a objetivação do conhecimento em atividades de

Transcrição

A OBJETIVAÇÃO DO CONHECIMENTO EM
ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Michele Regiane Dias Veronez
Universidade Estadual do Paraná, Brasil
[email protected]
Lourdes Maria Werle de Almeida
Universidade Estadual de Londrina, Brasil
[email protected]
RESUMO
Considerando a Modelagem Matemática como uma atividade associada a
processos de tradução de linguagens (da situação inicial para a final), à
construção e à interpretação de modelos matemáticos que visam descrever
e/ou analisar certo contexto, apresentamos, nesse trabalho, algumas relações
entre a Modelagem Matemática e a perspectiva cultural da Semiótica,
defendida por Luis Radford. Discutimos possíveis entrelaçamentos entre
modelos matemáticos, produção de signos e o processo de objetivação do
conhecimento. À luz desses referenciais teóricos analisamos algumas
atividades de Modelagem Matemática em relação à seguinte questão: os
signos produzidos e utilizados nas atividades de Modelagem Matemática
revelam indícios de objetivação do conhecimento? As reflexões sinalizam
que os processos de construção e interpretação dos modelos matemáticos
associados às situações estudadas, bem como os signos utilizados nesses
processos fornecem elementos para a objetivação do conhecimento.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Signo, Objetivação do
Conhecimento.
ABSTRACT
Considering Mathematical Modeling as an activity associated with language
translation processes (baseline to final), the construction and interpretation
of mathematical models which aim to describe and / or analyze certain
V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil
2
context, we present, in this paper, some relations between Mathematical
Modeling and cultural perspective of Semiotics, defended by Luis Radford.
We discuss possible entanglements between mathematical models,
production of signs and the process of objectification of knowledge. In light
of these theoretical references we analyze some mathematical modeling
activities regarding the following question: Do signs produced and used in
mathematical modeling activities reveal evidence of objectification of
knowledge? Our reflections indicate that the processes of construction and
interpretation of mathematical models associated with the situations studied,
as well as the signs used in these processes, provide input for the
objectification of knowledge.
Keywords: Mathematical Modeling, Sign, Objectification of
Knowledge.
1
Introdução
A Modelagem Matemática, como atividade investigativa, visa propor soluções para
situações-problema por meio de modelos matemáticos e da interpretação desses modelos.
Neste sentido, atividades de modelagem requerem atitudes criativas e interpretativas dos
alunos que podem conduzi-los a refletir sobre sua aprendizagem enquanto se envolvem com
situações com referência na realidade.
Considerando essas características de atividades de Modelagem Matemática e, se por
um lado, a aprendizagem pode ser concebida como um processo dialético entre sujeito e
objeto mediado pela cultura e associado à produção de significado, e, por outro lado,
Modelagem Matemática um caminho para a sua efetivação, é possível falar em objetivação do
conhecimento por meio de atividades de Modelagem?
Luis Radford, em seus trabalhos, reconhece que a objetivação do conhecimento está
relacionada com a produção de significado e que a mudança ou evolução da estrutura
cognitiva é possível quando diversos meios semióticos são combinados. Para esse autor a
objetivação do conhecimento é um processo de conscientização progressiva, isto é, algo
diante de nós, qualquer objeto (concreto ou mental) é dotado gradualmente de significado o
qual se revela em gestos, em procedimentos, em símbolos, palavras, ou seja, por meio de
3
signos.
No estudo sobre a objetivação do conhecimento se faz necessário distinguir o objeto
matemático de suas representações. No entanto, não há dúvidas de que existe uma complexa
relação entre objetos e as representações que os referenciam, além disso, representações que
possuem a mesma referência (se referenciam a um mesmo objeto) podem ser trocadas, umas
pela outras, sem alterar o objeto matemático em foco.
Como os objetos matemáticos são inacessíveis à percepção humana, eles necessitam de
signos para torná-los presente. (DUVAL, 2011). Segundo Almeida (2010) o signo existe
somente se puder representar, substituir algo diferente dele, pois o signo não é o objeto, ele
está no lugar do objeto.
A complexidade do processo de objetivação do conhecimento requer ampliar a noção de
signo e ir além da discussão em torno do seu papel representacional. Estudos sobre o signo
remetem-nos à Semiótica, buscando explicar os processos de representação no ato de
conhecer.
Neste trabalho, abordamos a perspectiva da semiótica cultural (RADFORD, 2004) de
que a atividade humana produz significados sobre o objeto matemático e que os signos seriam
as formas que representam o objeto. Nessa perspectiva signos como símbolos, gestos,
gráficos, fórmulas, tabelas, desenhos, palavras, calculadoras, regras são reconhecidos como
meios semióticos de objetivação.
