
)
85
ou,
 1

p̂ = (γ − 1) ê − ρˆ û 2 + v̂ 2 + ŵ2 + k̂  ,
 2

(
)
(2.59)
bem como pode-se provar facilmente que:
κˆ =
µˆ l
Prl
+
µˆ t
Prt
.
(2.60)
Como, em geral, para a faixa de problemas aqui tratados, a energia cinética turbulenta
tem um valor pequeno quando comparada com outros termos (ver pág. 76), as Eqs. (2.55)
e (2.59) se simplificam para
1


ê = ρˆ êt + û 2 + v̂ 2 + ŵ2  ,
2


(2.61)
 1

p̂ = (γ − 1) ê − ρˆ û 2 + v̂ 2 + ŵ2  .
 2

(2.62)
(
)
(
)
O número de Reynolds associado ao escoamento é dado por
Re =
ρ ref aref l ref
.
µ ref
(2.63)
Assim, as equações, na forma adimensionalizada e já em coordenadas curvilíneas
generalizadas, são expressas por:
86
∂Q ∂ E ∂ F ∂G
= 0,
+
+
+
∂ξ ∂η ∂ζ
∂τ
(2.64)
onde o vetor de quantidades conservadas é dado por
 ρ 
ρ u
1  
Q = ρv,
J 
ρw
 
 e 
(2.65)
e os vetores de fluxo, convenientemente separados em duas parcelas, ditas convectiva e
viscosa, diferenciadas, respectivamente, pelos subscritos “c” e “v”, são
ρU

 ρ uU + pξ
x
1 
E = Ec − Ev =  ρ v U + p ξ y
J 
ρ wU + p ξ z

 ( e + p ) U



1
−
 Re J


0

 τ ξ +τ ξ +τ ξ
 xx x xy y xz z
 τ xy ξ x + τ yy ξ y + τ yz ξ z
 τ ξ +τ ξ +τ ξ
yz y
zz z
 xz x
β
ξ
β
ξ
β
+
+
 x x
y y
z ξz



,



(2.66)
ρV

 ρ u V + pη
x
1 
F = Fc − Fv =  ρ v V + pη y
J 
ρ wV + p η z

 ( e + p ) V



1
−
 Re J


0

 τ η +τ η +τ η
 τ xy η x + τ yy η y + τ yz η z
 τ η +τ η +τ η
yz y
zz z
 xz x
 β x η x + β y η y + β z η z



,



(2.67)
ρW

 ρ uW + pζ
x
1 
G = Gc − Gv =  ρ v W + p ζ y
J 
ρ wW + p ζ z

 ( e + p ) W



1
−
 Re J


0

 τ ζ +τ ζ +τ ζ
 τ xy ζ x + τ yy ζ y + τ yz ζ z
 τ ζ +τ ζ +τ ζ
yz
y
zz z
 xz x
 β x ζ x + β y ζ y + β z ζ z



.



(2.68)
87
Dessa forma a Eq. (2.64) pode ser reescrita numa forma mais adequada, passando os
vetores de fluxo viscosos para o lado direito,
∂ Q ∂ Ec ∂ Fc ∂ Gc
+
+
+
∂ζ
∂η
∂ξ
∂τ
=
∂ Ev ∂ Fv ∂ Gv
+
+
.
∂ζ
∂η
∂ξ
(2.69)
Os parâmetros U, V e W que aparecem nas Eqs. (2.66), (2.67) e (2.68) são os
componentes contravariantes da velocidade,
U = ξ xu + ξ y v + ξ z w ,
(2.70a)
V = η xu + η y v + η z w ,
(2.70b)
W = ζ xu + ζ y v + ζ z w ,
(2.70c)
e os valores βx, βy e βz são dados por
β x = τ xxu + τ xy v + τ xz w − qx ,
(2.71a)
β y = τ xyu + τ yy v + τ yz w − q y ,
(2.71b)
β z = τ xz u + τ yz v + τ zz w − qz .
(2.71c)
Os componentes do vetor de fluxo de calor são dados pelas expressões:
qx =
 ∂a 2
∂a 2 
∂a 2
,
+
+
ξ
η
ζ
(γ − 1)  x ∂ξ x ∂η x ∂ζ 
(2.72a)
qy =
 ∂a 2
∂a 2
∂a 2 
+
+
ξ
η
ζ
,
(γ − 1)  y ∂ξ y ∂η y ∂ζ 
(2.72b)
qz =
 ∂a 2
∂a 2
∂a 2 
+
+
ξ
η
ζ
,
(γ − 1)  z ∂ξ z ∂η z ∂ζ 
(2.72c)
κ
κ
κ
88
e as tensões de cisalhamento por
 4  ∂u
∂u
∂u

τ xx = µ   ξ x + η x + ζ x  −
∂ζ 
∂η
 3  ∂ξ
∂w 
∂w
2  ∂v
∂w
∂v
∂v
 ξ y + η y +
ζ y + ξ z + η z + ζ z  ,
∂ζ 
∂η
3  ∂ξ
∂ξ
∂ζ
∂η
 4  ∂v
τ yy = µ  
 3  ∂ξ
ξy +
∂v
∂v 
η y + ζ y  −
∂η
∂ζ 
∂u
∂u
∂w
∂w
∂w 
2  ∂u
 ξ x + η x +
ζ x + ξ z + η z + ζ z  ,
∂η
∂ζ
∂ξ
∂η
∂ζ 
3  ∂ξ
 4  ∂w
τ zz = µ  
 3  ∂ξ
ξz +
(2.73a)
(2.73b)
∂w 
∂w
η z + ζ z  −
∂ζ 
∂η
∂v 
∂v
∂v
2  ∂u
∂u
∂u
 ξ x + η x +
ζ x + ξ y + η y + ζ y  ,
∂ζ 
∂η
3  ∂ξ
∂ξ
∂ζ
∂η
 ∂u
∂u
∂u   ∂v
∂v
∂v 
ξy + ηy +
ζ y  +  ξ x + η x +
ζ x  ,
∂η
∂ζ
∂η
∂ζ 
  ∂ξ
 ∂ξ
τ xy = µ 
 ∂u
∂w 
∂w
∂u   ∂w
∂u
ζ x  ,
ηx +
ζ z  +  ξ x +
ηz +
τ xz = µ  ξ z +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ζ
η
ξ
ζ
η
ξ





 ∂v
∂v
∂v   ∂w
∂w
∂w 
ξz + ηz +
ζ z  +  ξ y + η y +
ζ y  .
∂η
∂ζ   ∂ξ
∂η
∂ζ

 ∂ξ
τ yz = µ 
(2.73c)
(2.73d)
(2.73e)
(2.73f)
89
Em vista da formulação adotada, e principalmente observando-se a Eq. (2.60),
agora só “resta” determinar a viscosidade turbulenta µt, que é obtida em função do
escoamento por meio do modelo de turbulência.
2.7 O modelo de turbulência
A análise do problema da mistura de jatos do sistema de injeção do TTP requer o uso
de um modelo de turbulência com boa representatividade dos fenômenos físicos envolvidos.
O modelo de turbulência, nestes casos, exerce um papel fundamental na modelagem do
problema, uma vez que a mistura de escoamentos é um fenômeno essencialmente turbulento.
Durante a elaboração do presente trabalho o modelo k-ε foi inicialmente
implementado, devido à sua “popularidade” e também, por ser um modelo de duas equações,
permitindo o cálculo das distribuições de duas escalas turbulentas. No caso particular da
injeção, por causa da ocorrência de regiões de mistura e presença de paredes, a malha exigida
para a aplicação do modelo k-ε tradicional de baixo número de Reynolds requereria muitos
pontos ( y1+ << 1 , y1+ – cota adimensional do primeiro ponto de cálculo mais próximo da
parede), além de exigir um esforço computacional razoável para resolver mais duas equações
diferenciais parciais, tornando-se, quase inviável para a resolução do problema tridimensional.
Desta forma, optou-se momentaneamente pelo modelo k-ε de alto número de Reynolds,
caracterizado por modelar de forma simplificada a região da sub-camada laminar, reduzindo
em muito o número de pontos próximo à parede ( y1+ ≅ 30 ).
Como o primeiro ponto de cálculo do modelo k-ε de alto número de Reynolds é
bastante afastado da parede, o modelo requer uma interpretação muito particular da sua
90
proximidade. Para isto, alguns termos fonte nas equações de k e ε têm que ser “devidamente
interpretados” nos nós da malha junto à parede. Alguns resultados de validação foram
razoáveis, mas, no geral, o modelo não correspondia a contento, tanto em termos de
convergência, quanto aos valores finais. Como após diversos esforços não se conseguia uma
melhoria adequada, optou-se por outro modelo, no caso, o esquema de Spalart e
Allmaras (1992). Esta abordagem mostrou-se extremamente robusta e confiável, além da
vantagem de requerer a solução de somente mais uma equação, o que no caso tridimensional
foi de grande valia.
2.7.1 O modelo de turbulência de Spalart e Allmaras
O esquema de Spalart e Allmaras surgiu no início da década de 90 (Spalart e
Allmaras, 1992) a partir de uma análise crítica sobre um modelo que, com uma única
equação, fosse capaz de calcular, diretamente, o principal parâmetro representativo do
comportamento turbulento: a viscosidade turbulenta concebida na hipótese de Boussinesq.
A idéia surgiu de uma verificação histórica de que os métodos baseados na hipótese de
Boussinesq sempre necessitavam de correções de parâmetros que, de uma certa forma,
obscureciam a estrutura teórica nas quais eles se fundamentavam. O modelo de Spalart e
Allmaras, embora preserve fundamentos teóricos aplicados com bastante lógica, procura
representar, de forma simples e prática, os efeitos macroscópicos da turbulência nos
escoamentos, usando, na sua definição, a intuição física, a análise dimensional, a invariância
de Galileu, e algumas informações empíricas (Wilcox, 1998).
91
Embora tendo uma única equação, o esquema de Spalart e Allmaras consegue refletir
de uma maneira confiável a viscosidade turbulenta, sendo reconhecido como um modelo
completo. Diz-se que um modelo é completo quando todas as escalas de turbulência são
automaticamente definidas, i. e., a abordagem não envolve nenhuma constante ou função que
eventualmente deveriam ser ajustadas quando se passa de um problema para
outro (Wilcox, 1998).
O esquema utilizado no presente trabalho tem a seguinte forma (Spalart e
Allmaras, 1992, Wilcox, 1998, Castro et al., 2002):
∂ν~
∂ν~
+uj
=
∂t
∂ xj
~
1 ∂ 
~ ) ∂ν
(
+
ν
ν
− cb1 S ν~ +
∂xk
σ ∂ xk  l
2
 cb 2 ∂ ν~ ∂ ν~
 ν~ 
− cw1 f w f v 3   ,
+
d 
 σ ∂ x k ∂ xk
(2.74)
onde os coeficientes e relações auxiliares são dados por
νt =
cw1 =
µt ~
= ν f v1 ,
ρ
cb1
κ v2
f v1 =
fv4 =
+
1 + cb 2
σ
χ3
3
v1
3
χ +c
χ
1 + f v1 χ
,
,
µl
,
ρ
(2.75a)
(
1 + cb 2 ) κ v2
=
,
(2.75b)
νl =
,
cw 4
f v3 =
σ cb1
f v 4 + cw 4
,
1 + cw 4
(2.75c)
1
6
 1+ c

f w = g  6 w3 6  ,
 g + cw 3 
6
(2.75d)
92
(
)
g = r + cw 2 r 6 − r ,
χ=
r=
ν~
,
νl
ν~ f v 4
,
S Re κ v2 d 2
(2.75e)
S = Ωij Ωij ,
Ωij =
∂ ui ∂ u j
,
−
∂ x j ∂ xi
(2.75f)
(2.75g)
e cb1 = 0,1355, cb2 = 0,622, cv1 = 7,1, σ = 2/3, cw2 = 0,3, cw3 = 2,0, κv = 0,41.
O equacionamento acima é exatamente aquele utilizado por Castro et al. (2002),
com exceção dos termos de transição laminar-turbulento. Do lado esquerdo da equação temos
o lagrangiano, ou então a derivada total de ν t , o que corresponde ao termo de transporte.
A primeira parcela do lado direito procura modelar a produção, e os autores baseiam-se na
vorticidade, S = Ωij Ωij , considerando a estreita relação entre turbulência e vorticidade.
Os dois termos seguintes no segundo membro correspondem aos efeitos difusivos.
Operadores difusivos clássicos corresponderiam somente à segunda parcela. A terceira
parcela é agregada segundo os autores para reproduzir o caráter “não conservativo da integral
de ν t ”. A última parcela do lado direito procura modelar o comportamento da turbulência em
regiões próximas às paredes, de tal sorte que o parâmetro d indica a distância do ponto em
questão “à parede mais próxima”. Como a parede funciona como um efeito amortecedor, esta
parcela introduz no equacionamento o que os autores caracterizam como “efeito de
aniquilamento” da turbulência. A forma da parcela é especial, e original, principalmente pela
função fw a qual corrige eventuais deficiências do modelo ao reproduzir a lei da parede.
O algoritmo assim como reproduzido de Castro (2001) estava na forma bidimensional.
Foi desenvolvida neste trabalho sua extensão para geometrias tridimensionais com adaptação
93
dos diversos termos e inclusão da nova direção ζ. Para tanto, foi necessário também se
proceder à validação da nova subrotina, o que está descrito no capítulo 4. Nenhum ajuste ou
termos adicionais são necessários para uma perfeita funcionalidade junto com o
programa principal.
2.7.2 Considerações sobre a aplicação do modelo de turbulência ao problema da injeção
do TTP
Uma análise cuidadosa do modelo de turbulência, na tentativa de justificar sua escolha
para a aplicação específica do processo de injeção no túnel, é conveniente.
Existem duas classes básicas de escoamento que estão apresentadas com suas escalas
características na TAB. 2.2 (Tennekes e Lumley, 1974). Tanto para camadas de mistura,
quanto para jatos, para que haja solução similar é necessário que a razão entre as duas escalas
de velocidade seja constante, o que significa que a turbulência deve ter a mesma importância
relativa, à medida que se desenvolve a interação entre os escoamentos. Diz-se que uma
solução é similar quando perfis para diferentes estações longitudinais têm a mesma forma
parametrizada. Observa-se no escoamento incompressível, que a razão entre a espessura da
camada de mistura pela distância longitudinal tomada a partir do início do processo de
mistura é aproximadamente igual a 0,06 para a região similar (Tennekes e Lumley, 1974).
Entretanto, olhando com mais atenção para o desenvolvimento do jato bidimensional
(ver FIG. 2.7) observam-se duas regiões distintas de desenvolvimento. A primeira região se
caracteriza pela existência do núcleo potencial. Nesta região o jato se comporta mais como
camada de mistura, com um núcleo potencial no centro, tendo solução aproximadamente
similar com crescimento linear da espessura da camada de mistura, segundo refletido na
94
TAB. 2.2 para a camada de mistura bidimensional. A segunda região vai de onde o perfil já
está desenvolvido para adiante. Nesta região a velocidade máxima do jato decresce
linearmente com a distância longitudinal, conforme refletido na TAB. 2.2 para o jato
bidimensional.
TABELA 2.2 – Classes de escoamentos presentes no desenvolvimento do jato da injeção.
Tipo
Características
U1
Duas escalas de velocidade
correspondentes
a
duas
escalas de comprimento:
y
u⇔y
1
x
b
u
(U1 – U2) ⇔ 1/x
A espessura da camada de
mistura b é proporcional à
distância longitudinal x.
U2
camada de mistura bidimensional
Duas escalas de velocidade
correspondentes
a
duas
escalas de comprimento:
y
u⇔y
Umax
2
u
2b
Umax ⇔ 1/x
A espessura da camada de
mistura b é proporcional à
distância longitudinal x. No
x
jato há duas camadas de
mistura.
jato bidimensional
95
camada de mistura
jato plenamente desenvolvido
primeira região
segunda região
FIGURA 2.7 – Etapas no desenvolvimento de um jato bidimensional.
Para o escoamento tridimensional, essas regiões podem ser classificadas de forma
mais detalhada, dependendo da forma do jato (retangular, quadrada ou circular) e das
condições no entorno do jato. Ver, por exemplo, Trentacoste e Sforza (1967). Para um jato
retangular as regiões de crescimento das camadas de mistura nas duas direções transversais
têm comprimentos diferentes – numa direção o jato pode estar plenamente desenvolvido,
enquanto que na outra ainda não. A FIG. 2.8 mostra as etapas de desenvolvimento de um jato
retangular no regime incompressível, cuja seção de saída tem uma razão entre dimensões de
aproximadamente 2.
96
y
z
x
FIGURA 2.8 – Etapas no desenvolvimento de um jato puro tridimensional.
A primeira região característica do desenvolvimento do jato é a região do patamar
potencial, na qual a camada de mistura iniciada na saída do jato ainda não penetrou toda a
região do jato. Esta região é caracterizada por um patamar cuja velocidade se mantém
constante na direção longitudinal, sendo mais apropriadamente classificada como regiões de
camada de mistura nas bordas do jato, com todas as características inerentes a esta classe de
escoamento, segundo a TAB. 2.2 – os perfis de velocidade são similares em relação aos eixos
transversais considerados. A segunda região é a de decaimento característico. Nesta região o
decaimento da velocidade axial depende da configuração geométrica da saída do jato e os
perfis de velocidade no plano do eixo “menor” (plano xy) são similares em relação ao eixo
97
longitudinal (x), enquanto os perfis no plano do eixo “maior” (xz) são não-similares com
respeito ao decaimento longitudinal, porque esta direção ainda está com influência do “núcleo
potencial”. Entretanto, os perfis na direção z se modificam de acordo com o efeito de camada
de mistura na borda do jato, ou seja, apresentam solução similar com respeito ao seu eixo.
A terceira região é a de decaimento com simetria axial. O decaimento da velocidade na
direção longitudinal acontece essencialmente nessas condições. Todo o perfil transversal do
jato se aproxima de uma geometria com simetria axial, independente da forma geométrica da
saída do jato. Os perfis de velocidade são similares segundo a direção longitudinal
(ver TAB. 2.2). Seguindo esta região vem uma quarta e última, a de simetria axial total, onde
o jato já apresenta um comportamento idêntico ao de um jato circular.
Observa-se que as extensões das duas primeiras regiões dependem da forma
geométrica da saída do jato, porque a formação dessas regiões é influenciada pela extensão
lateral da mistura que se origina nas fronteiras do jato, a partir de sua saída.
A análise do desenvolvimento para um jato no regime compressível e, além disto, no
regime supersônico, é muito mais complexa, embora haja elementos comuns em relação à
análise feita para o incompressível. De um modo geral, pensando no problema da injeção
do TTP, há outros fatores que também modificam esta análise, como a influência da presença
da parede. É importante salientar que o fato do jato ser lançado sobre um meio estagnado,
ou com uma certa velocidade, não altera o aparecimento de cada uma das regiões de
desenvolvimento, como apresentadas na FIG. 2.8.
A literatura apresenta comparações entre alguns dos modelos de turbulência mais
importantes, quando utilizados na previsão de camadas de cisalhamento. A TAB. 2.3 mostra a
precisão obtida na determinação da taxa de espalhamento para vários modelos, em várias
classes de escoamentos bidimensionais, como reportados por Bardina et al. (1997).
98
TABELA 2.3 – Comparação de resultados de simulação numérica de turbulência com a
experiência (Bardina et al., 1997) – valores da taxa de espalhamento para
geometrias bidimensionais.
Camada de
mistura
Jato Plano
Jato Circular
Esteira
Experimental
0,115
0,100-0,110
0,086-0,095
0,365
k-ε (Launder-Sharma)
0,099
0,108
0,120
0,255
k-ω (Wilcox)
0,068 a 0,143
0,092 a 0,132
0,169 a 0,356
0,209 a 0,494
Spalart-Allmaras
0,109
0,143
0,253
0,339
Embora o modelo de Spalart e Allmaras apresente resultados muito bons em relação à
camada de mistura e ao problema da esteira, para o problema do jato puro (plano ou circular)
ele mostra uma certa deficiência, sendo o modelo k-ε o que melhor desempenho mostrou
nesses casos. Assim, observando-se novamente a FIG. 2.8, no primeiro trecho de
desenvolvimento do jato, a representação do modelo de Spalart e Allmaras é superior,
no segundo trecho há alguma perda na representação na direção do eixo menor, pois já há
uma influência do comportamento de jato plano, e, no terceiro trecho sua representação é
inferior às dos outros modelos (ver TAB. 2.3).
A geometria de saída dos injetores do TTP é retangular, com razão entre dimensões
de 1,4 e será possível avaliar as extensões dos desenvolvimentos do jato e as regiões nas quais
o modelo de turbulência apresenta melhor desempenho (ver capítulo 5, item 5.4.2).
No caso do TTP entretanto não se tem um jato puro como indicado na FIG. 2.8, onde o
ambiente externo “está parado”. Ocorre, outrossim, no túnel, uma interação entre duas
correntes desde o início. Quer dizer, o processo de injeção, do ponto de vista conceitual,
se enquadra mais na categoria de esteira, se bem que tridimensional, do que jato puro.
99
Nas fases iniciais tem-se camadas de mistura, como as da FIG. 2.8, seguidas imediatamente
de esteiras. Nestas condições, e tendo como referência a TAB. 2.3, se bem que na tabela os
casos são bidimensionais, pode-se afirmar com relativa segurança que o esquema de Spalart e
Allmaras é uma escolha muito boa para a representação do processo de turbulência no TTP.
A camada de mistura, primeira região da FIG. 2.8, apresenta um caráter similar tanto
em planos xy quanto em planos xz. A região de similaridade tem como característica perfis de
velocidade com a mesma forma parametrizada. Isto se reflete numa taxa de espalhamento
uniforme na camada de mistura. Este é um parâmetro bastante representativo e é calculado a
partir da derivada db/dx. Aqui b é a medida transversal da camada de mistura e x é o
comprimento longitudinal. A espessura da camada de mistura b pode ser definida pela
distância entre duas posições transversais do perfil de velocidades nas quais as velocidades do
escoamento são U1 − 0 ,10 ∆ U e U 2 + 0 ,10 ∆ U , onde ∆ U = U1 − U 2 , e U1 e U 2 são as
velocidades dos “núcleos potenciais” dos escoamentos de maior e menor velocidade,
respectivamente – há inúmeras idéias de como avaliar b, aqui será adotada esta definição
utilizada por Goebel e Dutton (1991). Os experimentos realizados por Goebel e Dutton (1991)
trazem resultados sobre a mistura bidimensional de dois jatos, em várias condições de
velocidade. A TAB. 2.4 resume alguns desses ensaios, onde a denominação dos casos é devida
aos autores. O número de Mach relativo foi definido por M r = ∆ U a , onde ∆ U é a diferença
entre as velocidades nos núcleos potenciais dos dois jatos e a é a velocidade do som média,
obtida pela média aritmética entre as velocidades do som nos dois jatos. Observa-se que,
com o aumento do número de Mach relativo, o início da região de similaridade, xsi, tende a
ocorrer antes, e a extensão desta região, ∆ xs, é encurtada. A última coluna traz a taxa de
crescimento da camada de mistura na região similar.
100
TABELA 2.4 – Resumo de casos experimentais da mistura bidimensional de jatos de
Goebel e Dutton (1991). M1 e M2 são os números de Mach correspondentes
aos núcleos potenciais dos dois jatos, Mr o número de Mach relativo, xsi o
início da região similar e ∆ xs sua extensão.
Casos
M1
M2
Mr
xsi (m)
∆ xs (m)
db
dx
1d
2,02
1,39
0,40
0,125
0,475
0,026
2
1,91
1,36
0,91
0,100
0,350
0,038
3
1,96
0,27
1,37
0,025
0,175
0,059
3r
2,22
0,43
1,44
0,050
0,100
0,058
4
2,35
0,30
1,73
0,010
0,165
0,050
5
2,27
0,38
1,97
0,010
0,140
0,049
A FIG. 2.9 mostra um gráfico dos dados relativos ao início e à extensão da região de
similaridade da TAB. 2.4 em função de Mr, com as respectivas linhas de tendências, e a linha
vertical, que corresponde ao problema da injeção no TTP. Na condição de projeto, o número
de Mach do jato supersônico no injetor do TTP é de 1,9 e no escoamento principal é de 0,51,
resultando num número de Mach relativo igual a 1,07. A partir do gráfico os dados do TTP
indicam que o início da região de similaridade ocorrerá com 0,075 m e sua extensão será
de 0,250 m, ou seja, indo até 0,325 m da fronteira de entrada da câmara de mistura.
O comprimento da câmara de mistura a ser modelado é de 0,600 m. Assim, para distâncias
longitudinais superiores a aproximadamente 0,325 m, prevê-se que o modelo de turbulência
adotado perca ligeiramente em precisão, de acordo com os testes realizados por
Bardina et al. (1997). Entretanto, esta análise inicial serve apenas como uma orientação,
uma vez que a experiência de Goebel e Dutton é bidimensional e a injeção é tridimensional.
101
0.40
0.35
0.30
0.25
xsi , ∆ xs
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
0.5
1
1.5
2
Mr
FIGURA 2.9 – Pontos relativos aos experimentos de Goebel e Dutton (1991): × - início;
- extensão da região de similaridade da camada de mistura dos
experimentos, incluindo as linhas de tendência respectivas. A linha vertical
representa o número de Mach relativo do problema no TTP.
A FIG. 2.10 apresenta valores experimentais relativos à taxa de crescimento, db/dx,
em função do número de Mach relativo (Mr), com sua linha de tendência. O espalhamento dos
pontos indica haver outros fatores, além de Mr, que influenciaram a taxa de crescimento.
Mesmo assim, aplicando a tendência dos valores do gráfico para o caso do TTP (Mr = 1,07)
resulta num valor estimado para a taxa de crescimento da camada de mistura de
db/dx = 0,0427, valor este que será utilizado para fins de comparação da simulação numérica
do presente trabalho, a ser apresentada no capítulo 5. No entanto, tal comparação é “relativa”
pois, como já foi salientado acima, as experiências realizadas por Goebel e Dutton (1991) são
bidimensionais enquanto que a injeção do TTP é eminentemente tridimensional.
102
0.07
Valores experimentais - Goebel e Dutton (1991)
0.06
- - - - - - Linha de tendência
0.05
db
dx
db /dx = 0.0169 M r + 0.0246
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.5
1
1.5
Mr
FIGURA 2.10 – Variação de db/dx em função do número de Mach relativo.
2
103
3 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA, CONDIÇÕES INICIAIS E DE
CONTORNO
Este capítulo descreve em detalhes a implementação numérica empregada nas
equações principais (2.64) a (2.68) e na equação do modelo de turbulência (2.74), do
capítulo 2. O código computacional foi elaborado de forma a resolver as cinco equações
principais de maneira conjunta e, em separado, a equação do modelo de turbulência.
E, finalmente, discute-se a implementação numérica das condições iniciais e de contorno do
campo de cálculo.
3.1 Algoritmo de Beam e Warming
Inicialmente reescreve-se a Eq. (2.64) na forma
 ∂ E ∂ F ∂G
∂Q
= − 
+
+
∂τ
∂η ∂ζ
 ∂ξ

 .

(3.1)
Para a classe de problemas tratados, em virtude sobretudo do grande número de pontos
da malha computacional, é imperioso se trabalhar com altas taxas de convergência, o que
normalmente é conseguido através de um método implícito. Esquemas implícitos em geral
permitem passos no tempo maiores quando comparados com esquemas explícitos, mantendose a estabilidade. Neste sentido, partiu-se do esquema implícito de fatoração aproximada
proposto originalmente por Beam e Warming (1978), para o qual as derivadas espaciais são
104
aproximadas usando-se esquemas centrados (segunda ordem de precisão), e a marcha no
tempo é empreendida por meio do método de Euler implícito (primeira ordem de precisão).
Justifica-se a primeira ordem no tempo porque os problemas em questão são de natureza
estacionária. O esquema de Euler implícito corresponde à seguinte expansão:
Q
n +1
 ∂Q
= Q + ∆τ 
 ∂τ
n



n +1
+ ∆τ ⋅ O (∆τ ) ,
(3.2)
para a qual ∆τ representa o passo de tempo e o superescrito n indica o nível de tempo no
qual a grandeza é calculada.
Substituindo-se ∂ Q / ∂ τ da Eq. (3.1) na Eq. (3.2) obtém-se
Q
n +1
 ∂ E ∂ F ∂G
+
+
= Q − ∆τ 
∂η ∂ζ
 ∂ξ
n



n +1
+ ∆τ ⋅ O (∆τ ) .
(3.3)
Como os vetores de fluxo são funções não-lineares do vetor de variáveis conservadas,
para determinar Q n+1 na Eq. (3.3), mantendo-se a mesma ordem de precisão do método, a não
linearidade é “resolvida” pela expansão em séries de Taylor dos vetores de fluxo em torno
de Q n (Beam e Warming, 1978). A expansão é dada por:
(
)
(3.4a)
(
)
(3.4b)
(
)
(3.4c)
E n+1 = E n + An Q n+1 − Q n + ∆τ ⋅ O (∆τ ) ,
F n+1 = F n + B n Q n+1 − Q n + ∆τ ⋅ O (∆τ ) ,
G n+1 = G n + C n Q n+1 − Q n + ∆τ ⋅ O (∆τ ) ,
105
onde A, B e C são as chamadas matrizes jacobianas, dadas por:
A=
∂E
,
∂Q
(3.5a)
B=
∂F
,
∂Q
(3.5b)
C=
∂G
.
∂Q
(3.5c)
Substituindo-se as expressões linearizadas da Eq. (3.4) na Eq. (3.3), obtém-se a
equação numa forma mais adequada:

 I + ∆τ

 ∂ n ∂ n ∂ n 

A +
B +
C  ∆ Q n
∂ζ
∂η
 ∂ξ

=
 ∂ E ∂ F ∂G
− ∆τ 
+
+
∂η ∂ζ
 ∂ξ
n

 + ∆τ ⋅ O (∆τ ) ,

(3.6)
onde I é a matriz identidade e ∆ Q n = Q n+1 − Q n .
A solução direta da Eq. (3.6) é em geral evitada devido ao alto custo computacional,
principalmente para sistemas multidimensionais para os quais o número de operações
(“operation count”) é enorme (Anderson et al., 1984). Usualmente o que se faz é transformar
o problema multidimensional em uma seqüência de inversões unidimensionais. É o chamado
método de fatoração aproximada (Beam e Warming, 1978, Peaceman e Rachford, 1955).
A idéia é fatorar o operador no lado esquerdo da Eq. (3.6) da seguinte forma:
106

 I + ∆τ

 ∂ n ∂ n ∂ n 

A +
B +
C 
∂ζ
∂η
 ∂ξ

≡

∂ n
∂ n 
∂ n 
2
 I + ∆τ ∂ξ A   I + ∆τ ∂η B   I + ∆τ ∂ζ C  + O ∆τ ,


 
 
( )
(3.7)
e, como a diferença é da ordem de ∆τ 2 , a precisão formal do algoritmo implícito é mantida
em primeira ordem. Nessas condições o esquema pode ser escrito seqüencialmente como

∂ n 
∂ n 
∂ n
n
 I + ∆τ ∂ξ A   I + ∆τ ∂η B   I + ∆τ ∂ζ C  ∆ Q

 
 

=
 ∂ E ∂ F ∂G
+
+
− ∆τ 
∂η ∂ζ
 ∂ξ
n

 + ∆τ ⋅ O (∆τ ) .

(3.8)
A seqüência de solução pode, então, ser estabelecida como

∂ n
 I + ∆τ ∂ξ A  ∆ Q1


=
RHS n ,
(3.9a)

∂ n
 I + ∆τ ∂η B  ∆ Q2


= ∆ Q1 ,
(3.9b)

∂ n
n
 I + ∆τ ∂ζ C  ∆ Q


= ∆ Q2 ,
(3.9c)
Q n+1 = Q n + ∆ Q n ,
(3.9d)
107
onde RHS corresponde ao segundo membro da Eq. (3.8). Entretanto, mesmo assim, a solução
do sistema não é trivial. Cada direção requer a inversão de uma matriz tridiagonal de blocos,
assumindo que as derivadas espaciais são aproximadas por diferenças centradas. Cada bloco
corresponde a uma matriz n x n, onde n é a dimensão do vetor Q .
Como se fez acima, é usual indicar o segundo membro da Eq. (3.8) pela sigla “RHS”
(do inglês “right hand side”), e este termo corresponde, diga-se, à física do problema.
O primeiro membro da Eq. (3.8) costuma-se indicar por “LHS” (de “left hand side”) e
corresponde à parte essencialmente numérica do algoritmo (principalmente quando o
problema é estacionário). Quanto mais robusto e eficiente o esquema, mais rapidamente (com
menor número de iterações) o termo LHS tenderá a zero para o caso de problemas
estacionários. Nessas condições o termo RHS também se anulará e ter-se-á em mãos a solução
do problema, visto que no limite estacionário ∂ Q / ∂ τ ≡ 0 , e da Eq. (3.1) vem que
∂ E ∂ F ∂G
≡0,
+
+
∂η ∂ζ
∂ξ
(3.10)
dentro, evidentemente, da precisão espacial e temporal do método. É importante observar que
a medida mais importante da eficiência de um algoritmo, i. e., sua “velocidade” de
convergência, é o número de CFL, conceito devido a Courant, Friedrichs e Lewy
(Courant et al., 1928). Pode-se provar que para esquemas explícitos o número de CFL em
geral tem que ser menor que a unidade, entretanto para algoritmos implícitos este número
pode ser bem maior que 1. O número de CFL corresponde à relação entre a velocidade de
informação numérica e uma velocidade física típica. Em um algoritmo explícito a informação
108
se propaga ponto a ponto, enquanto, em esquemas implícitos a propagação é no mínimo em
linha, daí a vantagem deste último.
Considerando o exposto, durante as últimas décadas, vários esquemas apareceram com
propostas de simplificação do LHS da Eq. (3.8) com o intuito de diminuir o custo
computacional, tendo-se, entretanto, o cuidado de manter a robustez (capacidade de
convergência) do método. Uma destas idéias é a chamada aproximação de “camada fina”,
segundo a qual simplificam-se os termos viscosos das matrizes jacobianas A, B e C, Eq. (3.5).
Uma outra, devida a Pulliam e Chaussee (1981), ficou conhecida como algoritmo diagonal.
Esta proposta acabou tendo muito sucesso devido ao grau de simplificação que introduz,
o que permite uma economia muito significativa no tempo de cálculo, principalmente para
simulações tridimensionais. Em função dessas qualidades, o código a ser utilizado foi
desenvolvido segundo o algoritmo diagonal de Pulliam e Chaussee. Para facilitar o
entendimento, o esquema será desenvolvido considerando as equações de Euler.
Posteriormente será apresentada a extensão para o sistema de equações RANS.
Entretanto, antes de tratar do algoritmo diagonal, serão introduzidas algumas noções
básicas sobre operadores de discretização, visto serem estes conceitos importantes para alguns
itens a seguir.
3.2 Considerações sobre esquemas de discretização
A derivada primeira de uma grandeza genérica α (ξ ,η ,ζ ) , em um nó (i , j , k ) da malha
computacional, pode ser discretizada por expressões do tipo,
109
∆ ξ α i , j ,k =
α i+1, j ,k − α i , j ,k
,
∆ξ
(3.11a)
∇ξ α i , j ,k =
α i , j ,k − α i−1, j ,k
,
∆ξ
(3.11b)
α i+1, j ,k − α i−1, j ,k
,
2 ∆ξ
(3.11c)
δ ξ α i , j ,k =
onde as duas primeiras são fórmulas assimétricas à frente e à trás, respectivamente,
de primeira ordem de precisão, e a terceira corresponde à diferença centrada, de segunda
ordem de precisão. A segunda derivada pode ser discretizada por
δ ξξ α i , j ,k =
α i+1, j ,k − 2 α i , j ,k + α i−1, j ,k
,
(∆ξ )2
(3.12)
expressão esta centrada e de segunda ordem de precisão. É fácil mostrar que:
δ ξξ ( ) ≡ ∇ξ ∆ξ ( ) = ∆ξ ∇ξ ( ) .
(3.13)
Expressões análogas aplicam-se para as direções η e ζ.
Por conveniência, a transformação para coordenadas curvilíneas generalizadas pode
ser estabelecida de tal forma que todos os intervalos entre nós vizinhos sejam unitários,
sendo que eventuais acertos para se atingir esta condição são “acomodados” pelo jacobiano da
transformação. Nestas condições, as expressões acima simplificam-se
110
∆ ξ α i , j ,k = α i +1, j ,k − α i , j ,k ,
(3.14a)
∇ξ α i , j ,k = α i , j ,k − α i −1, j ,k ,
(3.14b)
δ ξ α i , j ,k =
α i+1, j ,k − α i−1, j ,k
2
,
δ ξξ α i , j ,k = α i+1, j ,k − 2 α i , j ,k + α i −1, j ,k .
(3.14c)
(3.14d)
As matrizes jacobianas gerais A, B, C, Eq. (3.5), contêm termos convectivos e termos
viscosos. Ao se discretizar o lado esquerdo da Eq. (3.8), devido aos termos viscosos,
[
aparecerão parcelas do tipo δ ξ α i , j ,k ( δ ξ β i , j ,k
) ] , onde α e β são parâmetros do escoamento.
Utilizando a definição do operador, Eq. (3.14c), obter-se-á,
δ ξ [α i ( δ ξ β i
) ] = 1 [α ( β
4
i +1
i+2
− β i ) − α i −1 ( β i − β i −2 )] ,
(3.15)
onde não se indicaram os contadores j e k para maior clareza. Observa-se então que, para se
calcular o lado esquerdo da Eq. (3.8) no ponto (i, j, k) são necessárias informações relativas a
cinco nós da malha: (i - 2), (i - 1), i, (i + 1), (i + 2). O resultado é que as matrizes no lado
esquerdo, LHS, das Eqs. (3.9) passarão a ser pentadiagonais e, portanto, perder-se-á em
eficiência computacional. Para evitar isso, introduzem-se os chamados operadores de ponto
meio para se discretizar as primeiras derivadas, definidos por
111
δ ξ α i , j ,k =
δηα i , j ,k =
δ ζ α i , j ,k =
α i+ 1
2
, j ,k
− α i− 1
2
, j ,k
∆ξ
α i , j+ 1
2
,k
− α i , j− 1
2
,k
∆η
α i , j ,k + 1 − α i , j ,k − 1
2
∆ζ
2
,
(3.16a)
,
(3.16b)
,
(3.16c)
os quais ainda mantêm segunda ordem de precisão. Expressões equivalentes podem ser
definidas para operadores do tipo ∆ ξ , ∇ξ , δ ξξ , ∆η , ∇η , δηη , ∆ ζ , ∇ζ e δ ζζ . Aplicando-se
[
estas definições ao termo δ ξ α i , j ,k ( δ ξ β i , j ,k
δ ξ [α i , j ,k ( δ ξ β i , j ,k
) ] = 12 [ ( α
i +1
) ] , obtém-se
)( β i+1 − β i ) − ( α i + α i−1 )( β i − β i−1 )] ,
+ αi
(3.17)
onde se considerou ∆ ξ ≡ 1 . Nestas condições, o estêncil de cálculo voltará a envolver os três
nós: (i - 1), i, (i + 1). Assim, a célula de cálculo mantém-se com três pontos e as matrizes no
lado esquerdo das Eqs. (3.9) recuperarão a sua estrutura tridiagonal.
As FIGS. 3.1 e 3.2 ilustram esquematicamente a “molécula” mínima utilizada na
discretização dos termos da Eq. (3.8), principalmente do seu segundo membro. Focando no
termo ∂E / ∂ξ , e utilizando o operador (3.14c), ter-se-á que,
∂ E 
≅ δ ξ ( Ei , j ,k
 ∂ξ 

 i , j ,k
[
)]
i , j ,k
E
− Ei −1, j ,k 
=  i +1, j ,k
 ,
2

 i , j ,k
(3.18)
onde a tripla de subscritos externos (i, j, k) é indicativo que o valor se refere ao ponto (i, j, k)
da malha, o qual está em destaque na FIG. (3.1). Observe-se que a equação toda será
balanceada neste ponto.
112
η
i,j+1,k
i,j,k-1
i-1,j,k
i,j,k
i+1,j,k
ξ
i,j,k+1
ζ
i,j-1,k
FIGURA 3.1 – Esquema da célula de cálculo tridimensional utilizada. Círculos cheios –
pontos relativos aos nós da malha, círculos vazados – pontos relativos aos
pontos meio da malha.
η
i,j+1,k
c
b
i,j,k
i-1,j,k
i,j,k-1
i,j,k
i+1,j,k
ξ
a
i,j,k+1
d
ζ
i,j-1,k
FIGURA 3.2 – Detalhe do cálculo no ponto meio (i+1/2, j, k).
113
Aparentemente, será utilizado somente o estêncil (i - 1, j, k), (i, j, k) e (i + 1, j, k) no
cálculo da Eq. (3.18). Entretanto, como existem, internamente a E , termos viscosos,
a tendência é aparecer expressões do tipo como apresentado na Eq. (3.15), para as quais se
necessita um estêncil de cinco pontos. Neste caso, como está se tratando do segundo membro
da equação, o problema de um estêncil de cinco pontos (i – 2, i – 1, i, i + 1, i + 2) é diferente
daquele para o primeiro membro. Aqui o que ocorre é que nos pontos extremos da malha,
i. e., i = 2 e i = (imax – 1), estênceis de cinco pontos “pediriam” valores de propriedades para
pontos fora da malha – i = 0, na fronteira de entrada, e i = (imax + 1), na fronteira de saída.
Daí, pode-se resolver esta questão utilizando os operadores de ponto meio também do lado
direito. Como diretriz geral, portanto, é conveniente se utilizar estes operadores tanto no lado
esquerdo quanto no direito da equação. Nessas condições, os termos viscosos componentes
de E são calculados centrando-os em (i - 1/2, j, k) e (i + 1/2, j, k), em vez de centrá-los em
(i - 1, j, k) e (i + 1, j, k), como é indicado na Eq. (3.18). Os termos convectivos componentes
de E
não apresentam problemas visto que eles não contêm derivadas embutidas.
Exemplificando, um termo convectivo típico é ρ U ; utilizando a Eq. (3.18) resulta:
 ∂ (ρ U )
≅ δ ξ (ρ U )
 ∂ξ 
 i , j ,k

[
]
i , j ,k
 ( ρ U )i +1, j ,k − ( ρ U )i −1, j ,k 
=
 ,
2
 i , j ,k

(3.19)
e percebe-se que o estêncil original é mantido.
Quanto aos termos viscosos, a FIG. 3.2 mostra as posições que estão em jogo no
cálculo das derivadas no ponto (i + 1/2, j, k), que devem ser calculadas nas três direções.
Na direção ξ as derivadas precisam das informações dos nós (i + 1, j, k) e (i, j, k).
114
Já nas direções η e ζ, as derivadas precisam das informações em posições fora dos nós.
Os parâmetros são avaliados nesses pontos pela média aritmética tomada com os parâmetros
dos quatro nós vizinhos, no plano da direção considerada. A FIG. 3.2 exemplifica o cálculo da
avaliação no ponto a, como indicam as setas, feita a partir dos quatro nós vizinhos: (i, j, k),
(i + 1, j, k), (i, j, k + 1) e (i + 1, j, k + 1). Repetindo o cálculo para o ponto b, daí pode-se
avaliar a derivada centrada no ponto meio (i + 1/2, j, k) na direção ζ. Considerando as
FIGS. 3.1 e 3.2, observa-se que a célula de cálculo pode ser representada por um grande cubo,
cuja aresta é igual a duas unidades do campo computacional e cujo centro é o ponto de
cálculo (i, j, k). Este cubo é dividido em oito cubos, por meio dos planos nas direções ξ, η e ζ,
abrangendo 27 nós do campo computacional, dos quais apenas 19 nós são necessários para o
completo cálculo na célula centrada em (i, j, k) – os nós sobre os oito vértices do cubo grande
não são necessários.
3.3 Algoritmo diagonal de Pulliam e Chaussee
Este algoritmo proposto no início da década de 80 por Pulliam e Chaussee (1981) é
inicialmente aplicado às equações de Euler, transformando o sistema acoplado de equações de
esquemas de fatoração implícitos para uma forma diagonal desacoplada, reduzindo o custo
computacional em cerca de 30 %, mantendo as características de estabilidade e acurácia em
aplicações de estado estacionário.
115
3.3.1 Algoritmo diagonal aplicado às equações de Euler
Desprezando-se os termos viscosos nas equações de Navier-Stokes, obtêm-se as
chamadas equações de Euler, onde aparecem somente termos convectivos e de pressão.
Obtém-se da Eq. (2.64),
∂ Q ∂ Ec ∂ Fc ∂ Gc
= 0,
+
+
+
∂ζ
∂η
∂ξ
∂τ
(3.20)
 ρ 
ρ u

1 
Q =  ρ v,
J
ρ w


 e 
(3.21)
ρU


 ρ uU + pξ 
x 
1 

Ec =  ρ vU + pξ y  ,
J
ρ wU + pξ z 


 (e + p ) U 
(3.22)
ρV


 ρ uV + pη 
x 
1 

Fc =  ρ vV + pη y  ,
J
ρ wV + pη z 


 (e + p ) V 
(3.23)
ρW


 ρ uW + pζ 
x 
1 

Gc =  ρ vW + pζ y  ,
J
ρ wW + pζ z 


 (e + p ) W 
(3.24)
onde
116
sendo U, V e W os componentes contravariantes de velocidade,
U = ξ xu + ξ y v + ξ z w ,
(3.25a)
V = η xu + η y v + η z w ,
(3.25b)
W = ζ xu + ζ y v + ζ z w .
(3.25c)
Aplicando-se o algoritmo de Beam e Warming, Eq. (3.8), a estas equações, o resultado é
(I + ∆τ δ
ξ
)(
)(
)
Acn I + ∆τ δη Bcn I + ∆τ δ ζ Ccn ∆ Q n
(
=
− ∆τ δ ξ Ecn + δη Fcn + δ ζ Gcn
)
=
(RHS ) n ,
(3.26)
onde os termos estão considerados devidamente discretizados e, portanto, aparecem os
operadores no lugar dos símbolos de derivadas. As matrizes jacobianas de Euler são agora
dadas por
Ac =
∂ Ec
,
∂Q
(3.27a)
Bc =
∂ Fc
,
∂Q
(3.27b)
Cc =
∂ Gc
.
∂Q
(3.27c)
O conceito fundamental que deu origem ao algoritmo diagonal corresponde a uma
característica especial das equações de Euler. Pode-se mostrar que suas matrizes jacobianas de
fluxo, Ac, Bc e Cc, podem ser diagonalizadas por meio de uma transformação similar
(Warming et al., 1975). Em outras palavras, as matrizes Ac, Bc e Cc têm um conjunto real de
117
autovalores e um conjunto completo e distinto de autovetores. Isto significa que é possível
obter-se as seguintes transformações
Tξ−1 Ac Tξ = Λ ξ ,
(3.28a)
Tη−1 Bc Tη = Λη ,
(3.28b)
Tζ−1 Cc Tζ = Λ ζ ,
(3.28c)
onde as matrizes de autovalores são dadas por:



