Guia do Professor

Guia do Professor
Experimento
Conteúdos Digitais
Geometria e Arte
Experimentos
Coordenação Geral
Elizabete dos Santos
Autores
Emerson Rolkouski
Coordenação de Produção
Eziquiel Menta
Projeto Gráfico
Juliana Gomes de Souza Dias
Diagramação e Capa
Aline Sentone
Juliana Gomes de Souza Dias
Realização
Secretaria de Estado
da Educação do Paraná
DISTRIBUIÇÃO GRATUITA
IMPRESSO NO BRASIL
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EXPERIMENTO DE ENSINO
Geometria e Arte
1 Introdução
O experimento “Geometria e Arte” é constituído por quatro seções: Apresentação,
Histórico, Construindo e Explorando.
No link Apresentação, os caleidociclos são apresentados aos alunos, no link Histórico
o aluno é convidado a conhecer um pouco mais sobre estes interessantes poliedros flexíveis, como a idéia surgiu na mente de um designer e como foi adaptada e estudada por
uma matemática, no link Construindo são apresentados aos alunos os moldes de dois
tipos de caleidociclos, o quadrado e o hexagonal e o Isso Axis®, finalmente, no link Explorando são apresentados dois blocos de atividades – o primeiro versa sobre definições
matemáticas e o segundo sobre área e volume.
Neste guia faremos alguns comentários sobre as atividades contidas no link Explorando.
2 Explorando
No primeiro bloco de atividades o principal objetivo é discutir com os alunos a relação de
Euler e a necessidade das definições em Matemática.
Iniciamos o estudo apresentamos a relação de Euler usualmente trabalhada no Ensino Médio, V+F– A = 2, e observamos que para um cubo aberto, esta relação se resume a V+ F–A=1.
Convidamos o aluno a construir os dois caleidociclos, e solicitamos que encontrem o número
de arestas e vértices de cada uma dos caleidociclos.
O objetivo desta atividade é justamente causar um certo estranhamento no aluno, visto que
não é trivial tal contagem. O aluno pode imaginar que deve contar as seguintes arestas apenas
uma vez.
No entanto, depois de algum tempo de discussão devemos solicitar a eles que encontrem a definição de aresta: “Interseção de duas faces” e então devolvemos o problema
a eles. O fato é que, seguindo a definição devemos sim contar cada junção de tetraedros
como duas arestas, pois se tratam de duas interseções de duas faces.
Desta maneira, descobrimos que a igualdade V+F-A=2 é falsa no caso dos caleidociclos,
devendo ser substituída por V+F–A=0.
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Quando a relação V+F-A=2 é verdadeira, dizemos que a característica de Euler para
este poliedro é 2, no caso dos caleidociclos a característica de Euler é 0 (zero).
No segundo bloco de atividades solicitamos aos alunos que determinem a área e o
volume de caleidociclos.
Quanto ao cálculo da área, isto não deve apresentar dificuldade. É importante apresentar aos alunos, depois de um tempo, que há a possibilidade de se fazer este cálculo
olhando para a planificação. Esta ferramenta, ainda que simples, pode ser bastante útil
em vários problemas de geometria espacial.
Por outro lado, o calculo do volume traz bastante dificuldade. Em geral, os alunos
acabam acreditando que se trata de tetraedros regulares. É importante faze-los perceber que isto não é verdade. Uma maneira de mostrar este fato é observar atentamente
a planificação e o caleidociclo montado, fazendo-os verificarem que os triângulos que
compõem o caleidociclo não são eqüiláteros e sim isósceles.
Uma possibilidade para o cálculo do volume dos caleidociclos é a visualização de uma
secção indicada abaixo:
A secção indicada e um triangulo eqüilátero e a altura deste triangulo e a altura do tetraedro. Ao obter a altura, basta multiplica-la por um terço da área da base que se obtem
o volume do tetraedro.
Ainda que este procedimento ao seja elementar, e uma ferramenta muito útil na resolução de vários problemas de calculo de volume em geometria espacial.
3 Objetivos
• Discutir a necessidade das definições em Matemática
• Apresentar e discutir a Relação de Euler
• Desenvolver ferramentas para o calculo de área e volume
4 Tempo previsto para as atividades
O tempo previsto para a atividade é de aproximadamente 16 horas. No entanto, cabe
destacar que, de acordo com o potencial de intervenção do professor previamente à execução da atividade, ou durante a mesma, esse tempo poderá mudar.
5 Avaliação
A avaliação pode ser realizada durante todo o desenvolvimento das atividades, por
meio de questionamentos como os sugeridos anteriormente. O professor pode aproveitar
as respostas dos alunos para fazer as intervenções que julgar necessárias.
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6 Sugestões de sítios
Os sítios a seguir podem oferecer interessantes motivações para pesquisas:
http://www1.ttcn.ne.jp/~a-nishi/z_g_toy.html
http://www.mathematische-basteleien.de/kaleidocycles.
7 Indicações de leituras
BIGODE, A. J. L. Gestão de Interações e Produção de Conhecimento Matemático em
um Ambiente de Inspiração Lakatosiana. In: Educação Matemática em Revista, nº 7, ano
6, julho, 1999.
LAKATOS, I. A lógica do descobrimento matemático: provas e refutações. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.
PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as Séries Finais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Curitiba, 2008.
PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de aula.
São Paulo: Editora Autêntica, 2004.
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Condigital
Realização: