Tese_JoelNunoPintoBorges_2008 (PDF document 8461Kb)

Transcrição

Joel Nuno Pinto Borges
A COSMOLOGIA, E A RADIAÇÃO CÓSMICA DE
FUNDO, COMO ELEMENTO MOTIVADOR NO
ENSINO SECUNDÁRIO
MESTRADO EM ENSINO DA ASTRONOMIA
Edição 2005/2006
Dissertação de Mestrado terminada em 2008
Trabalho orientado por:
Professor Doutor Jorge Paulo Maurício de Carvalho,
Professor Associado do Departamento de Matemática Aplicada da Faculdade de
Ciências da Universidade do Porto
Mestrado em Ensino da Astronomia
Agradecimentos
Agradecimentos

Aos meus pais.

Ao meu orientador Professor Doutor Jorge Paulo Maurício o grande apoio prestado na
elaboração desta dissertação de Mestrado.
Resumo
Resumo
No âmbito do Mestrado em Ensino da Astronomia, esta dissertação foi elaborada no intuito de
fornecer aos professores de Física e Química do Ensino Básico e Secundário uma informação
rigorosa e actualizada sobre alguns aspectos da Cosmologia, numa perspectiva científica,
dando especial relevo à Radiação Cósmica de Fundo, um dos grandes suportes dos modelos
cosmológicos de Big-Bang.
Esta dissertação é constituída pelos cinco capítulos seguintes:
•
Introdução
É feito um enquadramento dos assuntos abordados nas competências que os alunos, de
Física e Química A, devem desenvolver.
•
Radiação
Neste capítulo faz-se uma breve evolução do conceito de luz e radiação desde a Grécia
antiga até à actual Teoria Quântica da luz. É também feita uma abordagem sobre os principais
aspectos físicos e matemáticos das teorias Electromagnética e Quântica da luz.
•
Cosmologia
Este capítulo dedicado à Cosmologia começa também com uma abordagem histórica
das principais ideias sobre o Universo, desde a antiga Grécia. Foca a importância da Teoria da
Relatividade Geral na elaboração da primeira teoria matemática do Universo com grande
aceitação pela comunidade científica – o Modelo Cosmológico Padrão ou Modelo do BigBang, bem como algumas observações que o ajudaram a construir e a “fortalecer”, como a
expansão do Universo, a detecção da Radiação Cósmica de Fundo e a abundância de
elementos leves no Universo. Realçam-se alguns problemas cosmológicos, o porquê da
Teoria da Inflação e a energia escura.
•
Radiação Cósmica de Fundo (RCF)
Neste penúltimo capítulo do trabalho, é abordado, com uma maior profundidade, um
dos aspectos que suporta a teoria do Big-Bang. É feita uma descrição cronológica de vários
aspectos da Radiação Cósmica de Fundo: a sua previsão, a sua detecção e a sua interpretação.
•
Sugestões Metodológicas e Conclusões
Finalmente, no último capítulo, são apresentadas algumas sugestões metodológicas e
uma secção de perguntas/problemas e respostas para o professor que lecciona a disciplina.
Resumo
Abstract
In the extent of the Mestrado em Ensino de Astronomia, this dissertation was elaborated in the
intention of supplying to Physics and Chemistry teachers rigorous and actualized information
on some aspects of the Cosmology, in a scientific perspective, giving special relief to the
Cosmic Microwave Radiation, one of the great supports of Big-Bang cosmological models.
This dissertation is composed by the five following chapters:
•
Introduction
It is made a framing of the subjects in the competences that students should develop.
•
Radiation
In this chapter it is made an evolution of the concept of light and radiation from the
ancient Greece to the actual Quantum Theory of the light. It is also made an approach on the
main physical and mathematical aspects of the Electromagnetic and Quantum Theory of light.
•
Cosmology
This chapter dedicated to the Cosmology begins also with a historical approach of the
main ideas on the Universe, from ancient Greece. It focuses the importance of the Theory of
General Relativity in the elaboration of the first mathematical theory of the Universe with
great acceptance for the scientific community – the Big-Bang theory, as well as some
observations that helped to build it, like the expansion of the Universe, the detection of the
Cosmic Microwave Background Radiation and the abundance of light elements in the
Universe. Some cosmological problems, the reason of the Cosmic Inflation and dark energy
are enhanced.
•
Cosmic Microwave Background
In this chapter, it is approached, with a larger depth, one of the aspects that supports
Big-Bang theory. It is made a chronological description of several aspects of the Cosmic
Microwave Radiation: their prediction, detection and interpretation.
•
Methodological suggestions and Conclusions
Finally, in the last chapter, some methodological suggestions and a section of
questions/problems and answers are presented for the Physics and Chemistry teacher.
Resumo
Résumé
Dans l'ampleur du Mestrado em Ensino de Astronomia, cette dissertation a été élaborée dans
l'intention de fournir aux professeurs de Physique et Chimie une information rigoureuse et
actualizé sur quelques aspects de la Cosmologie, dans une perspective scientifique, donner
une spécial attention à la Fond Diffus Cosmologique, un des grands supports des modèles
cosmologiques de Big-Bang. Cette dissertation est constituée par les cinq chapitres suivants:
•
Introduction
Il est fait une approche à tort des sujets qui sont dans les compétences que les étudiants
de la Physique et Chimie devraient développer.
•
Radiation
Dans ce chapitre il est fait une évolution de l'abréviation du concept de Lumière et
Radiation de l'antiquité à la Théorie Quantique réelle de la lumière. Il est aussi fait une
approche sur les aspects mathématiques de l'Electromagnétisme et Quantum Théories de
lumière.
•
Cosmologie
Ce chapitre consacré à la Cosmologie commence aussi avec une approche historique
des idées principales sur l'Univers, de la vieille Grèce. Il concentre l'importance de la Théorie
de la Relativité Générale dans l'élaboration de la première théorie mathématique de l'Univers
avec grande acceptation par la communauté scientifique: le Modèle du Big-Bang, aussi bien
que quelques observations qui l'ont aidé a construire et "fortifier", comme l'expansion de
l'Univers, la découverte de la Fond Diffus Cosmologique et l'abondance d'éléments légers
dans l'Univers. Quelques problèmes cosmologiques, la raison de la Théorie de l'Inflation et
énergie noir est rehaussée.
•
Fond Diffus Cosmologique
Dans ceci à côté du dernier chapitre du travail, il est approché, avec une plus grande
profondeur, un des aspects qui supporte la théorie du Big-Bang. Il est fait une description
chronologique de plusieurs aspects de la Fond Diffus Cosmologique: sa prévision, sa
découverte et son interprétation.
•
Suggestions Méthodologiques et Conclusions
Finalement, dans le dernier chapitre, quelques suggestions méthodologiques et une
section de questions/problèmes et réponses sont présenté pour le professeur qui enseigne la
discipline.
Índice
Índice
0. Introdução
0.1. Objectivos gerais da dissertação
8
9
0.2. Enquadramento dos capítulos 1, 2 e 3 na disciplina de Física e
Química A do ensino secundário
1. Radiação
10
14
1.1. A evolução do conceito de luz até ao século XIX
14
1.2. A Teoria Electromagnética da luz - Ondas
21
1.3. As Leis de Maxwell
24
1.4. Energia das ondas electromagnéticas
34
1.5. A lei do inverso do quadrado da distância para a intensidade das
ondas electromagnéticas
37
1.6. Espectro Electromagnético
38
1.7. As propriedades da luz
45
1.8. A radiação de corpo negro e os primeiros passos para a Teoria
Quântica da luz
1.9. Algumas considerações matemáticas da teoria da radiação
52
53
1.10. História da equação de Max Planck e o nascimento da Mecânica
Quântica
57
1.11. A Teoria Quântica da luz
70
1.12. A Interpretação de Bohr dos espectros atómicos
72
1.13. A velocidade da luz e a desmistificação do éter
74
2. Cosmologia
79
2.1. Uma breve história
79
2.2. O que existe no Universo
91
2.3. As partículas que existem no Universo
96
2.4. A expansão do Universo
98
2.5. O Modelo Cosmológico Padrão
106
Índice
2.6. O limite superior da idade do Universo
119
2.7. O Big-Bang
120
2.8. A Inflação
124
2.9. As supernovas
129
2.10. O satélite WMAP e a confirmação da energia escura
134
2.11. A versão actual do modelo do Big-Bang
138
3. A radiação cósmica de fundo (RCF)
143
3.1. Introdução
143
3.2. Previsão da existência da Radiação Cósmica de Fundo
143
3.3. A primeira detecção da Radiação Cósmica de Fundo
149
3.4. A interpretação teórica da RCF
152
3.5. A verificação da distribuição de Planck
154
3.6. A missão COBE
155
3.7. A resolução do satélite WMAP
165
4. Sugestões metodológicas e conclusões
170
4.1. Sugestões metodológicas
170
4.2. Perguntas/problemas e respostas
176
4.3. Conclusões
187
Referência e Bibliografia
189
Introdução
0. Introdução
A Astronomia e a compreensão do mundo em que vivemos – o nosso Universo – são
assuntos que fascinam muitas pessoas, nomeadamente as crianças e os adolescentes do ensino
básico e secundário. Aliás, “a Astronomia tem sido considerada desde a mais remota
antiguidade como a disciplina que maior curiosidade desperta nos seres humanos” [Vaz e
Cadilhe, 2006]. Ao contrário dos nossos antepassados, que construíam o seu conhecimento
cosmológico com escassos recursos observacionais e tecnológicos, hoje em dia qualquer
pessoa tem acesso a uma enorme variedade de fontes de informação que lhe permite ir
construindo uma imagem mais correcta acerca do Universo. Essas “novas” fontes de
informação são principalmente a escola, mas também a televisão através de documentários, a
internet e, talvez em menor quantidade, os livros e as revistas científicas. Ao longo desta
dissertação, quando for escrito “universo” com letra minúscula quer dizer que se está a falar
de um “modelo de universo” que tenta dar respostas para as questões que surgem quando se
tenta perceber o “Universo” (com letra maiúscula) em que vivemos e que todos podemos
observar.
Mas “quantidade” não é sinónimo de “qualidade” e por vezes o facilitismo no acesso à
informação cria “concepções alternativas”, tanto nos alunos como também nos professores
[Vaz e Cadilhe, 2006]. Uma “concepção alternativa” é uma ideia preconcebida acerca de um
certo fenómeno, que pode ser levada para a sala de aula quer pelos alunos, quer pelos
professores. Por exemplo, é do senso comum de que a Terra está no centro do Universo,
apesar de ser cientificamente aceite que este não tem um centro definido e que a Terra tem um
movimento de translação em torno do Sol. Esta concepção alternativa é uma, entre várias,
diagnosticadas a partir de “levantamentos das ideias preconcebidas de estudantes e docentes
com relação aos conteúdos da Astronomia” [Vaz e Cadilhe, 2006].
No ensino básico, em particular no sétimo ano de escolaridade na disciplina de
Ciências Físico-Químicas, e no ensino secundário, na disciplina de Física e Química A, cabe
aos professores de Física e Química, não só explicar e esclarecer os aspectos fascinantes do
Universo, mas também ter uma boa formação científico-pedagógica que lhes permita
trabalhar contra as concepções alternativas, numa perspectiva construtivista do ensino. Isto
quer dizer que o processo de ensino-aprendizagem não pode ser uma mera aquisição de
conceitos, devendo também ser encarado como um processo de mudança conceptual. O papel
do professor, que era considerado até há bem pouco tempo o de transmitir conhecimentos,
8
Introdução
agora é outro, “passando a ser o de criador de contextos de aprendizagem que permitam aos
alunos, não só aprender mas, sobretudo, aprender a aprender, para que possam manter-se
actualizados ao longo de toda a sua vida” [Leite e Esteves, 2005].
Vários são os estudos, citados por Vieira [Vaz e Cadilhe, 2006], que se dedicam ao
levantamento de concepções alternativas de alunos e docentes com relação aos conteúdos de
Astronomia. A maioria desses trabalhos de investigação incide sobre alunos do ensino básico.
Existem também estudos realizados com alunos do ensino básico, secundário e universitário
[Prather et al., 2003; Lemmer, et al.; 2003] em que se pergunta se eles já ouviram falar no
Big-Bang e, se sim, como o descreveriam.
Não é objectivo desta dissertação fazer um levantamento de todas as concepções
alternativas no ensino básico e secundário sobre a teoria do Big-Bang, mas torna-se
importante reconhecer que elas existem, de modo a que os textos deste trabalho sejam claros e
promovam, em primeiro lugar, a mudança conceptual no professor que os lê e, em segundo
lugar, nos alunos com os quais o professor vai trabalhar. No capítulo final algumas dessas
concepções alternativas irão ser referidas, e irão ser feitas algumas sugestões metodológicas
de modo a que elas sejam “moldadas” para aquilo que é “cientificamente aceite”.
Esta dissertação foi então elaborada no intuito de fornecer aos professores de Física e
Química do ensino básico e secundário, uma informação rigorosa e actualizada sobre
Cosmologia (particularmente o modelo do Big-Bang), numa perspectiva científica, dando
especial relevo à Radiação Cósmica de Fundo, um dos grandes suportes da teoria. A
Cosmologia, e a Radiação Cósmica de Fundo, serão então um elemento motivador no ensino
da disciplina de Física e Química A. Um capítulo dedicado à Radiação, torna-se também
importante para uma melhor compreensão das teorias que explicam a natureza da luz e
radiação.
0.1. Objectivos gerais da dissertação
Este trabalho de dissertação foi realizado no âmbito do Mestrado em Ensino da
Astronomia. Os objectivos gerais da tese “A Cosmologia, e a Radiação Cósmica de Fundo,
como elemento motivador no ensino secundário” são:
•
Pessoalmente, aprofundar e desenvolver competências nas áreas da luz e radiação, na
Cosmologia em geral, e na Radiação Cósmica de Fundo, em particular;
9
•
Introdução
Alertar os professores de Física e Química para a existência de vários estudos que
comprovam que há inúmeras concepções alternativas, diagnosticadas a alunos e
também a professores, nomeadamente relacionadas com a teoria do Big-Bang;
•
Proporcionar aos professores de Física e Química, e ao público em geral, informações
mais detalhadas, rigorosas e actualizadas acerca da teoria do Big-Bang, focando em
particular a Radiação Cósmica de Fundo e as teorias Electromagnética e Quântica da
radiação. Permitir ainda que o leitor saiba em que período da História do
conhecimento as teorias foram propostas e os dados experimentais/observacionais que
as sustentam foram recolhidos;
•
Utilizar uma linguagem simples e acessível, recorrendo a exemplos e analogias, para
que qualquer professor de Física e Química compreenda este trabalho sem grande
dificuldade e, por outro lado, um leitor com uma formação básica em ciências
compreenda a maior parte dos assuntos abordados, ou, pelo menos, a parte essencial.
0.2. Enquadramento dos capítulos 1, 2 e 3 na disciplina de Física e Química A
do ensino secundário
A dissertação está dividida em cinco capítulos, que são o capítulo da Introdução, um
capítulo sobre Radiação, outro sobre Cosmologia, ainda um capítulo dedicado à Radiação
Cósmica de Fundo (RCF) e finalmente o capítulo das Sugestões Metodológicas e Conclusões.
O capítulo 1 – Radiação – faz uma breve evolução do conceito de luz e radiação desde
a Grécia antiga até à actual Teoria Quântica da luz. É também feita uma abordagem sobre os
principais aspectos físicos e matemáticos das teorias Electromagnética e Quântica da luz. No
ensino secundário, na disciplina de Física e Química A, os alunos deverão desenvolver várias
competências sobre os assuntos incluídos neste capítulo. De acordo com os programas oficiais
desta disciplina, algumas dessas competências são:
Na componente de Química:
•
Caracterizar tipos de espectros (de riscas/descontínuos e contínuos, de absorção e de
emissão);
•
Interpretar o espectro de um elemento como a sua “impressão digital”;
•
Interpretar o espectro de radiações, associando cada radiação a um determinado
valor de energia;
10
Introdução
•
Comparar radiações quanto à sua energia e efeito térmico;
•
Identificar equipamentos diversos que utilizam diferentes radiações;
•
Estabelecer a relação entre a energia de radiação incidente, a energia mínima de
remoção de um electrão e a energia cinética do electrão emitido quando há
interacção entre a radiação e um metal;
•
Identificar algumas aplicações tecnológicas da interacção radiação-matéria,
nomeadamente o efeito fotoeléctrico;
•
Descrever o átomo de hidrogénio e explicar a existência de níveis de energia
quantizados (de acordo com o modelo de Bohr).
Na componente de Física:
•
Indicar que todos os corpos irradiam energia;
•
Relacionar a potência total irradiada por uma superfície com a respectiva área e a
quarta potência da sua temperatura absoluta (Lei de Stefan-Boltzman);
•
Identificar a zona do espectro electromagnético em que é máxima a potência
irradiada por um corpo, para diversos valores da sua temperatura (deslocamento de
Wien);
•
Identificar situações de equilíbrio térmico.
Este capítulo poderá ser um complemento aos manuais de ensino secundário que
fazem uma abordagem mais geral a estes conteúdos. Por um lado, permite ao professor fazer
uma contextualização histórica das concepções sobre luz e radiação, desde a Grécia antiga até
aos nossos dias; por outro lado, o professor terá uma visão, física e matemática, um pouco
mais profunda sobre a Teoria Electromagnética da luz, as leis de Maxwell, a “radiação de
corpo negro”, e a Teoria Quântica da luz, entre outros assuntos. No âmbito desta dissertação,
este capítulo também desempenha um papel importante para uma melhor compreensão dos
capítulos seguintes. Por exemplo, para se compreender o que é a Radiação Cósmica de Fundo
é necessário que o conceito de radiação esteja bem definido.
O capítulo 2 – Cosmologia – começa também com uma abordagem histórica das
principais ideias sobre o Universo, desde a antiga Grécia, bem como o triunfo da teoria
Heliocêntrica sobre a Geocêntrica. Foca a importância da Teoria da Relatividade Geral na
elaboração da primeira teoria matemática do Universo com grande aceitação pela comunidade
científica – o Modelo Cosmológico Padrão ou modelo do Big-Bang, bem como algumas
11
Introdução
observações que o ajudaram a construir e a “fortalecer”, como a expansão do Universo, a
detecção da Radiação Cósmica de Fundo, e a abundância de elementos leves (Hidrogénio,
Hélio e Lítio) no Universo. Este modelo foi sofrendo algumas reformulações até à
actualidade. A forma como se foi “actualizando” o modelo do Big-Bang será descrita ao longo
deste capítulo, realçando-se, por exemplo, alguns problemas cosmológicos do modelo, e a
forma como foram resolvidos através da Teoria da Inflação; mas também a importância da
instrumentação (satélites, telescópios e outros) na descoberta de que grande parte do conteúdo
de massa/energia do Universo é algo que não conhecemos – matéria escura e energia escura,
sendo esta última responsável por vivermos numa época de expansão acelerada do Universo.
A abordagem Matemática ao modelo do Big-Bang será feita da forma mais simples possível,
para que qualquer professor de Física e Química a possa compreender.
Sobre a teoria do Big-Bang, e de acordo com o programa oficial, os alunos do ensino
secundário deverão desenvolver as seguintes competências, na componente de Química da
disciplina de Física e Química A:
•
Posicionar a Terra e a espécie humana relativamente à complexidade do Universo;
•
Referir aspectos simples da teoria do Big-Bang (expansão e radiação de fundo);
•
Analisar escalas de tempo, comprimento e temperatura no Universo.
À primeira vista a maioria dos assuntos abordados no capítulo da Cosmologia parecem
estar fora do âmbito da disciplina. Mas, uma aula nunca é, nem pode ser, limitada ao
cumprimento dos objectivos delineados, inicialmente, pelo Ministério da Educação. Para que
os alunos fiquem com uma ideia correcta do estado actual do modelo do Big-Bang e para que
o professor não induza “concepções alternativas” nos alunos, que, como já foi referido, ele
próprio pode ter, os manuais de ensino não são suficientes. Com efeito, grande parte dos
manuais de ensino apresentam pouca informação sobre este assunto e, por vezes, ela é
imprecisa e desactualizada. Estudos revelam que “há o sério problema da indução de erros
conceptuais em livros didácticos (esquemas e textos), que acabam por definir ou moldar o
perfil de determinadas concepções de alunos e docentes” [Vaz e Cadilhe, 2006].
O professor, na leccionação de conteúdos em que aborde a teoria do Big-Bang, deverá
preparar e planear cuidadosamente as suas aulas em função das competências que os alunos
terão de desenvolver, mas também ser sensível às inúmeras questões que normalmente
surgem quando se abordam questões relacionadas com o Universo. Este capítulo tenta então
12
Introdução
dar uma visão mais ampla do processo que levou à construção da versão actual do modelo do
Big-Bang.
O capítulo 3 – Radiação Cósmica de Fundo – dedica-se, com uma maior
profundidade, a um dos aspectos que suporta a teoria do Big-Bang. Nesta parte da dissertação
também se irá fazer uma descrição cronológica de vários aspectos da Radiação Cósmica de
Fundo: a sua previsão, a sua detecção e a sua interpretação. Destacam-se ainda as missões
COBE (COsmic Background Explorer) e WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe)
que vieram dar um contributo bastante significativo para o desenvolvimento do modelo do
Big-Bang. No ensino secundário, e de acordo com as orientações do programa oficial, o tema
da Radiação Cósmica de Fundo é abordado de uma forma bastante superficial. Mas considero
que o professor ao trabalhar, nas suas aulas, este assunto em particular, dá ao aluno uma
“prova” de que o modelo do Big-Bang é o que melhor explica as observações. Não se
pretende que o aluno fique com a ideia de que se chegou à teoria final do Universo, mas que
há evidências observacionais que sustentam este modelo, entre as quais a detecção da
Radiação Cósmica de Fundo. A abordagem deste assunto poderá funcionar como elemento
motivador para o próprio aluno.
Finalmente, há ainda um capítulo final – Sugestões Metodológicas e Conclusões –
com algumas sugestões metodológicas para o professor que lecciona a disciplina de Física e
Química A, uma secção de perguntas/problemas e respostas, e as conclusões gerais deste
trabalho.
É óbvio que cada professor gere a aula à sua maneira, mas de qualquer forma achei
importante colocar algumas sugestões metodológicas, o que poderá ser uma ajuda extra ao
professor que lecciona a disciplina. É também sempre importante ter algumas respostas
preparadas para responder a questões que os alunos coloquem fora do âmbito das
competências a desenvolver, por isso entendi também colocar uma secção de
perguntas/problemas e respostas. Essas perguntas e problemas poderão ser utilizados para a
elaboração de uma ficha de trabalho para os alunos de Física e Química A, por parte do
professor. No entanto, nem todas as questões e problemas são pertinentes para este nível de
ensino, por isso há algumas que se encontram assinaladas com “asterisco”, as quais sugiro que
não se incluam nessa ficha de trabalho. Por serem de um nível de dificuldade elevado,
servirão apenas para que o professor compreenda melhor determinados assuntos.
13
Capítulo 1 – Radiação
1. Radiação
1.1. A evolução do conceito de luz até ao século XIX
A evolução das ideias sobre a luz e seus fenómenos foi marcada por “avanços e recuos
impostos pelo estado de desenvolvimento social, cultural e religioso em que os seus agentes
se movimentavam” [Bernardo, 2005]. Foram os filósofos gregos do século VI a.C. os
primeiros, que se saiba, a tentar explicar os fenómenos associados à luz, fora de um contexto
religioso. Até à “chegada” do método científico, no século XVII, e durante milénios, as
explicações dos fenómenos luminosos assentaram em concepções religiosas, na superstição e
na autoridade dos mestres. Com o aparecimento da Ciência, estas explicações erráticas,
obscuras e raramente coerentes foram dando lugar a outras mais racionais e úteis.
No século V a. C., Pitágoras (569-470 a.C.) e os seus discípulos, bem como
Empédocles (495-435 a.C.), acreditavam que o olho era semelhante a uma lanterna que
continha um fogo interior que era lançado para fora através do líquido aquoso do globo ocular
e iluminava o mundo [Bernardo, 2005]. Demócrito (460-370 a.C.), defensor de que todos os
objectos eram constituídos por partículas muito pequenas a que chamou átomos (que significa
“indivisível”), pensava que os próprios objectos eram visíveis porque emitiam partículas que
embatiam nos nossos olhos. Platão (428-327 a.C.) sugeriu que a luz seria constituída por raios
visuais emitidos pelos olhos bem como pelos objectos. O seu discípulo Aristóteles (384-322
a.C.) rejeitou a ideia dos raios visuais admitindo que a luz seria uma “qualidade”, isto é, uma
actividade de natureza não material, característica de um meio transparente que, por um
processo desconhecido, seria estimulada pelo fogo do Sol ou de outras fontes. Epicuro (342270 a.C.), seguidor de Demócrito, tinha concepções diferentes de Aristóteles e Platão.
Segundo ele, havia “filmes de matéria” que estariam constantemente a voar para fora da
superfície dos corpos. Na sua ideia, esses filmes eram compostos de “átomos” e formavam
uma sucessão de imagens responsáveis pela visão, a audição, o gosto e o cheiro [Bernardo,
2005]. Epicuro foi também o primeiro filósofo a defender a ideia de que a luz é emitida por
fontes, reflectida pelos objectos, e que produz a sensação visual quando “entra” nos olhos.
Euclides (325-265 a.C.) de Alexandria foi um dos seguidores da concepção pitagórica
da visão e é-lhe atribuída a constatação da propagação rectilínea da luz.
Em relação ao fenómeno de reflexão da luz existem grandes dúvidas sobre o seu claro
conhecimento por parte dos filósofos gregos, apesar de este assunto já ser discutido nessa
14
altura. As leis da refracção da luz poderão também ter sido descobertas qualitativamente pelos
filósofos da antiga Grécia, mas só no século II (d.C.) Ptolomeu (85-165) esteve perto de as
estabelecer quantitativamente.
Durante os dez primeiros séculos da era cristã, as teorias dos antigos filósofos gregos
foram dominantes tanto no que diz respeito à filosofia em geral como às concepções sobre a
natureza da luz e à explicação dos mecanismos de visão.
No século XIII surgiu um grupo de filósofos “mágicos”, que se debruçaram sobre o
estudo objectivo da natureza e do universo físico - a filosofia natural. Um dos mais
importantes é Robert Grosseteste (1175-1253) que, seguindo as ideias de Ptolomeu,
estabeleceu relações de proporcionalidade entre os ângulos de incidência e de refracção,
introduzindo o fenómeno da refracção na explicação do arco-íris. As suas ideias pouco mais
contribuíram para o desenvolvimento da teoria da luz. O “profeta” Roger Bacon (1220-1292),
discípulo de Grosseteste, é considerado o europeu que durante a Idade Média, e antes do
Renascimento, mais contribuiu para a difusão da óptica. Tinha um dom, comparável ao de
Leonardo Da Vinci, para prever o desenvolvimento de tecnologias que foram construídas
séculos mais tarde. Debruçou-se sobre a natureza da luz e a teoria do telescópio, pelo que
alguns lhe atribuem a ideia que conduziu à sua invenção.
O expoente máximo do renascimento, Leonardo Da Vinci (1452-1519), também se
dedicou à óptica. Introduziu algumas ideias originais nas suas teorias sobre a natureza da luz,
a sua propagação e os mecanismos da visão, fundamentando sempre as suas explicações na
observação e na experimentação. Sobre a propagação dos raios luminosos afirma o seguinte:
“Cada raio, atravessando o ar com densidade uniforme, viaja numa linha recta da
sua causa até ao objecto ou ao lugar em que cai” [Bernardo, 2005].
Outra das suas muitas ideias é interpretada, por alguns autores, como sendo uma
afirmação da natureza ondulatória da luz:
“Qualquer corpo colocado numa atmosfera com luz espalha-se em círculos e enche o
ar circundante com um número infinito de imagens dele próprio; da mesma forma que uma
pedra ao afundar-se na água se torna o centro e causa de muitos círculos, ou o som se
espalha em círculos no ar que o rodeia” [Bernardo, 2005].
15
Outros autores apenas pensam que, na concepção de Da Vinci, a informação luminosa
do objecto, como centro emissor, se faz de forma contínua e isotrópica.
Enquanto que os antigos filósofos gregos criaram teorias especulativas sobre a
natureza da luz que estavam intimamente ligadas à visão, no Renascimento a luz foi sendo
tratada cada vez mais como uma entidade independente e objectiva.
Até ao século XVII, o conjunto de ensinamentos filosóficos ministrados nas
Universidades europeias da Idade Média eram baseados nas doutrinas de Aristóteles e seus
seguidores, interpretadas e acrescentadas pelos teólogos cristãos. Nesta altura já se conheciam
os princípios básicos da propagação e da reflexão, a natureza das cores dos objectos e os
processos da formação das imagens geradas por lentes ou espelhos. A partir deste século
tornou-se prioritária a busca da natureza “Física” da luz, abandonando-se definitivamente a
investigação da luz pura (“divina”).
Galileu
Galilei
(1564-1632)
e
Johanes
Kepler
(1571-1630)
foram
dois
físicos/astrónomos e filósofos naturais que se interessaram pelas questões relacionadas com a
natureza da luz mas que não conseguiram dar uma resposta satisfatória nesta matéria, apesar
dos seus êxitos reconhecidos nas áreas da Astronomia e da óptica geométrica. Porém, a
Kepler é atribuída a previsão da lei da relação inversa entre a intensidade da luz e o quadrado
da distância.
René Descartes (1596-1650), considerado o primeiro filósofo moderno, deu também
um grande contributo para a óptica e foi o primeiro a formular a primeira teoria Física da luz,
acreditando que esta tem propriedades ondulatórias. Na sua teoria mecanicista, Descartes
acreditava que o espaço estava cheio de partículas, não existindo o vácuo. A luz propagar-seia em linha recta através de um meio perfeitamente elástico que preenche todo o espaço (o
“éter”), sendo comunicada pela pressão de uma partícula a outra, sua vizinha. Segundo
Descartes a luz é uma propriedade mecânica do objecto luminoso e do meio que a transmite.
Segundo a teoria cartesiana as partículas responsáveis pela propagação da luz ficariam
sujeitas, junto aos corpos, a movimentos de rotação provocados pelos “vórtices”. Os
movimentos de rotação a diferentes velocidades das partículas que constituem o éter
explicariam a diversidade das cores.
O conceito de éter teve origem nos filósofos gregos que o consideravam o “quinto
elemento” ou a “quinta-essência” e que ocupava os espaços das esferas celestes acima da
esfera da Lua. Mas foi Descartes que atribuiu ao éter a função de transportar a luz.
Pierre Fermat (1601-1665) considerava que a luz, no ar ou num meio transparente
uniforme, viajava em linha recta a uma velocidade finita; mais rápida num meio quase sem
16
“peso”, como o ar; mais lenta em meios mais “pesados”, como o vidro. Estabeleceu o
princípio de Fermat segundo o qual um raio de luz, viajando entre dois pontos, segue um
percurso que corresponde ao tempo mais curto.
A reflexão e a refracção da luz eram bem conhecidas no século XVII, mas outro
importante fenómeno da luz – a difracção – foi apenas reconhecido pela primeira vez neste
século por Francesco M. Grimaldi (1618-1663).
Robert Hooke (1635-1703), em 1672 descobriu, aparentemente sem conhecer o
trabalho de Grimaldi, a difracção da luz, tentando explicar qualitativamente o fenómeno com
base na teoria ondulatória da luz. Hooke acreditava ainda que a luz era um impulso ou
movimento que, através de um meio homogéneo, uniforme e transparente, se propaga em
linha recta.
Christiaan Huygens (1629-1695), contemporâneo de Hooke, foi um dos primeiros a
propor e a defender a teoria ondulatória da luz. Utilizou o conceito de frente de onda e
comparou a luz com as ondas sonoras, considerando que a luz era matéria em movimento e
atribuiu-lhe um carácter ondulatório longitudinal. Admitiu ainda que as ondas luminosas eram
perturbações impulsionais mas nunca lhes atribuiu um carácter periódico.
Isaac Newton (1642-1727) era crítico em relação às concepções sobre a natureza da
luz de Descartes, Hooke e Huygens. Se a luz fosse um fenómeno ondulatório ela deveria ser
detectada em zonas por detrás dos obstáculos (em zonas de sombra), tal como acontece com o
som e as ondas na superfície da água. Mas isso não era observado, argumentavam Newton e
outros que se opunham à teoria ondulatória, ignorando as experiências sobre a difracção da
luz.
Newton, convencido de que a propagação rectilínea da luz demonstrava que esta não
podia ser uma onda, optou por uma teoria corpuscular. Admitiu que a luz era constituída por
corpúsculos, que poderiam ter massas, dimensões e quantidades de movimento diferentes. A
sua teoria ficou conhecida como a teoria emissionista da luz. Tentou convencer os seus
adversários, através da sua famosa experiência da dispersão da luz solar utilizando um prisma,
que a luz branca era constituída por várias cores, exactamente as mesmas que apareciam no
espectro do prisma. Considerou, numa primeira análise, que as diferentes cores poderiam
estar relacionadas com as diferentes velocidades dos corpúsculos, abandonando rapidamente
esta hipótese. Admitiu, posteriormente, que os corpúsculos com maior massa e tamanho
estariam associados à cor vermelha, e os corpúsculos com menor massa e tamanho à cor
violeta. Sobre a origem da cor dos corpos, Newton sugeriu a hipótese de que elas
17
dependeriam apenas das dimensões e densidade das partículas que constituíam o corpo. As
cores não seriam uma qualidade da superfície dos corpos, como se acreditou durante séculos,
mas o resultado da reflexão de certos tipos de corpúsculos de luz, que diferia de corpo para
corpo.
O século XVII foi rico na resolução de velhas questões sobre a luz. Nesta altura era do
conhecimento geral que a luz se propagava, reflectia, “transportava as cores”, permitia criar a
imagem dos objectos depois de atravessar lentes ou ser reflectida por espelhos, sensibilizava a
retina dos nossos olhos e podia originar o calor e o fogo. Mas, sobre a sua natureza Física
havia apenas especulações. Enquanto que Descartes, Hooke e Huygens defendiam que a luz
era uma perturbação, Newton defendia que era um fluxo de corpúsculos. Mas foi neste século
que, por exemplo, as leis da refracção foram estabelecidas, o arco-íris explicado e a
velocidade da luz foi avaliada (por Christensen Ole Roemer em 1676, com base numa
observação astronómica).
A teoria de Newton sobre a luz foi aceite pela maioria dos filósofos do século XVIII e
também dos primórdios do século XIX. Mas, obviamente, havia quem a contestasse e quem
mantivesse viva a teoria ondulatória de Huygens.
Leonhard Euler (1707-1783) foi certamente o cientista que mais se destacou pela sua
oposição à teoria de Newton. Considerava a luz como uma onda, comparando-a com o som.
Admitiu que uma cor pura, tal como um som puro, corresponderia a uma onda harmónica
com comprimento de onda e frequência bem definidos. Admitia ainda que as várias
frequências da luz produzem a luz branca. Ao contrário de Newton que considerava que as
cores eram causadas pela “diversidade de matéria subtil emanada da fonte, distinguível pelo
tamanho, massa ou substância”, Euler acreditava que a origem das cores estava na frequência
das vibrações das partículas dos corpos, a qual dependia da grandeza e da elasticidade das
partículas.
Euler, na sua teoria sobre as cores ainda confundia, como todos os seus
contemporâneos, a síntese aditiva com a síntese subtractiva. A síntese aditiva está relacionada
com a adição de luzes de diferentes cores. Por exemplo, bastam apenas três feixes
monocromáticos coloridos (verde, vermelho e azul) de igual intensidade para obter luz
branca. Estas três “cores primárias” não se podem confundir com as “cores primárias” das
tintas. Neste caso, ao misturarmos uma tinta magenta com uma amarela e outra com cor azul
ciano, aproximamo-nos do preto, dado que os pigmentos existentes na mistura absorvem
quase toda a radiação nela incidente. Estamos perante a síntese subtrativa. O branco resulta
18
então da síntese aditiva de todas as cores, e o preto, é o resultado da síntese subtrativa, isto é,
da mistura de pigmentos coloridos.
A teoria ondulatória da luz ganhou novo fôlego quando, no início do século XIX,
Thomas Young (1773-1829) explicou o fenómeno de interferência da luz. Young realizou
experiências com uma fenda e uma dupla fenda com as quais demonstrou o carácter
ondulatório da luz, conseguindo elaborar uma teoria para justificar os resultados
experimentais. Apesar da sua importante descoberta, não conseguiu convencer os
newtonianos, que o ignoraram.
Augustin Fresnel (1788-1827), um engenheiro civil, também se interessou pelos
fenómenos e teorias da luz. Desconhecendo os trabalhos de Young e Huygens, realizou
experiências em que conseguiu observar a difracção da luz, contrariando a propagação
rectilínea da luz defendida por Newton. Introduziu também o conceito de “comprimento das
ondulações luminosas” que deveria ser tido em conta na construção das superfícies
espelhadas. Ao tentar explicar a polarização da luz, Fresnel admitiu que a luz era uma onda
mecânica transversal. Mas esta nova ideia de Fresnel introduzia no éter que transporta a luz
novas propriedades difíceis de compreender. Por um lado permite o movimento fluído dos
planetas e ao mesmo tempo passa a ter uma enorme rigidez que permite a propagação de
ondas mecânicas transversais a uma velocidade de cerca de 300000 (valor já
conhecido na época).
Apesar dos trabalhos convincentes de Young e Fresnel, apenas no século XIX a teoria
ondulatória da luz foi aceite pela comunidade científica.
Foi ainda no século XIX que surgiu uma teoria da luz construída com base na
observação, no trabalho experimental e numa formulação matemática coerente. Na
formulação da Teoria Electromagnética da luz destacaram-se três físicos: Michael Faraday
(1791-1867), James C. Maxwell (1831-1879) e Heinrich Hertz (1857-1894).
Faraday destacou-se na área da electricidade e do magnetismo mas também se
interessou pela natureza da luz. Ao contrário de Fresnel, que acreditava que a luz resultava de
vibrações do éter, Faraday tinha uma visão não mecânica para a luz, acreditando que esta
resultava de vibrações das “linhas de forças” da electricidade e do magnetismo, pelo que a
presença do éter seria desnecessária.
Em 1873, James Clerk Maxwell, no seu livro Treatise on Electricity and Magnetism,
propôs a primeira teoria matemática para a luz. Maxwell deu um dos grandes passos para o
desenvolvimento da Física no século XIX, quando combinou as leis da electricidade e do
19
magnetismo com as leis do comportamento da luz. Maxwell demonstrou que a luz é uma
pequena parte de um conjunto de “raios”, a que chamou “espectro”. A luz (visível) é apenas
uma banda estreita do “espectro electromagnético” que o olho humano pode detectar. Mostrou
também que a luz resulta da oscilação de campos eléctricos e magnéticos, perpendiculares
entre si e perpendiculares à direcção de propagação. A única diferença entre todos os tipos de
raios luminosos seria o seu comprimento de onda. As descobertas de Maxwell implicavam
ainda que todos os corpos emitem radiação.
A questão do éter por onde a luz se propagava não foi abandonada por Maxwell. Ele
supunha que o éter era constituído por pequenas esferas animadas de um movimento de
rotação muito rápido. O movimento seria transmitido à esfera seguinte, constituindo o
mecanismo de propagação da luz.
Mais de uma década depois de Maxwell ter proposto a sua teoria Heinrich Hertz
realizou um conjunto de experiências que a validaram, e a Teoria Electromagnética começou
a ser aceite pela comunidade científica. Hertz em 1887, oito anos após a morte de Maxwell,
descobriu as ondas electromagnéticas de baixa frequência – as ondas hertzianas –, estabeleceu
as suas propriedades, medindo os comprimentos de onda e velocidade, e mostrou que eram
semelhantes às da luz. Descobriu ainda o efeito fotoeléctrico provocado pela luz ultravioleta.
Com a teoria de Maxwell e as experiências de Hertz, a comunidade científica ficou
convencida de que a luz resultava de uma perturbação electromagnética que se propagava no
espaço originada por uma carga eléctrica oscilante.
Para se compreender o conceito de onda electromagnética considere-se uma carga
eléctrica acelerada a partir do repouso. Do electromagnetismo sabe-se que uma carga em
repouso gera um campo eléctrico radial e uniforme que se estende até ao infinito e varia com
o inverso do quadrado da distância. No instante em que a carga se começa a mover, o campo
eléctrico é alterado na vizinhança imediata da carga; esta alteração propaga-se no espaço com
uma velocidade finita. O campo eléctrico, variável com o tempo, induz um campo magnético,
de acordo com as equações de Maxwell. Para cargas aceleradas, a variação do campo
eléctrico em função do tempo não é constante e, portanto, o campo magnético induzido
depende do tempo. Mas, de acordo com outra das leis de Maxwell, qualquer variação do
campo magnético gera por sua vez um campo eléctrico. Assim, como a variação de qualquer
um dos campos dá origem a um novo campo que se estende um pouco mais além, há uma
propagação, sob a forma de um impulso, de um ponto para outro, através do espaço. Os
campos eléctricos e magnéticos constituem uma só entidade devendo ser considerados como
dois aspectos do mesmo fenómeno, o campo electromagnético, cuja fonte é constituída por
20
cargas em movimento. A perturbação, uma vez gerada, toma a forma de uma onda que se
propaga a partir da fonte e independentemente desta. Das equações de Maxwell pode-se
também concluir que, no vazio, as ondas electromagnéticas são ondas transversais, ou seja, os
campos eléctrico e magnético, perpendiculares entre si, são também perpendiculares à
direcção de propagação.