{Λξ } = 



U
0
0
0
0
0
U
0
0
0
0
0
U
0
0
0
0
0
U + a A1
0
0
0
0
0
U −a



{Λη } = 



V
0
0
0
0
0
V
0
0
0
0
0
V
0
0
0
0
0
V + a A4
0
0
0
0
0
W
0
0
0
0
0
W
0
0
0
0
0
W
0
0
0
0
0
0
0
0
W + a A6
0



{Λζ } = 



e tal que
V −a
0
W −a




,


A1 
(3.29a)




,


A4 
(3.29b)




,


A6 
(3.29c)
118
A1 = ξ x2 + ξ y2 + ξ z2 ,
(3.30a)
A4 = η x2 + η y2 + η z2 ,
(3.30b)
A6 = ζ x2 + ζ y2 + ζ z2 .
(3.30c)
As matrizes de autovetores podem ser obtidas da seguinte forma geral (Pulliam e
Chaussee, 1981):
~

kx


~

k xu


 ~
~
 k xv + k z ρ
Tk = 

 k~x w − k~y ρ


 k~ h +
 x
 ρ k~z v − k~y w

[
(
~
kx f



k~ f
 y



~
−1
Tk =  k z f



 β




 β


−
−
~
ky
~
kz
α
~
~
k yu − k z ρ
~
~
k zu + k y ρ
α u + kxa
~
k yv
~
~
kzv − kx ρ
α v + kya
~
~
k y w + kx ρ
~
kz w
α w + kza
[ k~ h +
[ k~ h +
) ] ρ ( k~ w − k~ u ) ] ρ ( k~ u − k~ v ) ]
y
x
~
~
kzv − k y w
y
z
~
kx u g
(
~
)
α u − kya
(
~
)
α u − kza
]
α m − aθ
~
(
~
)
(
~
)
(
~
[
~
ky
~
kx w g −
~
~
k
ky u g − z
~
ky v g
~
ky
~
kz u g −
~
~
kx
kz v g −
~
~
k
ky w g + x
ρ
ρ
~
~
k yu − k xv
ρ
ρ
(~
)
(φ
2
~
− aθ
)
β k x a − γ 1u
(φ
2
~
+ aθ
)
~
− β k x a + γ 1u
(
~
kz w g
ρ
ρ
(~
β k y a − γ 1v
)
(
)
~
− β k y a + γ 1v
(~
β k z a − γ 1w
)
(3.32)
α u − kxa
ρ
~
~
k x w − k zu
−
)
x
ρ
~
kx 
−

g 

~ 
ky 
−
g 


~ 
k
− z ,
g 


β γ1 




β γ1 


~
α m + aθ
~
kx v g
(3.31)
(
[
z








,








α
(
)
~
− β k z a + γ 1w
)
~
)
]
119
para as quais
γ 1 = γ −1 ,
α=
ρ
φ2 =
,
a 2
k x ,y ,z
~
k x ,y ,z =
2
x
2
y
k +k +k
f = 1−
φ2
a
2
2
z
~
,
γ1
2
β=
1
,
ρa 2
(u
2
)
+ v 2 + w2 ,
~
~
(3.33a)
(3.33b)
~
θ = k xu + k y v + k z w ,
g=
,
φ2
h=
,
γ1
γ1
a2
(3.33c)
,
(3.33d)
φ 2 + a2
,
m=
γ1
(3.33e)
~
e k = ξ ,η ,ζ , de acordo com a direção considerada.
Das Eqs. (3.28) obtêm-se as seguintes relações inversas,
Ac = Tξ Λ ξ Tξ−1 ,
(3.34a)
Bc = Tη Λη Tη−1 ,
(3.34b)
Cc = Tζ Λ ζ Tζ−1 .
(3.34c)
Introduzindo-se estas relações na Eq. (3.26) e lembrando que I = Tk Tk−1 , chega-se a
[ (T T
ξ
)
−1 n
ξ
(
+ ∆τ δ ξ Tξ Λ ξ Tξ−1
)
n
] [ (T T
−1 n
[ (T T
)
η
ζ
η
)
−1 n
ζ
(
+ ∆τ δη Tη Λη Tη−1
(
+ ∆τ δ ζ Tζ Λ ζ Tζ−1
)
)
n
n
]
] ∆Q
n
= (RHS ) .
n
(3.35)
Modifica-se agora o esquema acima, fazendo com que as matrizes Tξ, Tη e Tζ sejam
deslocadas “para fora” dos operadores δξ, δη e δζ, respectivamente. Introduz-se aqui,
120
evidentemente, uma aproximação, visto que os componentes das matrizes deslocadas são
funções de ξ, η e ζ. Com a operação acima obtém-se o algoritmo em forma diagonal,
(
Tξn I + ∆τ δ ξ Λnξ
) ( T ) ( T ) ( I + ∆τ δ Λ ) ( T )
−1 n
ξ
n
−1
n
η
η
η
( T ) ( I + ∆τ δ
n
ζ
n
η
ζ
Λnζ
) (T )
−1 n
ζ
∆Q n+1 = RHS n .
(3.36)
Introduzindo-se as definições
N = Tξ−1 Tη ,
N −1 = Tη−1 Tξ ,
(3.37a)
P = Tη−1 Tζ ,
P −1 = Tζ−1 Tη ,
(3.37b)
o algoritmo acima pode ser escrito como:
(
Tξn I + ∆τ δ ξ Λnξ
) N ( I + ∆τ δ Λ ) P ( I + ∆τ δ
n
n
η
n
η
ζ
Λnζ
) (T )
−1
ζ
n
∆ Q n+1 = RHS n .
(3.38)
A vantagem de se definir as matrizes N e P, e suas inversas, é que se pode obtê-las a partir da
forma geral (Pulliam e Chaussee, 1981)
 + m1

 − m2


−1
Tk Tl =  − m3

 + σ m4

 −σ m
4

+ m2
+ m3
− σ m4
+ m1
+ m4
+ σ m3
− m4
+ m1
− σ m2
− σ m3
+ σ m2
σ 2 (1 + m1 )
+ σ m3
− σ m2
σ 2 (1 − m1 )
+ σ m4 

− σ m3 


+ σ m2  ,

2
σ (1 − m1 )

2
σ (1 + m1 )
(3.39)
121
para a qual,
(3.40a)
σ =1 2 ,
~ ~ ~ ~ ~ ~
m1 = k x lx + k y ly + k z lz ,
~ ~ ~ ~
m2 = k x lz − k z lx ,
(3.40b)
~ ~ ~ ~
m3 = k x lz − k z lx ,
~ ~ ~ ~
m4 = k y lz − k z ly ,
(3.40c)
~
e, k x ,y ,z = k x ,y ,z
~
k x2 + k y2 + k z2 , lx ,y ,z = l
l x2 + l y2 + l z2 , e (k ou l) ≡ (ξ, η ou ζ).
x , y ,z
Embora a resolução da Eq. (3.38) ainda envolva a inversão de três matrizes
tridiagonais de blocos, agora os blocos são matrizes diagonais simples. Uma contagem do
número de operações envolvidas mostra que este algoritmo é bem mais eficiente por passo no
tempo do que o esquema padrão de blocos cheios (Pulliam e Chaussee, 1981). A solução é
obtida em três passos nas três direções, uma última multiplicação matricial e a atualização,
quais sejam:
( I + ∆τ δ
ξ
Λnξ ∆ Z1n
)
=
(T )
RHS n ,
(3.41a)
−1 n
ξ
( I + ∆τ δ
η
Λnη ∆ Z 2n
)
=
(N )
∆ Z1n ,
(3.41b)
( I + ∆τ δ
ζ
Λnζ ∆ Z 3n
)
=
(P )
∆ Z 2n ,
(3.41c)
−1 n
−1 n
∆ Q n = ( Tζ ) ∆ Z 3n ,
(3.41d)
Q n+1 = Q n + ∆ Q n .
(3.41e)
n
Como foi mencionado acima, um erro foi introduzido ao se retirar as matrizes de
autovetores de dentro dos operadores de diferenças espaciais. Pulliam e Chaussee (1981)
122
mostram que o erro praticamente não afeta a precisão no tempo (primeira ordem), porém o
esquema perde parte de suas características conservativas. Entretanto, isso afetará mais,
e então se precisará de maiores cuidados, no caso de problemas não-estacionários, visto que
somente o lado esquerdo do algoritmo foi modificado. Desde que se mantenha a
convergência, problemas de estado estacionário não são afetados, inclusive no que diz
respeito ao aspecto conservativo.
As variáveis intermediárias ∆ Z foram chamadas diferentemente apenas por clareza de
descrição, mas elas podem ser guardadas na mesma posição de memória de ∆ Q ,
economizando armazenamento de memória.
3.3.2 Algoritmo diagonal aplicado às equações de Navier-Stokes
Rigorosamente falando, o algoritmo diagonal não poderia ser aplicado para a solução
das equações de Navier-Stokes, porque as transformações similares baseadas nas matrizes
Tk e Tk−1 não diagonalizam as matrizes jacobianas viscosas, ou seja, neste caso, o algoritmo
não pode ser reduzido a uma forma diagonal. Existem algumas idéias intermediárias (hipótese
de camada fina, por exemplo (Anderson et al., 1984)) porém, muito pouco eficientes, e então
nestas condições o que se faz comumente é desprezar todos os termos viscosos nos
operadores implícitos – e aí se recai no método já descrito para a equação de Euler (lado
esquerdo da Eq. (3.38)). A proposta portanto é se montar o algoritmo para as equações RANS
considerando-se o lado esquerdo, LHS, da Eq. (3.38) e o lado direito, RHS, da Eq. (3.8)
(devidamente discretizado). Para problemas estacionários isto é irrelevante, se não houver
maiores influências no processo de convergência da solução numérica. O que se observa é que
123
o algoritmo diagonal com esta “arquitetura” tem sido amplamente utilizado e tem produzido
resultados bastante confiáveis sem sofrer qualquer restrição no passo de tempo. Além disto,
com algumas precauções, o algoritmo tem sido utilizado mesmo em problemas não
estacionários (Pulliam e Chaussee, 1981).
Assim, a aplicação usual do método diagonal para as equações de Navier-Stokes
corresponde a representar a viscosidade física apenas do lado direito do algoritmo.
No entanto, como este é um esquema que usa discretizações centradas sempre, tanto para
termos convectivos quanto viscosos, existe a necessidade de se adicionar dissipação artificial
ao algoritmo – tema este a ser discutido na próxima seção. Assim, fatores dessa espécie serão
agregados também do lado esquerdo do algoritmo, LHS, e estes fatores contribuirão de uma
certa forma para contrabalançar os efeitos viscosos no lado direito do esquema
numérico, RHS.
3.4 Dissipação numérica
Embora a análise de estabilidade linear mostre que os algoritmos implícitos são
incondicionalmente estáveis para equações modelo lineares, na prática não é isso que se
observa. Basicamente, o principal problema é que as equações de Navier-Stokes são
não-lineares.
Quando perturbações interagem, elas geram novas instabilidades com freqüências
mais altas (soma das freqüências das ondas interagentes) e isso ocorrendo indefinidamente
extrapolará a capacidade de resolução da malha finita, gerando inconsistências numéricas.
Segundo Beam e Warming (1978) o esquema implícito em diferenças finitas tem uma
124
capacidade dissipativa bastante efetiva no início do processo iterativo, com exceção das
grandes e pequenas freqüências, i. e., as pontas do espectro de freqüência dos erros ou
irregularidades presentes. Se não houver um processo de amortecimento adequado, isso
poderá causar instabilidade numérica. Em geral, esse controle para esquemas de diferenças
centradas é feito pela adição externa de termos de dissipação numérica ao algoritmo.
Para manter o esquema equilibrado, o que propicia melhor convergência, é importante que
sejam acrescentados termos do mesmo tipo aos dois lados (esquerdo e direito) do algoritmo.
Como estes novos termos devem ter uma natureza dissipativa, deve-se ter o cuidado de
não os fazer competir com a dissipação física. Assim, a melhor opção é introduzir diferenças
de quarta ordem com essa finalidade (Jameson et al., 1981, Pulliam, 1986). Além disso, estes
termos evitam também outras inconveniências, como o desacoplamento par-ímpar,
e eventuais oscilações em regiões com altos gradientes de pressão, como a proximidade de
choques ou pontos de estagnação. Entretanto, no lado esquerdo da equação um termo de
quarta ordem, que requer um estêncil de cinco pontos para discretização, oneraria muito o
método, visto que a matriz a ser invertida passaria a ser pentadiagonal, e não mais tridiagonal,
como se tinha anteriormente. Assim, do lado esquerdo utiliza-se um termo de segunda ordem
e haverá assim alguma perda na taxa de convergência. Destarte, a proposta é acrescentar
termos do tipo (Pulliam, 1986, Mello, 1994),
Di = ∆τ ε i ∇ξ φ1 ∆ξ J Q n ,
(
(3.42)
)
De = ∇ξ φ1 ε 1(2 ) ∆ ξ − ε 1(4 )∆ ξ ∇ξ ∆ ξ J Q n ,
(3.43)
para a direção ξ, respectivamente, do lado esquerdo (LHS) – parte implícita do algoritmo –
(subscrito “i”) e lado direito (RHS) – parte explícita do algoritmo – (subscrito “e”). ε i , ε 1(2 ) e
125
ε1(4 ) são coeficientes, os operadores ∇ξ e ∆ ξ foram definidos pela Eq. (3.14) e φ1 é o
chamado raio espectral na direção ξ, definido por
(φ1 )i , j ,k
U + a A1 
=

J
 i + 1 , j ,k

2


 V + a A4 W + a A6 




1 + max U + a A , U + a A 
.
1
1
1


i + , j ,k 

2


(3.44)
Termos similares aos das Eqs. (3.42) e (3.43) são utilizados nas direções η e ζ, sendo que
(φ2 )i , j ,k
V + a A1 
=

J
 i , j + 1 ,k



 U + a A1 W + a A6 




1 + max V + a A , V + a A 
,
1
4
4


i , j + ,k 

2 

(3.45)
W + a A1 
=

J
 i , j ,k + 1



 U + a A1 V + a A4 




1 + max W + a A , W + a A 
.
1
6
6


i , j ,k + 

2 

(3.46)
2
(φ3 )i , j ,k
2
Os raios espectrais são introduzidos para fazer um “escalonamento” físico (Jameson et al.,
1981, MacCormack e Baldwin, 1975, Pulliam, 1986) e, além disso, contribuem também para
tornar as matrizes tipo diagonal dominante.
Apesar da eficiência comprovada, o esquema representado pela Eq. (3.43) tem um
inconveniente. Como já foi ressaltado, uma diferença de quarta ordem requer um estêncil de
cinco pontos. Na passagem por descontinuidades, especialmente choques, este estêncil largo
transmite esta situação para regiões mais distantes provocando o aparecimento de oscilações
antes e depois da passagem (Pulliam, 1986). (Observe-se que este termo de quarta ordem está
126
localizado no lado direito do algoritmo, o lado explícito.) Para evitar isto, implementa-se uma
função especial na Eq. (3.43) de maneira que, ao sentir a descontinuidade, o esquema elimina
o termo de quarta ordem e fica somente com um termo extra de segunda ordem.
Assim, redefine-se a função dissipação artificial no lado explícito De como
De
=
(
)
+
(
)
+
(
)
∇ξ φ1 ε 1(2 ) ∆ ξ − ε 1(4 )∆ ξ ∇ξ ∆ ξ J ∆ Q n
∇η φ2 ε 2(2 ) ∆η − ε 2(4 )∆η ∇η ∆η J ∆ Q n
∇ζ φ3 ε 3(2 ) ∆ ζ − ε 3(4 )∆ ζ ∇ζ ∆ ζ J ∆ Q n ,
(3.47)
de tal forma que
ε1(2 ) = k 2 ∆τ max (ψ i1+1 ,ψ i1 ,ψ i1−1 ) ,
ε1(4 ) = max (0 , k 4 ∆τ − ε1(2 ) ) ,
(3.48a)
ε 2(2 ) = k 2 ∆τ max (ψ 2j +1 ,ψ 2j ,ψ 2j −1 ) ,
ε 2(4 ) = max (0 , k 4 ∆τ − ε 2(2 ) ) ,
(3.48b)
ε 3(2 ) = k 2 ∆τ max (ψ k3+1 ,ψ k3 ,ψ k3−1 ) ,
ε 3(4 ) = max (0 , k 4 ∆τ − ε 3(2 ) ) .
(3.48c)
A função ψ faz o papel de um “sensor” de pressão e é definida por (Pulliam, 1986):
ψ i1 =
ψ 2j =
ψ k3 =
pi +1, j ,k − 2 pi , j ,k + pi −1, j ,k
pi +1, j ,k + 2 pi , j ,k + pi −1, j ,k
pi , j +1,k − 2 pi , j ,k + pi , j −1,k
pi , j +1,k + 2 pi , j ,k + pi , j −1,k
pi , j ,k +1 − 2 pi , j ,k + pi , j ,k −1
pi , j ,k +1 + 2 pi , j ,k + pi , j ,k −1
,
(3.49a)
,
(3.49b)
.
(3.49c)
127
Observe-se que a lógica no cálculo do coeficiente ε (4 ) elimina o termo de quarta
ordem toda vez que o coeficiente do termo de segunda ordem – via ε (2 ) – aumenta devido ao
aumento de pressão. Introduzindo estes novos termos na Eq. (3.41) o algoritmo agora toma a
forma final em três passos dados por (ver também Mello, 1994)
Passo 1 – direção ξ
(I + ∆τ δ
ξ
Λnξ − ∆τ ε i ∇ ξ φ1 ∆ ξ J
)
∆ Z 1n
(T ) [RHS
−1
=
n
ξ
n
]
− De .
(3.50)
Passo 2 – direção η
(I + ∆τ δ
η
Λnη − ∆τ ε i ∇ η φ 2 ∆ η J
)
∆ Z 2n
=
(N )
−1
n
∆ Z 1n .
(3.51)
Passo 3 – direção ζ
(I + ∆τ δ
ζ
Λnζ − ∆τ ε i ∇ζ φ3 ∆ ζ J
)
∆ Z 3n
(P )
−1 n
=
∆ Z 2n .
(3.52)
Multiplicação final
∆ Q n = (Tζ ) ∆ Z 3n .
(3.53)
Q n+1 = Q n + ∆ Q n .
(3.54)
n
Atualização final
128
A escolha dos parâmetros k2 e k4 na Eq. (3.48) é feita de acordo com as
particularidades do problema, dependendo dos gradientes de pressão na passagem pelos
choques. Para uma ampla faixa de utilização costuma-se adotar k2 = 0,25 e k4 = 0,01
(Pulliam, 1986).
3.5 Implementação numérica do modelo de turbulência de Spalart e Allmaras
O trabalho original de Spalart e Allmaras (1992) traz todas as indicações principais
sobre a implementação numérica do algoritmo. A pretensão aqui é somente ressaltar os
aspectos mais importantes.
Para implementar numericamente o modelo de turbulência, descrito pela Eq. (2.74) e
expressões (2.75) do capítulo 2, modifica-se inicialmente a forma da Eq. (2.74) para
∂ν~
= M (ν~ )ν~ + P (ν~ )ν~ − D(ν~ )ν~ ,
∂τ
(3.55)
para a qual M (ν~ )ν~ é a expressão combinada dos termos convectivos e difusivos, ou seja,
r r
r
1 r
2
M (ν~ )ν~ = − U ⋅ ∇ ν~ +
∇ ⋅ (ν l + ν~ ) ∇ν~ + cb 2 (∇ν~ ) .
(
)
σ
{ [
]
}
Os termos de produção e de dissipação da turbulência próximos à parede são
(3.56)
129
P(ν~ )ν~ = cb1 S ν~ ,
(3.57)
2
 ν~ 
~
~
D(ν )ν = cw1 f w   ,
d 
(3.58)
e deve-se observar que estas parcelas são sempre positivas.
A equação de transporte é discretizada e a solução integrada no tempo usando um
esquema de Euler implícito de diferenças à trás. A representação a seguir mostra as matrizes
implícitas, destacando-as por barras,
{ I − ∆τ [M (ν~ ) + P (ν~ ) − D (ν~ ) ] } ∆ν~
n
n
n
n
=
[ ( )
( )
( ) ] ν~
∆τ M d ν~ n + Pd ν~ n − Dd ν~ n
n
,
(3.59)
cuja solução vem de ν n+1 = ν n + ∆ν n . Md, Pd e Dd são as formas discretizadas de M, P e D.
Os autores do modelo modificam a forma da Eq. (3.59) para
[ I − ∆τ (M + P + D ) ] ν~
n +1
=
{ I + ∆τ [(M
d
− M ) + (Pd − P ) − (Dd − D )] } ν~ n ,
(3.60)
de tal sorte que ν~ n+1 é obtida diretamente como função de ν~ n . A partir daí, um trabalho
cuidadoso é dedicado às matrizes do algoritmo de maneira a garantir que a solução ν~ seja
sempre positiva, aliás, uma necessidade imperiosa para qualquer modelo de turbulência.
O trabalho de Spalart e Allmaras (1992) traz detalhes adicionais para a implementação
numérica do modelo. Os operadores convectivos foram discretizados usando um esquema de
130
primeira ordem de precisão tipo assimétrico (“up wind”), desta forma dispensando a
necessidade de termos de viscosidade artificial para o algoritmo. Os operadores difusivos
foram discretizados usando diferenças centradas de segunda ordem de precisão.
3.6 Esquema numérico de malhas seqüenciais
As malhas utilizadas na simulação de problemas físicos complexos contêm, em geral,
um número muito grande de pontos. Por exemplo, no caso da injeção do TTP, por serem
necessários refinamentos nas proximidades das paredes do túnel e do injetor, as malhas
ultrapassaram 1 milhão de pontos de cálculo. O processo de pesquisa de soluções exige que o
programa seja “rodado” inúmeras vezes visando a adequação da malha, o ajuste das taxas de
refinamento, o espalhamento de pontos para evitar o problema de rigidez (“stiffness”),
possíveis modificações nos parâmetros de dissipação artificial, etc. Empregando malhas com
tantos pontos, seria quase inviável a realização do trabalho, pelo tempo requerido nessas
buscas e, mesmo, para obter a convergência final, depois de definidas todas as condições para
o problema. O equipamento à disposição do autor durante a realização deste trabalho era
um PC AMD 2 GHz com 512 Kb de memória.
Assim, foi preciso contornar o problema do tempo de computação, lançando-se mão
da técnica de malhas seqüenciais, para dar maior agilidade ao processo de cálculo. A técnica
empregada é extremamente simples na sua concepção e fácil de ser implementada.
Consiste em rodar o código em malhas mais grossas, obtidas a partir dos pontos ímpares das
malhas finas em todas as direções, e fazer uma passagem conveniente das grandezas de uma
malha para outra. Embora a malha mais grossa, muitas vezes, não permita capturar
131
convenientemente todos os fenômenos físicos, ela contribui muito para a solução
macroscópica na geometria empregada, avançando o processo de cálculo global.
Por exemplo, numa região de mistura de jatos, a malha grossa suaviza mais rapidamente os
perfis de velocidade, permitindo depois que a malha mais fina possa trabalhar a partir de uma
solução mais avançada no tempo, sem o problema de um passo inicial no tempo muito
pequeno. No cálculo tridimensional isto é ainda mais vantajoso, uma vez que a próxima
malha mais grossa tem um número de pontos oito vezes menor e o passo no tempo duas vezes
maior (para um mesmo número de CFL), resultando um ganho computacional do processo de
cálculo em dezesseis vezes. Isso ainda é mais notável trabalhando com três malhas
seqüenciais: a malha mais grossa (a terceira) terá uma velocidade de convergência de,
no mínimo, 256 vezes maior do que a primeira malha.
O primeiro cuidado a ser tomado na obtenção das malhas é observar que o número
máximo de pontos em cada direção da malha fina seja tal que permita sempre a obtenção
direta das malhas próximas; isto é garantido se o número máximo de pontos for um múltiplo
de p, com p = 2n + 1 e n um número inteiro. Além disto, todos os pontos singulares da malha
mais fina, também devem seguir este mesmo princípio nas outras malhas, com ponteiros
lógicos no programa. Por exemplo, o ponto central entre os dois escoamentos, para que se
tenha a mesma correspondência nas diversas malhas empregadas.
A passagem dos valores de parâmetros para frente (de uma malha mais fina para uma
malha mais grossa) é realizada da seguinte maneira. Inicialmente o código calcula uma
iteração na malha mais fina e depois passa para a próxima malha os parâmetros do
escoamento Q e ν~ , diretamente para os pontos correspondentes na malha mais grossa,
procedimento este chamado de injeção direta (“straight injection”) (Press et al., 1992).
As diferenças ∆ Q e ∆ν~ são passadas de forma ponderada pela posição relativa ao ponto
central correspondente, procedimento este chamado de ponderação completa (“full
132
weighting”). Após o cálculo na malha grossa, o retorno para a malha mais fina é realizado
pelo procedimento chamado de interpolação bilinear (“bilinear interpolation”) e é aplicado
aos parâmetros do escoamento Q e ν~ . O processo de injeção direta é óbvio, e é sempre
usado para a passagem das condições de contorno da malha. Quanto aos processos de
ponderação completa e interpolação bilinear, a FIG. 3.3 exemplifica-os, para uma malha
bidimensional, mostrando suas células de cálculo em dois diagramas lógicos (Press et al.,
1992). No primeiro procedimento (ponderação completa), apenas o ponto central representa
um nó pertencente às duas malhas, enquanto que os nós vizinhos só existem na malha mais
fina. O parâmetro a ser passado para a malha mais grossa (indicado aqui pela barra) é
calculado por
a=
c1
1/16
(3.61)
1
1
1
a + (b1 + b2 + b3 + b4 ) + (c1 + c2 + c3 + c4 )
4
8
16
b1
c2
1/8
1/16
a1
b1
1/2
1/4
a
b2 1/8
1/4
a2
1/2
1/4
c
1/8
b3
b2
b3
1/4
1/4
1/2
1/2
1/2
1/16
1/8
1/16
c3
b4
c4
a) ponderação completa
a3
1/2
b4
a4
b) interpolação bilinear
FIGURA 3.3 – Procedimentos para geometria bidimensional da ponderação completa e da
interpolação bilinear, respectivamente.
133
No segundo procedimento (interpolação bilinear) apenas os nós indicados pelo X
pertencem às duas malhas. Para estes pontos os valores passam direto para a malha fina.
Os valores dos círculos sem o X deverão ter seus valores criados a partir de valores vizinhos
da malha mais grossa. Seguindo a mesma indicação de barras para os parâmetros na malha
mais grossa,
a1 = a1 ,
a2 = a2 ,
(3.62a)
a3 = a3
a4 = a4 ,
(3.62b)
b1 =
1
(a1 + a2 ) ,
2
b2 =
1
(a1 + a3 ) ,
2
(3.63a)
b3 =
1
(a2 + a4 ) ,
2
b4 =
1
(a3 + a4 ) ,
2
(3.63b)
c=
1
(a1 + a2 + a3 + a4 ) .
4
(3.64)
Para as malhas tridimensionais os processos de passagem seguem as mesmas idéias,
entretanto, a célula de cálculo agora é um cubo com seu centro representando um nó de
cálculo. A interpolação bilinear é facilmente aplicada neste caso, apenas ressalvando que os
pontos a serem “criados” vêm, ou diretamente (nos vértices), ou por média de dois (dos
vértices para os meios das arestas), ou por média de quatro (dos vértices para os centros das
faces) e, agora, também, por combinação de oito (dos vértices para o centro do cubo).
Quanto à ponderação completa, no que tange os parâmetros de ponderação – como também
no caso bidimensional –, não há uma escolha única. No caso tridimensional há quatro tipos de
vizinhos diferentes (pela disposição geométrica em que se encontram) e a formulação
aplicada é a seguinte:
134
a
=
1
a
4
+
1
(b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 ) +
24
1
(c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9 + c10 + c11 + c12 ) +
48
1
(d1 + d 2 + d3 + d 4 + d5 + d 6 + d 7 + d8 ) ,
32
(3.65)
onde “a” está no centro do cubo (célula de cálculo), os vizinhos “b” estão nos centros das
faces do cubo, os vizinhos “c” estão nos centros das arestas do cubo e, finalmente,
os vizinhos “d” estão nos vértices do cubo.
O processo de cálculo adotado na maioria dos casos em que foram usadas três malhas
seqüenciais, foi realizar uma iteração na malha fina, passando à malha intermediária,
realizando outra iteração nesta, passando à malha mais grossa e iteragindo nesta até que o
resíduo obtivesse uma notória convergência, com abaixamento de, no mínimo quatro ordens.
Retornando à malha intermediária, o processo foi repetido e, de volta à malha fina,
foram realizadas iterações até que se percebesse estabilidade na solução (campo de pressão e
velocidade
estáveis,
com
variações
apenas
no
quarto
algarismo
significativo).
O aumento global da taxa de convergência, com o emprego desta técnica em alguns casos,
chegou a seis vezes.
3.7 Condições iniciais e de contorno
Nesta seção discutir-se-á, em linhas gerais, sobre condições iniciais e de contorno a
serem implementadas nos problemas que serão tratados a seguir nos capítulos 4 e 5.
135
3.7.1 Condições iniciais
O problema a ser tratado, numericamente, é do tipo misto com condições inicial e de
contorno, mesmo levando-se em conta que todas as condições de contorno são estacionárias.
Observe-se, por exemplo, a Eq. (3.20), onde aparece explicitamente o termo ∂ Q ∂ τ .
Estabelecidas condições iniciais, o código itera até a situação de estado estacionário,
caracterizado por um valor pequeno e pré-estabelecido do resíduo (valor atual do RHS).
Neste estado considera-se o problema resolvido dentro da precisão do método numérico.
De maneira geral, considerou-se como condições iniciais os seguintes valores adimensionais,
ρ = 1, ρ u = 1, ρ v = ρ w = 0, e o valor da energia total por unidade de volume sendo fixada
considerando-se T = 300 K. Para o valor de νt inicial foram estabelecidas distribuições
uniformes, em geral, valores baseados em dados experimentais, ou então, na experiência
anterior do autor.
Em outros casos, condições iniciais mais próximas do esperado para a solução final
foram adotadas, na tentativa de vencer os altos gradientes impostos no início do cálculo,
visando a convergência. Por exemplo, no caso da mistura de jatos, a região da camada de
mistura foi aproximada inicialmente por um perfil linear entre dois pontos escolhidos nos
domínios dos núcleos potenciais dos dois jatos. Mesmo assim, por se tratar de escoamentos a
altas velocidades, o processo de cálculo fez surgir, nas primeiras iterações, regiões com altos
gradientes de pressão, devido à adaptação à física do problema. Por outro lado, quando
impostos dois perfis uniformes justapostos para representar os dois jatos, os gradientes de
propriedades na fronteira entre os jatos eram tão altos que o código não suportava e ocorria
divergência logo no início.
136
3.7.2 Condições de contorno
Basicamente as condições de contorno tratadas neste trabalho, e que serão detalhadas
em seguida, são de cinco tipos:
(i) fronteira sólida,
(ii) fronteira simétrica,
(iii) fronteira de saída,
(iv) fronteira de entrada,
(v) fronteira com propriedades impostas.
Em cada fronteira são necessárias seis condições de contorno, para definir os valores
das variáveis que aparecem nas cinco equações principais e na equação do modelo de
turbulência: ρ, u, v, w, e, µt. Para interpretar com mais facilidade a física envolvida no
problema, em geral o conjunto de variáveis empregado substitui a densidade e a energia total
pela pressão e temperatura, resultando no seguinte conjunto, a ser atualizado pelas condições
de contorno: p, u, v, w, T, µt.
Em todos os casos aqui tratados, a geometria empregada é a esquematizada
na FIG. 3.4, na qual estão representadas as direções do domínio computacional (ξ, η, ζ),
sendo ξ a direção longitudinal do escoamento. Os contadores nas direções ξ, η, e ζ são,
respectivamente, i, j e k.
137
jmax
η
ξ
j
i
ζ
imax
k
kmax
FIGURA 3.4 – Geometria genérica empregada no estabelecimento das condições de contorno.
(i) Fronteira sólida
Para melhor exemplificar, suponha-se um plano em k = 1 (plano ij) para as condições
de contorno de fronteira sólida – uma parede lateral. A condição básica para a fronteira sólida
é o não escorregamento, com os componentes de velocidade nulos (três condições são
estabelecidas),
ui , j ,1 = vi , j ,1 = wi , j ,1 = 0 .
(3.66)
A quarta condição de contorno a ser estabelecida é a pressão. A pressão sobre a
fronteira sólida é fixada considerando o seu valor igual ao valor no primeiro ponto da malha
de cálculo, na direção normal à mesma. Isto corresponde à condição tipo camada limite como,
aliás, será detalhada na seção 3.7.3,
∂p
∂ζ
=0,
(3.67)
pi , j ,1 = pi , j ,2 .
(3.68)
i , j ,1
ou seja,
138
Para todos os casos tratados no presente trabalho, a malha é sempre normal aos planos de
fronteira. Mesmo que não fosse, seria aceitável a aproximação, pois o refinamento próximo à
fronteira sólida é, em geral, grande e o desvio muito pequeno da direção normal. É importante
lembrar que o valor de pi,j,2 é resultado da solução interna do problema. Isto significa que,
depois de cada iteração, o valor interno é extrapolado à parede via Eq. (3.68).
A quinta condição de contorno reflete o comportamento térmico da fronteira sólida.
As duas condições mais comuns são: a temperatura prescrita (o valor da temperatura na
parede é conhecido e imposto) e a parede adiabática, que foi utilizada em todos os casos deste
trabalho. No caso da parede adiabática não há fluxo de calor e, portanto, o gradiente de
temperatura na parede é nulo. Assim,
∂T
∂ζ
= 0,
(3.69)
Ti , j ,1 = Ti , j ,2 ,
(3.70)
i , j ,1
o que resulta em
e como no caso da pressão, também o valor da temperatura na parede é extrapolado da
solução interior.
A sexta e última condição se refere ao nível da viscosidade dinâmica turbulenta, que é
sempre nula – não há atividade turbulenta sobre a fronteira sólida. Portanto,
(µt ) i , j ,1 = 0 .
(3.71)
(ii) Fronteira simétrica
Em vários casos a condição de fronteira simétrica foi necessária, particularmente no
problema da mistura de jatos da injeção, no intuito de economizar tamanho de malha
139
computacional. Como exemplo, seja o plano simétrico em j = (jmax-1), plano ik – no caso da
fronteira simétrica é necessário um plano adicional “além fronteira” para realizar as
extrapolações e, por isso, por conveniência, foi escolhida a fronteira simétrica em (jmax-1).
A FIG. 3.5 mostra um detalhe da fronteira simétrica que, neste caso, está localizada
em j = (jmax-1). Pela condição de simetria, todas as propriedades em j = jmax deverão ser
iguais às propriedades em j = (jmax-2), exceto o componente de velocidade na direção η que
deverá ser anti-simétrico.
η
j = jmax
j = jmax-1
j = jmax-2
FIGURA 3.5 – Esquema de uma fronteira simétrica em j = (jmax-1).
As seis condições a serem estabelecidas para esta fronteira de contorno são:
= ui , jmax −2 ,k ,
(3.72a)
vi , jmax,k
= − vi , jmax −2 ,k ,
(3.72b)
wi , jmax,k
= wi , jmax −2 ,k ,
(3.72c)
pi , jmax,k
=
pi , jmax −2 ,k ,
(3.72d)
Ti , jmax,k
= Ti , jmax −2 ,k ,
(3.72e)
ui , jmax,k
(µt ) i , jmax,k
=
(µt ) i , jmax −2 ,k .
(3.72f)
140
(iii) Fronteira de entrada
Relações características
As condições de contorno para as equações principais, na entrada, i = 1 (plano jk),
são implementadas através de relações características para as equações de Euler em três
dimensões. A motivação para esse procedimento reside no fato de que essas relações
preservam parte da física associada às condições de contorno, o que é certamente melhor do
que se usar alguma extrapolação arbitrária.
No caso das equações de Euler tridimensionais existem cinco relações características
associadas à direção x, a saber:
∂ρ 1 ∂ p
∂ρ 1 ∂ p
 ,
− 2
= − u 
− 2
∂t a ∂t
∂x a ∂x
(3.73a)
∂v
∂v
=−u
,
∂x
∂t
(3.73b)
∂w
∂w
=−u
,
∂t
∂x
(3.73c)
∂p
∂u
∂u
∂p
+ρa
= − ( u + a ) 
+ρa
∂x
∂t
∂t
 ∂x

 ,

(3.73d)
∂p
∂p
∂u
∂u 
.
−ρa
= − ( u − a ) 
+ρa
∂t
∂t
∂ x 
 ∂x
(3.73e)
Essas relações são obtidas a partir dos autovalores e autovetores das equações de Euler (ver
apêndice A). São cinco as velocidades características a elas associadas na direção x: u, u, u,
(u + a), (u – a). Por exemplo, para escoamento subsônico na direção x, isto é, u < a,
141
um determinado ponto do escoamento recebe influência do que acontece tanto a montante
(características u, u, u, (u + a)), como a jusante (característica (u – a)). No caso do
escoamento na direção x ser supersônico todas as características carregam informações
a jusante.
As relações características, acima apresentadas, estão escritas em coordenadas
cartesianas, embora a implementação das equações de Navier-Stokes seja feita em
coordenadas curvilíneas generalizadas. Em geral, esse procedimento se justifica, pois, nos
contornos onde se deseja implementar essas relações características, os sistemas de
coordenadas cartesianas e generalizadas estão basicamente alinhados. No caso do presente
trabalho, em regiões próximas às fronteiras, os dois sistemas sempre coincidem.
O regime do escoamento – subsônico ou supersônico – determinará como essas
condições devem ser implementadas.
Região subsônica
No caso do contorno com entrada subsônica, quatro condições devem ser fixadas e
uma extrapolada do interior, considerando que quatro informações vêm de montante e uma de
jusante. As que devem ser fixadas, em geral, para escoamentos internos, são: a temperatura de
estagnação To, a pressão de estagnação po e a angularidade do escoamento nas duas direções
prescritas pelo sistema de coordenadas esférico local, θ y e θ z – ver apêndice A. A quinta
condição deve ser extrapolada do interior da malha computacional, usando-se a equação
associada à velocidade característica (u – a). Discretizando-se essa equação, Eq. (3.73e), e
lembrando que as variáveis estão adimensionalizadas, obtém-se (maiores detalhes no apêndice A):
δ u1n, j ,k =
R5
∂p
∂u
n
− ρ 2n,+j1,k a 2n,+j1,k
1, j ,k
,
(3.74)
142
onde
R5 = −
∂p
∂u
n
λ5
1 − λ5
[( p
n +1
2 , j ,k
) −ρ
− p 1n, j ,k
n +1
2 , j ,k
 γ 
 1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z
= − 2 po u 1n, j ,k 
 γ +1
(
1, j ,k
(
)
(3.75)
)

 γ −1
 1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z
 1 − 
 γ +1

λ5 = ( u 2n,+j1,k − a 2n,+j1,k
) ],
(
a 2n,+j1,k u 2n,+j1,k − u 1n, j ,k
2
1
 γ −1
,
1, j ,k 

)( u )
(3.76)
n
∆x
.
x 2 , j ,k − x 1, j ,k
(3.77)
A partir do cálculo de δ u1n, j ,k , atualiza-se o componente de velocidade u
u 1n,+j 1,k = u 1n, j ,k + δ u 1n, j ,k .
(3.78)
Pode-se calcular, então, et e p através de


(et ) 1n,+j1,k = cv T1n, j+,1k = cv T (u1n,+j1,k ) = cv T0 1 −  γ − 1  (1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z )(u 2 )1n,+j 1,k  ,
 γ +1


  γ −1
p1n,+j 1,k = p u1n,+j 1,k = p0 1 − 
 1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z u 2
  γ +1
(
)
(
(
)
(
)
)( )
n +1
1, j ,k



γ
γ −1
.
(3.79)
(3.80)
onde os símbolos T u1n,+j 1,k e p u1n,+j 1,k indicam que T e p são funções de u. Os componentes de
velocidade v e w são dados por
143
v 1n,+j1,k = u 1n,+j1,k ctg θ y ,
(3.81a)
w 1n,+j1,k = u 1n,+j1,k csscθ y ctg θ z .
(3.81b)
Finalmente, obtém-se os outros componentes do vetor de propriedades conservadas, Q ,
ρ
n +1
1, j ,k
=
p 1n,+j 1,k
(γ − 1) (et )1n,+j1,k
[(
1

n +1
e1n,+j 1,k = ρ 1n,+j 1,k  (et )1, j ,k +
u2
2

)
n +1
1, j ,k
,
( )
+ v2
n +1
1, j ,k
(3.82)
( )
+ w2
n +1
1, j ,k
]  .
(3.83)
Verifica-se na prática que a aplicação da extrapolação por características produz
resultados bons na região potencial. No caso das camadas limite o tratamento é específico.
Após a atualização da região potencial, as camadas limite são recalculadas, como descrito a
seguir, nos itens 3.7.3 e 3.7.4.
A viscosidade turbulenta na região fora da camada limite foi fixada como um valor
constante. Tal valor foi em tese obtido da literatura considerando-se casos de escoamentos
com condições próximas daquele que estava sendo calculado. Desta forma o valor de (µt )1, j ,k
para a “região potencial” fica também estabelecido.
Região supersônica
Para o caso de entradas supersônicas a análise de Euler indica que todas as velocidades
características do escoamento são positivas, significando que a informação nunca retorna.
Nestes casos, a física é perfeitamente representada pela imposição de todas as condições
na entrada.
144
(iv) Fronteira de saída
A fronteira de saída, a rigor, deveria ser tratada também através das relações
características, uma vez que essas relações preservam parte da física associada ao escoamento
(veja o apêndice A). Nestas circunstâncias, no caso de uma saída subsônica, uma das
propriedades deveria ser fixada na fronteira (informação que vem de jusante). Acontece que
esta situação é dificílima de se estabelecer, a não ser que praticamente se conheça a solução
final. A insistência em se fixar a condição, em geral leva a uma situação de instabilidade e o
processo iterativo diverge (Falcão Filho et al., 2000b). A melhor alternativa na verdade é se
extrapolar todas as propriedades a partir do último plano interior para a fronteira, mesmo no
caso subsônico. Esta idéia vem da noção de “condição de contorno parabólica” muito
utilizada em escoamentos incompressíveis em dutos. Imagina-se que em uma seção do duto
suficientemente a jusante, o escoamento já esteja totalmente desenvolvido. Nestas condições,
a condição parabólica (transmissão de informação sempre a jusante) se aplica à perfeição.
Para se evitar uma extrapolação de ordem zero, i. e., a simples igualdade dos valores de
propriedades entre os dois planos, optou-se por uma equação de transporte convectivo
simplificada. Seja α um parâmetro genérico. Sua propagação convectiva na direção ξ pode
ser representada por:
∂α
∂α
+ Vp
=0,
∂t
∂ξ
(3.84)
onde Vp é a velocidade física de transporte, t é o tempo e α a variável espacial genérica. Desta
forma, o conjunto de parâmetros a ser estabelecido na fronteira de saída seria expresso por:
145
ρ n+1
=
imax, j ,k
ρn
imax, j ,k
(
) ∆∆ξt ,
(3.85a)
− V p ρ inmax, j ,k − ρ inmax+1−1, j ,k
+1
u inmax,
j ,k
= u inmax, j ,k − V p u inmax, j ,k − u inmax+1−1, j ,k
(
) ∆∆ξt ,
(3.85b)
+1
v inmax,
j ,k
= v inmax, j ,k − V p v inmax, j ,k − v inmax+1−1, j ,k
(
) ∆∆ξt ,
(3.85c)
(
) ∆∆ξt ,
(
) ∆∆ξt ,
+1
winmax,
j ,k
= winmax, j ,k − V p winmax, j ,k − winmax+1−1, j ,k
+1
einmax,
j ,k
(µt ) n+1
imax, j ,k
= einmax, j ,k − V p einmax, j ,k − einmax+1−1, j ,k
=
(µt ) n
imax, j ,k
− Vp
[ (µ )
t
n
imax, j ,k
n +1
− (µt )imax −1, j ,k
] ∆∆ξt ,
(3.85d)
(3.85e)
(3.85f)
e a velocidade de propagação física Vp é considerada como sendo
+1
V p = uinmax
−1, j ,k .
(3.86)
(v) Fronteira com propriedades impostas
Há casos nos quais é necessário impor todas as condições. Seja, por exemplo,
a fronteira superior, j = jmax. Em geral, em problemas genéricos, esta face fica mergulhada
dentro do escoamento livre. Fica clara, portanto, a aplicação do conjunto de parâmetros
neste caso:
146
u i , jmax,k = u I ,
(3.87a)
v i , jmax,k = vI ,
(3.87b)
w i , jmax,k = wI ,
(3.87c)
p i , jmax,k = p I ,
(3.87d)
T i , jmax,k = TI ,
(3.87e)
( µ ) i , jmax,k = ( µ )I ,
(3.87f)
onde o subscrito “I” indica valores conhecidos.
Em outros casos específicos, como uma fronteira de imposição das condições após
uma onda de choque, a pressão teve que ser extrapolada, sendo fixadas as demais condições
(esta aplicação será detalhada oportunamente).
3.7.3 Camada limite hidrodinâmica
Nesta seção serão discutidos os detalhes de como foram estabelecidos perfis tipo
camada limite em planos tipo “condição de contorno”. Isto porquê, em várias situações,
tem-se que estabelecer distribuições deste tipo. O exemplo típico é o caso do plano de entrada
da região da injeção (FIG. 3.6). Os escoamentos representados pela corrente principal
subsônica e pela corrente supersônica que vem dos injetores, ao chegarem a este plano
apresentam camadas limite junto ao solo, teto, paredes laterais do túnel e paredes do injetor.
Entretanto, na prática, estas camadas limite começam a se desenvolver na região da seção de
testes, mais especificamente no fim das fendas, e na região de estagnação dos injetores.
147
Evidentemente, não é viável estender-se a malha da seção de entrada da câmara de injeção até
a seção de testes (ou, então, até à câmara de estagnação dos injetores). Resta então, definido o
“escoamento potencial” da corrente principal, estabelecer distribuições de parâmetros na camada
limite, utilizando-se para tanto expressões analíticas e/ou correlações adequadas e convenientes.
plano de entrada
CL
núcleo
subsônico
túnel
CL
CL
injetor
núcleo supersônico
CL
CL – região de camada limite
y
x
FIGURA 3.6 – Esquema físico da mistura de jatos da injeção na fronteira de entrada com a
representação esquemática das camadas limite.
Um outro exemplo, neste caso usado para validação, é o problema da onda de choque
sobre a camada limite turbulenta que, se fosse simulado o comprimento anterior, necessário
para o crescimento da camada limite até a condição prescrita pelo problema para a região,
e partindo-se de um perfil uniforme na entrada, exigiria um comprimento de malha seis
vezes maior.
As duas próximas subseções discutem expressões e correlações que foram utilizadas
no estabelecimento de tais perfis de propriedades.
148
Perfil de velocidade
O que se pretende é obter uma correlação para u = u(y) dentro da camada limite, onde
y e u são, respectivamente, distância à parede e velocidade paralela à parede. Será utilizada,
com adaptações adequadas, a lei da parede para o escoamento compressível. Basicamente,
adotar-se-á o modelo de Saffman e Wilcox (1974), os quais, baseados em resultados do
escoamento compressível ao longo da placa plana, chegaram a valores das constantes para a
lei logarítmica da parede. A correlação tem uma forma análoga ao caso incompressível,
u* 1
= ln y + + C ,
uτ κ
( )
(3.88)
onde uτ = τ w ρ w é a velocidade de atrito, y + = y uτ / ν w , o subscrito “w” indica valores na
parede (“wall”), e κ e C são as constantes da lei. u* é a chamada velocidade de
van Driest (1951) e difere ligeiramente de u, a velocidade média local paralela à parede.
A partir de correlações de dados experimentais mostra-se que κ e C são muito
próximos
dos
valores
incompressíveis
(Bradshaw e Huang, 1995).
Em
princípio,
no entanto, C é uma função de Mτ e qw+ , visto que esta constante carrega informações sobre a
densidade e efeitos viscosos junto à parede. Mτ e qw+ são definidos por
uτ
,
aw
(3.89a)
qw
,
ρ wc p uτ Tw
(3.89b)
Mτ =
qw+ =
149
onde mais uma vez o subscrito “w” indica valores de parâmetros na parede (“wall”).
Os parâmetros Mτ e qw+ também influem, se bem que de maneira fraca, na diferença entre u
e u* (Wilcox, 1998). Considerando as colocações acima o modelo que será adotado é dado
pela relação
u 1
= ln y + + C ,
uτ κ
( )
(3.90)
onde se considera u* aproximadamente igual a u, pelo menos para a faixa de números de
Mach e condições da parede a serem encontrados nos problemas aqui tratados. Os valores das
constantes são κ = 0,402 e C = 3,54, dados obtidos a partir de estudos de placa
plana (Saffman e Wilcox, 1974).
A Eq. (3.90) está representada na FIG. 3.7, juntamente com as outras regiões da
camada limite turbulenta (Cebeci e Bradshaw, 1977). Como é conhecido da literatura
(Tennekes e Lumley, 1974), na região da subcamada viscosa a correlação é dada por
u+ = y+ ,
(3.91)
onde u + = u uτ , e as escalas características da turbulência são a velocidade de atrito uτ e o
comprimento νw / uτ (aqui νw indica a viscosidade cinemática molecular na parede). Distante
da parede, onde os efeitos de inércia predominam sobre os efeitos viscosos moleculares, com
ação acentuada das tensões de Reynolds, as duas escalas características correspondem à
velocidade do escoamento livre fora da camada limite, U∞ , e a espessura da camada limite, δ.
150
35
30
camada
intermediária
subcamada viscosa
25
u 2+ =
ESCOAMENTO
POTENCIAL
CAMADA
EXTERNA
CAMADA INTERNA
subcamada inercial
u∞
uτ
u+ =
região do déficit
de velocidade
u∞
uτ
20
u+ =
u
uτ
u+ = y+
15
u1+ = y1+
10
5
u+ =
1
κ
( )
ln y + + C
y2+ = eκ (u2 −C )
+
y1+
0
0.1
1
10
uτ
+
y =y
100
1000
10000
νw
FIGURA 3.7 – Camada limite turbulenta típica e os modelos para cada sub-região. Os pontos
pretos indicam um perfil real típico. As linhas indicam as equações de modelo
para cada sub-região.
O modelo adotado no presente trabalho toma como perfil, para a camada limite
turbulenta, a união das equações representativas para cada sub-região. O primeiro ponto de
intersecção é obtido a partir dos valores adotados para as constantes de von Kármán κ, e a
constante C, que também reflete a rugosidade da parede. O segundo ponto de intersecção é
obtido a partir das condições do escoamento livre, numa simplificação do que ocorre na
camada externa. Assim, a função composta proposta é representada em três regiões,
y + ≤ y1+
→
y1+ < y + ≤ y2+
→
y + > y2+
→
u+ =
u+ = y+ ,
(3.92a)
1
( )
(3.92b)
u∞
,
uτ
(3.92c)
κ
ln y + + C ,
u+ =
151
onde y1+ e y2+ são determinados a partir de valores de κ e C, e observando-se
que u2+ = u∞ / uτ .
Observa-se na FIG. 3.7, que duas sub-regiões foram simplificadas. A primeira, a
sub-camada intermediária, que representa a transição entre a sub-camada viscosa e a subcamada inercial, começando em y + ≅ 5 , terminando em y + ≅ 30 . A segunda, região do
déficit de velocidade, influenciando a solução a partir de 20 % da altura da camada
limite (Wilcox, 1998).
Para se “fechar” o conjunto de equações acima em uma determinada estação falta o
conhecimento de dois parâmetros, a altura da camada limite, δ, e a velocidade de atrito na
parede, uτ.
Quanto ao valor da espessura da camada limite δ, uma estimativa será empregada
neste trabalho, utilizando-se a fórmula para a camada limite turbulenta incompressível ao
longo da placa plana (Schlichting, 1979):
u ⋅ x
δ ( x ) = 0,37 ⋅ x ⋅  ∞ 
 ν 
−
1
5
,
(3.93)
onde x é a distância na direção longitudinal contada a partir do bordo de ataque da placa, u∞
é a velocidade no escoamento livre e ν é a viscosidade cinemática molecular.
Para uma estimativa da velocidade de atrito na parede, uτ, procedeu-se da seguinte
forma. Mudando-se a adimensionalização da Eq. (3.90) para os parâmetros u∞ (velocidade no
núcleo potencial) e δ (espessura da camada limite), ela toma a seguinte forma de equação
transcendental:
152
( uτ ) n +1
=
u × u∞
 δ ( uτ
ln 
κ
 νw
1
)n

y×  + C

,
(3.94)
para a qual
u× =
u
,
u∞
y× =
y
δ
.
(3.95a)
(3.95b)
É possível se obter a resolução da Eq. (3.94) de forma iterativa, como sugerido na
expressão através dos índices “n” e “n+1” (momentos de avanço da solução); para isto é
necessário conhecer um ponto de referência. Por exemplo, a borda da camada limite, ou seja:
para y × = 1 o valor de u × é 0,998 (ou outro critério plausível). Atribuindo um valor inicial
para uτ (por exemplo, 10 m/s), com menos de dez passos há convergência suficiente para
valores típicos. Isto ocorrerá sempre que o argumento da função logarítmica na Eq. (3.90) for
maior do que a unidade, ou seja, y+ > 1. Com o valor da velocidade de atrito determinada,
a Eq. (3.90), da lei logarítmica, está definida. Daí, a partir da distância à parede mais próxima
obtém-se diretamente a velocidade no ponto. Conhecendo-se a velocidade local dentro da
camada limite, é necessário agora determinar os demais parâmetros do escoamento.
Perfis de pressão e temperatura
A pressão será obtida fazendo-se p( y ) = p∞ , 0 ≤ y < δ , o que é uma decorrência da
condição tipo camada limite, tal que
∂p
≅ 0,
∂n
(3.96)
153
onde n é a distância normal à parede e p∞ é a pressão na borda da camada limite.
A temperatura na camada limite pode ser avaliada a partir da analogia de Reynolds,
a qual relaciona a transferência de calor com a transferência de quantidade de movimento –
o número de Prandtl define esse relacionamento através da relação entre os gradientes de
temperatura e de velocidade. Inicialmente, é necessário conhecer-se a temperatura ou o fluxo
de calor na parede. Devido à natureza do problema que se tem em mãos, é razoável admitir-se
uma condição de parede adiabática para todos os casos, o que significa fluxo de calor nulo.
Nestas condições, com a desaceleração do escoamento até a velocidade nula sobre a parede,
a temperatura se tornaria igual à temperatura de estagnação, para um processo isentrópico
através da camada limite. Como esta condição ideal não ocorre, as diferenças são
contabilizadas pelo fator de recuperação da temperatura sobre a parede, r, definido a partir
da equação
γ −1

2
Taw = T∞ 1 + r
M∞  ,
2


(3.97)
onde Taw é a temperatura da parede adiabática, T∞ e M∞ são a temperatura e o número de
Mach relativos ao escoamento livre. A partir da analogia de Reynolds, com algumas hipóteses
quanto à natureza dos perfis de velocidade e de temperatura na camada limite, é possível se
obter uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da camada limite
turbulenta (Shapiro, 1953), dada por
T
T∞
= 1+ r
γ −1
2
M ∞2
2



u
 1− 
 U 

 ∞

1

7
Pr
  
  .
 r  

A partir da pressão e da temperatura obtém-se a densidade local.
(3.98)
154
3.7.4 Viscosidade turbulenta na camada limite
Prandtl, inspirando-se em idéias da teoria cinética dos gases, estabeleceu, ao introduzir
um conceito de “comprimento de mistura”, que duas escalas turbulentas seriam suficientes
para fixar o estado local da turbulência e, em conseqüência, o valor da viscosidade de
vórtice, νt (Launder e Spalding, 1972). Nesse modelo idealizado, a sugestão final é de que o
melhor representante da escala de velocidades é a raiz quadrada da energia cinética
turbulenta. Assim, tem-se a relação:
νt = l k ,
(3.99)
onde l é a escala de comprimento e k é a energia cinética turbulenta local. A experiência
mostra como essas escalas evoluem no interior de uma camada limite típica, e muitos autores
propuseram distribuições para várias classes de escoamento (Launder e Spalding, 1972,
Glushko, 1965, Emmons, 1954). A partir das principais idéias contidas nesses trabalhos, foi
construída uma distribuição da escala de comprimento da turbulência segundo a FIG. 3.8.
O comprimento característico é inicialmente linear com a distância à parede. À medida que se
distancia mais da parede, a atividade turbulenta se estabiliza, depois vindo a ser reduzida
continuamente (devido à intermitência) até um valor residual, correspondendo à atividade
turbulenta no escoamento livre. Essa função, a qual, na verdade, é uma adaptação da
distribuição de Escudier (Launder e Spalding, 1972), é expressa por
155
0≤
0,4 <
0,7 <
y
δ
y
δ
y
δ
y
δ
l
≤ 0,4
δ
l
≤ 0,7
δ
l
≤ 1,2
δ
y
,
(3.100a)
= 0,084 ,
(3.100b)
= 0 ,21
δ
= 0 ,17808 − 0 ,1344
l
> 1,2
δ
y
δ
,
(3.100c)
= 0,0168 .
(3.100d)
0.09
0.08
0.07
0.06
l
δ
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y
δ
FIGURA 3.8 – Perfil do comprimento característico da turbulência na camada limite.
O perfil de energia cinética turbulenta na camada limite segue uma forma bastante
típica quando adimensionalizado pela velocidade de atrito na parede, numa faixa bastante
ampla de número de Reynolds, com certa semelhança com a forma do perfil de distribuição
do comprimento característico l da FIG. 3.8. Foi adotado o perfil utilizado por
Wilcox (1974) no problema da intersecção onda de choque/camada limite turbulenta (ver
capítulo 4, seção 4.3). A FIG. 3.9 apresenta um exemplo de distribuição. A função é alterada
para cada condição de escoamento externo e velocidade de atrito na parede, e é dada por
156
0 ≤ y+ ≤ 10
k+ = 0,333 y+ ,
(3.101a)
10 < y+ ≤ 1000
k+ = 3,33 ,
(3.101b)
1000 < y+ ≤ 10000
+
k = 3,33 −
(y
+
)(
+
− 1000 3,33 − k min
9000
+
k + = k min
,
y+ > 10000
)
,
(3.101c)
(3.101d)
+
onde y + = y uτ / ν w , k + = k / uτ2 e k min
= k min / uτ2 , onde kmin é o valor da energia cinética
turbulenta fora da camada limite, valor este a ser fixado pelo usuário para cada condição de
escoamento externo.
3.5
3.0
2.5
2.0
k
+
1.5
1.0
0.5
0.0
1
10
100
1000
y
10000
100000
+
FIGURA 3.9 – Exemplo de perfil de energia cinética turbulenta na camada limite
(Wilcox, 1998).
157
A partir dos valores de l e k obtém-se da Eq. (3.99) o valor final da viscosidade
turbulenta local. Ficam, assim, portanto, fixados, aproximadamente, os parâmetros a serem
empregados para estabelecer as condições na fronteira de entrada nas diversas regiões tipo
camada limite.
158
4 VALIDAÇÃO E VERIFICAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL
Este capítulo apresenta alguns dos problemas usados para a validação e verificação do
código desenvolvido, com o objetivo de avaliar seu desempenho quanto à precisão, robustez e
confiabilidade. Validação consiste em se determinar qual a acurácia dos resultados
computacionais quando comparados com resultados experimentais, enquanto uma estratégia
de verificação implica em se determinar a precisão do código quando comparado com
soluções analíticas ou então soluções numéricas extremamente acuradas (de preferência,
com a estimativa da ordem do método) (Oberkampf e Trucano, 2002). Este capítulo é
dedicado à validação e à verificação do programa computacional desenvolvido para cálculo
do problema da injeção.
No decurso do desenvolvimento do código, até o estágio atual, partiu-se de uma
versão laminar, com a qual alguns problemas importantes foram analisados. Entre eles,
o cálculo do problema do bocal convergente-divergente supersônico, para estudo das
condições de contorno na seção de saída. Comparou-se extrapolação de ordem zero com
extrapolação via características (Falcão Filho et al., 2000b). À medida que o código evoluía
(inclusão do modelo de turbulência, implementação do esquema de diagonalização, inclusão
da terceira dimensão e implementação do esquema de cálculo em malhas seqüenciais),
vários testes foram realizados que comprovaram a robustez e a precisão do mesmo.
Os principais problemas abordados com a finalidade de validação e verificação, e que serão
apresentados neste capítulo, estão resumidos na TAB. 4.1, destacando o tipo de problema
(laminar ou turbulento), a geometria considerada (bidimensional ou tridimensional), as
principais referências utilizadas para a comparação e o item no qual é tratado, neste capítulo.
159
TABELA 4.1 – Casos utilizados na validação e na verificação do código.
Caso
Escoamento Espaço
Referências
Item
Beam e Warming (1978)
Interferência de onda de choque sobre
camada limite laminar com M∞ = 2,00
laminar
2D
MacCormack (1981)
4.1
Hakkinen et al. (1959)
Camada limite turbulenta ao longo da
placa plana com M∞ = 2,96
Wilcox (1974)
turbulento
2D
4.2
Saffman e Wilcox (1974)
Wilcox (1974)
camada limite turbulenta com M∞ = 2,96
turbulento
2D
4.3
Reda e Murphy (1972)
Wilcox (1974)
camada limite turbulenta com M∞ = 2,96
turbulento
Mistura de jatos supersônicos
turbulento
3D
4.4
Goebel e Dutton (1991)
2D
4.5
Georgiadis et al. (2003)
Mistura de jatos supersônicos
turbulento
3D
4.6
Mistura de jatos supersônico e
subsônico
turbulento
2D
4.7
Mistura de jatos supersônico e
subsônico
turbulento
3D
4.8
Camada limite turbulenta ao longo da
placa plana com M∞ = 2,96 –
refinamento de malha e ordem do método.
turbulento
2D
Oberkampf e Trucano (2002)
4.9
160
4.1 Interferência de onda de choque sobre camada limite laminar com M∞ = 2,00 –
campo bidimensional
Por se tratar de uma situação física presente em praticamente todos os escoamentos de
vôos a altas velocidades, o problema do choque sobre uma superfície com a presença da
camada limite tem sido discutido por mais de meio século. Entretanto, ainda hoje, vislumbrase muitos trabalhos a serem desenvolvidos para esta classe de problemas, segundo
Dolling (2001), que apontam critérios para o acoplamento da experiência com o
desenvolvimento em dinâmica dos fluidos computacional. Os recursos computacionais em
constante expansão têm servido para analisar, com mais precisão, aspectos específicos do
problema, como: o pico de aquecimento em interações fortes, as cargas de pressão transientes
e os detalhes da região de recirculação. Pelo fato de haver extensa documentação e abranger
aspectos físicos bastante complexos, o problema se torna importante para a validação do
presente trabalho.
A FIG. 4.1 mostra o esquema de uma região típica de interação da onda de choque
incidente sobre uma placa plana, com camada limite laminar, na qual se observam várias
estruturas características, criadas a partir do fato de que as ondas de choque não chegam até à
parede, mas até uma fronteira sônica (Shapiro, 1953). Numa análise simplificada,
as passagens pelos choques (incidente e refletido) causam aumentos da pressão que se
refletem diretamente sobre a camada limite. Sob ação do gradiente adverso, a camada limite
engrossa, alterando sua fronteira, causando no escoamento externo supersônico ondas de
compressão e leque de expansão, de acordo com a nova geometria imposta. Se a intensidade
da onda de choque incidente for suficientemente alta, ocorrerá o descolamento da camada
limite, com uma região de recirculação, como se pode ver na figura. A “linha de corrente” que
161
liga os pontos de descolamento e recolamento é comumente chamada de “linha
de recirculação”.
onda de choque
refletida
ondas de compressão
devido ao descolamento
onda de choque
incidente
leque de
expansão
onda de choque no
bordo de ataque
devido ao recolamento
linha de corrente
de recirculação
ponto de
descolamento
ponto de
recolamento
FIGURA 4.1 – Representação esquemática da interação: onda de choque / camada limite
laminar.
Foi escolhido para comparação, o problema da interferência do choque incidente sobre
uma camada limite laminar, da experiência de Hakkinen et al. (1959), e que foi calculado
numericamente por Beam e Warming (1978) e por MacCormack (1981). O cálculo numérico,
nos dois trabalhos, utilizou uma mesma malha computacional, a qual também foi empregada
aqui, para a discretização do campo do escoamento com número de Mach 2,0, no qual uma
onda de choque incide sobre uma placa plana com ângulo de 32,6o. As condições de contorno
estão apresentadas na FIG. 4.2. Os parâmetros do escoamento livre são obtidos a partir da
pressão de estagnação de 48,13 kPa e da temperatura de estagnação de 293 K
e são u∞ = 511,6 m/s, p∞ = 6,151 kPa, T∞ = 162,8 K – o escoamento é alinhado na direção
longitudinal, portanto, v∞ = 0. Os parâmetros depois do choque estão indicados pelo
subscrito “ch”, e são uch = 494,5 m/s, vch = -26,70 m/s, pch = 7,127 kPa e Tch = 171,0 K.
A onda de choque atinge a placa plana na posição xch = 0,049 m medida a partir do bordo de
162
ataque, resultando no número de Reynolds Rech = 2,96 x 105. A malha de cálculo
contém 32 x 45 pontos (imax = 32, jmax = 45), com espaçamento uniforme em x, com
comprimento total de xmax = 0,095 m. Os espaçamentos em y apresentam refinamento na
região abaixo da linha j = jinterm, dado por
 ∆ ymin 

∆ y j = ∆ ymax 
y
∆
max 

33− j
32
,
∆ y j = ∆ ymax ,
para 1 ≤ j ≤ 33,
(4.1a)
para 33 < j ≤ jmax-1,
(4.1b)
cujos espaçamentos mínimo e máximo são ∆ ymin = 3,05x10-5 m e ∆ ymax = 1,95x10-3 m,
respectivamente, resultando numa altura total de ymax = 0,037 m. As posições na malha do
início do choque e do bordo de ataque da placa plana estão indicados na figura e são,
respectivamente, ich = 2 e ipp = 5.
y
j = jmax
i = ich
condições da onda de choque: ui,jmax = uch , vi,jmax = vch , pi,jmax = pch , Ti,jmax = Tch
32,6o
u1,j = u∞
v1,j = 0
p1,j = p∞
T1,j = T∞
uimax-1,j
vimax-1,j
pimax-1,j
Timax-1,j
uimax,j
vimax,j
pimax,j
Timax,j
j = jinterm
pi,2 Ti,2
pi,2 Ti,2 ui,1
x
j=1
i=1
i = ipp
xch
pi,1 Ti,1
ui,1 = vi,1 = 0
i = imax
FIGURA 4.2 – Condições de contorno para o problema da interferência onda de
choque / camada limite laminar. Destaque para o ângulo de choque e posição
de interferência sobre a placa plana, medida a partir do bordo de ataque.
163
As FIGS. 4.3, 4.4 e 4.5 mostram perfis de velocidade comparados com as soluções de
Beam e Warming (1978) e MacCormack (1981) e com os dados experimentais de
Hakkinen et al. (1959), para três estações longitudinais: antes, sobre e depois da região de
recirculação. Observe-se a boa concordância das três soluções numéricas nas três posições
avaliadas. Entretanto, todas as soluções apresentam uma discrepância considerável em relação
aos valores experimentais em x = 0,037 m e x = 0,055 m. Isso pode ser uma indicação de
dificuldade de medição devido à pequena espessura da camada limite em x = 0,037 m e
instabilidades na região de recirculação em x = 0,055 m. Onde a espessura da camada limite é
maior, x = 0,079 m, a discrepância é menor.
0.001
Experimental, Hakkinen et al. (1959)
MacCormack (1981)
0.0008
y (m)
Presente trabalho
0.0006
0.0004
0.0002
0
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
u (m/s)
FIGURA 4.3 – Perfis de velocidade sobre a placa plana antes do descolamento da camada
limite, i = 13, x = 0,037 m.
164
0.001
MacCormack (1981)
0.0008
y (m)
Presente trabalho
0.0006
0.0004
0.0002
0
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
u (m/s)
FIGURA 4.4 – Perfis de velocidade sobre a placa plana na região descolada da camada
limite, i = 19, x = 0,055 m.
0.001
MacCormack (1981)
0.0008
y (m)
Presente trabalho
0.0006
0.0004
0.0002
0
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
u (m/s)
FIGURA 4.5 – Perfis de velocidade sobre a placa plana depois do recolamento da camada
limite, i = 27, x = 0,079 m.
165
A FIG. 4.6 mostra o campo de pressão estática em todo o domínio de cálculo.
Destaque-se a onda de choque incidente, que foi bem captada, graças ao ajuste da viscosidade
artificial não linear, com a espessura do choque praticamente igual ao espaçamento em x.
Observe-se que no bordo de ataque da placa – em x = 0,012 m – houve o surgimento de uma
onda de choque fraca (devido ao crescimento da camada limite), com conseqüente aumento
da pressão local, em 5,3 %. Observe-se ainda a estrutura da região de interferência do choque
sobre a camada limite laminar com indicação da linha de corrente de recirculação bem
próximo à parede. É possível ver as duas regiões de formação de ondas de compressão
refletidas, a primeira elevando a pressão adimensional de 1,22 para 1,29 seguindo-se o leque
de expansão que reduz um pouco a pressão e a segunda elevando a pressão final até 1,40.
A figura mostra ainda a linha de corrente que define a região de recirculação, esta, neste caso,
sendo bastante delgada. A linha tracejada indica a região da figura que será ampliada para
maiores detalhes na FIG. 4.7.
0.035
1.0
0.03
1.1
87
90
1.1
0.025
87
1.2
23
1.003
0.02
detalhe na
Fig.4.7
0.015
1.2
0.01
3
00
1.
0.005
0
0
0.01
05
1.
3
0.02
0.03
0.04
0.05
23
6
2 8 68 2
1.
8
2
1. 1.2 29
1.3 383
1.
0.06
0.07
40
1.
0.08
4
0.09
FIGURA 4.6 – Campo de pressão estática. Valores adimensionalizados pela pressão na
entrada. Coordenadas em metros.
166
A FIG. 4.7 mostra um detalhe da região de recirculação, mantendo as mesmas
isobáricas com linhas tracejadas, e com os perfis de velocidade. No canto inferior direito, vêse um acúmulo das isobáricas que criam uma região de pressão adversa sobre a camada
limite. Embora muito delgada, a camada limite chega a descolar da parede – veja também
a FIG. 4.8. A figura ainda destaca duas linhas cheias junto à parede. A mais próxima da
parede é a linha de recirculação, como também mostrada na FIG. 4.6. A segunda linha é a
linha sônica (M = 1), a partir da qual as ondas de choque não conseguem avançar para dentro
da camada limite. A partir da linha sônica até a parede, as isobáricas são praticamente normais
à parede. A FIG. 4.7 mostra que ambas as linhas em destaque têm uma distância máxima à
parede, e que ambas as distâncias máximas ocorrem praticamente em x = 0,055 m,
confirmando o esquema da representação física da FIG. 4.1. A região de recirculação é
bastante delgada para o problema, fazendo com que o leque de expansão entre as ondas de
compressão refletidas consiga se propagar até a fronteira de saída (ver FIG. 4.6).
0.01
1.1
1.1
0.008
1.0
0.006
1.0
0.004
87
1.2
43
23
1.2
49
1.2
68
28
1.
63
6
26
1.
8
03
28
1.
2
1.3
02
1.3
29
55
1.3
0.002
38
1.
0
0.045
0.05
0.055
0.06
0.065
3
0.07
FIGURA 4.7 – Detalhe do campo de pressão estática e perfis de velocidade, na região de
recirculação. Valores de pressão adimensionalizados pela pressão na entrada.
Destaque das linhas sônica e de recirculação, esta última mais próxima da
parede. Coordenadas em metros.
167
A FIG. 4.8 aproxima ainda mais a região de recirculação, mostrando as duas estações
nas quais a recirculação foi mais evidente. Observe-se que a discretização empregada em y foi
suficiente para captar com precisão o perfil de velocidades na região de recirculação.
Na figura ainda estão representadas a linha de corrente que define a região de recirculação e a
linha sônica.
1.18
0.0014
0.0012
1.16
1.2
2
7
3
9
0.001
0.0008
0.0006 1.14
3
0.0004
0.0002
0
0.055
0.056
0.057
0.058
FIGURA 4.8 – Detalhe do campo de pressão estática e perfis de velocidade, nas duas
estações de maior recirculação. Valores de pressão adimensionalizados pela
pressão na entrada. Destaque das linhas sônica e de recirculação, esta última
mais próxima da parede. Coordenadas em metros.
A FIG. 4.9 mostra a distribuição da pressão na fronteira inferior do campo de cálculo.
Observe-se o aumento de pressão na posição correspondente ao bordo de ataque da placa,
x = 0,012 m, uma decorrência do choque aí presente. O resultado experimental indica um
aumento de pressão em duas etapas, refletindo a passagem pela primeira onda de compressão
(de descolamento), seguida do leque de expansão e da segunda onda de compressão
(de recolamento). Os resultados numéricos foram obtidos com a mesma malha de
cálculo, 32 x 45, e apresentam distribuições semelhantes. No entanto, o presente trabalho
representou melhor os dados experimentais em relação à subida de pressão em dois
patamares, evidenciando a região de expansão entre as ondas de compressão refletidas.
168
1.5
MacCormack (1981)
1.4
pressão adimensional
Presente trabalho
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
x (m)
FIGURA 4.9 – Distribuição da pressão na fronteira inferior do campo. Valores
adimensionalizados pela pressão do escoamento livre na entrada (a placa
plana começa em x = 0,012 m). Malha 32 x 45 pontos.
4.2 Camada limite turbulenta ao longo da placa plana com M∞ = 2,96 – campo
bidimensional
A simulação numérica envolvendo camadas limite turbulentas com altos números de
Reynolds torna-se, em geral, menos onerosa, se se puder estabelecer um perfil de parâmetros
na fronteira de entrada. Isto decorre do fato de ser inconveniente incorporar à malha de
cálculo um comprimento suficiente para que a camada limite turbulenta se desenvolva a partir
do bordo de ataque da placa (devido ao grande acréscimo do número de pontos da malha daí
resultante). Entretanto, para confrontar estas duas situações foram feitos dois testes,
ambos descritos a seguir.
169
Imposição do perfil turbulento na fronteira de entrada
O primeiro problema consiste em se impor um perfil turbulento de propriedades na
entrada do domínio (FIG. 4.10). No restante do campo estabelecem-se distribuições uniformes
no instante inicial.
Este caso representa um passo inicial para a solução do problema da onda de choque
incidente sobre a camada limite turbulenta, apresentado por Wilcox (1974), que estabelece
condições de contorno na entrada, segundo o perfil proposto por Saffman e Wilcox (1974)
(a ser tratado no item 4.3). A malha adotada e as condições de contorno do problema são
apresentados na FIG. 4.10. A malha tem 41 x 40 pontos, com espaçamento uniforme
em x de 0,002 m. Em y há refinamento próximo à parede sendo que o intervalo mínimo é
de ∆ymin = 2,5 x 10-6 m, com taxa de refinamento até a posição intermediária jinterm de λ = 1,22,
e espaçamento uniforme a partir daí. As condições de contorno impostas na entrada são as do
escoamento livre até a borda da camada limite e, a partir da borda até a parede, a lei
logarítmica da parede, segundo procedimento descrito no item 3.7.3 e o procedimento de
determinação do perfil de viscosidade turbulenta, descrito no item 3.7.4.
y
pi,jmax , Ti,jmax , ui,jmax , vi,jmax
j = jmax
pi,jmax-1 , Ti,jmax-1 , ui,jmax-1 , vi,jmax-1
j = jinterm
u1,j = u∞
v1,j = 0
p1,j = p∞
T1,j = T∞
uimax-1,j
vimax-1,j
pimax-1,j
Timax-1,j
borda da camada limite
j=1
i=1
uimax,j
vimax,j
pimax,j
Timax,j
pi,2 Ti,2
pi,1 Ti,1
ui,1 = vi,1 = 0
i = imax
x
FIGURA 4.10 – Esquema do campo de escoamento adotado, com condições de contorno,
para o problema da camada limite turbulenta.
170
As seguintes condições são estabelecidas para o escoamento livre, como reportadas
por Wilcox (1974): pressão de estagnação de 689,5 kPa, temperatura de estagnação
de 277,8 K, número de Mach 2,96. As informações a respeito da camada limite na fronteira de
entrada foram obtidas a partir dos dados reportados por Saffman e Wilcox (1974), que são:
a espessura da camada limite δ ≅ 0,0042 m e a velocidade de atrito na parede uτ ≅ 27 m/s.
Observe-se que este valor de velocidade de atrito na parede foi obtido por comparação entre
dados dos gráficos nas referências utilizadas. O número de Reynolds baseado na espessura da
camada limite logo antes da região de recirculação para as condições do escoamento livre é
de 2,5 x 105. É importante destacar que nestes artigos não se fornecem informações precisas
diretas sobre a espessura da camada limite nem sobre o perfil de viscosidade turbulenta
na entrada.
O perfil de viscosidade turbulenta foi estimado a partir do perfil de energia cinética
turbulenta reportado por Saffman e Wilcox (1974), utilizando procedimento descrito no
capítulo 3, item 3.7.4. O perfil resultante é mostrado na FIG. 4.11, para o qual o valor mínimo
de µˆ t = 31,5 no escoamento livre corresponde a um nível de flutuação de velocidade
de u′′ / u∞ = 0 ,01 , atribuído pelo presente autor.
A FIG. 4.12 mostra o resultado final deste cálculo, com os perfis normalizados de
velocidade em algumas estações de interesse. Observam-se quatro pontos contidos na região
da subcamada laminar, sendo a distância do primeiro ponto à parede y+ = 1,3 (y+ = y uτ/ν),
satisfazendo o requisito do modelo de turbulência de Spalart e Allmaras. Observa-se, ainda,
a partir da segunda estação, que o cálculo produziu uma acomodação da sub-região de
transição, captando a física embutida na camada limite turbulenta. Em conseqüência, surgiu
uma região de formação de ondas de compressão fracas, a partir da estação i = 2
(x = 0,002 m), elevando a pressão em cerca de 2 % da pressão da entrada.
171
1000
900
800
700
µt
µ l ,∞
600
500
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y
δ
FIGURA 4.11 – Perfil de viscosidade turbulenta na entrada, adimensionalizado pela
viscosidade laminar do escoamento livre na entrada, em função da distância
adimensionalizada pela espessura da camada limite (δ = 0,0042 m).
30
25
20
x=0,000 m
u+
x=0,002 m
15
x=0,010 m
x=0,020 m
10
x=0,040 m
x=0,060 m
5
0
1
10
100
1000
10000
100000
y+
FIGURA 4.12 – Perfis normalizados de velocidade em algumas estações transversais ao
longo da placa plana. ( y + = y uτ / ν w , u + = u / uτ ).
172
A FIG. 4.13 mostra o campo de pressão, no qual se vê a formação dessas ondas de
compressão surgidas pelo ajuste do perfil de entrada à física natural do problema. Observa-se
ainda, na parte inferior da fronteira de saída, uma região de pressão um pouco mais elevada,
devido à condição de extrapolação “um tanto imprópria” para a região subsônica da
camada limite.
0.015
1.003
0.01
0.005
0
1
1 .0
0
0.01
3
.0 0
1.0
08
1. 0
12
1.
0 16
1
1 .0
1 .0 23
9
12
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
4
02
1. 0.08
0.07
FIGURA 4.13 – Campo de pressão estática do problema da camada limite turbulenta sobre a
placa plana (M∞ = 2,96). Valores adimensionalizados pela pressão na
entrada. Coordenadas em metros.
A FIG. 4.14 mostra o campo de viscosidade turbulenta adimensionalizada pela
viscosidade laminar do escoamento livre. Observe-se que há um ajuste, segundo o modelo de
Spalart e Allmaras, levando o perfil de entrada com pico de viscosidade adimensional de 860
(ver FIG. 4.11) a um perfil na saída com pico de 675.
0.02
0.015
31.2
0.01
35.7
0.005
0
144.1
288.2
432.3
576.3
811.4
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
674.6
0.07
0.08
FIGURA 4.14 – Campo de viscosidade turbulenta do problema da camada limite sobre a
placa plana (M∞ = 2,96). Valores adimensionalizados pela viscosidade
dinâmica laminar no escoamento livre na entrada. Coordenadas em metros.
173
Desenvolvimento da camada limite sobre a placa plana
Outro teste foi realizado para se obter o desenvolvimento da camada limite sobre a
placa plana, agora, partindo-se de um perfil uniforme de velocidades na entrada, espessura da
camada limite nula, e valor da viscosidade turbulenta adimensional µˆ t = 31,5 constante.
Para isto, segundo Wilcox (1974), o comprimento necessário para se atingir a espessura
de 0,0042 m foi de 0,305 m. A malha é semelhante à do item anterior, com mesma
discretização em y, mas com 173 estações em x e o mesmo espaçamento adotado
anteriormente, sendo que o bordo de ataque situa-se na estação i = 2, e foi analisada a estação
correspondente à posição i = 153.
A FIG. 4.15 mostra o campo de pressão no início da malha, para compará-lo com o
resultado anterior, quando o perfil foi imposto na fronteira de entrada. Note-se que neste
último caso houve o surgimento de uma região de ondas de compressão fracas por algumas
estações, elevando o nível de pressão em cerca de 2 %. Enquanto isto, no exemplo presente
surgiu uma onda de compressão mais forte, devido ao crescimento da camada limite a partir
de i = 2, causando um aumento da pressão local de 5,6 %.
0.015
1.003
0.01
0.005
0
1.
1 .0
0
0.01
00
3
1.0
22
56
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
FIGURA 4.15 – Campo de pressão estática no início do desenvolvimento da camada limite
turbulenta (M∞ = 2,96). Valores adimensionalizados pela pressão na entrada.
Coordenadas em metros.
174
Observe-se, na FIG. 4.16, a seqüência de perfis em desenvolvimento. A origem do
eixo x corresponde ao bordo de ataque da placa, sendo a posição de entrada equivalente
a x = -0,002 m. A espessura da camada limite na estação i = 153, que corresponde à
posição x = 0,305 m, foi de y = δ = 0,0041 m (destaque na figura), valor 2 % inferior ao
reportado por Wilcox (1974). O código, portanto, reproduziu bem a condição de
desenvolvimento da camada limite a partir de um perfil uniforme na fronteira de entrada.
1
0.8
0.6
x= - 0,002 m
u / u∞
x = 0,00 m
0.4
x = 0,01 m
x = 0,10 m
x = 0,20 m
0.2
x = 0,305 m (*)
x = 0,33 m
0
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
y/δ
FIGURA 4.16 – Perfis em desenvolvimento ao longo da placa plana. (*) x = 0,305 m é a
posição correspondente ao problema do choque sobre a camada limite
(Wilcox, 1974). Os parâmetros de adimensionalização do gráfico
são u∞ = 596 m/s e δ = 0,0041 m.
campo bidimensional
Para o mesmo escoamento do item anterior, foram impostas as condições de um
choque oblíquo incidente, segundo o trabalho de Wilcox (1974). O choque deve incidir
a 0,305 m a partir do bordo de ataque de uma placa plana e Wilcox criou uma região no
175
entorno da recirculação para a análise do problema, reduzindo assim o domínio de cálculo,
segundo mostra a FIG. 4.17. As condições do escoamento livre foram impostas ao longo
de bc, as condições de fronteira sólida foram impostas ao longo de ag e ao longo de gf foi
suprimida a presença da placa para garantir escoamento totalmente supersônico na saída.
Na fronteira de saída, fe, foram implementadas extrapolações das condições de contorno pelo
método das características para o escoamento não viscoso. Ao longo de cd foram impostas as
condições do escoamento livre e ao longo de de as condições relativas ao escoamento depois
da passagem pela onda de choque oblíqua. A camada limite na região ab foi imposta segundo
análise desenvolvida por Saffman e Wilcox (1974) de tal forma que a sua espessura logo antes
da região de recirculação fosse da ordem de 0,0042 m. O ângulo de desvio do escoamento
devido ao choque incidente é de 12,75o e o número de Reynolds é 2,5 x 105, relativo à
espessura da camada limite de 0,0042 m (Re=ρ∞ u∞ δ /ν∞, onde o símbolo δ indica a espessura
da camada limite em uma seção imediatamente anterior ao descolamento). A malha foi criada
de forma que os choques refletidos pudessem passar pela fronteira de saída e não pela
fronteira superior, onde a condição de choque é imposta.
e
c
d
onda de choque
incidente
de separação
ondas de
compressão
de recolamento
6δ
b
2δ
a
bolha de separação
g
f
20 δ
FIGURA 4.17 – Desenho esquemático do domínio utilizado por Wilcox (1974) em função da
espessura da camada limite δ para a análise do problema da interferência da
onda de choque sobre a camada limite turbulenta.
176
Como a elaboração desta malha é bastante complicada, uma outra mais simples foi
utilizada no presente trabalho, mantendo as principais idéias já expostas, cujo esquema pode
ser visto na FIG. 4.18. A malha foi obtida a partir daquela adotada no item anterior,
com 40 x 41 pontos, modificada a partir da estação i = ia = 15, de tal sorte que a fronteira
superior sofreu um afastamento crescente longitudinalmente, em semelhança à malha
utilizada por Wilcox. Em cada estação, os nós internos foram escalonados em termos da nova
altura local, cuja dimensão final no ponto e foi de 7,6 δ.
As condições de contorno na fronteira de saída fe foram extrapoladas por meio da
equação convectiva, segundo estabelecido no capítulo 3, item 3.7.2. As condições de contorno
na fronteira inferior, sobre a placa, foram as mesmas para todos os pontos – condição de não
escorregamento até a saída, ponto f. Na malha proposta por Wilcox, uma parte da fronteira
inferior – segmento gf na FIG. 4.17 – foi submetida a uma condição de escorregamento, i. e.,
admitindo-se que a placa termina no ponto g. A idéia lá era garantir que ao chegar à fronteira
de saída, segmento fe da FIG. 4.17, o escoamento fosse todo supersônico, o que facilitaria a
imposição da condição de contorno. Entretanto, Falcão Filho et al. (2000b) trabalhando com
bocais convergente-divergentes, mostraram que, a existência de uma camada limite numa
saída supersônica não impede a utilização de condição de contorno parabólica até a parede.
Ao contrário, esta condição é a que oferece as melhores condições de estabilidade ao código.
É como se a “força” do escoamento supersônico impusesse à camada limite o sentido correto
do tráfego de informações. Assim, esta mesma estratégia foi utilizada neste problema, e os
resultados foram excelentes. As demais condições de contorno nas fronteiras foram
implementadas utilizando-se das mesmas estratégias de Wilcox. Particularmente, a camada
limite, região ab, foi imposta segundo descrito no item 4.2, a partir das informações contidas
nos artigos de Wilcox (1974) e Saffman e Wilcox (1974), segundo procedimento descrito no
177
capítulo 3, itens 3.7.3 e 3.7.4, de forma a garantir que a altura da camada limite sobre a placa
logo antes da região de recirculação fosse de 0,0042 m.
e
c
i = ia
d
onda de choque
incidente
de separação
7,6 δ
de recolamento
5δ
b
a
bolha de separação
f
19 δ
FIGURA 4.18 – Esquema da malha utilizada no presente trabalho para o problema da
interferência da onda de choque sobre a camada limite turbulenta (δ é a
espessura da camada limite logo antes da região de recirculação).
A FIG. 4.19 mostra o campo de pressão com a indicação da região de recirculação.
É possível ver-se as estruturas das duas ondas de compressão refletidas devidas ao
descolamento e ao recolamento na região de separação, e a fusão das mesmas que se prolonga
pela fronteira de saída, confirmando a tendência geral nesses casos, segundo apresentado
na FIG. 4.1. Observe-se o acúmulo de isobáricas sobre a parede à direita da região de
recirculação, elevando muito a pressão, cerca do dobro, numa região relativamente pequena,
sendo este fato o maior responsável pelo descolamento da camada limite. É possível ver-se
também a tendência das isobáricas de seguirem uma trajetória normal à parede ao adentrar
regiões de menor velocidade na camada limite. O comprimento obtido para a região de
recirculação, 3,66 δ, foi aproximadamente 3 % e 6 % inferior aos valores experimental de
178
Reda e Murphy (1972) e calculado numericamente por Wilcox (1974), respectivamente.
Um resultado satisfatório, uma vez que tais autores não informam com precisão a altura da
camada limite e os níveis de turbulência na entrada do domínio (ver item 4.2).
0.030
0.025
2. 5
0.020
2.
1 . 24
7
1. 64 5
28
3
0.015
93
3. 2
2.245
4.
09
07
3 .6
87
6
1.001
0.010
4 .6
2.593
4.
96
1
1
4.96
0.005
18
0.000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.0
3,66 δ
FIGURA 4.19 – Campo de pressão estática para o problema do choque sobre a camada limite
turbulenta. Valores adimensionalizados pela pressão na entrada.
A FIG. 4.20 mostra um detalhe da região de recirculação com os perfis de velocidade,
destacando com uma linha cheia o limite desta região e com uma linha tracejada a localização
dos pontos nos quais a velocidade do escoamento é nula. Observe-se a boa discretização
próxima à parede – mais de 20 pontos da malha para representar a região de fluxo reverso
(direção negativa do vetor velocidade). Entretanto, há apenas três vetores para representar a
corrente na direção positiva, dentro da região de recirculação. Para se obter uma melhor
precisão na avaliação das dimensões desta região é necessária uma melhor discretização
acima da linha de velocidade nula.
179
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0.000
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
0.036
0.038
0.04
FIGURA 4.20 – Detalhe da região de recirculação com os vetores de velocidade. Linha cheia,
limite da região de recirculação. Linha tracejada, posições de velocidade
nula. Coordenadas em metros.
A FIG. 4.21 mostra o campo de viscosidade turbulenta. Percebe-se que a região de
interferência entre a onda de choque com a camada limite turbulenta propiciou um grande
aumento nos níveis de turbulência. Fisicamente é o que se deve esperar, pois a região de
recirculação contribui bastante para o aumento da atividade turbulenta. Os valores de pico da
viscosidade observados antes e depois desta região foram, respectivamente, 675 e 2674
(um aumento de aproximadamente quatro vezes).
0.030
0.025
0.020
57
0.015
29
79
0.010
0.005
344
675
0.000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
1375 2063
0.05
2674
0.06
0.07
0.08
FIGURA 4.21 – Campo de viscosidade turbulenta para o problema da interferência da onda
de choque sobre a camada limite turbulenta, com a região de recirculação
destacada. Valores adimensionalizados pela viscosidade laminar no
escoamento livre de entrada. Coordenadas em metros.
180
A FIG. 4.22 apresenta comparações dos cálculos da pressão ao longo da placa plana
com os dados experimentais de Reda e Murphy (1972, 1973) e o cálculo numérico
de Wilcox (1974). Nesta figura xch é a distância entre o bordo de ataque da placa e o ponto
onde o choque tocaria a parede caso não houvesse camada limite (ver FIG. 4.2), e δ é a altura
da camada logo antes da região de recirculação. Reda e Murphy realizaram duas experiências
com número de Mach 2,90 e ângulo de deflexão de 13o cujos dados foram utilizados por
Wilcox para comparação e que estão representadas no gráfico. Na primeira experiência
(Reda e Murphy, 1972), houve efeitos tridimensionais bastante complexos causados pela
camada limite nas paredes laterais num canal retangular. Na segunda (Reda e Murphy, 1973),
foi montado um dispositivo que ajudou a diminuir a influência das paredes laterais e,
portanto, os efeitos tridimensionais. Com isso houve uma redução do comprimento da região
de recirculação, de 3,77 δ para 2,81 δ. Wilcox (1974) calcula o problema com número de
Mach 2,96 e ângulo de deflexão de 12,75o para duas condições de números de Reynolds:
(1) Re = 2,5 x 105, (2) Re = 1,0 x 106, de modo a provocar a variação do tamanho da região de
recirculação para fins de comparação com os dados experimentais. O presente trabalho
procura reproduzir a condição relatada por Wilcox para o caso (1).
O resultado obtido consegue simular bem os principais aspectos físicos do problema.
A pressão começa a subir um pouco antes de xch devido às influências do choque incidente.
A subida de pressão continua ainda devido ao choque, mas também em função de ondas de
compressão que se formam sobre a superfície da bolha (a parte da bolha que vê o escoamento
à frente). A partir praticamente do topo da bolha e em função de sua forma geométrica
aparece uma região de expansão, logo seguida de compressão visto que a parede deflete o
escoamento no sentido oposto (é o choque que nasce no ponto de recolamento). O balanço
entre expansão e compressão (na região onde se tem expansão) tende a “patamarizar” a
distribuição de pressão – em torno do ponto (x – xch) = 1,5 δ. A presente solução “captura” um
181
patamar um pouco mais longo quando comparado com a experiência (Reda e Murphy, 1973).
No geral, entretanto, a solução é boa quando comparada com os outros dados.
6
5,10
5
4
pw
p∞
3
Wilcox (1974) - (1)
Wilcox (1974) - (2)
2
Reda e Murphy (1972) - (1)
Reda e Murphy (1973) - (2)
1
Presente trabalho
Limite da reflexão não viscosa
0
-4
-2
0
2
4
6
8
10
(x − xch )
δ
FIGURA 4.22 – Distribuição da pressão ao longo da parede da placa plana.
campo tridimensional
O problema anterior (item 4.3) foi repetido numa geometria tridimensional para
comprovar a estrutura do código nesse tipo de geometria. A malha utilizada em x e y foi a
mesma, e introduziu-se 21 estações na terceira direção, ou seja, uma malha com 40 x 41 x 21
pontos, com espaçamento igual de 0,001 m em z. As condições de contorno nas direções x e y
foram as já descritas no item anterior. Na direção z as condições estabelecidas foram de
planos de simetria, como uma aproximação na representação física de um alongamento
infinito, nos dois sentidos.
182
O comprimento da bolha resultante do cálculo foi 3,54 δ. A diferença para o valor
bidimensional de Wilcox (1974) foi de 9 %, enquanto em relação ao valor experimental de
Reda e Murphy (1972) essa diferença foi 6 %. Como se observa portanto a comparação no geral
é boa. A solução final nos planos verticais (xy), à semelhança da FIG. 4.19, preserva
praticamente o mesmo aspecto – ver FIG. 4.23.
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01 1.000
2.
1
1. 8 7
65
1
1.
11
4
2.
45
6
4.602
0.005
4.0
66
2.992
4.871
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.0
3,54 δ
FIGURA 4.23 – Campo de pressão estática para o problema do choque sobre a camada limite
turbulenta. Valores adimensionalizados pela pressão na entrada.
Coordenadas em metros. Plano xy tal que k = 11.
A FIG. 4.24 mostra valores de pressão estática juntamente com os vetores velocidade,
num corte horizontal em y = 0,016 δ (1,6 % da altura da camada limite logo antes da
recirculação), em toda a extensão da malha de cálculo, para verificação da uniformidade da
solução ao longo da envergadura. Observem-se as linhas de pressão estática, praticamente
verticais na figura, indicando valores iguais para as 21 estações em z. Observe-se também a
região de recirculação, com os vetores de velocidade reversa. Depois da passagem do choque
há um engrossamento da camada limite, ocorrendo uma diminuição da velocidade para esta
altura do plano horizontal. Antes da região de recirculação a velocidade é de u/u∞ = 0,53
183
(número de Mach 1,1) enquanto que após a região de recirculação é de u/u∞ = 0,32 (número
de Mach 0,63).
4.783
4.996
4.446
3.754
4.208
2.388
1.679
1.000
0.04
0.05
0.06
0.03
0.02
0.01
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.07
0.08
FIGURA 4.24 – Campo de velocidade no plano horizontal em y = 0,016 δ. Linhas verticais de
pressão estática. Valores adimensionalizados pela pressão no escoamento
livre da entrada. Coordenadas em metros.
Para se investigar possíveis causas da pequena discrepância entre os resultados nos
campos bidimensional e tridimensional, foram calculados os valores dos componentes da
vorticidade e das tensões cruzadas: Ωx, Ωy, Ωz, τxy, τxz e τyz. Convém destacar que, na
simulação bidimensional apenas os componentes Ωz e τxy estão presentes, sendo os demais
relacionados exclusivamente ao cálculo tridimensional. A FIG. 4.25 mostra esses campos para
o plano central (plano xy) da malha de cálculo (k = 11), destacando-se esquematicamente a
região de recirculação. Os componentes de vorticidade Ωx e Ωy são muito pequenos em todo o
campo, enquanto que o componente de vorticidade Ωz é relativamente alto. Isto comprova que
os aspectos bidimensionais do escoamento são “recuperados” com boa precisão no cálculo
tridimensional, enquanto que as contribuições advindas exclusivamente da simulação
tridimensional (Ωx e Ωy) são praticamente desprezíveis. De forma semelhante, os campos de
tensões cruzadas apontam para o mesmo comportamento. Observa-se que apenas o
componente de tensões cruzadas τxy, que também está presente no cálculo bidimensional,
184
apresenta valores significativos, enquanto os outros componentes de tensões cruzadas que
aparecem no cálculo tridimensional são também praticamente desprezíveis. É interessante
lembrar que os valores em pauta são todos valores médios, visto que o código trabalha com as
equações de Navier-Stokes com médias de Reynolds. Os resultados indicam que eventuais
estruturas turbulentas que possivelmente se desenvolvam nas direções x e y têm todas médias
muito pequenas, o que, de um certo modo, atesta a “bidimensionalidade média” da situação
física em pauta.
2.
3x
10 -
04
28
- 02
2.9x
10
2745
1319
τxy
Ωx
-02
1 0 -0
2
9x
- 6.
10
7.
4x
-2.8x10-05
-0 4
6.4
τxz
Ωy
-3.5x10+02
7.3x10
x10 -5.3x10-04
7.7x10-06
+01
+04
1.5x10
+05
4.9x10-04
2. 1 x 1 0
Ωz
-5.5x10-04
τyz
FIGURA 4.25 – Campos de vorticidade e tensões cruzadas no plano vertical central da malha,
onde se indica a região de recirculação. Valores de vorticidade e tensão em
1/s e N/m2, respectivamente.
A FIG. 4.26 apresenta os mesmos campos de propriedades para o plano vertical k = 6
(exatamente no meio entre o plano central e o plano da fronteira simétrica) com o propósito
185
de verificar se há efeitos de assimetria importantes no campo. Pode-se observar que os
campos de maior representatividade, presentes tanto no cálculo bidimensional quanto no
tridimensional (Ωz e τxy), não apresentam variação perceptível. Entretanto, há um pequeno
aumento nos valores dos componentes exclusivos da representação tridimensional nas
proximidades da região de recirculação. Observa-se isto mais nos campos de tensões
cruzadas τxz e τyz, cujos valores sofreram um aumento de cerca de cem vezes em relação aos
valores observados no plano central, indicando que a representação das fronteiras laterais
simétricas pode não ser a melhor opção de condição de contorno (em confronto, por exemplo,
com eventuais condições periódicas). Mesmo assim, esses valores ainda são cinco ordens de
grandeza inferiores aos valores das tensões cruzadas mais representativas, τxy.
-2
.6
x1
26
-0
0
4
-5.8x10+00
-2.8x10-01
2671
1282
τxy
- 1.
4 x1
0 -0 2
Ωx
7.9x10-04
-2.6x10+00
-4.6x10-02
-1.1x10+00
-2.3x10-02
τxz
Ωy
-5.5x10+02
-4.2x10-03
1.1x10+02
-02
1.6x10 +05
Ωz
8.4x10 +04
1.4-x61.07
x10 -02
τyz
FIGURA 4.26 – Campos de vorticidade e tensões cruzadas no plano vertical k = 6, onde se
indica a região de recirculação. Valores de vorticidade e tensão em 1/s e
N/m2, respectivamente.
186
A FIG. 4.27 compara os resultados encontrados para os campos de tensões
cruzadas τxy na simulação bidimensional e no plano central da simulação tridimensional – este
é o componente comum nas duas simulações. Observe-se que os campos apresentam uma
grande semelhança.
36
28
2936
1257
τxy – campo bidimensional
2745
1319
τxy – campo tridimensional
FIGURA 4.27 – Campos de tensões cruzadas na simulação bidimensional e no plano vertical
recirculação. Valores de tensão em N/m2.
A FIG. 4.28 realiza o mesmo tipo de comparação, agora com os campos de
vorticidade Ωz (componente comum). Também aqui verifica-se uma grande semelhança entre
as soluções. Essas comparações realizadas, de τxy e de Ωz, atestam com boa segurança a
“bidimensionalidade média” da situação física.
- 1. 2x
-3.5x10+02
10 +02
7.3x10+01
6.7x10
+04
+03
2.3x10+05
Ωz – campo bidimensional
1.5x10
+05
2. 1 x 1 0
Ωz – campo tridimensional
FIGURA 4.28 – Campos de vorticidade na simulação bidimensional e no plano vertical
recirculação. Valores de vorticidade em 1/s.
187
4.5 Mistura de jatos supersônicos – campo bidimensional
Este novo teste representa uma nova classe de problemas, com suas particularidades.
O problema escolhido nesta categoria para o estudo de validação foi o caso 2 dos resultados
experimentais de Goebel e Dutton (1991), o qual foi também calculado numericamente pelo
emprego de simulação híbrida (RANS e LES) por Georgiadis et al. (2003) – maiores detalhes
sobre estes trabalhos de referência podem ser encontrados no capítulo 1, nos itens 1.3 e 1.4 e
no capítulo 2, na TAB. 2.4.
O problema originalmente tratado por Goebel e Dutton analisa a mistura
bidimensional de dois escoamentos supersônicos confinados, com números de Mach 1,91
e 1,36. O túnel de vento utilizado estava equipado com medidores de pressão, dispositivo de
visualização tipo schlieren e sistema de velocimetria a laser (LDV - “Laser Doppler
Velocimeter”) (ver FIG. 1.1). Os dois escoamentos formam uma camada de mistura a partir
de um ângulo de convergência de 2,5o e são conduzidos por uma placa de separação de
0,5 mm de espessura no bordo de saída. Cada canal tem 24 mm de altura e 96 mm de largura –
ver FIG. 4.29. Na experiência, as paredes da seção de mistura foram ligeiramente ajustadas
para controle do gradiente de pressão na direção longitudinal. Deve-se ressaltar que o aparato
experimental foi montado de tal forma a se obter um processo de mistura dos jatos
bidimensional.
188
500 mm
96 mm
M1 = 1,91
48 mm
y
0,5 mm
M2 = 1,36
x
z
o
α = 2,5
REGIÃO A SER SIMULADA NUMERICAMENTE
FIGURA 4.29 – Esquema da câmara de mistura da experiência de Goebel e Dutton (1991).
A TAB. 4.2 traz as informações mais relevantes da experiência realizada. Os
subscritos “1” e “2” indicam condições do escoamento não perturbado de cada jato e as
seguintes definições são empregadas:
∆ U = U1 − U 2 ,
ρ1 + ρ 2
ρ=
µl =
2
a=
(4.2b)
,
µl ,1 + µl ,2
2
(4.2a)
,
(4.2c)
a1 + a2
,
2
(4.2d)
∆U
.
a
(4.2e)
Mr =
189
TABELA 4.2 – Parâmetros do caso 2 da experiência de Goebel e Dutton (1991).
Grandeza
Símbolo Escoamento 1 Escoamento 2
Número de Mach
M∞
1,91
1,36
Temperatura de estagnação (K)
To
578
295
Velocidade do som (m/s)
a
366
294
Velocidade (m/s)
U
700
399
p
49
49
Densidade (kg/m )
ρ
0,511
0,793
Espessura da camada limite (m)
δ
0,0029
0,0025
Viscosidade dinâmica (N.s/m )
µ
1,96x10
1,38x10
Ângulo de giro do escoamento (graus)
α
0,0
2,5
(U 2 / U1 )
Razão de densidades (ρ 2 / ρ1 )
r
0,57
s
1,55
ρ
0,652
Viscosidade dinâmica média (N.s/m )
µ
1,67x10
Velocidade do som média (m/s)
a
330
Número de Mach relativo
Mr
0,912
λ
0,27
λs
0,28
Pressão estática (kPa)
3
2
Razão de velocidades
3
Densidade média (kg/m )
2
Parâmetro de velocidade:
(1 − r ) / (1 + r )
-5
-5
-5
Parâmetro de velocidade-densidade:
(1 − r ) 1 + s 12  / 21 + r s 12 

  



  

Região de crescimento da camada de mistura (m)
0,100 a 0,450
Taxa de crescimento da camada de mistura (db/dx)
Número de Reynolds Médio:
ρ ∆U / µ
(por metro)
0,038
Re
6
11,8x10
Para análise numérica do problema foi utilizada uma malha com 81 x 105 pontos nas
direções longitudinal (x) e vertical (y), respectivamente, com espaçamento uniforme na
direção longitudinal de 0,0053 m até i = 60, seguido de um alongamento com taxa de 5 % até
a distância final de x = 0,50 m. Na direção y a malha teve um tratamento com refinamentos
próximos às paredes superior e inferior com taxa de 41 % e espaçamento mínimo de 2 x 10-6 m
190
e, próximo à região de mistura, um refinamento com taxa de 41 % e espaçamento mínimo
de 1 x 10-5 m. A FIG. 4.30 mostra as primeiras estações da malha. Observe-se que a malha na
direção y não mantém o mesmo refinamento no centro, mas sofre um espalhamento
transversal, à medida que avança longitudinalmente. Isto teve como propósito diminuir a
concentração de pontos, a qual foi necessária no início do canal para uma melhor resolução da
camada de mistura (região de entrada). Entretanto, a partir de um certo ponto tal concentração
pode ser bastante “aliviada”, o que contribui para diminuir o problema de rigidez (“stiffness”)
e, em conseqüência, permite um aumento do número de CFL. O espalhamento lateral da
malha propicia uma distribuição mais adequada de pontos, seguindo a tendência de “abertura”
da camada de mistura, resultando numa melhor resolução espacial para o problema.
Além disso, a malha contém um ângulo de divergência das paredes superior e inferior.
Como relatado na experiência, para permitir uma melhor equalização de pressões na direção
longitudinal, as paredes sofreram inclinação. Isto porquê, o aumento das espessuras das
camadas limite ao longo das paredes do canal causam uma diminuição de área e
conseqüentemente introduzem um gradiente longitudinal de pressão no escoamento
supersônico. Este ajuste foi feito por tentativas no presente trabalho, uma vez que Goebel e
Dutton não relatam o valor do ângulo de divergência empregado na experiência – o ângulo de
divergência das paredes encontrado foi de 0,20 graus.
As condições de contorno para o problema são as seguintes. Entradas supersônicas:
condições fixadas. Paredes superior e inferior: condição de não-escorregamento. Seção de
saída: extrapolação via equação de convecção simplificada. Todas estas condições foram
discutidas em detalhe no capítulo 3, seção 3.7.2.
É importante perceber que a abertura central da distribuição de nós bem como o
ângulo das paredes destrói a estrutura cartesiana da malha. Entretanto, isso não representa
191
nenhum problema considerando que o código está estruturado em coordenadas curvilíneas
generalizadas.
0.050
0.040
0.030
0.020
0.010
0.000
0
0.05
0.1
0.15
FIGURA 4.30 – Detalhe da parte inicial da malha utilizada.
A FIG. 4.31 mostra o resultado final em termos das variações de pressão no campo.
Observam-se ondas de choque e expansão alternadas e refletindo nas paredes superior e
inferior. É notório também o enfraquecimento dos choques e expansões, à medida que o
processo de mistura se desenvolve. Há um efeito global de perdas nas interferências dos
choques e expansões nas camadas limite nas paredes e na camada de mistura, no centro do
canal, levando a uma acomodação do escoamento.
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
FIGURA 4.31 – Campo de pressão estática (vermelho – pressão mais alta, azul – pressão
mais baixa). Coordenadas em metros.
192
A FIG. 4.32 mostra os perfis de velocidade obtidos no cálculo para as primeiras
estações. Observe-se o giro imposto ao escoamento inferior (M2 = 1,36) na fronteira de
entrada. A placa de separação entre os escoamentos foi simulada de forma simplificada por
três posições de cálculo. Observa-se que a camada de mistura já começa a se configurar a
partir do segundo ponto de cálculo longitudinal.
0.050
0.040
0.030
0.020
0.010
0.000
0
0.025
0.05
0.075
FIGURA 4.32 – Perfis de velocidade nas primeiras estações.
A FIG. 4.33 mostra o campo de pressão para essas mesmas estações. O giro imposto
ao escoamento inferior na entrada, cria uma região de forte expansão sobre a parede inferior e
uma onda de choque a partir do contato com o escoamento superior. Esta onda de choque se
reflete na parede superior retornando ao escoamento inferior e prosseguindo, como se pode
ver nas FIGS. 4.31 e 4.34, “ziguezagueando” por meio de reflexões nas paredes, até a
fronteira de saída. Há uma alternância de regiões de choque e de expansão ao longo do
193
escoamento. Observe-se, ainda, na FIG. 4.33, pequenas oscilações de pressão nas isobáricas
nas primeiras estações, na região central (região de camada de mistura). O mais provável é
que essas oscilações sejam devidas à falta de resolução de malha na direção longitudinal na
pequena região da base da placa de separação dos escoamentos. Como a espessura da placa é
realmente muito pequena, não “compensa” refinar a malha longitudinalmente aí,
considerando que essa ação oneraria sobremaneira a malha como um todo.
0.050
0. 9 24
1.074
1.002
2
00
1.
0.994
0.
98
7
0. 9
74
0.9
62
2
1.049
1.
01
0.040
0. 9
01
2
1.
00 0
2 .9 9
4
0. 987
0.010
9
1.
12
0
0.025
7
1.049
0.
0.
0.000
1. 0 3
7
4
97
0
8
.9
99
0
0 . .9
0. 9 8 9 4
97 7
4
0.
0.
0.020
4
96
2
0.
96
2
0.030
1.
4
02
1.0
37
1.
49
4
49
02 7
1. .03 1.0
1
0
0. 99
02
0.05
62
1.0
4
0.075
0.1
FIGURA 4.33 – Isobáricas nas primeiras estações. Valores adimensionalizados pela pressão
na entrada do escoamento superior. Coordenadas em metros.
1.
0.040
00
7
0.060
1.
1.067
7
02
0.020
0.000 0
0. 92 7
1.047
0
1.
1.
0.907
1.007
0.05
06
7
0.1
0.967
1.047
0 .9
27
0.
9
47
0.15
47
1.0
0.2
0. 9 6
0.25
7
1.
0.3
02
67
7
1. 02 7
0 .9
0.35
0. 96 7
1.0
67
0.4
07
0.45
0.5
FIGURA 4.34 – Isobáricas em todo o campo. Valores adimensionalizados pela pressão na
entrada do escoamento superior. Coordenadas em metros.
194
A FIG. 4.35 apresenta o campo de viscosidade turbulenta, onde se destaca a ação da
camada de mistura, como a grande responsável pelo aumento da turbulência. Além disto,
à medida que as camadas limite nas paredes crescem, ocorre um aumento da atividade
turbulenta junto às paredes. As regiões dominadas pelos núcleos potenciais, nos dois
escoamentos, apresentam uma viscosidade turbulenta baixa, dando lugar a níveis mais altos,
à medida que a mistura se processa.
0.05
0.025
00
524
99
396
99
890
1286
1978
2472
2967
494
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
FIGURA 4.35 – Campo de viscosidade turbulenta. Valores adimensionalizados pela
viscosidade laminar na entrada do escoamento superior. Coordenadas em
metros.
A FIG. 4.36 ilustra a variação do nível de turbulência global no campo, apresentando
as distribuições da viscosidade turbulenta na entrada e o resultado final obtido pelo cálculo
numérico na saída, adimensionalizadas pelo valor da viscosidade laminar no núcleo potencial
do escoamento superior. Os perfis de viscosidade turbulenta na entrada foram obtidos a partir
dos dados da experiência de Goebel e Dutton para os parâmetros básicos dos núcleos
potenciais dos escoamentos e para as espessuras das camadas limite (ver TAB. 4.2),
segundo procedimento descrito no capítulo 3, itens 3.7.3 e 3.7.4. Observa-se o notável
aumento do nível de turbulência na região de mistura entre os jatos, em relação ao aumento
nas regiões das camadas limite sobre as paredes. Além disso, pelo fato de que o centro da
camada de mistura se desloca em direção ao escoamento de menor velocidade, houve uma
195
maior difusão da turbulência na metade inferior do campo, com o menor valor de turbulência
da ordem de 277, enquanto que o menor valor na metade superior foi de apenas 90.
0.5
fronteira de saída
fronteira de entrada
0.4
0.3
0.2
0.1
y
H
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
1
10
100
1000
10000
µ t µ ref
FIGURA 4.36 – Variação transversal da viscosidade turbulenta. H – altura do canal na saída.
Jato inferior, M = 1,36, jato superior, M = 1,91. µ ref é a viscosidade laminar
nas condições de entrada do escoamento superior.
Um dos parâmetros mais representativos da camada de mistura é sua espessura “b”,
a qual é definida como sendo a distância entre as posições transversais do escoamento nas
quais as velocidades são (U1 – 0,1 ∆ U) e (U2 + 0,1 ∆ U), onde U1 e U2 são as velocidades nos
núcleos potenciais dos escoamentos de maior e menor velocidade, respectivamente,
e ∆ U = U1 – U2. A partir da fronteira de entrada, inicialmente há uma região de transição,
a partir da qual começa uma outra designada “de crescimento”, quando então os perfis de
velocidade podem ser expressos de forma similar (ver definição no capítulo 2, item 2.7.2).
Isto ocorre até que a camada de mistura comece a sentir a presença das paredes, com uma
conseqüente distorção dos perfis de velocidade. Na região similar faz sentido a determinação
196
da taxa de crescimento, em geral aproximadamente constante, dada pela derivada db/dx.
A FIG. 4.37 mostra como a espessura da camada de mistura aumentou na região de
crescimento, para o caso analisado. A marcação da região de crescimento, entre x = 0,10 m
e x = 0,45 m, foi feita utilizando-se valores experimentais devidos a Goebel e Dutton (1991).
O valor encontrado para db/dx foi de 0,039, cerca de 2 % superior ao determinado
experimentalmente, 0,038 (ver TAB. 4.2). Como se verifica, portanto, a simulação numérica
apresenta um resultado muito bom neste caso.
0.025
b (m)
0.02
0.015
db/dx = 0.039
0.01
0.005
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
x (m)
FIGURA 4.37 – Variação da espessura da camada de mistura e valor de db/dx na região de
crescimento.
As FIGS. 4.38 a 4.40 mostram os perfis de velocidade, calculados em três posições
longitudinais do canal, em 0,05 m, em 0,10 m e em 0,15 m, comparados com os dados da
experiência
de
e
com
os
resultados
numéricos
de
Georgiadis et al. (2003). Quando em comparação com os valores medidos percebe-se que a
simulação atual superou em acurácia o trabalho de Georgiadis et al. em todos os casos
197
mostrados. A técnica RANS/LES subestima e superestima os perfis, sistematicamente, nas
extremidades esquerda e direita, respectivamente. A FIG. 4.38 mostra o perfil de velocidade
parametrizado em x = 0,050 m. Nota-se na extremidade esquerda do perfil, aproximadamente
em y/H = -0,05, um déficit de velocidade em relação ao jato de menor velocidade – uma
pequena região onde U é menor do que U2. É quase certo que tal déficit ainda seja resultado
do efeito de esteira da placa divisória entre os jatos. Pode-se perceber isso ao se analisar com
cuidado a FIG. 4.32. O código desenvolvido no presente trabalho captura bem este efeito,
além de simular também com boa precisão a extremidade direita do perfil. O mesmo pode-se
dizer em relação ao caso da FIG. 4.39 para x = 0,10 m. Quanto à posição x = 0,15 m,
FIG. 4.40, aparentemente houve uma deficiência na simulação da extremidade esquerda. No
entanto, é estranho que os valores experimentais indiquem déficit nesta posição quando isto já
ocorreu de forma fraca em x = 0,10 m, e ainda mais levando em conta que já houve um
comprimento aparentemente suficiente para a recuperação da esteira da placa.
0.3
0.2
y/H
0.1
0
-0.1
Presente trabalho
-0.2
-0.3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
(U -U 2)/(U 1-U 2)
FIGURA 4.38 – Perfis normalizados de velocidade em x = 0,050 m.
1
198
0.3
0.2
y/H
0.1
0
-0.1
Presente trabalho
-0.2
-0.3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(U -U 2)/(U 1-U 2)
0.3
0.2
y/H
0.1
0
-0.1
Presente trabalho
-0.2
-0.3
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
(U -U 2)/(U 1-U 2)
1
199
Uma colocação sobre a discretização da região de separação dos jatos, junto à base da
placa, é importante neste ponto, o qual também será pertinente aos próximos itens deste
capítulo. Nos casos estudados de misturas de jatos, os escoamentos são separados por uma
placa de 0,5 mm de espessura na base, que foi modelada de forma especial. Para dar um
tratamento detalhado na modelagem desta região, seria necessário um refinamento da malha
também na direção longitudinal. Na pequena região contida entre os escoamentos logo na
saída, o comportamento físico se assemelha ao que acontece na esteira de um corpo rombudo
de base reta. Samimy e Addy (1986) realizaram uma experiência detalhando esse problema,
com a mistura de dois jatos com números de Mach 2,07 e 1,50 e com a presença de uma placa
de separação de 25,4 mm de espessura. O comprimento da região de recirculação na base da
placa é cerca de quatro vezes a espessura da mesma. Benay e Servel (2001) calculam
numericamente uma região semelhante, com condições iguais nos dois escoamentos,
com número de Mach 2,45. Para isto foi necessária uma malha com 201 x 281 pontos somente
na região de recirculação. Considerando assim que essa recirculação é extremamente
confinada visto que a altura da base é muito pequena (0,5 mm), e que a discretização
detalhada dessa região levaria a um número de pontos muito grande, optou-se por desprezar
este cálculo, reservando três nós de malha para representar a região de separação. Com isto
viabiliza-se ainda a aplicação da técnica de malhas seqüenciais e pode-se promover a
suavização das temperaturas nos dois lados da placa de separação dos jatos, através de uma
distribuição linear. Os resultados obtidos comprovaram que a abordagem foi boa.
200
4.6 Mistura de jatos supersônicos – campo tridimensional
O problema da mistura de escoamentos supersônicos (item 4.5) foi repetido para uma
geometria tridimensional para verificar a estrutura do código modificado para esse tipo de
geometria. Foi empregada a mesma malha do plano xy, repetida em 21 estações na direção lateral
z (∆ z = 0,0025 m). Além das condições de contorno, empregadas no cálculo bidimensional,
foram especificadas condições de contorno do tipo fronteiras simétricas nos planos laterais da
malha, simulando uma envergadura infinita para o campo. Foram utilizados os mesmos
coeficientes de viscosidade artificial nas duas versões (bidimensional e tridimensional).
O código se comportou com as mesmas características de convergência da solução.
A FIG. 4.41 mostra o campo de pressão no plano central (plano xy tal que k = 11) da
malha de cálculo. A mesma estrutura de choques e expansões obtida no cálculo bidimensional
foi reproduzida (comparar com FIG. 4.31). Apenas que, no cálculo tridimensional as reflexões
dos choques nas paredes sofreram ângulos ligeiramente inferiores; por isso, a última
incidência de choque sobre a parede inferior no campo tridimensional ocorre um pouco antes
do que no campo bidimensional (5 % menor no comprimento longitudinal). Considerando que
há oito linhas de choque desde a fronteira de entrada, um erro de apenas 1 grau na avaliação
do ângulo das linhas de choque, plausível para a discretização em x empregada, já seria
suficiente para causar este efeito no final. Comparando-se os campos de pressão (FIGS. 4.34
e 4.42), observa-se que, no campo tridimensional após as primeiras reflexões, o nível geral de
pressão é ligeiramente inferior.
201
0.05
0.025
0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
FIGURA 4.41 – Campo de pressão (vermelho – pressão mais alta, azul – pressão mais baixa).
0.06
0.04
0.02
1
1.00
7
1.03
0.94
00
3
1.060
0.919
1.025
0.954
0.919
0.931
1.0
01
0.919
0.978
0.907
1.013
0.990
1.048
0.1
0.907
0.954
0.2
0.9
0.931
1.013
0.3
90
0.966
0.907
0.4
0.5
FIGURA 4.42 – Isobáricas em todo o campo. Valores adimensionalizados pela pressão na
entrada do escoamento superior. Solução tridimensional – plano k = 11.
A FIG. 4.43 apresenta a variação da espessura da camada de mistura ao longo do
canal, obtida no plano vertical central do campo, de forma semelhante à empregada para obter
a FIG. 4.37. O valor de db/dx encontrado foi idêntico ao do cálculo bidimensional (dentro da
precisão da comparação) – cerca de 2 % superior ao valor experimental relatado por Goebel
e Dutton (1991). O cálculo tridimensional confirmou os resultados com boa precisão e indica
que o código é suficientemente robusto no que concerne ao processo de convergência.
0.025
0.02
0.015
b (m)
db /dx = 0.039
0.01
0.005
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
x (m)
FIGURA 4.43 – Variação da espessura da camada de mistura e valor de db/dx na região de
crescimento.
202
4.7 Mistura de jatos supersônico e subsônico – campo bidimensional
Um problema ainda mais exigente é a mistura de dois jatos, sendo um supersônico e
outro subsônico, devido a uma maior diferença de velocidades, além das naturezas diferentes
das condições de contorno na entrada entre os dois escoamentos. Observe-se que, dentro do
melhor conhecimento atual do autor, não foi localizada nenhuma análise numérica detalhada
da mistura de jatos supersônico e subsônico na literatura. O problema escolhido para teste foi
o experimento chamado caso 3r do artigo de Goebel e Dutton (1991).
A escolha deste caso entre os tratados experimentalmente, seguiu critérios de
semelhança com o problema da injeção do TTP. É importante lembrar que no TTP também
ocorre a mistura entre um jato supersônico e outro subsônico. Mesmo assim, cabe aqui
apontar que há diferenças importantes entre este problema e o problema da injeção do TTP.
O número de Mach relativo é de 1,44 contra 1,07 do TTP (ver capítulo 2, pág. 100).
Entretanto, a mais notável diferença é a relação de fluxos de massa entre os escoamentos
supersônico e subsônico. No caso da experiência de Goebel e Dutton essa relação é de 6,8
enquanto que no caso do TTP é de 0,14, ou seja, 48 vezes menor. É possível que ocorra,
portanto, um comportamento bastante diferente entre os dois casos, principalmente devido ao
efeito da grande inércia relativa do escoamento supersônico no caso 3r de Goebel e Dutton.
A TAB. 4.3 apresenta os principais parâmetros encontrados na experiência. Este caso
representa um teste mais difícil para o código pelo número de Mach relativo ser mais alto,
com uma taxa de crescimento maior da camada de mistura, como se pode constatar pelo valor
do db/dx, comparando com o caso anterior. O rápido crescimento da camada de mistura causa
o desaparecimento do núcleo potencial dos jatos mais cedo, e então a atividade na região da
camada de mistura diminui, indicando influência da presença das paredes. Observe-se que,
203
na mistura de jatos supersônicos, cuja taxa de crescimento experimental da camada de mistura
foi de 0,038, a região de crescimento iniciou-se em x = 0,100 m indo até 0,450 m,
enquanto que, neste caso, seu início foi em x = 0,050 m indo até 0,150 m (3,5 vezes menor).
TABELA 4.3 – Parâmetros do caso 3r da experiência de Goebel e Dutton (1991).
Grandeza
Símbolo
Escoamento 1 Escoamento 2
Número de Mach
M∞
2,22
0,43
To
315
285
Velocidade do som (m/s)
a
253
332
Velocidade (m/s)
U
561
142
p
53
53
ρ
1,164
0,672
δ
0,0016
3
Densidade (kg/m )
Espessura da camada limite na entrada (m)
2
0,0043
-5
-5
Viscosidade dinâmica (N.s/m )
µ
(U 2 / U1 )
Razão de densidades (ρ 2 / ρ1 )
r
0,25
s
0,58
ρ
0,918
Viscosidade média (N.s/m )
µ
1,37x10
a
293
Número de Mach relativo: ∆U / a
Mr
1,43
λ
0,60
λs
0,55
Razão de velocidades
3
Densidade média (kg/m )
2
Parâmetro de velocidade:
(1 − r ) / (1 + r )
1,683x10
1,057x10
-5
Parâmetro de velocidade-densidade:
(1 − r ) 1 + s 12  / 21 + r s 12 

  



  

Região de crescimento da camada de mistura (m)
0,050 a 0,150
Parâmetro de crescimento (db/dx)
Número de Reynolds Médio:
ρ ∆U / µ
0,058
(por metro)
Re
6
28x10
A maior dificuldade encontrada na implementação numérica, entretanto, adveio do
fato de um dos jatos ser subsônico. A correta colocação do problema exigiu que um dos
parâmetros representativos do escoamento subsônico não fosse imposto na entrada, pela
natureza elíptica das equações de Navier-Stokes neste regime. Se todos os parâmetros
204
tivessem sido impostos na fronteira de entrada, surgiria um degrau de propriedades próximo à
fronteira de entrada subsônica, inadmissível do ponto de vista físico. Assim, foi utilizada a
extrapolação por características no plano de entrada do jato subsônico. Entretanto,
essa extrapolação levou a uma situação diferente da relatada na experiência, como será
esclarecido a seguir.
Na mistura de jatos supersônicos, apenas o ajuste do ângulo de divergência das
paredes superior e inferior foi suficiente para eliminar o gradiente longitudinal de pressão,
enquanto que, na mistura de jatos supersônico e subsônico essa condição foi conseguida com
muito mais dificuldade. Aparentemente os autores (Goebel e Dutton) procuraram realizar a
experiência com o que eles chamam de “gradiente longitudinal neutro de pressão”, com o
objetivo de evitar um efeito “difusor” para os jatos, o que aceleraria bastante o escoamento
supersônico. Os autores reportam grandes dificuldades em atingir esta condição para alguns
casos, incluindo o 3r. Além disso, para estes casos mais difíceis, nem sempre foi possível a
obtenção da mesma pressão estática para os dois jatos na seção de entrada, uma condição
muito desejada na experiência. (Observe-se que o aparato experimental comportava duas
câmaras de estagnação separadas para prover estes controles.) Daí, há o surgimento de ondas
de choque ou de expansão no contato dos jatos na seção de entrada, o que dificulta a obtenção
de gradientes nulos de pressão na direção longitudinal (a experiência apontou divergências
que chegaram a 6 % no valor da pressão de entrada entre os dois jatos). Do ponto de vista
numérico, a extrapolação de uma propriedade a montante na fronteira de entrada subsônica,
provoca alteração de propriedades e nem sempre se conseguiu manter a condição p1 = p2 na
entrada do aparato, o que seria desejável. Foram tentados alguns artifícios sem grandes
sucessos. Goebel e Dutton não informam que tipo de procedimento foi estabelecido para a
câmara de estagnação subsônica com o intuito de se procurar manter p1 ≅ p2.
205
Neste caso em particular, observou-se na simulação numérica, junto ao plano de
entrada, um deslocamento da camada de mistura em direção ao escoamento subsônico bem
maior do que o observado na mistura de jatos supersônicos, com conseqüente expansão no
escoamento supersônico e com uma queda de pressão de 12 %. Essa pressão baixa se
transmite para o escoamento subsônico através da camada de mistura, acelerando o
escoamento (no plano de entrada) até número de Mach 0,50. Esta aceleração é conseqüência
da extrapolação para o plano de entrada de uma das propriedades do escoamento interno
obtida na iteração atual. Deve-se lembrar que em uma entrada subsônica uma das velocidades
características carrega informação a montante (ver capítulo 3, item 3.7.2). Para se restabelecer
as condições iniciais do problema, retornando o número de Mach à condição da experiência
(M = 0,43), foi reduzida a pressão de estagnação em 10 %, não causando entretanto grande
impacto na pressão estática, que continuou 16 % abaixo da pressão do escoamento
supersônico. Esta foi a melhor forma encontrada para conduzir o problema no sentido de
buscar a melhor representação possível.
A malha empregada foi a mesma da mistura dos jatos supersônicos, com
81 x 105 pontos, com paredes retas. As condições de contorno são estabelecidas assim como
apresentado na FIG. 4.44. Todas as condições do escoamento supersônico são fixadas na
entrada, incluindo as camadas limite que são calculadas pela lei logarítmica. O escoamento
subsônico foi inicialmente imposto, segundo os valores da experiência, mas a atualização das
condições de contorno foi realizada por meio das características para o núcleo potencial,
recalculando-se o componente de velocidade longitudinal u. A partir dos valores nas suas
bordas, as camadas limite foram recalculadas, utilizando-se a expressão da lei da parede.
Para as fronteiras superior e inferior, foram empregadas as condições de parede sólida e, para
a fronteira de saída, foi empregada a extrapolação por equações de convecção simplificadas.
206
presença da parede: u,v = 0; p,T extrapolados do interior
parâmetros
impostos
REGIÃO SUPERSÔNICA
extrapolação
por
convecção
extrapolação
por
características
REGIÃO SUBSÔNICA
presença da parede: u,v = 0; p,T extrapolados do interior
FIGURA 4.44 – Condições de contorno para o problema da mistura de jatos supersônico e
subsônico.
A FIG. 4.45 mostra o campo de pressão resultante, no qual se observa uma expansão
logo na entrada do escoamento supersônico (escoamento superior). Não foi possível contornar
o problema do gradiente longitudinal de pressão no campo.
0.06
0.04
0.02
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.06
9
0.80
5
0. 65
0.677
1
0.6
2
0.624
4
0.6
0.624
24
04
0
0.1
0.
7
73
0.75 6
0.83
0.624
0.
65
1
88
0.
0 0
0.8
0.783
0.02
1.003
0. 8
43
0.04
0.2
0.3
0.4
0.5
FIGURA 4.45 – Campo de pressão estática. Valores adimensionalizados pela pressão estática
na entrada. Coordenadas em metros.
Para explorar melhor as estruturas que aparecem no início do canal, foi montada uma
nova malha de cálculo com 101 x 105 pontos, concentrando-se pontos no início e
estabelecendo-se um estiramento até a seção x = 0,075 m; daí até a seção x = 0,150 m o
espaçamento é constante. A FIG. 4.46 mostra o campo de pressão, cujo aspecto confirma o
resultado geral obtido com a malha anterior. Inicialmente, observa-se uma fraca onda de
compressão na entrada, no canto superior, devido ao ajuste da camada limite, resultando num
207
aumento de 1 % na pressão. Da região de separação entre os escoamentos surge uma onda de
expansão importante, abaixando a pressão em cerca de 18 %. Essa pressão baixa é
transmitida, através da camada de mistura, ao escoamento subsônico que a retransmite
também a montante, diminuindo a pressão na entrada e acelerando o escoamento. Esta onda
de expansão está associada ao aumento da área para o jato supersônico, com o deslocamento
da camada de mistura em direção ao jato subsônico. A onda de expansão atinge a parede e é
refletida causando nova queda da pressão em cerca de 18 %.
1.
01
0
0 .8
0.04
24
1.000
0.
0 . 6 10
7
0.62 2
4
0 .6
0.739
0.776
0 .796
0.80
6
09
0.
0.8
0.6
62
8
0.1
66
0.
0.05
97
0
0. 6
0
4
81
2
0.02
82
0.15
FIGURA 4.46 – Detalhe do campo de pressão na entrada do canal para o problema 3r de
Goebel e Dutton (1991). Malha reduzida a 0,15 m. Valores adimensionalizados pela pressão na entrada supersônica. Coordenadas em metros.
A FIG. 4.47 mostra o campo de número de Mach para a região de entrada do canal,
onde se observa nitidamente a ação dos dois “leques” de expansão (incidente e refletido).
Na solução convergida as pressões adimensionais no plano de entrada são 1 e 0,81,
respectivamente, para os escoamentos supersônico e subsônico. Isso faz com que o leque
inicial de expansão fique “pivotado” na ponta da placa de separação entre os jatos. O que se
observa também na FIG. 4.47 é o avanço do jato supersônico em direção ao subsônico, o que
é uma conseqüência da diferença de pressões. Na região inicial o ângulo de desvio da
interface entre jatos é de aproximadamente 5,5o.
208
21
2.
2.22
29
0
0.04
2.
5
2.
4
2.3
3
2.
0.02
2.
45
2.
0
1. 00
0.05
0.5
7
48
0.
45
0.4 5
0. 4 4
0.
0
5
2.
38
0.1
53
2.34
1.70
1.28
0.85
0.15
FIGURA 4.47 – Campo do número de Mach para o problema 3r de Goebel e Dutton (1991).
Malha reduzida a 0,15 m. Coordenadas em metros.
Na experiência, Goebel e Dutton relatam que as pressões nas câmaras de estagnação
dos dois jatos foram ajustadas, dentro das possibilidades, para obter pressões estáticas iguais
na entrada, o que reduz estes efeitos causados pela expansão do jato supersônico.
Também comentam que o nível de pressão, os ângulos dos difusores na saída e os ângulos de
parede foram ajustados para reduzir o gradiente de pressão longitudinal, o que nem sempre foi
possível. Os autores, entretanto, não informam os valores reais destes ajustes.
Numericamente foram realizadas algumas tentativas, variando os ângulos das paredes e as
pressões de estagnação, no sentido de diminuir essas diferenças de pressões entre os jatos na
entrada e ao longo do canal, mas, no entanto, não se conseguiu de maneira completa o
resultado final desejado.
Retornando à análise na malha completa (comprimento total de 0,5 m), a FIG. 4.48
mostra o campo da viscosidade turbulenta, onde é possível se ver o crescimento da camada
limite ao longo da parede superior. Por outro lado, a viscosidade turbulenta gerada na camada
de mistura foi deslocada sobre a parede inferior e chegou a um valor muito superior ao da
mistura de jatos supersônicos – comparar com a FIG. 4.35.
209
0.05
526
7
0.025
7
350
1 2 26
7
00
1 75 2
0.1
2 1 02
2715
0.2
0.3
3066
3153
0.4
33 2 8
3503
0.5
FIGURA 4.48 – Campo de viscosidade turbulenta. Valores adimensionalizados pela
viscosidade laminar na entrada do escoamento superior. Coordenadas em
metros.
A FIG. 4.49 ilustra a variação da espessura da camada de mistura. Observam-se duas
tendências, db/dx constante entre x = 0,05 m e 0,15 m e a partir de 0,15 m até o fim do canal.
Entretanto, soluções similares ocorrem somente entre 0,05 m e 0,15 m, concordando de forma
expressiva com os valores experimentais (db/dx = 0,058, TAB. 4.3). Observe-se na FIG. 4.48
que, a partir da distância longitudinal 0,15 m a camada de mistura, caracterizada na figura
pelo alto nível de turbulência, já encontra a parede inferior, não podendo mais se expandir
livremente. A partir desse ponto não se têm mais perfis similares e a taxa de crescimento da
camada de mistura tem outra tendência. O valor encontrado para db/dx na região de
similaridade, 0,062, é cerca de 7 % superior ao experimental.
0.014
0.012
b (m)
0.01
db/dx = 0,062
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
0.05
0.1
0.15
x (m)
FIGURA 4.49 – Variação da espessura da camada de mistura b ao longo da direção
longitudinal. É destacada a região de crescimento da camada de mistura,
segundo a experiência de Goebel e Dutton (1991), na qual é avaliada a taxa
de crescimento da camada de mistura.
210
4.8 Mistura de jatos supersônico e subsônico – campo tridimensional
O problema da mistura de escoamentos supersônico e subsônico (item 4.7) foi,
da mesma forma que no caso da mistura de escoamentos supersônicos, repetido para uma
geometria tridimensional com o intuito de se testar a estrutura do código. Foi empregada a
mesma malha do plano xy, repetida em 21 estações na direção lateral z (∆ z = 0,00125 m).
Além das condições de contorno, empregadas no cálculo bidimensional, foram impostas
condições de contorno do tipo fronteiras simétricas nos planos laterais da malha, simulando
uma envergadura infinita para o campo. Foram utilizados os mesmos coeficientes de
viscosidade artificial nas duas versões (bidimensional e tridimensional). O código se
comportou com as mesmas características de convergência.
A FIG. 4.50 mostra o campo de pressão no plano vertical central (plano k = 11),
que deve ser comparado com a FIG. 4.45 (resultado bidimensional). A expansão foi um pouco
mais acentuada do que aquela observada na simulação bidimensional, fazendo a pressão cair
um pouco mais no campo todo, embora a topologia geral das soluções seja praticamente
a mesma.
4
0.79
36
81
7
0.812
0.7
00
0.621
0.592
0.765
0.025
96
0.9 0.852
0.
0.05
0.1
0.
67 0.650
9
0.
62
0.592
0.592
0.592
0.592
1
0.2
0.3
0.4
0.5
FIGURA 4.50 – Campo de pressão estática para a solução tridimensional da mistura de jatos
supersônico e subsônico, no plano vertical k = 11. Valores
adimensionalizados pela pressão na entrada do escoamento supersônico.
211
A FIG. 4.51 apresenta a variação da espessura da camada de mistura na direção
longitudinal para o plano central vertical. Compare-se com a FIG. 4.49. A taxa de variação na
região de similaridade foi praticamente a mesma da simulação bidimensional, 5 % superior
à experimental.
0.014
0.012
db/dx = 0,061
b (m)
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
0.05
0.1
0.15
x (m)
FIGURA 4.51 – Variação da espessura da camada de mistura b ao longo da direção
longitudinal, medida no plano vertical central da malha tridimensional.
É destacada a região de crescimento, segundo a experiência de Goebel e
Dutton (1991).
Assim como no caso do problema da interferência onda de choque/camada limite
(item 4.4), aqui também foram registrados os valores dos componentes da vorticidade e das
tensões cruzadas no campo de cálculo com o intuito de investigar possíveis causas de
discrepância. A FIG. 4.52 mostra os campos de vorticidade no plano central (k = 11).
Observe-se que apenas o componente de vorticidade Ωz é alto, principalmente na região da
camada de mistura entre os escoamentos, ocorrendo a partir daí um espalhamento pelo campo.
212
-6.6x10-03
-0 1
x1
- 2.2
2.2x10-01
0
Ωx
+00
1.7x10
+00
-2.5x10
-01
3.0x10
-1.5x10+02
+04
8.2x10
-1.5x10+02
Ωy
-1.5x10+02
1 . 6x 1
Ωz
0 + 04
FIGURA 4.52 – Campos de componentes de vorticidade para o plano central. Valores em 1/s.
A FIG. 4.53 mostra os campos dos componentes das tensões cruzadas. Também fica
claro aqui que o componente τxy é bastante alto, enquanto que os demais componentes são
desprezíveis. Pela figura vê-se que a ação da camada de mistura é a responsável pelo
crescimento do componente de tensões τxy – enquanto que na região do núcleo potencial dos
jatos o valor é muito baixo.
3.6x10
-245.3
0.2
-0.1
935.9
-0.1
τxy
0.2
506.4
613.8
-04
-2 . 3
-02
x1 0 - 0 2
1.9x10
τxz
-04
5.1x10
8.5
x10 -03
-9.4
x 1 0 -03
τyz
FIGURA 4.53 – Campos de componentes de tensões cruzadas para o plano central. Valores
em N/m2.
213
A FIG. 4.54 mostra os campos do componente de vorticidade comuns às simulações
bidimensional e tridimensional para comparação. Observa-se que há grande semelhança entre
os campos, indicando o forte caráter bidimensional do problema.
-2.1x10+04
+01
1.7x10
+04
4.5x10
3.6x10
+04
2.7x10
+04
+0 4
0
1.8x1
Ωz – campo bidimensional
-1.7x10+04
+02
-3.6x10
+04
5.5x10
3.4x10
+04
2.0x10+04
1.6x10
+04
1.2x10 +04
Ωz – campo tridimensional (plano central, k = 11)
FIGURA 4.54 – Campos de componentes de vorticidade para as simulações bidimensional e
tridimensional. Valores em 1/s.
A FIG. 4.55 mostra os campos do componente de tensões cruzadas, comuns às
simulações bidimensional e tridimensional. Da mesma forma, observa-se aqui uma grande
semelhança entre os campos.
-0.1
459.3
-115.3
0.1
890.3
746.7
603.0
τxy – campo bidimensional
-217.2
7
- 0.
543.8
1.3
849.0
685.3
611.6
τxy – campo tridimensional (plano central, k = 11)
FIGURA 4.55 – Campos de componentes de tensões cruzadas para as simulações
bidimensional e tridimensional. Valores em N/m2.
214
4.9 Análise de refinamento de malha e da ordem do método
A ordem de precisão de uma solução numérica é fundamental para a confiabilidade
dos resultados obtidos. Pode-se avaliá-la em relação a um determinado algoritmo pela
comparação dos erros de duas simulações, utilizando malhas com diferentes resoluções, em
relação a uma solução analítica ou numérica com refinamento reconhecidamente suficiente.
Para cada malha, calcula-se o erro em pontos do domínio através da expressão:
err (h ) = valor exato − valor numérico encontrado ,
(4.3)
onde por “valor exato” entende-se a solução analítica ou numérica de referência.
Determinados os erros relativos a duas malhas com diferentes espaçamentos uniformes, h1 e
h2, a expressão que fornece a ordem do método é dada por (Oberkampf e Trucano, 2002):
Ο=
 err (h1 ) 
log 