À luz dos referenciais teóricos, orientamos nossas discussões na análise da produção
dos signos, como meios semióticos de objetivação em atividades de Modelagem Matemática
quando o interesse dos envolvidos nessas atividades é encontrar soluções para o problema
evidenciado num contexto amplo e não, necessariamente, matemático.
2
Modelagem Matemática
Em termos gerais, a Modelagem Matemática pode ser entendida como uma atividade
associada a processos de transição de linguagens. Almeida (2010) associa essa transição a
situações -inicial e final- e que se realiza mediante a construção e a interpretação de modelos
matemáticos que visam descrever e/ou analisar certo fenômeno. Neste sentido envolve um
processo de busca por soluções para o problema evidenciado na situação inicial.
Sriraman & Lesh (2006) consideram que a modelagem é uma atividade matemática
intencional na busca de descrição, explicação ou conceituação de fenômenos, relacionados, de
modo geral, com aspectos da realidade circundante.
Na atividade de Modelagem Matemática, as ações do sujeito (aquele que desenvolve a
4
atividade) se voltam inicialmente para o fenômeno analisado e para o problema que emergiu
desse fenômeno. Nesse momento, o objetivo que permeia a atividade de Modelagem
Matemática é a busca por soluções para esse problema. Do problema para a sua resolução, o
sujeito se envolve em processos investigativos e interpretativos que, segundo Bassanezi
(2003), conduzem à utilização de conceitos matemáticos na elaboração de uma estrutura
matemática que represente de alguma forma a situação em estudo. Essa estrutura matemática
que, carrega consigo relações matemáticas, recebe a denominação de modelo matemático.
Segundo Lesh, Carmona e Hjalmarson (2006), um modelo matemático é um sistema
conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura
matemática, com a finalidade de descrever o comportamento de outro sistema e, em alguns
casos, permitir a realização de previsões sobre este.
No ato de desenvolver uma atividade de Modelagem Matemática as discussões geradas
acerca da situação ganham dimensões que extrapolam o simples fato de resolver o problema.
No âmbito da situação inicial, diversas representações como textos, tabelas, diferentes
formas de gráficos, etc. podem estar associadas. A situação final, por sua vez, pode ser melhor
compreendida se consideradas diferentes representações do modelo matemático associadas as
formas algébrica, gráfica, geométrica. Os diferentes procedimentos realizados pelo sujeito
dizem respeito às ações no processo de simplificação dos dados, levantamento de hipóteses,
definição de variáveis, dedução do modelo matemático.
A construção e a interpretação de modelos matemáticos com atenção ao problema e,
portanto à situação inicial favorece a integração entre realidade (origem da situação inicial) e
Matemática (área em que os conceitos e os procedimentos estão fundamentados) e, em
diferentes momentos, conhecimentos matemáticos e conhecimentos extramatemáticos são
acionados e/ou produzidos e integrados. (ALMEIDA e SILVA, 2012).
Esse processo, criativo e interpretativo, de dedução do modelo matemático permite que
se estabeleça uma estrutura matemática que incorpora e carrega as características essenciais
do objeto ou fenômeno que pretende representar. Nesse sentido, tanto a construção quanto a
interpretação desses modelos vêm revestidas de intencionalidades e interesses.
As produções, que constituem os modelos matemáticos, estão associadas aos processos
de comunicação dos pensamentos mobilizados por aqueles que desenvolvem a atividade de
Modelagem Matemática e, de alguma forma, são manifestadas por meio de signos utilizados
nesse processo. É nesse enfoque que este trabalho está delineado.
3
5
Considerações sobre a Semiótica Peirceana
Não há dúvida entre os pesquisadores que investigam sobre Semiótica de que esta tem
conquistado espaço no âmbito da Educação Matemática. Esse crescente interesse está, de
certo modo, ancorado no significado da palavra semiótica que, em grego (semeion), significa
signo. A Semiótica, num contexto amplo, é considerada como a ciência que estuda as formas
de linguagem que se utiliza de signos para representar os objetos.
Com base na definição de signo apresentada por Peirce (2005) de que o signo é algo que
para uma pessoa toma lugar de outra coisa (objeto), não em todos os aspectos dessa coisa,
mas respeitando certa forma ou capacidade, o signo pode ser entendido como uma coisa que
representa outra coisa – o objeto. A noção de signo é, para Peirce (2005) considerada tão
ampla, que o signo não precisa ter uma natureza plena de linguagem, podendo ser uma mera
ação ou reação, que verbaliza uma emoção ou sentimento.