Campo eléctrico
Campo magnético
Comprimento de onda
Direcção de propagação
Ilustração 1.1 - Onda electromagnética que se propaga no espaço. A radiação electromagnética resulta
da oscilação de campos eléctricos e magnéticos que se movem no espaço, à velocidade de
300000
no vazio. Os vectores campo eléctrico e campo magnético são perpendiculares entre si
e perpendiculares à direcção de propagação. A distância entre duas cristas sucessivas designa-se por
comprimento de onda. Imagem adaptada do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005].
Foi com Maxwell, Faraday e Hertz que nasceu a palavra “radiação” que significa
“emissão de luz de um qualquer comprimento de onda”.
1.2. A Teoria Electromagnética da luz - Ondas
A Teoria Electromagnética da luz surgiu como o resultado da unificação dos
fenómenos eléctrico e magnético e foi feita por James Clerk Maxwell, em 1873, quando
propôs que a luz é uma onda electromagnética.
Mas as propriedades ondulatórias da luz não podem ser discutidas sem se definir
primeiro o que é uma onda e como pode ser reconhecida.
As ondas são perturbações que se transmitem (ou propagam) através de um meio.
Há três tipos fundamentais de ondas: as ondas mecânicas, as ondas electromagnéticas
e as ondas de “matéria”.
21
São exemplos de ondas mecânicas as ondas que se propagam na água, as ondas
sonoras e as ondas sísmicas. Estas ondas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de
um meio material (sólido, líquido ou gasoso) para se propagarem.
As ondas electromagnéticas não necessitam obrigatoriamente de um meio material
para se propagarem como as ondas mecânicas. Para além de meios materiais, também se
propagam no vácuo.
De acordo com a Mecânica Quântica – uma área da Física – existem ainda as ondas de
matéria associadas a electrões, protões e outras partículas fundamentais. Estas partículas (tal
como a radiação electromagnética) têm um comportamento dual (ou seja, podem manifestarse quer como partículas quer como ondas).
Podemos ainda distinguir ondas transversais (ou transversas) de ondas longitudinais.
Uma onda que provoca uma perturbação das partículas perpendicular à sua direcção de
propagação é designada por onda transversal, como as ondas produzidas quando uma pedra
cai num lago. As ondas electromagnéticas são deste tipo, isto é, são ondas transversais.
Por outro lado, uma onda que provoca uma perturbação paralela à direcção da sua
propagação é designada por onda longitudinal, como é o caso das ondas sonoras.
Fisicamente uma onda é um impulso energético que se propaga através do espaço
(material ou não) e que é periódica no tempo.
O aspecto essencial da propagação de uma onda é o que consiste numa perturbação
auto-sustentada do meio através do qual se propaga. Se há propagação, a perturbação deve ser
expressa como função do espaço e do tempo:
,
1.2.1
O perfil mais simples de uma onda que se propaga, ao longo do tempo , no sentido
positivo do eixo
com velocidade , pode ser representado por uma função harmónica, um
seno ou um co-seno, como por exemplo:
,
Na equação 1.2.2,
sin
1.2.2
é uma constante positiva, conhecida por número de propagação
ou número de onda, que serve para produzir argumentos sem dimensões. De facto, dado que a
função seno não pode ser aplicada a grandezas com dimensões físicas, o argumento
22
terá que ser expresso em radianos. Como a função seno varia entre os valores
valor máximo da função ,
1e
1, o
é dado por , e designa-se por amplitude da onda.
Estes tipos de ondas são conhecidas como ondas sinusoidais ou ondas harmónicas,
unidimensionais neste caso.
A equação 1.2.2 é solução de uma equação mais geral que é a equação diferencial de
ondas, a uma dimensão, que se pode escrever na forma:
1
Se fixarmos o valor de
1.2.3
na equação 1.2.2, o que corresponde a “tirar uma fotografia”
à onda, obtém-se uma onda sinusoidal no espaço caracterizada por um “período espacial”
denominado por comprimento de onda , que é a distância entre dois pontos idênticos e
consecutivos pertencentes à onda. A unidade de comprimento de onda, no sistema
internacional de unidades (SI), é o metro ( ). O comprimento de onda relaciona-se com o
número de onda , segundo a expressão:
2
Por outro lado, se fixarmos o valor de
1.2.4
na mesma equação (equação 1.2.2) obtemos
uma onda periódica no tempo caracterizada por um período , que é o intervalo de tempo
necessário para que uma onda completa passe por um observador fixo, ou seja, é o tempo que
demora uma oscilação completa da onda. A unidade SI do período é o segundo ( ).
Pode-se relacionar o comprimento de onda, o período e a velocidade de propagação da
onda
pela expressão:
1.2.5
O inverso do período, que nos dá o número de ondas que passam por unidade de
tempo num ponto fixo, é designado por frequência, e representa-se normalmente por , isto é:
23
1
A unidade SI de frequência é o Hertz (
1.2.6
).
Define-se ainda a frequência angular
na unidade SI (
2
.
), como sendo:
1.2.7
Atendendo às expressões 1.2.4, 1.2.5 e 1.2.7, facilmente verificamos que podemos
exprimir a função de onda usando a frequência angular, obtendo a seguinte expressão,
equivalente à expressão 1.2.2:
,
sin
Define-se ainda a fase da onda como sendo o argumento
equação 1.2.8. Mas, se o valor de
nulo, isto é,
0,0
e de
1.2.8
da função seno, na
forem nulos o valor da função de onda é também
0, o que constitui um caso particular. Podemos generalizar a equação
1.2.8 inserindo a constante de fase
,
na função de onda:
sin
1.2.9
A constante de fase permite que a função de onda assuma um valor não nulo quando
os valores de
e forem nulos.
1.3. As Leis de Maxwell
As famosas equações de Maxwell constituem generalizações de resultados
experimentais obtidos por Michael Faraday, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) e André Marie
Ampère (1775-1836).
Faraday foi o físico que introduziu o conceito de “campo de forças”. A sua mais
significativa contribuição para o desenvolvimento da Teoria Electromagnética foi a
descoberta de que um fluxo magnético variável no tempo, através de um anel condutor, gera
uma corrente eléctrica nesse anel.
24
Define-se então fluxo de indução magnética,
, ou fluxo magnético, através do
interior de um anel condutor por:
1.3.1
Em que
magnético
é o ângulo formado entre a normal à área ( ) delimitada pelo anel e o vector campo
. De uma forma geral, o fluxo magnético através de uma superfície
limitada
por um fio condutor é dado pelo integral:
1.3.2
Em que
é um vector diferencial de superfície, perpendicular a esta.
Se o valor do fluxo magnético variar ao longo do tempo, ele induz uma força
electromotriz ( . .
.) no anel. O valor da f.e.m. induzida é dada pela lei de Faraday:
. .
O sinal negativo é simplesmente para indicar que a . .
1.3.3
. induzida é sempre oposta à
variação do fluxo magnético. A produção da electricidade que abastece as nossas casas tem
por base a lei de Faraday.
25
Ilustração 1.2 - Uma aplicação da lei de Faraday. A água ao cair faz rodar um íman o que provoca uma
variação do fluxo magnético no interior da bobine de duas espiras. Essa variação de fluxo induz uma
f.e.m. no circuito, provocando uma corrente eléctrica alternada. Adaptado de uma simulação java do
Physics Education Technology (PHET) da Universidade do Colorado:
(http://phet.colorado.edu/new/simulations/index.php?cat=Electricity_Magnets_and_Circuits)
Da generalização da Lei de Faraday resulta uma das equações de Maxwell que
estabelece que um campo magnético variável no tempo dá origem a um campo eléctrico:
·
·
. .
1.3.4
O primeiro membro da equação 1.3.4 representa o integral do campo eléctrico , num
deslocamento infinitesimal
ainda que a . .
, ao longo de um percurso fechado . A equação 1.3.4 diz-nos
. só existe como resultado da presença de um campo eléctrico, dado pelo
integral do membro da esquerda da equação. O campo eléctrico
fechado
área
qualquer resulta de um campo magnético
ao longo de um percurso
variável no tempo que flui através da
delimitada pelo percurso fechado considerado, .
Outra lei fundamental do electromagnetismo, da autoria de Karl Friedrich Gauss
(1777-1855), relaciona o fluxo do campo eléctrico através de uma superfície fechada , com a
carga eléctrica
total no seu interior:
·
26
1.3.5
O integral duplo com o anel pretende evidenciar que a superfície é fechada. O fluxo
produzido por cargas que se encontrem no exterior da superfície considerada será nulo. A
constante
é designada por permitividade eléctrica do meio. A permitividade traduz o
comportamento eléctrico do meio, sendo, de certo modo, uma medida do grau de
permeabilidade do material ao campo eléctrico em que está imerso. No caso especial do
vazio, a sua permitividade é igual a
constante de Coulomb
1.
A permitividade do vazio está relacionada com a
pela seguinte expressão:
1
1.3.6
4
Ilustração 1.3 - A lei de Gauss. O fluxo do campo eléctrico criado por cargas colocadas no interior de
uma superfície fechada é directamente proporcional ao valor da respectiva carga.
Existe também a lei de Gauss para o campo magnético, que nos diz que o fluxo do
através de uma superfície fechada
campo magnético
é zero. Isto deve-se à não existência
de monopólos magnéticos, ou seja, ao contrário do campo eléctrico, o campo magnético não
diverge de, nem converge para qualquer tipo de “carga magnética”:
·
0
1.3.7
Ou seja, se na ilustração 1.3 substituirmos a carga eléctrica, que está dentro da
superfície fechada, por um íman, as linhas de campo magnético que saem e entram nesse
volume são iguais. Não havendo monopólos magnéticos no interior do volume delimitado
pela superfície , o fluxo de indução magnética através dessa superfície será nulo.
1
8.8542
10
27
Uma outra equação de extrema importância deve-se a André Marie Ampère (17751836), remodelada por Maxwell, ficando conhecida por lei de Ampère ou Ampère-Maxwell.
Esta equação relaciona o integral do campo magnético
ao longo de uma curva fechada, ,
com a corrente total que flui através de uma qualquer superfície
·
A grandeza
cargas eléctricas,
1.3.8
·
representa a intensidade de corrente eléctrica devida ao movimento de
representa aquilo a que Maxwell chamou de “densidade de corrente de
deslocamento”. A grandeza
representa-se por
delimitada pela curva .
2.
é a permeabilidade do meio. No vazio, a permeabilidade
A equação mostra que mesmo quando
0, um campo eléctrico
variável está sempre associado a um campo magnético. Dada a complexidade da lei de
Àmpere-Maxwell (e também das restantes leis de Maxwell) sugere-se a leitura de um livro de
Electromagnetismo3 para uma melhor compreensão deste assunto.
As equações de Maxwell assumem uma forma mais simples para campos eléctricos e
magnéticos no vazio, isto é, quando
(permeabilidade do vazio) e
1.3.9
1.3.10
·
3
4
10 .
Por exemplo: Villate, 1999.
28
e são nulos:
·
2
(permitividade no vazio),
·
0
1.3.11
·
0
1.3.12
As equações de Maxwell para o vazio podem ser reduzidas a duas equações vectoriais
que envolvem equações diferenciais de segunda ordem, difíceis de resolver:
1.3.13
e
1.3.14
Estas duas equações vectoriais representam seis equações escalares, dado que o
laplaciano4, representado por
, opera sobre cada uma das componentes do campo eléctrico
e magnético . Ou seja, em coordenadas cartesianas podemos escrever, por exemplo, para a
componente
do campo eléctrico:
1.3.15
Para a componente
do campo magnético podemos escrever:
1.3.16
Podíamos ainda escrever equações semelhantes para as componentes
,
,
e
.
Estas equações, que relacionam a variação no espaço e no tempo de grandezas físicas,
descrevem fenómenos ondulatórios.
As ondas electromagnéticas podem ser produzidas por cargas eléctricas oscilantes. No
instante em que a carga eléctrica começa a oscilar, o campo eléctrico
é alterado na
vizinhança da carga. De acordo com a lei de Ampère-Maxwell este campo eléctrico, variável
com o tempo, induz um campo magnético , também variável com o tempo. De acordo com a
equação 1.3.4, um campo magnético variável no tempo induz, por sua vez, um campo
eléctrico. A variação de qualquer dos campos dá origem a um novo campo, e
e
propagam-se sob a forma de um impulso de um ponto para o outro, através do espaço. Dado
4
O laplaciano é dado por:
29
que
e
estão intrinsecamente acoplados, regenerando-se mutua e indefinidamente, devem
ser considerados como dois aspectos do mesmo fenómeno, o campo electromagnético.
Quando a perturbação electromagnética é gerada esta propaga-se sob a forma de uma onda
(electromagnética).
Considere-se o caso simples de uma onda electromagnética a propagar-se na direcção
positiva do eixo x. O campo eléctrico
magnético
tem componente única no eixo
, e o campo
tem componente segundo . Estes tipos de ondas, em que os campos eléctricos e
magnéticos são sempre paralelos a um par de eixos perpendiculares entre si, chamam-se
“ondas linearmente polarizadas”.
Ilustração 1.4 - Onda electromagnética a propagar-se segundo o eixo das abcissas. No eixo das
ordenadas (a amarelo) temos representado o campo eléctrico e no eixos das cotas (a azul) o campo
magnético.
Assume-se ainda que em qualquer ponto, as intensidades do campo eléctrico e do
campo magnético dependem apenas de
e do tempo , e não de
ou . Um grupo de ondas
deste tipo designa-se por ondas planas. Pontos de igual fase deste tipo de ondas definem uma
superfície plana, chamada frente de onda. Em comparação, uma fonte pontual de radiação
emite ondas electromagnéticas para todas as direcções e as frentes de onda, neste caso,
formam superfícies esféricas com centro na origem.
30
Ilustração 1.5 - Onda electromagnética criada por uma carga oscilante. A carga oscila na direcção do
eixo , bem como o campo eléctrico. O campo magnético é perpendicular ao eléctrico e orienta-se
segundo . A onda electromagnética propaga-se no eixo . Adaptado de uma simulação java do MIT
(http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/light/index.htm)
Usando as equações de Maxwell e considerando ondas planas, é possível obter
equações diferenciais que relacionam o campo eléctrico e o campo magnético, que não irão
ser deduzidas neste trabalho:
1.3.17
1.3.18
Notar que as derivadas são parciais porque os vectores campo eléctrico e campo
magnético têm uma variação temporal e espacial.
31
No caso de ondas planas em que o campo eléctrico
campo magnético
é sempre paralelo ao eixo
eo
toma sempre a direcção do eixo , as equações 1.3.15 e 1.3.16 ficam
reduzidas a:
1.3.19
1.3.20
Nas equações 1.3.19 e 1.3.20 os índices de
e
forma omitidos. Estas duas
equações têm a forma geral de uma equação de onda (equação 1.2.3), sendo
inverso do quadrado da velocidade de propagação da onda,
igual ao
, também designada por
constante electrodinâmica:
1
1.3.21
1
1.3.22
Um dos primeiros argumentos a favor da natureza electromagnética da luz foi a
coincidência do valor da velocidade das ondas electromagnéticas (ou constante
electrodinâmica, ) com o da velocidade da luz no vazio. Em 1849 Armand Hippolyte Fizeau
3.15
(1819-1896) mediu a velocidade da luz no vazio obtendo o valor de
10 . Em 1857 Wilhelm Weber (1804-1891) e Rudolph Kohlrausch (1809-1858)
mediram a constante electrodinâmica e obtiveram o valor
3.108
10 .
Analisando estes valores, muito próximos, Maxwell sugeriu então que a luz é uma onda
electromagnética.
A velocidade da luz passou a ser referida pela letra , do latim celer, que significa
“rápido”. Actualmente o valor medido da velocidade da luz no vazio é aproximadamente
3.00
32
10 .
As soluções mais simples das equações 1.3.19 e 1.3.20 descrevem ondas sinusoidais,
em que as intensidades dos campos, eléctrico e magnético, variam no espaço e no tempo de
acordo com as seguintes expressões:
Onde
á
e
á á
cos
1.3.23
á
cos
1.3.24
são, respectivamente, os valores máximos do campo eléctrico e do
campo magnético. Como já foi referido, quando o perfil de uma onda é representado por um
seno ou um co-seno, essa onda é conhecida por onda sinusoidal ou onda harmónica. A
grandeza , como já foi referido (equação 1.2.4), representa o número de onda que se pode
escrever na forma:
2
onde
é o comprimento de onda. A frequência angular
1.3.25
é dada por
2
em que
1.3.26
é a frequência.
A razão entre a frequência angular e o número de onda é igual à velocidade de
propagação da onda electromagnética que é igual à velocidade da luz no vazio:
1.3.27
onde é o período da onda electromagnética.
Ao escrever as expressões do campo eléctrico e do campo magnético como funções
sinusoidais da posição
e do tempo assume-se que, no vácuo:
•
A onda electromagnética propaga-se na direcção positiva do eixo ;
•
O campo eléctrico
está a oscilar paralelamente ao eixo ;
33
•
O campo magnético
O produto externo
electromagnéticas. Os campos
oscila na direcção paralela ao eixo .
indica-nos sempre a direcção de propagação das ondas
e
são então perpendiculares entre si e perpendiculares à
direcção de propagação, o que faz de um onda electromagnética uma onda transversal.
Derivando a equação 1.3.23 em ordem a
e a equação 1.3.24 em ordem ao tempo ,
obtemos, respectivamente:
á
á
sin
1.3.28
sin
1.3.29
De acordo com a equação 1.3.17 e os resultados de 1.3.28 e 1.3.29 podemos afirmar
que em qualquer instante:
á
1.3.30
á
Usando as equações 1.3.23, 1.3.24 e 1.3.30 pode-se comprovar que em qualquer
instante a razão entre a intensidade do campo eléctrico e a intensidade do campo magnético
é igual à velocidade da luz no vazio que, por sua vez, é igual à constante electrodinâmica:
1
1.3.31
1.4. Energia das ondas electromagnéticas
Uma das características mais significativas das ondas electromagnéticas é o facto de
transportarem energia.
A densidade instantânea de energia associada a um campo eléctrico, ou seja, a energia
por unidade de volume
34
é dada por [Hecht, 2002]:
1.4.1
2
E a densidade instantânea de energia associada a um campo magnético
é igual a
[Hecht, 2002]:
1
2
1.4.2
Como os campos, eléctrico e magnético, variam com o tempo, a densidade de energia
também varia com o tempo.
A densidade de energia ( ), associada à onda electromagnética, resulta da contribuição
das componentes eléctrica e magnética. Usando as relações
1⁄
e /
, obtém-
se:
1
1.4.3
É possível também determinar o fluxo de energia electromagnética, que é a energia
que flui por unidade de tempo através de uma área unitária, e que é descrito pelo vector de
Poynting
5
[Hecht, 2002]:
1
A intensidade do vector de Poynting
1.4.4
representa a potência por unidade de área que
flui através de uma superfície cuja normal é paralela a .
5
Unidade SI:
35
Vector de Poynting
Ilustração 1.6 - Numa onda electromagnética plana o vector de Poynting, , tem a mesma direcção de
propagação da onda.
Para o caso de uma onda electromagnética plana, a intensidade de
produto externo de
com
é um vector com módulo (ou norma) igual a
, dado que o
, será:
1.4.5
O valor do vector de Poynting pode ser calculado em qualquer instante, representando
uma taxa instantânea a que a energia atravessa a unidade de área.
Substituindo as expressões 1.3.23 e 1.3.24 e na expressão anterior obtém-se:
1
á
cos
á
1.4.6
Para uma onda electromagnética, pode-se ainda determinar o valor médio no tempo da
intensidade do vector de Poynting. Esse valor médio ou intensidade representa-se por
. Dado que o valor médio de cos
é [Hecht, 2002], a intensidade da onda
electromagnética é calculada por:
á
2
36
á
1.4.7
A grandeza
6
é também designada por irradiância ou energia média por unidade de
área e por unidade de tempo e é a principal grandeza observável por um instrumento de
medida, correspondendo ao conceito de “quantidade” de radiação que flui.
1.5. A lei do inverso do quadrado da distância para a intensidade das ondas
electromagnéticas
O cálculo da intensidade das ondas electromagnéticas em função da distância a que
nos encontramos da fonte é algo complexo. Mas pode-se assumir que, em algumas situações,
a fonte de ondas electromagnéticas é uma fonte pontual que emite radiação isotropicamente,
ou seja, emite com igual intensidade em todas as direcções. A radiação emitida espalha-se
radial e uniformemente em todas as direcções. As frentes de onda resultantes (superfícies
constituídas pelos pontos de igual fase) são superfícies esféricas concêntricas cujo raio
aumenta à medida que se propagam no espaço. Este tipo de ondas designam-se por ondas
esféricas, como já foi referido anteriormente.
Assumindo que a energia emitida pela fonte pontual se conserva, a quantidade total de
energia que flui através de cada superfície esférica, por unidade de tempo, deve ser a mesma
para qualquer uma e igual à energia que, por unidade de tempo, a fonte emite.
A potência por unidade de área, ou irradiância ( ), das ondas electromagnéticas, é dada
pelo quociente entre a potência,
, emitida pela fonte pontual
4
de tempo), e a área da superfície esférica,
4
, onde
(energia emitida por unidade
é o raio da superfície esférica:
1.5.1
A expressão anterior diz-nos que a potência por unidade de área da radiação
electromagnética emitida por uma fonte isotrópica diminui com o quadrado da distância
à
fonte.
6
Unidade SI:
37
Frente de onda
4
4
Ilustração 1.7 - A lei do inverso do quadrado da distância para a intensidade da radiação
electromagnética. Imagem adaptada do site http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse-square_law.
1.6. Espectro Electromagnético
Em meados do século XIX, na época de Maxwell, as únicas ondas electromagnéticas
conhecidas eram as correspondentes à luz visível, à luz infravermelha e à ultravioleta.
Continuando o trabalho de Maxwell, Hertz descobriu as ondas rádio (ondas hertzianas) e
verificou que a sua velocidade de propagação era igual à velocidade das ondas visíveis.
O espectro foi-se “alargando”, sendo agora constituído também pelos raios X e pelos
raios
(gama), por exemplo.
O Homem vive imerso num mar de ondas electromagnéticas. A principal fonte é o Sol
que emite radiação visível com maior intensidade, mas também radiação infravermelha e
ultravioleta, menos intensamente. Estamos também rodeados de ondas de rádio e sinais de
televisão, microondas emitidas por radares e utilizadas nas telecomunicações móveis,
radiação infravermelha emitida pela superfície da Terra (que provoca o efeito de estufa por
interacção, principalmente, com o vapor de água e o dióxido de carbono existentes na
atmosfera terrestre). Existem ainda as máquinas de raios X, e os decaimentos radioactivos que
emitem radiação , para além de muitas outras fontes de radiação electromagnética.
O espectro electromagnético reúne todas as ondas electromagnéticas que se conhecem,
desde as menores frequências – ondas de rádio – às maiores frequências – raios . As ondas
electromagnéticas que os nossos olhos podem detectar constituem apenas uma pequena banda
do espectro electromagnético.
38
Menor comprimento
de onda
Raios
Raios X
Raios ultravioleta (UV)
Luz visível
Radiação infravermelha
Microondas
Maior comprimento
de onda
Ondas de rádio
Ilustração 1.8 – O espectro electromagnético. Os comprimentos de onda da radiação são medidos no
vazio. Imagem adaptado do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005].
Habitualmente o espectro electromagnético é apresentado dividido em várias bandas
em que se indicam a gama de frequências e/ou de comprimentos de onda correspondentes.
Todas as ondas electromagnéticas viajam no espaço vazio à mesma velocidade
10 3.0
, que é a velocidade da luz.
Ao mudar de meio de propagação uma onda electromagnética mantém a sua
frequência mas a sua velocidade de propagação sofre uma variação. De acordo com a
expressão
, o comprimento de onda também varia.
Quando for referido o comprimento de onda de algum tipo de radiação, considera-se
que as ondas se estão a propagar no vazio.
Vejamos a seguir algumas das características da radiação electromagnética, em várias
bandas de frequência.
Ondas de rádio - As ondas de rádio têm frequências que variam desde alguns Hertz
até aproximadamente 10 até mais ou menos 30 , ou seja, comprimentos de onda que vão desde os quilómetros
. Normalmente estas ondas são produzidas por circuitos eléctricos.
Por exemplo, a corrente eléctrica alternada que circula em nossas casas (cuja frequência é
cerca de 60 ) produz ondas electromagnéticas com comprimentos de onda de
5
39
10 . Teoricamente não existe limite superior ao comprimento de onda. Aliás, já foram
detectadas na Terra ondas electromagnéticas com um comprimento de onda superior a 28
milhões de quilómetros vindas do espaço exterior. Esta gama de frequências do espectro
electromagnético assume também grande importância nas emissões de rádio e televisão,
principalmente a banda de maiores frequências.
Microondas - As Microondas são ondas electromagnéticas cujas frequências se
estendem desde os 10 variam entre os 30 até aproximadamente 3
e 1.0 10 . Os comprimentos de onda
. As microondas têm uma especial importância na
Astronomia visto que correspondem a comprimentos de onda que conseguem penetrar na
Opacidade da
atmosfera terrestre
atmosfera terrestre (ver ilustração 1.9).
Atmosfera é
opaca
Raios X
Atmosfera
é opaca
Atmosfera é
opaca
UV
IV
Microondas
Ondas de rádio
Luz visível
Ilustração 1.9 - Radiação que consegue penetrar na nossa atmosfera. Adaptado do site da Wikipédia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_spectrum.
Para além da luz visível, há uma parte da banda de microondas e das ondas de rádio
que facilmente atravessam a atmosfera terrestre e atingem a superfície da Terra. É por esta
razão que as microondas são utilizadas nas comunicações com veículos espaciais e pelos
radioastrónomos. Muita informação relativa à estrutura da nossa e de outras galáxias foi
obtida graças a este tipo de radiação. Por exemplo, a detecção da radiação de 21
(1420
)
emitida pelos átomos de Hidrogénio neutro, permitiu constatar que existem vastas regiões
galácticas constituídas por aquele gás. Foi também nesta gama de frequências que se detectou
a Radiação Cósmica de Fundo. Este assunto será abordado nos capítulos 2 e 3 deste
trabalho. Outra aplicação importante são os fornos de microondas, que servem para aquecer as
moléculas de água dos alimentos, emitindo radiação de comprimento de onda de 12.2
(2.45
40
10
). São utilizadas também na transmissão de conversas telefónicas e de
televisão, na orientação de aviões, e na detecção de condutores em excesso de velocidade (por
radar), por exemplo.
Radiação Infravermelha - A radiação infravermelha foi pela primeira vez detectada
pelo astrónomo Sir William Herschel (1738-1822) em 1800. Herschel fez passar a luz solar
através de um prisma e colocou um termómetro ao lado da cor vermelha do espectro visível.
Este termómetro registou um aumento de temperatura, indicando que esteve exposto a uma
forma invisível de luz, a radiação infravermelha. Esta banda do espectro electromagnético
estende-se desde os 3
cerca de 780
7.
10
até aproximadamente 4
10
, ou seja, desde 1.0
até
As moléculas de qualquer objecto com uma temperatura acima do zero
273,15 ) emitem radiação infravermelha. Estas ondas electromagnéticas
absoluto (0
são emitidas, com grande intensidade, num espectro contínuo, por “corpos quentes”, como
alguns aquecedores e as lâmpadas de incandescência. Cerca de metade da energia emitida
pelo Sol é infravermelha. O próprio corpo humano e outros animais radiam ondas
electromagnéticas infravermelhas, ainda que com fraca intensidade. É através da detecção
desta radiação que alguns animais se guiam durante a noite, conseguindo detectar radiação
que o olho humano não consegue. A detecção de radiação infravermelha é por isso aplicada
em dispositivos de visão nocturna e também na orientação de mísseis. Dado que a nossa
atmosfera é bastante opaca na região infravermelha do espectro electromagnético, em
Astronomia são utilizados satélites-telescópios para detectar e estudar este tipo de radiação
que nos chega do espaço. Basta haver uma pequena diferença de temperatura entre um objecto
e a sua vizinhança para resultar emissões características de infravermelhos que podem ser
utilizadas desde a detecção de tumores cerebrais e do cancro da mama, até sistemas de
segurança anti-roubo.
Luz visível - A estreita banda do espectro electromagnético que os nossos olhos
podem detectar designa-se por luz visível ou, simplesmente, luz. A gama de frequências vai,
aproximadamente, desde os 3.84
10
aos 7.69
intervalo de comprimentos de onda entre os 780
10
e os 390
, correspondendo a um
, respectivamente.
Issac Newton foi o primeiro a reconhecer que a luz branca é constituída por todas as
cores do espectro visível. Para isso, fez incidir luz solar através de um prisma e conseguiu
separá-la nas suas diferentes cores; as cores que se vêem no arco-íris. Este fenómeno designase por dispersão da luz. Até à interpretação de Newton, pensava-se que o prisma, de alguma
7
1 1
10 41
forma, adicionava cores à luz branca. Para testar esta ideia, Newton colocou um segundo
prisma de modo a que apenas uma cor o atravessasse.
No alvo observa-se o espectro de luz visível
Luz branca
O prisma dispersa a
luz branca
O alvo deixa apenas
atravessar o amarelo
Luz
branca
O primeiro prisma
dispersa a luz branca
O segundo prisma desvia
apenas o amarelo
Ilustração 1.10 - A dispersão da luz branca. Quando se faz incidir luz branca (luz solar, por exemplo)
num prisma consegue-se a sua dispersão, que consiste na separação das várias cores que a constituem.
Adaptado do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005].
Newton verificou que cada cor do espectro permanecia inalterada ao atravessar o
segundo prisma. Concluiu então que um prisma apenas separa as cores e não adiciona
qualquer cor extra. A luz solar é uma mistura de todas as cores do arco-íris.
Na tabela 1.1, encontram-se os intervalos de comprimentos de onda (em
respectivas frequências (em
8
1 42
10
8),
para as várias cores, no vazio.
) e
Cor
/
/
Vermelho 780-622 384-482
Laranja
622-597 482-503
Amarelo
597-577 503-520
Verde
577-492 520-610
Azul
492-455 610-659
Violeta
455-390 659-769
Tabela 1.1 - Intervalos de comprimento de onda e frequência para as várias cores [Hecht, 2002].
A cor não é uma propriedade da luz mas sim uma manifestação electromagnética do
sistema sensorial – olho, nervos e cérebro. Correctamente deve-se dizer que “a luz é vista
como branca” em vez de “a luz é branca”. O Homem percepciona o branco como uma
mistura de várias frequências, normalmente com energias semelhantes em cada intervalo de
frequências. Mas, existem vários pares de feixes luminosos que produzem a sensação de cor
branca. Por exemplo, basta um feixe luminoso de 656 sobreposto com um feixe luminoso de 492
(correspondente ao vermelho)
(azul ciano) para criar a sensação de branco.
As cores constituem respostas subjectivas, fisiológicas e psicológicas do homem a frequências
indicadas na tabela 1.1. A radiação visível parece colorida quando a distribuição da energia de
um feixe luminoso não é equitativa, relativamente a todo o espectro visível.
No século XIX, Thomas Young, mostrou que a sensação de luz branca pode ser obtida
por sobreposição de três feixes luminosos que constituem as cores primárias. Cada cor
primária não tem de ter uma só frequência, ou seja, não tem de ser monocromática. Não
existe, portanto, um único conjunto de cores primárias. As que são utilizadas com mais
frequência são o vermelho (R, do inglês red), o verde (G, do inglês green) e o Azul (B, do
inglês blue). Sobrepondo estas cores primárias duas a duas, é possível obter outras cores. Por
exemplo, um feixe de luz vermelha sobreposto a um feixe de luz verde provoca,
surpreendentemente, uma percepção sensorial de amarelo, mesmo que não haja quaisquer
frequências na banda do amarelo.
A ilustração 1.11 resume os resultados que se obtêm quando aquelas três cores
primárias se sobrepõem em todas as combinações possíveis. O vermelho e o azul dão origem
à cor magenta (M, do inglês magenta); o vermelho e o verde dão origem, como já foi referido,
43
ao amarelo (Y, do inglês yellow) e o azul e o verde dão origem ao azul ciano (C, do inglês
cyan). A sobreposição das três origina o branco (W, do inglês white).
Ilustração 1.11 - A síntese aditiva das cores primárias. Imagem retirada do site:
http://www.escultopintura.com.br/Tutoriais/Tutorial_Iluminando/Luz_Cor/Luz_Cor.htm.
As cores primárias (RGB) são usadas nos ecrãs de televisão e a sua combinação, em
diferentes intensidades, produz todas as cores que podemos observar.
Pode-se ainda definir cores complementares como sendo o conjunto de duas cores que,
por sobreposição em iguais intensidades, permitem obter o branco. Os pares, magenta e verde;
amarelo e azul e azul ciano e vermelho são cores complementares.
O facto de a sobreposição de cores com frequências diferentes evocar a mesma cor ao
nosso sistema sensorial olho-cérebro é, sem dúvida, surpreendente. Aparentemente o nosso
cérebro constrói a “média” do que recebe e “vê” cores que correspondem a frequências que
nada têm a ver com o observado.
Radiação ultravioleta - a radiação ultravioleta foi descoberta por Johann Wilhelm
Ritter (1776-1810) sendo uma banda que se estende desde aproximadamente 7.69
10
até cerca de 3.4
10
390
, respectivamente. Apesar de o olho humano não conseguir detectar este
aos 8.8
. Corresponde a uma gama de comprimentos de onda que vai dos
tipo de radiação, alguns insectos, como as abelhas; os pombos e outros animais são capazes
de utilizar este tipo de radiação para se orientarem.
Raios X - Os raios X foram acidentalmente descobertos em 1895 por Wilhelm Conrad
Rontgen (1845-1923). Esta banda do espectro electromagnético estende-se, em frequência,
entre cerca de 3.4
44
10
e 5.0
10
, correspondendo, em comprimentos de onda, a
um intervalo entre os 8.8
e os 0.006
, respectivamente. Os aparelhos usuais de
“radiografias” utilizam os raios X para formarem as imagens de, por exemplo, fracturas de
ossos. Os detectores de raios X são também muito utilizados em Astronomia, como por
exemplo, na observação do Sol, quasares, enxames de galáxias, etc. Estes detectores são
colocados em telescópicos orbitais dado que a nossa atmosfera também é, felizmente, opaca
aos raios X.
Raios
- Os raios
(raios gama) constituem a gama de radiações de mais elevada
frequência e, portanto, menor comprimento de onda. Têm frequências que vão desde os
5.0
10 0.006 até mais de 10 , ou seja, comprimentos de onda menores do que
. Os raios gama são emitidos por partículas que sofrem transições no interior dos
núcleos atómicos. Para além dos efeitos imediatos de uma explosão atómica (em que ocorre
fissão nuclear), os raios gama libertados aumentam enormemente o risco de tumores
cancerígenos e outras complicações em caso de exposição a este tipo de radiação por parte do
Homem.
1.7. As propriedades da luz
A luz ao interagir com a matéria pode manifestar-se de várias formas. As ondas
electromagnéticas podem viajar tanto no vazio como em meios materiais e a sua interacção
com a matéria pode ser observada. As suas propriedades observáveis, que podem ser a
reflexão, a difusão, a refracção, a transmissão, a difracção, a interferência, a dispersão, a
absorção e a polarização mostram a natureza dual da luz. Vamos ver que a luz tem um
comportamento ondulatório como todas as ondas electromagnéticas, mas também se
comporta como uma partícula em determinadas condições, como quando interage com a
matéria. Daí dizer-se que existe uma dualidade onda/partícula no que diz respeito às
propriedades da luz.
Reflexão e difusão da luz - A reflexão (ou reflexão regular) da luz é um processo que ocorre
quando as ondas electromagnéticas atingem uma superfície polida ou espelhada, e se formam
novas ondas que se afastam dessa superfície. Essa superfície é uma fronteira entre dois meios
diferentes, um dioptro, como os interfaces ar-vidro ou ar-água. Da energia incidente sobre a
superfície, grande parte é reflectida, mas há sempre uma parte que é absorvida pelo material
(contribuindo para o aumento da sua energia interna) e outra parte que é transmitida pelo
material, ou seja, atravessa o material sem qualquer interacção com este.
45
Para se poder visualizar de uma forma simples a propagação da luz (sem recurso à
representação de frentes de onda) é vulgar fazermos uma representação com raios luminosos.
Num meio que tenha as mesmas propriedades em todas as direcções, “meio isotrópico”, os
raios luminosos são perpendiculares às frentes de onda. O estudo das propriedades da luz
usando essa aproximação é chamado de óptica geométrica. “Um raio luminoso é uma linha
traçada no espaço com a direcção de propagação do fluxo de energia radiante” [Hecht,
2002].
Quando um raio de luz incidente faz com um certo ângulo
com a direcção normal
um ângulo
incidência
(ângulo de incidência)
à superfície, o raio reflectido (contido no plano de incidência), faz
(ângulo de reflexão) com a normal, sendo este ângulo igual ao ângulo de
.
Raio incidente
Raio reflectido
Espelho
Ilustração 1.12 - A reflexão da luz por uma superfície espelhada.
A velocidade da luz num meio, como o vidro, a água ou o ar, pode ser caracterizada
pelo índice de refracção
que se define como a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a
velocidade da luz no meio :
1.7.1
É devido à reflexão da luz que conseguimos ver imagens ao espelho.
Quando a reflexão ocorre numa superfície polida designa-se por reflexão regular da
luz, e é diferente da reflexão difusa (ou difusão), a qual ocorre em materiais rugosos. Na
46
difusão da luz não há formação de imagens. Podemos dar diversos exemplos de reflexão
difusa:
•
A reflexão da luz pelas páginas de um livro;
•
A reflexão que ocorre numa estrada, que permite ao condutor vê-la à noite. Uma parte
da luz emitida pelos faróis do automóvel, ao encontrar a superfície de alcatrão, é
reenviada para a frente do carro, mas outra parte é reenviada para trás, para os olhos
do condutor (ver ilustração 1.13).
Ilustração 1.13 - Reflexão difusa da luz por uma superfície rugosa, como o alcatrão. (Imagem retirada
do site: http://sol.sci.uop.edu/~jfalward/physics17/chapter12/chapter12.html)
•
Quando se observa o pôr-do-Sol (sobre o mar, por exemplo), verifica-se que ocorre
difusão da luz e não reflexão da luz.
Ilustração 1.14 – No pôr-do-Sol observa-se a difusão da luz (figura da esquerda) e não reflexão regular
da luz (figura da direita). (Imagem retirada do site:
http://sol.sci.uop.edu/~jfalward/physics17/chapter12/chapter12.html)
Refracção da luz - Quando um feixe luminoso atinge uma superfície há uma parte da energia
que penetra no segundo meio. A mudança de direcção dos raios luminosos, quando passam de
um meio para outro, é o que se designa por refracção.
A luz muda de direcção devido ao facto da velocidade de propagação também variar.
Uma vez que a frequência da radiação no segundo meio é igual à da radiação incidente, o
47
comprimento de onda da luz refractada é diferente do da luz incidente. Se
comprimento de onda de determinada radiação no vácuo, o comprimento de onda
mesma radiação, num meio de índice de refracção
da
é:
⁄
1.7.2
Uma expressão também muito útil, que relaciona o ângulo de incidência
luminoso e o ângulo de refracção
for o
de um raio
do raio refractado, com os índices de refracção dos
dois meios, é a que traduz a lei de Snell-Descartes e é dada por [Hecht, 2002]:
sin
sin
1.7.3
Raio incidente
Raio refractado
Ilustração 1.15 - A refracção da luz.
Na expressão 1.7.3
e
são, respectivamente, os índices de refracção do primeiro e
segundo meios, como também se pode observar pela ilustração 1.15.
Difracção e Interferência – A interferência é a combinação, por sobreposição, de duas ou
mais ondas que se encontram num ponto do espaço. A interferência dá origem a uma
perturbação que é igual à soma das contribuições das ondas individuais envolvidas. Por
48
exemplo, quando se combinam duas ondas harmónicas (já vimos que as ondas
electromagnéticas podem ser representadas por ondas harmónicas ou sinusoidais) com o
mesmo comprimento de onda, a onda resultante é uma onda harmónica cuja amplitude
depende da diferença de fase das duas ondas iniciais. Se a diferença de fase for nula, ou
múltipla de 2 , as ondas estão em fase e a interferência diz-se construtiva. Em cada
ponto a onda resultante é igual à soma dos valores individuais. Se a diferença de fase for
, ou qualquer múltiplo ímpar desse valor (neste caso as ondas estão em oposição de
fase), as ondas tendem a anular-se reciprocamente, e a interferência diz-se que é destrutiva.
Na figura da ilustração 1.16 temos representado duas fontes pontuais de ondas (por exemplo,
ondas na superfície da água dentro de uma tina) em fase. É possível observar, nalgumas
regiões, um padrão de interferência bem marcado, com vales (zonas mais escuras) e cristas
(zonas claras) bem definidos. Em outras regiões a sobreposição provoca aniquilação total ou
parcial das ondas que estão a interferir.
Ilustração 1.16 – Interferências de ondas geradas por duas fontes pontuais em fase. (Imagem adaptada
do site: http://www.colorado.edu/physics/2000/schroedinger/index.html)
A difracção ocorre quando uma parte da frente de onda encontra uma barreira (ou
obstáculo) com dimensões próximas do seu comprimento de onda e contorna-a. A difracção
ocorre para ondas de todo o tipo, incluindo, como é óbvio, as ondas electromagnéticas.