 err (h2 ) 
h 
log  1 
 h2 
.
(4.4)
Desta forma, como o método adotado no código desenvolvido neste trabalho, em princípio,
é de ordem de precisão espacial 2, significará que, ao se aumentar o refinamento da malha
reduzindo-se o espaçamento em 2 vezes, os erros nas mesmas posições analisadas deverão
apresentar redução de 4 vezes.
215
Para a determinação da ordem de precisão espacial do método desenvolvido foi
utilizado o problema da camada limite turbulenta bidimensional ao longo da placa plana.
Muitos autores escolhem para referência um caso de escoamento que tenha solução analítica
e, em conseqüência, na maioria das vezes, laminar e incompressível. Como, entretanto,
este trabalho se refere a escoamentos turbulentos de alta velocidade, entendeu-se ser mais
apropriado escolher outra situação física para comparação. Optou-se pelo escoamento
supersônico turbulento ao longo de uma placa plana, i. e., o problema da camada limite,
e como referência a solução numérica com uma malha de alta resolução. As condições
são M∞ = 2,96, T∞ =100,9 K, p∞ = 19,94 kPa, L = 0,20 m, onde L é o comprimento da placa,
o que resulta em um número de Reynolds baseado em L igual a 1,2 x 106. As condições de
contorno correspondem ao caso já discutido na seção 4.2 com perfil uniforme na entrada.
Para se realizar o estudo foram utilizadas cinco malhas com os seguintes números de
nós: 481 x 481, 241 x 241, 121 x 121, 61 x 61 e 31 x 31. Cada malha mais grossa era obtida de
uma mais fina anterior suprimindo-se os nós de ordem ímpar em ambas as direções.
Evidentemente, foram mantidos o comprimento da placa, L = 0,20 m, e a altura do domínio,
H = 0,021 m. Na direção longitudinal – a do comprimento – o espaçamento foi feito constante
malha a malha, enquanto na direção da altura foi introduzido estiramento começando na
parede e indo até aproximadamente H/2; daí para cima o espaçamento foi mantido constante.
A FIG. 4.56 mostra os resultados obtidos do perfil de velocidades na fronteira de saída do
campo computacional, na qual se observa a convergência da solução da camada limite para as
diversas malhas. Observe-se a congruência entre as soluções nas malhas 241 x 241 e
481 x 481, indicando a convergência em termos de refinamento de malha. Deve-se atentar
para o fato de que este é um resultado chave na verificação de um código numérico, i. e.,
o mesmo tem que mostrar “convergência de malha” (“grid refinement convergence”)
216
conforme se aumenta a discretização do campo (Oberkampf e Trucano, 2002). As soluções
para as malhas 241 x 241 e 481 x 481 são basicamente coincidentes.
1.2
481x481
1
241x241
121x121
0.8
61x61
31x31
u
u∞
0.6
0.4
0.2
0
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
y δ
FIGURA 4.56 – Perfis de velocidade com o emprego das diversas malhas. Na abscissa a
distância à parede é adimensionalizada pela espessura da camada limite e na
ordenada a velocidade é adimensionalizada pela velocidade do
escoamento livre.
A FIG. 4.57 mostra os erros encontrados nas diversas malhas em relação ao resultado
das malhas finas (241 x 241 e 481 x 481) (na seção transversal correspondente à fronteira de
saída). Observe-se que, para valores acima da borda da camada limite os erros tendem
rapidamente a zero pela convergência da solução para a condição do escoamento livre, onde
as soluções são praticamente idênticas, independente da malha empregada. Deve-se notar que
há uma região na qual os erros são altos correspondendo à região de transição entre a subcamada laminar e a região da lei logarítmica, na qual ocorrem fenômenos de naturezas
217
distintas e onde o refinamento local se mostra importante. À medida que se aproxima da
parede, novamente os erros caem muito convergindo para a condição de escoamento nulo na
parede, solução idêntica em todas as malhas. Desta forma, foi escolhida uma região mais
adequada para avaliação da ordem do método, que vai de y/δ = 0,009 a 1,068.
0.1
0.09
0.08
err121
erro relativo
0.07
err61
0.06
err31
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.001
0.01
0.1
1
10
y δ
FIGURA 4.57 – Erros nas diversas malhas em comparação com o resultado de malha fina.
A TAB. 4.4 traz os resultados encontrados no estudo da ordem do método comparando
os erros das malhas 121 x 121, 61 x 61 e 31 x 31 entre si. O resultado geral aponta para uma
ordem global no código empregado entre 1,86 e 2,64, confirmando a ordem de precisão
formal que é igual a 2.
218
TABELA 4.4 – Resultados obtidos na determinação da ordem do método.
Ordem do Método
y/δ
121x121 e 61x61
121x121 e 31x31
61x61 e 31x31
0,009
1,51
1,36
1,21
0,013
1,58
1,43
1,27
0,018
1,69
1,52
1,35
0,024
1,81
1,62
1,43
0,033
1,95
1,74
1,52
0,043
2,11
1,86
1,62
0,057
2,29
2,00
1,71
0,076
2,48
2,15
1,81
0,099
2,68
2,30
1,91
0,130
2,89
2,45
2,01
0,169
3,10
2,60
2,09
0,221
3,30
2,74
2,18
0,287
3,51
2,88
2,26
0,374
3,79
3,07
2,35
0,486
4,06
3,23
2,40
0,632
3,66
2,96
2,26
0,822
2,56
2,26
1,95
1,068
2,52
2,36
2,21
MÉDIA
2,64
2,25
1,86
219
5 ANÁLISE DA INJEÇÃO NO TTP
Este capítulo contém as considerações sobre a aplicação do modelo matemático
desenvolvido para o problema da injeção no TTP e os resultados obtidos. O problema foi
resolvido utilizando-se a técnica de malhas seqüenciais, com cálculo em duas malhas, sendo
que a malha fina foi subdividida em cinco malhas pela limitação dos recursos computacionais.
Basicamente foi resolvida a condição “de projeto” em detalhes, e analisadas, apenas na malha
grossa, duas condições “fora de projeto” para verificação da robustez do código e análise dos
aspectos físicos gerais do problema. Ao final do capítulo, são apresentados comentários,
conclusões e sugestões para futuros trabalhos.
5.1 Introdução
5.1.1 Parâmetros gerais na entrada da câmara de injeção e modelagem do escoamento
nos injetores
A condição de referência escolhida para análise da injeção é a que corresponde à
operação no “ponto de projeto” do túnel. De acordo com informações contidas no relatório do
projeto básico do TTP (Grupo TTP, 1996) os parâmetros gerais que definem este estado para
a seção de testes em regime contínuo são: temperatura de estagnação de 313 K, pressão de
estagnação de 110 kPa e número de Mach 1 – o TTP incorpora sistemas para o controle
automático desses parâmetros na seção de testes. Além disto, este relatório traz informações
220
gerais sobre o escoamento nas seções de entrada de cada um dos elementos principais do
circuito aerodinâmico do túnel em operação convencional (sem a injeção), para várias
condições de números de Mach na seção de testes (ver apêndice B).
Para o caso da injeção em funcionamento, o “ponto de projeto”, segundo
Sverdrup (1989), requer que a pressão estática na saída dos injetores seja igual à pressão
estática do escoamento externo ao mesmo (igual à pressão estática na entrada da câmara de
mistura da injeção). Com isto visa-se, na prática, uma redução no aparecimento de ondas de
choque e de expansão, diminuindo as irreversibilidades no processo de mistura. A partir desta
igualdade entre as pressões, os parâmetros de operação do sistema de injeção para a condição
de projeto podem ser determinados. A TAB. 5.1 apresenta os valores principais na entrada da
câmara de injeção e na saída dos injetores para a condição de projeto, no início da operação
da injeção, conforme foi empregado no presente trabalho.
TABELA 5.1 – Parâmetros de projeto no início da injeção.
Parâmetros
Injetor
Circuito do túnel
1,900
0,509
300
313
1
Número de Mach
2
3
Pressão de estagnação (kPa)
547,2
97,5
4
81,7
81,7
5
Área transversal total (m )
0,00354
0,1063
6
Fluxo de massa de projeto (kg/s)
2,90
17,89
7
0,0012 e 0,0014(*)
0,008
2
(*) espessuras das camadas limite no interior e exterior do injetor, respectivamente.
221
Observe-se na TAB. 5.1 a informação sobre as alturas consideradas para as camadas
limite na seção de entrada da câmara de injeção. Elas foram estimadas usando-se a Eq. 3.93,
desenvolvida originalmente para o cálculo da camada limite turbulenta incompressível ao
longo da placa plana (Schlichting, 1979),
u ⋅ x
δ ( x ) = 0 ,37 ⋅ x ⋅  ∞ 
 ν 
−
1
5
,
(5.1)
onde x é a distância na direção longitudinal medida a partir do bordo de ataque da placa, u∞ é
a velocidade no escoamento livre e ν é a viscosidade cinemática molecular.
Neste ponto um esclarecimento é necessário. É evidente que no plano de entrada da
seção de injeção existem várias regiões com gradientes (viscosos) importantes. E os valores
de propriedades nestas regiões de gradiente, bem como no restante do plano de entrada, terão
que ser pré-fixados de alguma forma, visto que a seção de entrada constitui uma das
superfícies limítrofes do domínio de cálculo, para as quais tem-se que fixar condições de
contorno apropriadas (veja FIG. 5.5, pág. 230). As regiões de gradiente se localizam junto às
paredes do túnel – piso, teto e laterais –, e junto às paredes dos injetores – interna e
externamente. Inicialmente discutir-se-á o caso dos injetores. A corrente de ar proveniente do
túnel vê cada injetor como um corpo rombudo tridimensional instalado no piso ou no teto.
Este é o escoamento externo ao injetor – ver FIG. 5.1. O campo de escoamento que se
estabelece ao redor de cada injetor é extremamente complicado, incluindo um vórtice em
ferradura que nasce numa provável região de estagnação à frente do mesmo. Este vórtice em
ferradura corre ao longo do piso (ou do teto) do túnel, abraçando o injetor, e difundindo-se a
jusante do mesmo. Nas partes superiores da superfície do injetor tem-se o desenvolvimento de
camadas limite bastante complicadas também, devido aos cantos – convexos na dobra do
injetor e côncavos na junção injetor / parede do túnel. Esta estrutura física complexa e com
222
altos gradientes viscosos chega “à boca” do injetor e cruza o plano de entrada da seção de
injeção. Para se ter um mapa razoavelmente preciso destas propriedades neste plano seria
necessário calcular o escoamento tridimensional em torno do injetor. Sem se esquecer que o
escoamento que chega ao mesmo corresponde à camada limite da parede do túnel.
Provavelmente, este seria um tema para outra tese de doutorado. Nestas condições, para se
regular a questão e manter o escopo deste trabalho dentro de um nível de normalidade,
procurou-se estabelecer um modelo simplificado para o escoamento externo ao injetor.
A FIG. 5.1 mostra um esquema da instalação do injetor na câmara de injeção, destacando as
distâncias médias a serem percorridas pelo escoamento sobre as paredes externas e internas.
direção do
escoamento
principal
direção do escoamento principal
h=2,26cm
piso do
túnel
7,7cm
8,2cm
9,5cm
2,26cm
l =1,57cm
final da região
de estagnação
FIGURA 5.1 – Detalhe da instalação do injetor na câmara de injeção, destacando as
distâncias externa e interna ao injetor para cálculo da espessura da camada
limite. Destaque da vista em perspectiva mostrando a possível formação do
vórtice em ferradura.
Considerou-se, para fins de modelação, que o injetor é formado por três placas planas,
internas e externas ao mesmo. A distância média percorrida pelo escoamento interno, como
destacado pela linha no centro do injetor na FIG. 5.1, que vai do final da região de estagnação
223
até a seção de saída, é de aproximadamente 9,5 cm. Este é o comprimento considerado para as
três placas, no caso do cálculo das camadas limite internas ao injetor. A distância média
percorrida ao longo da parede externa do injetor foi calculada dividindo-se a área total
molhada pelo perímetro molhado na saída do injetor (ver detalhe em perspectiva da FIG. 5.1).
A FIG. 5.2 mostra essa idealização do injetor no caso do escoamento externo, destacando-se o
comprimento efetivo igual a 5,2 cm. Nesta modelação o escoamento externo é conduzido
sobre superfícies com condição de escorregamento livre até o início das placas planas (pontos
grandes na FIG. 5.2), a partir de onde vigora a condição de escorregamento nulo.
A modelagem considera, portanto, que o escoamento não vê o injetor como um corpo
rombudo.
direção do
escoamento
principal
direção do escoamento principal
2,26cm
5,2cm
1,57cm
5,2cm
piso do
túnel
2,26cm
início das
placas planas
final da região
de estagnação
FIGURA 5.2 – Detalhe da modelação da superfície externa do injetor na câmara de injeção,
destacando seu comprimento efetivo. As linhas tracejadas indicam os
contornos reais do injetor, as linhas cheias o contorno da modelação adotada e
as linhas com pontos o início das camadas limite.
224
As camadas limite externas foram estimadas levando-se em conta que no bordo de
ataque as propriedades do fluxo de chegada são as mesmas da corrente do túnel.
Internamente, os valores no bordo de ataque da placa correspondem às médias aritméticas
entre os valores das propriedades (velocidade e viscosidade molecular) da região de
estagnação e da saída do injetor. Desta maneira estimaram-se de forma aproximada os
gradientes viscosos junto às paredes dos injetores na posição do plano de entrada da seção de
injeção. O tratamento dos cantos, i. e., as regiões de junção destas camadas limite, será
discutido mais à frente na seção 5.3.
No caso das camadas limite junto ao piso, teto e paredes laterais do túnel, a hipótese
(bem razoável, devido às paredes fendidas) é que as mesmas se iniciam no fim da seção de
testes. A partir daí considerou-se um desenvolvimento de placa plana até o plano de entrada
da câmara de injeção, resultando numa espessura média de 8 mm.
A partir dos parâmetros dos escoamentos supersônico e subsônico na seção de entrada
da câmara de injeção (TAB. 5.1) obtém-se por média aritmética simples três parâmetros
representativos do escoamento que foram usados na adimensionalização do problema.
O quarto parâmetro é a altura do injetor. A TAB. 5.2 resume os valores finais (ver capítulo 2,
item 2.6).
TABELA 5.2 – Parâmetros de adimensionalização empregados.
Densidade média na entrada (kg/s)
1,30
305
Altura do injetor (m)
0,0226
2
Viscosidade dinâmica molecular média (N.s/m )
-5
1,47x10
A viscosidade dinâmica molecular, µl , foi obtida a partir do valor da temperatura
local T, empregando a conhecida fórmula de Sutherland (Schlichting, 1979),
225
3
 T  2 TSu ,1 + TSu ,2

µl = µ Su ,1 
,

 TSu ,1  T + TSu ,2
(5.2)
onde os valores da temperatura e da viscosidade de referência foram, respectivamente,
T Su,1 = 273,33 K e µ Su,1 = 1,676 x 10-5 N.s/m2. T Su,2 é uma constante igual a 110,4 K.
5.1.2 Operação conjunta túnel/injetores
No projeto básico (Grupo TTP, 1996), o sistema de injeção é descrito em termos dos
seus componentes principais, como apresentado no capítulo 2. Após a conclusão do projeto
detalhado, alguns estudos teóricos (simplificados) da operação conjunta do compressor mais
injetores deveriam ter sido realizados, estudos estes a serem confrontados com dados realistas
que seriam coletados durante a fase de calibração. Devido a dificuldades surgidas no
desenvolvimento do projeto essas etapas não foram completamente cumpridas até o momento.
A maior contribuição neste sentido foi a análise dinâmica da operação do túnel de vento
transônico industrial realizada durante um trabalho de mestrado (Falcão Filho, 1996,
Falcão Filho et al., 2000a). Este trabalho utiliza um modelo matemático simplificado, baseado
na técnica de parâmetros concentrados, para resolver as equações básicas da mecânica dos
fluidos aplicadas ao circuito aerodinâmico do túnel, com modelos específicos para cada um
dos sistemas de controle auxiliares – inclusive o sistema de injeção –, e também modelos das
válvulas e dos demais componentes. As informações sobre as perdas de carga nas grandes
regiões do circuito do túnel, nas quais o mesmo foi subdividido, foram obtidas a partir dos
dados do apêndice B. Dentre outras, foram realizadas simulações das condições de operação e
análise da estabilidade do circuito do túnel com uso da injeção para várias condições de
226
pressão de estagnação dos injetores. Os resultados mostraram que a utilização da injeção
causa uma nova distribuição de parâmetros no circuito. Em particular, o compressor principal
modifica seu ponto de operação (afetando seu rendimento e sua taxa de compressão) e o
circuito do túnel se adapta às novas condições que foram impostas pelo uso da injeção.
O efeito final observado na seção de testes é de aumento da pressão de estagnação, aumento
do número de Mach e uma pequena diminuição na temperatura de estagnação. A FIG. 5.3
mostra o resultado de uma dessas simulações numéricas (Falcão Filho, 1996, Falcão Filho
et al., 2000a) na qual se observa o impacto causado na pressão de estagnação da seção de
testes quando a injeção é operada (com pressão de estagnação nos injetores de 400 kPa).
Todo o ganho extra, relativo ao circuito do túnel, advém da contribuição da câmara de
injeção que, por sua vez, sofre a ação do escoamento supersônico dos injetores, ocorrendo
alteração, localmente, e primordialmente, do número de Mach e da pressão de estagnação por
meio de processo físico descrito a seguir.
105
104
p0 (kPa)
103
102
101
100
99
98
150
200
250
300
t (s)
FIGURA 5.3 – Variação da pressão de estagnação na seção de testes. Pressão de estagnação
dos injetores, po,inj = 400 kPa.
227
Durante a utilização convencional do TTP, segundo dados do Grupo TTP (1996),
o escoamento na entrada da câmara de injeção é sempre subsônico, com número de Mach
variando de 0,13 a 0,57, dependendo da condição de operação do túnel. Para o ponto de
projeto o número de Mach na entrada da câmara de injeção, sem uso dos injetores, é de 0,509
(ver apêndice B). A injeção induz uma aceleração do escoamento principal subsônico, em
função do processo de mistura com o jato supersônico em alta velocidade. Isto acarreta um
aumento do número de Mach na entrada da câmara de injeção que se transmite a montante
para a seção de testes. O aumento do número de Mach só não é maior devido às perdas de
carga ao longo do circuito e, especialmente, na seção de testes, onde estas perdas são bastante
altas. A FIG. 5.4 mostra o aumento causado no número de Mach na seção de testes quando a
injeção é atuada com pressão nos injetores de 400 kPa (Falcão Filho, 1996).
1.08
1.06
M
1.04
1.02
1
0.98
150
170
190
210
230
250
270
290
t (s)
FIGURA 5.4 – Variação do número de Mach na seção de testes – pressão de estagnação dos
injetores po,inj = 400 kPa.
228
Em relação à pressão de estagnação, o efeito final pretendido com a injeção é
aumentá-la. Este aumento resulta do ganho líquido de energia proporcionado pelo processo
(uma grande parte da energia nova introduzida pela injeção é utilizada “para vencer” as
perdas de carga). Portanto, é preciso, de alguma maneira, informar ao modelo (código)
numérico esse efeito físico causado ao circuito do túnel e, em particular, à câmara de injeção.
Isto é realizado por meio da seguinte estratégia (adotada na implementação das condições de
contorno na entrada da câmara de injeção – item 5.3.1.1, página 246): permite-se que o efeito
indutivo, proporcionado pelo jato supersônico, eleve a pressão de estagnação na fronteira de
entrada da câmara de injeção até o valor que corresponda à simulação resultante em todo o
circuito do túnel (valor este obtido por Falcão Filho (1996), FIG. 5.3, e FIGS. C.11 a C.13 do
apêndice C). A partir daí este valor é fixado e, desta forma, reproduz-se, numericamente, o
que ocorre na prática ao se acionar o sistema de injeção.
O apêndice C traz informações mais detalhadas sobre a operação do sistema de injeção
com os resultados da simulação dinâmica realizada por Falcão Filho (1996), em termos do
aumento do número de Mach e da pressão de estagnação na seção de testes, para outros
valores de pressão de estagnação nos injetores. A TAB. 5.3 resume esses resultados.
TABELA 5.3 – Impacto causado pelo sistema de injeção sobre o circuito do TTP
(Falcão Filho, 1996).
(po)inj (kPa)
MST
(po)ST (kPa)
(∆M/M)ST (%)
(∆po/po)ST (%)
0
1,0000
100,00
0,00
0,00
400
1,0443
103,18
4,43
3,18
600
1,0773
105,20
7,73
5,20
800
1,1118
107,37
11,18
7,37
229
A partir dos valores da tabela, foi estabelecida uma regressão polinomial por mínimos
quadrados para relacionar o aumento percentual da pressão de estagnação ocorrida na seção
de testes com a pressão de estagnação utilizadas nos injetores. O emprego dessa regressão
neste trabalho será oportunamente detalhado. A expressão é dada por
p
 ∆ po 
 = 0,03042  o ,inj

p
 po  ST
 o ,ST
2

p
 + 0,6800  o ,inj

p

 o ,ST

 − 0,003727 ,


(5.3)
onde po,inj é dada em kPa e po,ST = 100 kPa é a pressão de estagnação inicial na seção de testes.
Além disso, deve-se destacar que durante a fase de calibração do túnel, e mesmo na
realização de ensaios com modelos (o que alterará significativamente as distribuições de
perdas de carga ao longo do circuito), ocorrerão desvios naturais da condição de igualdade das
pressões estáticas entre os dois escoamentos na entrada da câmara de injeção. Embora o
objetivo primordial do presente trabalho seja realizar a análise do sistema de injeção para o
ponto de projeto, duas outras situações fora desta condição foram analisadas, para se
investigar os efeitos físicos esperados e a robustez do código.
5.2 Malha tridimensional do problema da injeção no TTP
5.2.1 Câmara de mistura da injeção
A câmara de mistura do TTP, região compreendida entre a saída da segunda garganta
e a entrada do difusor de alta velocidade, apresenta uma geometria bastante peculiar.
230
A FIG. 5.5 mostra um esquema representativo desta câmara – não em escala –, destacando as
seções transversais principais (S1, ... , S4), conforme o projeto (Grupo TTP, 1996). (Maiores
detalhes podem ser encontrados no apêndice C.) A seção transversal na entrada é quadrada
com 0,331 m de lado e abriga cinco injetores no teto e cinco no piso, instalados de tal maneira
que o escoamento sai dos bicos injetores absolutamente rente às paredes do túnel – há um
rebaixamento na parede do túnel para alojamento da parede do injetor (ver FIG. 5.1).
A câmara tem comprimento total de 0,600 m com seções transversais modificadas, numa
transição realizada em três etapas – a fabricação foi realizada por forja da peça, que garantiu
uma boa suavidade nas passagens – até atingir a seção transversal de saída de geometria
circular, com diâmetro de 0,374 m.
y
injetor
φA = 0,7
entrada
φB = 1,78
o
φC = 3,58
o
o
saída
π
0,331m
0,374m
x
0,200m
injetor
S1
0,200m
S2
0,200m
S3
S4
FIGURA 5.5 – Esquema ilustrativo da câmara de mistura da injeção.
A superfície π (região sombreada na FIG. 5.5) corresponde à parte plana que vai
dando lugar à geometria circular, à medida que se avança na direção longitudinal. O critério
231
adotado no projeto é de que a área transversal se mantenha constante. Desta forma, a
superfície π vai recebendo inclinações sucessivas para adaptar a geometria seguinte. A partir
da entrada da câmara de injeção, os cantos começam a ser arredondados no sentido de
conformar-se à geometria da seção S2. A região plana remanescente sofre uma pequena
inclinação divergente de 0,7 graus. O mesmo procedimento se repete nas regiões seguintes,
com ângulos de divergência da região plana com valores crescentes, de acordo com os dados
da figura, até o final da câmara de injeção, seção S4, onde a geometria é perfeitamente
circular. Como se pode constatar então, a idéia original (Sverdrup, 1989) é aproveitar a região
de transição do túnel (de retangular na segunda garganta para circular na entrada do primeiro
difusor) como câmara de injeção.
5.2.2 Simplificação geométrica
A perfeita representação numérica desta geometria não constitui uma tarefa simples.
No interior da câmara de injeção, particularmente nas primeiras estações, os cantos retos
desaparecem, dando lugar a um segmento de circunferência e sua representação detalhada,
numa malha computacional para cálculo em diferenças finitas, exigiria um número de pontos
muito grande e os recursos computacionais necessários seriam incompatíveis com a
disponibilidade atual (do autor). Desta forma, respaldando-se nas idéias de que o fator
geométrico mais importante é a área transversal constante ao longo do eixo do túnel
(Sverdrup, 1995), e de que a natureza do presente trabalho incorpora até certo ponto um
“enfoque de engenharia”, a câmara de mistura foi aproximada por uma geometria de área
transversal constante – a seção quadrada da entrada foi prolongada ao longo de todo o
comprimento longitudinal. As FIGS. 5.6 e 5.7 apresentam esta nova geometria, e mostram
232
também o sistema básico de referência, x, y, z. Os dois planos, vertical e horizontal, que
contêm o eixo central desta geometria simplificada são planos de simetria do problema físico
em pauta – veja também a FIG. 5.8. Destarte, o domínio efetivo de cálculo pode ser reduzido
à quarta parte do total, e assim, considera-se a região sombreada da FIG. 5.7, o quadrante
inferior direito, como a região de enfoque na simulação numérica. Entretanto, mesmo com
esta simplificação geométrica, é preciso cuidar com o número de pontos envolvidos na malha.
face
superior
y
eixo
central
face lateral
direita
z
face lateral
esquerda
eixo x
face
inferior
FIGURA 5.6 – Seção de entrada da câmara de mistura vista de frente. Eixo x entrando
no papel.
y
face superior
face lateral esquerda
eixo central
face de
saída
x
face inferior
face de
entrada
face lateral direita
z
FIGURA 5.7 – Vista tridimensional da câmara de injeção, destacando o quadrante inferior
direito e os planos de suas fronteiras. Direções: x, longitudinal, y, vertical e z,
lateral.
233
A FIG. 5.8 mostra novamente a fronteira de entrada, detalhando as posições dos
injetores (cinco no teto e cinco no piso) e o destaque do quadrante inferior direito, que será
discretizado para o cálculo em diferenças finitas. Observe-se que o espaço computacional
inclui dois injetores inteiros e meio injetor (passando um plano de simetria pelo meio do
injetor central) – ver região sombreada da figura. É muito interessante uma comparação entre
as figuras 5.8 e C.6 (apêndice C, pág. 362).
y
1
2 3
4 5
A B C D E
z
FIGURA 5.8 – Detalhe da seção de entrada da câmara de mistura da injeção.
234
Para que o código seja significativamente consistente, o modelo de turbulência
adotado requer que o ponto mais próximo à fronteira sólida esteja a uma distância
adimensional y+ da ordem de 1. Na direção longitudinal x a exigência seria aplicável apenas
nas proximidades das bordas dos bicos injetores. Esta questão é a mesma encontrada na
representação da placa de separação entre os escoamentos para os problemas de mistura de
jatos, que foi discutida em detalhes no capítulo 4, no item 4.5 (pág. 199). Como visto lá, para
representar corretamente a presença das bordas (espessuras) dos injetores, haveria um aumento
muito grande do número de pontos junto à face de entrada, com uma conseqüente redução no
número de CFL pelo aumento da rigidez (“stiffness”). Como esta dimensão é muito pequena
comparada com a altura (ou largura) dos injetores, e como o perfil de velocidades na mistura
dos escoamentos se define rapidamente – numa distância aproximada de quatro vezes a
espessura da placa (Benay e Servel, 2001) – optou-se por desprezar o detalhamento dessa
região. Mesmo assim, para que seja possível assegurar uma boa resolução de malha, foram
escolhidas 121 estações uniformemente espaçadas na direção longitudinal (∆ x = 0,005 m).
Nas direções y e z, entretanto, a exigência do modelo de turbulência resultou em 141
e 368 pontos de cálculo, respectivamente, para representar as diversas regiões de refinamento
próximas às paredes e às regiões de mistura dos jatos. Desta forma, a malha de cálculo
resultante (121 x 141 x 368), abrangendo um quarto da câmara de injeção, contém mais de seis
milhões de pontos. O arquivo de armazenamento necessário é superior a 1 GB com
memória RAM principal superior a 2 GB. Considerando-se o equipamento à disposição do
autor, (PC com 2000 MHz de freqüência de “clock” e 512 MB de memória RAM), e levandose em conta a necessidade de se “rodar” o código muitas vezes em função de correção de
erros, diversas análises com variações de parâmetros, testes vários, etc., a malha em pauta
praticamente inviabilizaria, na prática, o trabalho a ser realizado. Por isso, decidiu-se pela
realização do cálculo de uma forma mais otimizada, passando por duas malhas com
235
refinamentos seqüenciais, sendo a malha 121 x 141 x 368 a malha de maior refinamento.
Entretanto, esta malha fina teria que ser dividida em sub-malhas.
5.2.3 Processo de obtenção das malhas fina e grossa
Numa primeira etapa o cálculo é processado na malha grossa – formada tomando-se os
pontos de ordem ímpar nas direções x, y e z da malha fina correspondente, resultando numa
malha 61 x 71 x 185 – exeqüível com os recursos computacionais disponíveis. Observe-se que,
para as direções x e y o número de pontos em cada direção na malha grossa é igual a
(n + 1) / 2, onde n é o número de pontos em cada direção respectiva na malha fina.
Na direção z há um detalhe adicional que será visto depois. De um modo geral, a malha grossa
não atende rigorosamente a exigência de discretização requerida pelo modelo de turbulência
junto às fronteiras sólidas, embora não se tenha constatado qualquer prejuízo nos resultados
obtidos nesta malha, a não ser a esperada perda de acurácia pelo empobrecimento da
discretização. A idéia exposta até aqui para obtenção das malhas de cálculo, foi realizada a
partir de um procedimento que é descrito a partir de agora.
A FIG. 5.8 mostra uma vista da seção de entrada (correspondendo à seção S1 da
FIG. 5.5) com subdivisões apropriadamente escolhidas – linhas tracejadas –, de forma a
delimitar regiões com geometrias semelhantes, facilitando o processo de obtenção da malha
final. Isto é possível porque os injetores estão localizados com igual espaçamento, como
sugere a figura, exceto a distância entre o último injetor e a parede lateral do túnel. Como já
foi visto, existem dois planos de simetria, vertical e horizontal, os quais contêm o eixo central
da câmara de injeção. Na FIG. 5.8 o plano de simetria vertical é indicado pelo numeral “1”.
236
Entretanto, há, o que se poderia chamar, “planos de simetria secundários”, numerados de “2”
a “5”, correspondendo às posições centrais dos injetores e entre injetores vizinhos. Estes
planos guardam um caráter de simetria aproximada local e serão úteis para dividir o problema
em partes. Desta forma, foram criadas cinco sub-malhas finas indicadas pelas letras de A a E,
conforme mostra a FIG. 5.8. Pela geometria, as malhas B e D são idênticas. As malhas A e C
são quase idênticas, exceto que a malha A inclui um plano adicional, além do plano de
simetria vertical 1, plano este criado para representar numericamente a condição de simetria.
Além disso, B e D são malhas idênticas à malha C, invertida em relação à direção z (uma
malha é a imagem especular da outra). Finalmente, a malha E é diferente das demais por ter
maior largura e pela presença da parede lateral do túnel, que exige uma outra região de
refinamento de malha. As cinco sub-malhas criadas, quando justapostas, formam a malha fina
de todo o quadrante sombreado na figura com 121 x 141 x 368 pontos. A partir desta malha,
foi obtida a malha grossa, eliminando-se os pontos pares, tomando-se os cuidados necessários
nos chamados pontos singulares da malha, que são os pontos nos planos centrais das camadas
de mistura, como já comentado no capítulo 3, item 3.6. Observe-se que, na direção z, há um
número par de pontos e esse processo se aplica com um detalhe a mais que será visto
oportunamente. Isto é causado pelo fato de que o plano de simetria vertical 1 contém pontos
considerados singulares, nesta concepção.
A FIG. 5.9 mostra o plano de entrada da malha criada para a região A da FIG. 5.8.
Observe-se as regiões com refinamento nas proximidades das paredes do injetor central.
As malhas B, C e D foram obtidas diretamente a partir desta malha – note-se que as malhas B
e D são imagens especulares de A. A FIG. 5.10 mostra o plano de entrada da malha criada
para a região E da FIG. 5.8. Aqui há mais uma região de refinamento próximo à parede lateral
direita do túnel. Para o número total de nós em cada malha veja a FIG. 5.13, pág. 241.
237
0.028
0.027
0.150
0.026
0.025
0.024
0.023
0.022
0.100
0.021
0.020
0.006
0.008
0.01
0.007
0.050
0.006
0.005
0.004
0.003
0.000
0
0.002
0.02
0.001
0.000
0.005 0.006 0.007 0.008 0.009
0.01
FIGURA 5.9 – Fronteira de entrada da malha adotada para a região A da FIG. 5.8.
0.028
0.027
0.026
0.025
0.160
0.024
0.023
0.022
0.021
0.140
0.020
0.019
0.018
0.135
0.14
0.145
0.120
0.028
0.027
0.100
0.026
0.025
0.024
0.023
0.080
0.022
0.021
0.020
0.019
0.018
0.060
0.017
0.016
0.155
0.040
0.16
0.165
0.17
0.014
0.013
0.012
0.011
0.010
0.009
0.020
0.008
0.007
0.006
0.005
0.004
0.000
0.003
0.15
0.002
0.001
0.000
0.155
0.16
0.165
FIGURA 5.10 – Fronteira de entrada da malha adotada para a região E da FIG. 5.8.
238
Assim, a malha fina global é composta pela justaposição das cinco malhas A, B, C, D
e E, na seqüência. Entretanto, como já mencionado anteriormente, o cálculo na malha global
(em todo o quadrante inferior direito da FIG. 5.8) só será realizado na malha grossa.
A FIG. 5.11 mostra os detalhes de dimensões na face de entrada do quadrante a ser calculado
com as cotas de posicionamentos dos injetores, como também os índices contadores dos nós
nas malhas fina e grossa correspondentes. A partir das cotas da figura, determinam-se os
parâmetros geométricos relativos a toda a câmara de injeção que estão apresentados na TAB. 5.4.
Destaque-se que a exigência do modelo de turbulência de Spallart-Allmaras é
perfeitamente atendida nas cinco malhas mais finas, pelos refinamentos utilizados nas
proximidades das paredes do injetor e das paredes do túnel, cujos espaçamentos mínimos
adotados foram de 3x10-6 m e 1,7x10-6 m, e os alongamentos de malha foram de 22% e 41%,
respectivamente.
K
 (1)

 1
(2)
(36)
(70)
(104)
(138)
(185)
2
70
138
206
274
368
141 (71)
140 (70)
A
B
C
D
E
0,1657
0,01567
0,02257
0,0325 0,0325 0,0325 0,0325
0,001
1 (1)
0,0357
1
424
3
j
FIGURA 5.11 – Detalhe da seção de entrada da malha de cálculo tridimensional. Cotas em
metros. Os índices nas direções y e z, estão indicados para as malhas fina e
grossa (entre parênteses).
239
TABELA 5.4 – Parâmetros da câmara de injeção.
2
Área transversal total (m )
0,1098
Razão de áreas transversais (entre escoamento principal e injetores)
30,0
Razão entre altura e largura do injetor
1,44
Razão entre a “meia-largura” da seção de injeção e a largura do injetor
21,1
Razão entre a meia altura da câmara de injeção e a altura do injetor
7,34
A FIG. 5.12 mostra o espaço computacional tridimensional da malha global
(quadrante) com o posicionamento e numeração dos injetores, como serão empregados neste
trabalho. Há referência às posições extremas da malha de cálculo e aos planos de contorno
da região.
face superior
(simetria horizontal)
j = jmax
face lateral esquerda
(simetria vertical)
face de
entrada
i