Diferenciar o objeto de sua representação é tão nebuloso quanto distinguir o conceito de
sua construção, se considerarmos que um conceito está continuamente em fase de construção.
No entanto, esse processo de construção do conceito, conceitualização, como enfatizado por
D’Amore (2005) pode ser investigado sob a ótica do que é e como se dá a apreensão dos
objetos matemáticos. Para esse autor, apropriar-se de um conceito, é mais que nomeá-lo e
representá-lo, ideia também defendida por Radford (2002).
Neste trabalho, abordamos a perspectiva da semiótica cultural (RADFORD, 2004) de
que a atividade humana produz significados sobre o objeto matemático na conceitualização e
que os signos seriam as formas que representam o objeto. Luis Radford embasa seu aporte
teórico na ideia de praxis reflexiva e propõe uma teoria cultural de objetivação.
Essa perspectiva sinaliza que o conhecimento não é uma simples representação da
realidade externa, mas o resultado da interação entre o sujeito que aprende (suas estruturas
cognitivas) e suas experiências sensoriais. Para Radford (2006a) a produção de significado
está intimamente relacionada às bases ontológicas e epistemológicas da teoria de objetivação.
A posição ontológica consiste em especificar a questão da natureza dos objetos matemáticos e
a epistemológica na maneira como esses objetos podem (ou não) chegar a ser conhecidos.
3.1
Sobre a Objetivação do Conhecimento
Radford, em seus trabalhos, reconhece que a objetivação do conhecimento está
relacionada com a produção do significado e que a mudança ou evolução da estrutura
cognitiva é possível quando diversos meios semióticos são combinados. Para Radford (2006a)
objetivar conhecimento é tornar conscientes aspectos conceituais que, devido sua própria
6
generalidade, não podem ser completamente mencionados/indicados, no entanto, são
revelados nos gestos, cálculos, símbolos, palavras, ou seja, nos signos.
Na teoria da objetivação, a aprendizagem não consiste em construir ou reconstruir um
conhecimento. Trata-se de dotar de sentido os objetos conceituais que se encontram na cultura
do aluno. A construção do conhecimento é um processo de elaboração ativa de significados,
ou seja, um processo de objetivação. (RADFORD, 2006a).
Sendo assim, pode-se assumir que a construção de conhecimento se dá pela intervenção
e pelo uso de signos. Quando um objeto do conhecimento entra em contato com um sujeito
que aprende, se modifica e se reconstrói por meio dos instrumentos cognitivos do sujeito.
A teoria da objetivação não vê a aprendizagem como uma simples imitação ou
participação de uma prática estabelecida, mas como a fusão entre uma subjetividade que se
busca perceber linguisticamente e os modos de reflexão desta, que só podem ser manifestados
através da ação. Na abordagem semiótica cultural os símbolos, gestos, gráficos, fórmulas,
tabelas, desenhos, palavras, cálculos, regras, entre outros, são reconhecidos como meios
semióticos de objetivação. (RADFORD, 2003).
A idéia de meios semióticos de objetivação se baseia no princípio antropológico de que
a representação do conhecimento precisa ser estudada no contexto mais amplo dos processos
culturais de produção de conhecimento e suas formas procedimentais de mediação.
(RADFORD, 1998, 2002). Esses meios são considerados por Radford (2002) signos
intencionalmente usados pelos alunos no processo de produção de significado, a fim de
alcançar uma forma estável de sensibilização (consciência), para tornar aparentes suas
intenções e justificar suas ações.
Dois aspectos teóricos a respeito dos meios semióticos de objetivação são discutidos em
Radford (2002). O primeiro, nomeado de procedimentos da atividade semiótica, considera
que o conceito de meios semióticos de objetivação assenta-se na ideia de que estudar a
produção de significado requer atenção para o uso de vários meios, tais como palavras, gestos,
símbolos, gráficos e artefatos. Tal consideração está baseada na visão de que uma linguagem
científica não pode tornar-se um sistema fechado, tem que permanecer aberto e incorporar
diferentes representações.
