EA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 14

Transcrição

Aula 14
EA616 - Análise Linear de Sistemas
Aula 14 - Variáveis de Estado
Prof. Ricardo C.L.F. Oliveira
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Universidade Estadual de Campinas
2o Semestre 2014
Variáveis de Estado
1/20
Tópicos
1
2/20
Definição 1 (Estado)
O estado de um sistema dinâmico é o conjunto mı́nimo de valores de variáveis
(chamadas variáveis de estado) tal que o conhecimento destas variáveis em
t = t0 , conjuntamente com as entradas em t ≥ t0 , determinam totalmente o
comportamento do sistema (todas as variáveis do sistema) para qualquer tempo
t ≥ t0 . Portanto, o estado de um sistema dinâmico em um instante t qualquer
fica determinado univocamente pelo estado no tempo t0 (condições iniciais) e as
entradas para t ≥ t0 , e é independente do estado e das entradas antes de t0 .
Sistemas dinâmicos podem ser descritos por relações de entrada-saı́da ou por
variáveis internas denominadas variáveis de estado.
O estado do sistema pode ser representado de diversas formas. Ou seja, não
existe apenas uma escolha para as variáveis de estado (infinitas possibilidades).
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Representação por variáveis de estado
Definição 2 (Representação canônica por variáveis de estado)
Sistemas contı́nuos no tempo com uma entrada escalar x(t) e uma saı́da escalar
y (t) são chamados de sistemas SISO (single-input single-output). Podem ser
descritos por sistemas de equações de primeira ordem nas variáveis de estado.
Assim,
v̇ (t) = f (v (t), x(t), t),
y (t) = g (v (t), x(t), t)
sendo v (t) ∈
Rm o vetor de variáveis de estado.
Vantagens:
Sistemas MIMO.
Generalidade: sistemas não lineares, variantes no tempo, sistemas com
atraso, sistemas com incertezas.
Ferramentas de simulação e otimização.
4/20
Cirtuito RLC
Seja o circuito elétrico
v2
L
x
C
v1
R
Determine uma representação de estados de modo que a saı́da seja a corrente
no resistor.
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Cirtuito RLC
Seja o circuito elétrico
v2
L
x
C
v1
R
Determine uma representação de estados de modo que a saı́da seja a corrente
no resistor.


1
1 " #
0
v̇1
− RC C  v1
= 1
+ 1 x

v̇2
v2
0
−
L
L
v1
1
y=
0
v2
R
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Circuito RLC
1
2
i1
x
Ω
u1
1H
i2
u2
1
3
Ω
u3
i3
v1
v2
1
5
F
i4
u4
2Ω
Determine a representação de estados com v1 sendo a tensão no capacitor e v2
a corrente no indutor.
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Circuito RLC
1
2
i1
x
Ω
u1
1H
i2
u2
1
3
Ω
u3
i3
v1
v2
1
5
F
i4
u4
2Ω
Determine a representação de estados com v1 sendo a tensão no capacitor e v2
a corrente no indutor.
10
−25 −5 v1
v̇1
+
x
=
0
1
−2 v2
v̇2
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Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Sistemas lineares invariantes no tempo podem ser representados por equações
matriciais em termos das variáveis de estado, das entradas e saı́das
v̇ (t) = Av (t) + Bx(t)
(1)
y (t) = Cv (t) + Dx(t)
(2)
R
sendo v (t) ∈ m o vetor de variáveis de estado, x(t) o vetor de entradas e y (t) o
vetor de saı́das. A equação (1) é chamada de equação dinâmica, sendo A a matriz
dinâmica do sistema e B a matriz de entradas, e a equação (2) é chamada de
equação de saı́da, sendo C a matriz de saı́das e D a matriz de transmissão direta.
7/20
Variáveis de Estado: Sistema não linear
Em 1963, Lorenz publicou o artigo “Deterministic nonperiodic flow”, no Journal
of the Atmospheric Sciences, mostrando que equações simples podem apresentar
comportamentos imprevisı́veis, denominados posteriormente de caóticos.
v̇1 = σ (v2 − v1 )
v̇2 = ρ v1 − v2 − v1 v3
v̇3 = v1 v2 − β v3
As equaçõoes representam comportamentos atmosféricos, sendo v1 ligado à
velocidade das correntes de ar e v2 , v3 associados às temperaturas. As constantes
positivas são o número de Rayleigh, ρ o número de Prandtl σ e uma razão β .