j = 1
k 
sentido de fluxo
injetor 1
face de saída
face lateral direita
(parede lateral)
injetor 2
i = imax
injetor 3
face inferior
(piso)
k = kmax
FIGURA 5.12 – Esquema do campo de cálculo global.
240
5.2.4 Estratégia de cálculo e passagem de parâmetros entre as malhas seqüenciais –
questão referente ao plano de simetria
A FIG. 5.13 mostra a estratégia de cálculo adotada para a resolução do problema,
objetivando o uso otimizado dos recursos computacionais. Depois de estabelecidas as
condições iniciais e de contorno na malha grossa, o processo de cálculo é iniciado até a
obtenção da solução convergida. A seguir, todos os parâmetros dos nós da malha grossa são
transferidos para os nós das posições ímpares das cinco malhas finas, como condição inicial
para o processo de cálculo na malha fina. Os parâmetros nos nós das posições pares das
malhas finas são interpolados a partir dos nós vizinhos, segundo procedimento já apresentado
no capítulo 3, item 3.6. Particularmente, os parâmetros dos planos 2, 3, 4 e 5 do interior da
malha grossa (FIG. 5.8) são transferidos para as malhas finas correspondentes como fronteiras
de valores impostos. Por exemplo, o plano 2 será fronteira de valores impostos para as malhas
finas A e B, como indicado na figura, e assim por diante. Após o cálculo nas cinco malhas
finas, o resultado é justaposto em uma malha global, como indica a figura, a partir da qual são
calculados os parâmetros macroscópicos da câmara de injeção – os planos além simetria são
retirados, por não serem mais necessários.
241
1
2
A
3
B
4
C
malha grossa (61x71x185)
5
D
condição de parede
E
condição de simetria
plano além simetria
fronteira de valores impostos
A
B
C
121x141x70
121x141x69
D
121x141x69
malhas finas
121x141x69
E
121x141x95
144444444444444424444444444444443
justaposição das malhas
A
B
C
D
E
malha fina global (121x141x368)
FIGURA 5.13 – Estratégia empregada para o cálculo na seqüência de malhas.
Um cuidado adicional foi necessário para evitar um conflito em relação à malha A
quanto à obtenção da malha grossa a partir da malha fina correspondente, por causa do plano
de simetria vertical. Isto porque é necessário que o posicionamento do plano simétrico
(plano 1) seja imutável (sempre na origem do eixo z) tanto na malha grossa quanto na malha
fina correspondente. A FIG. 5.14 ilustra a dificuldade encontrada. Na figura estão
representadas linhas de cálculo nas ordens correspondentes nas malhas fina e grossa,
242
destacando-se a linha de simetria (traço-ponto) e a linha além simetria (tracejada).
Empregando o procedimento normal de obtenção dos pontos da malha grossa a partir dos
pontos de ordem ímpar da malha fina, a linha de simetria, como é de ordem par, desapareceu
na malha grossa, resultando num deslocamento da linha de simetria, o que não deveria ocorrer.
MALHA FINA
1
1
2
3
2
4
5
3
6
7
4
8
9
5
10
11
12
13
MALHA GROSSA
6
7
14
15
8
16
17
9
18
19
10
20
21
11
FIGURA 5.14 – Obtenção da malha grossa a partir da malha fina para a região A.
Assim, a maneira para evitar isto foi criar, como “subterfúgio”, uma linha de cálculo
extra, além simetria, que só é utilizada para gerar a malha grossa correspondente – a malha
fina não a utiliza para o cálculo. A FIG. 5.15 ilustra o fato, com a representação dessa linha
extra chamada 1´. Desta forma a linha de simetria se manteve geometricamente inalterada e
na segunda posição na malha grossa, estando entre duas linhas igualmente distanciadas dela,
como se requer para aplicação da condição de simetria. Quando é realizada a passagem de
valores da malha grossa para a malha fina não há problema porque em todas as linhas “além
simetria” os valores não são passados, visto que os mesmos são tomados a partir dos valores
do interior da malha, pela condição de simetria. Por causa deste procedimento de obtenção da
malha grossa, os 368 pontos na direção z da malha fina resultaram em ((368 + 1) + 1) / 2 = 185
pontos na malha grossa.
243
MALHA FINA
1´
1
1
2
2
3
4
3
5
6
4
7
8
9
10
11
MALHA GROSSA
5
6
12
7
13
14
8
15
16
9
17
18
10
19
20
11
FIGURA 5.15 – Obtenção da malha grossa a partir da malha fina para a região A, mantendo a
posição geométrica do plano de simetria.
Na direção y também há um plano de simetria o qual requer um plano extra
(“além simetria”). Mas aqui o plano de simetria horizontal não precisa estar num
posicionamento perfeito na malha grossa porque ele está numa região de escoamento “quasepotencial” e distante dos injetores. Assim, um pequeno erro é introduzido na criação do plano
“além simetria” na direção y da malha grossa, o qual será rapidamente corrigido nas primeiras
iterações (ao ser imposta a condição de simetria na localização correta deste plano
na malha fina).
É importante destacar de antemão que a utilização de valores da solução da malha
grossa como condições de contorno imutáveis (durante o processo iterativo final) nas paredes
laterais das malhas finas introduz um erro. Isto, considerando-se que esses valores que vêm da
malha grossa não correspondem à solução final do problema na malha fina global. Este é um
dos preços que se teve que pagar pela falta de capacidade computacional. O ideal seria,
evidentemente, “rodar” a malha fina completa depois de receber os valores da malha grossa.
Nestas condições, a acurácia final não será aquela correspondente à discretização da malha
fina, porém, será algo intermediário às duas malhas.
244
5.2.5 Espalhamento da malha de cálculo
Um bom refinamento da malha na fronteira de entrada nas proximidades das paredes é
de grande importância para que seja possível representar com precisão os perfis de
propriedade nas camadas limite e caracterizar bem o início da mistura de jatos. Entretanto, ao
longo da direção longitudinal, a partir do surgimento da camada de mistura, o refinamento
adotado na fronteira de entrada é demasiado, agravando o fenômeno de rigidez o que, no fim,
dificulta a convergência do código. Para diminuir este efeito, a distribuição de pontos em cada
plano transversal sofreu um espalhamento lateral gradativo, a partir da estação i = 5 na malha
fina (3 na malha grossa) e indo até a estação i = 65 na malha fina (33 na malha grossa), de
forma a distribuir os pontos de cálculo, diminuindo o refinamento local. O procedimento
empregado consistiu no cálculo das cotas nas direções transversais y e z, numa determinada
estação longitudinal i, a partir da média aritmética das cotas de três ou mais pontos (centrados
no ponto correspondente da malha computacional) numa estação longitudinal anterior (i – 1).
Lembrar que devido ao estiramento os nós em (i – 1) não estão igualmente espaçados nas
direções y e z. Com isso, foi possível trabalhar com passos no tempo muito maiores.
A FIG. 5.16 mostra cortes transversais com detalhes em seis diferentes estações da
malha grossa (i = 1, 10, 20, 30, 40 e 60). Com este espalhamento permite-se que os pontos de
cálculo se distribuam mais uniformemente, acompanhando a tendência de crescimento das
camadas de mistura, melhorando a resolução da malha, e evitando a concentração dos pontos,
o que causa o fenômeno da rigidez. Mais uma vez vale lembrar que o espalhamento “destrói”
a estrutura cartesiana da malha, o que, entretanto, não acrescenta nenhuma dificuldade
considerando que o código está “escrito” em coordenadas generalizadas (veja também
a pág. 191).
245
0.16
0.16
0.16
0.14
0.14
0.14
0.12
0.12
0.12
0.1
0.1
0.1
0.08
0.08
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.04
0.02
0.02
0.02
0
0
0.05
0.1
0.15
0
0
i=1
0.05
0.1
0.15
0
0
i = 10
0.16
0.16
0.14
0.14
0.14
0.12
0.12
0.12
0.1
0.1
0.1
0.08
0.08
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.04
0.02
0.02
0.02
0.05
0.1
i = 30
0.15
0
0
0.05
0.1
i = 40
0.1
0.15
i = 20
0.16
0
0
0.05
0.15
0
0
0.05
0.1
0.15
i = 60
FIGURA 5.16 – Cortes transversais da malha tridimensional em diversas estações na direção
longitudinal.
5.3 Condições de contorno para as diversas malhas
É importante neste ponto uma discussão detalhada das condições de contorno,
principalmente devido à complexidade do plano de entrada. Iniciar-se-á pelas malhas finas,
considerando-se que as condições de contorno da malha grossa na seção de entrada são
praticamente uma justaposição daquilo que se estabelece para as malhas finas.
246
5.3.1 Condições de contorno para a malha A
5.3.1.1 Face de entrada
A malha de cálculo a ser tratada em detalhes, região A nas FIGS. 5.8, 5.11 e 5.13, se
projeta ao longo de toda a câmara de mistura. A FIG. 5.17 mostra um esquema da fronteira de
entrada, representando suas diversas sub-regiões, que terão tratamentos específicos, conforme
as diferentes condições físicas impostas. Essas sub-regiões foram definidas depois da
determinação das espessuras das camadas limite no interior e no exterior do injetor, e na
parede do túnel, como apresentado na TAB. 5.1. É muito importante que o leitor entenda que
a face de entrada da malha contém a face vertical (“parede”) de saída do injetor – veja detalhe
na FIG. 5.17.
As paredes do injetor “não serão consideradas” para o cálculo (no sentido da
discretização), como já foi discutido, mas haverá um espaçamento de cinco pontos na malha
fina, correspondendo a três pontos na malha grossa, necessários para utilização da técnica de
malhas seqüenciais (ver capítulo 3, item 3.6). Esses pontos de cálculo, embora não modelem a
física em detalhe, são úteis para uma representação da distribuição da temperatura na
espessura metálica das paredes do injetor. Existe uma diferença de temperatura estática entre
as duas correntes igual a 30 graus Celsius (veja FIG. 5.27, pág. 263).
Os sub-itens a seguir tratam do detalhe de cada uma das sub-regiões da fronteira de
entrada, conforme apresentado na FIG. 5.17.
247
face de entrada da malha
face de saída (“parede”) do injetor
plano 1
plano 2
plano de simetria horizontal
face de
saída
face lateral
esquerda
face
superior
face lateral
direita
d
e1
g
i
b1 c1
face
inferior
parede
do injetor
face de
entrada
a
e2
b3
b2 c2
h
f
piso do túnel
FIGURA 5.17 – Malha de cálculo “A” com detalhe das sub-regiões da fronteira de entrada.
Região interna ao injetor
As condições de contorno na região interna ao injetor são fixas, i. e., uma vez
estabelecidas, elas não variarão de iteração para iteração. Entretanto o valor dessas condições
para um determinado ponto dependerá de sua distância à parede mais próxima. Como foi
discutido no item 5.1.1, existem camadas limite ao longo de cada parede interna do injetor.
Se a distância do ponto à parede mais próxima for maior que a espessura da camada limite
correspondente, o mesmo se encontra dentro da região a que é mostrada no detalhe
da FIG. 5.17. Com a finalidade de simplificar a terminologia a região a será chamada de
“potencial”, no sentido que aí os gradientes de propriedades são desprezíveis. Entretanto, na
região a o escoamento é turbulento. Se o ponto estiver localizado em uma outra região que
não a a, regiões b1, c1, b2, c2 e b3, então o mesmo estará posicionado dentro de uma camada
limite. O detalhamento empregado para a fixação das condições de contorno em cada uma
dessas sub-regiões será apresentado em seguida.
248
Escoamento interno ao injetor: núcleo potencial supersônico – região a
Na região a o escoamento é supersônico, M = 1,9 (TAB. 5.1), e as propriedades são
todas definidas pelas condições de estagnação e pela geometria do bocal, o qual trabalha na
condição de entupimento aerodinâmico. Neste caso, para as equações principais
(continuidade, quantidade de movimento e energia), cinco parâmetros do escoamento são
impostos: a pressão de estagnação, a temperatura de estagnação e os componentes de
velocidade nas três direções (em particular, v = w = 0, pois o escoamento é alinhado
longitudinalmente). O argumento principal para a imposição de todas as condições de
contorno no caso de uma entrada supersônica lastreia-se na teoria de características da
dinâmica dos gases – ver apêndice A. Resumindo, pode-se dizer que, neste caso, todas as
informações “carregadas” pelas velocidades características chegam ao plano de entrada
“transportadas” no sentido do escoamento supersônico.
Além desses parâmetros, ainda resta estabelecer o valor da viscosidade turbulenta para
esse núcleo potencial supersônico. O valor foi inferido a partir de informações coletadas na
literatura e uma análise empírica comparando com o valor atribuído ao escoamento principal.
Espera-se que a flutuação de velocidade na tubulação da injeção seja comparativamente bem
maior do que no escoamento principal, devido a várias passagens por válvulas, curvas, etc.
Assim, foi estabelecido um valor de flutuação de velocidade de 6 % para o jato supersônico
dos injetores, ou seja,
u′′ u∞ = 0,06 ,
(5.4)
onde u ′′ é o componente de flutuação da velocidade longitudinal e u∞ a velocidade
longitudinal média do escoamento supersônico. A partir da energia cinética turbulenta média
249
e de um comprimento característico é possível avaliar a viscosidade turbulenta, relacionada a
partir da hipótese de Boussinesq, pela fórmula (Bradshaw et al., 1981):
µt = Cµ ρ k
1
2
l.
(5.5)
A constante Cµ é igual a 0,09, o comprimento característico l correspondente à região do
núcleo potencial pode ser obtido em função da espessura da camada limite (ver capítulo 3,
item 3.7.4), ρ é a densidade no núcleo potencial e k é a energia cinética turbulenta,
expressa por:
k=
1
u′′ u′′ .
2
(5.6)
A partir dessas considerações, chegou-se ao valor da viscosidade dinâmica turbulenta
adimensionalizada pela viscosidade laminar do núcleo potencial supersônico, igual a 4,5.
Escoamento interno ao injetor: camadas limite – regiões b1, b2 e b3
As regiões assinaladas por b1, b2 e b3 referem-se às regiões de camadas limite nas
paredes internas do injetor. A partir das condições do escoamento no núcleo “potencial” e da
espessura da camada limite local (ver TAB. 5.1), é possível determinar os perfis de
velocidade, pressão e temperatura no interior das camadas limite, pelo procedimento descrito
no capítulo 3, item 3.7.3. Assim como na região a o escoamento nas camadas limite é
considerado longitudinal, portanto, v = w = 0.
Finalmente, o valor da viscosidade turbulenta na região da camada limite é
determinado pelo procedimento descrito no capítulo 3, item 3.7.4, partindo-se da distância do
250
ponto de cálculo até à parede e das distribuições de energia cinética e comprimento
característico, pelo emprego da Eq. 5.5.
Escoamento interno ao injetor: interação entre camadas limite b1, b2 e b3 – regiões c1 e c2
As regiões c1 e c2 representam os cantos do injetor, nos quais ocorre interação entre
duas camadas limite das regiões b1 e b3, e b2 e b3, respectivamente. Esses cantos são de
difícil avaliação se tomados no detalhe, necessitando de um comprimento adicional anterior à
seção de entrada para o cálculo da região de interferência das camadas limite. Como essas
regiões, e até mesmo as próprias espessuras das camadas limite, são muito pequenas em
relação às dimensões principais do problema (inclusive em relação à espessura da camada de
mistura entre as correntes – que desempenha papel fundamental no problema), uma
simplificação foi adotada. Essa simplificação consiste em tratar os cantos com o mesmo
enfoque do tratamento da proximidade da parede plana, ou seja, a partir da distância à parede
mais próxima os parâmetros do escoamento serão definidos pela lei da parede. A FIG. 5.18
mostra um detalhe desta região destacando as sub-regiões c1 e c2 (sombreadas). Para um
ponto no interior da sub-região c2 (pequeno quadrado preto) as propriedades são calculadas a
partir da distância à parede mais próxima.
A questão que se coloca aqui é da mesma natureza daquela relativa ao escoamento em
torno do injetor. Para se estimar os cantos com precisão, torna-se necessário calcular o
escoamento tridimensional interno ao duto que vai da câmara de estagnação do injetor até a
seção de saída. Novamente um problema extremamente complicado. E ressalte-se aqui o fato
já destacado acima que as dimensões dos cantos são muito pequenas, e, portanto, a influência
do mesmo sobre o problema como um todo é muito pequena. Por exemplo, a relação entre a
área do canto c2 e a área de saída do injetor é aproximadamente 0,4 %. Isto justifica, pelo
251
menos em princípio, as aproximações e suposições utilizadas na modelagem dos chamados
cantos, i. e., interações entre duas camadas limite que se encontram transversalmente.
c1
e2
parede do
injetor
b3
f
h
c2
FIGURA 5.18 – Malha de cálculo “A” com detalhe das sub-regiões c1 e c2.
É importante destacar que este esquema de simplificação só foi possível porque as
espessuras de camadas limite adjacentes são iguais. Desta forma, o critério estabelecido
suaviza numericamente as condições nos cantos – os parâmetros, portanto, serão avaliados da
mesma forma que nas regiões b1, b2 e b3. A FIG. 5.19 mostra os campos de velocidade e de
viscosidade turbulenta resultantes para o canto c2, que está destacado na figura pelas linhas
tracejadas. Observe-se a suavidade das distribuições das curvas de velocidade e de
viscosidade turbulenta no canto, indicando ter sido boa a abordagem empregada.
252
4.5
0.0015
0.0015
502.5
17.4
497.9
0.001
493.3
0.001
62.7
484.7
125.4
141.8
469.4
0.0005
0
0.0005
451.5
125.4
418.8
389.7
335.0
0.006
62.7
17.4
0.0065
0.007
0.0075
isolinhas de u (m/s)
0.008
0
0.006
4.5
0.0065
0.007
0.0075
0.008
isolinhas de µt (µ l )∞
FIGURA 5.19 – Detalhes dos campos de velocidade e viscosidade turbulenta no canto c2,
interior ao injetor, destacado pelas linhas tracejadas. Coordenadas em metros.
Região externa ao injetor
Ao contrário da região interna, a região externa ao injetor tem condições de contorno
que não podem ser fixadas definitivamente de início. Em outras palavras, essas condições
variam de iteração para iteração (pelo menos durante a fase de convergência do cálculo).
O que ocorre é o seguinte. A região “potencial” externa ao injetor é indicada pela letra d
na FIG. 5.17. Nessa parte da face de entrada o escoamento é subsônico, visto que o mesmo
representa a corrente principal do túnel. Para uma entrada subsônica, uma das condições de
contorno tem que ser extrapolada a partir da solução interna do domínio. Isto é uma
conseqüência física do fato de que uma das velocidades características longitudinais, (u – a),
transporta informação a montante – veja capítulo 3, item 3.7.2. Assim, após cada iteração, as
condições em d são atualizadas, e, em conseqüência, todas as distribuições internas às
camadas limite, regiões e1, g, e2, h e f, têm que ser atualizadas em seguida.
Enquanto na região interna ao injetor um único parâmetro, a distância à parede mais
próxima, era usado para realizar toda a lógica de cálculo, na região externa isto não pode
253
ser feito. Como há camadas limite com espessuras diferentes, é preciso que cada uma dessas
regiões seja calculada de forma particular. Para isto, o código usa ponteiros lógicos nas
posições relativas às bordas das camadas limite em cada uma das sub-regiões. Os detalhes do
procedimento serão apresentados a seguir.
Escoamento externo ao injetor: núcleo potencial subsônico – região d
A FIG. 5.20 é uma reapresentação da FIG. 5.17, mostrando como foram tratados os
pontos dessa região. A região sombreada – região d – representa o núcleo “potencial” subsônico.
A evolução das condições de contorno na fronteira de entrada da câmara de mistura
deve reproduzir corretamente o fenômeno físico presente na operação do túnel com uso
conjunto da injeção, como descrito no item 5.1.2. No plano de entrada, sendo o regime
subsônico, há quatro velocidades características positivas no sentido da corrente e uma
velocidade característica negativa transportando informação a montante (ver capítulo 3,
item 3.7.2). Os quatro parâmetros impostos na entrada são a temperatura de estagnação, os
componentes de velocidade transversais (v = w = 0) e, finalmente, a pressão estática –
observe-se que a pressão estática é escolhida pelo critério de projeto de que as pressões
estáticas nos dois escoamentos devem se igualar – ver item 5.1.2. O parâmetro a ser
extrapolado é o componente de velocidade na direção longitudinal u.
O efeito da injeção induz um aumento da velocidade do escoamento na fronteira de
entrada aumentando, conseqüentemente, a pressão de estagnação (deve-se lembrar que a
pressão estática está fixada). Permite-se inicialmente o aumento da pressão de estagnação.
Como descrito no item 5.1.2, esse valor será limitado ao estimado pelo resultado da análise
conjunta de todo o circuito do túnel. Quando a pressão de estagnação atinge este valor limite,
ocorre uma troca de parâmetros impostos. Quer dizer, abandona-se a pressão estática e passa-
254
se a fixar a pressão de estagnação no plano de entrada. A partir daí a pressão estática poderá
então sofrer algum tipo de variação.
A aplicação da técnica de características para atualização (após cada iteração) de todos
os parâmetros do escoamento médio no núcleo potencial subsônico foi feita de acordo com o
procedimento descrito no capítulo 3, item 3.7.3. Os pontos sobre a borda das camadas limite
não foram calculados, pois serão tratados durante o cálculo das camadas limite. Os pontos
sobre as linhas de simetria também não foram calculados, uma vez que serão tratados
convenientemente quando as relações de simetria forem estabelecidas.
d
e1
g
i
b1 c1
a
e2
b3
b2 c2
h
f
FIGURA 5.20 – Detalhe da sub-região d.
Resta, ainda, estabelecer o valor da viscosidade turbulenta para esse núcleo potencial
subsônico. Novamente, por falta de informações mais precisas, a literatura forneceu uma
aproximação para uma avaliação do nível de turbulência global na câmara de estagnação do
túnel. Alguns autores relatam níveis de turbulência típicos para escoamentos confinados, em
255
particular, em túneis de vento: Dryden e Schubauer (1947) analisam a melhora no
desempenho das telas ao distribuir seus efeitos em mais de uma tela, McKinney e
Scheiman (1981) apresentam os tratamentos empregados no túnel de 2,2 m x 2,2 m de
Langley para redução de turbulência, Wigeland et al. (1979) compilam resultados da
turbulência de escoamento livre em inúmeros túneis e Scheiman (1981) faz uma comparação
entre cálculos teóricos com os encontrados em ensaios no túnel de 2,2 m x 2,2 m de Langley
com uso de telas e colmeias. A partir dos valores típicos encontrados e das características do
sistema de amortização da turbulência utilizado na câmara de tranqüilização do TTP (duas
telas – uma colmeia – uma tela), atribuiu-se um valor de 1 % de flutuação no valor do
componente longitudinal de velocidade devido à turbulência para a câmara de tranqüilização.
Este valor foi considerado igual ao da entrada da câmara de mistura da injeção, i. e., uma
operação com seção de testes vazia. Assim, estabeleceu-se
u ′′
= 0 ,01 ,
u∞
(5.7)
onde u ′′ é o componente de flutuação da velocidade longitudinal e u∞ a velocidade média da
corrente subsônica. Novamente, a partir da energia cinética turbulenta média e de um
comprimento característico é possível avaliar a viscosidade turbulenta, empregando
a Eq. (5.5), e procedimento descrito no capítulo 3, item 3.7.4.
Escoamento externo ao injetor: camadas limite sobre o injetor – regiões e1 e e2
As sub-regiões assinaladas por e1 e e2 são as camadas limite formadas sobre a
superfície externa do injetor. A FIG. 5.21 mostra detalhes das sub-regiões e1 e e2,
destacando toda a região abrangida pelo cálculo – região sombreada. A linha tracejada
corresponde à fronteira da sub-região d, cujos valores “acabaram” de ser atualizados. O ponto
256
destacado (pequeno quadrado preto) no interior da sub-região e2 tem suas propriedades
calculadas a partir da distância mínima à parede mais próxima (ponto marcado por quadrado
vazado) e das propriedades no primeiro ponto fora da camada limite (ponto marcado por
círculo vazado) – os três pontos estão na mesma cota horizontal da malha.
d
parede do
injetor
g
e1
e2
b1
a
c1
b3
h
b2
f
c2
FIGURA 5.21 – Detalhe das sub-regiões e1 e e2.
A espessura da camada limite foi avaliada a partir do comprimento de formação ao
longo do injetor pelo procedimento descrito no capítulo 3, Eq. (3.93) e no item 5.1, Eq. (5.1).
Com esta informação e os valores de propriedades no primeiro ponto fora da camada limite, já
atualizados, (região d) pode-se imediatamente determinar as distribuições de u, p e T de
acordo com procedimento descrito no item 3.7.3, para todos os pontos da camada limite.
Os componentes v e w são considerados nulos e, a partir da velocidade na borda da camada
257
limite, pode-se avaliar o perfil de viscosidade turbulenta pelo procedimento descrito no
capítulo 3, item 3.7.4.
A FIG. 5.22 traz o roteiro empregado para o cálculo de uma camada limite genérica.
Basicamente, os parâmetros do escoamento externo são usados para avaliar os parâmetros
sobre a parede, e a partir dos valores na parede é possível calcular o valor da velocidade de
atrito que servirá de parâmetro básico para aplicação da lei logarítmica no cálculo dos pontos
da camada limite (capítulo 3, item 3.7.3).
Parâmetros que vêm do escoamento
externo – atualização por características
uex, pex, Tex
Cálculo dos parâmetros na parede
pw = pex
Tw – Eq. (3.97)
ρw – Eq. (2.5)
µw – fórmula de Sutherland, Eq. (5.2)
Cálculo iterativo da velocidade de atrito
uτ – Eq. (3.94)
Cálculo dos pontos intermediários da
camada limite – itens 3.7.3 e 3.7.4.
FIGURA 5.22 – Roteiro de cálculo empregado nas camadas limite.
Escoamento externo ao injetor: interação entre camadas limite e1 e e2 – região g
A sub-região assinalada por g é de difícil resolução se tomada no detalhe e, além disso,
a interferência entre as camadas limite e1 e e2 (canto convexo) ocorre de forma diferente
daquela entre as camadas limite b1 e b3 (canto côncavo). Da mesma maneira como em casos
semelhantes anteriores, optou-se aqui por uma solução aproximada. Assim, a sub-região será
tratada de forma semelhante às sub-regiões c1 e c2, a partir da distância mínima à parede.
258
A concordância é boa, visto que as espessuras das camadas limite e1 e e2 são iguais.
A FIG. 5.23 mostra um detalhe desta região (sombreada) e os pontos abrangidos. As linhas
tracejadas são os limites de cálculo das regiões já tratadas. Só há um único ponto sobre a
parede, marcado com um círculo preto, que é calculado a partir dos parâmetros do
escoamento externo, o ponto marcado com um círculo vazado. O procedimento é
simplificado, uma vez que todos os pontos da região são calculados a partir da distância ao
ponto sobre a parede (círculo preto) e das condições do primeiro ponto fora da camada limite
(círculo vazado).
g
d
parede do
injetor
e1
b1
c1
e2
a
b3
h
b2
f
c2
FIGURA 5.23 – Detalhe da sub-região g.
A FIG. 5.24 mostra os detalhes dos campos de velocidade e viscosidade turbulenta
para a região g após a convergência final do cálculo. As linhas tracejadas indicam a extensão
da sub-região g. Observa-se que há boa suavidade nas isolinhas de velocidade e de
259
viscosidade turbulenta, indicando ser adequado o procedimento adotado para a sub-região.
Convém destacar que nas proximidades da borda da camada limite, as isolinhas de velocidade
apresentam pequenas oscilações em torno de seu valor máximo relativo ao “núcleo potencial”.
Nas isolinhas de viscosidade turbulenta, isto ocorre em torno do valor máximo, próximo do
meio da camada limite (µt = 136), e próximo da sua borda (µt = 63).
15.4
0.024
204.8
203.8
202.2
62.7
0.024
198.5
125.4
191.7
136.0
181.8
0.023
125.4
0.023
167.5
62.7
142.8
0.008
0.009
0.01
0.008
0.009
0.01
FIGURA 5.24 – Detalhes dos campos de velocidade e viscosidade turbulenta no canto g,
destacado pelas linhas tracejadas. Coordenadas em metros.
Escoamento externo ao injetor: camada limite sobre o piso do túnel – região f
A sub-região assinalada por f corresponde à camada limite formada sobre o piso do
túnel. Supôs-se que a camada limite que aí chega começou a se formar no final da seção de
testes do túnel (ver item 5.1.1). Com o valor estimado da espessura em f e os valores
atualizados na região d, as distribuições de propriedades no interior da camada limite são
calculadas de acordo com os procedimentos dos itens 3.7.3 e 3.7.4. Os componentes de
velocidade transversais, v e w, são considerados nulos.
260
Escoamento externo ao injetor: interação entre camadas limite e2 e f – região h
A estimativa da sub-região assinalada por h é ainda mais complexa porque consiste
numa região de interferência entre camadas limite de espessuras bem diferentes. A espessura
da camada limite da sub-região f é cerca de seis vezes maior do que a espessura da camada
limite da sub-região e2. A idéia de considerar a distância mínima à parede e utilizar a lei
logarítmica, como empregado nos outros casos, não se aplica aqui. Se essa idéia fosse
implementada haveria um possível ponto de descontinuidade, no momento em que, ao se
afastar de uma das paredes, o ponto ficasse mais próximo da outra, e, então, os valores
básicos de referência – δ, uτ –, mudariam bruscamente. No sentido de se obter uma solução
que suavizasse as distribuições de propriedades foi adotada uma combinação empírica a partir
das informações das duas camadas limite e2 e f. A FIG. 5.25 mostra um detalhe desta
sub-região.
c1
e2
b3
parede do
injetor
f
h
c2
FIGURA 5.25 – Detalhe da sub-região h.
261
Para se obter as propriedades em h, introduziu-se uma ponderação adequada entre as
soluções em e2 e f. A sub-região h é especial, uma vez que não há maior contato com o
escoamento externo, e, portanto, a maior influência vem das camadas limite que lhe fazem
fronteira. Assim, o ponto tomado como referência está marcado pelo círculo vazado, na borda
comum das camadas limite. A partir deste ponto, e utilizando-se a metodologia descrita
no item 3.7.3, calculou-se as propriedades no canto da parede – o ponto cheio preto. Assumiuse então que todos os pontos das paredes que limitam a região h – linhas cheias grossas
na FIG. 5.25 – têm propriedades iguais às do ponto no canto.
Os pontos internos da região foram calculados de forma particular, visando um ajuste
entre os perfis das camadas limite adjacentes – uma distribuição suave de propriedades na
região. Depois de várias opções testadas, foram escolhidas duas formas distintas para as
distribuições de velocidade e de viscosidade turbulenta, como segue.
A velocidade no ponto interno considerado (quadrado preto na FIG. 5.25) foi tomada
como uma média geométrica entre as velocidades em posições correspondentes nos perfis de
velocidade nas duas camadas limite adjacentes à região g, ponderadas pela distância dentro da
camada limite, segundo a expressão:
1
0 ,15
0 ,15
 
2
∆ z     ∆ y   

  ⋅ u f
u = ue 2 
 .


  δ e 2     δ f   
(5.8)
Os símbolos ue2 e uf indicam as velocidades nas posições dos quadrados vazados, ∆ z e ∆ y
são as distâncias do ponto considerado às paredes respectivas e δe2 e δf são as espessuras das
camadas limite correspondentes. A partir da pressão que vem do ponto marcado pelo círculo
vazado e da temperatura que é obtida a partir da analogia de Reynolds, determina-se os
demais parâmetros da camada limite hidrodinâmica.
262
Quanto à viscosidade turbulenta, como se presume que seu valor seja influenciado
pelo maior nível possível “na vizinhança”, a correlação foi considerada como uma função
máxima de valores ponderados pela distância dentro das camadas limite, e expressa por