O segundo aspecto refere-se ao conceito fregeano de sentido e enfatiza a lacuna entre
objeto e signo. O conceito fregeano de sentido relaciona-se com a faceta particular do objeto a
ser apreendido intelectualmente. Radford (2002) ilustra o conceito fregeano de sentido a partir
de um de seus mais conhecidos exemplos: o par "estrela da manhã" e "estrela da tarde". Essas
expressões (ou signos) refere-se ao mesmo objeto (Vênus), mas seu sentido é diferente. Eles
7
são diferentes porque as expressões referem-se a diferentes aspectos do objeto relatado - neste
caso, aspectos relativos ao período do dia quando o objeto é percebido. Para Radford (2002) o
que Frege está dizendo é que o sentido e o conhecimento estão profundamente
interrelacionados. Ele também está dizendo que o que revela o conhecimento é a tomada de
consciência de ligações inesperadas entre dois ou mais sentidos diferentes do mesmo objeto e
na variedade semiótica através do qual o sentido é expresso.
Na Figura 1 apresentamos uma descrição esquemática da objetivação do conhecimento
matemático, considerando apenas o primeiro aspecto teórico sobre os meios semióticos de
objetivação, uma vez que, nesse artigo, este aspecto é de nosso interesse. Observe que entre os
indivíduos e o objeto do conhecimento não há nenhuma linha, ou seja, eles não estão
diretamente relacionados. A ausência de uma ligação direta expressa a idéia essencial de que
para se ter acesso aos objetos matemáticos necessita-se de signos.
Figura 1: Diagrama da objetivação do conhecimento
Numa perspectiva Semiótica que coloca o signo no centro de toda ação humana, é
sustentado que o signo desempenha uma função mediadora entre o sujeito e seu contexto e, de
certa forma, é ele que assegura a objetivação do conhecimento. Para Radford (1998) os signos
funcionam como ferramentas culturais e são utilizados em comunicação com outras pessoas a
fim de desenvolver conhecimento matemático. A comunicação, nesse contexto, pode ser
considerada um mediador essencial das influências socioculturais e a linguagem, um sistema
de signos que age nesta mediação.
Considerando que os signos têm um papel importante no processo de produção de
significado ou de familiarização com os objetos matemáticos, evidenciamos a necessidade de
investigar os signos nesse processo: Os signos usados e produzidos pelos alunos durante o
desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática revelam indícios de objetivação do
conhecimento? No entanto, nesse trabalho, consideraremos apenas os signos manifestados na
forma escrita.
8
4
Atividades de Modelagem Matemática: uma análise sobre a produção dos signos
A partir das considerações de Semiótica numa perspectiva cultural defendida por Luis
Radford e da noção de signo apresentada na seção anterior, trazemos à tona uma discussão
com foco nos signos usados e produzidos pelos alunos quando desenvolvem atividades de
Modelagem Matemática.
Uma atividade de Modelagem Matemática envolve a transição de uma situação inicial
para uma final (Figura 2), as ações envolvidas ou requeridas nessa transição são manifestadas
por meio de linguagens, signos que de alguma forma representam o objeto em estudo. Esse
objeto pode ser entendido, nesse contexto, não somente como a situação inicial
(problemática), mas o problema originado dessa situação.
Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2012, p.15).
Figura 2 – Fases da Modelagem Matemática
Considerando
a
caracterização
de
Modelagem
Matemática
apresentada,
ao
desenvolvimento de uma atividade de Modelagem associa-se um objeto (situação inicial) que
será dotado gradualmente de significado e revelado nas ações dos alunos através dos meios
semióticos de objetivação (fases da Modelagem Matemática) e uma solução (uma resposta
para o problema identificado). Nesse sentido, estabelecemos algumas aproximações desse
desenvolvimento com a objetivação do conhecimento.
As ações requeridas nas fases da Modelagem Matemática exigem dos alunos uma
compreensão do objeto em estudo (inteiração), seguida de reflexões que os levam a olhar
matematicamente para o objeto (matematização). Os modos de reflexão são manifestados nas
atitudes dos alunos e podem ser identificados a partir dos meios semióticos de objetivação
que, em certa medida, são usados intencionalmente por eles (resolução). Quando buscam
justificar suas atitudes, os signos produzidos ou utilizados pelos alunos ganham uma forma
estável de consciência e o objeto é compreendido a partir de processos de conscientização
progressiva (interpreação de resultados e validação).
Para proceder à análise atentamo-nos para os signos produzidos em algumas atividades
de Modelagem Matemática a fim de obter indícios sobre a objetivação do conhecimento e,
para tanto, consideramos alguns aspectos: a) os modelos matemáticos em si (os modelos que
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os alunos construíram), b) as relações dos modelos com referência ao problema, c) a
variedade de signos utilizados pelos alunos.