49
Ilustração 1.17 – Difracção de um conjunto de ondas planas através da abertura da barreira. (Imagem
retirada do site: http://en.wikipedia.org/wiki/Diffraction)
Em 1801, Thomas Young provou experimentalmente que a luz tem um
comportamento ondulatório. Demonstrou que a luz sofre os fenómenos de difracção e
interferência, tal como as ondas sonoras, por exemplo. Na figura da ilustração 1.18 temos
esquematizada a experiência de Young. Ele fez incidir luz de uma só cor (monocromática)
sobre um alvo (primeiro alvo) com uma fenda. A luz é difractada pela fenda
, que funciona
como uma fonte pontual de luz que emite frentes de onda semi-circulares. Quando a luz chega
ao segundo alvo, é difractada pelas fendas
e
, que também funcionam como fontes
pontuais de luz. As ondas luminosas que saem das fendas do segundo alvo vão então
interferir, formando um padrão de interferência com máximos e mínimos que se podem
visualizar no terceiro alvo. Tirando uma “foto” ao terceiro alvo (figura da direita da ilustração
1.18) é possível ver as bandas claras correspondentes aos máximos de interferência e as
bandas escuras correspondentes aos mínimos.
50
Primeiro alvo
Segundo alvo
Terceiro alvo
Ilustração 1.18 – A experiência de Young. A imagem da direita corresponde a uma “fotografia” tirada
ao padrão de interferência que se forma no terceiro alvo [Halliday/Resnick/Walker, 2001].
Polarização – Já foi referido que uma onda electromagnética é linearmente polarizada
quando os vectores campo eléctrico
e campo magnético
mesma direcção, por exemplo segundo o eixo
dá a direcção e sentido da propagação é
estão orientados sempre na
e o eixo , respectivamente. O vector que nos
(cujo módulo se define pela relação 1.3.25) e que,
neste caso, teria a direcção do eixo . O plano definido pelo campo eléctrico
de ondas
e pelo vector
chama-se plano de polarização.
As ondas electromagnéticas emitidas por uma antena de televisão são polarizadas, mas
as ondas electromagnéticas emitidas por fontes luminosas como o Sol ou uma lâmpada de
incandescência são não polarizadas. Ou seja, o campo eléctrico em qualquer ponto é sempre
perpendicular à direcção de propagação da onda mas muda a sua direcção é variável.
Quando um observador se coloca de frente para uma onda com polarização linear ele
pode observar que o campo eléctrico está sempre na mesma direcção. Mas existem situações
em que o vector
roda com uma frequência angular
. Quando a onda se propaga de um
comprimento de onda , o vector campo eléctrico executa uma rotação e diz-se que a onda
tem uma polarização circular. A polarização linear e a polarização circular podem ser
considerados casos particulares da polarização elíptica. Então, no caso mais geral, à medida
51
que o vector campo eléctrico roda, a sua amplitude varia. Durante a rotação, a extremidade do
vector
descreve uma elipse num plano perpendicular ao vector .
Dispersão - A dispersão da luz resulta da dependência que existe entre o índice de refracção e
a frequência da radiação. Quando um feixe de luz branca incide, sob um certo ângulo, sobre
um prisma de vidro, as várias frequências das ondas electromagnéticas têm desvios diferentes.
Os comprimentos de onda mais curtos (maiores frequências), na região do violeta, apresentam
ângulos de refracção ligeiramente maiores do que os ângulos de refracção correspondentes a
maiores comprimentos de onda (menor frequência), na região do vermelho. Por isso, os
comprimentos de onda menores são mais desviados do que os comprimentos de onda maiores.
O feixe de luz branca é então separado, ou dispersado, nos seus comprimentos de onda, ou
cores, que o constituem. Este fenómeno pode ser observado quando se forma o arco-íris. Foi
devido à dispersão da luz num prisma que Issac Newton mostrou que a luz branca era uma
mistura de várias frequências ou comprimentos de onda, cada um correspondendo a uma cor
(ver ilustração 1.10).
1.8. A radiação de corpo negro e os primeiros passos para a Teoria Quântica da
luz
A Teoria Electromagnética da luz é capaz de explicar, nos seus aspectos principais,
todos os fenómenos relacionados com a propagação da luz. No entanto, não é razoável na
explicação dos processos de emissão e absorção, em que os fenómenos de interacção entre
matéria e radiação se manifestam.
As leis que explicam estes processos de interacção entre a radiação e a matéria são um
dos objectos de estudo da Física Atómica e da Física Quântica. Tudo começou com a
observação do espectro solar, no qual Josef Fraunhofer (1787-1826) constatou a existência de
riscas negras, interpretadas em 1861 como sendo riscas de absorção. Esta interpretação foi
dada com base nas experiências de Robert W. Bunsen (1811-1899) e Gustav Kirchhoff (18241887), que concluíram que o espectro de luz contínua emitida pelo Sol, atravessando os gases
mais frios da sua atmosfera, perde, por absorção, aqueles comprimentos de onda que
aparecem no espectro de emissão dos respectivos gases. Esta descoberta permitiu que se
iniciasse a análise espectral, que é baseada no facto de cada elemento químico ter um espectro
de emissão/absorção característico. A análise espectral constitui a base empírica para a Física
52
atómica e molecular, mas desenvolveu-se paralelamente à investigação da natureza da luz que
conduziu à Teoria Quântica, inicialmente formulada por Max Planck (1858-1947) em 1900.
1.9. Algumas considerações matemáticas da teoria da radiação
Considere-se um elemento de superfície
pela radiação que atravessa
segundo o ângulo sólido
intervalo de frequências de
com normal
num certo intervalo de tempo
. A energia transportada
fazendo um ângulo
(caracterizado pelos ângulos polares
a
e
com
), considerando um
é:
,
cos
1.9.1
Ilustração 1.19 - A definição da intensidade da radiação [Unsold e Baschek, 1991].
Essa energia, por unidade de tempo, é proporcional à amplitude do intervalo de
frequências
, à área projectada na direcção perpendicular a
sólido considerado
9
(
sin
(
cos ) e ao ângulo
).
Ao factor de proporcionalidade chama-se intensidade específica da radiação,
para a frequência , que é função de
quantidade
,
e da direcção observada, ou seja, dos ângulos
,
,
e .A
é, portanto, a energia de radiação que flui por unidade de tempo; por
unidade de intervalo de frequência e por unidade de ângulo sólido na direcção
e
; através
da unidade de área perpendicular a essa direcção. As unidades da intensidade específica da
radiação, no Sistema Internacional, são: 9
.
Em steradianos (
53
Pode-se relacionar a distribuição espectral desta energia com o intervalo de
comprimento de onda em vez do intervalo de frequências. Como é óbvio a quantidade total de
energia mantém-se, então pode-se escrever:
1.9.2
Como
, em que
radiação, então
é o valor da velocidade da luz e
o comprimento de onda da
0, e facilmente se chega a:
1.9.3
Pode-se ainda calcular a intensidade específica total integrando a intensidade
específica para todas as frequências (ou comprimentos de onda):
1.9.4
como sendo o valor médio da intensidade,
Define-se intensidade média da radiação
considerando todos os ângulos sólidos:
,
,
Ω
sin
sin
1.9.5
1
4
,
Se o campo de radiação for isotrópico,
depende dos ângulos
não depende da direcção, ou seja, não
e , sendo igual à intensidade média da radiação:
54
sin
sin
sin
1.9.6
Define-se fluxo de radiação na direcção
como sendo a energia da radiação
correspondente a uma banda unitária de frequência, que por unidade de tempo atravessa o
elemento unitário de área
[Unsold e Baschek, 1991]:
1.9.7
cos
Podemos ainda considerar separadamente as duas componentes do fluxo, isto é, o
fluxo emergente, ou fluxo para o exterior
e o fluxo imergente, ou fluxo para o interior
:
⁄
cos
sin
1.9.8
cos
sin
1.9.9
⁄
O fluxo total de radiação10 é dado por:
1.9.10
Define-se ainda a densidade específica monocromática de radiação,
como sendo a energia da radiação que atravessa um elemento de volume
intervalo de frequências
de área
,
, para um
. Considere-se então que temos radiação a atravessar o elemento
com uma intensidade
certo intervalo de tempo
, em contida num ângulo sólido
, perpendicular a
a radiação atravessa o elemento de volume
. Num
(ilustração 1.20).
10
Unidade SI:
55
Ω
Ilustração 1.20 - Num certo intervalo de tempo , a radiação ocupa um volume
, em que
é o elemento de área perpendicular à direcção de propagação da radiação [Karttunen et al., 1996].
De acordo com a expressão 1.9.1 podemos então escrever (
incide perpendicularmente a
0, porque a radiação
):
1
Ω
Ω
A energia por unidade de volume para um intervalo de frequências
específica monocromática da radiação
, ou densidade
, será então dada por:
1
Integrando a quantidade
1.9.11
Ω
1.9.12
para todas as direcções e admitindo que o campo de
radiação é isotrópico, é possível obter a seguinte relação:
1
4
1.9.13
A densidade total de energia será (fazendo uma integração da relação 1.9.13 para todo
o espectro):
1.9.14
56
A densidade de fotões11
relaciona a intensidade da radiação com o número
correspondente de fotões. Dado que a energia de um fotão é dada por
Einstein), em que
de radiação
(relação de Planck-
é a constante de Planck, pode-se obter o fluxo de fotões a partir do fluxo
substituindo
por
⁄
na expressão 1.9.7.
Da mesma forma, a densidade de fotões relaciona-se com a densidade específica
monocromática da radiação
por:
4
1.9.15
A densidade total de fotões é determinada por:
4
1.9.16
1.10. História da equação de Max Planck e o nascimento da Mecânica Quântica
Considere-se uma superfície plana sobre a qual incide radiação electromagnética. Nos
dois casos extremos, a radiação pode ser completamente reflectida (reflector perfeito) ou a
radiação pode ser completamente absorvida (absorsor perfeito). Um absorsor perfeito é
também um emissor perfeito. Quanto mais energia absorve mais energia reemite, no entanto,
não necessariamente com o mesmo comprimento de onda da radiação absorvida. A um
absorsor perfeito chama-se corpo negro. Um corpo negro ou “radiador” perfeito é, portanto
um corpo que absorve toda a radiação que sobre ele incide.
Em finais do século XIX, cerca de um século depois de, em 1792, o ceramista Thomas
Wedgwood (1771-1805) ter descoberto a radiação de corpo negro (verificou que, quando a
matéria bruta era cozida no forno, mudava de cor vermelha para o amarelo e para o branco, à
medida que a temperatura subia), um dos fenómenos mais intrigantes estudado era o da
distribuição espectral da radiação de corpo negro. Esta e outras questões relacionadas com as
propriedades da radiação em equilíbrio térmico com a matéria estiveram na origem da Teoria
Quântica e da interpretação da radiação em termos de fotões.
11
O conceito de fotão será abordado nas próximas secções.
57
Por volta de 1890 fora estabelecido que as propriedades da radiação em equilíbrio
térmico com a matéria dependiam apenas da temperatura.
O final do século XIX foi marcado pela tentativa de determinar a fórmula que dá a
“quantidade” de radiação emitida por segundo, e por metro quadrado, a um comprimento de
onda qualquer, por um corpo totalmente absorvente. A radiação deste género é geralmente
chamada de “radiação de corpo negro”, e é caracterizada por uma distribuição definida de
energia por comprimento de onda, dada por uma fórmula universal que depende apenas da
temperatura. Nos anos que sucederam a 1890 foi a determinação precisa dessa fórmula,
encontrada por Max Karl Ernst Ludwing Planck, que mais entusiasmou os Físicos da altura.
Uma das primeiras pessoas a tentar compreender a dependência da luz emitida na
forma e natureza do corpo, e no comprimento de onda e temperatura, foi Gustav R. Kirchhoff.
Levantou pela primeira vez esta questão em 1859 e descobriu o carácter universal da lei da
radiação. Nesse mesmo ano apresentou perante a Academia de Berlim o trabalho “sobre a
relação entre a emissão e absorção de calor e luz”, em que provou que, para luz do mesmo
comprimento de onda e à mesma temperatura, a razão entre o coeficiente de emissão,
(quantidade de energia da radiação emitida por unidade de área e por unidade de tempo), e o
coeficiente de absorção,
(fracção de energia incidente sobre o corpo e que é absorvida), é a
mesma para todos os corpos. A relação estabelece que, para quaisquer corpos em equilíbrio
térmico trocando radiação com comprimento de onda λ , é válida a seguinte equação:
1.10.1
Esta proporcionalidade já tinha sido anteriormente verificada, em 1833, por W.
Ritchie. O coeficiente de emissão
é então a energia emitida por unidade de área, e por
unidade de tempo, do corpo ; e o coeficiente de absorção
que é absorvida pela superfície do corpo . Os valores de
é a fracção de energia incidente
e
referem-se, obviamente, ao
corpo .
Supondo agora que um dos corpos da experiência de Ritchie tem um coeficiente de
absorção de
1, ou seja, o corpo
, absorve toda a radiação que incide sobre ele – é um
“corpo negro”. A relação 1.10.1 fica reduzida a:
1.10.2
58
Para qualquer corpo
,
. Assim o corpo negro emite mais energia, por unidade de
área e unidade de tempo, do que qualquer outro corpo .
Num segundo artigo, Kirchhoff introduziu a noção de um “corpo perfeitamente negro”
e mostrou que a energia emitida por unidade de área e por unidade de tempo por um corpo
negro depende apenas da temperatura e da frequência (ou comprimento de onda) da radiação,
tal que:
,
,
onde
1.10.3
é uma função universal que não depende da forma, tamanho e composição
química do corpo.
Nas décadas de 60, 70 e 80 do século XIX, os trabalhos experimentais,
nomeadamente, de John Tyndall (1820-1893), André P. P. Crova e Samuel Langley (18341906) demonstraram algumas características da radiação térmica emitida por um corpo.
Reconheceram a forma assimétrica da curva de distribuição espectral da intensidade da
radiação em função do comprimento de onda; constataram que há um desvio do máximo da
função para menores comprimentos de onda quando a temperatura do corpo aumenta, e que
quanto maior a temperatura do corpo mais rápido é o decréscimo da função para pequenos
comprimentos de onda (à esquerda do máximo). Langley foi mais longe conseguindo prever
os máximos da função de distribuição espectral para algumas substâncias.
Em 1879, Josef Stefan (1835-1893), constatou que a energia total emitida, por unidade
de volume, por um corpo negro, ou densidade total de energia,
,
, era proporcional
à quarta potência da temperatura medida na escala Kelvin:
,
1.10.4
Esta lei foi demonstrada posteriormente por Ludwing Boltzman (1844-1906) em 1884
e confirmada experimentalmente por Otto Lummer (1860-1925) e Ernst Pringshein (18591917). Ficou conhecida pela lei de Stefan-Boltzman. O primeiro valor numérico da constante
foi obtido pelas medições de Ferdinand Kurlbaum (1857-1927) em 1898, chegando ao
valor de
7.1
10
.
59
Mas a lei de Stefan-Boltzman era incapaz de determinar a densidade de energia para
uma frequência definida,
, ou seja, para radiação monocromática. Nesta altura o desafio
,
seria encontrar a expressão para a quantidade
, em função da frequência e da
temperatura.
Um passo importante na solução deste problema foi dado por Wilhem Wien (18641928). Em 1893, Wien demonstrou a lei do deslocamento, que estabelece que a distribuição
espectral da densidade de energia ,
– energia emitida por unidade de volume – é dada
pela relação:
1.10.5
,
Em que
é uma função que depende apenas da razão entre a temperatura absoluta
e a frequência .
A densidade de energia pode ainda ser escrita em função do comprimento de onda. Se
e
se referem ao mesmo intervalo do espectro:
,
Derivando a expressão
,
1.10.6
obtém-se:
0
1.10.7
1.10.8
A equação de Wien em função do comprimento de onda será então:
,
A função
,
possui um único máximo. Wien demonstrou que esse máximo
ocorre para um comprimento de onda
relação:
60
1.10.9
que depende da temperatura do corpo através da
1.10.10
A origem do nome lei do deslocamento deve-se ao facto de que o comprimento de
onda, no qual a função de densidade de energia é máxima, variar com a temperatura de acordo
com a relação 1.10.10. O primeiro valor da constante , obtido por Lummer e Pringsheim, foi
2.94
10 .
Wien propôs ainda que a função
Onde
e
⁄
deveria ter a forma:
⁄
1.10.11
são parâmetros universais a serem determinados a partir dos dados
experimentais.
A distribuição espectral de Wien teria portanto a forma:
,
⁄
1.10.12
Esta expressão descreve razoavelmente o comportamento radiativo de um corpo
negro, a uma dada temperatura , para frequências altas, mas falha para valores pequenos da
frequência
[Kangro, 1976].
Na investigação da radiação de corpo negro, os estudos de Lord Rayleigh (1842-1919)
também se revelaram importantes chegando ao resultado clássico da distribuição espectral,
baseado na mecânica estatística clássica de Maxwell-Boltzman. Rayleigh, com a contribuição
de James Jeans (1877-1946), procuraram explicar o comportamento do radiador perfeito com
base nas leis da Física Clássica.
Segundo esta teoria, a radiação electromagnética é emitida pelas cargas oscilantes
existentes na matéria de que é constituído o corpo negro. Cada carga eléctrica encontra-se
animada de movimento oscilatório harmónico linear e radia energia sob a forma de radiação
electromagnética de frequência igual à da respectiva oscilação. Em condições de equilíbrio
térmico os osciladores emitem e absorvem energia havendo, em média, compensação entre
estes dois processos. A radiação electromagnética emitida pelos osciladores da superfície do
corpo negro é constituída por ondas estacionárias de nodos (pontos em que a perturbação é
61
sempre nula) no ponto de contacto com a superfície. Estas “ondas estacionárias” são
resultantes da interferência entre as ondas incidentes e reflectidas. Para se perceber melhor o
que é uma onda estacionária considere-se duas ondas electromagnéticas harmónicas e com a
mesma frequência que se propagam em sentidos contrários, uma a incidir e a outra a ser
reflectida por uma superfície. O perfil de uma onda electromagnética é dado pela equação
1.3.23. A equação da onda estacionária é dada por [Hecht, 2002]:
,
Na equação 1.10.13,
2
sin
cos
1.10.13
é a amplitude máxima do campo eléctrico da onda electromagnética
incidente na superfície metálica. Os nodos da onda estacionária correspondem a pontos onde a
perturbação electromagnética é sempre nula. Um dos nodos está então localizado no ponto de
contacto com a superfície do corpo negro (em
0). Os restantes nodos verificam-se para
⁄2 , , 3 ⁄ 2 , …
Entretanto, em 1897, Max Planck, sucessor de Kirchhoff como professor associado de
Física teórica na Universidade de Berlim, começou também a investigar o problema da
radiação de corpo negro. A questão principal seria determinar como a radiação e a matéria
interagem e atingem o equilíbrio. Em 1899, Planck provou um teorema bastante importante
que estabelece uma relação entre a densidade de energia, ,
, e a energia média,
,
do conjunto de osciladores harmónicos que representavam os átomos na superfície do corpo
negro em equilíbrio térmico. Chegou então ao importante resultado da densidade de energia
para uma gama de frequências compreendida entre
,
a
[Ferreira, 2000]:
8
Como a radiação electromagnética e os osciladores estão em equilíbrio,
1.10.14
representa a
frequência da radiação emitida/absorvida pelos osciladores que é igual à frequência de
oscilação dos átomos que constituem o corpo negro. Nesta expressão
representa a
velocidade da luz no vazio.
Ao aplicar a estatística de Maxwell-Boltzman ao estudo da radiação de corpo negro,
Rayleigh, ainda em 1900, chegou ao resultado para a energia média de cada oscilador de um
corpo negro à temperatura
62
e para qualquer frequência de oscilação, :
1.10.15
Onde
é a constante de Boltzman.12
De acordo com esta teoria, a energia média associada a cada onda emitida é igual à
energia média de cada oscilador, ou seja:
1.10.16
Rayleigh, com a contribuição de Jeans, chegou ao resultado da densidade de energia
associada às ondas de frequência entre
,
a
, para um corpo negro:
8
1.10.17
A expressão 1.10.17 é conhecida pela lei de Rayleigh-Jeans e prevê, absurdamente,
que no limite de grandes frequências a densidade de energia total é infinita, ou seja:
,
8
∞
1.10.18
Este resultado ficou conhecido posteriormente como a “catástrofe do ultravioleta”.
Experimentalmente, era muito difícil medir a distribuição espectral com a precisão
necessária. Os primeiros resultados precisos na banda do infravermelho foram obtidos por
duas equipas do Physicalisch-Technische Reichsanstalt em Berlim, formadas por Lummer e
Pringsheim, e, a outra, por Rubens e Kurlbaum, que, independentemente, conseguiram medir
a radiação nesta região do espectro electromagnético, ainda inexplorada. Mostraram, sem
qualquer dúvida, que, para comprimentos de onda longos (frequência baixas) dentro de uma
grande faixa de temperatura, a fórmula de Wien (1.10.12) para a distribuição espectral da
densidade de energia era inadequada.
A partir do conhecimento dos resultados obtidos anteriormente tanto por Wien como
por Rayleigh e Jeans, Planck propôs que a radiação espectral de um corpo negro à
temperatura
12
1.3805
deveria ser descrita por uma função que reproduzisse o resultado obtido por
10
63
Wien no limite de altas frequências (pequenos comprimentos de onda) e o resultado de
Rayleigh-Jeans para baixas frequências (grandes comprimentos de onda).
Em 1900, Max Planck formulou então uma nova teoria que tomou em consideração
quatro aspectos fundamentais. Em primeiro lugar, a energia média de cada oscilador deve
depender não só da temperatura do corpo negro como também da respectiva frequência de
oscilação.
Em segundo lugar, a energia total permitida a cada oscilador deve satisfazer a relação:
. Em que
é um número inteiro (
0,1,2, …) e
é uma constante – a constante de
Planck.
Max Planck admitiu que a radiação é emitida pelos osciladores de um modo
descontínuo sempre que estes transitam de um estado de energia,
energia,
, para outro de menor
. Podem ocorrer sucessivas transições até o oscilador atingir a energia mínima,
0. Em cada transição a energia emitida será:
∆
1
1.10.19
Finalmente, Planck admitiu ainda que a radiação pode ser absorvida, também de uma
forma descontínua, no processo inverso ao da emissão.
Assim, segundo Planck, a energia dos osciladores é uma grandeza quantificada e
um
número quântico. Introduziu a ideia dos quanta de energia, ou seja, a ideia de que as energias
surgem em porções distintas. O carácter descontínuo da energia dos osciladores, embora
compatível com as restrições impostas pela Teoria Electromagnética de James C. Maxwell às
frequências permitidas para a radiação da cavidade do corpo negro, contradiz a mecânica
clássica.
Embora 1900 seja considerado actualmente como o ano do nascimento da Física
Quântica, a ideia revolucionária dos quanta de energia não despertou nenhuma atenção nos
quatro anos seguintes. Originalmente, Planck considerou apenas a quantificação da energia da
matéria em equilíbrio com a radiação, mas Einstein sugeriu, alguns anos mais tarde, que a
própria radiação se encontra repartida em quanta, chamados mais tarde fotões. Foi apenas em
1905, com a introdução desta hipótese, que o conceito de Planck começou a ser reconhecido.
Max Planck acabaria por ganhar o prémio Nobel da Física, em 1918, pelos seus trabalhos
sobre a Teoria Quântica.
64
Foi a 14 de Dezembro de 1900 que Max Planck, numa comunicação que fez à
Sociedade Alemã de Física, apresentou a sua famosa lei da distribuição espectral [Ferreira,
2000]:
,
Nesta expressão,
)e
⁄
299792458 ),
1.3805
a constante de Boltzman (
1.10.20
1
é a frequência da radiação,
velocidade da luz no vazio (
10
8
é a temperatura do corpo negro,
a constante de Planck (
10
éa
6.6256
).
Esta fórmula diz-nos que a quantidade de energia por unidade de volume contida num
intervalo qualquer de frequência é dada por uma fórmula universal que envolve apenas
frequências e temperatura.
A parte final do trabalho de Planck foi destinada a obter os valores numéricos das
constantes
e
a partir de resultados experimentais. Embora
ficasse conhecida como a
constante de Boltzman, foi Planck que lhe atribui algum significado físico.
A fórmula de Planck pode ainda ser escrita de outra forma, em função do
comprimento de onda da radiação, de acordo com 1.10.7 e 1.10.20:
,
8
⁄
1
1.10.21
A forma da distribuição ou curva de Planck, bem como os comportamentos propostos
por Wien e Rayleigh-Jeans, para uma qualquer temperatura, tem a forma da figura da
ilustração 1.21.
65
Ilustração 1.21 - A curva de distribuição espectral de Planck e as previsões de Wien e Rayleigh-Jeans.
O conteúdo da fórmula de Planck pode ser descrito qualitativamente da seguinte
forma: a energia emitida em qualquer intervalo de comprimento de onda eleva-se muito
abruptamente com o comprimento de onda, atinge o máximo e depois decresce rapidamente.
Esta distribuição de Planck é universal, não depende da natureza da matéria com a qual
interactua, mas depende unicamente da sua temperatura. A expressão “radiação de corpo
negro” é hoje em dia atribuída a qualquer radiação cuja distribuição de energia segue a
fórmula de Planck.
A razão pela qual a densidade de energia da radiação de corpo negro diminui
rapidamente para comprimentos de onda muito grandes pode ser compreendida de uma forma
simples, usando por base a teoria ondulatória da radiação: é difícil fazer penetrar a radiação
em qualquer volume cujas dimensões sejam mais pequenas do que o seu comprimento de
onda. Por outro lado, a diminuição da densidade de energia da radiação de corpo negro para
comprimentos de onda muito curtos compreende-se utilizando uma descrição quântica da
radiação: supondo que a energia está repartida por porções ou quanta, como Planck afirmou,
cada porção contém uma energia que aumenta à medida que diminui o comprimento de onda.
Qualquer que seja a temperatura, a radiação de pequenos comprimentos de onda é muito
fraca, apesar de os quanta correspondentes serem altamente energéticos. Na formulação final
desta hipótese, devida a Einstein, qualquer que seja a temperatura, a radiação de corpo negro
conterá muito poucos fotões com energia muito elevada, e portanto muito pequeno
comprimento de onda, explicando-se assim a queda da distribuição de Planck para valores de
pequenos.
66
Considerando a expressão 1.10.21, na região de grandes comprimentos de onda o
quociente
⁄
⁄
aproxima-se de zero, ou seja,
⁄
uma boa dose de precisão, que
1 ⁄
1 e é possível escrever, com
. Assim, para grandes comprimentos
de onda, a função proposta por Planck pode ser aproximada por:
8
,
1.10.22
Que é o comportamento obtido por Rayleigh e Jeans.
Por outro lado, na região do ultravioleta, ou seja, para comprimentos de onda curtos
pode-se fazer a aproximação:
⁄
.
⁄
Obtém-se, deste modo, o comportamento proposto por Wien:
,
8
⁄
1.10.23
A “radiação de corpo negro” é caracterizada pela chamada densidade de energia,
, que é a quantidade de energia total por unidade de volume:
8
,
⁄
1.10.24
1
Para um campo isotrópico de radiação de corpo negro a intensidade específica da
radiação
, ou
(do inglês, black-body) é igual à densidade média da radiação
(1.9.6). De
acordo com a relação 1.9.13 e a equação 1.10.20 pode-se obter a fórmula de distribuição
espectral para a intensidade específica da radiação de um corpo negro,
4
,
2
1
⁄
1
:
1.10.25
Alternativamente, pode-se obter a intensidade específica da radiação de corpo negro
em função do comprimento de onda:
67
2
1
⁄
1.10.26
1
A energia total emitida por unidade de área de corpo negro, por unidade de tempo e
por unidade de ângulo sólido na direcção perpendicular a essa superfície, é dada por:
1.10.27
O fluxo da radiação emitida por um corpo negro, ou seja, a energia da radiação
emitida por um elemento unitário de área do corpo negro, por unidade de tempo e que
corresponde a uma banda unitária de frequências (de acordo com a equação 1.9.8), é dado
por:
⁄
cos
1.10.28
sin
Para uma banda unitária de comprimentos de onda o fluxo da radiação é dado por:
⁄
cos
1.10.29
sin
O fluxo total de radiação (também designado por potência emitida, por unidade de
área, pelo corpo negro, em
) determina-se integrando 1.10.28 e 1.10.29 para todas as
frequências e comprimentos de onda, respectivamente:
68
2
1
⁄
1
1.10.30
1
2
⁄
Fazendo uma mudança de variável,
⁄
1.10.31
1
, pode-se escrever o integral 1.10.30
da seguinte forma:
Ou seja, se
2
2
1
1.10.32
15
obtém-se a lei de Stefan-Boltzman:
1.10.33
Resolvendo o integral 1.10.31 o resultado seria o mesmo de 1.10.33.
A energia total emitida por um corpo negro, por unidade de tempo e por unidade de
área, é directamente proporcional à quarta potência da temperatura do corpo, medida na escala
Kelvin, correspondendo à área delimitada pela “curva de Planck” em que no eixo das
ordenadas se representa
proporcionalidade tem o valor de
e nas das abcissas a frequência
5.67
10 . A constante de
.
Podemos igualmente traçar o gráfico da intensidade específica da radiação de um
corpo negro
em função do comprimento de onda da radiação (1.10.26). Considerando
um corpo negro à temperatura de, por exemplo, 5780
(temperatura aproximada da
superfície solar que, em boa aproximação, pode considerar-se radiação de corpo negro)
obtemos o gráfico da ilustração 1.22. A área delimitada por esta curva e pelos eixos das
ordenadas e das abcissas, multiplicado pelo valor de , corresponde ao fluxo total13 emitido
por um corpo negro à temperatura considerada.
13
Em
.
69
Região visível
Intensidade específica da radiação,
)
(
5780
6.328
á
501
5.01
10 /
10 Comprimento de onda ( )
Ilustração 1.22 - Curva de Planck para um corpo negro à temperatura de 5780K. Adaptado utilizando
uma folha de excel retirada do site http://staff.imsa.edu/science/astro/blackbody/index.html).
As aproximações de Wien e de Rayleigh-Jeans também podem ser facilmente
calculadas, obtendo-se, respectivamente:
2
⁄
2
1.10.34
1.10.35
1.11. A Teoria Quântica da luz
A Mecânica Quântica ou Física Quântica é uma área da Física que se dedica ao estudo
do mundo microscópico, à escala atómica. A teoria de Maxwell teve de ser alterada para estar
de acordo com os princípios da Mecânica Quântica que começaram a ser desenvolvidos no
início do século XX.
A Teoria Quântica da interacção entre radiação e matéria, designada por teoria
electrodinâmica quântica, foi então desenvolvida e testada por alguns cientistas durante várias
décadas.
A electrodinâmica clássica, ou seja, a teoria clássica da luz desenvolvida até ao
aparecimento de Planck, permite prever que a energia se transfere continuamente através de
70
ondas electromagnéticas. No entanto, ao contrário da electrodinâmica clássica, a
electrodinâmica quântica descreve as interacções electromagnéticas e os fluxos de energia em
termos de partículas sem massa, os fotões.
Planck foi o primeiro a reconhecer que um sistema de osciladores eléctricos emite
quantidades finitas de energia, ou quanta de energia. Cada quantum de energia pode ser
determinado pela fórmula
. O quantum constitui a quantidade mínima (elementar) de
energia para radiação de uma determinada frequência, sendo a energia dos quanta um
múltiplo de
. Esta nova constante, introduzida por Planck e com o seu nome, talvez seja
aquilo que distingue a Física Moderna da Física Clássica.
Da equação
, equivalente a
, podem-se tirar algumas conclusões
importantes. Por um lado, há uma proporcionalidade directa entre a energia de um fotão e a
sua frequência e, por outro, a um maior comprimento de onda corresponde uma menor
energia. Por exemplo, um fotão de luz vermelha (
que um fotão de luz violeta (
400 700 ) transporta menos energia do
).
Em 1905, para além da sua Teoria da Relatividade Restrita, Einstein propôs uma
explicação para a emissão de partículas eléctricas de carga negativa (electrões) de metais,
quando eram sujeitos a radiação ultravioleta. Ele verificou que só conseguia arrancar electrões
de um metal quando utilizava radiação ultravioleta e nunca usando luz visível por mais
intensa que fosse.
Admitiu então que são os átomos que estão relacionados com a absorção e com a
emissão de luz. Assim, quando radiação de frequência
é absorvida pelo átomo, a energia
do fotão é transferida da luz para o átomo. Neste fenómeno, o fotão desaparece e diz-se que o
átomo o absorveu. No processo inverso, quando luz de frequência
uma quantidade de energia
é emitida pelo átomo,
é transferida do átomo para a luz. Neste fenómeno, subitamente
aparece um fotão e diz-se que o átomo o emitiu.
O efeito fotoeléctrico é um fenómeno no qual um feixe de fotões incide num metal e
tem energia suficiente para ejectar electrões que pertencem aos átomos que constituem o
material. Este fenómeno é utilizado, por exemplo, em câmaras de gravação de vídeo e em
sistemas de alarmes.
Por um lado, variando a frequência da radiação incidente conclui-se que só há ejecção
de electrões a partir de uma determinada frequência. Ou seja, não acorre efeito fotoeléctrico
se a frequência estiver abaixo de um certo limite. Isto acontece independentemente da
intensidade do feixe. Há então uma energia mínima, a energia de remoção, que varia de
71
material para material, necessária para que se produzam fotoelectrões (ejecção de electrões
por efeito fotoeléctrico).
Esta evidência experimental é algo inexplicável para a Física clássica. Se
considerarmos a luz como sendo ondas electromagnéticas, seria de esperar que por mais
pequena que fosse a frequência, os electrões seriam ejectados bastando apenas aumentar a
intensidade do feixe. Mas isso não acontece. Por mais brilhante que seja a fonte luminosa, o
efeito fotoeléctrico não ocorre se essa radiação tiver frequência inferior a um certo valor.
Por outro lado, se houver efeito fotoeléctrico, ou seja, se a energia do fotão incidente
for superior à energia de remoção do material, a energia cinética dos fotoelectrões ejectados é
tanto maior quanto maior for a frequência da radiação incidente. A energia cinética dos
fotoelectrões não depende da intensidade do feixe.
Segundo a Física clássica, o electrão do alvo deveria oscilar devido ao campo
electromagnético da onda luminosa oscilante e sinusoidal. Se a amplitude de vibração do
electrão é suficientemente grande, o electrão tem energia para se ejectado. Assim,
aumentando a amplitude da onda electromagnética e o seu campo electromagnético oscilante,
os electrões deveriam receber mais energia ao serem ejectados. Mas isto não acontece. Para
uma dada frequência, um feixe luminoso muito intenso e um feixe luminoso pouco intenso
provocam a ejecção de electrões com a mesma energia cinética.
Einstein resumiu os resultados de experiências de efeito fotoeléctrico na seguinte
expressão:
1.11.1
Em que
é a energia do fotão incidente,
a energia de remoção do material e
a
energia cinética do fotoelectrão ejectado.
A expressão é uma constatação da conservação de energia para a absorção de um fotão
por um material com uma certa energia de remoção. Para o electrão ser removido é necessário
um fotão com energia, no mínimo, igual a
energia de remoção (
cinética
. Se a diferença entre a energia do fotão e a
) for superior a zero, o electrão é ejectado com uma energia
igual a essa diferença.
1.12. A Interpretação de Bohr dos espectros atómicos
72
No início da década de 1860 Kirchhoff resumiu as suas investigações na área da
análise de espectros a três leis que, hoje em dia, se designam por leis de Kirchhoff.
A primeira lei diz que um corpo quente e opaco, como um corpo negro, ou um gás
denso e quente produzem um espectro contínuo, um completo “arco-íris” sem linhas
espectrais.
A segunda lei diz que um gás quente e pouco denso produz um espectro de emissão de
riscas, ou seja, uma série de linhas espectrais coloridas com um fundo negro.
A terceira lei diz que um gás frio e pouco denso quando colocado na frente de uma
fonte luminosa, com espectro contínuo, produz um espectro de absorção de riscas, ou seja,
uma série de riscas negras colocadas ao longo das cores correspondentes ao espectro
contínuo.
As riscas negras que aparecem no espectro de absorção de um gás ocorrem
exactamente nos mesmos comprimentos de onda do que as riscas coloridas do espectro de
emissão do mesmo gás.
Ao estudar o átomo de Hidrogénio, Niels Bohr (1885-1962), em 1913, conseguiu não
só encontrar uma explicação para o espectro do átomo mais abundante do Universo como
uma justificação para as leis de Kirchhoff, usando a Física atómica.
Quando Bohr iniciou os seus estudos em Física atómica, os físicos já sabiam que o
átomo continha electrões e protões. Segundo o modelo de Bohr, os electrões moviam-se em
órbitas circulares em torno do núcleo onde se encontravam os protões, devido à atracção
electrostática. Mas, para Bohr, o único electrão do átomo de Hidrogénio apenas podia estar
localizado em determinadas órbitas, cada uma associada a um valor quantificado de energia.
A energia radiante absorvida pelo átomo de Hidrogénio obriga o electrão a mover-se de uma
órbita (nível de energia ) de menor energia para uma órbita de maior energia. Utilizando a
linguagem quântica, pode-se dizer que ao absorver um fotão com uma determinada energia o
electrão transita de um estado de mais baixa energia para um estado de mais alta energia.
Inversamente, a energia radiante (na forma de um fotão) é emitida quando o electrão se move
de uma órbita de maior energia para uma de menor energia. A quantidade de energia
necessária para mover um electrão no átomo de Bohr depende da diferença entre os níveis dos
estados inicial e final.
Mas a teoria de Bohr, tendo sucesso para o átomo de Hidrogénio, não explicava os
espectros de emissão de átomos contendo mais do que um electrão. Bohr contribuiu
significativamente para a compreensão dos átomos e a sua proposta de que a energia de um
73
electrão num átomo é quantificada permanece válida. No entanto, a sua teoria não fornece
uma descrição completa do comportamento electrónico nos átomos.
O modelo actualmente aceite para o átomo é explicado pela Mecânica Quântica – o
Modelo da Nuvem Electrónica – e não será alvo de discussão neste trabalho.
1.13. A velocidade da luz e a desmistificação do éter
Por volta do ano de 1600, Galileu fez o primeiro esforço para medir a velocidade da
luz. Ele e o seu assistente ficaram, cada um com uma lanterna e uma cobertura para a
lanterna, no topo de duas colinas separadas por cerca de um quilómetro. Galileu tentou medir
o tempo necessário para a luz percorrer a distância de ida e volta entre os dois observadores.
Inicialmente, um deles descobriria a sua lanterna e, quando o outro visse a luz, descobriria,
por sua vez, a sua lanterna. O intervalo de tempo entre o instante em que o primeiro
observador emite a luz e o instante em que o mesmo recebe a luz do segundo observador,
seria o intervalo de tempo necessário para a luz fazer o trajecto de ida e volta entre os dois
observadores. Embora o método fosse correcto, a velocidade da luz é tão grande que o
intervalo de tempo a ser medido é muito inferior aos tempos de reacção dos observadores. Por
isso, Galileu não foi capaz de conseguir medir qualquer valor para a velocidade da luz.
A primeira indicação de que a luz não viaja instantaneamente foi apresentada em 1676
por Ole Roemer (1644-1710), um astrónomo Dinamarquês. A medição do valor real da
velocidade da luz foi conseguida pelas observações astronómicas do período de uma das luas
de Júpiter – Io. O período desta lua é medido pela determinação do intervalo de tempo entre
os eclipses (quando Io desaparece atrás do disco de Júpiter). Roemer ficou surpreendido
quando verificou que o período destes eclipses dependia da posição relativa entre a Terra e
Júpiter. Quando a Terra estava numa posição mais afastada de Júpiter, o eclipse ocorria
alguns minutos mais tarde do que quando a Terra estava numa posição mais próxima de
Júpiter.
Roemer lembrou-se que esta discrepância podia ser explicada se a luz demorasse um
tempo finito desde Júpiter à Terra. Quando a Terra está mais próxima de Júpiter, a imagem de
Io a desaparecer na sombra de Júpiter chega aos nossos telescópios um pouco mais cedo do
que quando a Terra está mais afastada de Júpiter.
Durante as 42,5 horas entre os eclipses sucessivos de Io, a distância entre a Terra e
Júpiter praticamente não se altera, pelo que a trajectória da luz fica um pouco maior ou um
pouco menor. Para medir o efeito “acumulado” destas discrepâncias, Roemer imaginou o
74
seguinte método: em primeiro lugar desprezou o movimento de translação de Júpiter por ser
mais lento que o da Terra (durante meio período de translação da Terra, o planeta Júpiter
praticamente não varia a sua posição). Quando a Terra se encontrar no ponto mais próximo de
Júpiter, mede-se o período dos eclipses de Io, tendo-se então os instantes entre os sucessivos
princípios dos eclipses. Com base nestas medições, calcula-se o número de eclipses que
ocorrerão nos seis meses seguintes. Ficamos com o instante em que o eclipse se inicia meio
ano depois, quando a Terra estiver no ponto mais afastado de Júpiter. Quando a Terra estiver
nesta posição, observa-se que o princípio do eclipse ocorre com 16,6 minutos de atraso em
relação ao instante previsto. Este é o tempo necessário para a luz percorrer uma distância
igual ao diâmetro da órbita da Terra, ou seja, duas unidades astronómicas.