 ∆ z    ∆ y  
  ,
 ,  µ f 


 δ e 2    δ f  
µt = max  µe 2 

(5.9)
onde µe2 e µf são os valores das viscosidades turbulentas sobre os perfis adjacentes, pontos
quadrados vazados.
A FIG. 5.26 mostra as isolinhas de velocidade e de viscosidade turbulenta para uma
solução convergida. As linhas tracejadas indicam a extensão da sub-região h. Os círculos
cheio e vazado estão colocados nas mesmas posições da FIG. 5.25 para melhor visualização
da sub-região. Observe-se as passagens suaves das isolinhas ligadas às regiões adjacentes e2 e
f pela sub-região h.
0.008
62.7
125.4
188.1
0.008
0.007
205.4
0.007
250.7
313.4
0.006
203.0
0.006
0.005
199.5
0.005
0.004
194.6
0.004
190.0
0.003
366.9
372.6
0.003
184.2
0.002
0.002
177.3
167.5
0.001
0
0.005
0.001
141.2
0.0075
0.01
0.0125
0.015
0
0.005
26.4
0.0075
0.01
372.6
366.9
313.4
250.7
188.1
125.4
62.7
0.0125
0.015
FIGURA 5.26 – Detalhes dos campos de velocidade e viscosidade turbulenta no canto h,
canto externo ao injetor, destacado pelas linhas tracejadas. Os círculos estão
colocados nas mesmas posições da FIG. 5.25. Coordenadas em metros.
263
Parede do injetor
A parede do injetor (sub-região i, FIG. 5.20) é representada na malha fina por 5 pontos
de cálculo igualmente espaçados. Na malha grossa esses pontos se reduzem a 3, mas o
tratamento é semelhante ao que será exposto aqui. A FIG. 5.27 mostra um esquema geral da
parede do injetor. Os parâmetros relativos às condições sobre as bordas – linhas de cálculo 1
e 5 da figura – são conhecidos porque vieram do cálculo já descrito das condições das
camadas limite. Para a determinação dos parâmetros nas três linhas de cálculo (2, 3 e 4) foi
adotado o procedimento a seguir. Como são pontos sobre a parede, os componentes de
velocidade são nulos (u = v = w = 0). As temperaturas são interpoladas a partir dos valores
encontrados nas linhas 1 e 5, simulando um processo convergido de condução através da
parede. As pressões também são interpoladas para suavizar a solução – neste caso as pressões
nos dois lados da placa de separação são sempre muito próximas e o ajuste é pequeno.
Os demais parâmetros são determinados a partir desses. A viscosidade turbulenta em todos os
pontos é nula, visto estarem localizados sobre uma parede sólida.
i
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
FIGURA 5.27 – Detalhe da parede do injetor.
264
5.3.1.2 Condições de contorno para as outras faces da malha A (FIG. 5.17)
Face inferior
Corresponde ao piso do túnel, portanto é o caso de uma fronteira sólida.
O procedimento está detalhado no item 3.7.2.
Face lateral direita
As condições são impostas e o detalhamento também foi apresentado no item 3.7.2.
Como já destacado no item 5.2.4, as condições de contorno nesta face são obtidas da solução
convergida da malha grossa, sendo que para os pontos pares o valor das propriedades é obtido
por interpolação.
Faces superior e lateral esquerda
São planos de simetria. Detalhamento no item 3.7.2.
Face de saída
Detalhamento no item 3.7.2
5.3.2 Condições de contorno para a malha E
A diferença principal entre as malhas E e A localiza-se na face lateral direita. No caso
da malha E esta face é formada pela parede lateral do túnel (ver FIG. 5.8). Nestas condições
tem-se que levar em conta a camada limite junto a esta parede lateral. Considerou-se que esta
camada limite começa também no fim da seção de testes, mais precisamente no fim da parte
265
fendida da parede do túnel. Assim, ao atingir a posição do plano de entrada da seção de
injeção, a altura da camada limite junto à parede lateral seria igual à altura da camada limite
junto ao piso. Na FIG. 5.28, portanto, as alturas de f1 e f2 são iguais.
Face de entrada (FIG. 5.28)
As considerações no geral são as mesmas já discutidas para o caso da malha A.
A camada limite f2 tem o mesmo tratamento de f1. O canto j é do mesmo tipo do campo c2 da
malha A, visto que, como foi discutido acima, as alturas das camadas f1 e f2 são iguais.
A FIG. 5.29 mostra detalhes dos campos de velocidade e viscosidade turbulenta para esta subregião, numa solução convergida. As linhas tracejadas destacam a extensão da sub-região.
Observe a passagem suave das isolinhas pela sub-região j.
Face inferior
Piso do túnel, portanto, fronteira sólida. Detalhamento no item 3.7.2.
Face lateral direita
Fronteira sólida – item 3.7.2.
Face superior
Plano de simetria – item 3.7.2.
Face lateral esquerda
Condições impostas, sendo que o detalhamento também foi discutido no item 3.7.2.
Neste caso as condições a serem impostas vêm da solução da malha grossa.
266
Face de saída
Detalhamento no item 3.7.2.
face de
saída
face
superior
plano de simetria horizontal
face
lateral
direita
face lateral
esquerda
d
f2
g
e1
i
b1 c1
parede
lateral do
túnel
parede
do injetor
e2
a b3
j
piso do túnel
face
inferior
face de
entrada
f1
h
b2 c2
0.016
0.014
0.014
0.012
0.012
0.01
0.01
0.008
199.5
0.008
197.6
0.006
0.006
179.6
167.5
150.8
0.15
13
9
1.
0.002
0.16
0.165
252.4
168.0
0
0.155
168.0
252.4
315.5
0.004
0.004
0
15.2
65.3
371.0
190.0
0.002
371.0
0.016
315.5
FIGURA 5.28 – Malha de cálculo E com detalhe das sub-regiões da fronteira de entrada.
15
65.3
0.15
0.155
0.16
.2
0.165
FIGURA 5.29 – Detalhes dos campos de velocidade e viscosidade turbulenta no canto j,
destacado pelas linhas tracejadas. Coordenadas em metros.
267
5.3.3 Condições de contorno para as outras malhas
Malhas finas B, C e D
Todas as condições de contorno para estas malhas estão contidas na discussão acima
para as malhas A e E.
Malha grossa
Em verdade, todas as condições de contorno para a malha grossa também estão
englobadas nas discussões para as malhas finas de A a E. Neste caso, o plano de entrada da
malha contém todas as sub-regiões que aparecem nas faces de entrada das malhas A a E.
A face lateral direita é uma fronteira sólida visto coincidir com a parede lateral do túnel.
As faces superior e lateral esquerda são planos de simetria e a face posterior é uma face de
saída. A face inferior é formada pelo piso do túnel correspondendo portanto a uma
fronteira sólida.
5.4 Análise no ponto de projeto
5.4.1 Aspecto físico geral do campo de escoamento
É importante verificar a concordância do resultado numérico obtido com o aspecto
físico geral esperado para o problema. Inicialmente, entretanto, a condição básica de projeto
deve ser “checada”. O ponto de projeto é caracterizado por pressões estáticas iguais entre os
dois jatos, objetivando a minimização das perdas durante a operação – diminuição de ondas
de choque e expansão.
268
A FIG. 5.31 mostra distribuições de pressão estática ao longo de linhas especiais no
plano de entrada, da solução com a malha fina. As três primeiras, linhas 1, 3 e 5,
correspondem a linhas obtidas por intersecção do plano de entrada com planos verticais que
contêm o centro geométrico dos injetores, a quarta, linha 6, representa a intersecção do plano
de entrada com um plano horizontal que também contém o centro geométrico dos injetores,
enquanto que a última, linha 7, representa a intersecção entre o plano de entrada e um plano
horizontal com cota vertical tal que y = 0,100 m, – veja FIG. 5.30. Das figuras conclui-se que
a variação da pressão é pequena, inclusive na passagem pela parede dos injetores, e, desta
forma, pode-se dizer que a condição básica de projeto foi atingida. É de fundamental
importância lembrar, neste ponto, que tal condição foi conseguida em decorrência da
estratégia numérica adotada, a qual permitiu simular o efeito da injeção, i. e., o aumento da
pressão de estagnação no plano de entrada da seção.
1
3
5
y = 0,100 m
7
Injetor 1
Injetor 2
Injetor 3
y = 0,0113 m
z = 0,0000 m
6
z = 0,0325 m
z = 0,0650 m
FIGURA 5.30 – Definição de linhas especiais no plano de entrada para fins de plotagem da
pressão estática.
269
y (m)
y (m)
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
y (m)
0.16
0.16
0.14
0.14
0.12
0.12
0.10
0.10
0.08
0.08
0.06
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
0.04
0.02
0.00
0.5
1
1.5
0.00
0.00
0.5
1.5
0.5
1
1.5
linha 1
1
linha 3
linha 5
1.5
1
linha 6
0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z (m)
1.5
1
linha 7
0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z (m)
FIGURA 5.31 – Distribuição da pressão estática ao longo das linhas 1, 3, 5, 6 e 7,
respectivamente. Valores adimensionalizados pela pressão no jato subsônico
na entrada. As linhas finas destacam as posições das paredes dos injetores.
270
As FIGS. 5.32 a 5.34 mostram os campos de pressão estática nos planos verticais que
contêm as linhas 1, 3 e 5 (veja FIG. 5.30). Embora o nível de pressão seja praticamente
uniforme (variação máxima inferior a 1 %), é possível notar ondas de expansão fracas
formadas na saída dos injetores para adaptar a pressão na saída dos mesmos à pressão
ligeiramente inferior do escoamento subsônico. Próximo ao piso, logo na saída do injetor,
há uma pequena formação de compressão, provavelmente proveniente do acerto do perfil de
velocidades imposto (veja detalhe na FIG. 5.67, pág. 305). Verifica-se, assim, que o código
reproduz com fidelidade o cenário físico esperado. Ao sair do injetor, a corrente supersônica
experimenta imediatamente uma expansão (queda na pressão estática) para se adaptar ao nível
de pressão ligeiramente mais baixo da corrente subsônica.
0.15
0.
99
6
0.
4
99
0.
1
99
0.05
0
0.997
0.996
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.32 – Isobáricas no plano de centro vertical do injetor 1. Valores
adimensionalizados pela pressão na saída do injetor. Coordenadas em metros.
0.15
0.
0.
0.998
4
99
0.
0.
99
3
0.05
0
99
6
5
0.997
0.1
99
0
0.1
0.2
0.3
0.4
00
1.0
0.5
0.6
271
5
99
0.
0
0
0.1
1.001
0.995
0.05
1.000
0.1
0.998
0.99
8
0.99
7
0.15
0.997
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
As FIGS. 5.35 a 5.37 mostram as isolinhas de número de Mach para os mesmos planos
centrais dos injetores (planos verticais que contêm as linhas 1, 3 e 5 da FIG. 5.30).
Nestas figuras já se percebe nitidamente a estrutura da mistura de jatos. Observa-se que os
campos de número de Mach são muito semelhantes, no entanto, no caso do injetor 3,
os valores do número de Mach na região potencial são um pouco menores. Provavelmente,
isto é resultado da influência da parede lateral do túnel.
0.15
80
0.576
0.5
82
0.579
0.
5
0.1
0.05
1.896
0
0
0.1
0.2
1.602
0.3
0.4
0.641
0.961
1.282
0.5
0.6
FIGURA 5.35 – Isolinhas de número de Mach no plano de centro vertical do injetor 1.
272
0.15
0.576
0.579
0.1
0.580
0.
58
2
0.05
1 . 89 6
0
0
0.1
0.641
0.961
1.282
1.602
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.15
0.
0.561
0.576
0. 5 52
52
6
36
0.
5
79
0.1
0. 5
0.
58
0
0.05
1.896
0
0
0.1
0.641
0.961
1.282
1.602
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
A FIG. 5.38 mostra um corte horizontal que contém a linha 6 (FIG. 5.30), onde
aparece com clareza a estrutura da mistura dos jatos (a figura destaca as posições dos injetores
na fronteira de entrada).
0.000
1.902
0.020
89
273
1.613
0.5
0.583
0.040
0.060
1.291
0.581
1.613
1.902
0.080
0
.5 83
0.581
0.100
0.120
1.613
1.902
0.140
0.645
0.581
0.160
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.968
0.645
0.645
0.968
1.291
1.291
0.968
0.645
0.645
0.968
1.291
1.291
0.968
0.425
0.5
0.55
0.6
FIGURA 5.38 – Isolinhas de número de Mach no plano horizontal passando pelo centro dos
injetores. Parede lateral do túnel na parte inferior, indicada pela linha mais
grossa. Coordenadas em metros.
A influência da parede lateral se faz sentir desde a fronteira de entrada da câmara de
mistura. A FIG. 5.39 mostra as isobáricas de estagnação na fronteira de entrada. Observe-se
que a pressão de estagnação subiu em todo o plano de entrada, exceto na região mais próxima
da parede e mais longe dos injetores. Registre-se que a pressão de estagnação do escoamento
subsônico no início do processo iterativo era igual a 1,193 (valor adimensionalizado em
relação à pressão estática na saída do injetor). Mais próximo aos injetores, o escoamento de
alta velocidade acelera o escoamento de baixa velocidade de forma a aumentar mais a
velocidade e, conseqüentemente, a pressão de estagnação. Percebe-se nitidamente o efeito
“amortecedor” da parede neste processo de aumento da pressão de estagnação. Este foi um
efeito de certa forma inesperado, entretanto, totalmente lógico. A parede, e sua camada limite,
representam, diga-se, um “sumidouro de energia nobre” devido ao processo dissipativo.
Fica portanto mais difícil para o escoamento “ganhar” pressão de estagnação quanto mais
perto da parede e mais longe dos injetores. Esta região tem sua “posição geográfica”
perfeitamente definida na figura.
274
1.193
y
0.150
1 .1 9 6
1.249
1. 2 0
0.100
5
1.249
1. 2 2
5
1.2 4
9
0.050
6.701
0.000
z
0
0.05
0.1
0.15
FIGURA 5.39 – Isobáricas de estagnação na fronteira de entrada da câmara de mistura.
A FIG. 5.40 mostra as isolinhas de número de Mach na fronteira de entrada. Observese a influência dos injetores na aceleração e a influência da parede na desaceleração do
escoamento da região subsônica. O número de Mach original de 0,509 subiu até 0,591 na
região próxima dos injetores. Nota-se que o injetor próximo à parede teve maior dificuldade
de imprimir a aceleração ao escoamento circundante. As isolinhas de número de Mach
sofreram perturbações localizadas devido à passagem pelas regiões de alto refinamento da
malha, embora não ocorra alteração no contorno médio da linha. Na verdade, os picos que
aparecem na figura são de uma certa forma aparentes. Primeiramente porque os valores do
número de Mach são na verdade muito próximos. Entretanto, em função destas diferenças
muito pequenas e do grande número de pontos localizados numa região, o plotador gráfico
275
(Tecplot) acaba gerando figuras deste tipo. O Tecplot sempre “vai atrás” do mesmo número
com o máximo de precisão possível. Estas figuras poderiam perfeitamente ter sido
“maqueadas”, entretanto, optou-se por não fazer isto.
y
0.150
0.509
0.534
0 .57 7
0.
0.100
58
0.583
0
0. 5
0.050
85
0 .5 8
8
0.591
1.900
0.000
z
0
0.05
0.1
0.15
FIGURA 5.40 – Isolinhas de número de Mach na fronteira de entrada da câmara de mistura.
A FIG. 5.41 mostra o campo de isobáricas de pressão estática na fronteira de entrada.
Observe-se o nível praticamente uniforme da pressão, confirmando mais uma vez a condição
básica de ponto de projeto – pressões estáticas iguais nos dois escoamentos. A realimentação
a montante do escoamento via características no núcleo potencial da parte subsônica faz
aumentar a pressão de estagnação e o número de Mach (ver FIGS. 5.39 e 5.40), pelo efeito
indutivo da injeção, enquanto as pressões estáticas são mantidas muito próximas entre os
276
jatos, simulando a condição física da operação ótima da injeção. Os menores valores de
pressão são observados entre dois injetores adjacentes, cuja influência dos escoamentos de
alta velocidade provocam uma indução maior, acelerando mais o escoamento na região
(ver FIG. 5.40). Novamente aqui (FIG. 5.41) podem ser observadas as perturbações nas
isobáricas nas passagens pelas regiões de alto refinamento. Entretanto, as diferenças de
valores entre isolinhas são mínimas, e as distorções das curvas são na verdade introduzidas
pelo Tecplot. A FIG. 5.31 mostra de forma definitiva que, numa escala normal, estes
pretensos picos na verdade não existem.
y
0.150
0.
99
4
0.
99
3
1. 000
0.
99
6
99
0.
0.
0.100
5
99
2
0.
4
99
0.
99
3
0.
99
2
0.
99
1
0.
99
0
0.991
0.990
0.050
0.988
0.984
0.987
0.988
1.000
0.000
0
0.05
0.996
1.000
0.1
z
0.15
FIGURA 5.41 – Isobáricas de pressão estática na fronteira de entrada da câmara de mistura.
277
A FIG. 5.42 mostra mapas de números de Mach em um corte horizontal passando pelo
centro dos três injetores (plano horizontal que contém a linha 6 da FIG. 5.30). Observa-se
claramente a influência do jato supersônico acelerando o escoamento ao longo da câmara de
mistura. A figura mostra também de forma patente a topologia da evolução dos jatos.
Fica claro que o jato mais próximo à parede não tem a mesma abertura das isolinhas.
As isolinhas de baixo número de Mach próximas à parede ampliam sua região de atuação ao
longo da câmara de mistura, indicando um aparente engrossamento da camada limite sobre a
parede lateral do túnel. Isso ocorre até aproximadamente x = 0,40 m (veja a isolinha
M = 0,425 se afastando da parede) e, só a partir daí, há aceleração devido à influência do
escoamento de alta velocidade indicando um afinamento da camada limite (a isolinha
aproxima-se de volta à parede). Outro efeito interessante corresponde a uma certa diminuição
do número de Mach nas “regiões potenciais” entre jatos conforme o escoamento progride a
jusante. Possivelmente, o que acontece é que as partículas que penetram a câmara de mistura
nestas posições sentem um bloqueio completo à frente, devido ao encontro entre as camadas
de mistura aproximadamente em x = 0,5 m. Logo em seguida, entretanto, essas partículas
0.000
1.902
0.020
89
penetram as camadas de mistura (“entrainment effect”) e aceleram novamente.
1.613
0.5
0.583
0.040
0.060
0.581
1.613
1.902
0.080
1.291
0.58
3
0.581
0.100
0.120
1.613
1.902
0.140
0.645
0.581
0.160
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.968
0.645
0.645
0.968
1.291
1.291
0.968
0.645
0.645
0.968
1.291
1.291
0.968
0.425
0.5
0.55
0.6
FIGURA 5.42 – Isolinhas de número de Mach no plano horizontal passando pelo centro dos
injetores. Parede lateral do túnel na parte inferior, indicada pela linha mais
grossa. Coordenadas em metros.
278
A FIG. 5.43 mostra mapas de número de Mach em um corte horizontal bem acima dos
injetores (plano horizontal que contém a linha 7 da FIG. 5.30). Observe-se que a região no
rastro dos injetores mais centrais é mais acelerada e mais uniforme (número de Mach
aproximado de 0,580), enquanto que o rastro do injetor mais próximo à parede é bem menos
acelerado (número de Mach aproximado de 0,535).
0.000
0.020
0.040
0.060
0.080
0.5
0.577
0.580
80
0.100
0.577
0.120
0.535
0.517
0.488
0.140
0.160
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.390
0.55
0.6
FIGURA 5.43 – Isolinhas de número de Mach em um plano horizontal passando acima dos
injetores (y = 0,100 m). A parede lateral do túnel na parte inferior é indicada
pela linha mais grossa. Estão indicadas na figura as posições dos injetores.
Cortes transversais ao longo da câmara de mistura são muito ilustrativos. É possível
observar o processo de expansão dos jatos com a transformação da geometria inicial
praticamente retangular para uma geometria final praticamente circular (ver capítulo 2,
item 2.7.2). A FIG. 5.44 mostra cortes igualmente espaçados, desde a fronteira de entrada até
a fronteira de saída ao longo da câmara de mistura. É notável a influência da parede ao longo
de todo o processo. Outro fato importante é a diminuição da região de alta velocidade e o
valor do número de Mach no núcleo potencial residual.
279
0.150
0.580
5
0.
0.5 8
6
0.050
0.050
0.644
1.610
0.592
1.900
0
0.05
1.894
0.580
0.586
0.1
0.000
0.15
0
0.05
(a) x = 0,000 m
0.1
0.15
(b) x = 0,100 m
0.150
0.521
78
0.541
0.5
0.491
0.541
0.100
0.322
0.150
0.521
0.491
0.000
0.580
0.100
83
0.541
0.580
80
0.5
0.532
0
0.58
0.100
0.509
0.150
0.100
0.580
0.050
0.050
0.578
0.580
0.644
1.288
1.610
1.610
0.05
0.1
0.000
0.15
0
(c) x = 0,200 m
0.05
0.1
0.15
(d) x = 0,300 m
0 .5
0.050
0.322
0.491
0.516
41
0.521
0.541
0.100
0.100
0.050
0.578
0.581
0.641
0.807
0.641
0.807
1.106
1.106
1.519
0.000
0
0.05
0.516
0.150
0.521
0.150
1.343
0.1
(e) x = 0,400 m
0.15
0.000
0
0.05
0.1
(f) x = 0,500 m
0.15
0.322
0
1.288
0.491
0.000
0.644
280
0.322
54
0.516
0.
0.521
0.491
0.150
1
0.100
0.580
0.050
0.644
0.966
1.288
0.000
0
0.05
0.1
0.15
(g) x = 0,600 m
FIGURA 5.44 – Campo de número de Mach em diversos planos transversais. Coordenadas
em metros.
A FIG. 5.45 mostra perfis de velocidade para algumas estações, a partir da fronteira de
entrada, numa das oito camadas de mistura existentes entre os jatos supersônicos dos injetores
e o escoamento subsônico externo. Neste caso em particular, a do injetor 1, e em um plano
vertical passando pelo centro do mesmo. Cada vetor está associado a um nó da malha
estruturada. Observe-se o espalhamento da malha ao longo da direção vertical. Observe-se
também o comportamento esperado da camada de mistura, com dois núcleos potenciais de
escoamento e uma região crescente de suavização dos perfis de velocidade através de uma
transferência de quantidade de movimento entre os escoamentos. Observe-se ainda que a
dimensão da região entre jatos na fronteira de entrada é muito pequena comparada com a
espessura da camada de mistura. Em x = 0 as regiões de gradientes que aparecem na figura
representam as camadas limite sobre a parede do injetor, tanto interna quanto externamente.
A FIG. 5.46 mostra esses perfis no plano horizontal para o mesmo injetor, que tem
281
comportamento semelhante ao da direção vertical. A FIG. 5.47 mostra os perfis de velocidade
no plano vertical no final da câmara de mistura, onde é possível observar que o núcleo
potencial do escoamento supersônico já se acha bastante reduzido e a camada de mistura
praticamente desenvolvida – a linha tracejada corresponde à altura do injetor.
0.030
0.020
0.010
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
FIGURA 5.45 – Vetores de velocidade no plano vertical passando pelo centro do injetor
número 1 (ver FIG. 5.12), no início da câmara de injeção. Coordenadas
em metros.
0.000
0.010
0.020
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
FIGURA 5.46 – Vetores de velocidade no plano horizontal passando pelo centro do injetor
número 1 (ver FIG. 5.12), no início da câmara de injeção. Coordenadas em
metros.
282
0.080
0.060
0.040
0.020
0.000
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
FIGURA 5.47 – Vetores de velocidade no plano vertical passando pelo centro do injetor
número 1 (ver FIG. 5.12), na saída da câmara de injeção. A linha tracejada
corresponde à altura do injetor. Coordenadas em metros.
A interação entre os jatos é o fator que mais contribui para a geração da turbulência na
câmara de mistura, devido principalmente à alta geração de vorticidade. A FIG. 5.48 mostra
uma vista do campo de viscosidade turbulenta adimensional no plano horizontal que passa
pelo centro dos injetores (plano horizontal contendo a linha 6 da FIG. 5.30). Observe-se o
aumento “dramático” da viscosidade turbulenta com o desenvolvimento da camada de mistura
entre os escoamentos de alta e baixa velocidade. Praticamente não se percebe a contribuição
da camada limite na geração de turbulência pela intensidade da geração entre os escoamentos.
0.000
2017
18
0.040
3025
96
51
0.020
4034
3025
2017
0.060
5704
5042
4034
621
5042
5704
0.080
96
51
18
0.100
3025
2017
0.120
621
4034
5042
5704
0.140
96
18
0.160
0
0.05
0.1
2017
621
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
3025
0.45
0.5
0.55
0.6
FIGURA 5.48 – Isolinhas de viscosidade turbulenta no plano horizontal que contém o centro
dos injetores. Valores adimensionalizados pela viscosidade molecular na
entrada supersônica. Coordenadas em metros.
283
A FIG. 5.49 mostra cortes transversais igualmente espaçados, desde a fronteira de
entrada até a fronteira de saída com isolinhas de viscosidade turbulenta. Observe-se que ao
longo da câmara de injeção a perturbação gerada pela ação do injetor mais próximo à parede
se difunde também junto à parede lateral do túnel aumentando o nível de turbulência.
Também pela distribuição do nível de turbulência na direção longitudinal é possível constatar
a evolução da geometria dos jatos, de retangular para circular.
0.150
0.100
18
341
15.4
18
316.3
0.100
43
0.150
0.050
0.050
18
1353
4.5
0.000
18
341
371.0
0
0.05
0.1
0.000
0.15
0
(a) x = 0,000 m
0.05
0.1
0.15
(b) x = 0,100 m
0.150
15
18
0.100
159
485
347
92
433
0.150
0.100
15
18
0.050
732
0.050
92
2197
577
1543
2572
4213
159
347
0.000
0
0.05
0.1
(c) x = 0,200 m
0.15
0.000
0
0.05
0.1
(d) x = 0,300 m
0.15
284
367
736
0.150
23
0.150
0.100
0.100
850
29
232
595
14
14
0.050
0.050
1113
850
942
4454
942
3769
5413
0.000
0
0.05
6436
0.1
0.000
0.15
0
0.05
(e) x = 0,400 m
0.1
0.15
(f) x = 0,500 m
0.050
1102
72
1102
16
857
16
0.100
624
0.150
4895
6973
0.000
0
0.05
0.1
0.15
(g) x = 0,600 m
FIGURA 5.49 – Campos de distribuição de viscosidade turbulenta adimensional. Diversos
planos transversais. Valores adimensionalizados em relação à viscosidade
molecular de referência (ver TAB. 5.2). Coordenadas em metros.
As figuras coloridas 5.50 a 5.52 mostram cortes horizontais passando pelo centro dos
injetores para campos de número de Mach, pressão de estagnação e viscosidade turbulenta,
respectivamente, cuja cor vermelha está associada com os maiores valores e a azul com os
menores valores. O contraste criado nas figuras é interessante para destacar o efeito de
dissipação, o que indica o desenvolvimento do processo de mistura. Na FIG. 5.50 observa-se
como as velocidades dos núcleos potenciais supersônicos vão diminuindo (vermelho),
285
enquanto que regiões de velocidades intermediárias (verde claro) se expandem lateralmente.
Pode-se observar também o aumento da camada limite sobre a parede lateral do túnel pela
expansão da região de cor azul e que, após a distância x ≅ 0,400 m, a mesma sofre influência
da expansão do jato supersônico, reduzindo um pouco a sua espessura. Destaque-se que a
variação do número de Mach no campo mostrado é devido em grande parte à variação
de velocidade.
Na FIG. 5.51 pode-se observar como a alta energia do escoamento supersônico
(representada pelo alto valor da pressão de estagnação – cor vermelha) se transfere e se
“dissipa” no processo de mistura.
0.000
0.020
0.040
0.060
0.080
0.100
0.120
0.140
0.160
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.50 – Campo do número de Mach no plano horizontal passando pelo centro dos
injetores. Coordenadas em metros.
0.000
0.020
0.040
0.060
0.080
0.100
0.120
0.140
0.160
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.51 – Campo de pressão de estagnação no plano horizontal passando pelo centro
dos injetores. Coordenadas em metros.
286
Na FIG. 5.52 pode-se perceber como cada camada de mistura no início do
escoamento, representada por tênues faixas em azul claro, indicando valor baixo da
viscosidade turbulenta, vai “engrossando” lateralmente e passando para o vermelho,
indicando valores altos de viscosidade turbulenta. Observe-se que a presença da parede faz
surgir uma faixa muito tênue de um azul claro que se desenvolve desde o início, indicando a
produção de turbulência na camada limite. Observe-se também como a presença da parede
impede a expansão lateral da camada de mistura após x ≅ 0,400 m. É possível ver que os
núcleos potenciais da injeção, indicados pela cor azul, se mantêm somente até x ≅ 0,270 m,
enquanto os núcleos potenciais do escoamento subsônico se mantêm até x ≅ 0,480 m.
Registre-se que a FIG. 5.52 é notável e absolutamente essencial na ilustração do processo
físico de mistura. Esta, e também outras figuras, representam uma indicação muito segura da
confiabilidade da simulação numérica.
0.000
0.020
0.040
0.060
0.080
0.100
0.120
0.140
0.160
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.52 – Campo de viscosidade turbulenta no plano horizontal passando pelo centro
dos injetores. Coordenadas em metros.
A FIG. 5.53 mostra uma vista geral do campo turbulento na seção de injeção.
287
FIGURA 5.53 – Campo de viscosidade turbulenta na seção de injeção. Plano horizontal
contendo o centro dos injetores (figura obtida por duplicação da FIG. 5.52)
288
5.4.2 Análise do desenvolvimento dos jatos
Um parâmetro bastante representativo da mistura dos jatos no sistema de injeção é a
taxa de crescimento das camadas de mistura. Há oito regiões de mistura no quadrante de
cálculo, objeto da presente simulação, segundo a numeração indicada na FIG. 5.54.
A TAB. 5.5 mostra os resultados obtidos para essas oito camadas de mistura. A tabela mostra
valores de b, a espessura da camada de mistura, e de db/dx, a sua taxa de crescimento. No
capítulo 2, item 2.7.2, a partir de interpolação entre os valores das experiências de Goebel e
Dutton (1991), foi prevista uma taxa de crescimento das camadas de mistura para o TTP da
ordem de 0,043. É interessante observar a proximidade entre os valores, embora se deva
lembrar que o caso do TTP apresenta diferenças importantes em relação àquelas experiências
pelo fato de se tratar de mistura tridimensional, com razões de área muito diferentes
(30 para 1) e com três regiões de escoamento supersônico. Os resultados encontrados foram
em geral superiores àquele valor, possivelmente explicável pela grande relação de áreas, o que
faz com que o escoamento supersônico sofra muito menos a ação inibidora das paredes para a
expansão da camada de mistura. Além disso, no movimento tridimensional há mais espaço lateral
para a “abertura” das camadas de cisalhamento, quando se compara com a situação bidimensional.
1
4
2 3
Injetor 1
7
5
Injetor 2
6
8
Injetor 3
FIGURA 5.54 – Indicação da localização das camadas de mistura analisadas, numeradas
de 1 a 8. Apresentação dos resultados na TAB. 5.5.
289
TABELA 5.5 – Valores de b, em metros, e de db/dx para várias camadas de mistura e diversas
posições longitudinais.
x (m)
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
0,05
0,00345
0,00348
0,00351
0,00348
0,00352
0,00354
0,00364
0,00353
0,10
0,00637
0,00624
0,00632
0,00644
0,00629
0,00642
0,00675
0,00625
0,15
0,00946
0,00897
0,00904
0,00945
0,00885
0,00907
0,00994
0,00895
0,20
0,01226
0,01145
0,01157
0,01247
0,01130
0,01180
0,01324
0,01154
0,25
0,01539
0,01353
0,01386
0,01548
0,01331
0,01423
0,01666
0,01377
0,30
0,01770
0,01521
0,01592
0,01778
0,01503
0,01621
0,01934
0,01609
0,35
0,01962
0,01681
0,01771
0,01965
0,01670
0,01802
0,02178
0,01801
0,40
0,02142
0,01868
0,01926
0,02139
0,01841
0,01947
0,02421
0,01846
0,45
0,02319
0,01982
0,01995
0,02305
0,01981
0,01998
0,02672
0,01853
0,50
0,02470
0,02033
0,02020
0,02466
0,02035
0,02014
0,02928
0,01842
0,55
0,02615
0,02056
0,02020
0,02625
0,02053
0,02010
0,03197
0,01831
0,60
0,02744
0,02053
0,02012
0,02750
0,02057
0,02000
0,03418
0,01829
0,0598
0,0509
0,0518
0,0600
0,0497
0,0535
0,0650
0,0516
db/dx
(1)
(1)
– cálculo por mínimos quadrados, realizado na região de similaridade, de x = 0,05 m até
x = 0,25 m (ver FIG. 5.52).
A FIG. 5.55 mostra os dados da TAB. 5.5 representados num gráfico, onde é possível
se constatar que, a partir da posição x = 0,25 m, as curvas sofrem a influência da presença das
paredes ou do jato adjacente. Observe-se que as camadas de mistura nas posições acima dos
injetores (camadas 1, 4 e 7) apresentam uma taxa de crescimento maior, quando se compara
com as taxas de crescimento nas direções laterais. A razão de haver uma taxa de crescimento
maior nas camadas de mistura superiores pode ser explicada pelo fato de que o escoamento
circundante subsônico acima dos jatos é menos acelerado (ver FIG. 5.40), causando maior
gradiente de velocidades e propiciando maior ação da camada de mistura – o número de Mach
290
relativo é maior (este efeito é mais significativo sobre a camada 7, aquela mais junto à parede
– ver FIG. 5.40). Além disso, nesta direção o teto do túnel está muito distante, não
restringindo a expansão do jato.
0.02
b (m)
0.015
0.01
1
0,0598
2
0,0509
3
0,0518
4
0,0600
5
0,0497
6
0,0535
7
0,0650
8
0,0516
valores de db /dx medidos por
mínimos quadrados, com os
pontos entre x =0,05m e 0,25m.
0.005
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
x (m)
FIGURA 5.55 – Resultados para as oito camadas de mistura, com os valores respectivos
de db/dx.
Considerando uma taxa de crescimento média na faixa similar de aproximadamente
0,05 m/m, as camadas de mistura nas laterais de dois injetores adjacentes se fundiriam a partir
de aproximadamente 0,50 m, ou seja, próximo ao final da câmara de mistura. Entretanto,
como a partir de x = 0,25 m as taxas de crescimento nas camadas laterais começam a sofrer
uma redução, devido às influências do jato adjacente ou da parede, haverá um prolongamento
maior até ocorrer fusão das camadas de mistura. A FIG. 5.56 mostra perfis de velocidade em
um plano horizontal passando pelo centro dos injetores na parte final da câmara de mistura.
291
Observe-se que a região entre os jatos ainda preserva um pouco o aspecto patamarizado do
perfil de velocidades (até aproximadamente x = 0,400 m) enquanto que praticamente não há
patamar na região de alta velocidade em todo esse trecho final. Isto é devido à área transversal
do escoamento de alta velocidade ser relativamente menor. A câmara de mistura, pelo fato de
ter um comprimento limitado, não propicia uma mistura completa dos jatos, embora permita a
ação dos principais fenômenos que contribuem para a transferência de quantidade de
movimento e aceleração do escoamento subsônico. A velocidade mais baixa em toda a seção
de saída foi de 183 m/s e supera a velocidade na seção de entrada subsônica (no início do
cálculo) que era de 176 m/s. Esse aumento de velocidade é surpreendente porque ocorre numa
área muito grande e é causado totalmente pela ação indutiva dos injetores cuja área ocupada é
muito menor. De qualquer forma, a simulação indica que o desenvolvimento final do processo
de mistura se dará no trecho inicial do primeiro difusor.
0.000
0.050
0.100
0.150
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
FIGURA 5.56 – Perfis de velocidade no plano horizontal no centro dos jatos, na região final
da câmara de mistura.
292
A FIG. 5.57 mostra os valores das isolinhas de velocidade para os valores limites da
região que define a espessura da camada de mistura b, U1 – 0,10 ∆U e U2 + 0,10 ∆U,
nas proximidades dos injetores, em sete estações longitudinais igualmente espaçadas. Isto é
uma aproximação, uma vez que os valores de U1 e U2 para cada estação longitudinal foram
tomados como médios para toda a seção transversal. A expansão do jato no plano de simetria
(injetor 1, à esquerda nas figuras) mostra-se com uma forma bastante coerente e se assemelha
com a região de expansão do injetor 2. Também fica claro que a presença da parede (à direita
nas figuras) e a presença dos jatos adjacentes inibem um pouco a expansão da região de
mistura nas direções laterais – a expansão para cima é maior, onde o escoamento é mais livre.
É interessante também observar que a região de maior velocidade do jato supersônico
remanescente se localizou mais próximo ao piso do túnel, indicando que, em princípio,
a transferência de quantidade de movimento se dá mais entre dois escoamentos do que entre o
escoamento e a parede sólida.
Outro fato interessante é a mudança da forma do jato supersônico remanescente de
uma geometria retangular para uma geometria próxima da circular. Até a estação
em x = 0,300 m o núcleo supersônico manteve sua velocidade máxima praticamente
constante. Segundo apresentado no capítulo 2, item 2.7.2, nessa região ocorreu um patamar
potencial e um decaimento similar. A partir daí, o núcleo potencial residual tem
sua velocidade longitudinal reduzida, indicando o início da região de decaimento com
simetria axial (ver FIG. 2.7). Observe-se que na FIG. 5.57 (e) (x = 0,500 m) o núcleo
do escoamento supersônico toma a forma praticamente circular. Observe-se ainda que a
curva limite do núcleo do escoamento subsônico sofre a ação da presença da
parede, distorcendo a geometria do jato. Isto também se verifica na forma geométrica
do núcleo supersônico que passa de uma geometria retangular, passando por uma
geometria praticamente circular (estação x = 0,500 m) até sofrer um abaulamento no
293
sentido horizontal (estação x = 0,600 m). Portanto, a estrutura com simetria axial não é de
todo estabelecida ao final, como apresentada no capítulo 2, item 2.7.2, por causa da presença
da parede inferior do túnel. A proximidade da esteira dos jatos adjacentes, a partir
de x = 0,500 m permite a fusão lateral entre os escoamentos, como comentado anteriormente e
visto na FIG. 5.56. A FIG. 5.58 mostra numa vista tridimensional o desenvolvimento dos
jatos por meio de isolinhas de velocidade em planos verticais com espaçamento longitudinal
uniforme de 0,050 m.
0.05
0.04
(a)
0.03
233.0
x=0,000 m
472.6
0.02
0.01
0.00
0
0.05
0.1
0.15
0.05
0.04
(b)
0.03
233.4
x=0,100 m
0.02
476.6
0.01
0.00
0
0.05
0.1
0.15
0.05
0.04
0.03
(c)
234.5
x=0,200 m
0.02
486.5
0.01
0.00
0
0.05
0.1
0.15
294
0.05
0.04
(d)
233.3
0.03
x=0,300 m
0.02
4 75.7
0.01
0.00
0
0.05
0.1
0.15
0.05
0.04
228.5
(e)
0.03
x=0,400 m
0.02
440
0.00
.5
0.01
0
0.05
0.1
0.15
0.05
0.04
224.0
(f)
0.03
x=0,500 m
0.02
408.0
0.01
0.00
0
0.05
0.1
0.15
0.05
218.0
0.04
(g)
0.03
x=0,600 m
0.02
382.7
0.01
0.00
0
0.05
0.1
0.15
FIGURA 5.57 – Isolinhas de velocidade (U1 − 0,10 ∆ U ) e (U 2 + 0,10 ∆ U ) . Velocidades em
m/s e coordenadas em metros.
295
FIGURA 5.58 – Vista tridimensional dos jatos.
296
5.5 Análise fora do ponto de projeto
Além do caso da injeção no ponto de projeto, foram analisadas duas situações nas
quais esta condição não se verifica – as pressões estáticas são diferentes nos dois escoamentos
na fronteira de entrada. Os resultados foram obtidos por simulação na malha grossa.
O objetivo aqui é múltiplo: (i) verificação da robustez do código; (ii) certificar-se da
capacidade do código em reproduzir, da melhor forma possível, a física do processo de
mistura; (iii) averiguação do sistema de injeção atuando em condições adversas – condições
bastante plausíveis de ocorrer durante o processo típico de operação da injeção
(ver item 5.1.2)
Nos dois casos estudados, a pressão de estagnação nos injetores foi alterada para
valores 30% acima e 30% abaixo da pressão de estagnação adotada na condição de projeto
(que será indicado por po,pr). Em cada um dos casos foi mantida a mesma lógica de cálculo
empregada no caso “ponto de projeto”, na tentativa de reproduzir mais fielmente a operação
do túnel, ou seja, a velocidade na fronteira de entrada foi atualizada pelo método de
características até atingir o valor limite correspondente à pressão de estagnação esperada
para o circuito do túnel (a qual foi recalculada de acordo com os valores da TAB. 5.3
e Eq. 5.3).
Assim como no caso anterior, distribuições de pressão estática ao longo das linhas 1,
3, 5, 6 e 7 (FIG. 5.30) são apresentadas para as condições fora de projeto, com sobre-pressão e
sub-pressão, nas FIGS. 5.59 e 5.60, respectivamente. Observam-se aqui os degraus de pressão
na passagem do escoamento subsônico para o supersônico.
297
y (m)
y (m)
y (m)
0.16
0.16
0.16
0.14
0.14
0.14
0.12
0.12
0.12
0.10
0.10
0.10
0.08
0.08
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.04
0.02
0.02
0.02
0.00
0.00
0.5
1
0.5
1.5
0.00
1.5
0.5
linha 1
1
1
1.5
linha 3
linha 5
1.5
1
linha 6
0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z (m)
1.5
1
linha 7
0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z (m)
respectivamente, para a condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Valores
adimensionalizados pela pressão estática no jato subsônico na entrada.
As linhas finas destacam as posições das paredes dos injetores.
298
0.16
0.16
0.16
0.14
0.14
0.14
0.12
0.12
0.12
0.10
0.10
0.10
0.08
0.08
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.04
0.02
0.02
0.02
0.00
0.5
1
1.5
0.00
0.00
0.5
1
0.5
1.5
1
1.5
linha 1
y (m)
y (m)
y (m)
linha 3
linha 5
1.5
1
linha 6
0.5
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
z (m)
1.5
1
linha 7
0.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z (m)
respectivamente, para a condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Valores
adimensionalizados pela pressão estática no jato subsônico na entrada.
As linhas finas destacam as posições das paredes dos injetores.
299
As FIGS. 5.61 a 5.63 mostram os campos de pressão estática encontrados nos planos
verticais no centro do injetor central da câmara de mistura, nos três casos estudados.
As pressões no campo foram, nos três casos, adimensionalizadas pela pressão estática de
entrada do escoamento subsônico no ponto de projeto e a escolha das isobáricas foi
praticamente a mesma para as três figuras, para que as cores representem melhor os valores de
pressão. Observe-se que, na condição de projeto (FIG. 5.61) o nível de pressão é bastante
uniforme, não havendo a presença de regiões de altos gradientes.
0.160
0.140
0.120
0.100
0.080
0.060
0.040
0.020
0.000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
FIGURA 5.61 – Condição de projeto, po,inj = po,pr. Isobáricas no plano vertical central do
injetor 1. A pressão é praticamente uniforme em todo o campo. Coordenadas
em metros.
A FIG. 5.62 apresenta o resultado para uma pressão de estagnação mais elevada nos
injetores em 30%, fazendo surgir uma região de expansão logo na saída do injetor, seguida
por uma região de compressão e assim sucessivamente até a dissipação dos gradientes de
pressão. O aumento de 30 % na pressão de estagnação causou um “degrau” em termos da
pressão estática de 36 % entre os escoamentos (a pressão do escoamento supersônico na saída
do injetor é maior do que a pressão da corrente subsônica – veja FIG. 5.59).
300
0.160
0.140
0.120
0.100
0.080
0.060
0.040
0.020
0.000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
FIGURA 5.62 – Condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Isobáricas no plano vertical
central do injetor 1. Pressões na entrada para os escoamentos subsônico e
supersônico, 1,14 e 1,55, respectivamente, adimensionalizadas pela pressão
na entrada subsônica na condição de projeto. Coordenadas em metros.
A FIG. 5.63 representa o resultado quando a pressão de estagnação dos injetores é
diminuída de 30 %, o que causa um degrau em termos da pressão estática de 31 %. Devido ao
fato da pressão na saída do injetor ser inferior à pressão do escoamento subsônico
circundante, surge um choque na frente do injetor, o que faz com que a pressão suba para um
valor superior à pressão no escoamento subsônico. Aparece então uma região de expansão, e
assim, sucessivamente, até a dissipação dos gradientes de pressão. De uma maneira geral,
pode-se constatar que o código reproduziu com fidelidade as variações impostas, refletindo,
de uma forma coerente, os mecanismos físicos esperados para o problema.
0.160
0.140
0.120
0.100
0.080
0.060
0.040
0.020
0.000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
FIGURA 5.63 – Condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Isobáricas no plano vertical
central do injetor 1. Pressões na entrada para os escoamentos subsônico e
supersônico de 1,23 e 0,85, respectivamente, adimensionalizadas pela pressão
na entrada subsônica na condição de projeto. Coordenadas em metros.
301
Para maior clareza foram plotados os valores de pressão estática ao longo de duas
linhas longitudinais. Uma destas linhas contém o ponto geométrico central do jato
supersônico 1 no plano de entrada, e a outra no interior da região subsônica, cujas
coordenadas laterais são y = 0,100 m e z = 0,000 m. A plotagem foi feita até a seção
transversal central da câmara de injeção, onde ainda os gradientes são mais pronunciados.
As FIGS. 5.64 a 5.66 apresentam esses resultados com valores de pressão que, para maior
clareza, foram adimensionalizados pela pressão estática na fronteira de entrada do escoamento
subsônico. Foi também mantida a mesma escala de pressão nos três gráficos. A FIG. 5.64
mostra o resultado para a condição de projeto, na qual observam-se oscilações mínimas nos
valores de pressão de ambas as correntes ao longo da câmara de mistura. A partir da distância
x = 0,100 m os valores estão praticamente equalizados.
1.35
1.25
pressão estática
1.15
1.05
0.95
0.85
jato supersônico
jato subsônico
0.75
0.65
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
x (m)
FIGURA 5.64 – Condição de projeto, po,inj = po,pr. Distribuições longitudinais de pressão
estática ao longo da câmara de mistura. Valores adimensionalizados pela
pressão na entrada do escoamento subsônico.
302
A FIG. 5.65 mostra as flutuações quando os injetores trabalham com uma pressão de
estagnação 30% superior à pressão de projeto. Neste caso há sucessivas oscilações na pressão
nos dois escoamentos até a estabilização, que ocorre aproximadamente a partir de
x = 0,200 m. A queda abrupta da pressão na saída dos injetores indica a presença de uma
região de expansão, na busca da equalização das pressões entre os dois escoamentos, através
da camada de mistura. A primeira expansão é exagerada, causando uma queda de pressão
excessiva, o que propicia o surgimento de uma região de compressão a seguir. Esta por sua
vez também é exagerada, e então, estabelece-se um processo de sucessivas ondas de expansão
e compressão até a equalização das pressões nos dois escoamentos. Se o escoamento
subsônico mantivesse sua condição de pressão de entrada inalterada, a análise praticamente se
resumiria a esta verificação. Entretanto, a sobre-pressão nos injetores causa um aumento da
pressão no escoamento subsônico, devido à condição de confinamento da câmara de injeção,
e o equilíbrio final é deslocado para um valor superior. A pressão final atingida é cerca
de 7,5 % acima da pressão na fronteira de entrada do escoamento subsônico. Este aumento faz
com que a expansão inicialmente ocorrida no escoamento supersônico provoque uma
diminuição de pressão relativa ainda maior exigindo uma compressão mais forte a seguir.
Há, portanto, dois efeitos que são causados pela sobre-pressão nos injetores: a diferença no
plano de entrada entre as pressões nos dois escoamentos e o aumento do nível da pressão de
equalização, o que ocasiona o aparecimento de ondas de maior magnitude na câmara
de injeção. É possível perceber visualmente três expansões e três compressões de maior
intensidade na região do escoamento supersônico.
303
1.35
1.30
1.25
1.20
pressão estática
1.15
1.10
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
jato supersônico
jato subsônico
0.75
0.70
0.65
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
x (m)
FIGURA 5.65 – Condição fora do ponto de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Distribuições
longitudinais de pressão estática ao longo da câmara de mistura. Valores
adimensionalizados pela pressão na entrada do escoamento subsônico.
A FIG. 5.66 mostra as variações sofridas, quando a pressão de estagnação dos
injetores é 30% inferior à pressão de projeto. Como a pressão estática na saída dos injetores é
inferior à pressão no escoamento subsônico, surge uma onda de choque fazendo aumentar esta
pressão para um valor que supera o valor da pressão no escoamento subsônico. Assim, repetese o processo seqüencial de compressões e expansões até a equalização final entre as pressões
nos dois escoamentos, com um mecanismo semelhante ao comentado para o caso da sobrepressão nos injetores. Neste caso, observa-se que a equalização ocorre antes, em
aproximadamente x = 0,100 m. O valor final é cerca de 93,5 % da pressão na fronteira de
entrada do escoamento subsônico.
Como já destacado, para as duas situações fora de projeto, as pressões de estagnação
nos injetores foram ajustadas para 30% a mais e a menos com relação à pressão de estagnação
de projeto. Entretanto, o efeito final resultante em termos das pressões estáticas na saída do
304
bocal supersônico foi ligeiramente diferente. Para uma pressão de estagnação 30 % superior,
a pressão estática na saída foi 34,3 % superior (em relação à pressão da corrente subsônica),
enquanto que, para uma pressão de estagnação 30 % inferior, a pressão estática foi 31,8 %
inferior. Isso pode explicar porque houve um efeito mais pronunciado de choques e expansões
no primeiro caso.
1.35
1.25
pressão estática
1.15
1.05
0.95
0.85
0.75
jato supersônico
jato subsônico
0.65
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
x (m)
FIGURA 5.66 – Condição fora do ponto de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Distribuições
longitudinais de pressão estática ao longo da câmara de mistura. Valores
adimensionalizados pela pressão na entrada do escoamento subsônico.
As FIGS. 5.67 a 5.69 mostram vistas dos detalhes da saída do injetor 1, para as três
condições já discutidas. Para se perceber melhor a topologia do escoamento, são apresentados
os campos resultantes em dois planos, horizontal e vertical, que contêm o centro geométrico
do injetor.
Na FIG. 5.67, plano vertical, observa-se uma pequena região de compressão sobre o
piso do túnel, causada pelo ajuste do perfil da camada limite. Embora haja contrastes na
305
figura, as variações de pressão são mínimas, como já visto na FIG. 5.31. As FIGS. 5.68 e 5.69
correspondem à mesma representação, porém, para os casos fora do ponto de projeto.
Observa-se nessas figuras que o jato supersônico contém regiões alternadas de expansão e
compressão em forma de domos tridimensionais, cujas dimensões têm a mesma ordem de
grandeza da seção de saída do injetor. Deve-se destacar que este é um resultado importante
deste trabalho. É de se esperar realmente, a partir de um raciocínio físico, que estas estruturas
teriam aproximadamente esta forma. Principalmente levando-se em conta que o jato
supersônico é limitado o tempo todo pelo piso do túnel e por um “túnel” de escoamento
subsônico. A simulação numérica confirma com exatidão esta lógica física.
0.040
0.030
0.020
h = 0,0226 m
0.010
0.000
0
0.02
0.04
0.06
plano vertical
w
= 0,0079 m
2
0.000
0.010
linha de simetria
0.020
0.030
0.040
0
0.02
0.04
0.06
plano horizontal
FIGURA 5.67 – Campos de pressão estática na condição de projeto, po,inj = po,pr. (azul –
pressão baixa, vermelho – pressão alta). Coordenadas em metros. h e w
indicam a altura e a largura do injetor, respectivamente.
306
0.000
0.040
0.010
0.030
0.020
0.020
0.030
0.010
0.040
0.000
0
0.02
0.04
0.06
0
plano vertical
0.02
0.04
0.06
plano horizontal
FIGURA 5.68 – Campos de pressão estática na condição fora do ponto de projeto,
0.000
0.040
0.010
0.030
0.020
0.020
0.030
0.010
0.040
0.000
0
0.02
0.04
plano vertical
0.06
0
0.02
0.04
0.06
plano horizontal
FIGURA 5.69 – Campos de pressão estática na condição fora do ponto de projeto,
Embora sendo difícil a representação tridimensional dos jatos, as FIGS. 5.70 a 5.72
são as melhores imagens conseguidas da região próxima à saída dos jatos. Para facilitar a
visualização os eixos x e z são girados cerca de 180 graus (ver FIG. 5.12) para que as
isobáricas possam ser vistas em cortes no centro do jato 1. Na FIG. 5.70 é apresentada a
condição de projeto, para a qual os gradientes de pressão são baixos e só se torna notável a
307
formação de uma região de compressão fraca na saída do jato sobre o piso do túnel. Também
há um acerto, embora menor, na região de mistura dos jatos. Na FIG. 5.71 observa-se com
clareza seis domos alternados de pressão alta e baixa formados no desenvolvimento do jato
para a condição fora de projeto (po,inj = 1,30 po,pr). A superfície externa dos domos pode ser
percebida melhor na expansão dos jatos 2 e 3 que, a menos da proximidade do piso do túnel,
se assemelha a uma forma elipsoidal. Nestas vistas não é possível distinguir grandes
diferenças entre os desenvolvimentos dos três jatos. Na FIG. 5.72 também observa-se a
formação de dois domos durante o desenvolvimento do jato para a condição fora do projeto
com pressão de estagnação no jato supersônico inferior em 30%. Observam-se pequenas
diferenças nas superfícies de pressão nos três jatos.
0
Y
Z
0.1
X
FIGURA 5.70 – Campo tridimensional com superfícies de pressão estática na condição do
ponto de projeto, po,inj = po,pr. (azul – pressão baixa, vermelho – pressão alta).
308
0
Y
Z
0.1
X
FIGURA 5.71 – Campo tridimensional com superfícies de pressão estática na condição fora
do ponto de projeto, po,inj = 1,30 po,pr (azul – pressão baixa, vermelho –
pressão alta). Coordenadas em metros.
0
Y
Z
0.1
X
FIGURA 5.72 – Campo tridimensional com superfícies de pressão estática na condição fora
do ponto de projeto, po,inj = 0,70 po,pr (azul – pressão baixa, vermelho –
pressão alta). Coordenadas em metros.
309
Outra forma de analisar o comportamento da câmara de injeção nessas condições
adversas de pressão é observar o campo de número de Mach. As FIGS. 5.73 a 5.75
apresentam esses campos para o caso do injetor número 3. É notável como a região de alta
velocidade consegue se estender mais quando a pressão de estagnação dos injetores é
aumentada. Por outro lado, neste caso, a análise global da câmara de injeção fica mais
prejudicada, porque o escoamento na saída está menos uniforme, estando mais distante de
uma condição de mistura total (veja seção 5.6).
0.5 9
0
0.590
0.15
0.10
0.05
0.590
0.806
0.00
0
0.1
1.208
1.611
1.925
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.73 – Condição de projeto, po,inj = po,pr. Isolinhas de número de Mach no plano
vertical que contém o centro geométrico do injetor 3. Coordenadas em
metros.
0.15
0.10
0. 6
26
0.05
0.626
0.863
0.693
1.294
1.726
2.055
0.00
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.74 – Condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Isolinhas de número de Mach no
plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3. Coordenadas
em metros.
310
0.15
0.10
0 .5
48
0.05
0.548
0.607
0.760
1.520
1.769
0.00
0
0.1
0.2
0.3
1.140
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.75 – Condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Isolinhas de número de Mach no
plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3. Coordenadas em
metros.
As FIGS. 5.76 a 5.78 mostram os campos de viscosidade turbulenta. Observa-se uma
certa proporcionalidade entre a atividade turbulenta e a pressão de estagnação dos injetores.
0.15
0.10
13 .
13
6
.2
0.05
4187.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1395.8
64.7
6732.1
5583.2
1.6
0.00
2791.6
0.5
0.6
FIGURA 5.76 – Condição de projeto, po,inj = po,pr. Isolinhas de viscosidade turbulenta em um
plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3. Valores
adimensionalizados pela viscosidade molecular de referência (ver TAB. 5.2).
311
19
0.10
.2
15.3
0.15
22
.2
33.6
0.05
4454.4
1484.8
2969.6
5939.2
7019.3
2.2
0.00
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.77 – Condição fora de projeto, po,inj = 1,30 po,pr. Isolinhas de viscosidade
turbulenta em um plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3.
Valores adimensionalizados pela viscosidade molecular de referência (ver
TAB. 5.2). Coordenadas em metros.
0.15
12
0.05
.5
.4
3334.8
0.00
20
18
14 .
.1
1
0.10
1111.6
2223.2
4446.4
106.4
5401.6
1.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURA 5.78 – Condição fora de projeto, po,inj = 0,70 po,pr. Isolinhas de viscosidade turbulenta
em um plano vertical que contém o centro geométrico do injetor 3. Valores
adimensionalizados pela viscosidade molecular de referência (ver TAB. 5.2).
5.6 Análise do desempenho da injeção
O objetivo nesta seção é a determinação de parâmetros úteis para projetos de
engenharia de túneis de vento com injeção. Como se tem a solução do campo de escoamento é
possível avaliar o ganho obtido, a eficiência envolvida e a perda de carga relativos à câmara
312
de injeção. As soluções nas malhas de A a E foram agrupadas em uma malha fina única, e os
resultados utilizados para os cálculos que serão discutidos a seguir.
5.6.1 Análise teórica
Perda de carga – variação da entropia
Em geral, na análise do circuito completo de um túnel transônico, admite-se que a
totalidade dos elementos que o compõem é adiabática e opera sem trabalho de eixo, com
exceção do elemento compressor e do elemento trocador de calor. Estudos mostram que o
fluxo de calor pelas paredes de um túnel transônico operando em condições normais, não
chega a 5 % do montante total da carga térmica no trocador de calor (Stich, 1985).
Nessas condições a hipótese de adiabaticidade é perfeitamente válida. Como já foi ressaltado
anteriormente, o estudo da câmara de injeção considerou as paredes do túnel como
adiabáticas. Pode-se mostrar que, para um escoamento adiabático e sem trabalho de eixo,
as irreversibilidades (perdas) estão diretamente relacionadas com a variação da pressão de
estagnação no elemento (Zucker, 1977). Assim, nestes termos, é conveniente se definir um
coeficiente de perda de carga para um componente do circuito como
K=
po ,s − po ,e ∆ po
,
=
qref
qref
(5.10)
onde po é a pressão de estagnação média na seção transversal, os subscritos “s” e “e” indicam,
respectivamente, os planos de saída e entrada do elemento, K é o coeficiente de perda de
carga total e qref é a pressão dinâmica na entrada do elemento ou, eventualmente, um outro
valor de referência adequado. Assim, é preciso avaliar fundamentalmente a variação da
313
pressão de estagnação entre as seções de entrada e saída da câmara de injeção para a
determinação de K.
Para o cálculo da perda de carga partiu-se da fórmula da dinâmica dos gases, que
indica que para um gás perfeito, em regime permanente, sem transferência de calor e trabalho
(e, portanto, o processo é considerado adiabático), a relação entre as pressões de estagnação
em função da variação de entropia média específica é dada por (Shapiro, 1953):
p o, e
p o, s
=e
−
se −ss
R
,
(5.11)
onde R é a constante do gás. Inicialmente calcular-se-ão os valores de se e ss relativos à
câmara de injeção. Para a determinação final de ∆ po será necessária a estimativa de um dos
valores da pressão de estagnação média, na entrada ou na saída (o que será apresentado no
próximo item).
É possível obter-se o valor da entropia média específica para uma determinada seção
transversal i por meio de um somatório de contribuições de todas as células de cálculo k que
discretizam a seção transversal. Assim, escreve-se que
n
∑ m&
sk
k
si =
k =1
n
∑ m&
,
(5.12)
k
k =1
onde sk é o valor da entropia atribuído à célula k, n o número total de células da seção
transversal i, e m& k o fluxo de massa que passa pela mesma célula de cálculo – o denominador
representa o fluxo de massa global nesta seção transversal. Não se deve confundir o índice k
na Eq. (5.12) com o contador k da direção z.
314
A FIG. 5.79 mostra um esquema ilustrativo da célula de cálculo, que é formada por
quatro nós vizinhos. As propriedades ρ, T, e s, atribuídas à célula, e que serão necessárias para
os cálculos, serão obtidas a partir da média aritmética dos valores dos quatro nós. A pressão é
então calculada a partir da equação de estado. Assim, uma propriedade genérica αk na célula
de ordem k é obtida por
αk =
1
( α1 + α 2 + α 3 + α 4 ) .
4
(5.13)
y
x
z
α1
m& k
α2
α3
α4
αk
FIGURA 5.79 – Célula de cálculo na estação longitudinal i.
A entropia atribuída a cada nó da malha, s, é obtida em relação a um estado de
referência, através da fórmula aplicável a dois estados de equilíbrio de um gás perfeito,
 T
s − sref = c p ln 
T
 ref



 − R ln  p  .
p 

 ref 

(5.14)
315
O estado de referência, em princípio, pode ser qualquer, contanto que seja o mesmo nas duas
seções, de entrada e de saída da câmara de injeção, para que se cancelem na subtração das
entropias entre as seções.
O fluxo de massa que passa pela célula de cálculo foi avaliado pela expressão
m& k = ρ k uk Ak ,
(5.15)
Ak = ( y1 − y3 ) ( z1 − z2 ) ,
(5.16)
onde Ak é a área da célula, dada por
tendo sido obtida a partir das coordenadas cartesianas dos nós (ver FIG. 5.79).
Pressão de estagnação numa seção transversal
O conceito de pressão de estagnação média na seção de entrada da câmara de injeção é
mais difícil de ser aplicado diretamente devido à presença de dois escoamentos com
propriedades bastante diferentes. Entretanto, na saída, o processo de mistura dos jatos já está
bem avançado e as propriedades são mais uniformes em toda a seção, o que favorece o
conceito de média, principalmente no caso da pressão de estagnação. Aqui, empregou-se a
mesma idéia expressa pela Eq. (5.14) que relaciona dois estados termodinâmicos. Sejam os
valores médios da pressão e da temperatura de estagnação na seção de saída po,s e To,s,
respectivamente, e a entropia média correspondente, ss. Para cada célula de cálculo da seção
de saída, pode-se então escrever
316
p
∆ sk = sk − ss = − R ln  o ,k
 po ,s

T 
 + c p ln  o ,k  ,

T 

 o ,s 
(5.17)
onde sk, po,k e To,k são, respectivamente, os valores de entropia, pressão de estagnação e
temperatura de estagnação para a célula k. A somatória de todas as contribuições extensivas a
todas as células ( m& k ∆ sk ) em toda a seção de saída é nula, pelo fato de ter sido empregado
como valor de referência o valor médio da entropia na seção (ver Eq. (5.12)). Daí, pode-se
obter diretamente que
po ,s
 n
∑
 k =1
= exp 




 T 
γ
m& k ln  o ,k 
m& k ln po ,k −
γ −1

 To ,s 
n
∑ m&
k
k =1



.



(5.18)
O valor da temperatura de estagnação média na seção de saída, To ,s , é obtida da seguinte
forma. Considera-se,
n
∑ m&
k
ho ,s =
ho ,k
k =1
n
∑ m&
,
(5.19)
k
k =1
onde ho ,s é a entalpia específica total média na seção de saída e ho ,k a entalpia específica total
na célula de cálculo k. Como o gás é considerado caloricamente perfeito, obtém-se,
317
To ,s =
ho ,s
.
cp
(5.20)
Com os valores de po , s , se e ss , pode-se obter po , e da Eq. (5.11). Daí, a partir da
Eq. (5.10), calcula-se o valor de K, considerando-se que qref é definida como
qref =
1
ρ ∞ U ∞2 ,
2
(5.21)
onde ρ∞ e U∞ são, respectivamente, a densidade e a velocidade do escoamento primário na
entrada da seção de injeção.
Ganho do processo de injeção
Dependendo do caso específico, o ganho de um sistema que usa injeção de massa pode
ser expresso de diferentes formas. Um exemplo disto é a fórmula sugerida por
Alperin e Wu (1983a), mais aplicável para sistemas de injeção em turbinas aeronáuticas,
nas quais há a presença de coletor e difusor, antes e depois, respectivamente, da câmara de
mistura da injeção. Uma aplicação mais adequada para o caso do TTP é encontrada no projeto
desenvolvido pela Sverdrup Technology Inc. para o CTA, (Sverdrup, 1989). A proposta é
calcular λc, o ganho da injeção, por meio da expressão
λc =
po , s − ∆ po
,
po ,1
(5.22)
318
onde ∆ po é a perda de carga na câmara de injeção, como calculada pela Eq. (5.10), po,s é a
pressão de estagnação média na seção de saída da câmara de injeção, como calculada pela
Eq. (5.18) e po,1 é a pressão de estagnação de projeto do escoamento no circuito do túnel,
antes do uso da injeção, segundo dado na TAB. 5.1.
Eficiência do processo de injeção
A eficiência do processo de mistura de dois jatos pode ser obtida a partir da variação
da entropia dos mesmos, como é proposto por Nogueira et al. (1988). Desta forma leva-se em
conta todas as irreversibilidades na câmara de mistura. O parâmetro é definido por
 s − s   m& 
η = −  1 3  ⋅  1  ,
 s2 − s3   m& 2 
(5.23)
onde s é a entropia específica média, m& é o fluxo de massa, e 1, 2 e 3 são, respectivamente,
os índices relativos aos dois jatos na fronteira de entrada e à mistura dos jatos na fronteira de
saída da câmara de injeção.
5.6.2 Parâmetros de desempenho da injeção no ponto de projeto
A TAB. 5.6 apresenta os parâmetros mais representativos na fronteira de entrada da
câmara de mistura, para os dois jatos, na condição de projeto e antes do acionamento
da injeção.
319
TABELA 5.6 – Parâmetros iniciais na fronteira de entrada dos dois jatos.
Parâmetro
Escoamento 1
Escoamento 2
Número de Mach
1,90
0,51
300
313
547,2
97,5
Temperatura estática (K)
174
298
81,7
81,7
1,635
0,957
503
176
3
Densidade estática (kg/m )
Velocidade (m/s)
2 (1)
Viscosidade dinâmica laminar (N.s/m )
Número de Reynolds relativo à altura do injetor
Entropia específica (N.m/(kg.K))
(3)
Temperatura da parede (K)
-5
1,79 x 10
-5
1,61 x 10
6
0,212 x 10
150
688
1,15 x 10
(2)
6
(5)
0,0012
(4)
Pressão na parede (kPa)
3
Densidade na parede (kg/m )
2
Viscosidade dinâmica na parede (N.s/m )
Condições na fronteira de entrada
0,0014 e 0,008
286
311
81,7
81,7
0,995
0,915
-5
-5
1,74 x 10
1,85 x 10
impostas
extrapoladas
Relação de pressões de estagnação po1/po2
5,62
Relação de áreas A2/A1
30,0
Relação de fluxos de massa
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
m& 2 m& 1
6,15
Calculadas a partir da temperatura estática utilizando a fórmula de Sutherland.
Calculado em relação à altura do injetor hinj = 0,0226 m.
Condições de referência para cálculo da entropia: pref = 81,7 kPa e Tref = 150 K.
Calculada considerando o fator de recuperação (analogia de Reynolds) r = 0,89.
Espessuras de camadas limite externa ao injetor e nas paredes do túnel, respectivamente.
Como já foi discutido anteriormente (item 5.1.2), a partir do início da simulação
alguns parâmetros na fronteira de entrada subsônica se alterarão, resultando numa condição de
equilíbrio final para o problema. A partir desses valores finais, os parâmetros macroscópicos
de desempenho foram avaliados. A TAB. 5.7 traz o resultado final da simulação em termos
320
dos principais parâmetros para avaliação do desempenho do processo na condição de projeto.
Os valores foram obtidos a partir dos resultados da malha fina. O fluxo de massa calculado
por integração das células apresentou um desvio de 0,4 % entre a fronteira de entrada e a
fronteira de saída.
TABELA 5.7 – Resultados finais da simulação numérica nas fronteiras de entrada
(1 – supersônico, 2 - subsônico) e de saída (3).
Parâmetro
Escoamento 1
Escoamento 2
Escoamento 3
508
101
113
Entropia específica (N.m/(kg.K))
170
676
633
0,690
5,011
5,724
5,01
1,0
1,12
1,0
7,27
8,30
Fluxo de massa (kg/s)
(a)
Relação de pressões de estagnação
Relação de fluxos de massa
(c)
(b)
(a)
– correspondente à região simulada (um quarto da câmara de injeção).
– tomado como referência o escoamento 2.
(c)
– tomado como referência o escoamento 1.
(b)
A aplicação dos procedimentos de cálculo descritos no item 5.6.1 permite a obtenção
dos parâmetros gerais para a câmara de injeção. O valor do coeficiente de perda de carga
obtido foi de K = 0,40, sendo que a pressão dinâmica de referência considerada foi
de 18,6 kPa. Para se ter um dado de referência, o coeficiente de perda de carga para a seção de
testes do túnel, como previsto no projeto básico, considerando instalado um modelo típico
com razão de bloqueio de 1%, foi de 0,26. Observa-se que o coeficiente de perda de carga da
câmara de injeção resultou mais alto do que o da seção de testes, o que seria de se esperar
devido à alta atividade turbulenta nas camadas de mistura. Mesmo assim, destaque-se que a
câmara de injeção causa um efeito final positivo representado pelo ganho da injeção.
321
O ganho resultante do processo de injeção foi de λc = 1,085. O valor do ganho tomado
como base pela equipe do CTA à época do projeto conceptual dos túneis foi de 1,06, segundo
Nogueira et al. (1988).
Estes
autores
investigaram
(utilizando
uma
modelagem
unidimensional simplificada) as influências dos diversos parâmetros de projeto, relação de
áreas, relação de pressões de estagnação, relação de fluxos de massa etc., sobre o valor do
ganho. Como se pode notar, os valores (1,085 e 1,06) são próximos.
A eficiência do processo de injeção foi de 67,3 %. Novamente não há outras fontes
que possam servir para comparação senão aquela devida a Nogueira et al. (1988), a qual está
reproduzida na FIG. 5.80. Para as mesmas condições de número de Mach nas duas situações,
a figura indica um valor aproximado de 44%. A diferença é grande, e talvez esteja ligada às
diversas suposições utilizadas para se levantar as curvas da FIG. 5.80. Além disso, os dados
da figura correspondem a um ganho de 1,06. Outro fato importante, e que talvez explique essa
diferença, é que a análise unidimensional de Nogueira et al. (1988) impõe um valor empírico
para as perdas externas do processo.
100
M
Minj
inj = 1,0
90
M
Minj
inj = 1,4
80
M
Minj
inj = 1,8
70
Eficiência (%)
M
Minj
inj = 2,2
60
50
40
30
20
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
número de Mach do escoamento principal (M 1)
FIGURA 5.80 – Eficiência do processo de injeção para ganho de 1,06 (Nogueira et al., 1988).
Minj representa o número de Mach na seção de saída dos injetores.
322
5.6.3 Parâmetros de desempenho da injeção nas três condições
Embora uma comparação numérica direta entre os três casos calculados, no ponto de
projeto e fora do ponto de projeto, possa falsear algumas conclusões, os resultados estão
apresentados na TAB. 5.8. A dificuldade é que, por exemplo, ao se variar a pressão de
estagnação do jato supersônico, a relação de fluxos de massa se altera e isto resulta numa
outra situação na qual os parâmetros macroscópicos já não são mais comparáveis. Veja-se,
por exemplo, que a pressão dinâmica de referência se altera, pois a mesma se refere aos
parâmetros na entrada subsônica ao final da simulação numérica. Seria necessário fazer uma
parametrização mais coerente entre as grandezas envolvidas. Da TAB. 5.8 infere-se que há
uma melhoria no ganho da injeção com o aumento de po,inj, entretanto há um aumento da
perda de carga global, um reflexo direto do aumento de choques e expansões ao se distanciar
da condição de projeto. Além disso, perde-se muito em tempo de ensaio, considerando-se que
a capacidade de armazenamento é a mesma. Ao se elevar po,inj esgota-se mais rapidamente os
tanques de ar comprimido. Na condição de projeto o tempo de ensaio é da ordem
de 45 segundos. Com o aumento de 30 % em po,inj este valor cai para cerca de 20 segundos,
uma perda considerável. Com a diminuição de 30 % em po,inj observa-se uma piora do ganho e
também da eficiência. O ganho chegou a ser menor que 1, significando que as perdas
envolvidas no processo de mistura suplantaram o aumento da pressão de estagnação
registrado pelo escoamento subsônico.
323
TABELA 5.8 – Resultados finais das condições de projeto e fora de projeto (malha grossa).
po,pr
po,inj = 1,3 po,pr
po,inj = 0,7 po,pr
po,inj (kPa)
507
660
355
po,s (kPa)
113
124
101
qref (kPa)
18,6
23,4
11,9
& sub / m& inj )
Relação de fluxos de massa ( m
7,31
6,19
8,95
Variação de entropia (kJ/kg.K), (se – ss)
-18,5
-21,7
-16,3
Perda de carga total (kPa), (po,s – po,e)
7,51
9,69
5,86
Coeficiente de perda de carga global, K
0,404
0,415
0,493
Ganho da injeção, λc
1,082
1,167
0,973
Eficiência da injeção, η
66,8%
69,9%
58,5%
5.7 Comparação dos resultados das malhas fina e grossa no ponto de projeto
Tipicamente, um processo de cálculo na malha grossa requer cerca de 10 mil iterações
com cinco dias ininterruptos de processamento num computador pessoal Athlon 2000 MHz.
Ao passar para a malha fina, cada uma das cinco malhas ainda requer mais cerca de 3000
iterações, com três dias ininterruptos de processamento por malha para depois ser realizada a
justaposição dos resultados. Ao todo foram necessários cerca de vinte dias de processamento
no computador. Com o propósito da análise de casos futuros, foi avaliada a qualidade geral da
solução na malha grossa, comparando os resultados de desempenho com aqueles encontrados
para a malha fina.
A TAB. 5.9 resume a comparação dos principais parâmetros. Observe-se que a malha
grossa apresenta em geral uma boa precisão.
324
TABELA 5.9 – Resultados finais comparativos das malhas fina e grossa.
Parâmetros
Malha Fina
Malha Grossa
Desvio
121x141x368
61x71x158
-
Fluxo de massa na fronteira de saída (kg/s)
5,72
5,74
0,35 %
Perda de carga na câmara de mistura (kPa), (po,s – po,e)
7,46
7,51
0,56 %
Coeficiente de perda de carga, K
0,401
0,404
0,55 %
Ganho da injeção, λc
1,085
1,082
0,28 %
Eficiência da injeção, η
0,673
0,668
0,64 %
Número de pontos
Os resultados obtidos com a malha grossa permitem concluir que a mesma já se presta
para fazer avaliações quantitativas do processo de injeção, o que acelera em muito o processo
de cálculo – redução de quatro vezes no tempo de processamento.
5.8 Conclusões
O objetivo inicial de simular numericamente o escoamento na região da mistura de
jatos, supersônico e subsônico, do sistema de injeção de um túnel de vento transônico, e a sua
aplicação ao problema específico da análise do TTP, foi alcançado.
Foi bem sucedida a elaboração de um código robusto para resolver as equações de
Navier-Stokes
com
características
adequadas
(método
implícito
em
coordenadas
generalizadas, na forma diagonal com utilização de malhas seqüenciais) e foi comprovada a
capacidade do código na simulação numérica da mistura de jatos supersônicos (itens 4.5
e 4.6) e de jatos supersônico e subsônico (itens 4.7, 4.8, 5.4 e 5.5), esta última, aparentemente,
inédita na literatura.
325
Para o estabelecimento das condições de contorno nas regiões de camadas limite,
foram desenvolvidas metodologias específicas para a camada limite hidrodinâmica
(item 3.7.3) e para a distribuição da viscosidade turbulenta na região de camada limite
(item 3.7.4).
A implementação das condições de contorno na entrada da câmara de injeção pelas
velocidades características e a lógica adotada para o aumento da pressão de estagnação na
entrada da câmara foram bem sucedidas, no sentido de refletir com fidelidade a física,
comprovando a operação conjunta do sistema de injeção com o compressor principal, como
previsto no item 5.1.2.
Através da análise de cortes transversais (FIG. 5.57) pôde-se comprovar a topologia do
desenvolvimento do jato supersônico, segundo previsto no item 2.7.2.
A parede lateral do túnel age no sentido de inibir o ganho em termos da pressão de
estagnação e do número de Mach (FIGS. 5.39 e 5.44) e, conseqüentemente, o ganho da
injeção.
Os ajustes de pressão entre os dois escoamentos são estabelecidos por intermédio de
superfícies tridimensionais em forma de domos (FIGS. 5.70 a 5.72).
Comprovou-se o critério básico de pressões estáticas iguais nos dois jatos adotado na
prática em projetos de sistemas de injeção (FIG. 5.31).
Na câmara de injeção, os valores de db/dx são maiores para as camadas de mistura
superiores, i. e., as camadas mais livres (FIG. 5.55).
A operação do sistema de injeção foi averiguada e sua importância foi comprovada na
utilização em túnel de vento, pelo desempenho resultante para a condição de projeto e
condições fora do ponto de projeto. Para a condição de projeto, o ganho da injeção foi
de 1,082 calculado na malha grossa e 1,085 na malha fina, valores estes próximos ao valor
inicialmente previsto no projeto conceptual do TTP, de 1,06. A eficiência global, que teve
326
pouca variação quando avaliada nas malhas grossa e fina, em torno de 67%, foi superior
aos 44% previsto por Nogueira et al. (1988).
5.9 Comentários finais e sugestões para futuros trabalhos
Os resultados da análise tridimensional aplicada ao processo de mistura de jatos da
injeção em túneis de vento transônico são, provavelmente, os primeiros resultados deste
gênero a serem publicados. A experiência obtida no desenvolvimento deste trabalho de tese
aponta para as seguintes possíveis linhas de extensão da pesquisa atual.
( i ) A câmara de injeção pode ser representada por uma malha mais sofisticada,
reproduzindo melhor a geometria da mesma, com as angularidades e mudanças de forma
das paredes.
( ii ) Cálculo do escoamento real em torno do injetor.
( iii ) Simulação do escoamento no interior do injetor.
( iv ) Com mais capacidade computacional pode-se “rodar” a malha fina completa,
sem dividi-la em partes; também a paralelização do código desenvolvido é desejável para
aumentar a velocidade de processamento.
( v ) Estudar outras configurações geométricas dos injetores, como o número total
deles, a respectiva posição na entrada da câmara de injeção, e outras configurações
geométricas da câmara, visando a otimização do projeto.
( vi ) Estudar o escoamento no primeiro difusor de maneira a se permitir uma mistura
completa das duas correntes e analisar o impacto no desempenho do difusor com a operação
da injeção.
327
( vii ) Uma extensão dos casos estudados para outras condições de operação do túnel
pode ser realizada para o levantamento do envelope de operação real do sistema de injeção
do TTP.
( viii ) Modificar o código desenvolvido para discretização espacial em volumes finitos
com malha não estruturada visando uma melhor representação das diversas regiões de alto
refinamento, reduzindo a rigidez da malha e, em conseqüência, aumentando (pelo menos,
em princípio) o número de CFL. Analisar a possibilidade de introduzir algumas técnicas de
TVD (“Total Variation Diminishing”), o que, possivelmente, melhoraria a resolução de
compressões e expansões.
328
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335
Apêndice A AS RELAÇÕES CARACTERÍSTICAS E SUA APLICAÇÃO
ÀS CONDIÇÕES DE CONTORNO
A.1 As relações características
As equações de Euler para escoamentos tridimensionais, em forma conservativa, no
sistema de coordenadas cartesianas, podem ser escritas como
∂ Q ∂ Ec ∂ Fc ∂ Gc
+
+
+
= 0,
∂t
∂x
∂x
∂x
(A.1a)
onde
 ρ 
ρu
 