As atividades de Modelagem Matemática que subsidiam nossa análise foram
desenvolvidas em grupos constituídos por três participantes, porém em contextos distintos. As
atividades “uso de MP3 player” e “água consumida” foram desenvolvidas num projeto de
Modelagem Matemática por alunos do curso de Licenciatura em Matemática. O interesse em
estudar o “uso de MP3 player” surgiu da percepção dos alunos de que esses aparelhos são
usados por um grande número de pessoas, às vezes, com certa frequência e, inclusive, em
volume alto. Uma discussão sobre a conscientização da população no que se refere ao
desperdício de água foi responsável pelo desenvolvimento da atividade “água consumida”. A
terceira atividade, “crescimento de uma árvore”, foi desenvolvida na disciplina de Introdução
à Modelagem Matemática de um curso de Licenciatura em Matemática e está pautada no
interesse dos alunos em investigar como se dá o crescimento do Pinnus elliotti.
4.1
O uso de MP3 player
A iniciativa de estudar as consequências de se ouvir música em volume alto durante
certo intervalo de tempo foi baseada na percepção dos alunos de que muitas pessoas têm
hábito de utilizar, com frequência e num volume inadequado, MP3 players e, em informações
que retratam que ouvir música alta nesses aparelhos tem trazido graves problemas para a
audição. Essa iniciativa levou-os a pesquisar sobre essa temática e, consequentemente,
encontrar uma relação entre o volume do som e o tempo que uma pessoa pode ficar submetida
a esse volume. ‘Por quantas horas uma pessoa pode utilizar o fone de ouvido em determinado
volume, sem prejudicar sua audição?’ foi a questão que orientou o desenvolvimento dessa
atividade.
Nessa fase da atividade os alunos transitam na fase da inteiração e da matematização,
pois reconhecem um problema a ser investigado e identificam que na busca por respostas para
essa questão (transitar da situação inicial para a final) precisam ter acesso a informações sobre
os níveis de ruído permissíveis ao ouvido humano (o limiar da audição do ser humano é de 0
db e o limiar de dor é de 120 db, ou seja, máximo nível de intensidade de audição, sem causar
danos fisiológicos ou dor) e a quantidade de decibéis emitida pelos MP3 players.
Nessa coleta de informações os alunos também encontram as normas (NR-15) que
regulamentam que o tempo de exposição diária permissível de acordo com o nível de ruído e
o limite máximo de exposição diário permitido (Tabela 1), segundo a Sociedade Brasileira de
Otologia (SOB), sem grandes consequências, é de 85 decibéis.
10
Tabela 1: Exposição diária permissível ao nível de ruído
Nível de ruído
Db (a)
Máxima exposição diária
permissível
Nível de ruído
Db (a)
Máxima exposição diária
permissível
85
8 horas
98
1 hora e 15 minutos
86
7 horas
100
1 hora
87
6 horas
102
45 minutos
88
5 horas
104
89
4 horas e 30 minutos
105
35 minutos
30 minutos
90
4 horas
106
25 minutos
91
3 horas e 30 minutos
108
20 minutos
92
3 horas
110
15 minutos
93
2 horas 40 minutos
112
10 minutos
94
2 horas 15 minutos
114
8 minutos
95
2 horas
115
7 minutos
96
1 horas 45 minutos
Fonte: BRASIL LEIS, 2005
Na tentativa de resolver o problema enunciado (transitar da matematização para a
resolução) e, considerando as informações coletadas, os alunos estabelecem a hipótese de que
o valor dos decibéis não depende do estilo musical e nem da qualidade do formato da
gravação do arquivo e assumem que esses aparelhos emitem, em média, no seu volume
máximo, 114 decibéis.
A Figura 3 traz uma representação gráfica produzida pelos alunos, esse signo produzido
pelo aluno pode ser interpretada como um modelo matemático e, portanto, uma forma de
relacionar os elementos que esse modelo apresenta e o problema investigado.
S = 0.06391998
r = 0.99965002
tempo máximo de exposição (horas)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
82
87
92
97
102
107
112
117
nível do ruído (decibéis)
Figura 3: Representação dos alunos para a relação entre à máxima exposição diária
permissível e o nível de ruído
11
Esse primeiro signo produzido pelos alunos, carrega consigo algumas especifidades da
situação analisada. Segundo Radford (2006b) o signo desempenha uma função mediadora
entre indivíduo e objeto e permite essa passagem entre o conhecer e o representar. Sendo
assim, o signo não é simplesmente uma representação, mas o resultado de uma interação entre
o sujeito (suas estruturas cognitivas) e suas experiências.