Na posição mais próxima de
Júpiter o eclipse é observado
cerca de 16,6 minutos antes do
previsto
Sol
Terra
Terra
Júpiter
IO
Ilustração 1.23 - Através da medição dos períodos dos eclipses do satélite de Júpiter, IO, Roemer
mostrou que a luz propaga-se com uma velocidade finita. Imagem adaptada do livro Universe
[Freedman e Kaufmann, 2005].
Mas a medida do diâmetro da órbita terrestre não era conhecida com muita precisão
nessa altura, e Roemer nunca chegou a calcular a velocidade da luz. Hoje em dia, usando os
150 milhões de quilómetros para o valor da unidade astronómica, o método de Roemer
conduz-nos a um valor da velocidade da luz de:
75
2
1.5 10
16.6 60
3.01
10
1.13.1
Quase dois séculos depois de Roemer, a velocidade da luz foi medida com grande
precisão por métodos não astronómicos pelo físico francês Armand H. Fizeau em 1849. Numa
colina em Paris, Fizeau montou uma fonte de luz e um sistema de lentes disposto de modo a
que a luz reflectida por um espelho semi-transparente podia ser focada no espaço entre dois
dentes de uma roda dentada. Numa outra colina, a cerca de 8,63km de distância, Fizeau
montou um espelho para reflectir a luz para um observador situado na primeira montagem. A
roda dentada podia girar com uma velocidade angular variável. Para que a luz ficasse visível,
a velocidade da roda dentada foi ajustada de modo que a luz reflectida passava pelo espaço,
entre dentes, seguinte ao espaço da primeira passagem.
Espelho colocado na segunda
colina a 8,63km de distância
Fonte luminosa
(primeira colina)
Roda dentada
Observador
Espelho semitransparente
Ilustração 1.24 - A montagem de Fizeau para a medição da velocidade da luz. A luz sai da fonte
localizada na primeira colina, é reflectida num espelho semi-transparente (também na primeira colina)
atravessando o espaço entre dois dentes da roda dentada em direcção ao espelho colocado na segunda
colina. A luz é reflectida no espelho localizado a 8,63
passando agora no espaço entre dentes
seguinte à primeira passagem. Imagem adaptada do site:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fizeau%E2%80%93Foucault_apparatus.
A velocidade da luz fica determinada sabendo a distância percorrida pela luz, que será
duas vezes a distância entre as colinas, e pela medição do tempo de ida e volta da luz. Para a
medição desse tempo determina-se a velocidade angular da roda que permitirá que a luz
atravesse um espaço entre os dentes da roda, seja reflectida no espelho da segunda colina, e
76
volte a atravessar a roda dentada precisamente no espaço seguinte, de modo que se possa ver a
imagem da fonte.
Na experiência de Fizeau, a roda dentada tinha 720 dentes e a sua velocidade de
rotação era de 25,2 rotações por segundo. O período de rotação da roda dentada é
.
.O
intervalo de tempo que passa entre dois espaços consecutivos da roda dentada será então
Δ
. Dado que a distância entre a roda e o espelho era 8.63
, o valor da velocidade da
luz pode ser determinado por:
2 8.63
1⁄ 25.2 720
3.13
10
1.13.2
O método de Fizeau foi posteriormente aperfeiçoado por Jean Bernard Léon Foucault
(1819-1868). Em 1850, Foucault mediu a velocidade relativa da luz no ar e na água,
mostrando que a velocidade na água era menor do que no ar. Em 1862, Foucault mediu a
velocidade da luz com uma melhor precisão até então obtida, chegando ao valor de 298000
500 . Um dos grandes méritos de Foucault foi ter determinado a velocidade da luz com
montagens que apenas ocupavam o espaço de poucas dezenas de metros.
No século XIX foram muitos os físicos que realizaram, depois de Foucault,
experiências para medir a velocidade da luz.
Com o mesmo método Foucault, o físico americano Albert Michelson (1852-1931)
realizou medições precisas da velocidade da luz de 1880 até 1930.
Em 1887 Michelson, juntamente com Edward Williams Morley (1838-1923),
publicaram os resultados da sua famosa experiência em que refutaram a possibilidade de a
Terra se mover em relação ao “éter”. Como já foi referido na secção 1.1, a teoria ondulatória
da luz parecia exigir a aceitação de que as ondas electromagnéticas só se podiam propagar
num meio de suporte – o éter. Nesta altura acreditava-se que como a velocidade da luz no éter
seria constante e como a Terra, por sua vez, se deslocaria presumivelmente em relação ao
éter, a velocidade da luz em relação à Terra deveria ser afectada pelo movimento desta. A
experiência de Michelson-Morley não detectou qualquer movimento da Terra em relação ao
éter. Em 1899 a hipótese da não existência do éter começou a ser questionada pela primeira
vez por Jules Henri Poincaré (1854-1912). Quando Einstein publicou, em 1905, a Teoria da
Relatividade Restrita, também ele rejeitou a hipótese da existência do éter. A partir desta
77
altura os físicos começaram a compreender que as ondas electromagnéticas se podiam
propagar no vazio, sem necessidade de um “éter”.
O valor actual para a velocidade da luz no vazio é
ondas electromagnéticas têm a mesma velocidade no vazio.
78
299792458 . Todas as
Capítulo 2 - Cosmologia 2. Cosmologia
2.1. Uma breve história
A Cosmologia é a ciência que estuda o Universo como um todo, incluindo o seu
nascimento e o seu destino final. É a área do conhecimento que se dedica ao estudo da
natureza, origem, estrutura e evolução do Universo. Em Cosmologia, o objecto de estudo é o
Universo do qual fazemos parte integrante, o que torna, à partida, a nossa posição um pouco
complicada para estabelecer e compreender as leis que o governam. Apesar disso, a evolução
conseguida ao longo da História tem sido surpreendente.
Até ao século XVII d.C. acreditava-se que nós ocupávamos um lugar muito especial
no Universo. Durante cerca de dois mil anos o modelo criado e desenvolvido pela civilização
grega na antiguidade foi aceite e utilizado pela “comunidade científica”. Este modelo do
universo, o modelo geocêntrico, foi proposto inicialmente por Aristóteles no século IV a.C. e,
posteriormente, melhorado por outros astrónomos, entre os quais se destaca Cláudio
Ptolomeu. Este grego interessou-se por diversas áreas da ciência, nomeadamente a
Astronomia. No século II d. C., Ptolomeu, teve o grande mérito de desenvolver um método
para prever a posição do Sol, da Lua e dos planetas, e que depois se viria a tornar na chamada
“teoria dos epiciclos”, uma complexa combinação de movimentos circulares criada com o
objectivo de explicar o movimento dos corpos celestes no Sistema Solar e, especialmente, o
fenómeno do movimento retrógrado dos planetas, em que estes, aparentemente, invertem o
seu sentido do movimento. Desenvolveu o modelo de Aristóteles sobretudo no aspecto mais
“técnico”, de forma a conseguir prever a posição dos astros com melhor precisão e explicar
melhor as observações astronómicas. A teoria dos epiciclos está incluída na obra que compila
todo o seu trabalho – o Almageste.
Segundo este modelo geocêntrico, o nosso planeta Terra situa-se no centro do
Universo. A Lua, o Sol e os planetas giram à volta da Terra. As estrelas estão fixas
relativamente ao centro da Terra, e mais distantes do que os planetas. No universo de
Aristóteles e Ptolomeu os corpos celestes eram colocados em esferas, em volta da Terra, pela
ordem seguinte: Lua, Mercúrio, Vénus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno (ilustração 2.1).
Os modelos geocêntricos viriam a ser utilizados em todos os cálculos astronómicos até
ao século XVI.
79
Capítulo 2 - Cosmologia Ilustração 2.1 - Representação de um modelo geocêntrico ptolomaico.
Até ao século XVII houve talvez duas grandes revoluções na Cosmologia. A primeira
surge quando se passa da época da magia para a época da mitologia. A época ou idade da
magia é caracterizada por um universo antropomórfico, em que o Homem tentava explicar o
mundo e todos os fenómenos como uma actividade de espíritos. Por exemplo, uma trovoada
seria fruto de uma “má disposição” dos espíritos do mal e o arco-íris uma “benesse” dos
espíritos do bem. Quando os espíritos que se encontravam em todo o lado se “transformaram”
em deuses passamos para uma fase mitológica – a idade da mitologia. A mitologia é
considerada como uma Cosmologia pré-científica. “É a construção de modelos baseados
numa complexa teia de mitos que ilustra uma das primeiras tentativas para explicar o
Universo com um pensamento sistemático” [Maurício, 2006]. A segunda revolução na
Cosmologia, e mais importante do que a primeira, acontece na Grécia da Antiguidade, quando
se abandona a concepção mitológica do Universo e se passa a tentar descrevê-lo de forma
racional. Abandona-se o universo antropomórfico e passa-se para um universo
antropocêntrico, em que o Homem está no centro do Universo e as mitologias anteriores
começam a ser substituídas pela natureza, a qual é regida por leis impessoais.
Outro passo importante para a Cosmologia foi protagonizado pela introdução do
telescópio por Galileu Galilei (1564-1642) no século XVII. A partir daqui o estudo do
Universo começou a ser feito de uma forma científica, através da observação e da
80
Capítulo 2 - Cosmologia experimentação. Galileu, com os dados das suas observações mostrou, inequivocamente, que
o princípio aristotélico geocêntrico era incorrecto. Alguns anos antes, no início do século
XVI, Nicolau Copérnico (1473-1543) já havia iniciado uma revolução intelectual, com a
proposta de que o Sol se situa no centro do Universo e de que a Terra orbita à sua volta, bem
como os restantes planetas. Considerava que os planetas se moviam a diferentes velocidades e
o movimento retrógrado aparente dos planetas podia ser explicado por esta teoria. A diferença
fundamental entre os modelos de Ptolomeu e de Copérnico é o facto de a Terra deixar de ser o
centro do Universo e passar a ser o Sol. O universo de Copérnico era finito quanto ao seu
tamanho, o seu centro era ocupado pelo Sol e o seu limite ocupado por uma esfera fixa de
estrelas. Mas este modelo heliocêntrico para o Universo não era uma ideia original de
Copérnico, visto que o primeiro (que se conhece) foi proposto no século III a.C. por
Aristarco, um pensador e astrónomo grego. O modelo heliocêntrico que foi proposto por
Copérnico foi também defendido por Johannes Kepler (1571-1630), Galileu e outros. Houve
igualmente opositores de peso, como por exemplo a Igreja Católica e a Igreja Protestante, que
continuaram a defender o geocentrismo durante mais dois séculos, como também o astrónomo
Tycho Brahe (1546-1601) que defendia um modelo geocêntrico.
Na elaboração do seu modelo heliocêntrico, Copérnico admitiu um certo número de
hipóteses, das quais podemos destacar:
o O centro da Terra não é o centro do Universo, mas apenas o centro da órbita da
Lua.
o Todas as esferas planetárias se movem em torno do Sol, pelo que o Sol tem uma
posição central no Universo.
o A distância da Terra ao Sol é extremamente pequena, comparada com a distância
às estrelas (desta forma justificava a não observação da paralaxe).
o Qualquer movimento diurno aparente nos céus não tem a sua origem no
movimento do firmamento, sendo sim consequência do movimento de rotação da
Terra.
o A Terra move-se em torno do Sol como qualquer outro planeta, e tem portanto
mais do que um movimento.
Copérnico usou o seu modelo para prever o período do movimento de cada planeta em
torno do Sol, utilizando, para isso, dados de observações realizadas ao longo de vários
séculos. Calculou ainda os raios das órbitas planetárias relativamente ao raio da órbita da
Terra. Esses resultados não seriam possíveis de obter utilizando o modelo de Ptolomeu.
81
Capítulo 2 - Cosmologia Apesar de não aceitar a teoria heliocêntrica, as observações precisas (para a época)
obtidas por Tycho Brahe conduziram às grandes descobertas que se seguiram, nomeadamente
as realizadas por Johannes Kepler. Kepler era assistente de Tycho e um adepto incondicional
do modelo heliocêntrico. O seu principal objectivo foi tentar aperfeiçoar o sistema de
Copérnico. Kepler sintetizou os seus estudos em três leis – as conhecidas leis de Kepler:
1ª lei de Kepler:
Os planetas movem-se em órbitas elípticas, ocupando o Sol um dos seus focos.
2ª lei de Kepler ou lei das áreas:
A linha que une o Sol ao planeta em movimento “varre” áreas que são proporcionais
aos intervalos de tempo.
3ª lei de Kepler ou lei dos períodos de Kepler:
Os quadrados dos períodos dos planetas são proporcionais aos cubos das suas
distâncias ao Sol, isto é:
2.1.1
onde
é o período de translação, e
Se
estiver em anos e
o raio médio da respectiva órbita.
em unidades astronómicas (uma unidade astronómica – UA1
– corresponde à distância média entre a Terra e o Sol), para qualquer planeta, o quadrado do
seu período de translação é numericamente igual ao cubo da distância média ao Sol:
2.1.2
Estas leis, combinadas com a descoberta de que cada planeta se move num plano, no
qual está também o Sol, permitiam determinar todas as posições passadas e futuras de cada
planeta, e de cada cometa, com uma maior simplicidade e precisão do que os modelos
anteriores. Estas leis forneceram ainda os conceitos astronómicos que foram essenciais para o
posterior nascimento do modelo de universo newtoniano.
1
1
82
1.496
10
Capítulo 2 - Cosmologia O desenvolvimento desta fase da Cosmologia culminou no trabalho de Isaac Newton,
que acabou por formular as leis fundamentais que governam o movimento dos corpos
celestes. Newton colocou as leis empíricas de Kepler numa base matemática sólida. O modelo
de universo de Newton era governado por equações e leis qualitativas da Natureza.
Considerava que o Universo era infinito e sem centro definido, em oposição aos anteriores
modelos geocêntricos e heliocêntricos. As estrelas seriam semelhantes ao Sol e estariam
distribuídas uniformemente por um espaço tridimensional infinito.
Em 1687, Newton, publicou o seu trabalho Philisophiae Naturalis Principia
Mathematica que é considerado um dos mais importantes trabalhos científicos já publicados.
“Inventou” o cálculo e criou uma nova mecânica baseada em forças, estabelecendo as leis do
movimento que determinam as trajectórias de todos os corpos celestes e terrestres. As suas
leis abriram caminho à revolução industrial e à civilização moderna.
Apesar do seu enorme sucesso, a teoria da gravitação de Newton estava cheia de
paradoxos. Em 1692, Richard Bentley (1662-1742), ao tentar interpretar a teoria de Newton,
chegou à conclusão de que se a gravidade era sempre atractiva, qualquer conjunto de estrelas
entraria em colapso sobre si próprio. Escreveu então a Newton uma carta em que refere que,
de acordo com a sua teoria, se o Universo fosse finito entraria em colapso numa bola de fogo,
como resultado das sucessivas colisões entre estrelas. Se, por outro lado, o Universo fosse
infinito, todas as estrelas seriam apagadas porque, segundo ele, a força necessária para mover
qualquer corpo celeste seria infinita e as estrelas seriam feitas em pedaços.
Em resposta ao “paradoxo de Bentley” Newton admitiu um universo infinito, mas
totalmente uniforme. Assim,
“Se uma estrela é arrastada para a direita por um número infinito de estrelas, este
impulso é completamente anulado por um impulso igual de outra sequência infinita de
estrelas noutra direcção. Todas as forças se equilibram em todas as direcções, o que cria um
Universo estático” [Kaku, 2006].
Apesar da solução para o paradoxo ser tecnicamente correcta, Newton também
admitiu que um universo uniforme e infinito era instável e refere que, por vezes, uma força
divina tem de intervir para que não entre em colapso.
Um outro paradoxo, já discutido mesmo antes do trabalho de Newton, aparentemente
simples, atormentou muitas gerações de filósofos e de astrónomos.
83
Capítulo 2 - Cosmologia O “paradoxo de Olbers” refere que se o Universo fosse uniforme e infinito o céu
nocturno não podia ser escuro, ou seja, para qualquer direcção que olhássemos veríamos a luz
proveniente de um número infinito de estrelas.
Este paradoxo fica explicado se compreendermos que ao olharmos para o céu nocturno
estamos a olhar para o passado. Dado que a velocidade da luz é finita, cerca de trezentos mil
quilómetros por segundo, a luz das estrelas distantes demora um certo tempo a atingir a Terra.
Como têm um tempo de vida finito, a luz das estrelas mais distantes ainda não teve tempo
para chegar até nós. Por outro lado, como iremos ver na secção 2.4, o Universo está em
expansão, e a luz emitida por estrelas distantes chega até nós com um elevado “desvio para o
vermelho” o que provoca o seu obscurecimento. O significado de “desvio para o vermelho”
será também abordado na secção 2.4.
Newton chegou à conclusão que tudo sem excepção exerce uma força gravitacional
atractiva sobre tudo o resto. Independentemente da sua composição física, “tudo” exerce e
sente a força da gravidade. Deduziu a equação que descreve quantitativamente a intensidade
da força de atracção gravítica entre dois objectos, na chamada Lei da Gravitação Universal:
2.1.3
Esta expressão diz-nos que a intensidade da força gravítica,
directamente proporcional ao produto das suas massas,
ao quadrado da distância
entre eles. A letra
e
, entre dois corpos, é
, e inversamente proporcional
representa a constante de proporcionalidade –
constante de gravitação universal2. As forças de interacção gravítica entre dois corpos têm a
direcção da recta que passa pelos centros de massa dos dois corpos e é sempre atractiva.
No início do século XX tudo assentava sobre os dois grandes pilares da Física: a teoria
da luz de Maxwell, discutida no capítulo 1, e a teoria da mecânica e da gravitação de Newton.
Mas, Albert Einstein (1879-1955) descobriu que estes dois pilares eram contraditórios e que
um deles teria de ser corrigido. Por um lado, Newton admitiu que as forças gravitacionais se
transmitem instantaneamente e, por outro, Maxwell ao desenvolver uma nova teoria que não
se baseava nas leis de Newton, mas sim num novo conceito, os campos, compreendeu que
esses campos se deslocavam a uma velocidade definida: a velocidade da luz.
No seu artigo de 1905, Einstein resolveu uma questão sobre do comportamento da luz
que o intrigava desde a sua adolescência. Desde os 16 anos que Einstein se questionava sobre
2
84
6.673
10
Capítulo 2 - Cosmologia qual seria o aspecto de um feixe de luz se ele pudesse correr a toda a velocidade ao lado dele.
Ao reflectir sobre esta questão, ainda antes de publicar o seu trabalho, concluiu que utilizando
a teoria de Maxwell a velocidade da luz era a mesma, independentemente da forma de a
medir. Mas, pelo contrário, de acordo com a teoria de Newton pode sempre alcançar-se um
objecto que viaje a alta velocidade. Para Newton, o espaço e o tempo eram grandezas que
formavam um referencial absoluto em relação ao qual podemos descrever o movimento de
todos os corpos. Os físicos newtonianos acreditavam que o “éter” (discutido no capítulo 1)
seria o tal referencial absoluto no qual se poderiam medir as velocidades de todos os objectos.
Na mecânica de Newton existe então uma escala de tempo universal, que é a mesma para
todos os observadores. Segundo ele o tempo é absoluto, verdadeiro e matemático. Por si
mesmo e pela sua própria natureza, flui igualmente sem ter relação com algo externo.
Nos finais do século XIX os físicos começavam a aceitar que a mecânica de Newton
apresentava algumas deficiências. As ideias de um éter e de um referencial absoluto,
defendidas pelos newtonianos, começaram a ser largamente criticadas. Nunca ninguém tinha
encontrado o tal referencial absoluto que Newton defendeu, e também não havia qualquer
evidência experimental da existência do éter. A própria experiência de Michelson-Morley
serviu para desmistificar esta ideia (secção 1.13).
Ao tentar compreender as consequências de a velocidade da luz ser uma constante da
natureza, Einstein chegou a uma solução simples e elegante: “O tempo pode progredir a
ritmos diferentes pelo Universo, dependendo da velocidade a que nos movemos” [Kaku,
2005].
A Teoria da Relatividade Restrita proposta por Einstein baseia-se em dois postulados:
1º Postulado:
“As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais”.
Este postulado é uma extensão da relatividade newtoniana para incluir outras áreas da
Física e não apenas a mecânica. Com este postulado Einstein estabelece o seu princípio da
relatividade ou o princípio de equivalência dos sistemas de referência inerciais. Um
referencial inercial é um referencial que verifica a primeira lei de Newton ou lei da inércia.
Esta lei diz que se a soma de todas as forças que actuam num corpo é nula, a sua velocidade
não é alterada, ou seja, o corpo não pode acelerar. Para se perceber melhor o que é um
referencial inercial consideremos uma caixa colocada sobre o chão de uma carruagem de um
comboio que viaja com movimento rectilíneo uniforme. Para uma pessoa que está num
85
Capítulo 2 - Cosmologia referencial ligado à Terra, há duas forças a actuar sobre a caixa – a força gravítica e a reacção
normal – que se anulam; e a mala move-se com a mesma velocidade da carruagem e vai
manter essa velocidade, o que está de acordo com a lei de inércia. Para um passageiro do
comboio, a caixa está em repouso e assim continuará porque as forças que sobre ela actuam
(força gravítica e reacção normal) anulam-se. Assim, os dois observadores confirmam a lei da
inércia e os dois referenciais – a Terra, no primeiro caso, e o comboio, no segundo – dizem-se
referenciais de inércia ou inerciais. Mas, se o comboio acelerar, o passageiro vai ver a caixa a
deslizar para trás, apesar de continuarem a actuar as mesmas forças. Para ele a lei da inércia
deixou de se verificar, pois a mala adquiriu aceleração apesar de a força resultante continuar a
ser nula. O referencial comboio deixou de ser de inércia, passando a ser um referencial
acelerado ou não inercial. Para uma pessoa que ficou no referencial Terra, a lei da inércia
continua a verificar-se porque apenas actuam no corpo duas forças que se anulam. Assim, se o
comboio arrancar, a posição da caixa não se altera na perspectiva da pessoa ligada ao
referencial Terra.
2º Postulado:
“A velocidade da luz é independente do movimento da fonte luminosa ou do
observador. É uma constante em todos os referenciais inerciais”.
Segundo Einstein não existe qualquer forma de comunicar informação, ou de propagar
uma perturbação de um lado para o outro, a velocidades superiores à da luz. A constância da
velocidade da luz implica que medições efectuadas com relógios e réguas dependam do
movimento relativo dos observadores.
Na relatividade de Einstein, a medição de um intervalo de tempo depende do sistema
de referência em relação ao qual se faz a referida medição. Um relógio em movimento avança
mais lentamente do que um relógio em repouso. Os processos físicos utilizados no mecanismo
do relógio ocorrem mais lentamente em relação ao observador em repouso. Mas este efeito só
é apreciável a velocidades muito elevadas, próximas da velocidade da luz.
De acordo com a Teoria da Relatividade Restrita, para compensar esta “dilatação do
tempo” há simultaneamente uma “contracção do espaço”. No universo de Einstein, a distância
entre dois pontos depende do sistema de referência. O comprimento de um objecto, medido
num sistema de referência em movimento relativamente a esse objecto, é sempre menor do
que o comprimento próprio (medido no referencial ligado ao objecto). Este efeito ocorre
apenas ao longo da direcção do movimento.
86
Capítulo 2 - Cosmologia Einstein, tal como Hermann Minkowski (1864-1909) um pouco antes, sugeriu que se
devia pensar no tempo como uma outra dimensão do Universo – a quarta dimensão – em
muitos aspectos semelhante às três dimensões espaciais a que estamos habituados. Os
acontecimentos passam a ser especificados usando-se quatro dados (três para as dimensões
espaciais e uma para a temporal) e esta informação permite determinar a posição desse
acontecimento no espaço-tempo.
Na Teoria da Relatividade Restrita, Einstein, admitiu que todos os objectos do
Universo se estão sempre a mover através do espaço-tempo a uma velocidade constante – a da
luz. Esta ideia parece absurda se pensarmos a três dimensões, por isso é necessária a
dimensão temporal para que este raciocínio seja válido. Ao considerar um objecto em repouso
em relação a um dado referencial de inércia, toda a velocidade do objecto é utilizada para
viajar numa só dimensão – a dimensão temporal. Todos os objectos fixos em relação a este
envelhecem ao mesmo ritmo ou velocidade. Se um objecto começar a mover-se no espaço, ele
começa a utilizar uma parte da sua velocidade para o fazer. Para que a sua velocidade no
espaço-tempo seja constante, a sua velocidade na dimensão temporal terá de diminuir. O
objecto vai-se deslocar no tempo mais lentamente do que os objectos estacionários. Quando
um objecto se move em relação a nós o tempo “atrasa-se” porque isso transfere alguma
velocidade de movimento no tempo para movimento no espaço.
Newton, apesar de ter desenvolvido as equações que descreviam os efeitos da
gravidade nunca explicou como é possível que dois corpos fisicamente separados um do
outro, por vezes a distâncias de milhões de quilómetros entre eles, influenciem o movimento
um do outro. Ou seja, nunca explicou verdadeiramente o que é a gravidade.
Após a publicação da Teoria da Relatividade Restrita, a teoria da gravidade de
Newton foi posta em causa. De acordo com Newton, um corpo exerce uma influência
gravítica sobre outro com uma força que apenas depende das massas dos dois corpos e da
distância entre eles. A gravidade viajava com velocidade infinita através do Universo. Se um
objecto, num dado instante, mudasse a sua massa ou distância em relação a um outro, os
objectos iriam sentir imediatamente uma mudança na sua atracção gravítica mútua. Esta
conclusão retirada da teoria de Newton está em total desacordo com a teoria de Einstein, pois
esta diz-nos que nenhuma informação pode ser transmitida a uma velocidade superior à da
luz. No entanto, a Teoria da Relatividade Restrita também não dizia nada sobre a gravidade.
Por outro lado, tanto a teoria de Newton como a de Einstein eram quase inteiramente
baseadas em movimentos inerciais (movimentos a velocidade constante), apesar de, na
87
Capítulo 2 - Cosmologia natureza, quase nada ser inercial. Em grande parte dos movimentos a que estamos habituados,
a velocidade é variável, estando sujeitos a uma aceleração que pode ser constante ou não.
Einstein apercebeu-se então que seria necessário generalizar a sua teoria e que esta
passasse a incluir a aceleração e a gravidade.
Na sua Teoria da Relatividade Geral, Einstein formulou um novo postulado:
“As leis da Física num referencial acelerado ou num referencial sujeito a um campo
de gravitação são indistinguíveis”.
Este postulado quer dizer que se deixarmos cair um corpo dentro de uma nave em
repouso à superfície da Terra, onde o valor da aceleração gravítica, , é cerca de
9.8
,
ele terá o mesmo comportamento de um corpo deixado cair nessa mesma nave quando ela
viaja no espaço (sem qualquer influência gravítica) com uma aceleração, no sentido do
movimento, de
9.8
.
Da mesma forma, se estivéssemos num elevador em queda livre cairíamos
acompanhando o fundo do elevador. Tanto nós como o elevador estaríamos a cair à mesma
velocidade, parecendo que não tínhamos peso, que flutuávamos no ar. Einstein considerou
então que nenhuma experiência permite distinguir se um corpo está submetido a uma
aceleração ou a um campo gravítico. Este é o chamado “princípio de equivalência” que
estende o princípio da relatividade de Einstein a todos os referenciais, tanto aos inerciais
como aos não inerciais (acelerados). Isto significa que é impossível determinar a aceleração
absoluta de um referencial, porque ela simplesmente não existe. Tal como a velocidade, a
aceleração é uma grandeza relativa. Pelo princípio da equivalência conclui-se que é
impossível a um observador saber se está num campo gravítico com uma dada aceleração da
gravidade, , ou ligado a um referencial acelerado com aceleração
.
Este princípio da equivalência surge também na mecânica de Newton de uma forma
um pouco diferente. Num campo gravítico uniforme, todos os corpos caem com a mesma
aceleração , independentemente da massa dos corpos. Se considerarmos um corpo em queda
à superfície da Terra, ele fica sujeito à força gravítica cuja intensidade pode ser calculada pela
Lei da Gravitação Universal:
2.1.4
88
Nesta expressão
é a massa da Terra e
Capítulo 2 - Cosmologia a massa (gravitacional) do corpo. A partir
da lei fundamental da dinâmica ou segunda lei de Newton podemos escrever que a
intensidade da resultante das forças que actuam no corpo (apenas a força gravítica neste caso)
é directamente proporcional ao valor da sua aceleração:
çã
A constante de proporcionalidade,
2.1.5
, é a massa (inercial) do corpo.
Na mecânica clássica de Newton a massa gravitacional e a massa inercial do corpo são
iguais. Então combinando as duas equações, facilmente se chega à equação que permite
calcular o valor da aceleração do corpo em queda livre:
çã
2.1.6
Enquanto que para os físicos clássicos esta equivalência entre a massa inercial e a
massa gravitacional era uma coincidência, para Einstein tornou-se um alicerce de uma nova
teoria, relativística, da gravidade.
Se imaginarmos uma grande rocha, com uma forma esférica, assente numa superfície
transparente e elástica tal como um trampolim (imperceptível a uma grande distância), e
atirarmos um berlinde para as imediações da rocha ele percorrerá uma trajectória curvilínea à
volta da rocha. Ao observar “de longe”, um newtoniano (que não consegue visualizar a
superfície) poderá concluir que o berlinde orbita em torno da rocha devido a uma força
misteriosa que se comunica instantaneamente entre os dois corpos. Para Einstein, que observa
“de perto” o movimento do berlinde na superfície, não existe qualquer força. Há apenas uma
deformação da superfície transparente do trampolim na qual a rocha está assente que vai
“empurrando” o berlinde até que este passe a ter um movimento curvilíneo.
Substitua-se agora a rocha pelo Sol, o berlinde pela Terra e a superfície transparente
do trampolim pelo espaço-tempo. Segundo Einstein, não é a gravidade que atrai mas a
curvatura do próprio espaço-tempo que “empurra” a Terra na direcção do Sol.
Esta nova imagem conceptual de Einstein permite agora resolver a questão da
gravidade se transmitir de uma forma instantânea, como Newton acreditava. Se imaginarmos
de novo a superfície transparente, a rocha e o berlinde, e retirarmos, num dado instante, a
rocha da superfície onde está colocada, o movimento do berlinde não vai ser afectado
89
Capítulo 2 - Cosmologia instantaneamente. Ao retirar a rocha, observar-se-ia uma perturbação causada pela rocha que
se propagaria na forma de uma onda com uma velocidade finita, demorando, portanto, um
tempo finito a alterar a trajectória do berlinde. O mesmo é válido para o “tecido cósmico”.
Quando não está presente qualquer massa, um pequeno objecto fica em repouso ou viajará
com velocidade constante, deformando ele próprio o espaço-tempo. Se uma grande massa
surgir, o espaço-tempo irá deformar-se mas, tal como no caso da analogia da superfície
transparente do trampolim, a distorção não será instantânea. Einstein calculou que estas
“perturbações gravíticas” propagam-se precisamente à velocidade da luz.
Uma das consequências do princípio da equivalência é o facto de a luz se curvar sob o
efeito da gravidade. Este efeito foi confirmado em 1919, e a Teoria da Relatividade Geral que
havia sido publicada em 1915, começou a ganhar mais força. Mas, o facto de algumas das
previsões da Relatividade Geral terem sido confirmadas não implica que abandonemos a
teoria newtoniana. De facto, nós vivemos num mundo a “baixa velocidade” para que os
efeitos relativistas sejam perceptíveis. Para a maioria das situações comuns do dia-a-dia as
teorias de Newton e Einstein podem ser utilizadas e os resultados são os mesmos. Na verdade,
quer analiticamente quer experimentalmente, verificamos que a teoria de Newton é um caso
particular da teoria mais geral, de Einstein.
A Teoria Geral da Relatividade e a construção de grandes telescópios no início do
século XX vieram causar uma nova revolução na Cosmologia. Foi descoberta a expansão do
Universo, o que contrariava a ideia do universo estático newtoniano, e ficou claro que, muito
provavelmente, o Universo começou com um “Big-Bang” que marcou o início do espaço e do
tempo.
Todos os modelos cosmológicos começaram a ser construídos com base nas equações
da Teoria da Relatividade Geral.
“A sua teoria [de Einstein] era tão poderosa que ele podia resumi-la numa equação
de cerca de uma polegada de comprimento. Nesta brilhante teoria, a quantidade de curvatura
de espaço-tempo era determinada pela quantidade de matéria e de energia que continha. […]
Quanto maior for a estrela, maior será a curvatura do espaço-tempo” [Kaku, 2006].
Tal como Newton, Einstein considerava que o Universo era uniforme e estático, mas,
ao resolver as suas equações descobriu que estas não conduzem a um universo estático. De
acordo com as equações da Teoria da Relatividade Geral, o Universo ou estava em expansão
ou em contracção. Para que a sua teoria descrevesse um universo estático, Einstein viu-se
90
Capítulo 2 - Cosmologia obrigado, em 1917, a introduzir um novo termo nas suas equações a que chamou constante
cosmológica (representada pela letra grega Λ - “lambda”). A constante cosmológica era um
termo da equação que servia para contrabalançar a gravidade, sendo descrita como uma força
de “anti-gravidade” que produzia uma solução estática para o Universo.
Ao introduzir a constante cosmológica, Einstein perdeu uma grande oportunidade de
postular que vivemos num Universo dinâmico e em expansão, como se descobriu doze anos
depois, em 1929. Alguns anos mais tarde referiu que a constante cosmológica tinha sido o
“maior erro da sua vida”. Hoje em dia a constante cosmológica tornou-se importante para a
Cosmologia, mas com um significado diferente do qual Einstein lhe deu.
Vários foram os físicos que se interessaram por encontrar soluções para as equações
de Einstein. Em 1917, Willem de Sitter (1872-1934) encontrou uma solução “estranha” para
estas equações: considerou um universo infinito sem matéria que mesmo assim se expandia
devido à “energia do vácuo”, a constante cosmológica. Enquanto que o universo de Einstein
tinha matéria mas não tinha movimento, o universo de Sitter tinha movimento, mas era
desprovido de matéria. Já na década de 1920, Alexander Alexandrovich Friedmann (18881925) e George Lemaître (1894-1966) mostraram também que as equações de Einstein dãonos um universo em expansão ou em contracção.
Friedmann foi quem encontrou as soluções mais gerais e realistas da Relatividade
Geral. Admitiu que o Universo era dinâmico e mais duas hipóteses que estão na base do
Modelo Cosmológico Padrão: que o Universo é isotrópico e homogéneo. Este modelo será
abordado mais à frente e com maior detalhe.
No final da década de 1920 havia pelo menos três modelos sobre como o Universo
deveria evoluir: o de Albert Einstein, o de Willem de Sitter e o de Friedmann-Lemaître. Mas
um modelo para ser aceite terá de ser testado e validado a partir de dados observacionais.
Edwin Hubble (1889-1953) e outros astrónomos viriam a ter um papel importantíssimo quer
na Astronomia quer no conhecimento do Universo.
2.2. O que existe no Universo
Antes do século XX, aquilo que se podia observar astronomicamente, com ou sem
telescópio, era a radiação correspondente apenas a uma pequena parte do espectro
electromagnético – a luz visível. Agora é possível observar por exemplo, ondas de rádio
91
Capítulo 2 - Cosmologia emitidas pela nossa galáxia; microondas que “sobram” do Big-Bang; radiação infravermelha,
ultravioleta, raios X e raios
emitidos por estrelas e galáxias.
Durante o dia a nossa principal fonte de luz é o Sol, classificado como uma estrela
porque emite luz própria devido a processos de fusão nuclear que ocorrem no seu interior. O
Sol é uma estrela típica do Universo com uma massa de aproximadamente 2.0
(uma massa solar representa-se pelo símbolo
). As estrelas mais próximas do Sistema
Solar estão a uma distância de alguns anos-luz (um ano-luz –
9.46
10
10
– corresponde a cerca de
, e é a distância que a luz percorre num ano).
Em Cosmologia, para além de se utilizar a unidade ano-luz, frequentemente usa-se um
múltiplo do parsec, o megaparsec (
). O parsec (
) é definido como a distância à qual a
distância média entre a Terra e o Sol subentende um ângulo de um segundo de arco (1⁄3600
graus). A distância média da Terra ao Sol é uma unidade astronómica (1
De acordo com a ilustração 2.2, 1
10
1.496
.
10
.
1
sol
Distâncias astronómicas
Unidade
1
1.496 10
astronómica
1
9.4605 10
Ano-luz
1
63240
1
3.0857 10
Parsec
1
3.2616
1
206265
1 parsec
Órbita da Terra
Ângulo: 1 segundo de arco
Ilustração 2.2 - A definição de parsec e o seu valor, bem como os valores de outras distâncias
astronómicas.
92
3.086
Capítulo 2 - Cosmologia O Sistema Solar pertence a um dos braços em espiral de uma gigante estrutura em
disco designada por Via Láctea. A Via Láctea é uma galáxia constituída por cerca de 200 mil
milhões de estrelas, com massas que vão desde cerca de um décimo da massa do Sol até
dezenas de vezes superior. É ainda constituída por grandes quantidades de gás e poeira, o
material de que são feitos todos os corpos celestes que aí existem.
A nossa galáxia possui três componentes principais: um disco, um bojo no centro
(possivelmente com uma barra) e um enorme halo.
O bojo é uma concentração elipsoidal ligeiramente achatada de estrelas, com cerca de
6500 anos-luz de extensão máxima. O bojo inclui o centro galáctico que está rodeado por
uma grande concentração de estrelas e um disco de Hidrogénio neutro na zona mais interior (o
núcleo da galáxia). Possivelmente o centro galáctico é constituído por um buraco negro super
massivo com uma massa 4 milhões de vezes superior à do Sol.
O disco é constituído por gás, poeira e estrelas que estão confinados a um plano de
rotação com 160 mil anos-luz (50
) de diâmetro e 2 mil anos-luz (600
) de espessura.
O disco apresenta uma estrutura espiral, cujos braços são zonas de maior densidade de
matéria. O Sistema Solar localiza-se num desses braços em espiral a cerca de 26 mil anos-luz
de distância do centro galáctico.
O halo galáctico tem uma estrutura aproximadamente esférica com quase 300 mil
anos-luz de diâmetro, centrada no núcleo galáctico. No halo encontram-se dispersas estrelas
isoladas e organizadas em enxames com forma globular. Estes enxames globulares são
tipicamente constituídos por milhões de estrelas e distribuem-se de uma forma mais ou menos
simétrica em relação ao bojo. O halo contém baixa concentração de gás e poeira, mas está
totalmente preenchido por Hidrogénio ionizado.
O período de rotação do Sistema Solar em torno do centro da galáxia é cerca de 220
milhões de anos, orbitando a uma velocidade de 790000
.
.
Se diminuíssemos a Via Láctea até ao diâmetro terrestre, o Sol passaria a ser do
tamanho de um grão de pó com 0.02
Solar teria 16
, a Terra estaria a 2
de distância e o Sistema
de diâmetro.
A massa da Via Láctea não é constituída apenas pelo material que se encontra nas
estrelas, gás, poeira, etc., mas também por um tipo de matéria que não emite radiação e não
pode ser detectada (pelo menos até à data) – a matéria escura. A dinâmica da Via Láctea
permitiu aos astrónomos estimar a sua massa em cerca de 10
. Apenas 10% desta massa
está na forma de estrelas visíveis, gás e poeiras. Os restantes 90% da massa da nossa galáxia
93
Capítulo 2 - Cosmologia são matéria escura. Especula-se que esta matéria escura poderá ser uma combinação de
objectos normais (constituídos por protões, neutrões e electrões), mas de muito fraca
luminosidade; neutrinos com massa não nula; e por matéria “exótica”, sob a forma de
partículas elementares ainda não conhecidas pelos Físicos.
Ilustração 2.3 - Uma imagem artística da Via Láctea “vista” pelo satélite COBE. Retirado do site
http://map.gsfc.nasa.gov/universe/rel_milkyway.html.
A nossa galáxia está incluída num “pequeno” grupo de galáxias designado por grupo
local. A galáxia mais perto da Via Láctea é a pequena galáxia irregular conhecida como a
Grande Nuvem de Magalhães, que está a cerca de 165 mil anos-luz da Terra. À distância de
2.5 milhões de anos-luz encontra-se a galáxia com um tamanho próximo da nossa: a galáxia
de Andrómeda ou M31. O grupo local é constituído por cerca de 50 galáxias ocupando cerca
de 4.5 milhões de anos-luz de extensão.
As galáxias estão ainda organizadas em enxames e super-enxames de galáxias. Estas
estruturas, ligadas gravitacionalmente, agrupam desde centenas a milhares de galáxias numa
região do espaço de algumas dezenas de milhões de anos-luz.
Observando grandes regiões do céu, com extensões de 100
, mais de 300 milhões
de anos-luz, verifica-se uma certa homogeneidade na distribuição dos enxames de galáxias no
Universo.
94
Capítulo 2 - Cosmologia Ilustração 2.4 – A estrutura do Universo próximo. Esta imagem de radiação infravermelha feita pelo
projecto Two-Micron All- Sky Survey (2MASS) mostra a luz de cerca de 1.6 milhões de galáxias. Esta
imagem cobre praticamente todo o céu nocturno e é projectado numa oval, em que a banda azul
corresponde a luz emitida pela Via Láctea. As galáxias formam estruturas filamentares. Imagem
retirada do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005].