Q = ρv,
 ρ w
 
 e 
 ρu 
ρ u 2 + p


Ec =  ρ u v  ,
 ρuw 


(e + p )u 
(A.1b)
 ρv 
 ρ uv 


Fc =  ρ v 2 + p  ,
 ρvw 


(e + p )v 
 ρw 
 ρuw 


Gc =  ρ v w  .
 ρ w2 + p 


(e + p ) w 
(A.1c)
Entretanto, para o desenvolvimento que se segue, é recomendável que as Eqs. (A.1)
sejam escritas em sua forma não-conservativa, o que facilita o tratamento algébrico. Em forma
não-conservativa, as equações da continuidade, quantidade de movimento e energia são
336
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂u
∂v
∂w
+u
+v
+w
+ρ
+ρ
+ρ
=0,
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(A.2a)
∂u
∂u
∂u
∂u 1 ∂ p
+u
+v
+w
+
= 0,
∂t
∂x
∂y
∂z ρ ∂x
(A.2b)
∂v
∂v
∂v
∂v 1 ∂ p
+u
+v
+w
+
= 0,
∂t
∂x
∂y
∂z ρ ∂y
(A.2c)
∂w
∂w
∂w
∂w 1 ∂ p
+u
+v
+w
+
=0,
∂t
∂x
∂y
∂z ρ ∂z
(A.2d)
∂p
∂p
∂p
∂p
∂u
∂v
∂w
+u
+v
+w
+γ p
+γ p
+γ p
= 0.
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(A.2e)
Em forma matricial
∂R ~ ∂R ~ ∂R ~ ∂R
+A
+B
+C
= 0,
∂t
∂x
∂y
∂z
(A.3)
onde
ρ 
u 
 
R = v  ,
 w
 
 p 


~ 
B=




v
0
0
0
0
0
v
0
0
0
ρ
0
v
0
γp
0
0
0
v
0
0 

0 
ρ −1  ,

0 
v 


~ 
A=




u
0
0
0
0


~ 
C=




w
0
0
0
0
u
0
0
γp
0
0
u
0
0
0
0
0
u
0
0 

ρ −1 
0 ,

0 
u 
(A.4a)
0
w
0
0
0
0
0
w
0
0
ρ



.

ρ −1 
w 
(A.4b)
ρ
0
0
w
γp
0
0
0
337
~
~ ~
O vetor das variáveis não-conservadas é representado por R; A , B e C são as chamadas
matrizes jacobianas associadas às equações de Euler em forma não-conservativa.
~
Os autovalores da matriz A são
λ1 = λ2 = λ3 = u ,
(A.5a)
λ4 = (u + a ) ,
(A.5b)
λ5 = (u − a ) ,
(A.5c)
λ1 = λ2 = λ3 = v ,
(A.6a)
λ4 = (v + a ) ,
(A.6b)
λ5 = (v − a ) ,
(A.6c)
λ1 = λ2 = λ3 = w ,
(A.7a)
λ4 = ( w + a ) ,
(A.7b)
λ5 = (w − a ) ,
(A.7c)
~
os da matriz B são
~
e os da matriz C são
sendo iguais os autovetores associados a esses autovalores, nos três casos, e dados pelas
colunas da matriz
338






X =






1
2a 2
1
2ρ a
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2
1 
2a 2 

1 
−
2ρ a 

0 .


0 

1 
2 
(A.8)
A matriz inversa de X é





−1
X =






1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
ρa
0
0
0
−ρa
0
0
−
1 
a2 

0 

0 .


1 

1 

(A.9)
Pré-multiplicando a Eq. (A.3) por X −1 e inserindo a matriz identidade I = X X −1 nos
locais apropriados, obtém-se
X −1
∂R
∂R
∂R
∂R
~
~
~
+ X −1 A X X −1
+ X −1 B X X −1
+ X −1 C X X −1
= 0.
∂t
∂x
∂y
∂z
(A.10)
Observe-se que
~
X −1 A X = Λ A~ ,
(A.11a)
~
X −1 B X = Λ B~ ,
(A.11b)
~
X −1 C X = Λ C~ ,
(A.11c)
339
onde



Λ A~ = 



u
0
0
0
0
0
u
0
0
0
0
0
u
0
0
0
0 
0
0 
0
0 ,

u+a
0 
0
u − a 
(A.12a)



Λ B~ = 



v
0
0
0
0
0
v
0
0
0
0
0
v
0
0
0
0 
0
0 
0
0 ,

v+a
0 
0
v − a 
(A.12b)
0
w
0
0
0
0
0
w
0
0
0
0 
0
0 
0
0 ,

w+a
0 
0
w − a 
(A.12c)



Λ C~ = 



w
0
0
0
0
sendo que os elementos não nulos das matrizes acima são chamados velocidades
características.
Substituindo as Eqs. (A.11) na Eq. (A.10) chega-se a
X −1



∂R
∂R
∂R
∂R
 + Λ B~  X −1
 + Λ C~  X −1
 = 0.
+ Λ A~  X −1
∂t
∂x 
∂y
∂ z 



(A.13)
Supondo que se deseje implementar condições de contorno na direção x, duas
considerações devem ser feitas. A primeira é que muitos algoritmos usam o conceito de
fatoração aproximada. Portanto, na realidade, o problema multi-dimensional é tratado como
uma seqüência de problemas unidimensionais. A segunda é que, em muitos problemas,
o escoamento que cruza determinadas fronteiras – principalmente de entrada e saída – está
340
praticamente alinhado com uma das coordenadas; no caso presente o alinhamento se dá com a
direção x. Nestas condições, as derivadas em relação às outras direções – no caso, as direções
y e z – podem, em geral, ser desprezadas. É certo que na camada limite os gradientes na
direção normal são consideráveis, porém, a sua espessura é pequena em relação a um
comprimento característico dos planos de entrada ou de saída. Assim, caso se deseje “operar”
na direção x, e considerando as argumentações acima pode-se reescrever a Eq. (A.13) da
seguinte forma
X −1

∂R
∂R
≅ 0.
+ Λ A~  X −1
∂ x 
∂t

(A.14)
Realizando-se as operações matriciais indicadas na Eq. (A.14) chega-se, finalmente,
às cinco relações características associadas à “operação” na direção x, para escoamentos
tridimensionais,
∂ρ 1 ∂ p
∂ρ 1 ∂ p
 ,
− 2
= − u 
− 2
∂t a ∂t
 ∂x a ∂x 
(A.15a)
∂v
∂v
= −u
,
∂t
∂x
(A.15b)
∂w
∂w
= −u
,
∂x
∂t
(A.15c)
ρa
 ∂p
∂u
∂u ∂ p
+ρa
= − (u + a ) 
+
∂x
∂t ∂t
 ∂x

 ,

(A.15d)
−ρa
 ∂p
∂u
∂u ∂ p
−ρa
= − (u − a ) 
+
∂x
∂t ∂t
 ∂x

 ,

(A.15e)
as quais correspondem às velocidades características u, u, u, (u + a) e (u - a), respectivamente.
341
Analogamente, no caso de “operação” na direção y tem-se
∂ρ 1 ∂ p
∂ρ 1 ∂ p
 ,
− 2
= − v 
− 2
∂t a ∂t
∂y a ∂y
(A.16a)
∂u
∂u
= −v
,
∂y
∂t
(A.16b)
∂w
∂w
= −v
,
∂y
∂t
(A.16c)
ρa
 ∂p
∂v
∂v ∂ p
+ ρa
= − (v + a ) 
+
∂y
∂t ∂t
 ∂y

 ,

(A.16d)
−ρa
 ∂p
∂v
∂v ∂ p
−ρa
= − (v − a ) 
+
∂y
∂t ∂t
 ∂y

 ,

(A.16e)
correspondentes às velocidades características v, v, v, (v + a) e (v - a), respectivamente, e na
direção z tem-se
∂ρ 1 ∂ p
∂ρ 1 ∂ p
 ,
− 2
= − w 
− 2
∂t a ∂t
 ∂z a ∂z 
∂u
∂u
= −w
,
∂z
∂t
(A.17b)
∂v
∂v
= −w ,
∂t
∂z
(A.17c)
 ∂p
∂w
∂w ∂ p
+ρa
= − (w + a ) 
+
∂z
∂t
∂t
 ∂z

 ,

(A.17d)
 ∂p
∂w
∂w ∂ p
−ρa
= − (w − a ) 
+
∂z
∂t
∂t
 ∂z

 ,

(A.17e)
ρa
−ρa
(A.17a)
correspondente às velocidades características w, w, w, (w + a) e (w - a).
342
Embora as equações, neste trabalho, sejam programadas em forma conservativa, toda a
álgebra anterior considera as equações em forma não-conservativa. Há, entretanto,
uma transformação similar (Warming et al., 1975) tal que
~
A = N −1 A N ,
(A.18a)
~
B = N −1 B N ,
(A.18b)
~
C = N −1 C N ,
(A.18c)
onde A, B e C são as matrizes jacobianas de fluxo associadas às equações de Euler em sua
forma conservativa e

1



u

∂Q 
v
=
N =
∂R 

w

 1

u 2 + v 2 + w2
 2
(
)

1


−u/ ρ


∂R 
=
N −1 =
−v/ ρ
∂Q 

− w/ ρ


 1 (γ − 1) u 2 + v 2 + w2
 2
(



0 


0 ,

0 

1 

γ − 1 
(A.19)

0 

1/ ρ
0
0
0 

0
1/ ρ
0
0 .


0
0
1/ ρ
0 

− (γ − 1)u − (γ − 1)v − (γ − 1) w γ − 1

(A.20)
0
0
0
ρ
0
0
0
ρ
0
0
0
ρ
ρu
ρv
ρw
0
)
0
0
0
343
Observe-se que Q é o vetor de variáveis conservadas e o vetor de variáveis não-conservadas é
representado por R.
Pré-multiplicando as Eqs. (A.18) por X −1 e pós-multiplicando por X, e levando em
conta as Eqs. (A.11) resulta
X −1 N −1 A N X = Λ A~ = Λ A ,
(A.21a)
X −1 N −1 B N X = Λ B~ = Λ B ,
(A.21b)
X −1 N −1 C N X = Λ C~ = Λ C .
(A.21c)
Em outras palavras, existe uma matriz de autovetores S tal que
S −1 A S = Λ A ,
(A.22a)
S −1 B S = Λ B ,
(A.22b)
S −1 C S = Λ C ,
(A.22c)
onde, evidentemente, S −1 = X −1 N −1
e
S = N X. Pode-se dizer, então, que as matrizes
~ ~
jacobianas de fluxo associadas às equações de Euler em sua forma não-conservativa ( A , B e
~
C ) estão relacionadas com as matrizes associadas à forma conservativa das mesmas equações
~
~
(A, B e C) através de uma transformação similar. Os autovalores das matrizes A e A , B e B e
~
C e C são exatamente os mesmos.
Todas as condições de contorno – de entrada e saída – apresentadas a seguir supõem
que o escoamento esteja, aproximadamente, alinhado com a direção longitudinal x.
344
A.2 Entrada subsônica
As relações características para operação na direção x são a base para o que se segue,
e, portanto, é interessante reescrevê-las
∂ρ 1 ∂ p
∂ρ 1 ∂ p
 ,
− 2
= − u 
− 2
∂t a ∂t
 ∂x a ∂x 
(A.23a)
∂v
∂v
= −u
∂x
∂t
,
(A.23b)
∂w
∂w
= −u
∂t
∂x
,
(A.23c)
ρa
 ∂p
∂u
∂u ∂ p
+ρa
= − (u + a ) 
+
∂x
∂t ∂t
 ∂x

 ,

(A.23d)
−ρa
 ∂p
∂u
∂u ∂ p
−ρa
= − (u − a ) 
+
∂x
∂t ∂t
 ∂x

 .

(A.23e)
Considerando o escoamento na fronteira de entrada como subsônico (u < a) as
Eqs. (A.23a) a (A.23d) “carregam” informações a jusante enquanto que a Eq. (A.23e)
“carrega” informação a montante. Daí, sobre o plano de entrada, quatro condições devem ser
fixadas e uma deve ser extrapolada do interior do domínio de cálculo. Essa extrapolação é
feita lançando-se mão da Eq. (A.23e).
Como é usual em escoamentos internos, são as seguintes as propriedades fixadas neste
caso: temperatura de estagnação, To, pressão de estagnação po e angularidade do escoamento,
nas direções y e z – θy e θz, respectivamente. Para isto, utilizou-se a definição empregada em
coordenadas esféricas, como está apresentada na FIG. A.1. Para a orientação escolhida,
345
quando a velocidade é alinhada com a direção longitudinal do escoamento (x), os ângulos
θy e θz são iguais a 90 graus. Nesse sistema tem-se
r
r
r
r
U =ui +v j +wk ,
(A.24)
v = u ctg θ y ,
(A.25a)
w = u cssc θ y ctg θ z ,
(A.25b)
e da figura
sendo que “ctg” indica cotangente e “cssc” cossecante. A expressão para a energia cinética
por unidade de massa é então dada por
1 r r 1 2
1
ec = U ⋅ U =
u + v 2 + w2 = 1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z u 2 .
2
2
2
(
)
(
)
(A.26)
z
w
r
U
θz
v
y
θy
u
r
p
x
FIGURA A.1 – Sistema de coordenadas esféricas utilizado para os componentes de
velocidade na entrada.
346
Para se estabelecer um esquema de extrapolação o objetivo agora é discretizar,
convenientemente, a Eq. (A.23e). Através de um esquema implícito do tipo
δ(
)in, j ,k = ∆ t
∂
(
∂t
)in, j+,1k = ( )in, j+,1k − ( )in, j ,k ,
(A.27)
ou
∂
(
∂t
n +1
i , j ,k
)
=
( )in, j+,1k − ( )in, j ,k δ ( )in, j ,k
=
∆t
∆t
,
(A.28)
chega-se à seguinte equação discretizada:
δ p1n, j , k − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k δ u1n, j , k =
(
− u2n,+j1,k − a2n,+j1,k
) ∆∆ xt [ ( p
)
n +1
2 , j ,k
(
− p1n,+j 1,k − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k u2n,+j1,k − u1n,+j 1,k
) ].
(A.29)
Considerando a Eq. (A.27), vem
p1n, +j ,1k = p1n, j , k + δ p1n, j , k ,
(A.30a)
u1n, +j ,1k = u1n, j , k + δ u1n, j , k ,
(A.30b)
e, substituindo-se essas expressões na Eq. (A.29) pode-se escrever
δ p1n, j , k − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k δ u1n, j , k =
−
λ5
1 − λ5
[(p
n +1
2 , j ,k
)
(
)]
− p1n, j ,k − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k u2n,+j1,k − u1n, j ,k ,
(A.31)
onde
λ5 = ( u2n,+j1,k − a2n,+j1,k
)
∆t
(x
2 , j ,k
− x1, j ,k
)
.
(A.32)
347
Observe-se que os coeficientes (u – a) e ρ a são calculados no ponto conhecido
(2, j, k). Esta aproximação adicional é feita a fim de se linearizar a Eq. (A.31). Não se deve
esquecer, entretanto, que as condições no ponto (2, j, k) dependem das condições no ponto
(1, j, k), o que torna a aproximação “menos arbitrária”. Note-se, ainda, que, ao se fazer a
atualização das condições de contorno, o cálculo no interior da malha, para a iteração (n + 1),
já foi completado. Assim, existem duas incógnitas na Eq. (A.31), a saber: δ p e δ u. É preciso,
portanto, que se escreva δ p em função de δ u, por exemplo. Para tanto, lança-se mão
da expressão
δ p=
∂p
δ u,
∂u
(A.33)
e, assim, a Eq. (A.31) fica
n
∂ p
 δ u1n, j , k − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k δ u1n, j , k =

u
∂
1, j , k

−
λ5
1 − λ5
[(p
[ (p
− p1n, j ,k − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k u2n,+j1,k − u1n, j ,k ,
n +1
2 , j ,k
)
)]
(
− p1n, j ,k − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k u2n,+j1,k − u1n, j ,k .
(A.34)
Definindo-se
R5 = −
λ5
1 − λ5
n +1
2 , j ,k
)
)]
(
(A.35)
e resolvendo-se para δ u chega-se a
δ u1n, j ,k =
R5
n
∂ p
 − ρ 2n,+j1,k a2n,+j1,k

∂
u
1, j ,k

.
(A.36)
348
Resta agora a determinação da derivada ∂p / ∂u que pode ser obtida a partir
da equação
γ
  γ −1
 γ −1
p = p (u ) = po 1 − 
 (1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z ) u 2  ,
  γ + 1

(A.37)
que resulta em
n
∂ p


 ∂ u 1, j ,k
 γ 
= − 2 po u1n, j ,k 
 1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z ⋅
1
γ
+


(
)
  γ −1 
 1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z u 2
1 − 
  γ +1
(
1
 γ −1
n
.
1, j ,k 

)( )
(A.38)
Uma vez que se tenha determinado δ u na equação (A.37) obtém-se imediatamente a
atualização das variáveis
u1n, +j ,1k = u1n, j , k + δ u1n, j , k ,
(A.39a)
v1n,+j 1,k = u1n,+j 1,k ctgθ y ,
(A.39b)
w1n,+j 1,k = u1n,+j 1,k csscθ y ctgθ z ,
(A.39c)
(
)
(A.39d)
(
)
(A.39e)
p1n, +j ,1k = p u1n, +j ,1k ,
T1,nj+,1k = T u1n, +j ,1k ,
e onde a função T (u) foi obtida a partir da equação
349

  γ −1
et = cvT = cvT (u ) = cvTo 1 − 
 1 + ctg 2θ y + cssc 2θ y ctg 2θ z u 2  .

  γ +1
(
)
(A.40)
As variáveis conservadas ρ1n, +j ,1k e e1n, +j ,1k são obtidas através de
ρ1n, +j ,1k =
p 1n,+j 1,k
(γ − 1) (et )1n,+j1,k
[(
1 2

n +1
e1n,+j 1,k = ρ1n, +j ,1k  (et ) 1, j ,k +
u
2

)
n +1
1 , j ,k
,
(A.41a)
( )
+ v2
n +1
1 , j ,k
( )
+ w2
n +1
1 , j ,k
]  .
(A.41b)
Assim, o vetor de variáveis conservadas em coordenadas generalizadas na fronteira
(1, j, k) pode ser atualizado para o nível de tempo (n + 1),
n +1
Q1n, j+,1k = J1−,1j ,k Q1n, +j ,1k
 ρ 
ρ u
 
= J1−,1j ,k  ρ v  .
 ρ w
 
 e 1, j ,k
(A.42)
A.3 Entrada supersônica
Quando se tem um plano de entrada no qual o escoamento é supersônico o tratamento
das condições de contorno é bastante simples. Nesse caso deve-se fixar todas as propriedades
na entrada da malha, já que as características transportam informação somente a jusante.
350
A.4 Saída subsônica
Em se tratando de uma saída subsônica, quatro relações características transportam
informação a jusante e a quinta transporta informação a montante. Portanto, uma condição
deve ser fixada e quatro deverão ser extrapoladas do interior do domínio de cálculo para
a fronteira. Essa extrapolação é feita utilizando-se as relações características, u, u, u, e (u + a),
i. e., pelas equações
∂ρ 1 ∂ p
∂ρ 1 ∂ p
 ,
− 2
= − u 
− 2
∂t a ∂t
 ∂x a ∂x 
ρa
(A.43a)
∂v
∂v
= −u
,
∂x
∂t
(A.43b)
∂w
∂w
= −u
,
∂t
∂x
(A.43c)
 ∂p
∂u
∂u ∂ p
+ρa
= − (u + a ) 
+
∂x
∂t ∂t
 ∂x

 .

(A.43d)
A quinta condição, por exemplo, pressão estática constante, é fixada.
Seguindo-se o mesmo desenvolvimento do item anterior chega-se às seguintes
equações discretizadas:
δ ρinmax, j ,k −
1
(a )
2 n +1
imax −1, j ,k
−
δ pinmax, j ,k =

λ1  n
1
+1
+1
 (ρ imax, j ,k − ρ inmax
,
(
)
pinmax, j ,k − pinmax
−
,
j
,
k
−1, j ,k ) −
1
+
n
1
1 − λ1 

(a 2 )imax −1, j ,k


(A.44a)
351
δ vinmax, j ,k = −
λ2
+1
,
(
vinmax, j ,k − vinmax
−1, j ,k )
1 − λ2
(A.44b)
δ winmax, j ,k = −
λ3
(winmax, j ,k − winmax+1 −1, j ,k ) ,
1 − λ3
(A.44c)
+1
n +1
n
δ pinmax, j ,k + ρinmax
−1, j ,k aimax −1, j ,k δ uimax, j ,k =
−
λ4
1 − λ4
[(p
n
imax, j ,k
)
)]
(
+1
n +1
n +1
n
n +1
,
− pinmax
−1, j ,k + ρ imax −1, j ,k aimax −1, j ,k uimax, j ,k − uimax −1, j ,k
(A.44d)
onde
+1
λ1 = λ2 = λ3 = uinmax
−1, j ,k
∆t
(x
imax, j ,k
n +1
+1
λ4 = (uinmax
−1, j ,k + aimax −1, j ,k )
− ximax −1, j ,k )
,
∆t
(x
imax, j ,k
− ximax −1, j ,k )
(A.45a)
.
(A.45b)
Nas Eqs. (A.44) todos os coeficientes são calculados no ponto (imax-1, j, k),
onde imax é o número máximo de pontos da malha na direção ξ.
Usando o fato de que a pressão estática está sendo fixada tem-se
δ pinmax, j ,k = 0 ,
o que vem a simplificar as Eqs. (A.44), as quais se escrevem agora
(A.46)
352
δ ρinmax, j ,k = R1 ,
(A.47a)
δ vinmax, j ,k = R2 ,
(A.47b)
δ winmax, j ,k = R3 ,
(A.47c)
δ uinmax, j ,k =
ρ
R4
,
+1
ainmax
−1, j ,k
(A.47d)
n +1
imax −1, j ,k
onde

λ1  n
1
n
n +1
+1
,
)
(
)
−
−
p
p
−1, j ,k
1 − λ1 
(a 2 )inmax+1 −1, j ,k imax, j ,k imax −1, j ,k 
(A.48a)
R2 = −
λ2
+1
,
(
vinmax, j ,k − vinmax
−1, j ,k )
1 − λ2
(A.48b)
R3 = −
λ3
(winmax, j ,k − winmax+1 −1, j ,k ),
1 − λ3
(A.48c)
R1 = −

R4 = −
λ4
1 − λ4

[ (p
n
imax, j ,k
)
(
)]
+1
n +1
n +1
n
n +1
.
− pinmax
(A.48d)
Finalmente, pode-se atualizar os parâmetros na fronteira de saída
+1
n
n
ρinmax,
j ,k = ρ imax, j ,k + δ ρ imax, j ,k ,
(A.49a)
+1
n
n
uinmax,
j ,k = uimax, j ,k + δ uimax, j ,k ,
(A.49b)
+1
n
n
vinmax,
j ,k = vimax, j ,k + δ vimax, j ,k ,
(A.49c)
+1
n
n
winmax,
j ,k = wimax, j ,k + δ wimax, j ,k ,
(A.49d)
+1
n
pinmax,
j ,k = pimax, j ,k .
(A.49e)
353
As quantidades conservadas no contorno de saída podem ser calculadas a partir das
Eqs. (A.49) e de relações constitutivas auxiliares.
A.5 Saída supersônica
Caso se deseje implementar condições para uma saída supersônica, as cinco equações
características, Eqs. (A.23), devem ser discretizadas formando um sistema de cinco equações
a cinco incógnitas, a sabe: δ ρ , δ u , δ v , δ w e δ p .
Após procedimento análogo ao do item A.2 chega-se a
δ ρinmax, j ,k −
1
(a )
2 n +1
imax −1, j ,k
−
δ pinmax, j ,k =

λ1  n
1
n
n+1
+1
 = R1 ,
)
(
)
p
p
−
−
−1, j ,k
1 − λ1 
(a 2 )inmax+1 −1, j ,k imax, j ,k imax −1, j ,k 

(A.50a)

δ vinmax, j ,k = −
λ2
(vinmax, j ,k − vinmax+1 −1, j ,k ) = R2 ,
1 − λ2
(A.50b)
δ winmax, j ,k = −
λ3
+1
(
winmax, j ,k − winmax
R3 ,
−1, j ,k ) =
1 − λ3
(A.50c)
+1
n +1
n
δ pinmax, j ,k + ρinmax
−
λ4
1 − λ4
[ (p
n
imax, j ,k
)
(
+1
n +1
n +1
n
n +1
− pinmax
)]
=
R4 ,
(A.50d)
354
+1
n +1
n
δ pinmax, j ,k − ρinmax
−
λ5
1 − λ5
[ (p
n
imax, j ,k
)
(
+1
n +1
n +1
n
n +1
− pinmax
−1, j ,k − ρ imax −1, j ,k aimax −1, j ,k uimax, j ,k − uimax −1, j ,k
)]
=
R5 ,
(A.50e)
onde
∆t
+1
λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = uinmax
−1, j ,k
(x
imax, j ,k
n +1
+1
λ5 = (uinmax
−1, j ,k − aimax −1, j ,k )
∆t
(x
imax, j ,k
,
− ximax −1, j ,k )
− ximax −1, j ,k )
.
(A.51a)
(A.51b)
Portanto,
δ pinmax, j ,k =
R4 + R5
,
2
δ ρinmax, j ,k = R1 +
1
(a )
2 n +1
imax −1, j ,k
δ pinmax, j ,k ,
(A.52b)
δ vinmax, j ,k = R2 ,
(A.52c)
δ winmax, j ,k = R3 ,
(A.52d)
n
imax, j ,k
δu
(A.52a)
=
R4 − δ pinmax, j ,k
+1
n +1
ρinmax
−1, j ,k aimax −1, j ,k
.
Logo, as propriedades na fronteira podem ser atualizadas
(A.52e)
355
n
n
+1
ρinmax,
j ,k = ρ imax, j ,k + δ ρ imax, j ,k ,
(A.53a)
+1
n
n
uinmax,
j ,k = uimax, j ,k + δ uimax, j ,k ,
(A.53b)
+1
n
n
vinmax,
j ,k = vimax, j ,k + δ vimax, j ,k ,
(A.53c)
+1
n
n
winmax,
j ,k = wimax, j ,k + δ wimax, j ,k ,
(A.53d)
+1
n
n
pinmax,
j ,k = pimax, j ,k + δ pimax, j ,k .
(A.53e)
A variável conservada energia total por unidade de volume, e, é calculada através da
seguinte expressão
[(
1 2

n +1
+1
n +1
einmax,
u
j ,k = ρ imax, j ,k  (et )imax, j ,k +
2

)
n +1
imax, j ,k
( )
+ v2
n +1
imax, j ,k
( )
+ w2
n +1
imax, j ,k
]  .
(A.54)
Nos escoamentos viscosos a presença da camada limite faz com que haja pelo menos
alguns pontos nos quais o escoamento é subsônico, isto é, pontos tais que o componente de
velocidade na direção x tenha magnitude menor do que a velocidade de pequenas
perturbações relativas ao meio. Para situações nas quais a saída é supersônica é comum cada
ponto ser testado quanto ao regime de velocidade, e então aplicarem-se as condições de
contorno apropriadas.
356
Apêndice B CONDIÇÕES DE OPERAÇÃO DO TTP SEM INJEÇÃO
Os dados das Tabs. B.2 a B12 foram obtidos do projeto conceptual (Sverdrup, 1989)
(MST indica número de Mach na seção de testes do túnel), relativos às seções do circuito
do túnel, segundo FIG. B.1 e TAB. B1.
11
13
10
9
8
7
6
5
12
14
4
3
15
16
1
2
FIGURA B.1 – Circuito aerodinâmico do TTP com principais elementos numerados – a linha
tracejada indica a seção de entrada do elemento.
TABELA B.1 – Nomenclatura utilizada para os elementos do circuito aerodinâmico do TTP e
a área transversal de sua seção de entrada.
Elem.
Nome
2
Área (m )
Elem.
Nome
2
Área (m )
1
Duto de retorno
0,1772
9
Primeira garganta
0,1391
2
Esquina 3
0,6105
10
Seção de testes
0,0750
3
Duto 3-4
0,6105
11
Câmara de injeção
0,1097
4
Esquina 4
0,6105
12
Difusor
0,1099
5
Expansão da tranqüilização
0,6105
13
Esquina 1
0,3068
6
Trocador de calor
1,2770
14
Duto 1-2
0,3068
7
Tranqüilização
1,2768
15
Esquina 2
0,3068
8
Contração fixa
1,2768
16
Contração do compressor
0,2945
357
TABELA B.2 – MST = 0,200.
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
110,45
110,35
110,34
110,34
110,33
110,33
110,11
110,06
110,06
110,00
109,66
109,62
109,55
109,53
109,44
109,35
To (K)
314,18
314,18
314,18
314,18
314,18
314,18
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,0828
0,0240
0,0240
0,0240
0,0240
0,0115
0,0115
0,0115
0,1059
0,2000
0,1326
0,1325
0,0470
0,0470
0,0472
0,0491
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
110,90
110,68
110,67
110,67
110,65
110,64
110,22
110,13
110,12
110,00
109,22
109,13
108,98
108,92
108,91
108,55
To (K)
315,53
315,53
315,53
315,53
315,53
315,53
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,1209
0,0349
0,0349
0,0349
0,0349
0,0167
0,0167
0,0167
0,1554
0,3000
0,1964
0,1962
0,0690
0,0690
0,0691
0,0721
po (kPa)
111,42
111,06
111,04
111,03
111,01
110,99
110,36
110,22
110,20
110,00
108,53
108,38
108,12
108,02
107,71
107,41
To (K)
317,32
317,32
317,32
317,32
317,32
317,32
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,1554
0,0446
0,0447
0,0447
0,0447
0,0213
0,0213
0,0213
0,2006
0,4000
0,2571
0,2571
0,0891
0,0892
0,0895
0,0935
To (K)
318,74
318,74
318,74
318,74
318,74
318,74
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,1850
0,0529
0,0530
0,0530
0,0530
0,0253
0,0253
0,0253
0,2404
0,5000
0,3138
0,3141
0,1072
0,1073
0,1078
0,1128
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
111,94
111,45
111,41
111,41
111,37
111,35
110,50
110,30
110,28
110,00
107,55
107,32
106,94
106,80
106,35
105,92
po (kPa)
112,44
111,80
111,76
111,75
111,71
111,68
111,63
110,39
110,36
110,00
106,16
105,85
105,34
105,16
104,58
104,02
To (K)
321,06
321,06
321,06
321,06
321,06
321,06
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2097
0,0598
0,0598
0,0598
0,0598
0,0285
0,0285
0,0285
0,2737
0,6000
0,3661
0,3667
0,1230
0,1232
0,1239
0,1299
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
112,86
112,10
112,05
112,05
111,99
111,96
110,75
110,46
110,43
110,00
104,23
103,85
103,22
102,99
102,30
101,62
To (K)
323,86
323,86
323,86
323,86
323,86
323,86
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2290
0,0650
0,0650
0,0650
0,0651
0,0311
0,0309
0,0310
0,2996
0,7000
0,4136
0,4148
0,1365
0,1368
0,1378
0,1447
358
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
113,17
112,33
112,27
112,27
112,21
112,17
110,83
110,51
110,48
110,00
101,81
101,35
100,60
100,35
99,56
98,78
To (K)
327,08
327,08
327,08
327,08
327,08
327,08
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2428
0,0687
0,0688
0,0688
0,0688
0,0328
0,0325
0,0326
0,3177
0,8000
0,4560
0,4578
0,1479
0,1483
0,1495
0,1572
TABELA B.11 – MST = 1,100.
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
113,37
112,47
112,41
112,40
112,34
112,30
110,88
110,54
110,51
110,00
99,32
98,80
97,96
97,69
96,83
95,98
To (K)
330,25
330,25
330,25
330,25
330,25
330,25
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2512
0,0710
0,0711
0,0711
0,0711
0,0339
0,0335
0,0336
0,3282
0,9000
0,4900
0,4925
0,1566
0,1570
0,1585
0,1668
po (kPa)
113,45
112,52
112,46
112,45
112,39
112,35
110,90
110,55
110,52
110,00
97,47
96,92
96,04
95,75
94,85
93,97
To (K)
332,52
332,52
332,52
332,52
332,52
332,52
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2544
0,0719
0,0719
0,0719
0,0719
0,0343
0,0337
0,0338
0,3315
1,0000
0,5093
0,5123
0,1613
0,1618
0,1634
0,1721
To (K)
334,81
334,81
334,81
334,81
334,81
334,81
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2533
0,0716
0,0716
0,0716
0,0716
0,0342
0,0335
0,0336
0,3285
1,1000
0,5190
0,5223
0,1636
0,1641
0,1658
0,1747
TABELA B.12 – MST = 1,200.
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
TABELA B.10 – MST = 1,000.
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
113,42
112,50
112,44
112,43
112,37
112,33
110,88
110,54
110,51
110,00
95,43
94,88
93,98
93,69
92,79
91,90
po (kPa)
113,32
112,43
112,37
112,37
112,30
112,26
110,84
110,52
110,49
110,00
91,02
90,45
89,53
89,24
88,33
87,44
To (K)
339,95
339,95
339,95
339,95
339,95
339,95
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2496
0,0706
0,0706
0,0706
0,0706
0,0337
0,0328
0,0329
0,3204
1,2000
0,5386
0,5425
0,1681
0,1687
0,1705
0,1798
TABELA B.13 – MST = 1,300.
Elem.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
po (kPa)
113,19
112,33
112,27
112,27
112,21
112,17
110,79
110,48
110,45
110,00
84,56
83,97
83,01
82,71
81,80
80,90
To (K)
348,14
348,14
348,14
348,14
348,14
348,14
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
313,00
M
0,2439
0,0691
0,0691
0,0691
0,0691
0,0330
0,0317
0,0318
0,3084
1,3000
0,5721
0,5773
0,1755
0,1762
0,1782
0,1881
359
Apêndice C INSTALAÇÃO E CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO
DA CÂMARA DE INJEÇÃO
C.1 Vistas gerais da instalação
As figuras C.1 a C.6 mostram a instalação do circuito aerodinâmico do TTP, com seus
principais componentes, destacando o sistema de injeção.
tubulação
da injeção
câmara
Plena
trocador
de calor
FIGURA C.1 – Vista panorâmica do circuito aerodinâmico do TTP.
360
tubulação
da injeção
janela de
visualização
(centro da ST)
FIGURA C.2 – Câmara Plena.
tubulação da
injeção
válvula de
controle da
injeção
FIGURA C.3 – Circuito do TTP e tubulação da injeção.
361
tubulação de
distribuição
da injeção
Seção de
Testes aberta
e instalada
com sonda de
pressão
FIGURA C.4 – Interior da câmara Plena – tubulação de distribuição da injeção.
tubo de
chegada
tubos de
distribuição
da injeção
tubo da
estagnação dos
cinco injetores
do teto
início do
difusor
tubo da
estagnação dos
cinco injetores
do piso
câmara de
mistura da
injeção
FIGURA C.5 – Tubulação de distribuição da injeção.
362
FIGURA C.6 – Vista interna do difusor com detalhe da câmara de injeção com cinco injetores
no teto e cinco no piso. Vê-se ainda, ao fundo, na ordem, o corpo central da
segunda garganta, a abertura dos flapes (nas laterais) e as fendas nas paredes
da seção de testes.
363
C.2 Vistas de detalhes da instalação dos injetores
FIGURA C.7 – Instalação da câmara de injeção no circuito do TTP.
364
início
final
FIGURA C.8 – Detalhe da instalação da câmara de injeção destacando seu início e final.
16,50 cm
FIGURA C.9 – Instalação do injetor na sede. A linha que demarca o injetor corresponde ao
seu contorno interno.
365
garganta
(área mínima)
fronteira
de saída
curva x-y
piso do túnel
3,65 cm
16,11 cm
y
estagnação
do injetor
x
14,75 cm
r = 3,49 cm
R = 21,04 cm
seção transversal
da saída do injetor
2,26 cm
1,57 cm
6,44 cm
O
FIGURA C.10 – Projeto do contorno interno do injetor. Curva x-y conforme projeto
(Grupo TTP, 1996).
366
C.3 Gráficos de desempenho do sistema de injeção
As FIGS. C.11 a C.16 mostram as respostas da operação do túnel em termos da
pressão de estagnação e do número de Mach na seção de testes, quando a injeção é acionada.
Estes dados foram obtidos de Falcão Filho (1996) (ver também Falcão Filho et al., 2000a).
Mais informações também no item 5.2.1.
108
107
106
105
p0 (kPa)
104
103
102
101
100
99
98
150
200
250
300
tempo (s)
FIGURA C.11 – Pressão de estagnação na seção de testes ao acionar a injeção
(po,inj = 400 kPa).
367
108
107
106
105
p0 (kPa)
104
103
102
101
100
99
98
150
200
250
300
tempo (s)
(po,inj = 600 kPa).
108
107
106
105
p0 (kPa)
104
103
102
101
100
99
98
150
200
250
300
tempo (s)
(po,inj = 800 kPa).
368
1.12
1.1
número de Mach
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0.98
150
200
250
300
tempo (s)
FIGURA C.14 – Número de Mach na seção de testes ao acionar a injeção (po,inj = 400 kPa).
1.12
1.1
número de Mach
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0.98
150
200
250
300
tempo (s)
369
1.12
1.1
número de Mach
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0.98
150
200
250
300
tempo (s)
FOLHA DE REGISTRO DO DOCUMENTO
1.
5.
CLASSIFICAÇÃO/TIPO
TD
2.
3.
DATA
24 de julho de 2006
4.
DOCUMENTO N°
CTA/ITA-IEA/TD-001/2006
N° DE PÁGINAS
369
TÍTULO E SUBTÍTULO:
Estudo Numérico do Processo de Injeção em um Túnel de Vento Transônico
6.
AUTOR(ES):
7.
INSTITUIÇÃO(ÕES)/ÓRGÃO(S) INTERNO(S)/DIVISÃO(ÕES):
Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Aeronáutica – ITA/IEA
8.
PALAVRAS-CHAVE SUGERIDAS PELO AUTOR:
1. Mistura de Jatos. 2. Escoamento turbulento. 3. Túnel Transônico.
9.PALAVRAS-CHAVE RESULTANTES DE INDEXAÇÃO:
Escoamento de jatos misturados; Escoamento turbulento; Túneis de vento transônicos; Injeção; Dinâmica
dos fluidos computacional; Física
10.
(X) Nacional
APRESENTAÇÃO:
( )Internacional
ITA, São José dos Campos, 2006, 369 páginas
11.
RESUMO:
Injetores supersônicos são instalados em túneis de vento transônicos com a finalidade de estender o
envelope operacional baseado no número de Reynolds, sem demandar maior potência do compressor
principal. O objetivo deste trabalho é estudar numericamente o processo de injeção do Túnel Transônico
Piloto do CTA. A câmara de injeção contém cinco bicos injetores localizados no piso e cinco no teto do
túnel, os quais operam com número de Mach 1,9, fornecendo quantidade de movimento adicional à
corrente principal do circuito do túnel. Tal câmara na verdade é a própria seção de transição do túnel, a
qual, por sua vez, localiza-se imediatamente antes do difusor. Devido à grande diferença entre as
dimensões dos injetores e da seção transversal do túnel, onde os mesmos encontram-se montados,
o tratamento tem que ser necessariamente tridimensional. Para tanto foi desenvolvido um código
numérico baseado nas equações de Navier-Stokes com média de Reynolds, seguindo-se o princípio do
algoritmo diagonal em diferenças finitas, e efeitos de turbulência foram previstos por meio do esquema
de Spalart e Allmaras. Várias hipóteses simplificadoras foram introduzidas para tornar o problema
factível e a integração numérica é realizada dividindo o domínio de cálculo em sub-regiões. Mesmo
assim, devido ao grande número de pontos, foi aplicada uma técnica de malhas seqüenciais para
economizar o tempo computacional. O escoamento na região de mistura foi simulado com sucesso e os
resultados foram todos consistentes. Com os valores dos parâmetros conhecidos em todo o domínio
computacional, foram calculados o coeficiente de perda de carga, o ganho e a eficiência do processo de
injeção – parâmetros estes de grande importância na engenharia de túneis de vento. Entre diversos
aspectos físicos muito interessantes, destaca-se a formação de domos de choque e expansão ao longo da
direção longitudinal no processo de mistura.
12.
GRAU DE SIGILO:
(X ) OSTENSIVO
( ) RESERVADO
( ) CONFIDENCIAL
( ) SECRETO

Download. - Engenharia Aeronáutica

Transcrição

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