O signo da Figura 3 leva os alunos a buscar outro signo que favorecesse, aos seus olhos,
encontrar a solução para o problema. Aqui evidencia-se que os alunos não conseguem
relacionar a representação gráfica à situação analisada (esse modelo matemático não diz muita
coisa para os alunos) e, portanto, necessitam de outro signo para compreender o objeto em
estudo. Radford (2005) ressalta que, muitas vezes, um signo não é suficiente para alcançar a
objetivação do conhecimento, há a necessidade de diversos signos trabalhando juntos, pois
“eles estão associados com as camadas de objetivação” (p.144), ou seja, relacionados com o
processo de tomada de consciência do objeto do conhecimento.
Como os alunos buscam compreender a situação, eles utilizam e produzem signos
(tabela e gráfico, respectivamente) com esse objetivo, no entanto, a combinação desses dois
signos não lhes são suficiente, então, recorrem à produção de outro signo.
A partir da representação gráfica (Figura 3) os alunos aproximam a curva encontrada a
uma função exponencial obtendo, portanto, outro signo. O modelo matemático,
H  1218196,8 e 0,1404 n , em que (H) corresponde o número de horas de máxima exposição e
(n) o nível de ruído medido em decibéis, para a situação “uso de MP3 player”, agora, aparece
escrito em linguagem algébrica.
Enquanto os alunos transitam por esses signos, deixam implícito que estes,
“considerados isoladamente, são limitados” (Radford, 2005 p.143), ou seja, os alunos
precisam de todos os signos que produziram para descrever a situação analisada, compreendêla e fazer possíveis previsões. É na relação entre esses modelos matemáticos (signos
utilizados e produzidos pelos alunos) que a objetivação do conhecimento está associada.
Combinando estas representações – tabela, gráfico, expressão algébrica – os alunos
buscam compreender a situação, contudo, utilizam-se apenas da expressão algébrica para
realizar a validação (Tabela 2). Eles realizam os cálculos (outro signo produzido pelos alunos)
e verificam que os valores obtidos a partir do modelo matemático (representação algébrica),
são bem próximos dos dados coletados (Tabela 1).
12
Tabela 2: Validação do modelo matemático obtido
Nível de
ruído
dB (A)
Máxima
exposição diária
permissível
(horas)
Validação
Nível de
ruído
dB (A)
Máxima
exposição diária
permissível
(horas)
Validação
H  1218196,8 e 0,1404
85
8
8,28429
98
1,25
1,34227
86
7
7,20202
100
1
1,01447
87
6
6,26113
102
0,75
0,76672
88
5
5,44317
104
0,57947
89
4,5
4,73206
105
0,58
0,5
90
4
4,11386
106
0,41
0,43796
91
3,5
3,57642
108
0,33
0,33100
92
3
3,10919
110
0,25
0,25016
93
2,5
2,70300
112
0,16
0,18907
94
2,25
2,34987
114
0,13
0,14290
95
2
2,04288
115
0,11
0,12423
96
1,75
1,77600
H  1218196,8 e 0,1404 n
0,50377
Nessa fase da atividade (interpretação dos resultados e validação) os alunos voltam à
situação inicial e utilizam-se de outro signo, H  1,22 . 10 6 e
 114V 
1, 4  10 1.

 Vm 
, em que (V)
corresponde o volume que a pessoa está ouvindo o MP3 e (Vm) o volume máximo do MP3
utilizado, para responder ao problema originado da situação inicial. Do ponto de vista
matemático, esse modelo é o que proporciona uma resposta mais direta, ou seja, responde
satisfatoriamente ao problema enunciado.
4.2
Água consumida
Essa atividade de Modelagem Matemática foi desenvolvida a partir das informações
(coletadas pelos alunos) da Agência Nacional de Águas – ANA de que a quantidade de água
disponível para consumo no Brasil é suficiente para as necessidades do país, se a população
for consciente quanto ao uso.
Para iniciar o estudo sobre a “água consumida” os alunos levaram em consideração as
informações apresentadas na Tabela 3 que revelam que o total de água utilizada pelas pessoas
vem aumentando com o decorrer dos anos.