A evidência de que o Universo é homogéneo em grandes escalas está de acordo com
um dos pilares da Cosmologia, o princípio cosmológico, que será discutido na secção 2.5.
Equipas de astrónomos que estudam a Via Láctea, utilizando radiação infravermelha
(das câmaras do Spitzer Space Telescope) e ondas de rádio (usando o Very Long Baseline
Array), apresentaram, em Junho de 2008, na American Astronomical Society, uma
actualização da estrutura da nossa galáxia. Essa nova “imagem” mostra a nossa galáxia
“espiral barrada” (como já se suspeitava há algum tempo) tal como seria vista por um
observador distante (figura da ilustração 2.5). Por outro lado, os cientistas sempre acreditaram
que a Via Láctea teria quatro braços principais. Mas, estes novos dados revelam que a nossa
galáxia é constituída por dois braços principais e dois mais pequenos. Os dois braços
principais têm uma grande densidade de estrelas, a produção de novas estrelas também é
elevada, e estão claramente ligados à “barra longa” de estrelas do centro galáctico (Long Bar,
na figura). Os braços mais pequenos têm uma grande densidade de gás e provavelmente
menor formação estelar. Pode-se ainda verificar a existência de dois braços interiores, com
cerca de 3
near 3
cada um – o braço longe (em inglês, far 3
arm) e o braço perto (em inglês,
arm).
95
Capítulo 2 - Cosmologia Ilustração 2.5 - Imagem artística da Via Láctea apresentada em Junho de 2008. Imagem retirada do
site: http://www.astronomy.com/asy/default.aspx?c=a&id=7039.
2.3. As partículas que existem no Universo
O comportamento do Universo como um todo depende da quantidade de
massa/energia que contém. Qualquer partícula do Universo tem duas contribuições para a sua
energia: a energia associada à sua quantidade de movimento, ou energia cinética, e a energia
associada à sua massa. A energia total de uma partícula
é calculada por [Liddle, 2003]:
2.3.1
96
Em que
partícula e
é a velocidade da luz no vazio,
Capítulo 2 - Cosmologia a quantidade de movimento (momento linear) da
a massa da partícula em repouso.
Se a partícula se move a uma velocidade bastante inferior à da luz, a componente da
energia associada à massa é dominante. Diz-se então que é uma partícula não-relativista e a
sua energia total é calculada por:
2.3.2
2
O primeiro termo do membro da direita corresponde à famosa equação de Einstein:
2.3.3
Ao deduzir esta fórmula Einstein mostrou que a matéria e a energia estão unificadas,
podendo transformar-se uma na outra. A fórmula 2.3.3 dá-nos a energia total da partícula
quando está em repouso em relação a um dado referencial.
O segundo termo do membro da direita da equação 2.3.2 corresponde à energia
cinética da partícula para o caso de partículas não-relativistas, em que a quantidade de
movimento ou momento linear da partícula é dado por:
.
Se a componente de energia associada à massa da partícula não é dominante, esta estáse a mover a uma fracção considerável da velocidade da luz: é uma partícula relativista. Uma
partícula que tenha uma massa em repouso nula, como por exemplo um fotão, é sempre
relativista e viaja a uma velocidade igual à velocidade da luz.
As partículas que constituem o Universo podem ser divididas em quatro grandes
grupos: os bariões, os fotões, os neutrinos e a matéria escura.
Os bariões são partículas constituídas por três quarks, em que os protões e os neutrões
se destacam pela sua grande estabilidade relativamente a outras partículas. Os protões e os
neutrões são as partículas bariónicas que estão em maior quantidade no Universo. Apesar de
os electrões não serem feitos de quarks, normalmente são incluídos no grupo dos bariões.
Acredita-se que haja um electrão por cada protão do Universo, para que este seja globalmente
neutro. No Universo actual, os bariões são, tipicamente, partículas não-relativistas.
Os fotões são outro tipo de partículas que existem no nosso Universo e já foram
tratados no capítulo da Radiação (capítulo 1).
97
Capítulo 2 - Cosmologia Os neutrinos são partículas muito pouco interactivas e pensa-se que possuem uma
massa quase nula e que são partículas relativistas. Podem ser produzidas, por exemplo, num
decaimento radioactivo e em reacções nucleares como as que ocorrem no interior do Sol.
A matéria escura é constituída por outro tipo de partículas que se sabe que existem no
Universo, mas as suas propriedades ainda não são bem conhecidas, como já foi referido na
secção anterior.
2.4. A expansão do Universo
Entre 1912 e 1923 Vesto Melvin Slipher (1875-1969), trabalhando no observatório
Lowell, no Arizona – EUA, mostrou que algumas “nebulosas espirais” distantes se estavam a
afastar da Terra, a partir do estudo das suas linhas espectrais.
Em Astronomia, a espectroscopia é bastante importante dado que nos permite
determinar a composição química de objectos distantes. Por exemplo, o Sol emite radiação
em todos os comprimentos de onda, tendo um comportamento próximo de um “corpo negro”.
Ao fazer passar a luz do Sol por um prisma seria de esperar um espectro visível contínuo,
desprezando os efeitos da atmosfera terrestre. Mas, analisando com mais detalhe o seu
espectro, verifica-se que existem linhas negras que correspondem à radiação que foi absorvida
pela atmosfera solar. De acordo com as leis de Kirchhoff este é um espectro de absorção dado
que a radiação é emitida num contínuo de frequências pela superfície do Sol e, ao encontrar
um gás mais frio como o da sua atmosfera, parte dessa radiação, em comprimentos de onda
específicos, é absorvida pelos átomos que constituem a atmosfera solar. Identificando essas
linhas espectrais é possível determinar a composição química da atmosfera do Sol, dado que
estas linhas são o “bilhete de identidade” de cada elemento químico. A análise dos espectros
quer de planetas, quer de estrelas, quer de galáxias distantes pode dizer-nos muito não só
acerca da composição química, mas também sobre a temperatura desses corpos celestes, e
pode ainda ser útil para determinar velocidades de afastamento ou aproximação desses
objectos em relação à Terra.
Foi Christian Doppler (1803-1853) que em 1842 afirmou que o comprimento de onda
da luz emitida por um objecto devia ser afectado pelo movimento relativo entre o observador
e o objecto emissor. Este efeito de Doppler diz que se uma fonte luminosa se aproxima de
nós, as ondas luminosas que ela emite são comprimidas, ou seja, o seu comprimento de onda
diminui, sofrendo aquilo que vulgarmente se chama de desvio para o azul (blueshift, em
98
Capítulo 2 - Cosmologia inglês). Se a fonte se afasta de nós, então as ondas luminosas são alongadas, dando-lhe um
comprimento de onda maior, vulgarmente designado desvio para o vermelho (redshift, em
inglês).
Para que o efeito de Doppler seja observado é necessário que as velocidades relativas
entre a fonte luminosa e o observador sejam bastante elevadas, pelo que este efeito não é
perceptível no nosso dia-a-dia. Mesmo as estrelas que podemos observar à noite com um
telescópio têm desvios no seu comprimento de onda de apenas uma fracção de nanómetro3.
A detecção do efeito de Doppler na Astronomia envolve equipamento bastante
sensível. Assim se por acaso estivermos a observar uma estrela azulada é porque ela é mesmo
azul, não significa que se está a aproximar de nós a grande velocidade.
Apesar de, na nossa vida diária, não observarmos o desvio de ondas electromagnéticas
para o vermelho ou azul, esse efeito é bastante comum se pensarmos em termos de ondas
sonoras. Basta ouvir o som de um automóvel a afastar-se ou a aproximar-se de nós. Quando
se afasta, as ondas sonoras produzidas serão ouvidas com um maior comprimento de onda e o
som será mais grave. Quando se aproxima, as ondas sonoras produzidas serão ouvidas com
um menor comprimento de onda e o som será mais agudo.
Aplicado às ondas luminosas, Doppler mostrou que o desvio do comprimento de onda
Δ pode ser determinado pela seguinte equação:
Δ
Na equação anterior Δ
2.4.1
, em que
é o comprimento de onda observado,
num dado instante, por um observado fixo localizado na origem do sistema de coordenadas;
é comprimento de onda emitido pela fonte (num instante anterior) representando o
comprimento de onda que seria observado se a fonte não se movesse;
a componente radial
de velocidade da fonte luminosa em relação ao observador; e a velocidade da luz no vazio.
Slipher estudou as linhas espectrais de “nebulosas” (que não eram mais do que
galáxias distantes) e apercebeu-se de que das 41 estudadas, 36 apresentavam um desvio para
o vermelho das suas linhas espectrais e apenas 5 apresentavam um desvio para o azul. Dado
que os movimentos das “nebulosas” são governados pelas leis da atracção gravitacional, seria
natural que o número de galáxias com desvio para o vermelho fosse mais próximo do número
de galáxias com desvio para o azul. Mas, ao contrário do que seria de esperar, o número de
3
1
1
10
. 99
Capítulo 2 - Cosmologia galáxias que se afastavam da nossa posição não era semelhante ao número de galáxias que se
aproximavam. Esta descoberta de Slipher destronou o universo estático de Newton e do
próprio Einstein. Enquanto aquele astrónomo determinava as velocidades de afastamento
destas galáxias um outro, Edwin Hubble, empenhou-se na determinação da distância a que as
galáxias mais próximas se encontravam.
Usando os dados de Slipher e de Hubble, o cosmólogo Robertson, mostrou, em 1928,
que havia uma proporcionalidade directa entre a velocidade das galáxias e a distância a que se
encontravam. Descobrira que o Universo está em expansão. No entanto, hoje em dia, a
descoberta da expansão do Universo é normalmente atribuída a Hubble, o qual, em 1929
estabeleceu a lei com o seu nome – a lei de Hubble. Esta lei estabelece que quanto mais
distante a galáxia está, maior é o desvio das suas linhas espectrais para o vermelho. A lei de
Hubble pode ser traduzida pela relação:
2.4.2
onde
é a velocidade de afastamento ou recessão da galáxia,
a distância a que se encontra e
a constante de proporcionalidade ou “constante de Hubble”, para a época actual.
Um Universo em expansão implica que as galáxias se afastam todas umas das outras.
Este efeito tem de ser considerado à escala cósmica dado que localmente as galáxias de um
dado grupo podem estar a aproximar-se devido à dinâmica do próprio grupo. Isto justifica o
facto de, por exemplo, nas observações de Slipher haver um desvio para o azul em algumas
galáxias.
De acordo com a Teoria Geral da Relatividade, os desvios sistemáticos para o
vermelho das galáxias distantes devem-se à expansão do próprio tecido do cosmos.
O facto de as galáxias se estarem a afastar de nós com velocidades proporcionais à
distância não significa que ocupemos uma posição especial no Universo. O desvio
cosmológico para o vermelho significa que as galáxias se afastam de nós mas também que se
afastam umas das outras.
Para compreender melhor a ideia da expansão do Universo consideremos de novo uma
superfície transparente na qual estão colados vários berlindes de uma forma aleatória. Cada
berlinde vai causar uma pequena deformação na superfície. Se agora esticarmos essa
superfície é fácil de imaginar que todos os berlindes se vão afastar uns dos outros.
Substituindo a superfície pelo espaço-tempo e os berlindes pelas galáxias, ficamos com uma
imagem do que é a expansão do Universo. É evidente que as galáxias não estão “coladas” ao
100
Capítulo 2 - Cosmologia tecido cósmico, têm uma velocidade própria ou peculiar relativamente a ele, que resulta das
interacções gravitacionais entre elas.
O grande telescópio de Monte Wilson foi uma peça fundamental para que Edwin
Hubble fizesse as observações que o levaram a estabelecer a lei da expansão, em 1929. Mas,
ainda em 1923, Hubble mostrou que a “nebulosa de andrómeda” estava fora da nossa galáxia,
a Via Láctea. Até à sua descoberta, a maioria dos astrónomos pensava que todo o Universo
tinha apenas poucos milhares de anos-luz e que não havia nada mais para além da Via Láctea.
Hoje sabemos que a nossa galáxia é apenas uma entre as milhares de milhões que existem no
Universo, e que estão distribuídas por milhares de milhões de anos-luz de extensão.
A lei de Hubble é uma proporcionalidade directa, ou seja, uma galáxia duas vezes
mais distante do que outra tem uma velocidade de recessão duas vezes maior. Vamos
imaginar de novo uma superfície bidimensional na qual é desenhada uma grelha de linhas que
se intersectam. Esta grelha forma aquilo a que se chama um sistema de coordenadas comóveis porque as linhas estão fixas na superfície bidimensional e, se esta expandir, as linhas
da grelha acompanham essa expansão. Desenhemos então um conjunto de 6 galáxias, A, B, C,
D, E e F, sobre a grelha como se pode observar na ilustração 2.6, figura da esquerda. Nesta
situação e num dado instante a distância mínima entre as galáxias é de 50
, ou seja,
50 milhões de parsec. Vamos agora imaginar que a superfície é esticada. Num dado instante
as linhas que formam a grelha, solidárias com a expansão, vão estar, por exemplo, a uma
distância que é o dobro da anterior, como se pode observar pela figura da direita da ilustração
2.6.
101
50
A
Capítulo 2 - Cosmologia 100
B
C
D
A
B
C
D
50
E
E
Ilustração 2.6 - Na figura da esquerda temos representado cinco galáxias. Na figura da direita o
universo expandiu por um factor de dois. Todas as galáxias estão duas vezes mais distantes da galáxia
A.
Num primeiro instante as galáxias A e B estavam afastadas por 50
as galáxias A e C por 100
de distância e
de distância. Admitindo uma expansão uniforme, durante o
intervalo de tempo que passou, a distância entre as galáxias A e B aumentou de um factor 2
(aumentou 100%) que é igual para o caso da distância entre as galáxias A e C. A distância
entre as galáxias A e B passou a ser 100
200
e a distância entre as galáxias A e C passou para
, no mesmo intervalo de tempo. Existe então um factor – factor de escala universal –
que normalmente os físicos representam pela letra
e os cosmólogos pela letra
. Num
universo em expansão, este factor de escala, , aumenta com o tempo. Por outro lado, num
determinado instante, esse factor tem o mesmo valor em qualquer ponto do espaço.
O sistema de coordenadas co-móveis permite que as coordenadas de um objecto
estacionário no espaço, em expansão, não sejam alteradas. Os objectos co-móveis encontramse fixos em relação às linhas coordenadas e as suas posições podem ser determinadas através
desta grelha de coordenadas co-móveis. Uma das vantagens deste sistema de coordenadas é
que ele permite distinguir entre velocidades de expansão ou recessão, e velocidade própria ou
peculiar. O movimento peculiar de um objecto, que resulta não da expansão global do
Universo, mas da dinâmica dos corpos celestes causada pela gravidade local, pode ser
detectado e medido em relação a este sistema de coordenadas.
Nas figuras da ilustração 2.6 podemos dizer que um observador co-móvel mede a
mesma distância co-móvel entre, por exemplo, as galáxias A e B. Ou seja, todas as distâncias
co-móveis
102
mantêm-se constantes no decurso da expansão da superfície bidimensional.
Capítulo 2 - Cosmologia Mas, a distância própria ou física entre as galáxias, aumenta devido à expansão,
proporcionalmente a um factor de escala
. Num sistema de coordenadas co-móvel se a
distância entre as duas linhas mais próximas da grelha for, inicialmente, 50
, como se
considerou na ilustração 2.6, então a distância co-móvel entre as galáxias A e B será sempre
50
, em qualquer instante. Para determinarmos, num dado instante
, a distância física
, entre as galáxias, teremos de multiplicar a distância co-móvel
, pelo factor de
expansão ou factor de escala nesse mesmo instante,
, ou seja:
2.4.3
A expansão do Universo torna-se uma explicação óbvia para a observação, iniciada
por Slipher, do desvio das linhas espectrais de galáxias distantes para o vermelho.
Se agora desenharmos sobre uma vulgar borracha (utilizada para apagar traços de um
lápis) uma linha com forma sinusoidal, que representa uma onda, e a esticarmos, observamos
que a onda vai sofrer um aumento do seu comprimento de onda como se pode observar pela
ilustração 2.7.
Ilustração 2.7 - Na figura da esquerda desenhou-se uma onda sobre uma borracha. Na figura da direita
esticou-se a borracha, o que fez aumentar o comprimento de onda.
De forma análoga, quando se observa a luz emitida por uma galáxia distante sabemos
que essas ondas electromagnéticas, à medida que viajam pelo espaço em expansão, vão
apresentar um comprimento de onda maior quando são detectadas do que aquele que
apresentariam se Universo não estivesse em expansão. Quanto mais distante estiver a galáxia,
maior é o desvio para o vermelho das ondas electromagnéticas detectadas, que é o que traduz
a lei de Hubble.
O desvio para o vermelho causado pela expansão do Universo é normalmente
designado por “desvio cosmológico para o vermelho”. Este efeito não deve ser entendido
como o efeito de Doppler, tal como ele está definido. O efeito de Doppler acontece quando a
fonte luminosa e observador estão em movimento relativo através do espaço, enquanto que o
desvio cosmológico para o vermelho é consequência da expansão do próprio espaço. De
103
Capítulo 2 - Cosmologia qualquer forma, a expressão 2.4.1 pode ser utilizada porque nos dá um valor numérico
correcto para a variação do comprimento de onda, para velocidades de recessão de galáxias
bastante inferiores à da luz (
).
O desvio para o vermelho, que se representa pela letra , é definido pela seguinte
expressão:
2.4.4
Na expressão,
observado (no instante
e
representam, respectivamente, o comprimento de onda
) e o comprimento de onda no instante da emissão
Se a galáxia que estamos a observar tem uma velocidade de recessão
(anterior a
).
, então, de acordo
com a expressão 2.4.1, o desvio para o vermelho será dado por:
2.4.5
Como referido anteriormente, esta expressão é apenas válida para velocidades de
recessão bastante inferiores à velocidade da luz, em que se pode ignorar os efeitos
relativísticos. Quando as velocidades de recessão se aproximam da velocidade da luz o valor
numérico de
pode ser dado, aproximadamente, por [Freedman e Kaufmann, 2005]:
2.4.6
1
Notar que a expressão 2.4.4 pode ainda ser escrita da seguinte forma:
1
2.4.7
Hubble, para estabelecer a lei da expansão, utilizou a fórmula de Doppler para
relacionar a velocidade de recessão das galáxias com o desvio das riscas espectrais. Com os
valores das distâncias a essas mesmas galáxias, que ele próprio determinou, construiu um
104
gráfico da velocidade de recessão
da constante de Hubble,
em função da distância
Capítulo 2 - Cosmologia e determinou o primeiro valor
(ilustração 2.8).
Ilustração 2.8 - Na comunicação de 17 de Janeiro de 1929 Hubble traçou um gráfico da velocidade de
recessão de algumas galáxias em função da distância. Os círculos representam as galáxias, próximas da
Via Láctea. A linha recta representada é a que melhor aproxima esta distribuição de círculos. As
velocidades (em
) são calculadas através dos desvios observados nas linhas espectrais. Hubble
teve o mérito de determinar com maior precisão as distâncias a essas galáxias. O primeiro valor
encontrado para a constante de Hubble foi de 530
, bastante diferente do actual
). (Imagem retirada do site http://www.pnas.org/cgi/content/full/101/1/8/FIG1).
(71
Como exemplo, vamos considerar uma galáxia com um desvio para o vermelho
1.
Desde o instante em que a luz foi emitida até ao instante em que foi observada, o Universo
expandiu num factor de dois ( ⁄
1
1
2). Ou seja, quando a luz foi emitida as
galáxias estavam afastadas por uma distância que é metade da actual e, por sua vez, o volume
espacial seria um oitavo do volume actual do Universo ( 1⁄2
afirmar que quanto maior o desvio para o vermelho
1⁄8). Podemos então
mais para o “passado” estamos a olhar,
ou seja, estamos a ver o Universo quando era mais novo.
Considerando a expressão 2.4.6 e usando um valor actualmente aceite para a constante
de Hubble,
71
, podemos fazer uma estimativa da distância a que está a
galáxia utilizando a lei de Hubble. Em primeiro lugar determinamos a velocidade de recessão
da galáxia:
105
1
1
Capítulo 2 - Cosmologia 0.6
De acordo com a lei de Hubble e sabendo que a velocidade da luz no vazio é
3.0
10
, obtemos a distância a que está a galáxia:
0.6
3.0
10
71
Sabendo que 1
3.2616
2535
8.2
, a distância à galáxia será
10
. A
galáxia estaria a cerca de 8200 milhões de anos-luz da Terra. A luz que estamos agora a
receber dessa galáxia já foi enviada há cerca de 8200 milhões de anos. Mas esta é uma
estimativa muito grosseira já que, como estamos a tratar de distâncias bastante elevadas, essa
luz atravessou várias “épocas” do Universo em que a taxa de expansão seria diferente e,
portanto, a constante de Hubble (ou, como se diz em Cosmologia, parâmetro de Hubble, como
veremos na próxima secção) também. Por sua vez o valor de
afectado de uma incerteza. O seu valor actual de 71
galáxia estiver à distância de 1
para a época actual está
significa que se uma
a sua velocidade de recessão é de 71
.
2.5. O Modelo Cosmológico Padrão
O Modelo Cosmológico Padrão (com algumas modificações) é o modelo que reúne o
mais amplo consenso no seio da comunidade cosmológica internacional.
A designação de Modelo Cosmológico Padrão ou simplesmente Modelo Padrão tem
um significado em Cosmologia. Por um lado é um “modelo” porque não nos dá uma resposta
final, por outro, o termo “padrão” significa que existem uma quantidade apreciável de factos
observacionais que o suportam, tornando-o uma boa aproximação do que se passa na
realidade.
Os principais pressupostos em que se baseia o Modelo Cosmológico Padrão estão
descritos a seguir.
Um dos pressupostos fundamentais é o que é traduzido pelo princípio cosmológico.
Ao considerarmos grandes escalas (podemos considerar grandes escalas, as que são superiores
a 100
106
), o Universo é homogéneo, ou seja, em larga escala, a massa e a energia totais do
Capítulo 2 - Cosmologia Universo estão distribuídas de uma forma uniforme. Por outro lado, seja qual for a direcção
do céu que olhemos, o Universo, novamente à escala cósmica, vai ter o mesmo aspecto. De
acordo com o princípio cosmológico, o Universo é, portanto, homogéneo e isotrópico. Este
princípio é válido para qualquer local do Universo (isto quer dizer que nós não ocupamos uma
posição privilegiada no Universo) e ainda para qualquer instante da sua História.
Outro elemento essencial no desenvolvimento do Modelo Padrão é o de que o
Universo está em expansão, em que existe uma proporcionalidade directa entre a velocidade
de afastamento das galáxias e a distância de separação das mesmas, descrita pela lei de
Hubble (equação 2.4.2).
As equações da Relatividade Geral são o suporte matemático do Modelo Padrão. As
suas soluções descrevem a dinâmica do Universo, prevendo a expansão de Hubble, e dão-nos
três cenários possíveis para a forma como o Universo vai evoluir, que serão abordados mais à
frente.
Finalmente, o Modelo Padrão afirma que o Universo terá expandido a partir de um
estado super quente e super denso em que havia um equilíbrio térmico entre a matéria e
radiação, como um “corpo negro”.
O facto de o Universo estar em expansão significa que terá tido um começo
incrivelmente quente. Esse “início” do Universo é conhecido pelo Big-Bang e o modelo que
estamos a tratar também pode ser designado por modelo do Big-Bang.
Apesar de o Modelo Padrão ser baseado na Teoria da Relatividade Geral, é possível
obter as equações cosmológicas recorrendo às “velhas” equações de Newton, desde que feitas
as devidas reinterpretações. De facto, a mais importante solução cosmológica das equações da
Relatividade Geral, obtida por Friedmann, e que descreve um universo em expansão (ou em
contracção), pode ser obtida a partir da teoria da gravitação newtoniana.
Para obtermos as equações cosmológicas a partir da gravitação newtoniana teremos de
usar o teorema de Birkhoff, que estabelece que o campo gravitacional no exterior de uma
região com uma distribuição esférica de massa é o mesmo que o campo gravitacional criado
por toda a massa da distribuição considerada, se esta estivesse concentrada no centro da
região esférica [Maurício, 2006].
Para calcular o movimento de qualquer galáxia típica considera-se uma região do
Universo com uma distribuição esférica de massa que se encontra em expansão no espaço
vazio. O observador encontra-se no centro da esfera, posição
galáxia à distância
, e o ponto
representa a
do observador. A galáxia afasta-se com uma velocidade,
, numa
direcção radial, como representado na ilustração 2.9.
107
Capítulo 2 - Cosmologia Ilustração 2.9 – Região do Universo com uma distribuição esférica de massa que se encontra em
expansão no espaço vazio.
O movimento dessa galáxia, relativamente ao observador
, é o mesmo que ela teria
se fosse removida toda a massa do Universo exterior à esfera, isto é, o movimento da galáxia
depende apenas da massa no interior da esfera. Sobre a galáxia apenas actua uma força radial
que aponta para o centro da esfera – a força gravitacional ( ) – consequência da distribuição
de massa no interior da região esférica de raio . Como a esfera está em expansão o seu raio
varia com o tempo, ou seja,
. Supõe-se ainda que a densidade da esfera é uniforme e
que as partículas que a constituem se encontram em queda livre no campo gravitacional
criado pela distribuição de massa. Ao fazermos estas suposições estamos então a aplicar o
teorema de Birkhoff que nos permite calcular o movimento de uma qualquer galáxia
, em
relação a um observador , necessitando de considerar apenas a massa contida no interior da
esfera centrada em
e em cuja superfície se encontra a galáxia dada.
Recorrendo à segunda lei de Newton sabemos que o somatório das forças exteriores
que actuam sobre a galáxia, no ponto , é igual ao produto da sua massa
çã
pela aceleração:
2.5.1
O valor da aceleração é, por sua vez, a segunda derivada da posição em ordem ao
tempo:
çã
108
2.5.2
Na expressão 2.5.2 o valor de
Capítulo 2 - Cosmologia representa a distância entre o observador e a galáxia, e
é a segunda derivada da posição em ordem ao tempo.
Usando a Lei da Gravitação Universal de Newton, a intensidade da força
gravitacional que actua na galáxia é dada por:
2.5.3
Na expressão anterior,
é a massa total no interior da região esférica,
a distância a que a galáxia está do observador, e
a massa da galáxia,
a constante de gravitação universal.
Sobre a galáxia só actua a força gravitacional. Podemos então escrever a equação que
governa o movimento da galáxia:
2.5.4
O sinal negativo da equação resulta do facto de a força gravitacional ser atractiva, ou
seja, está dirigida para o interior da região esférica.
Simplificando a equação, obtém-se:
2.5.5
Tendo em conta que o volume de uma esfera é dado por
esférica pode ser escrita em função da sua densidade
, a massa
da região
que se supõe constante e, portanto, não
depende da posição da galáxia:
4
3
2.5.6
Substituindo a expressão 2.5.6 na equação 2.5.5, a equação do movimento pode-se
escrever como:
109
3
2.5.7
Pelo facto da esfera se encontrar em expansão, de acordo com a equação 2.4.3,
podemos dizer que a distância , que é uma função do tempo, é directamente proporcional ao
raio co-móvel
entre a galáxia e o observador:
2.5.8
onde
é o factor de escala no instante .
Dado que o raio co-móvel
é constante podemos escrever:
2.5.9
Em que
é a segunda derivada do factor de escala em ordem ao tempo.
Atendendo às equações 2.5.7 e 2.5.9 podemos escrever a equação 2.5.7 da seguinte
forma:
4
3
2.5.10
Esta equação é válida para qualquer outra galáxia ou partícula material que se mova
sob a influência de uma distribuição de massa com simetria esférica e de densidade uniforme.
A densidade da esfera é determinada por (usando a relação 2.5.8):
3
4
3
2.5.11
4
Ou seja, a densidade da esfera é proporcional a
, em que
é uma constante:
2.5.12
Substituindo 2.5.12 na equação 2.5.10 ficamos com:
110
4
3
2.5.13
Se multiplicarmos os dois membros da equação por 2 , em que
é a primeira
derivada do factor de escala em ordem ao tempo, podemos escrever:
8
3
2
2.5.14
O primeiro integral desta equação é imediato podendo-se escrever da seguinte forma:
8
3
1
2.5.15
Substituindo 2.5.12 na equação anterior ficamos com:
8
3
2.5.16
No segundo membro da equação aparece uma constante de integração
que, para já,
não tem qualquer interpretação Física.
Vamos agora aplicar a lei da conservação da energia à galáxia que se encontra na
superfície da região esférica em expansão. A sua energia total
é a soma da sua energia
cinética com a energia potencial gravitacional, isto é:
1
2
Nesta expressão
e
esférica de massa, e da galáxia;
observador;
2.5.17
representam, respectivamente, as massas da distribuição
o valor da velocidade a que a galáxia se afasta do
a distância da galáxia em relação ao observador; e
Multiplicando todos os membros da equação por
2
a constante de gravitação.
e rearranjando a equação ficamos com:
2
2.5.18
111
Capítulo 2 - Cosmologia Podemos considerar que o movimento da galáxia, de acordo com a interpretação
clássica, é precisamente igual ao de uma pedra atirada para cima a partir da superfície da
Terra. Se a pedra é lançada com velocidade suficiente subirá, diminuindo gradualmente a sua
velocidade, mas consegue escapar ao campo gravítico terrestre, ou seja, escapa-se para o
“infinito”. Por outro lado, se a pedra for atirada com uma velocidade insuficiente, subirá até
atingir uma altura máxima e voltará a cair. A velocidade mínima para que a pedra se afaste da
influência do campo gravítico terrestre chama-se velocidade de escape,
depende da massa da Terra
e da distância a que está do seu centro
, e o seu valor
:
2
2.5.19
No caso da distribuição esférica de massa em expansão (ilustração 2.9), podemos dizer
que quando a velocidade desta superfície (onde está colocada a galáxia) é menor do que a
velocidade de escape, a esfera tem uma primeira fase de expansão e mais tarde colapsa. Se
essa velocidade for igual ou superior à velocidade de escape, a esfera expande-se
indefinidamente, nunca colapsando.
Aplicando a relação 2.5.19 ao caso da galáxia que se encontra na superfície da
distribuição esférica de massa e substituindo na equação 2.5.18, obtemos:
2.5.20
Em que
é duas vezes a energia total por unidade de massa, ou seja:
2
Da relação 2.5.20 pode-se concluir que quando a velocidade
escape,
2.5.21
é igual à velocidade de
0 e portanto a energia total é nula. No caso em que a velocidade
a velocidade de escape,
é maior do que
0 e a energia total é também positiva. Quando a velocidade
menor do que a velocidade de escape,
é
0 sendo a energia total igualmente negativa.
Recordando que a velocidade é a primeira derivada da posição em ordem ao tempo
pode-se escrever:
112
Capítulo 2 - Cosmologia 2.5.22
E ainda, de acordo com a equação 2.4.3, podemos relacionar
com a primeira
derivada, em ordem ao tempo, do factor de escala, :
2.5.23
Substituindo na equação 2.5.20 fica:
2
Dado que a massa
2.5.24
da distribuição esférica de massa é dada por:
4
3
4
3
2.5.25
Substituindo em 2.5.24, ficamos com:
2 4
3
2.5.26
Simplificando e dividindo todos os membros da equação por
fica:
8
3
A quantidade
esférica de raio
2.5.27
é igual para qualquer partícula que seja colocada sobre a superfície
porque o raio co-móvel
é, por definição, constante, bem como a energia
por unidade de massa da partícula. Como é um valor constante podemos escrever:
2.5.28
113
Capítulo 2 - Cosmologia Reescrevendo a equação 2.5.27 ficamos com a seguinte equação:
8
3
O valor de
2.5.29
na equação 2.5.29 pode ser normalizado de modo a tomar apenas valores
discretos. Assim, quando a energia por unidade de massa é positiva,
energia por unidade de massa é negativa,
1; e quando é nula,
1; quando a
0. A interpretação
newtoniana desta constante é um pouco diferente da dada pela Relatividade Geral.
No caso clássico
é uma medida da energia por unidade de massa por partícula mas,
de acordo com a Relatividade Geral a constante
corresponde ao chamado “parâmetro de
curvatura” e mede a curvatura do Universo. O valor de
depende da densidade de massa
média do Universo, em que todas as formas de matéria e energia contribuem para o valor
global da curvatura.
Dado que é difícil imaginar um espaço a quatro dimensões, para se perceber melhor o
que significa o conceito de geometria do Universo considera-se uma superfície a duas
dimensões num espaço a três dimensões.
Podemos então imaginar, por exemplo, dois potentes lasers colocados em direcções
paralelas e a apontar para o mesmo sentido.
Se a geometria do Universo for plana, os feixes de luz continuarão a viajar em
direcções paralelas até ao infinito. Então, de acordo com a Relatividade Geral, quando
0
temos uma curvatura do Universo nula e uma geometria plana.
Quando o parâmetro de curvatura é
1 a curvatura do Universo é positiva e a sua
geometria é esférica. Para se entender melhor a geometria esférica do Universo considera-se a
superfície bidimensional de uma esfera. Qualquer ponto da superfície da esfera é equivalente
e se viajarmos sempre na mesma direcção e sentido eventualmente regressaremos ao ponto de
partida. Por este facto pode-se dizer que o Universo é fechado. Da mesma forma, num
universo com curvatura positiva, os dois raios luminosos emitidos paralelamente têm
tendência para se aproximar.
Por último, se o parâmetro de curvatura é
1 a curvatura do Universo é negativa
e a sua geometria é hiperbólica. Neste caso considera-se a superfície bidimensional “tipo sela
de um cavalo” para se compreender melhor este tipo de geometria. Ao emitirmos dois raios
luminosos paralelos sobre uma superfície com geometria hiperbólica eles irão afastar-se à
114
Capítulo 2 - Cosmologia medida que viajam pelo Universo. Este tipo de universo também se designa por aberto porque
se caminharmos sempre na mesma direcção e sentido, nunca voltaremos ao ponto de partida.
Enquanto que linhas paralelas desenhadas sobre uma esfera convergem, linhas paralelas
desenhadas sobre uma sela divergem.
Geometria esférica, curvatura positiva, universo
fechado,
1.
Geometria hiperbólica, curvatura negativa,
universo aberto,
1.
Geometria plana, curvatura nula,
0.
Ilustração 2.10 - As três possibilidades para a geometria do Universo. Imagem retirada do site
http://map.gsfc.nasa.gov/m_uni/uni_101bb2.html.
A equação 2.5.29 não tem qualquer aplicabilidade se não soubermos como varia a
densidade
do material que constitui o Universo com o factor de escala
. Esta
relação pode ser deduzida a partir da primeira lei da termodinâmica ou das equações da
Relatividade Geral, e também envolve a pressão
do material. É uma equação diferencial,
que traduz a expansão adiabática do Universo, e relaciona a densidade, a pressão e o factor de
escala. Pode ser escrita da seguinte forma [Maurício, 2006]:
2.5.30
Nesta equação a densidade
de radiação
é a soma da densidade de matéria
com a densidade de massa
. Igualmente, a pressão
é igual à pressão da matéria
, ou seja,
mais a pressão da radiação:
. Os valores
e
são respectivamente a velocidade
da luz no vazio e o factor de escala.
115
Capítulo 2 - Cosmologia Esta equação diferencial do fluido cósmico não tem solução analítica a não ser que se
considere duas situações limite: um universo só com matéria e um universo só com radiação.
É possível demonstrar que num universo dominado por matéria a densidade de material no
universo é inversamente proporcional ao cubo do factor de escala [Maurício, 2006]:
2.5.31
Se admitirmos que
e
são, respectivamente, a densidade e o factor de escala para
a época actual podemos escrever, para um universo de matéria:
2.5.32
,
É também possível demonstrar que num universo dominado por radiação a densidade
de massa da radiação é inversamente proporcional à quarta potência do factor de escala
[Maurício, 2006]:
2.5.33
Se admitirmos de novo que
e
são, respectivamente, a densidade e o factor de
escala, para a época actual podemos escrever, para um universo de radiação:
,
2.5.34
A equação 2.5.29, equivalente à equação de Friedmann de primeira ordem deduzida a
partir das equações da Relatividade Geral, não nos dá uma única descrição do Universo,
porque torna-se necessário conhecer o parâmetro de curvatura
. No entanto podemos
caracterizar o modelo que melhor descreve a evolução do Universo conhecendo outros
parâmetros – os parâmetros cosmológicos – que podem e devem ser determinados por
observação. A Cosmologia observacional dedica-se à determinação de valores como a
densidade do Universo, a sua taxa de expansão ou a forma como ela varia. O conhecimento
dos valores dos parâmetros de Hubble, de densidade e de desaceleração desempenham uma
116
Capítulo 2 - Cosmologia importância fulcral para decidir qual a versão do modelo que melhor descreve o nosso
Universo.
A constante de Hubble
que representa a taxa de expansão do Universo para a época
actual é um dos parâmetros cosmológicos fundamentais. Mas, para um dado instante
qualquer da história do Universo, o parâmetro de Hubble é definido por:
2.5.35
De acordo com a lei de Hubble todas as galáxias do Universo, co-móveis com a
expansão, obedecem à relação
, pelo que o parâmetro de Hubble para a época actual,
ou seja, a constante de Hubble
, pode ser determinado através da medição das velocidades
de recessão das galáxias e as distâncias a que elas se encontram. A partir destes valores,
obtidos por observação, traça-se o gráfico de
de
em função de , e o seu declive dá-nos o valor
.
A forma como o Universo evolui depende, como já foi referido, da sua densidade de
matéria e energia. Outro importante parâmetro cosmológico determinante para a
caracterização do modelo que melhor descreve a evolução do Universo define-se como sendo
a razão entre a densidade do conteúdo massa/energia do Universo, , e a densidade crítica
.
É o chamado parâmetro de densidade Ω e é dado pela seguinte relação:
Ω
A densidade crítica,
2.5.36
, é a densidade do Universo no caso de este ter uma geometria
0. Numa interpretação newtoniana, a densidade crítica é a densidade num
plana, ou seja,
universo em que uma galáxia típica, colocada à superfície da esfera considerada na ilustração
2.9, tem uma energia total nula, ou seja, a sua energia cinética é exactamente igual à sua
energia potencial gravítica. Esta galáxia possui apenas uma velocidade que é igual à
velocidade de escape.
A partir da equação de Friedmann (2.5.29), da relação 2.5.35 e considerando um
universo plano (
época actual
,
0 , facilmente se chega a uma relação entre a densidade crítica para a
e o valor da constante de Hubble também para a época actual. Essa relação é
a seguinte:
117
3
8
,
6.673
Usando os valores de
Capítulo 2 - Cosmologia 2.5.37
10
71
e
,
facilmente se chega a um valor para a densidade crítica:
3
71000/3.09 10
8
6.673 10
Uma amostra de Hidrogénio (
cerca de 2.8 moléculas de
9.4
) com esta densidade conteria, em média, apenas
num volume de 1 metro cúbico. Para o cálculo considera-se que
a massa molar do Hidrogénio molecular é 2.02
10
í
/
2.5.38
10
e o número de Avogadro 6.022
.
Tal como o parâmetro de Hubble, o parâmetro de densidade também varia com o
tempo cósmico. Podemos então escrever o parâmetro de densidade para a época actual Ω da
seguinte forma:
Ω
e
Na relação anterior
2.5.39
,
representam, respectivamente, a densidade do Universo e
,
a densidade crítica para a época actual. O parâmetro de densidade pode assumir um valor
superior a 1, inferior a 1 (e superior a zero) ou ser exactamente igual a 1. Temos novamente
três cenários possíveis, relacionados com a geometria do universo, resumidos na tabela 2.1.
Parâmetro de
densidade (
1
1
)
Relação entre
Geometria do
Curvatura do
Tipo de
e
universo
universo
universo
,
,
Esférica
,
Plana
,
Hiperbólica
Tabela 2.1 - Os três tipos de geometria do universo possíveis.
118
1)
Positiva (
Nula (
Negativa (
0)
Fechado
Plano
1)
Aberto
Capítulo 2 - Cosmologia Se o parâmetro de densidade for menor do que 1, o Universo não tem matéria/energia
suficiente para anular a expansão e este expandir-se-á para sempre, as temperaturas
diminuirão e “acabará” num big-freeze quando as temperaturas se aproximarem do zero
absoluto.
Se o parâmetro de densidade for superior a 1, então há no Universo matéria/energia
suficiente para anular a expansão cósmica. Como resultado, a expansão do Universo acaba
por parar, começando então a contrair-se. À medida que as estrelas e galáxias se vão
aproximando, a energia potencial gravitacional é transformada em energia e calor e
temperatura ficará tão elevada que o Universo caminhará para um big-crunch. O desvio para o
vermelho, que se observa no céu, transformar-se-ia num desvio para o azul.
A terceira possibilidade é aquela em que a densidade do Universo é igual à densidade
crítica. Neste caso o Universo também expandir-se-á para sempre, mas a uma velocidade
decrescente.
De acordo com a lei de Hubble sabemos que o Universo está a expandir, mas esta lei
não nos diz se a taxa de expansão é constante, está a aumentar ou a diminuir. A hipótese mais
provável é a de que a taxa de expansão do Universo tenha variado ao longo do tempo.
