Lista de Exercícios de Eq. Diferenciais 1 Terceira Monitoria 1
Transcrição
Lista de Exercícios de Eq. Diferenciais 1 Terceira Monitoria 1
Lista de Exercícios de Eq. Diferenciais 1 Terceira Monitoria 1. Suponha que y1 (t) seja solução, que não se anula, da equação diferencial y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0. (a) Mostre que uma segunda solução, y2 , satisfaz a equação diferencial y2 y1 !0 = W (y1 , y2 ) , y12 em que W (y1 , y2 ) é o Wronskiano de y1 e y2 . Depois utilize o Teorema de Abel para determinar uma fórmula para encontrar y2 . (b) Utilizando o método sugerido no item (a) encontre uma segunda solução para a equação √ ty 00 − y 0 + 4t3 y = 0, 0 < t < π sabendo que y1 (t) = sin (t2 ) é solução. Verifique que a função encontrada é solução da equação diferencial. 2. A equação diferencial xy 00 − (x + N )y 0 + N y = 0, em que N é um número inteiro não negativo, já foi discutida por diversos autores. Uma razão para esse interesse é que a mesma possui uma solução exponencial e uma solução polinomial. (a) Verifique que uma solução é y1 (x) = ex . (b) Utilizando o método ´ Nda−xredução de ordem, verifique que uma segunda solução tem a x forma y2 (x) = ce x e dx. Calcule y2 (x) para N = 1 e N = 2 utilizando a constante c = −1/N !. Perceba, que no caso geral, para c = 1/N !, temos y2 (x) = 1 + x x2 xN + + ··· + . 1! 2! N! Observe que y2 (x) é precisamente a soma das N + 1 parcelas da série de Taylor para ex em torno de x = 0, isto é, da série de Taylor para y1 (x). 1 Gabarito 1. (a) Sabemos que o Wronskiano é dado por W (y1 , y2 ) = y20 y1 − y10 y2 , assim, dividindo os dois lados por y12 , temos que W y20 y10 = − y 2 2. y12 y1 y1 Percebendo que o lado direito é uma derivada do quociente, temos que y2 y1 !0 = W (y1 , y2 ) . y12 Pelo Teorema de Abel o Wronskiano é dado por W (y1 , y2 ) = c1 e− e portanto, ˆ e− y2 = c1 y1 ´ ´ p(t)dt p(t)dt y12 dt. (b) Pelo Teorema de Abel, temos que o Wronskiano da equação é dado por W = e− ´ 1 y 00 − y 0 + 4t2 y = 0 t 1/tdt = c1 t. Assim, a solução geral y(t) pode ser escrita como ˆ t y(t) = c1 sin t2 2 2 dt sin (t ) ˆ = c1 sin t2 t csc2 t2 dt h i c1 sin t2 cot t2 + c2 2 = k1 cos t2 + k2 sin t2 , = − sendo que y2 (t) = cos (t2 ) . 2. (a) Basta substituir a função y1 na equação diferencial. (b) Supondo que a segunda solução da equação seja dada por y2 (x) = u(x)ex , então y20 (x) = u0 (x)ex + u(x)ex e y200 (x) = u00 (x)ex + 2u0 (x)ex + u(x)ex . Substituindo as derivadas na equação diferencial, temos N 00 − 1 u0 , u = x ´ logo, u0 (x) = cxN e−x e, portanto, u(x) = c xN e−x dx. Finalmente, temos que a solução é dada por ˆ x y2 (x) = ce xN e−x dx. Para N = 1, calculando a integral por partes, temos y2 (x) = cex −xe−x − e−x = −c(1 + x), 2 como c = −1/1!, então y2 (x) = 1 + x. Para N = 2, novamente calculando a integral por partes, temos y2 (x) = cex −x2 e−x − 2xe−x − 2e−x = −c 2 + 2x + x2 , como c = −1/2!, então y2 (x) = 1 + x + x2 /2!. Por indução, pode-se verificar que y2 (x) = 1 + x2 xN x + + ··· + . 1! 2! N! 3