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Variáveis de Estado: Sistema não linear
Em 1963, Lorenz publicou o artigo “Deterministic nonperiodic flow”, no Journal
of the Atmospheric Sciences, mostrando que equações simples podem apresentar
comportamentos imprevisı́veis, denominados posteriormente de caóticos.
v̇1 = σ (v2 − v1 )
v̇2 = ρ v1 − v2 − v1 v3
v̇3 = v1 v2 − β v3
As equaçõoes representam comportamentos atmosféricos, sendo v1 ligado à
velocidade das correntes de ar e v2 , v3 associados às temperaturas. As constantes
positivas são o número de Rayleigh, ρ o número de Prandtl σ e uma razão β .
Sistema não Linear.
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Pontos de equilı́brio
Definição 3 (Pontos de equilı́brio)
Os vetores v̄ solução do sistema de equações invariante no tempo
f (v̄ , x̄) = 0
para x(t) = x̄ constante são denominados pontos de equilı́brio.
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Sistema Linearizado
Definição 4 (Sistema Linearizado)
Uma aproximação de primeira ordem pode representar o sistema em torno do
ponto de equilı́brio. Assim, utilizando o jacobiano tem-se
h i
h i
,
B = ∂∂ xfij
,
A = ∂∂vfij
v̄,x̄
v̄,x̄
h i
h i
C = ∂∂ gvji
,
D = ∂∂ gxji
v̄ ,x̄
v̄ ,x̄
Exemplo: O modelo de Lotka-Volterra descreve, de maneira simplificada, a
relação entre quantidades de predadores v1 e de presas v2 num hábitat com
disponibilidade infinita de alimento para as presas
f1 (v1 , v2 ) = v̇1 = −av1 + bv1 v2 ,
f2 (v1 , v2 ) = v̇2 = cv2 − dv1 v2
Os parâmetros a, b, c e d são positivos e representam: a é a taxa de morte do
predador, por fome e envelhecimento; b é o fator de ganho (para os predadores)
quando do encontro com a presa; c é a taxa de expansão da população de presas
(livres dos predadores); d é o fator de perda (para as presas) quando do encontro
com o predador.
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Espaço e Plano de Fase
Definição 5 (Espaço de fases)
É a representação espacial das trajetórias de um sistema dinâmico em
coordenadas de variáveis de estado, tendo como variável implı́cita o tempo,
chamada de plano de fase quando apenas duas das variáveis são representadas.
Definição 6 (Plano de fases)
Não há cruzamento de trajetórias no espaço de fases, pois o sistema não pode
evoluir diferentemente a partir de um mesmo ponto.
Exemplo: Lotka-Volterra
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Pêndulo Simples
O pêndulo simples de comprimento ℓ, oscilando em um plano vertical, sujeito
ao atrito de fricção no engate e sustentando na extremidade livre uma massa m é
descrito pela equação
mℓθ̈ = −mg sin(θ ) − mb θ̇
sendo θ o ângulo com a vertical, g a aceleração da gravidade e b o coeficiente de
atrito.
Definindo-se
v1 = θ
,
v2 = θ̇
tem-se
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Pêndulo Simples
atrito.
Definindo-se
v1 = θ
,
v2 = θ̇
tem-se
v̇1 = v2
,
v̇2 = −
g
b
sin(v1 ) − v2
ℓ
ℓ
Os pontos de equilı́brio são
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Pêndulo Simples
atrito.
Definindo-se
v1 = θ
,
v2 = θ̇
tem-se
v̇1 = v2
,
v̇2 = −
g
b
sin(v1 ) − v2
ℓ
ℓ
Os pontos de equilı́brio são (0, 0) e (π , 0).
O jacobiano é dado por
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Pêndulo Simples
atrito.
Definindo-se
v1 = θ
,
v2 = θ̇
tem-se
v̇1 = v2
,
v̇2 = −
g
b
sin(v1 ) − v2
ℓ
ℓ
Os pontos de equilı́brio são (0, 0) e (π , 0).