Podemos então definir um outro parâmetro que nos dê uma informação sobre a taxa de
expansão do Universo. Este parâmetro, cujo valor pode, em princípio, ser determinado para a
época actual é designado por parâmetro de desaceleração
.
É possível relacionar o parâmetro de desaceleração com o parâmetro de densidade Ω
em dois casos limite: num universo dominado pela radiação e num universo dominado pela
matéria. No primeiro caso, o parâmetro de desaceleração relaciona-se com o parâmetro de
densidade, num universo de radiação, Ω , pela seguinte relação [Maurício, 2006]:
Ω
2.5.40
Num universo dominado pela matéria, o parâmetro de desaceleração está relacionado
com o parâmetro de densidade, Ω , pela relação [Maurício, 2006]:
Ω
2
2.5.41
2.6. O limite superior da idade do Universo
119
Capítulo 2 - Cosmologia De acordo com o Modelo Padrão, qualquer que seja o valor do parâmetro de densidade
para a época actual, Ω , existe um limite superior para a idade do Universo
, conhecido
como o tempo de Hubble. Esse limite é o inverso da constante de Hubble:
1
Utilizando o valor de
71
2.6.1
para a constante de Hubble, obtemos
então o seguinte valor para o limite superior da idade do Universo:
1
71000/3.09
10
4.35
10
2.6.2
que corresponde a um valor de cerca de 13.8 mil milhões de anos.
2.7. O Big-Bang
O sacerdote belga George Lemaître (1894-1966) foi uma das primeiras pessoas a
compreender que a Teoria da Relatividade Geral poderia conduzir a um universo em
expansão, que teve um começo, e que este deverá ter sido extraordinariamente quente. Em
1927, especulou sobre a possibilidade de o Universo ter começado como um “super-átomo”
de temperatura e densidade inimagináveis, que subitamente “explodiu”, dando origem a um
Universo em expansão. Ele escreveu que:
“A evolução do mundo pode ser comparada com um espectáculo de fogo-de-artifício
que terminou: alguns fragmentos vermelhos, cinzas e fumo. Neste planeta de cinzas
arrefecidas, assistimos ao desaparecimento lento dos sóis e tentamos relembrar o brilho
desvanecido da origem dos mundos” [Kaku, 2006].
A ideia de Lemaître era a de que, olhando para trás no tempo, qualquer universo
homogéneo e isotrópico, governado pelas equações de Einstein, deverá ter começado como
uma singularidade (ponto do espaço-tempo onde a curvatura se torna infinita) de densidade
infinita.
120
Capítulo 2 - Cosmologia No livro intitulado “The First Three Minutes” (“Os três Primeiros Minutos”) de 1977,
Steven Weinberg (nascido em 1933) dá-nos a seguinte explicação para o início do Universo:
“No início houve uma explosão. Não uma explosão como aquelas com que nos
familiarizamos cá na Terra, partindo de um centro definido e espalhando-se de maneira a
englobar cada vez mais ar circundante, mas uma explosão que ocorreu simultaneamente em
toda a parte, enchendo o espaço inteiro desde o início, cada partícula de matéria fugindo de
todas as outras” [Weinberg, 2002].
Se por um lado o trabalho de Einstein lançou a base matemática que, juntamente com
o princípio cosmológico, permitiu a construção do Modelo Cosmológico Padrão, por outro, os
trabalhos de Edwin Hubble, George Gamow e Fred Hoyle, entre outros, desenvolveram as
bases para a descoberta das três grandes “provas” da teoria do Big-Bang: a expansão do
Universo, a Radiação Cósmica de Fundo e a abundância de elementos químicos leves no
Universo.
Hubble, tal como referido anteriormente, estabeleceu a lei da expansão.
Gamow, aluno de Friedmann, admitiu que o Big-Bang começou com um núcleo muito
quente de neutrões que, por processos de decaimento radioactivo e captura de neutrões, deu
origem aos vários elementos químicos, que se podem encontrar organizados na Tabela
Periódica. Sugeriu pela primeira vez que a radiação do Big-Bang estava em equilíbrio com a
matéria e poderia actuar como “radiação de corpo negro”. Previu, na década de 1940, com a
ajuda dos seus colaboradores, a Radiação Cósmica de Fundo mas foi incapaz de a detectar.
Os anos de 1929 e de 1965 foram marcos importantes na história da Cosmologia e em
especial no desenvolvimento do modelo do Big-Bang. Fora estabelecida a lei de Hubble e
descoberta pela primeira vez a Radiação Cósmica de Fundo que constituem duas “provas”
que suportam o modelo do Big-Bang.
Fred Hoyle ficou conhecido pela sua teoria do estado estacionário, desenvolvida na
década de 1940, e por dedicar uma grande parte da sua vida a opor-se à teoria do Big-Bang.
Ironicamente, foi talvez a primeira pessoa a designar a teoria que queria refutar como “teoria
do Big-Bang”. Apesar de os seus defensores acharem que a designação Big-Bang era
incorrecta, nunca ninguém conseguiu propor um nome melhor do que o original. Por um lado
o Big-Bang não era “Big” (do inglês, “grande”) mas sim uma singularidade que, por
definição, não tem dimensões. Por outro lado, não houve um “Bang” (“explosão”) tal como
acontece quando uma bomba na Terra explode partindo de um centro definido, espalhando-se
121
Capítulo 2 - Cosmologia pelo espaço circundante. Hoyle, ao contrário de Gamow, acreditava que todos os elementos
químicos tinham sido criados no interior das estrelas e não no calor de um Big-Bang. Em
1957 publicou um artigo em que explicava detalhadamente como se processava a síntese dos
elementos químicos, ou a nucleossíntese, prevendo também as suas abundâncias relativas.
Mas a teoria do estado estacionário de Hoyle previa erradamente uma abundância de Hélio
(
), bastante inferior ao observado no Universo (cerca de 25% em massa). Devido a este
facto e a outros, a teoria do estado estacionário foi sendo refutada e praticamente posta de
parte pelo próprio Hoyle após a descoberta da Radiação Cósmica de Fundo, em 1965.
Tanto a teoria da nucleossíntese proposta por Gamow, como a proposta por Hoyle não
estavam completamente correctas. O primeiro admitiu que todos os elementos se formaram
no Big-Bang quando apenas se formaram núcleos de Hidrogénio
, Hélio-4
e Lítio-7
, deutério
, Hélio-3
. O segundo admitiu que a nucleossíntese ocorreu apenas no
interior das estrelas, mas hoje sabe-se que o material de que são feitas as estrelas é sobretudo
Hidrogénio (75% em massa) e Hélio (25%), produzidos no Big-Bang. Os elementos mais
“pesados” até ao Ferro,
, foram sintetizados no núcleo das estrelas através do processo de
fusão nuclear. Os elementos com maior número atómico do que o Ferro foram criados em
explosões de supernovas.
O trabalho de físicos, cosmólogos, astrónomos e outros permitiu a construção de uma
versão do Modelo Padrão ou modelo do Big-Bang com grande aceitação pela comunidade
científica (e não científica) na década de 1970.
Por esta altura acreditava-se que o Universo “começou” com valores de densidades e
temperaturas extremamente elevadas, num estado de rápida expansão. Esta expansão
apresentaria uma uniformidade espacial, a qual preservou a homogeneidade na distribuição da
massa/energia.
Cerca do primeiro centésimo de segundo, ~ 0.01 , a temperatura do Universo seria
aproximadamente de 100 mil milhões de graus,
fotões, muões (
, antimuões (
~ 10
), electrões (
, e constituído principalmente por
), positrões (
), neutrinos ( ) e
antineutrinos ( ). Existiam também as partículas nucleares protão ( ) e neutrão ( ), mas em
bastante menor número (cerca de um protão ou um neutrão por cada 1000 milhões de fotões,
de electrões ou de neutrinos), e talvez gravitões. Nesta altura havia um completo equilíbrio
térmico entre todas as partículas existentes.
À medida que o Universo expande a temperatura diminui para os 10 mil milhões de
graus,
122
~ 10
, quando
~ 1 . Nesta altura os neutrinos e os antineutrinos deixaram de
Capítulo 2 - Cosmologia estar em equilíbrio com as restantes partículas e tornaram-se livres. Estas partículas,
juntamente com os possíveis gravitões, continuaram a propagar-se livremente, mantendo um
espectro de corpo negro com uma temperatura actual que depende da sua massa e que
preenchem todo o Universo.
Até cerca de ~ 180 há a aniquilação de electrões com positrões que começa quando
a temperatura é cerca de
~5
10
( ~ 4 ). Nesse instante (cerca de 3 minutos após o
Big-Bang) a temperatura seria cerca de 1000 milhões de graus ( ~ 10
) e os constituintes
dominantes do Universo seriam fotões, neutrinos e antineutrinos. A maioria dos positrões e
electrões desapareceram, transformando-se em fotões. Nesta altura já há uma certa
estabilidade para a formação de núcleos de deutério
, Hélio-3
e Hélio-4
. Há ainda
o decaimento de neutrões em protões sendo a relação neutrão/protão de 1 para 5.
A formação dos elementos primordiais, ou a nucleossíntese primordial, terminou
quando ~ 1000 . De acordo com os cálculos efectuados antes do final da década de 1970,
nessa época existiria 75% de núcleos de Hidrogénio
núcleos de Hélio-4
, e vestígios de deutério
(percentagem em massa), 25% de
, Hélio-3
Quando a temperatura do Universo desce até aos
e Lítio-7
~3
10
.
decorreu pouco mais
de meia hora após o Big-Bang. Da aniquilação quase total de positrões com electrões sobrou
uma pequena quantidade de electrões para equilibrar a carga positiva dos protões. A
densidade do conteúdo massa/energia do Universo, cerca de
~ 0.1
, encontra-se
praticamente sob a forma de neutrinos e antineutrinos (cerca de 31%) e fotões (69%). A
nucleossíntese cessou e há um electrão para cada protão no Universo.
Após a nucleossíntese primordial, a matéria e a radiação continuaram a interagir
através de constantes ionizações e recombinações de átomos, como será explicado com mais
detalhe no capítulo 3. Havia, no Universo, um equilíbrio térmico entre a matéria e a radiação,
tal como um “corpo negro”.
Durante cerca de 700 mil anos (actualmente acredita-se que o valor mais correcto é
um pouco menor do que 400 mil anos) o Universo continuou a arrefecer e a expandir-se até
atingir uma temperatura de aproximadamente
~ 4000
(3000
é o valor aceite hoje em
dia) necessária para que os electrões e os núcleos se possam associar em átomos estáveis. Os
fotões deixaram de ter energia suficiente para ionizar os átomos de Hidrogénio e de Hélio.
Esta é a chamada era da recombinação em que deixa de haver uma interacção e equilíbrio
entre matéria e radiação. Os fotões ficam finalmente livres e o Universo torna-se transparente
à radiação. Essa radiação sofreu um “desvio para o vermelho” devido à expansão do
123
Capítulo 2 - Cosmologia Universo, a qual provocou uma diminuição da temperatura dos fotões na proporção inversa ao
factor de escala
. Na época actual esses fotões, que constituem a Radiação Cósmica de
Fundo, apresentam uma distribuição espectral de um corpo negro com uma temperatura de
aproximadamente
~ 2.7 .
Cerca de 100 milhões de anos após o Big-Bang, quando o tempo cósmico tem uma
ordem de grandeza de ~ 10
, inicia-se a formação das grandes estruturas que hoje se
podem observar no céu nocturno: as estrelas, as galáxias e enxames de galáxias.
De acordo com os dados da altura (final da década de 1970) estimava-se uma idade
actual para o Universo de cerca de 12 mil milhões de anos. De acordo com os dados actuais
estima-se uma idade actual para o Universo de cerca de 13.7 mil milhões de anos.
2.8. A Inflação
Na década de 1970 era aceite que a expansão do Universo iria prosseguir durante um
certo tempo. Mas o seu futuro, de acordo com o Modelo Padrão, depende se o valor da sua
densidade é igual, superior ou inferior a um valor crítico. Nesta altura debatia-se sobre o
destino final do Universo: se terminará num big-crunch ou num big-freeze ou ainda se
oscilará indefinidamente (nesta teoria, o Universo actual seria apenas uma fase a seguir à
última contracção, ou seja, seria um Universo oscilante com ciclos de expansão e contracção
eternos e desprovidos de qualquer começo).
As observações das abundâncias dos elementos leves no Universo, a temperatura e
isotropia da Radiação Cósmica de Fundo e a homogeneidade e isotropia do Universo em larga
escala, davam consistência ao modelo do Big-Bang. Mas sempre houve muita dificuldade em
explicar a origem de estruturas cosmológicas como as galáxias. Se o Universo tivesse
evoluído de um estado perfeitamente homogéneo e isotrópico, não é claro como é que
flutuações aleatórias pudessem dar origem a perturbações na densidade de matéria que
possibilitassem a formação das galáxias. Seria então razoável admitir pequenas flutuações
iniciais que faziam com que o Universo não fosse perfeitamente homogéneo em pequena
escala.
Através dos dados das observações, sabia-se que a densidade massa/energia do
Universo,
, seria da ordem de grandeza do valor da densidade crítica
,
, o que implicava
que a curvatura do Universo estivesse próxima de zero. Este facto entrou imediatamente em
conflito com a teoria do Big-Bang que não conseguia explicar porque é que o Universo era tão
124
Capítulo 2 - Cosmologia plano. Os cientistas não conseguiam compreender porque é que o parâmetro de densidade Ω
era próximo de 1. De acordo com as equações do Modelo Padrão, para qualquer valor
razoável de Ω no início do Universo, diferente de 1, a expansão deveria ter provocado uma
variação gradual de Ω ao longo do tempo cósmico, ou seja, a curvatura do Universo, na época
actual, deveria ser bastante acentuada, no sentido positivo ou no sentido negativo. Com efeito,
os dados das observações da densidade de matéria no Universo permitiam concluir que Ω
deveria ser da ordem de 0.1. Este valor do parâmetro de densidade era surpreendentemente
próximo de 1, isto é, o nosso Universo é surpreendentemente próximo de um universo plano.
Tal como equilibrar uma esferográfica sobre a sua ponta durante alguns anos sem que
ela caia parece ser uma missão impossível, o facto de o parâmetro de densidade ser, na era
actual, tão próximo de 1 resulta de um “ajuste perfeito” entre a densidade do Universo e a
densidade crítica, imediatamente após o Big-Bang. Ou seja, para que o Universo actual seja
tão próximo de um universo plano (Ω muito próximo de 1), significa que nas suas fases
iniciais de evolução ele terá tido um valor de Ω muito mais próximo de 1 (praticamente igual
a 1). Mas isto não significa que a densidade do Universo se manteve constante ao longo do
tempo. Durante o Big-Bang a densidade era muito mais elevada do que é hoje, só que o valor
da densidade crítica também o era. Para que o Universo se mantenha com geometria plana (ou
aproximadamente plana), a densidade do Universo e a densidade crítica têm de manter-se
praticamente iguais em qualquer instante de tempo cósmico.
Um valor diferente para o parâmetro de densidade durante o Big-Bang conduziria a
um Universo bastante diferente daquele que podemos hoje observar. Se, durante o Big-Bang,
a densidade de massa
fosse ligeiramente menor do que a densidade crítica
, o Universo
teria expandido tão rapidamente que a matéria não teria tempo de condensar e formar as
galáxias. Se, por outro lado, a densidade de massa fosse um pouco maior do que a densidade
crítica isso conduziria a um rápido cenário de inversão da expansão e ao consequente bigcrunch.
O que terá acontecido durante os primeiro instantes do Universo para garantir que
era um mistério para a comunidade científica. Este problema ficou conhecido como o
problema da planaridade.
Em 1979, Alan Guth, nascido em 1947, teve uma ideia que iria resolver alguns dos
problemas que o Modelo Cosmológico Padrão enfrentava. Admitiu que o Universo,
imediatamente após o instante do seu nascimento, sofreu uma rápida expansão, que durou
125
uma pequena fracção de segundo (cerca de 10
Capítulo 2 - Cosmologia ), mas que fez aumentar o seu “tamanho”
em mais de cinquenta ordens de grandeza (10 ).
A teoria de Guth resolveu, por exemplo, o problema da planaridade. Tal como uma
pessoa à superfície da Terra ao olhar para o horizonte lhe parece que o nosso planeta é plano,
o parâmetro de densidade é aproximadamente 1 porque a inflação, ao aumentar o tamanho do
Universo, tornou-o localmente plano. O Universo observável é apenas uma pequena fracção
de todo o Universo inflacionado, tornando-se praticamente impossível detectar qualquer
ligeira curvatura.
Esfera original Esfera inflacionada por um factor de 3 Esfera inflacionada por um factor de 9 Esfera inflacionada por um factor de 27 Ilustração 2.11 – A Teoria da Inflação de Alan Guth resolveu o problema da planaridade - a figura
mostra como a inflação pode produzir localmente uma geometria plana. À medida que a esfera
expande a sua superfície vai ficando cada vez mais plana. De igual forma a inflação provoca uma
1.0). Imagem adaptada do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005].
geometria plana (Ω
Mas este modelo inflacionário proposto por Guth, não só resolveu o problema da
planaridade como também um outro problema do Modelo Cosmológico Padrão, que é
normalmente conhecido como o problema do horizonte.
Quando a Radiação Cósmica de Fundo foi pela primeira vez detectada em 1965, a
comunidade científica obteve uma prova directa de que o Universo teve origem num quente
Big-Bang. Mas, o facto de esta radiação ser tão uniforme e isotrópica (para qualquer direcção
do céu que olhemos a temperatura da radiação de fundo é praticamente igual) colocou mais
um problema ao Modelo Padrão. Se olharmos para a radiação de fundo numa dada direcção,
sabemos que ela viajou durante cerca de 13.7 mil milhões de anos desde o Big-Bang. Se
rodarmos o nosso detector 180 graus verifica-se que esta radiação é idêntica e também viajou
durante cerca de 13.7 mil milhões de anos. O facto de a Radiação Cósmica de Fundo ter a
mesma temperatura em todas as direcções para onde quer que olhemos sugere um equilíbrio
126
Capítulo 2 - Cosmologia térmico, e esta observação é facilmente explicada se diferentes regiões do céu estivessem
estado no passado em contacto causal, o que possibilitava a troca informação (neste caso o
valor da temperatura).
Mas, a radiação que observamos em direcções opostas do céu, que viajou até nós
desde a era da recombinação, apenas teve tempo para chegar até nós e não é possível ter
chegado ao lado oposto do céu. Não terá havido tempo para que as duas regiões opostas do
céu tivessem interagido de alguma forma. Não podemos então afirmar que essas regiões estão
à mesma temperatura por terem estado em contacto uma com a outra e atingido o equilíbrio
térmico.
Para se perceber melhor este problema consideremos duas regiões opostas do
Universo, A e B e a nossa galáxia
. Podemos agora traçar uma circunferência centrada na
nossa galáxia com um raio de 13.7 mil milhões de anos-luz.
Todos os pontos pertencentes a uma superfície de uma esfera de raio 13.7 mil milhões
de anos-luz formam aquilo que podemos designar por um horizonte cósmico. Em cada
instante esta superfície divide todo o espaço em duas regiões: a região interior, na qual se
encontram todos os objectos observáveis, e a região exterior que contém os objectos não
observáveis. Podemos então observar a luz enviada por um objecto que esteja na superfície ou
dentro da superfície que define o nosso horizonte, mas não podemos observar objectos fora
desse horizonte. Assim, este horizonte cósmico define o limite do Universo observável. À
medida que o tempo passa, o nosso horizonte expande, então podemos, eventualmente,
receber luz emitida por objectos que hoje estão fora do nosso horizonte.
Traçamos igualmente os horizontes cósmicos dos pontos A e B, que pertencem a
regiões opostas do céu.
Os pontos A e B estão colocados no nosso horizonte cósmico, assim quando
observamos esses dois pontos, em posições opostas no céu, estamos a observar o Universo
como ele era há cerca de 13.7 mil milhões de anos atrás. Estamos a observar a Radiação
Cósmica de Fundo. Mas, observando a figura da ilustração 2.12, facilmente reparamos que o
ponto A está fora do horizonte de B e o ponto B está fora do horizonte de A. Isto é válido para
qualquer época do Universo, porque todos os horizontes (o nosso, o de A e o de B) se
expandem na mesma proporção. O ponto A está portanto fora do Universo observável de B e
vice-versa. Ou seja, os pontos A e B estão tão distantes que a luz não teve tempo suficiente
para espalhar a informação de um sítio para o outro. Mas como será possível que duas regiões
que nunca estiveram em contacto causal uma com a outra tenham a mesma temperatura? É
este o problema que ficou conhecido como o problema do horizonte.
127
Capítulo 2 - Cosmologia O nosso horizonte
A
O horizonte de A
B
O horizonte de B
Ilustração 2.12 – Na figura está representado o nosso horizonte cósmico, que separa o nosso Universo
observável do Universo não observável, e as linhas de horizonte de dois observadores (A e B) em
locais opostos no céu. A Radiação Cósmica de Fundo proveniente da região A, tal como a da região B,
demorou cerca de 13.7 mil milhões de anos a chegar até nós. As regiões A e B estão de tal forma
afastadas que não tiveram tempo de comunicar em qualquer época do Universo. Apesar disso têm
praticamente a mesma temperatura. Este problema, conhecido pelo problema do horizonte, é resolvido
pela Teoria da Inflação.
O problema do horizonte também foi resolvido pela Teoria da Inflação. Guth admitiu
que uma pequena parte do Universo, suficientemente pequena para atingir o equilíbrio
térmico antes da inflação, pode expandir para um tamanho bastante superior ao tamanho do
Universo observável. Assim, a radiação de fundo que nos chega de zonas opostas do céu está
à mesma temperatura porque, na realidade, estas regiões estiveram em contacto causal uma
com a outra e em equilíbrio térmico.
Num cenário não inflacionário o Universo observável na época actual teria sido
relativamente grande durante o Big-Bang, em comparação com o previsto pela Teoria da
Inflação. De acordo com a figura da ilustração 2.13 essa diferença de tamanhos tem uma
ordem de grandeza superior a 10 .
Apesar de as partículas materiais, na época da inflação (e em todas as épocas do
Universo), se terem afastado umas das outras a uma velocidade muito superior à da luz, este
modelo inflacionário não viola a relatividade de Einstein. Não está em causa o movimento de
partículas através do espaço a velocidades superiores à da luz, mas sim o próprio espaço é que
se expande (inflaciona) a velocidades superiores à da luz.
128
Capítulo 2 - Cosmologia Distancia (cm)
Sem inflação, o Universo observável na
época actual teria sido relativamente
grande durante o Big-Bang.
De acordo com a Teoria da Inflação, o Universo
observável na época actual era extremamente
pequeno na altura do Big-Bang.
Época inflacionária
Tempo após o Big-Bang (s)
Época
actual
Ilustração 2.13 - O Universo observável com e sem inflação – de acordo com a Teoria da Inflação
proposta por Alan Guth (linha a violeta), o Universo expandiu por um factor de 10 durante uma
pequena fracção de segundo após o Big-Bang. As distâncias marcadas no eixo vertical representam o
raio da esfera que constitui o nosso horizonte cósmico. Adaptado do livro Universe [Freedman e
Kaufmann, 2005].
Apesar de a inflação explicar o facto de Ω ser muito próximo de 1, Guth foi mais
longe e previu que Ω devia ser exactamente 1.0. Mas os dados astronómicos obtidos nos
anos seguintes apenas permitiram uma revisão do valor do parâmetro de densidade para
Ω
0.3, havendo uma notória diferença entre a teoria e a observação. Outro problema que a
teoria de Guth enfrentava era não haver uma explicação do que terá provocado a inflação e do
que a terminou. Este período inflacionário, embora não se conhecendo todos os detalhes de
como ocorreu, é aceite pela comunidade científica.
2.9. As supernovas
Em Cosmologia, a constante de Hubble indica-nos a taxa a que o Universo está a
expandir, desempenhando por isso, um papel importantíssimo no desenvolvimento de
modelos cosmológicos. De uma forma simples, para se poder fazer uma estimativa do valor
da constante de Hubble, são “apenas” necessárias medições de duas variáveis: a velocidade de
recessão da galáxia e as respectivas distâncias (
). Desde Hubble, o principal método
129
Capítulo 2 - Cosmologia utilizado para a determinação de distâncias a galáxias distantes consistia em utilizar estrelas
Cefeidas (em inglês, Cepheid variables). As Cefeidas são um tipo de estrelas que variam, de
uma forma aproximadamente regular, a sua luminosidade (energia emitida por unidade de
tempo) e raio.
Para determinar distâncias a galáxias distantes pelo método das Cefeidas, os
astrónomos começam por medir as variações na luminosidade da estrela, ao longo do tempo,
o que permite estimar o período da estrela variável. Há ainda uma relação entre o período da
Cefeida e a sua luminosidade o que permite determinar a distância à galáxia.
Na década de 1990 o Telescópico Espacial Hubble permitiu identificar Cefeidas em
quase trinta galáxias muito distantes, até cerca de 50 milhões de anos-luz. Uma das grandes
vantagens deste telescópio é o facto de estar fora da atmosfera terrestre o que permite
“observar” objectos sem o problema da turbulência atmosférica.
Hubble conseguiu fazer medições dos períodos das Cefeidas até distâncias de cerca de
6.5 milhões de anos-luz correspondendo a velocidades de recessão de 1000
, o que lhe
permitiu publicar a lei com o seu nome.
As velocidades de recessão das galáxias mais distantes que o Telescópio Hubble
conseguiu medir são maiores do que 1000
da galáxia, que pode ultrapassar o valor de 300
, mas este valor inclui a velocidade peculiar
, podendo introduzir um erro de mais
de 25% nas medições. Para minimizar este erro seria extremamente importante determinar
velocidades de recessão e distâncias de galáxias que estivessem a mais do que os “escassos”
50 milhões de anos-luz. Utilizando galáxias que retrocedem a 10% da velocidade da luz
(30000
), a distâncias de um ou dois mil milhões de anos-luz, alguns quilómetros por
segundo a mais ou a menos, devido à dinâmica da galáxia, diminuiria consideravelmente o
erro das medições.
Apesar de as Cefeidas pertencerem ao grupo das estrelas mais brilhantes que se
conhecem, cerca de 100 mil vezes mais brilhantes do que o Sol, o facto de a luminosidade
diminuir com o quadrado da distância impede que se possa medir com algum grau de rigor a
luz vinda de Cefeidas a distâncias superiores a 50 milhões de anos-luz.
Os astrónomos viraram-se então para as supernovas, que são explosões que ocorrem
no final do ciclo de vida de algumas estrelas. Este “evento estelar”, que pode ocorrer durante
algumas semanas, pode atingir 4 mil milhões de vezes a luminosidade do Sol. No seu auge, o
brilho de uma supernova pode ser superior ao de toda a galáxia “mãe”, que inclui mais de 100
mil milhões de estrelas. O ideal seria utilizar supernovas que tivessem sempre o mesmo brilho
130
Capítulo 2 - Cosmologia no auge da explosão. A investigação que se fez, principalmente na década de 1990, levou os
astrónomos a acreditar que tinham encontrado o objecto ideal para medir distâncias a galáxias
longínquas – as supernovas do tipo Ia (SN Ia). Estas supernovas resultam de uma explosão de
uma anã branca que pertence a um sistema binário em que a primeira lentamente absorve
matéria da companheira. Quando a sua massa é superior a 1.4 vezes a massa do Sol, essa anã
Velocidade (km/s)
branca colapsa e explode numa SN Ia cujo brilho é já bem conhecido pelos astrónomos.
Distância (Mpc)
Ilustração 2.14 - O diagrama de Hubble para as supernovas tipo Ia. Este diagrama estende-se até
velocidades de recessão de cerca de 30000
e distâncias de 500
, ou seja, cerca de 1.6 mil
milhões de anos-luz. Imagem adaptada do site http://www.pnas.org/cgi/content/full/10.
Em 1998 dois grupos de investigação em Astronomia, o Supernova Cosmology
Project e o High-Z Supernova Search Team, trabalhando na análise de supernovas do tipo Ia,
descobriram que a taxa de expansão do Universo é maior hoje do que foi no passado.
Utilizando as SN Ia como “velas padrão”, esperavam confirmar que o Universo, embora ainda
em expansão, estava a desacelerar. O resultado foi bastante surpreendente dado que a
conclusão foi exactamente o contrário: a de que o Universo está em expansão acelerada.
Quando os astrónomos estudam a relação entre as velocidades de recessão de galáxias
e a distância a que se encontram e as organizam num gráfico, há três cenários possíveis: por
um lado a taxa de expansão pode ter sido a mesma ao longo do tempo cósmico; por outro
lado, mais realista, a taxa de expansão poderá ter aumentado ou diminuído durante a história
da expansão do Universo. Se o Universo estiver em desaceleração, então uma supernova
distante terá um aspecto mais brilhante do que se o Universo estiver a expandir a uma taxa
131
Capítulo 2 - Cosmologia constante. Por outro lado se a história do Universo incluir um período de aceleração, os fotões
que recebemos de galáxias longínquas percorrem uma distância extra e o seu brilho é bastante
menor do que o esperado para um Universo em desaceleração.
Ao observar supernovas tipo Ia em galáxias com velocidades de recessão a
aproximarem-se de 10% da velocidade da luz, estamos a observá-las como elas eram no
passado. Se a taxa de expansão do Universo foi menor num passado distante, verifica-se um
desvio à linha recta de Hubble para grandes distâncias, de acordo com o gráfico da ilustração
2.15 (linha curva a tracejado). Se a taxa de expansão do Universo foi maior num passado
distante há também, para grandes distâncias, um desvio em relação a um universo que se
expande a uma taxa constante, (linha curva a cheio da ilustração 2.15).
Universo que expandiu
mais lentamente no
passado.
Distancia
Universo que expandiu sempre
a uma taxa constante (neste
universo o valor da constante
de Hubble é o inverso do
declive desta recta).
Universo que expandiu
mais rapidamente no
passado.
Velocidade de recessão
Ilustração 2.15 – Três cenários possíveis para a taxa de expansão do Universo.
Na comunicação de 1929, Hubble traçou uma curva das velocidades de recessão das
galáxias em função da distância a que elas se encontravam. Os pontos aparentemente seguem
uma recta e se traçássemos um gráfico da distância em função da velocidade de recessão
iríamos obter, como é óbvio, também uma recta. Mas, este gráfico foi construído com base
em medições que não ultrapassam os 2
de distância (6.5 milhões de anos-luz), o que
significa que Hubble só “olhou” uns escassos 6.5 milhões de anos para o passado. Ou seja, o
gráfico da lei de Hubble nada nos diz relativamente à taxa de expansão em épocas mais
132
Capítulo 2 - Cosmologia recuadas da história do Universo. Para isso torna-se obrigatório “olhar” para galáxias muito
mais longínquas.
Em 1998 foram apresentados os resultados das supernovas tipo Ia que se encontravam
em galáxias com desvios para o vermelho superiores a
0.2, correspondendo a distâncias
superiores a 2.4 mil milhões de anos-luz.
Dois anos antes, em 1996, na comemoração do 250º aniversário da Universidade de
Princeton realizou-se um encontro sobre “Diálogos Críticos em Cosmologia”. Algumas das
ideias debatidas foram as de que o parâmetro de densidade Ω , com base em observações dos
movimentos das galáxias em enxames e medições da massa destes enxames, se situava em
0.3
0.1 (sendo
0.1 a incerteza associada às medições). Mas estes resultados não eram
considerados conclusivos e, de acordo com a proposta inflacionária de Guth, seria mais
“elegante” ter Ω
1. Havia contudo quem argumentasse que o parâmetro de densidade, com
base em medições da massa de enxames de galáxias, se aproximava bastante da unidade. Por
outro lado, os resultados preliminares do Supernova Cosmology Project com base em
observações de supernovas tipo do Ia, indicavam um Universo em desaceleração devido à
presença de matéria escura, com um valor do parâmetro de densidade mais perto de 1.
Neste mesmo encontro foi ainda proposta uma alternativa para que Ω fosse 1.
Admitindo que a densidade de matéria (principalmente matéria escura) no Universo nos dava
Ω
0.3, como as medições sugerem, para que o parâmetro de densidade total Ω fosse
precisamente 1 haveria qualquer coisa mais no nosso Universo a contribuir para a sua
densidade de massa/energia, com um valor de 0.7. Foi então sugerido que o resto da
densidade de massa/energia do Universo fosse constituído por uma energia escura distribuída
de forma regular, de modo que Ω
0.7.
Ao admitir esta hipótese, os cosmólogos estavam a reintroduzir a constante
cosmológica, Λ, o “maior erro” da vida de Einstein. O símbolo Λ (lambda), para representar a
energia escura, foi escolhido como uma forma de prestar homenagem a Einstein. Mas esta
constante cosmológica não é bem aquilo que Einstein imaginara, tendo uma interpretação
diferente daquela que Einstein lhe deu. Einstein introduziu a constante cosmológica para nos
dar um universo estático. Agora a energia associada à constante cosmológica é necessária
para explicar a aceleração da expansão do Universo.
Os resultados das SN Ia, apresentados em 1998, deram uma informação sobre a
diferença entre os efeitos atractivos da matéria, que abrandam a expansão cósmica, e os
efeitos da energia escura, que aceleram a expansão. As conclusões foram as de que a
133
Capítulo 2 - Cosmologia densidade de energia associada à energia escura está a vencer a “guerra” contra o efeito
desacelerador de Ω
e a provocar uma aceleração do Universo nos últimos 5 mil milhões de
anos.
Para que o parâmetro de densidade seja 1 em qualquer época do Universo, a soma de
Ω com Ω terá de ser exactamente 1, para qualquer época.
2.10. O satélite WMAP e a confirmação da energia escura
A 30 de Junho de 2001 a NASA lançou do Cape Canaveral o satélite WMAP
(Wilkinson Microwave Anisotropy Probe). Este satélite foi construído com o objectivo de
responder a questões fundamentais em Cosmologia, como a geometria e conteúdo do
Universo; como se formaram as grandes estruturas, como os enxames de galáxias; e os
valores dos parâmetros cosmológicos.
Ilustração 2.16 - O satélite WMAP. Imagem retirada do site:
http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/990387/index.html.
134
Capítulo 2 - Cosmologia O WMAP, em 2003, forneceu à comunidade científica, com grande resolução, uma
imagem pormenorizada do Universo primitivo, na era da recombinação, quando tinha cerca
de 380 mil anos de idade. Conseguiu “fotografar” a Radiação Cósmica de Fundo com grande
detalhe.
As medições do fundo cósmico de microondas vieram revelar que Ω
Ω
é
aproximadamente 1, ou seja, o parâmetro de densidade para época actual Ω é 1. Cruzando
estes dados com os obtidos pelas supernovas do tipo Ia foi possível confirmar os valores de
Ω
e de Ω . Ou seja, ao possuirmos medições das supernovas e da Radiação Cósmica de
Fundo, podemos estimar quanta matéria escura e quanta energia escura existem no Universo.
Algumas propriedades importantes do Universo, obtidas no primeiro ano de
observação do WMAP estão resumidas na tabela 2.2.
135
Quantidade
Capítulo 2 - Cosmologia Significado
Valor
Temperatura da
Representa a temperatura actual da radiação
radiação cósmica de
remanescente do Big-Bang que segue uma
fundo (
distribuição de um corpo negro.
)
Constante de Hubble
Representa a taxa de expansão actual do
Quociente entre a densidade de todas as
Parâmetro de
densidade (
)
formas de matéria e energia do universo,
e a densidade crítica,
,
,
Quociente entre a densidade de matéria,
densidade de matéria
(bariões, electrões, fotões e matéria escura) e
)
1.02
0.02
0.27
0.04
0.044
0.004
0.72
0.04
.
Parâmetro de
(
0.002
71
universo.
)
(
2.725
,
a densidade crítica.
Parâmetro de
Quociente entre a densidade de matéria
bariónica (incluindo electrões) e a densidade
bariónica
crítica.
Parâmetro de
Quociente entre a densidade de energia
densidade da energia
escura,
escura (
Λ,
e a densidade crítica.
)
Idade do Universo
Tempo decorrido entre o Big-Bang e a
(anos)
actualidade.
Idade do Universo na
Tempo decorrido entre o Big-Bang e o
era da recombinação
instante em que a Radiação Cósmica de
(anos)
Fundo foi “libertada”.
Desvio para o vermelho
O Universo expande por um factor de 1
na era da
recombinação
desde que a Radiação Cósmica de Fundo foi
1.37
0.02
3.79
10
.
.
1089
10
1
libertada.
Tabela 2.2 - Algumas quantidades do Universo obtidas pelo satélite WMAP [Freedman e Kaufmann,
2005].
A partir da análise dos resultados do satélite WMAP, das supernovas e de outras
missões, a comunidade científica pode constatar que vivemos num Universo dominado por
energia escura (cerca de 74%) que actua como uma força de anti-gravidade. A matéria escura
constitui cerca de 22% do Universo. Este tipo de matéria é diferente dos átomos, dado que
não emite nem absorve radiação electromagnética, mas os seus efeitos gravitacionais podem
ser detectados. E apenas 4% do conteúdo do Universo é matéria comum (átomos que se
podem encontrar nas estrelas e planetas).
136
Capítulo 2 - Cosmologia Ilustração 2.17 - O conteúdo do Universo. Retirado do site da missão WMAP:
http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_matter.html.
Os valores encontrados a partir das supernovas do tipo Ia e do satélite WMAP vieram
surpreender a comunidade científica, dado que sempre se assumiu que a densidade de energia
do vácuo (energia escura) era nula. Há então uma necessidade de reformulação do Modelo
Padrão que inclua de novo o termo da constante cosmológica nas equações de Friedmann.
Combinando a equação de Friedmann de primeiro grau (equação 2.5.29) com a relação
2.5.35, facilmente se obtém:
8
2.10.1
3
Em que
é o parâmetro de Hubble num dado instante ,
),
a densidade do conteúdo massa/energia do Universo (
instante
e
a constante gravitacional,
é o factor de escala num
o parâmetro de curvatura. A constante cosmológica Λ aparece na equação de
Friedmann como um termo extra e tem unidades de
8
3
:
Λ
3
A ideia original de Einstein seria “equilibrar” os efeitos de , Λ e
parâmetro de Hubble fosse zero, ou seja,
2.10.2
de modo a que o
0, para que o universo fosse estático.
Desde há cerca de 5 mil milhões de anos vivemos num Universo em que o termo onde
aparece a constante cosmológica na equação 2.10.2 está a provocar uma expansão acelerada
137
do Universo. Ao contrário das densidade de matéria,
Capítulo 2 - Cosmologia , e de radiação,
, que foram
diminuindo ao longo do tempo, a densidade média de energia escura manteve-se constante ao
longo da história do Universo. Durante grande parte da história do Universo, a densidade de
energia escura era desprezável relativamente às densidades de matéria e de radiação. Mas,
numa dada época do Universo, quase 9 mil milhões de anos após o Big-Bang, a densidade de
energia escura começou a dominar a expansão do Universo.
A matéria domina
A radiação domina
Densidade de massa (
) Época da igualdade
entre matéria e radiação
(cerca de 2500 anos
após o Big-Bang)
A energia escura
começa a dominar
a expansão quando
o Universo tem
cerca de 2/3 da sua
idade
Época actual
Idade do universo (anos)
Ilustração 2.18 - A evolução da densidade. Durante cerca de 2500 anos após o Big-Bang a densidade
de radiação, linha vermelha, era superior à densidade de matéria, linha azul. Após a época da igualdade
entre matéria e radiação, o Universo passou a ser dominado pela densidade de matéria. Há cerca de 5
mil milhões de anos o Universo passa a ser dominado por uma densidade de energia escura, linha
verde. Adaptando do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005].
2.11. A versão actual do modelo do Big-Bang
Quando passavam 10
10
4,
ou seja, 1.6
10
após o Big-Bang as partículas colidiam com energias de
, e as quatro forças fundamentais da natureza estariam
“unificadas”. Até esse instante não se sabe o que se poderá ter passado.
4
O 138
corresponde a 10 electrão‐Volt, ou seja, 1.6
10
.
Capítulo 2 - Cosmologia São as forças: gravítica, electromagnética, nuclear fraca e nuclear forte que explicam
todas as interacções no Universo constituindo o grupo das forças fundamentais da natureza.
A força gravítica é a mais familiar. É ela que faz com que os objectos caiam à
superfície da Terra, mantém o Sol coeso e guia os planetas nas suas órbitas celestes no
Sistema Solar. É uma força que tem um longo alcance o que permite governar os movimentos
de grandes estruturas (como os enxames de galáxias) que interagem a distâncias
astronómicas.
A força que está relacionada com a iluminação das cidades e que, para além das
interacções forte e fraca, nos permite viver no mundo da alta tecnologia é a força
electromagnética. É ainda responsável por manter os electrões, de carga eléctrica negativa, a
orbitar em torno dos núcleos atómicos, constituídos por neutrões, sem carga eléctrica, e
protões, com carga eléctrica positiva.
A força que mantém os núcleos coesos, ou seja, que mantém os protões e os neutrões
ligados no núcleo é a força nuclear forte.
Há ainda a força nuclear fraca que é responsável pelo decaimento radioactivo, como
por exemplo a transformação de um neutrão num protão em que também se liberta um
electrão e uma outra partícula - o antineutrino.