13
Tabela 3: Estimativas e projeções de água retirada e consumida por Continente
Continente
Europa
1990
491
1995
511
Projeção de consumo
(km3/ano)
2000 2010 2025
534
578
619
183
652
221
199
151
2067
1529
152
91,4
28,5
16,4
3590
2192
187
685
238
215
160
2157
1565
166
97,7
30,5
17,6
3765
2265
191
705
243
230
169
2245
1603
180
104
32,6
18,9
3927
2329
Histórico de Estimativas (Km3/ano)
1900
37,5a
1940
71
1950
93,8
1960
185
1970
294
1980
445
17,6b 29,8
38,4
53,9
81,8
158
221
286
410
555
677
América do 70
Norte
29,2
83,8
104
138
181
221
41
49
56
86
116
168
África
34
39
44
66
88
129
414
689
860
1222 1499 1784
Ásia
322
528
654
932
1116 1324
27,7
59,4
68,5
85,2
111
América do 15,2
Sul
11,3
20,6
41,7
44,4
57,8
71
6,8
10,3
17,4
23,3
29,4
Austrália e 1,6
Oceania
0,6
3,4
5,1
9
11,9
14,6
579
1065 1366 1989 2573 3214
Total
(aprox.)
415
704
887
1243 1536 1918
a
Números sublinhados referem-se à estimativa de água retirada.
b
Números itálicos referem-se à estimativa de água consumida.
202
744
255
270
190
2483
1721
213
112
35,6
21
4324
2501
217
786
269
331
216
3104
1971
257
122
39,6
23,1
5137
2818
Fonte: (Oliveira, apud Gleick, 2009)
Ao observar a tabela, os alunos reconhecem um signo, que representa algo em lugar de
outra coisa e, a partir desse signo formulam o seguinte problema: qual quantidade de água já
foi consumida? Embora a pergunta seja objetiva “qual” os alunos sentem necessidade de
buscar uma expressão matemática que descreva a situação “água consumida”.
Sendo assim, com base nas informações da Tabela 3, os alunos organizam os dados que
lhes interessam para resolver o problema em uma tabela (Tabela 4) e assumem a hipótese de
que o consumo inicial de água é determinado pelo ano 1900. Esse signo produzido pelos
alunos leva-os a construírem outro signo (Figura 4). Os signos produzidos até o momento
seriam uma primeira tradução das informações coletadas pelos alunos, iniciando assim o
processo de matematização.
Tabela 4: Água consumida - estimativas.
ANO
1900
1940
1950
1960
1970
1980
1990
1995
Consumo km³/ano
415
704
887
1243
1536
1918
2192
2265
CONSUMO TOTAL DE ÁGUA
2500
consumo km³/ano
N
0
40
50
60
70
80
90
95
2000
1500
1000
500
0
0
20
40
60
80
n
Figura 4: Tendência dos dados
100
14
Esses signos permitem aos alunos identificar o que está acontecendo em relação ao
consumo da água, tanto que eles analisam o comportamento dos pontos e avançam na
investigação do problema. Uma análise desses signos os leva a buscar outros signos (Figura 5)
que relacionam o consumo de água em relação ao tempo, tomando a quantidade total de água
consumida por ano. Eles consideram, portanto, uma aproximação para a função do 2º grau e
outra para a função exponencial. Conforme Hoffman (2006) uma atividade matemática é
realizada por meio de signos, pela interpretação e transformação dos signos se tem acesso ao
objeto do conhecimento. Para esse autor, “se por um lado os signos são meios para pensar
sobre os objetos matemáticos e suas relações, por outro, eles são produtos de tais
pensamentos”. (HOFFMANN, 2006, p.279).
Ao assumir essas duas aproximações (função do 2º grau e função exponencial) os
alunos utilizam um software para obter os modelos matemáticos (Figura 5).
2500
consumo km³/ano
consumo km³/ano
2500
2000
1500
1000
2
500
C1 = 0,2077n + 1,1314n + 388,43
0
2000
1500
1000
C2 = 377,5e0, 0193n
500
0
0
20
40
60
80
100
0
20
n
40
60
80
100
n
Figura 5: Aproximação da situação para uma função quadrática e para uma função
exponencial.
Nessa fase de resolução do problema, os alunos analisam os modelos matemáticos
obtidos e consideram os dois modelos como boas aproximações para a situação, contudo, para
responder ao problema inicial, reescrevem esses modelos assumindo n=a–1900. Logo, C1 =
0,2077a² – 788,1286a + 748035,77 e C2 = ( 4, 48 .10 14 ) e 0 , 0193 a .
Essa necessidade de produzir signos com a finalidade de melhor compreender a situação
e responder ao problema inicial é enfatizada por Radford (2006a) ao ressaltar que os signos
são uma fonte importante no processo de conscientização do objeto em estudo, ou seja, para a
objetivação do conhecimento.
Na discussão sobre os modelos obtidos os alunos consideram que ambos os modelos
15
podem ser ajustados aos valores de referência, no entanto, evidenciam que se a intenção for
utilizar esses modelos para fazer previsões cabe uma discussão sobre o período de tempo
analisado.