A Física de partículas está hoje bastante desenvolvida e já foram descobertas bastantes
mais partículas para além do electrão, do protão e do neutrão. As experiências permitiram, por
exemplo, demonstrar que os protões e os neutrões são constituídos por partículas ainda mais
elementares, os quarks. Cada protão é constituído por dois quarks up e um quark down, e
cada neutrão dois quarks down e um quark up.
Na tabela 2.3 temos algumas das propriedades destas quatro interacções fundamentais.
139
Capítulo 2 - Cosmologia Partículas
Intensidade
Força
relativa
Partícula
sobre as
transportadora
quais a
da força
força pode
Alcance
Exemplos
actuar
Mantém os
protões, os
1
Nuclear forte
Gluão
10
Quarks
neutrões e os
núcleos
coesos
Quarks,
10
Nuclear fraca
Bosão
10
electrões,
neutrinos
Partículas
1
Electromagnética
Fotão
137
com carga
Decaimento
radioactivo
Mantém os
Infinito
átomos
eléctrica
coesos
Mantém as
6
Gravitacional
10
Gravitão
Todas
Infinito
órbitas dos
planetas no
Sistema Solar
Tabela 2.3 - As quatro forças fundamentais da natureza [Freedman e Kaufmann, 2005].
Aos 10
após o Big-Bang o Universo teria uma temperatura de 10
do tempo de Planck (10
. A partir
) o espaço e o tempo começaram a comportar-se tal como
pensamos neles hoje. Antes desse tempo não se sabe bem qual o comportamento do espaço,
do tempo e da matéria. Neste instante a gravidade deixa de estar unificada com as outras três
forças.
À medida que o Universo expande a temperatura diminui, bem como a energia média
de cada partícula. No instante 10
10
(1.6
10
, a energia média de cada partícula baixou para
) e a temperatura seria cerca de 10
. Neste valor de energia e de
temperatura a força nuclear forte deixa de estar unificada com as forças electromagnética e
nuclear fraca. Pensa-se que foi também neste instante que a época inflacionária começou.
Entre o instante 10
e o instante 10
inflação por um factor da ordem de 10 .
140
após o Big-Bang o Universo sofreu uma
Capítulo 2 - Cosmologia Após a época da Inflação, o Universo continuou a expandir e a arrefecer. No instante
, a temperatura desceu para os 10
10
de 100
(1.6
10
e a energia média de cada partícula seria agora
) o que provocou a separação da força electromagnética da força
nuclear fraca. A partir desse instante as quatro forças fundamentais interagem com as
partículas tal como fazem na época actual.
Entre os instantes 10
e o instante 10
a temperatura desceu até aos 10
eo
Universo seria constituído por electrões “livres”, quarks, fotões e neutrinos havendo
interacções frequentes entre estas partículas e equilíbrio térmico.
No instante 10
a temperatura baixou o suficiente (10
) para que os quarks se
combinassem para formar os protões e os neutrões. Até ao instante 1 , altura em que a
temperatura baixou para os 10
, o Universo seria constituído por electrões livres, protões,
neutrões, fotões e neutrinos em equilíbrio térmico.
Cerca de um minuto após o Big-Bang, com temperaturas na ordem dos 10
energias médias por partícula de 1
(1.6
10
), foi possível que os protões e os
neutrões, em constantes colisões, se juntassem para formar núcleos leves de Hélio-4 (
com uma percentagem em massa de cerca de 24% e ainda vestígios de deutério (
(
) e Lítio-7 (
e
). Os restantes 76% seriam núcleos de Hidrogénio
)
), Hélio-3
, ou seja, protões.
Esta é a chamada época da nucleossíntese primordial.
Até aos 10
após o Big-Bang, a radiação electromagnética continua em equilíbrio
térmico com os núcleos e os electrões livres, mas os neutrinos são já partículas “livres” e
percorrem grandes distâncias sem interagir com as restantes partículas.
Entretanto, cerca de 2500 anos após o Big-Bang a densidade de matéria passa a ser
superior à densidade de massa da radiação, a uma temperatura de 7
10
.
Quando a temperatura desceu aos 3000 , estavam decorridos cerca de 380 mil anos
após o Big-Bang. Esta é a chamada era da recombinação em que se formam os átomos e os
fotões deixam de ter energia para interagir com a matéria. Estes fotões deixam então de estar
em equilíbrio térmico com a matéria, libertam-se, e constituem a Radiação Cósmica de
Fundo.
Decorridos cerca de 400 milhões de anos é altura para que se comecem a formar as
primeiras estrelas e galáxias. É no interior das estrelas que se formaram os restantes
elementos químicos que bem conhecemos, com maior número atómico do que o Lítio.
141
Capítulo 2 - Cosmologia Após cerca de 9 mil milhões de anos após o Big-Bang o Universo deixa de diminuir a
sua taxa de expansão para começar a acelerá-la devido a uma misteriosa força de
antigravidade – a energia escura.
A época actual, 13.7 mil milhões de anos após o Big-Bang é caracterizada por uma
temperatura dos fotões de aproximadamente 2.7 . Vemos um Universo cheio de galáxias,
estrelas e planetas, e a expandir aceleradamente.
A energia escura provavelmente esteve presente em todas as épocas do Universo, mas
devido à sua natureza não interactiva não poderá causar grandes alterações ao que foi descrito
anteriormente.
A Radiação Cósmica de
Fundo é “libertada”
quando o universo tem
380 000 anos
O Big-Bang
O Universo começa a
expandir aceleradamente
devido à energia escura, há
cerca de 5 mil milhões de
anos atrás
Formação e desenvolvimento das grandes estruturas
(enxames de galáxias), estrelas, planetas
WMAP
A Inflação
Aparecimento das primeiras
estrelas, 400 milhões de anos
após o Big-Bang
Época actual. Universo com 13.7
mil milhões de anos
Ilustração 2.19 - A linha temporal do universo. Imagem adaptada do site da missão WMAP
(http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html).
142
Capítulo 3 – RCF
3. A Radiação Cósmica de Fundo (RCF)
3.1. Introdução
Durante mais de três centenas de milhar de anos após o Big-Bang, a temperatura do
Universo era tão elevada que, cada vez que um átomo se formasse, seria imediatamente
ionizado. Nesta altura havia uma mistura, praticamente homogénea, de núcleos de elementos
leves (Hidrogénio e Hélio), electrões e fotões e ainda neutrinos livres. Os fotões da radiação,
que preenchiam todo o Universo, chocavam constantemente com os “electrões livres”
(“livres” dado que não estavam ligados aos núcleos atómicos). O Universo, nesse período, era
opaco. Qualquer feixe de luz que se movesse nesse Universo muito primitivo e super quente
seria absorvido depois de percorrer uma curta distância. No entanto, cerca de 380 mil anos
após o Big-Bang, como consequência da expansão, o Universo terá arrefecido a uma
temperatura de cerca de 3000 , o que permitiu que os protões capturassem os electrões e
formassem átomos neutros, na chamada era da recombinação. Os fotões com menor energia
deixaram de ser capazes de “arrancar” os electrões aos protões. A radiação electromagnética
podia agora viajar livremente sem ser absorvida. O Universo tornou-se transparente. Hoje,
cerca de 13.7 mil milhões de anos depois, esses fotões, “libertados” na época da
recombinação, são os resquícios da “bola de fogo inicial” que preenchem todo o cosmos e
constituem a Radiação Cósmica de Fundo. A Radiação Cósmica de Fundo pode ser
detectada, com maior intensidade, na região das microondas do espectro electromagnético.
Olhando para qualquer zona do céu, o sinal é praticamente idêntico seja qual for a direcção da
observação.
Sem nos apercebermos, se sintonizarmos a televisão numa frequência entre dois
canais, 1% do sinal recebido corresponde à Radiação Cósmica de Fundo.
O espectro da Radiação Cósmica de Fundo segue uma distribuição de Planck para uma
temperatura de cerca de
2.7 .
3.2. Previsão da existência da Radiação Cósmica de Fundo
George Lemaître foi o primeiro cientista a especular sobre a possibilidade de observar
os restos das fases muito primitivas do Universo, no final da década de 1920. Ao imaginar um
início super quente do Universo em expansão, admitiu que deveria haver uma radiação
143
Capítulo 3 – RCF
remanescente dos primórdios do Universo. Propôs, erradamente, que os raios cósmicos
(partículas subatómicas que chegam com grandes energias cinéticas ao Sistema Solar vindas
do meio interestelar) são resultado desta radiação.
Já na década de 1930, R. C. Tolman (1881-1948) introduziu a ideia de uma história
térmica de um Universo em expansão. Mostrou que a expansão arrefece a radiação térmica do
corpo negro, mas a distribuição espectral de Planck mantém-se.
No entanto, a primeira estimativa teórica da temperatura da “radiação de corpo negro”
do Universo foi feita por Gamow e os seus colaboradores, tendo por base uma teoria para a
síntese de elementos químicos nas fases iniciais de expansão do Universo. Na década de 1940
a comunidade científica acreditava que a abundância de elementos químicos no Universo
estava relacionada com as condições físicas que existiam nas primeiras fases da sua expansão.
Uma explicação correcta para a abundância de elementos químicos observada é importante
para a construção de modelos que explicam a estrutura e evolução do Universo. George
Gamow distinguiu-se ainda pela elaboração, desde a década de 1920, de livros sobre ciência
avançada destinada, principalmente, ao público mais jovem. Dedicou-se à Física e à
Cosmologia, continuando o trabalho de Edwin Hubble sobre a origem, evolução e destino do
Universo.
Em 1946, ao trabalhar num modelo de Big-Bang, Gamow admitiu que o Universo
começou apenas com um gás muito quente de neutrões, com temperaturas na ordem dos
10
. De acordo com esta teoria, à medida que o Universo começa a sua expansão os
neutrões converteram-se em protões através do processo de desintegração radioactiva, em que
um neutrão se transforma espontaneamente num protão, num electrão e numa outra partícula
designada por antineutrino. Gamow acreditava que todos os elementos químicos podiam ter
sido criados pelo calor do Big-Bang através do processo de captura de neutrões. O processo
começava quando um protão (núcleo de Hidrogénio) capturava um neutrão, formando-se um
núcleo de deutério (isótopo do Hidrogénio). O deutério, por sua vez, capturava neutrões e,
progressivamente, iam-se sintetizando elementos mais pesados.
Na sua ideia original, Gamow acreditava que a formação destes elementos ocorreu
num estado de não-equilíbrio entre matéria e radiação. Dois anos mais tarde, Gamow, e os
seus colaboradores, acabaram por admitir que numa fase muito primitiva do início do
Universo a densidade de massa da radiação era dominante sobre a densidade de matéria:
“Durante esta época inicial de expansão, o Universo era governado inteiramente pela
densidade de radiação” [Gamow, 1949].
144
Capítulo 3 – RCF
Segundo Gamow, o processo de formação de elementos por captura de neutrões teria
começado entre 200 e 300 segundos após o início da expansão, em que a temperatura era da
ordem dos 10
e a densidade de matéria cerca de 10
[Alpher, 1948]. Considerou
que o Universo deve ter passado por um estado de equilíbrio térmico entre matéria e radiação
e mostrou que a radiação emitida por este núcleo de neutrões extremamente quente podia ter
um espectro análogo ao da “radiação de corpo negro”. Esta ideia, de que a radiação do BigBang segue uma “distribuição de Planck”, foi pela primeira vez sugerida num artigo de
Gamow, em 1948.
O passo seguinte seria determinar a temperatura actual da radiação de corpo negro.
Este cálculo foi efectuado por dois alunos seus, Ralph Alpher (1921-2007) e Robert Herman
(1914-1997), que, utilizando estimativas da densidade actual das partículas nucleares,
previram uma radiação de fundo, vestígio do começo do Universo, com uma temperatura
actual de 5 .
Para se efectuar esta primeira estimativa da temperatura da Radiação Cósmica de
Fundo, Gamow começou por admitir que a temperatura a que o Universo estava quando se
iniciou o processo de formação de deutério é precisamente a temperatura à qual ocorre a
dissociação deste isótopo do Hidrogénio, ou seja, cerca de 10
. Como a densidade de massa
da radiação
, a equação de Friedmann de
domina em relação à densidade de matéria
primeira ordem (2.5.29) pode ser escrita da seguinte forma:
8
3
3.2.1
Devido à elevada densidade, o termo da equação de Friedmann que contém o
parâmetro de curvatura
desprezou-se.
A densidade de massa da radiação1
pode ser relacionada com a equação de Einstein
, ou seja:
3.2.2
1
As unidades de densidade de massa da radiação
são
.
145
⁄
Na equação anterior o quociente
Capítulo 3 – RCF
representa a densidade total de energia da
radiação em equilíbrio térmico com a matéria podendo ser calculada a partir da lei de StefanBoltzman (1.10.4). A densidade de massa da radiação é então:
3.2.3
Em que
é a constante Stefan-Boltzman e tem o valor de
7.56
10
.
A equação de Friedmann é então escrita da seguinte forma:
8
3
3.2.4
Numa expansão adiabática a temperatura é inversamente proporcional ao factor de
escala [Peebles, 1993]:
1
3.2.5
De acordo com 3.2.5, a solução da equação (3.2.4) é então [Peebles, 1993]:
3
3.2.6
32
A equação anterior relaciona a idade do Universo, , com a sua temperatura
numa
época em que a densidade de massa da radiação é muito superior à densidade de matéria. À
temperatura de 10
, a idade do Universo, de acordo com Gamow, seria aproximadamente
231 , ou seja:
32
6.67
3
10
3.0
10
7.56 10
10
231
3.2.7
Por outro lado, de acordo com os seus cálculos, Gamow estimou a densidade de bariões,
em:
146
~ 10 í
/
( ~ 10
Capítulo 3 – RCF
í
/
3.2.8
)
Sabendo que no instante em que a temperatura desce o suficiente para permitir a
formação de deutério, isto é, no instante calculado em (3.2.7), admite-se que só existem
neutrões e protões. Como a massa do neutrão é aproximadamente igual à massa do protão,
1.675
10
é possível calcular a densidade de matéria no referido instante
(usando o resultado de 3.2.8):
1.675
10
10
~ 10
3.2.9
Fazendo o cálculo para a densidade de massa da radiação obtém-se:
7.56
10
3.0 10
10
3.2.10
10
Ou seja, obtemos uma densidade de massa da radiação
uma ordem de grandeza
superior à densidade da água e 7 ordens de grandeza superiores à densidade de matéria
~ 10
:
3.2.11
Numa primeira abordagem, Gamow não estimou a temperatura actual do Universo que
podia ter sido feita tendo em atenção a equação 2.5.31 ( . Ou seja, a densidade de matéria
bariónicas
), que
e que
é proporcional à densidade de partículas
e inversamente proporcional ao cubo do factor de escala . Como a temperatura
é inversamente proporcional ao factor de escala, pode-se escrever:
3.2.12
Na expressão 3.2.12, ~ 10
,
,
~ 10 ,
seria a estimativa da temperatura actual
do Universo de acordo com o raciocínio da Gamow e
,
~ 10 a densidade de
147
Capítulo 3 – RCF
bariões na época actual (este último valor é estimado por observação directa de enxames de
galáxias). Resolvendo obtém-se:
~ 4.6
3.2.13
Este valor que podia ter sido calculado por Gamow não está muito longe da
temperatura actual do Universo. Mas, alguns valores usados por Gamow foram corrigidos por
Alpher e Herman que, como já foi referido, estimaram uma temperatura actual para o
Universo de
~ 5 .
O resultado encontrado por Alpher e Herman de 5
para a temperatura do Universo
desapontou Gamow, por ser tão difícil, para a época, medir um fraco campo de radiação na
zona das microondas.
As principais conclusões retiradas dos trabalhos de Gamow, Alpher e Herman são as
de que, durante anos após o Big-Bang, a temperatura e densidades do Universo eram tão
elevadas que este seria “opaco”. Os fotões extraordinariamente energéticos chocavam
frequentemente com os electrões, o que também impedia a formação de átomos. Havia uma
mistura de núcleos de elementos leves (Hidrogénio e Hélio), electrões e fotões, praticamente
homogénea. No entanto houve uma altura, hoje designada por época da recombinação, em
que a temperatura desceu o suficiente para que se começassem a formar os primeiros átomos.
Os fotões, não tendo energia suficiente para ionizar os átomos, podiam então percorrer
grandes distâncias sem obstáculos, tornando-se o Universo “transparente”.
148
Capítulo 3 – RCF
Núcleo de Hidrogénio (protão)
Fotão
Electrão
Antes da recombinação:
• A temperatura era tão elevada que
os electrões não se podiam ligar
aos núcleos para formar átomos.
• O Universo era opaco, ou seja, os
fotões chocavam frequentemente
com os electrões, percorrendo
curtíssimas distâncias.
• A matéria e a radiação estavam em
equilíbrio térmico, ou seja, estavam
à mesma temperatura.
Átomo de Hidrogénio
Depois da recombinação:
• A temperatura desceu o suficiente
para que se formassem os primeiros
átomos.
• Os fotões não têm energia suficiente
para ionizar os átomos e o Universo
torna-se transparente.
• A matéria e a radiação deixam de
estar em equilíbrio térmico e nunca
mais terão a mesma temperatura.
Ilustração 3.1 - A era da recombinação. Na era da recombinação os electrões são capturados pelos
protões formando-se átomos estáveis. Os fotões da radiação, sem energia suficiente para ionizar os
átomos formados, podem percorrer grandes distâncias sem obstáculos. Estes fotões podem ainda hoje
ser detectados e constituem a Radiação Cósmica de Fundo.
Esta Radiação Cósmica de Fundo que estava em equilíbrio térmico com a matéria, e
que “sobreviveu” à subsequente expansão do Universo, tem um “espectro de corpo negro”,
mas a sua temperatura, , continua a baixar à medida que o Universo se expande, na razão
inversa da “dimensão” do Universo (ou do factor de escala).
3.3. A primeira detecção da Radiação Cósmica de Fundo
149
Capítulo 3 – RCF
Uma das descobertas científicas mais importantes do século XX foi a detecção, no ano
de 1965, da Radiação Cósmica de Fundo.
Desde a previsão de George Gamow e seus colaboradores até ao ano de 1965 a
maioria dos astrofísicos ignorava a existência, no Universo actual, de uma radiação de fundo
remanescente do Big-Bang. De facto, é estranho que, por um lado, o raciocínio de Gamow,
Alpher e Herman não conduzisse a uma pesquisa da Radiação Cósmica de Fundo e, por outro
lado, ser preciso esperar mais de uma década para que, apenas em 1964, três equipas
trabalhando independentemente, uma da União Soviética, outra de Inglaterra e outra dos
E.U.A., retomassem a investigação do modelo do Big-Bang que poderia levar à conclusão da
existência dessa radiação de fundo. É também estranho que mesmo aqueles que conheciam a
previsão de Alpher e Herman não parecessem dar-lhe muita importância.
A primeira vez que alguém se propôs a detectar a radiação de fundo data também de
1964. Foi um grupo da Universidade de Princeton, liderado por Robert Dicke (1916-1997).
Mas, mesmo este grupo de investigadores ignorava o trabalho de Gamow, Alpher e Herman,
realizado no final da década de 1940. No livro “Os Três Primeiros Minutos”, Steven
Weinberg adianta três razões que tentam explicar a pouca importância que se deu à detecção
da radiação de fundo de microondas. Em primeiro lugar, as teorias da nucleossíntese
primordial, no âmbito dos modelos do Big-Bang, ainda eram muito “rudimentares”. Em
segundo lugar, havia uma certa “ruptura” entre os físicos teóricos e os experimentalistas.
Havia uma evidente dificuldade de comunicação entre estes dois grupos que impediu que se
investisse na detecção da Radiação Cósmica de Fundo. Em terceiro lugar, a aceitação de
“qualquer teoria sobre o Universo primitivo” é sempre difícil para a comunidade científica.
Em 1964, o Laboratório da Bell Telephone possuía uma antena reflectora, com cerca
de 6 metros, no monte Crawford, em Holmdel, Nova Jérsia. Esta antena que fora construída
para assegurar as telecomunicações através do satélite Echo, cedo se tornou um instrumento
importantíssimo para a radioastronomia. Quando este instrumento ficou disponível para
investigação, os rádio-astrónomos Arno A. Penzias (nascido em 1933) e Robert W. Wilson
(nascido em 1936) decidiram usá-lo como um radiotelescópio para estudar a emissão de
ondas de rádio da Via Láctea.
O sinal das ondas de rádio emitidas pela nossa galáxia ou por outra fonte astronómica
é muito semelhante aos ruídos indesejáveis que se ouvem num aparelho de rádio durante uma
trovoada. É difícil distinguir este “ruído-rádio” do ruído que é produzido pelos movimentos
dos electrões nos componentes da antena, ou do ruído-rádio da atmosfera terrestre captado
pela antena. Na tentativa de resolver um excesso de ruído electrónico nos circuitos do
150
Capítulo 3 – RCF
amplificador da antena, Penzias e Wilson iniciaram as suas observações num comprimento de
onda bastante curto, 7.35 , para o qual o ruído-rádio da nossa galáxia devia ser
desprezável. Para sua surpresa, registaram, neste comprimento de onda, uma electricidade
estática que parecia vir uniformemente de todas as direcções e não de uma única estrela ou
galáxia. Descobriram também que esse ruído não variava com o tempo, nem durante o dia,
nem com as estações do ano. Julgando que a electricidade estática podia ser devida à sujidade,
em princípios de 1965 foi possível desmontar a antena e limpar cuidadosamente aquilo que
Penzias descreveu como “uma cobertura branca de matéria dieléctrica” (normalmente
conhecida como “excrementos de aves”) que cobria a abertura da antena. Mas a electricidade
estática parecia ainda maior. Descobriram, assim, acidentalmente, a Radiação Cósmica de
Fundo de microondas prevista por Gamow, Alpher e Herman, em 1948.
Penzias e Wilson interpretaram a intensidade do ruído-rádio como uma “temperatura
de antena”. Este vocabulário, usado em rádio engenharia, significa que se a antena fosse
colocada no interior de um recinto de paredes opacas a essa temperatura, registaria uma
intensidade igual à observada. Chegaram então a uma “temperatura de antena”,
, de
3.5 Kelvin com um erro de 1 , ou seja:
3.5
1
3.3.1
A temperatura de antena pode ainda ser definida como sendo a temperatura para a qual
a aproximação de Rayleigh-Jeans à equação de Planck nos dá a densidade de energia
observada a uma frequência :
8
3.3.2
Para comprimentos de onda grandes e, portanto, frequências baixas a temperatura de
antena aproxima-se da “temperatura equivalente”. Esta “temperatura equivalente” não é mais
do que a temperatura de um corpo negro que emite uma intensidade total de radiação igual à
intensidade total que é detectada através da antena.
A observação feita por Penzias e Wilson, que implicava uma temperatura de antena de
3.5 , é provavelmente a mais importante para a Cosmologia desde a lei de expansão de
Hubble, em 1929. As conclusões dos dois rádio-astrónomos foram publicadas em 1965 sob o
título de “Uma medição do excesso de temperatura de antena a 4080 MHz”. No artigo que
publicaram na Physical Review, escreveram:
151
Capítulo 3 – RCF
“Medições da temperatura do ruído efectivo do zénite […], a 4080 MHz revelaram
um valor cerca de 3.5K superior ao esperado. Este excesso de temperatura é, dentro dos
limites das nossas observações, isotrópico, não-polarizado e independente das variações
sazonais (Julho, 1964 – Abril, 1965). Uma possível explicação para a observação do excesso
de temperatura de ruído é dada por Dicke, Peebles, Roll, e Wilkinson (1965) …” [Penzias e
Wilson, 1965].
Penzias e Wilson viriam a ganhar o prémio Nobel da Física em 1978 por terem
detectado inesperadamente e pela primeira vez estes sinais provenientes do Big-Bang.
3.4. A interpretação teórica da RCF
Até à detecção e interpretação dos resultados obtidos por Penzias e Wilson, em 1965,
“há três grupos que procuram uma resposta sem saberem nada uns dos outros”, como refere
Michio Kaku no seu livro “Mundos Paralelos” [Kaku, 2006].
Por um lado há Gamow, Alpher e Herman que “foram impedidos” de medir a
Radiação Cósmica de Fundo por questões técnicas, impossibilitando a confirmação das suas
previsões de
~ 5
para a temperatura dessa radiação. Por outro lado, havia Penzias e
Wilson que não souberam inicialmente interpretar a radiação de corpo negro que detectaram.
Havia ainda um terceiro grupo, já referido, liderado por Robert Dicke da Universidade de
Princeton que, em 1964, começou a procurar essa Radiação Cósmica de Fundo, mas com um
equipamento demasiado primitivo para a detectar. Robert H. Dicke sugeriu a G. Roll e a D. T.
Wilkinson (1935-2002) que iniciassem a pesquisa de uma radiação observável deixada por
uma época, extremamente quente e densa, da história do Universo. Montaram uma pequena
antena de baixo ruído de fundo no telhado do Palmer Physical Laboratory, em Princeton.
Esta ideia de Dicke sugeriu a P. J. E. Peebles (nascido em 1935), um físico teórico
também de Princeton, o estudo da radiação que poderia ter estado presente no Universo
primitivo. Numa palestra Peebles afirmou que deveria haver um fundo de radiação com uma
temperatura actual de aproximadamente
~ 10 . Entretanto, Penzias tomou conhecimento
deste trabalho de Peebles, por intermédio de B. Burke do MIT (Massachusetts Institute of
Technology), e ligou a Dicke mesmo antes de este e a sua equipa terminarem as suas
medições.
152
Capítulo 3 – RCF
Quando os dois grupos se encontraram tornou-se claro que, de certo modo, a
interpretação de Penzias e Wilson estava correcta. A temperatura de antena registada resulta
do facto de o antena de Holmdel estar encerrada numa “caixa”, ou num “recinto” opaco, que,
neste caso, é todo o Universo.
Peebles, Dicke, Roll e Wilkinson na sua letter de 1965 admitiram que à medida que o
Universo expandiu adiabaticamente de um estado de temperatura elevada, o desvio
cosmológico para o vermelho provocou um arrefecimento da radiação, mantendo uma
distribuição espectral de Planck. Consideraram também que a temperatura da radiação variou
na proporção inversa do tamanho do Universo, ou seja, a temperatura da radiação é
inversamente proporcional ao factor de escala. Argumentaram que:
“A presença de radiação térmica que sobrou da bola de fogo é de esperar se
recuarmos no tempo e acompanharmos a expansão do Universo até um instante em que a
temperatura era da ordem dos ~ 10
” [Dicke et al., 1965].
Neste artigo eles não fixaram um valor para a temperatura da Radiação Cósmica de
Fundo, estabelecendo apenas um limite superior de
~ 40 . Seria então importante tentar
detectar esta radiação térmica por observação directa, que estava a ser preparada por Roll e
Wilkinson usando um radiómetro (instrumento que permite detectar este tipo de radiação),
inventado por Dicke.
O primeiro trabalho elaborado por Peebles, alguns meses antes da publicação do artigo
conjunto com Dicke, Roll e Wilkinson, em que estimou uma temperatura de
~ 10
como
limite superior para a temperatura da radiação de fundo, é considerado pouco elaborado e
preciso mas as suas conclusões estavam essencialmente correctas: observando a abundância
de Hidrogénio no Universo admitiu que, minutos após o Big-Bang, deve ter havido uma fase
extremamente quente em que a intensidade e a temperatura da radiação eram tão elevadas que
impossibilitavam que as reacções nucleares, que permitiam a formação de elementos mais
pesados, se dessem rapidamente. Desde essa altura, a expansão do Universo teria baixado a
temperatura dessa radiação sendo agora observado um fundo de ondas de rádio, que pode ser
detectado em todas as direcções com a mesma intensidade. Esta ideia de Peebles explicava,
portanto, a descoberta de Penzias e Wilson. A temperatura medida pela antena de Holmdel é a
temperatura que o Universo tinha há milhares de milhões de anos atrás, reduzida na proporção
da enorme expansão que o Universo sofreu até aos nossos dias.
153
Capítulo 3 – RCF
3.5. A verificação da distribuição de Planck
Apesar de a descoberta de Penzias e Wilson ter sido importantíssima para a
Cosmologia, a distribuição de Planck ainda não estava verificada porque eles apenas mediram
o fluxo radiativo num único comprimento de onda, de 7.35
. O passo seguinte seria
verificar se esta radiação de fundo, “deslocada para o vermelho”, pode ser descrita pela
distribuição do corpo negro.
Em comprimentos de onda acima dos 100
, era quase impossível medir o fluxo
radiativo da Radiação Cósmica de Fundo dado que a nossa galáxia emite com grande
intensidade nesta região. No intervalo de 75
a 0.3
, a radiação de fundo pode ser medida
com detectores semelhantes aos utilizados por Penzias e Wilson e Roll e Wilkinson colocados
no solo – os chamados ground-based microwave radiometeres. Contudo, abaixo de
3
a nossa atmosfera não é totalmente transparente e há a necessidade de transportar estes
detectores para as montanhas onde as perturbações atmosféricas são menores. Quando os
comprimentos de onda são inferiores a 0.3
a nossa atmosfera torna-se praticamente opaca
e o equipamento para a medição da radiação de fundo tem de ser transportado em balões e
foguetes como o Rocket-Borne e o Ballon-Borne.
Nos anos seguintes a 1965, o fluxo da radiação de microondas foi medido com o
Ground-Based Radiometer em comprimentos de onda entre os 73.5
e os 0.33
. As
medições efectuadas estavam de acordo com a distribuição de Planck para uma temperatura
compreendida entre os 2.7 e os 3 .
Mas estas observações acima dos 0.33
ainda não serviam para concluir que se trata
de radiação de um corpo negro. De acordo com a lei do deslocamento de Wien, para um corpo
negro a uma temperatura de 3
1
a distribuição de Planck atinge o seu máximo a cerca de
. De acordo com a expressão 1.10.10, podemos então calcular o comprimento de onda
para o qual um corpo negro de temperatura de 3
atinge o seu máximo de intensidade.
Vejamos então:
O valor da constante
2.9
10
3
1.0
10
foi retirado da segunda edição do Cambridge University Press
Handbook of Space Astronomy and Astrophysics (Martin V. Zombeck).
154
3.5.1
Capítulo 3 – RCF
Assim, as medidas efectuadas foram realizadas na porção da distribuição de Planck
correspondente aos grandes comprimentos de onda, ou seja, na “região de Rayleigh-Jeans”.
Um contributo importante para a resolução deste problema foi o trabalho do
astrónomo Andrew McKellar (1910-1960) que, em 1941, tinha mostrado que a temperatura
do espaço exterior não podia exceder os 3 . Analisando uma nuvem de gás interestelar
contendo Cianogénio (
), com base na análise espectral deste radical constituído por
Carbono e Azoto, ele conseguiu inferir que a temperatura do Universo era cerca de 2.3 .
Depois da descoberta de Penzias e Wilson, George Field, I. S. Shklovsky, e N. J. Wolf
compreenderam que o comprimento de onda dos fotões, que provocavam uma perturbação do
Cianogénio e que levaram McKellar a inferir 2.3
2.63
para a temperatura do Universo, era de
. Este comprimento de onda já é mais curto que qualquer outro acessível à
radioastronomia terrestre, mas ainda insuficiente para testar a distribuição de Planck para
comprimentos de onda pequenos.
A partir deste ponto prosseguiu-se a investigação de várias linhas de absorção quer do
Cianogénio, quer dos radicais
e
, em outros comprimentos de onda. Os resultados
apresentados continuavam de acordo com a distribuição de Planck.
Para a medição do fluxo radiativo a comprimentos de onda pequenos foi necessário
enviar foguetes e balões com receptores a operar na região do infravermelho para fora da
atmosfera terrestre. Apesar dos resultados obtidos no final da década de 1960 não terem sido
muito coerentes, porque estas experiências eram bastante difíceis de realizar, em 1972, dois
grupos, um do MIT e outro da Universidade de Cornell, obtiveram resultados próximos das
previsões teóricas. Estes dois grupos obtiveram resultados indicando uma distribuição do
corpo negro a uma temperatura de 3 . Em 1976, um grupo de Berkeley utilizando um balão,
conseguiu também confirmar os resultados teóricos.
3.6. A missão COBE
O satélite COBE (COsmic Background Explorer) foi colocado em órbita em torno da
Terra, em 1989. Usando o FIRAS (Far InfraRed Absolute Spectrophotometer), a bordo do
satélite, foi possível fazer as primeiras medições precisas da Radiação Cósmica de Fundo. A
partir dos dados do FIRAS foi possível demonstrar que a radiação que “sobrou” do Big-Bang
apresenta o espectro de um corpo negro com a temperatura de:
2.725
0.002
3.6.1
155
Capítulo 3 – RCF
De acordo com a ilustração 3.2 é possível verificar que os dados recolhidos pelo
satélite COBE estão de acordo com uma distribuição espectral de Planck, o que veio
confirmar que a Radiação Cósmica de Fundo é uma radiação de corpo negro.
Ilustração 3.2 – O satélite COBE e os resultados obtidos através do seu espectrómetro. Como
facilmente se observa, a curva segue uma distribuição de Planck. Imagens retiradas do site da NASA
(http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/cobe/firas_image.cfm).
De acordo com os dados do COBE e de acordo com a lei de Stefan-Boltzman (1.10.4)
é possível calcular a densidade de energia (
,
) da Radiação Cósmica de Fundo, isto
é:
7.56
Usando o valor de
3.6.2
,
10
para o valor da constante de Stefan-
Boltzman, obtém-se:
,
7.56
10
2.728
4.19
10
3.6.3
De acordo com a equação 3.2.3 é possível determinar a densidade de massa
equivalente à densidade de energia da Radiação Cósmica de Fundo para a época actual,
156
,
:
,
,
4.19
3.0
10
10
4.7
Capítulo 3 – RCF
10
3.6.4
A densidade de massa da radiação é então proporcional à quarta potência da
temperatura (
,
). De acordo com a equação 2.5.33 sabemos também que
,
dos fotões é inversamente proporcional ao factor
o que implica que a temperatura
de escala
, como já tinha sido referido anteriormente (3.2.5). Ou seja:
1
Considerando a temperatura dos fotões para a época actual
também para a época actual
3.6.5
,
e o factor de escala
, facilmente se obtém:
3.6.6
,
Um resultado importante da Cosmologia é a relação entre o desvio cosmológico para o
vermelho e o factor de escala que não irá ser deduzida neste trabalho [Peebles, 1993]:
1
3.6.7
Ou seja, a temperatura dos fotões relaciona-se com o desvio cosmológico para o
vermelho através da relação:
,
1
3.6.8
Recorrendo à expressão 2.4.7 pode-se ainda escrever:
1
3.6.9
Ou seja, pode-se dizer que o comprimento de onda de um fotão é directamente
proporcional ao factor de escala. Num Universo em expansão, os fotões libertados na era da
157
Capítulo 3 – RCF
recombinação têm um comprimento de onda que é proporcional ao factor de escala universal,
isto é:
3.6.10
Considerando agora a equação da distribuição espectral de energia de um corpo negro
(1.10.21):
,
8
⁄
3.6.11
1
Podemos considerar dois instantes da história do Universo, por exemplo o instante
inicial , quando a Radiação Cósmica de Fundo foi “libertada”, anterior a um instante actual
. De acordo com 3.6.6, e 3.6.10 podemos escrever, utilizando os indicies inicial ( ) e final
( ):
3.6.12
3.6.13
Combinando as relações 3.6.12 e 3.6.13, obtém-se:
3.6.14
Podemos escrever a equação de Planck (3.6.11) para os dois instantes:
158
,
8
⁄
1
3.6.15
,
Capítulo 3 – RCF
8
⁄
3.6.16
1
e substituindo as relações encontradas em 3.6.14 na fórmula 3.6.16, ficamos com:
,
8
⁄
1
3.6.17
Dividindo 3.6.17 por 3.6.15, fica:
,
3.6.18
,
Ou seja, à medida que o Universo expandiu e arrefeceu a distribuição da densidade de
energia dos fotões continuou a corresponder à de um corpo negro só que com uma densidade
que foi diminuindo de acordo com a relação 3.6.18.
De acordo com as relações 1.10.25 e 1.10.28 o fluxo da radiação emitida por um corpo
negro, ou seja, a potência emitida por unidade de área para uma dada frequência, relaciona-se
com a densidade de energia da radiação da forma seguinte:
4
O fluxo da radiação (
,
3.6.19
) é proporcional à densidade de energia da radiação, ,
para um corpo negro à temperatura
e para um intervalo de frequências
válido para um intervalo de comprimento de onda equivalente
4
,
,
. O mesmo é
:
3.6.20
Considerando o fluxo radiativo da Radiação Cósmica de Fundo novamente em dois
instantes
e
, de acordo com a relação 3.6.18 obtemos:
159
,
Capítulo 3 – RCF
3.6.21
,
De acordo com a equação 1.10.33, que traduz a lei de Stefan-Boltzman, o fluxo total
da radiação para um instante final,
instante , anterior a
,
, relaciona-se com o fluxo total da radiação para um
, através da expressão:
3.6.22
Considere-se agora a Radiação Cósmica de Fundo num instante
recombinação, em que a sua temperatura era de 3000 e um instante posterior
, na era da
, quando a
temperatura da radiação cósmica diminuiu para metade, 1500 . As curvas da ilustração 3.3
seguem distribuições de dois corpos negros para as temperaturas consideradas. Os gráficos
traduzem a variação da intensidade específica da radiação em função do comprimento de onda
da radiação. Estes gráficos foram adaptados utilizando uma folha de excel retirada do site
http://staff.imsa.edu/science/astro/blackbody/index.html.
De acordo com a relação 3.6.22, o fluxo total da Radiação Cósmica de Fundo no
instante
relaciona-se com o fluxo total da radiação no instante
1500
3000
por:
3.6.23
Fazendo o cálculo, utilizando os dados da ilustração 3.3, obtemos:
1500
3000
0.0625
3.6.24
O resultado obtido em 3.6.24 diz-nos que o fluxo total da Radiação Cósmica de Fundo
diminui 1⁄16 quando a sua temperatura diminui para metade. De acordo com 3.6.12 podemos
ainda dizer que o Universo expandiu por um factor de dois enquanto a temperatura da
Radiação Cósmica de Fundo diminui para metade.
160
Capítulo 3 – RCF
Região visível
(
)
3000
4.592
á
966 9.660
,
0.0613
10 /
10 Comprimento de onda ( )
(
)
Região
visível
1500
2.870
á
1932 ,
10
1.932
/
10 0.0038
3
Comprimento de onda ( )
Ilustração 3.3 - As curvas de distribuição espectral para dois corpos negros, um à temperatura de
3000 (em cima), e outro à temperatura de 1500 (em baixo). Os gráficos não estão na mesma
escala.
Seria agora interessante comparar a densidade de massa da radiação
,
,
com a
na época actual. A densidade de matéria, tem um valor actual de
[Freedman e Kaufmann, 2005]:
161
2.6
,
Capítulo 3 – RCF
10
3.6.25
Este valor para a densidade de matéria
,
está afectado de uma incerteza de 15%. O
seu valor é calculado por observações de enxames de galáxias a partir das quais os
astrónomos estimam a sua massa (que inclui matéria bariónica, electrões e matéria escura) e
⁄ .
dividem pelo volume que ocupam
Comparando com a densidade de massa da radiação
(3.6.4) chega-se à conclusão
,
que a densidade de matéria é, na época actual, três ordens de grandeza superior à densidade de
massa da radiação:
5.5
,
10
3.6.26
,
A densidade de matéria no Universo é tão baixa que se pudéssemos ter uma amostra
de Hidrogénio elementar ( ) com esta densidade (2.6
10
teríamos menos do
que dois átomos deste gás por cada metro cúbico, mais precisamente, 1.5 átomos por metro
cúbico. Esta densidade é extremamente pequena se pensarmos que o ar que respiramos tem
cerca de 5
10
átomos por metro cúbico.
Do valor de
,
encontrado por observação directa dos enxames de galáxias apenas
cerca de 16% corresponde a matéria que emite radiação electromagnética e que pode ser
observada. Isto quer dizer que a forma de matéria predominante no nosso Universo está sob a
forma de matéria escura. Então a densidade de matéria bariónica
,
será 16% do valor
encontrado em 3.6.25, isto é:
,
4.2
10
Os valores apresentados para as densidades de massa da radiação (
(
,
3.6.27
,
) e de matéria
) são para a época actual. Como já foi referido, estas densidades não se mantiveram
constantes ao longo do tempo. À medida que recuamos no tempo o Universo está mais
comprimido, o que provoca uma diminuição do seu volume e um consequente aumento da
densidade. Os fotões da radiação de fundo também ficam com menores comprimentos de
onda , o que faz com que sejam mais energéticos, de acordo com a relação de PlanckEinstein:
162
Na relação anterior
e
Capítulo 3 – RCF
3.6.28
ã
são, respectivamente, as constantes de Planck e a velocidade
da luz no vazio. Devido a este aumento de energia provocado pela diminuição do
comprimento de onda da radiação, a densidade de massa da radiação aumenta mais
rapidamente do que a densidade de matéria, quando recuamos no tempo, o que está de acordo
com as relações 2.5.31 e 2.5.33.
Observando o gráfico da ilustração 3.4 verifica-se que nem sempre a densidade de
matéria foi superior à densidade de massa da radiação. Com efeito, houve uma dada época do
Época da igualdade entre matéria e radiação
(cerca de 2500 anos após o Big-Bang)
Densidade de massa (
)
Universo, cerca de 2500 anos após o Big-Bang, em que as densidades seriam iguais.
Época actual
Idade do Universo (anos)
Ilustração 3.4 - A evolução da densidade. Durante cerca de 2500 anos após o Big-Bang a densidade de
massa de radiação, linha vermelha, era superior à densidade de matéria, linha azul. Após a época da
igualdade entre matéria e radiação, o Universo passou a ser dominado pela densidade de matéria.
Adaptando do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005].
A época da igualdade entre matéria e radiação corresponde a um desvio para o
vermelho de
25000. De acordo com a relação 1
podemos ainda dizer que os
fotões sofreram um aumento no seu comprimento de onda por um factor de,
aproximadamente, 25000. Por exemplo, um fotão com um comprimento de onda de 1
(radiação microondas), que corresponde ao máximo na distribuição de Planck da Radiação
163
Capítulo 3 – RCF
Cósmica de Fundo, teria, naquela época, um comprimento de onda de 40 nanómetros
(radiação ultravioleta).
De acordo com a equação 3.6.8 a temperatura da Radiação Cósmica de Fundo é
directamente proporcional a (1
), ou seja:
1
,
3.6.29
Sabendo que a temperatura dos fotões para a época actual é aproximadamente 2.7 ,
facilmente se estima a temperatura da Radiação Cósmica de Fundo na época de igualdade de
matéria e radiação:
67500 ; sabendo que
25000 para essa época. Podemos também
estimar o desvio para o vermelho na época da recombinação, sabendo que a temperatura nessa
época seria de
3000 . Esta é a temperatura máxima que a radiação pode ter
çã
para que os fotões não tenham energia suficiente para ionizar os átomos de Hidrogénio.
1100. Ou seja, para um desvio para o vermelho
Utilizando a expressão 3.6.29 obtém-se
superior a 1100 os protões não conseguiam captar os electrões para formar átomos estáveis.
Vamos agora considerar a Radiação Cósmica de Fundo em termos de densidade de
partículas, ou seja, o número de fotões por unidade de volume.
A densidade de fotões
,
,
para a época actual é calculada por [Peebles, 1993]:
2.404 2
,
3.6.30
A expressão anterior é o resultado do integral 1.9.16 (
) em que a
é igual à intensidade específica da radiação de um corpo
densidade média da radiação
negro, dada pela equação 1.10.25:
Na expressão 3.6.30,
4
,
2
1
⁄
é a constante de Boltzman e
1
,
3.6.31
é a temperatura dos fotões.
Para um espectro de um corpo negro à temperatura de 2.725 , temperatura da Radiação
Cósmica de Fundo, obtém-se:
164
4.1
,
10
Capítulo 3 – RCF
3.6.32
Ou seja, na época actual há mais de 400 milhões de fotões da Radiação Cósmica de
Fundo por metro cúbico.
Podemos também fazer uma estimativa da densidade de bariões para a época actual
,
admitindo que a massa de cada partícula bariónica é igual à massa do protão. Dividindo a
densidade de matéria bariónica (3.6.26) pela massa do protão, obtemos:
,
0.25
3.6.33
O quociente entre a densidade numérica de fotões e a densidade numérica de bariões é
constante ao longo do tempo cósmico, uma vez que não se “perdem” partículas à medida que
o Universo expande. Ou seja,
,
,
1.6
10
3.6.34
Quer dizer que há cerca de 1600 milhões de fotões por cada barião.
Uma análise mais detalhada dos resultados das medições da Radiação Cósmica de
Fundo revelou que esta não é perfeitamente uniforme. Há pequenas variações na temperatura,
na ordem dos 10
em relação ao seu valor médio de temperatura. Isto é um indício de que,
na era da recombinação, a distribuição de matéria e energia não era perfeitamente homogénea.
Havia regiões ligeiramente mais densas, e portanto mais quentes, e regiões ligeiramente
menos densas, ou seja, mais frias. Acredita-se que estas pequenas variações de temperatura
acima da média, que corresponderam a regiões mais densas na era da recombinação, deram
origem às grandes estruturas que hoje podemos observar, como as galáxias e os enxames de
galáxias.
Infelizmente, devido a limitações técnicas, essas pequenas variações na temperatura da
radiação de fundo não puderam ser observadas com elevada resolução utilizando os detectores
do satélite COBE.
3.7. A resolução do satélite WMAP
165
Capítulo 3 – RCF
Em 2003, o satélite WMAP deu-nos uma imagem bem mais nítida dessas pequenas
variações na temperatura da Radiação Cósmica de Fundo, como se pode observar pela
ilustração 3.5. A imagem desta ilustração mostra-nos o estado do Universo quando ele tinha
cerca de 380 mil anos, ou seja, 0.003% da idade que tem hoje. A era da recombinação
constitui o limite máximo de distâncias que podemos observar no Universo. Antes disso, os
fotões não podiam viajar livremente devido às colisões constantes com os electrões, e
portanto não podiam transportar informação a longas distâncias.
O satélite WMAP veio também confirmar o valor da temperatura da Radiação
Cósmica de Fundo, para a época actual, com uma incerteza de 0.07%, igual à do satélite
COBE:
,
2.725
0.002
3.7.1
Ilustração 3.5 - O WMAP proporcionou uma imagem bastante mais “nítida” da Radiação Cósmica de
Fundo do que o COBE. A faixa central a vermelho corresponde à radiação da nossa galáxia. Retirado do
artigo: “First YearWilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP). Observations: Preliminary Maps
and Basic Results”.
Verificam-se variações na temperatura da Radiação Cósmica de Fundo com uma
amplitude máxima de 200 2.725 166
, ou seja, 2
10
, em relação ao valor médio,
0.002 , como se pode verificar pela ilustração 3.6.
,
Diferença de temperatura em relação à média (
Capítulo 3 – RCF
)
Ilustração 3.6 - Variações na temperatura da Radiação Cósmica de Fundo. As temperaturas mais elevadas
(a vermelho) mostram as regiões do Universo em que a densidade era maior e que deram origem a
grandes estruturas com as galáxias e os enxames de galáxias.
Para além de medir as “anisotropias” na Radiação Cósmica de Fundo, ou seja, as
pequenas variações de temperatura em relação à média, o satélite WMAP também tentou
medir a curvatura do Universo, a partir do valor do parâmetro de densidade para a época
actual. As manchas que estão a vermelho na figura da ilustração 3.7, os hot spots (pontos
quentes) da radiação de fundo, desempenham um papel fulcral para medir a curvatura do
Universo. O tamanho aparente destes pontos quentes depende da geometria do Universo. Se o
Universo for fechado, com geometria esférica, as trajectórias dos fotões fazem com que o
ponto quente tenha um maior tamanho aparente. Se o Universo for aberto, com geometria
hiperbólica, o ponto quente aparecerá mais pequeno do que é na realidade. Num Universo
plano, os hot spots aparecerão com o seu tamanho real.
167
Num Universo aberto dois raios
luminosos de lados opostos do
ponto
quente
descrevem
trajectórias que fazem diminuir
o seu tamanho aparente.
Num Universo plano os
pontos quentes têm um
tamanho aparente que é
igual ao seu tamanho
verdadeiro.
Capítulo 3 – RCF
Num Universo fechado dois
raios luminosos de lados
opostos do ponto quente
descrevem trajectórias que
fazem aumentar o seu tamanho
aparente.
Ilustração 3.7 –O tamanho aparente dos “pontos quentes” da Radiação Cósmica de Fundo depende da
curvatura do Universo. Adaptado do livro Universe [Freedman e Kaufmann, 2005] e do site da missão
WMAP (http://map.gsfc.nasa.gov/).
A partir dos dados do satélite WMAP e de previsões teórica do tamanho angular do
hot spot confirmou-se que o Universo é extremamente plano, em que o parâmetro de
densidade é muito próximo da unidade: Ω
1.02 0.02.
O satélite WMAP permitiu ainda determinar outros valores importantes (tabela 3.1)
para a Cosmologia, para além dos apresentados na tabela 2.2.
168
Quantidade
Significado
Densidade de fotões da Número de fotões por centímetro
RCF
Densidade de bariões
na época actual
Capítulo 3 – RCF
cúbico
Valor
410.6 0.9 Número de bariões (protões,
neutrões, electrões) por centímetro
2.5
0.1
10
cúbico
Quociente entre a densidade de
Razão bariões-fotões
partículas bariónicas e a densidade
6.1
.
.
10
de fotões
Quociente entre a densidade de
Razão bariões-matéria
partículas bariónicas e a densidade
0.17 0.01
de partículas de matéria
Tabela 3.1 – Algumas quantidades medidas através do satélite WMAP [Freedman e Kaufmann, 2005].
169
Sugestões e Conclusões
4. Sugestões Metodológicas e Conclusões
4.1. Sugestões metodológicas
4.1.1.
Expansão do Universo e teoria do Big-Bang
Para uma abordagem ao modelo do Big-Bang sugere-se que o professor comece por
diagnosticar aquilo que os alunos já sabem, incluindo as suas concepções alternativas, e o
tome como ponto de partida para assuntos mais aprofundados. Para isso poderá pedir aos
alunos que façam uma pesquisa sobre a constituição do Universo e a própria teoria do BigBang, utilizando fontes de informação diversas (livros, revistas, jornais e a internet). Este
trabalho seria apresentado pelos alunos, aos colegas e ao professor através de um powerpoint, por exemplo. Durante e após a apresentação, tanto os alunos como o professor, deverão
criticar construtivamente as ideias expostas. O professor deverá estar atento a todas as
concepções alternativas que poderão surgir. Após a discussão e apresentação dos trabalhos, o
professor poderá fazer um resumo dos aspectos mais importantes da teoria do Big-Bang,
fazendo por exemplo uma apresentação em power-point, mostrando também vídeos e
simulações didácticas. O recurso a analogias para explicar alguns assuntos torna-se também
importante.
Em relação a algumas concepções alternativas, no que diz respeito à origem e
organização do Universo, diagnosticadas a alunos do ensino básico e secundário, já há alguns
estudos publicados. Por exemplo, num estudo realizado em 2002 na Universidade do Arizona
(EUA) por Prather et al. [Prather et al., 2003] foi pedido a alunos dos vários níveis de ensino
para descreverem o Big-Bang, no caso de já terem ouvido falar dele. A maioria dos alunos já
tinha ouvido falar do Big-Bang e algumas das respostas encontradas foram:
•
Teoria que descreve o Universo;
•
Foi uma explosão de matéria já existente;
•
Uma explosão a partir do nada;
•
Teoria que descreve a criação do Sistema Solar, das estrelas e dos planetas;
•
Antes do Big-Bang não havia matéria mas existiam regiões do espaço e/ou energia;
•
O Big-Bang foi um ponto ou singularidade (possivelmente contendo energia) mas não
um objecto ou uma concentração de massa;
170
•
Antes do Big-Bang havia uma distribuição de gases, partículas, átomos, ou
moléculas;
•
Antes do Big-Bang existia um único objecto maciço, uma estrela ou um planeta;
•
Antes do Big-Bang existia um único objecto com massa, muito pequeno e comprimido;
•
Antes do Big-Bang existia uma larga colecção de objectos massivos, planetas, estrelas
e meteoros;
•
Antes do Big-Bang existia um estado inicial de configuração do planeta Terra.
Para haver uma mudança conceptual no que toca a ideias preconcebidas que os alunos
de Física e Química A levam para as aulas, sugere-se que se parta da explicação da expansão
do Universo para um melhor entendimento do que foi o Big-Bang. O professor poderá levar
para a sala de aula uma tela elástica, como por exemplo o tecido elástico de um trampolim
que se usa nas aulas de Educação Física. Sobre esse tecido os alunos podem desenhar uma
grelha de linhas que se intersectam perpendicularmente, com uma distância de 10 centímetros
entre elas. Nas intersecções farão pequenos desenhos que representam as galáxias, como a
ilustração 4.1 exemplifica. Nesta altura referir que, na verdade, as galáxias não estão “fixas”
no espaço, tendo uma velocidade própria relativamente a ele, resultante de interacções
gravitacionais de umas com as outras.
10 cm
A
B
20 cm
C
D
10 cm
A
B
C
D
E
E
Ilustração 4.1 - Na figura da esquerda temos uma grelha de linhas que se intersectam
perpendicularmente (com uma distância entre elas de 10 ) e cinco “galáxias”. Na figura da direita a
tela foi esticada por um factor de 2.
171
Admitindo que a galáxia A representa a Via Láctea, pede-se aos alunos que estiquem a
tela e observem o que acontece. Eles irão verificar que, medindo as distâncias entre as
“galáxias” com uma régua, todas elas estão mais distantes umas das outras, mas mantém as
posições relativamente à tela. Se, por exemplo, as linhas que formam a grelha ficarem a uma
distância que é o dobro da inicial, verifica-se que a distância da galáxia A (“Via Láctea”) à
galáxia B passou de 10 centímetros para 20 centímetros e a distância da “Via Láctea” à
galáxia C passou de 20 centímetros para 40 centímetros, ou seja, também para o dobro. A
distância de afastamento de qualquer galáxia em relação à galáxia A é então directamente
proporcional à distância original. Como o valor da velocidade média é dado por uma distância
a dividir pelo tempo, a velocidade a que cada galáxia se afasta da galáxia A é também
directamente proporcional à distância original. Este facto foi comprovado através da
observação de galáxias distantes, medindo-se para isso as suas distâncias e respectivas
velocidades de afastamento.
Nesta fase poderá ser introduzida uma nota histórica e a lei de Hubble.
A descoberta da expansão do Universo é normalmente atribuída a Hubble, o qual, em
1929 estabeleceu a lei que hoje tem o seu nome – a lei de Hubble. Esta lei estabelece que
quanto mais distante a galáxia está, maior é a sua velocidade de afastamento. A lei de Hubble
pode ser traduzida pela relação
da galáxia,
, onde
é a velocidade de afastamento ou recessão
a distância a que se encontra e
a constante de proporcionalidade ou
“constante de Hubble”, medida para a época actual.
Depois de introduzida a lei de Hubble, o professor poderá sugerir aos alunos que tirem
as mesmas conclusões, mas sendo agora a galáxia C a “Via Láctea”. Este passo é importante
para que os alunos entendam que a nossa galáxia não ocupa um lugar especial no Universo.
Qualquer outro local do Universo vai efectuar as mesmas observações e deduzir as mesmas
leis.
Se desenharmos sobre a mesma tela uma linha com forma sinusoidal, que representa
uma onda, e a esticarmos, observamos que a onda vai sofrer um aumento do seu comprimento
de onda como se pode observar pela ilustração 4.2.
Ilustração 4.2 – Na figura da esquerda desenhou-se uma onda sobre a tela. Na figura da direita esticouse a tela o que fez aumentar o comprimento de onda.
172
De forma análoga, quando se observa a luz emitida por uma galáxia distante sabemos
que essas ondas electromagnéticas, à medida que viajam pelo espaço em expansão, vão
apresentar um comprimento de onda maior quando são detectadas, do que aquele que
apresentariam se Universo não estivesse em expansão. Quanto mais distante estiver a galáxia,
maior é o desvio para o vermelho das ondas electromagnéticas.
O desvio para o vermelho causado pela expansão do Universo é normalmente
designado por “desvio cosmológico para o vermelho”. Este efeito não deve ser entendido
como o efeito de Doppler, tal como ele está definido. O efeito de Doppler acontece quando a
fonte luminosa e observador estão em movimento relativo através espaço, enquanto que o
desvio cosmológico para o vermelho é consequência da expansão do próprio espaço.
Uma outra analogia que se pode e deverá usar para explicar a expansão do Universo é
o recurso a um balão de borracha com pequenos papéis colados na sua superfície, que
representam as galáxias. A superfície de borracha e os papéis representam todo o Universo. À
medida que o balão enche, todos as galáxias se vão afastar umas das outras. Mas o balão
enche à custa da injecção de ar para o seu interior, enquanto que o Universo (representado por
uma superfície de borracha e pelos papéis) é tudo o que existe e não “ganha” matéria do
“exterior”, porque esse “exterior” não existe. No caso da analogia do balão, é de referir que o
seu interior não tem qualquer significado nesta analogia, e a forma da superfície do balão
(aproximadamente esférica, neste caso) é apenas uma possibilidade para a geometria do
Universo.
Provavelmente nesta fase os alunos vão questionar o professor sobre o que é a
geometria do Universo.
Como são alunos do secundário, a explicação deve ser o mais simples possível. Uma
boa forma para explicar a geometria do Universo é imaginar dois potentes lasers colocados
em direcções paralelas e a apontar para o mesmo sentido. Se a geometria do Universo for
plana, os feixes de luz continuarão a viajar sempre em direcções paralelas. Se a geometria for
esférica (universo fechado), então os dois feixes luminosos têm tendência para convergir ou
aproximar. Se a geometria for hiperbólica (universo aberto) os dois feixes luminosos têm
tendência para divergir à medida que viajam. Estas são as três geometrias possíveis para o
nosso Universo, de acordo com modelos cosmológicos. Dados observacionais, principalmente
das supernovas tipo Ia e do satélite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe),
indicam que a geometria do Universo é próxima da geometria plana.
173
Pede-se agora aos alunos que imaginem o “filme” da expansão do Universo ao
contrário. É óbvio que ao recuarmos no tempo as galáxias estariam mais próximas umas das
outras. Se o Universo está em expansão há milhares de milhões de anos, quer dizer que no
passado as partículas materiais do Universo estariam mais próximas, e a temperatura e
densidade seriam mais elevadas. Se olharmos o suficiente para o passado deverá ter havido
uma fase inicial em que o Universo era incrivelmente quente e denso. Acredita-se que o
Universo começou a expandir-se a partir de um estado inicial super quente e super denso, a
que se deu o nome de Big-Bang.
Uma questão que poderá surgir nesta fase: “O Big-Bang foi uma explosão? O que
aconteceu no momento desse Big-Bang?”
A resposta poderá ser: “Não, o Big-Bang não foi uma explosão. Apesar de não se
saber o que aconteceu no momento do Big-Bang, sabe-se que não foi uma explosão tal como
a conhecemos e definimos na Terra, partindo de um centro definido e espalhando-se de
maneira a englobar cada vez mais espaço circundante. De facto, não havia espaço
circundante. O próprio espaço é que se expandiu transportando o material com ele. A teoria
do Big-Bang diz então que o Universo foi bastante quente e denso num passado distante e,
desde então, o espaço tem vindo a expandir e a arrefecer. Esta é a única teoria ou modelo que
explica com sucesso as observações feitas pelos astrónomos e cosmólogos”.
4.1.2.
Radiação Cósmica de Fundo
Sobre a Radiação Cósmica de Fundo sugere-se que o professor comece por pedir aos
discentes uma pequena pesquisa sobre o prémio Nobel da Física no ano de 1978 (A. Penzias e
R. Wilson foram galardoados com este prémio pela sua descoberta da Radiação Cósmica de
Fundo). O aluno nesta pesquisa deverá compreender a importância desta descoberta para a
teoria do Big-Bang. A Radiação Cósmica de Fundo, tal como a teoria do Big-Bang, são
assuntos abordados na componente de química de Física e Química A (ano 1). Nesta altura os
alunos deverão compreender que a Radiação Cósmica de Fundo é radiação electromagnética
que pertence à banda microondas do espectro electromagnético e que pode ser observada com
igual intensidade em qualquer direcção do céu.
Por uma questão de gestão do tempo escolar, o assunto da “Radiação Cósmica de
Fundo” poderá ficar suspenso e ser retomado na componente de Física da disciplina de Física
e Química A (ano 1), cinco meses depois, sensivelmente. Nesta altura os alunos já deverão
174
conseguir interpretar a Radiação Cósmica de Fundo como sendo uma radiação que segue uma
distribuição de corpo negro.
Recorrendo à figura da ilustração 3.1, o professor deverá explicar que durante anos
após o Big-Bang, a temperatura e densidades do Universo eram tão elevadas que o Universo
seria “opaco”. Ou seja, os fotões (muito energéticos) chocavam frequentemente com os
electrões, o que também impedia a formação de átomos. Havia uma mistura de núcleos leves
(Hidrogénio e Hélio), electrões e fotões, praticamente homogénea. No entanto houve uma
altura, hoje designada por época da recombinação (cerca de 380 mil anos após o Big-Bang),
em que a temperatura desceu o suficiente (para cerca de 3000 ) para que se começassem a
formar os primeiros átomos. Os fotões que sobraram, não tendo já energia suficiente para
ionizar os átomos, podiam então percorrer grandes distâncias sem obstáculos, tornando-se o
Universo “transparente”.
Esta Radiação Cósmica de Fundo, que estava em equilíbrio térmico com a matéria,
apresenta uma distribuição de “corpo negro”, e a sua temperatura continuaria a baixar à
medida que o Universo se expandia, na razão inversa da dimensão do Universo.
Sem nos apercebermos, se sintonizarmos a televisão numa frequência entre dois
canais, 1% do sinal recebido corresponde à Radiação Cósmica de Fundo.
O espectro da Radiação Cósmica de Fundo, sendo o de um “corpo negro”, segue uma
distribuição de Planck cuja temperatura é de cerca de
2.7 , como se pode observar pela
ilustração 4.3.
Ilustração 4.3 - Espectro da Radiação Cósmica de Fundo. Imagem retirada do site:
http://map.gsfc.nasa.gov/universe/bb_tests_cmb.html.
175
Não se dando especial relevo às unidades de intensidade da Radiação Cósmica de
Fundo, porque elas são um muito difíceis de compreender nesta fase, pode-se pedir aos alunos
que, a partir do gráfico da intensidade em função do comprimento de onda/frequência,
determinem a temperatura de um corpo negro que segue esta distribuição, utilizando a lei do
deslocamento de Wien (observando o valor do comprimento de onda ou frequência para a
qual a intensidade é máxima). Por outro lado, poderá ser aplicada a lei de Stefan-Boltzman
para o aluno determinar a potência por unidade de área de um corpo negro que segue a
distribuição de Planck da ilustração 4.3. Este valor pode ser comparado com os valores
obtidos para o Sol.
4.2. Perguntas/problemas e respostas
4.2.1.
Determinar a frequência, o comprimento de onda, o período, a
amplitude, a velocidade de propagação e a direcção de propagação da onda
descrita pela seguinte função:*
4 sin 2
0.2
3
4.2.1
3
0.2
4.2.2
A função 4.2.1 pode ser reescrita da seguinte forma:
4 sin 2
De acordo com a equação 1.2.2 ( ,
0.2
sin
), que representa o perfil mais
simples de uma onda que se propaga, ao longo do tempo, no sentido positivo do eixo , e a
partir de 4.2.2, sabemos que:
176
•
A amplitude da onda é:
•
O número de onda:
•
O comprimento de onda (1.2.4):
5 ;
•
A velocidade de propagação da onda:
15
•
O período da onda (1.2.5):
•
E a frequência é (1.2.6):
•
A onda propaga-se na direcção positiva do eixo .
4 ;
0.4 ;
;
3
.
;
4.2.2.
Considerar
expressões:*
uma
0; onda
electromagnética
2 cos 2
10
2
plana
;
dada
pelas
0
4.2.3
e calcular a amplitude, frequência, comprimento de onda, direcção de
propagação, fase inicial e polarização da onda.
A partir de 4.2.3 podemos escrever a componente do campo eléctrico
segundo o eixo
da
seguinte forma:
2 cos 2
2
10
10
4.2.4
2
Sabendo ainda que o co-seno de um ângulo é igual ao co-seno do simétrico desse mesmo
ângulo, podemos escrever:
2 cos
2
2
10
Então de acordo com a equação 1.3.23 (
10
4.2.5
2
á
cos
3
10
•
Amplitude:
•
Frequência:
•
Comprimento de onda:
•
Direcção de propagação: eixo
•
Fase inicial:
•
Polarização: Linearmente polarizada segundo o eixo .
), sabemos que:
2
10
⁄
4.2.3.
Escrever uma expressão para os campos
e
que constituem uma
onda plana harmónica que se desloca na direcção positiva do eixo dos . A
onda está polarizada linearmente, estando o seu plano de vibração a 45º
relativamente ao plano .*
Como a onda se desloca no sentido positivo do eixo , o vector de ondas, , tem a direcção do
eixo . Como a onda é linearmente polarizada, o vector campo eléctrico tem sempre a mesma
177
direcção, que faz 45º com o eixo
e 45º com o eixo
, tendo então duas componentes.
Podemos então escrever:
,
Onde
sin
,
,
,
,
cos .
2
√2
sin
.
sin
sin .
2
sin
.
√2
é a velocidade de propagação da onda (velocidade da luz) e
4.2.6
é o valor máximo do
campo eléctrico. Sabemos ainda que o produto externo do campo eléctrico com o campo
, indica-nos a direcção e sentido do vector de ondas. De acordo com as
magnético,
regras do produto vectorial [Villate, 1999] e com a relação 1.3.30, o campo magnético será
calculado por:
,
178
sin
,
,
,
,
cos .
2
√2
sin
.
sin
√2
sin
sin .
2
.
4.2.7
Plano de polarização
45º
Ilustração 4.4 - Representação dos campos eléctrico e magnético e do plano de polarização.
4.2.4.
O diâmetro do feixe de um laser de potência
1.0
é de 2
.
Qual a densidade total de energia do feixe na vizinhança do laser? Admitir
que a divergência do feixe é desprezável.*
Para determinar a densidade de energia, energia por unidade de volume, consideramos um
certo intervalo de tempo ∆ de funcionamento do laser. A energia emitida será então
∆
1.0
base
10 ∆ . O volume correspondente ocupado será o de um cilindro de área de
e altura ∆ , em que é a velocidade de propagação da luz. Assim, a densidade de
energia é dada por:
1.0
,
2
10 ∆
10
2
1.06
∆
10
4.2.8
4.2.5.
Uma lâmpada de flash, que funciona com uma tensão de 3.0 e com
uma corrente de 0.25 converte cerca de 1.0% da potência dissipada em luz
de comprimento de onda de, aproximadamente,
550 . Se a secção do
179
feixe luminoso, aproximadamente cilíndrico, for de 10
, calcular: o
número de fotões emitidos por segundo; a densidade de fotões; o fluxo
total de radiação do feixe à saída da lâmpada.*
1.0%
A potência do feixe de luz será:
3.0
0.25
0.1%
0.0075 . De
acordo com a relação de Planck-Einstein sabemos que a energia da cada fotão é:
6.6
ã
10
3.0
550
10
10
3.6
10
Para determinarmos o número de fotões por segundo dividimos a potência do feixe pela
energia de cada fotão, ou seja
•
.
, obtendo-se o resultado:
.
Número de fotões por segundo: 2.1
10
õ / .
10
Em um segundo os fotões ocuparão o seguinte volume:
1
3.0
•
10
10
3
10
. Então, a densidade de fotões será:
.
Densidade de fotões:
7.0
.
10
õ /
O fluxo total de radiação, ou seja, a energia por unidade de área e por unidade de tempo será:
•
Fluxo:
.
7.5
4.2.6.
O campo eléctrico numa dada região do espaço (vazio) é dado por:
. Calcular a carga total de uma esfera de 6
de raio e centro na
origem.*
De acordo com a lei de Gauss (1.3.5), sabemos que o fluxo do campo eléctrico que atravessa a
superfície esférica de raio 6
é igual à carga no interior (carga da esfera) a dividir pela
8.8542
permitividade do meio (vazio), 10
. Como estamos na
presença de uma esfera, o campo eléctrico à sua superfície é igual em qualquer ponto e
perpendicular a essa superfície. O campo eléctrico, em qualquer ponto da superfície, é dado
por:
. A área da superfície esférica é dada por:
.
4
. Então
o fluxo do campo eléctrico pode ser calculado pelo produto do valor do campo eléctrico pela
área da superfície:
•
180
.
4
0.06 A carga no interior será então:
.
1.54
10
.
4.2.7.
A radiação electromagnética do Sol chega à atmosfera da Terra com
uma potência por unidade de área de 1.4 10
. Qual será a potência
por unidade de área da radiação solar na superfície de Mercúrio? Qual a
potência emitida pelo Sol? A distância média da Terra ao Sol é 1
e do
Sol a Mercúrio 0.387 .
De acordo com a expressão 1.5.1, podemos escrever:
•
ú
.
A irradiância solar na superfície de Mercúrio (ou fluxo de radiação) será:
1.4
ú
•
ú
10
0.387
1
4
A potência emitida pelo Sol:
3.9
4.2.8.
9.3
10
1.4
10 4
1.496
10
10
Mostrar que a equação 1.2.2 ( ,
equação de ondas 1.2.3 (
As derivadas parciais da componente
sin
) é solução da
).*
do campo vectorial são:
cos
4.2.9
sin
4.2.10
cos
4.2.11
sin
4.2.12
Dividindo a equação 4.2.10 pela equação 4.2.12, obtemos:
1
4.2.13
1
181
Como queríamos demonstrar.
4.2.9.
O que é a Cosmologia?
A Cosmologia é a ciência que estuda o Universo como um todo, incluindo o seu nascimento,
a sua evolução, e o seu destino final. É a área do conhecimento que se dedica ao estudo da
natureza, origem, estrutura e evolução do Universo.
4.2.10.
O que é o Modelo Cosmológico Padrão?
A designação de Modelo Cosmológico Padrão ou simplesmente Modelo Padrão tem um
significado em Cosmologia. Por um lado é um “modelo” porque não nos pode dar uma
resposta final, por outro, o termo “padrão” significa que existem uma quantidade apreciável
de factos observacionais que o suportam, tornando-o uma boa aproximação do que se passa
na realidade.
4.2.11.
Actualmente qual é o modelo mais aceite para o Universo?
Acredita-se que o Universo, com 13.7 mil milhões de anos de idade, tem geometria
próxima da geometria plana, começou num Big-Bang, e passou então a expandir-se e a
arrefecer. Acredita-se que poderá ter havido um período de expansão acelerada – a chamada
época da inflação em que o Universo, imediatamente após o instante do seu nascimento,
sofreu uma rápida expansão, que durou uma pequena fracção de segundo (cerca de 10
),
mas que fez aumentar o seu “tamanho” em mais de cinquenta ordens de grandeza. Hoje
vivemos numa época em que a sua expansão está a acelerar devido a uma “misteriosa”
energia escura.
4.2.12.
O que é a teoria do Big-Bang?
A teoria do Big-Bang diz que o Universo foi bastante quente e denso num passado distante e,
desde então, o espaço tem vindo a expandir e a arrefecer. Esta é a única teoria que explica
com sucesso a maioria das observações feitas pelos astrónomos e cosmólogos.
4.2.13.
182
Quais as observações que suportam o Big-Bang?
Como em qualquer teoria científica, não há provas de que o Big-Bang existiu. Mas existem
alguns dados observacionais que sustentam esta teoria. Entre os quais destacam-se:
•
A lei de expansão de Hubble. Os astrónomos observam que as galáxias se afastam
umas das outras devido a uma expansão do próprio espaço.
•
Os astrónomos observam que, em larga escala, o Universo é homogéneo e isotrópico.
•
Existência da Radiação Cósmica de Fundo que segue uma distribuição de “corpo
negro”. Esta radiação foi “libertada” numa época em que o Universo arrefeceu o
suficiente para que a matéria e radiação deixassem de estar em equilíbrio térmico. A
Radiação Cósmica de Fundo foi prevista mesmo antes de ser detectada.
•
As abundâncias observadas de elementos leves (Hidrogénio, Hélio e Lítio) estão de
acordo com o que foi calculado para uma fase primordial do Universo em que a
temperatura seria muito elevada; mas depois, o arrefecimento devido à expansão, não
permitiu que os processos de fusão nuclear formassem elementos químicos mais
pesados.
4.2.14. O que aconteceu antes do Big-Bang? O que aconteceu no momento
do Big-Bang?
Estas são duas questões a que ainda ninguém sabe responder. Para que se possam responder
provavelmente terá de haver uma teoria unificada, que “combine” a teoria da gravidade de
Einstein e a Teoria Quântica. Sabe-se que a teoria da gravidade não se aplica às condições
existentes no momento do Big-Bang, nem nos 10
4.2.15.
seguintes, pelo menos.
O que aconteceu durante os primeiros instantes após o Big-Bang?
Até ao tempo de Planck, 10
após o Big-Bang, há uma quase completa ignorância
relativamente à Física que governou a evolução do Universo. Especula-se que as quatro forças
que governam o Universo (gravidade, electromagnética, nuclear forte e nuclear fraca)
estariam unificadas e, após a era de Planck, a gravidade desacoplou-se das outras três. Aos
10
após o Big-Bang a temperatura do Universo seria de 10 . A partir do tempo de
Planck o espaço e o tempo começaram a comportar-se tal como pensamos neles hoje, e o
Universo arrefeceu à medida que expandiu.
183
4.2.16. Duas importantes fases da vida do Universo ocorreram cerca de 1
minuto e cerca de 380 mil anos após o Big-Bang. O que terá acontecido
nesses instantes?
Cerca de um minuto após o Big-Bang, com temperaturas na ordem dos 10 médias por partícula de 1 (1.6
10
), foi possível que os protões e os neutrões, em
constantes colisões, se juntassem para formar núcleos leves de Hélio-4 (
percentagem em massa de cerca de 24% e ainda vestígios de deutério (
Lítio-7 (
e energias
). Os restantes 76% seriam núcleos de Hidrogénio
) com uma
), Hélio-3 (
)e
, ou seja, protões. Esta é a
chamada época da nucleossíntese primordial. Quando a temperatura desceu aos 3000 ,
estavam decorridos cerca de 380 mil anos após o Big-Bang. Esta é a chamada era da
recombinação em que se formam os átomos e os fotões deixam de ter energia para ionizar os
átomos. Estes fotões deixam então de estar em equilíbrio térmico com a matéria e constituem
a Radiação Cósmica de Fundo de microondas, que hoje detectamos.
4.2.17.
O Big-Bang foi uma explosão?
Não. Apesar de não se saber o que aconteceu no momento do Big-Bang, sabe-se que não foi
uma explosão tal como a conhecemos e definimos na Terra, isto é, partindo de um centro
definido e espalhando-se de maneira a englobar cada vez mais espaço circundante. De facto,
não havia espaço circundante. O próprio espaço é que se expandiu transportando o material
com ele.
4.2.18.
Onde ocorreu o Big-Bang?
Em todo o lado. Qualquer sítio do Universo teve origem no Big-Bang. É uma ideia errada
pensar que se pode apontar para o céu e encontrar um ponto onde o Big-Bang teve lugar.
4.2.19. Habitualmente usa-se a superfície de um balão de borracha como
analogia para explicar a forma do Universo. Terá o Universo uma forma
esférica?
No caso da analogia do balão, é de referir que o seu interior não tem qualquer significado
nesta analogia, e a forma da superfície do balão (esférica neste caso) é apenas uma
possibilidade para a geometria do Universo. Uma boa forma para se compreender a geometria
do Universo é imaginar dois potentes lasers colocados em direcções paralelas e a apontar para
184
o mesmo sentido. Se a geometria do Universo for plana, os feixes de luz continuarão a viajar
sempre em direcções paralelas. Se a geometria for esférica (universo fechado), então os dois
feixes luminosos têm tendência para convergir ou aproximar. Se a geometria for hiperbólica
(universo aberto) os dois feixes luminosos têm tendência para divergir à medida que viajam.
Estas são as três geometrias possíveis para o nosso Universo, de acordo com modelos
cosmológicos. Dados observacionais, principalmente das supernovas tipo Ia e do satélite
WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), indicam que a geometria do Universo é
próxima da geometria plana.
4.2.20. Porque se fala de novo no maior erro da vida de Einstein – a
constante cosmológica?
Para que a sua teoria descrevesse um universo estático, Einstein viu-se obrigado, em
1917, a introduzir um novo termo nas suas equações a que chamou constante cosmológica
(representada pela letra grega “lambda” - Λ). O modelo cosmológico original de Einstein era
estático, homogéneo e com geometria esférica. Mas, ao resolver as suas equações descobriu
que estas não produzem um universo estático. De acordo com as equações da Relatividade
Geral, o Universo ou estava em expansão ou em contracção devido ao efeito gravitacional da
matéria. A constante cosmológica era um termo da equação que servia para contrabalançar a
gravidade, sendo descrita como uma força de “anti-gravidade” que produzia uma solução
estática para o Universo.
Actualmente acredita-se que 74% do conteúdo energético do Universo existe sob a
forma de energia, distribuída de forma regular, de que desconhecemos a natureza, e que por
isso designamos por energia escura. Esta energia escura não deverá emitir radiação que se
possa detectar, e apenas poderá ser detectada pelos seus efeitos gravitacionais. Ao admitir esta
hipótese, os cosmólogos reintroduziram a constante cosmológica Λ, o “maior erro” da vida de
Einstein, segundo o próprio terá afirmado. O símbolo Λ (“lambda”), para representar a
energia escura, foi escolhido como uma forma de prestar homenagem a Einstein. Mas esta
constante cosmológica não é bem aquilo que Einstein imaginara, tendo uma interpretação
diferente daquela que Einstein originalmente lhe deu. Einstein introduziu a constante
cosmológica para nos dar um Universo estático. Agora a energia associada à constante
cosmológica é necessária para explicar a aceleração da expansão do Universo.
185
4.2.21. Tendo em atenção os dados da tabela seguinte, determinar o valor da
constante de Hubble. Qual o erro em relação ao valor teórico?
Galáxia
UGC 12914
NGC 0048
NGC 0045
NGC 0063
UGC 00288
M31 (Andrómeda)
NGC 1201
NGC 0448
NGC 0452
UGC 03770
ESO 349-G 031
NGC 0045
UGC 00139
MCG - 01-02-001
NGC 0105
NGC 0150
NGC 0247
NGC 0252
MCG+01-04-044
NGC 0636
Distância (
51,80
60,80
7,98
18,70
6,73
0,80
20,20
30,30
70,50
114,00
3,21
10,60
58,90
46,20
64,30
20,00
3,65
66,50
45,10
29,60
)
Velocidade (
4545
1972
493
1303
374
300
1630
1978
5109
6317
195
493
4052
3792
5133
1581
176
5176
2783
1875
)
Tabela 4.1 - Alguns valores de distância e velocidades de recessão de galáxias. Dados retirados do site:
http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/NED1D/intro.html.
Utilizando o microsoft excel obtém-se a seguinte regressão linear (também poderia ser
utilizada a calculadora gráfica):
186
Ilustração 4.5 – Recta de regressão linear construída usando o microsoft excel, a partir dos dados da
tabela 4.1.
O valor da constante de Hubble, para a época actual, é igual ao declive da recta de
regressão, ou seja, 65.545 Hubble é de
71 . O valor actualmente aceite para a constante de
[Freedman e Kaufmann, 2005] o que dá um erro de
7.8%.
4.3. Conclusões
De todos os temas propostos para a dissertação no âmbito do Mestrado em Ensino da
Astronomia, o que mais me motivou foi o da Cosmologia e da Radiação Cósmica de Fundo.
Uma melhor compreensão do Universo foi sempre algo que ambicionei estudar e esta foi uma
oportunidade de aprofundar os meus conhecimentos nesta área.
Os principais problemas com que me deparei na realização da dissertação foram a
escassez de tempo para desenvolver um trabalho ainda mais completo do que aquele que foi
feito, e a falta de bibliografia em Português quando iniciei este trabalho. A maioria dos livros
que usei como bibliografia estavam na língua inglesa, mas este problema foi rapidamente
ultrapassado dado que a linguagem dos livros técnicos usados era bastante acessível. Por
outro lado, o facto de estar a leccionar ao mesmo tempo que elaborava a dissertação só me
permitiu elaborar um trabalho de pesquisa bibliográfica, não contendo nenhuma componente
de investigação. Quando falo em investigação quero dizer, por exemplo, fazer um tratamento
187
dos dados obtidos pelos satélites COBE ou WMAP. Penso que este tipo de investigação seria
ainda mais motivante para mim, mas, por outro lado, fugiria um pouco ao âmbito de uma tese
de Mestrado em Ensino.
Pensei então, em conjunto com o meu orientador, desenvolver um trabalho destinado,
principalmente, a professores de Física e Química, como forma de eles poderem utilizar o
ensino da Cosmologia, em especial a teoria do Big-Bang, e a Radiação Cósmica de Fundo,
como elemento motivador na sala de aula, na disciplina de Física e Química A (ensino
secundário). Também se pretende alertar os docentes para existência de várias concepções
alternativas, nomeadamente em assuntos relacionados com a teoria do Big-Bang e a
organização do Universo, que devem de ser trabalhadas e transformadas em concepções
cientificamente aceites.
Ao longo dos capítulos 1 – Radiação –, 2 – Cosmologia – e 3 – Radiação Cósmica de
Fundo – o professor de Física e Química (e não só) poderá, por um lado, rever muitos
conceitos que já estudou no passado e, por ouro lado, ter uma visão mais actualizada de
determinados assuntos, nomeadamente relacionados com a teoria do Big-Bang. Por exemplo,
até ao final da década de 1990 acreditava-se que o Universo estava em expansão desacelerada.
Hoje, de acordo com dados de observações quer de supernovas quer da Radiação Cósmica de
Fundo (satélites COBE e WMAP), pensa-se que o Universo está em expansão acelerada
devido a uma misteriosa energia escura que constitui mais de 72% do conteúdo
massa/energia do Universo.
O capítulo final tem algumas sugestões metodológicas e uma série de
perguntas/problemas e respostas. Penso que este capítulo poderá ser uma ajuda extra ao
professor que lecciona a disciplina. É sempre bom ter algumas respostas preparadas para
responder a questões que os alunos coloquem fora do âmbito das competências a desenvolver.
188
Referências e Bibliografia
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