Cientes de que não haviam respondido ao problema, eles retomam à pergunta inicial e
aos modelos obtidos e concluem que a quantidade de água consumida até 2010 é 143432,89
km³, se considerado a aproximação à função quadrática e 140267,96 km³, se considerado a
função exponencial ajustada.
4.3
Crescimento de uma árvore
Nessa atividade os alunos buscam compreender como se dá o crescimento do Pinus
elliotti. Os primeiros signos utilizados por eles são informações sobre o crescimento dessa
árvore ser determinado por anéis de crescimento de secções transversais e que cada anel do
disco analisado determina um ano de crescimento da espécie, sendo que a parte mais clara do
anel determina seu crescimento durante a estação do verão e a parte escura do anel representa
o crescimento durante a estação do inverno. Um segundo, é um disco de tronco de uma árvore
dessa espécie (Figura 6). A partir desses signos, eles produzem outros signos. Na tabela 5 eles
colocam os valores obtidos a partir de medições realizadas no disco e na Figura 7 uma
representação gráfica para o crescimento dessa árvore.
Tabela 5 – Dados coletados do Pinus ellioti
Figura 6 – Disco do tronco de Pinus elliotti
Figura 7 – Incremento anual acumulado
Ano
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Incremento anual
(média)
1,775
1,275
1,8
1,3
1,525
1,5
1,2
1,25
1,2
0,775
0,85
0,725
0,825
0,6
0,65
0,425
0,45
0,475
0,425
0,45
0,325
Incremento anual
acumulado
1,775
3,05
4,85
6,15
7,675
9,175
10,375
11,625
12,825
13,6
14,45
15,175
16
16,6
17,25
17,675
18,125
18,6
19,025
19,475
19,8
16
Para Radford (2006a) os signos precisam acomodar diferentes pontos de vista ao mesmo
tempo, de modo que o uso de vários meios semióticos de objetivação podem ser integrado no
ato de conhecer.
Por considerar que o crescimento da espécie tende a se estabilizar (hipótese assumida
pelos alunos), eles utilizam o Método de Ford-Walford para encontrar o ponto de estabilidade
e escrevem o modelo matemático:
y  24 ,81  24 ,94 e 0 , 0782 x , como solução para o
problema. Esse modelo matemático (outro signo produzido pelos alunos) é aceito por todos
do grupo como uma solução para o problema inicial, principalmente depois de terem
confrontado os dados obtidos pelo modelo com os apresentados na Tabela 5.
5
Considerações finais
A aproximação que alinhavamos entre a perspectiva da Semiótica cultural e a
Modelagem Matemática apoia-se na importância de um olhar mais atento aos signos
utilizados e produzidos pelos alunos no processo de objetivação do conhecimento.
Na análise que esboçamos, a função representativa do signo está numa relação do signo
com o pensamento e aparece em consonância com as ações dos alunos durante o
desenvolvimento das atividades de Modelagem Matemática.
Um olhar semiótico para o desenvolvimento das atividades de Modelagem Matemática
analisadas possibilita-nos inferir que elas viabilizam produções de signos, isto é, a
organização do pensamento dos alunos é revelada nos meios semióticos de objetivação que
fazem uso.
Nesse sentido, o olhar do aluno sobre um signo está carregado de interpretações, de
análises, tanto que os signos, além de serem intencionalmente usados, justificam as ações dos
alunos e assumem uma forma estável de consciência. Ainda, a transição entre os signos não é
simplesmente passar de um signo a outro, é caminhar gradualmente para o significado do
objeto.
Ao analisar os signos utilizados ou produzidos pelos alunos no desenvolvimento das
atividades de Modelagem Matemática, entendemos que, de certa forma, os alunos buscam em
seus conhecimentos formas que lhes possibilitem estruturar soluções para os problemas e que
os três aspectos mencionados anteriormente podem ser observados: os modelos matemáticos
(signos produzidos pelos alunos) guardam características das situações e por meio deles,
conhecimentos dos alunos são manifestados, nas três atividades os alunos utilizam e
produzem uma variedade de signos com o intuito de encontrar soluções para os problemas, as
soluções obtidas são analisadas com referência à situação em estudo.
17
Sendo assim, é possível inferir que as ações dos alunos reveladas nos signos que
produzem ou utilizam refletem os seus modos de produção de significado e fornecem
elementos para a objetivação do conhecimento.
Agradecimentos
À Fundação Araucária pelo apoio financeiro.
Referências
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a objetivação do conhecimento em atividades de

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