O jacobiano é dado por
∂ fi
0
=
−(g /ℓ) cos(v1 )
∂ vj
1
−b/ℓ
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Pêndulo simples
Linearizando o sistema em torno de (0, 0), tem-se
v1
0
1
v̇1
=
−g /ℓ −b/ℓ
v2
v̇2
cuja equação caracterı́stica é
13/20
Pêndulo simples
v1
0
1
v̇1
=
−g /ℓ −b/ℓ
v2
v̇2
s −b 1
b
g
b 2 4g
2
−
±
∆(λ ) = λ + λ + = 0 ⇒ λ1,2 =
ℓ
ℓ
2ℓ
2
ℓ
ℓ
implicando que as raı́zes
√ da equação têm parte real negativa (sistema estável).
Note que para b < 2 g ℓ, as raı́zes são complexas conjugadas
(oscilação). Além
p
disso, se b = 0, a freqüência angular da oscilação é g /ℓ.
Linearizando o sistema em torno de (π , 0), tem-se
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Pêndulo simples
v1
0
1
v̇1
=
−g /ℓ −b/ℓ
v2
v̇2
s −b 1
b
g
b 2 4g
2
−
±
∆(λ ) = λ + λ + = 0 ⇒ λ1,2 =
ℓ
ℓ
2ℓ
2
ℓ
ℓ
implicando que as raı́zes
√ da equação têm parte real negativa (sistema estável).
Note que para b < 2 g ℓ, as raı́zes são complexas conjugadas
(oscilação). Além
p
disso, se b = 0, a freqüência angular da oscilação é g /ℓ.
Linearizando o sistema em torno de (π , 0), tem-se
v1
0
1
v̇1
=
g /ℓ −b/ℓ
v2
v̇2
s b
−b
1
g
b 2 4g
∆(λ ) = λ 2 + λ − = 0 ⇒ λ1,2 =
±
+
ℓ
ℓ
2ℓ
2
ℓ
ℓ
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Pêndulo simples
implicando que uma raiz da equação tem parte real positiva (sistema instável).
A Figura 1 mostra o plano de fase do modelo não linear (contı́nuo) e do modelo
linearizado (tracejado) em torno do ponto (0, 0), para condição inicial (π /3, 0).
6
4
v2
2
0
−2
−4
−6
−π /3
−π /6
v1
π /6
π /3
Figura : Planos de fase do pêndulo para a condição inicial (π /3, 0).
14/20
Van der Pol
Van der Pol estudou osciladores a válvula descritos pela seguinte equação
ÿ − 2µ (1 − y 2 )ẏ + y = 0,
µ >0
Definindo as variáveis de estado
15/20
Van der Pol
ÿ − 2µ (1 − y 2 )ẏ + y = 0,
µ >0
v1 = y
,
v2 = ẏ
tem-se
v̇1 = v2
,
15/20
Van der Pol
ÿ − 2µ (1 − y 2 )ẏ + y = 0,
µ >0
v1 = y
,
v2 = ẏ
tem-se
v̇1 = v2
,
v̇2 = −v1 + 2µ (1 − v12 )v2
O ponto de equilı́brio é (v1 , v2 ) = (0, 0) e o jacobiano é dado por
15/20
Van der Pol
ÿ − 2µ (1 − y 2 )ẏ + y = 0,
µ >0
v1 = y
,
v2 = ẏ
tem-se
v̇1 = v2
,
v̇2 = −v1 + 2µ (1 − v12 )v2
∂ fi
0
1
=
−1 − 4µ v1 v2 2µ (1 − v12 )
∂ vj
O sistema linearizado é dado por
15/20
Van der Pol
ÿ − 2µ (1 − y 2 )ẏ + y = 0,
µ >0
v1 = y
,
v2 = ẏ
tem-se
v̇1 = v2
,
v̇2 = −v1 + 2µ (1 − v12 )v2
∂ fi
0
1
=
−1 − 4µ v1 v2 2µ (1 − v12 )
∂ vj
O sistema linearizado é dado por
v̇1
0
=
v̇2
−1
1
2µ
v1
v2
15/20
Van der Pol
resultando na equação de segunda ordem em v2
(p 2 − 2µ p + 1)v2 = 0
Para 0 < µ < 1, têm-se as raı́zes da equação caracterı́stica
q
λ1 = λ2∗ = µ + j 1 − µ 2
tratando-se, portanto, de um sistema instável oscilatório. A solução v2 (t) é dada
por
q
v2 (t) = a exp(µ t) cos ( 1 − µ 2 )t + θ
com a e θ definidos pelas condições iniciais.
16/20
Van der Pol
Os planos de fase para µ = 0.5 são mostrados na Figura 2. Observe que o sistema
não-linear possui um ciclo-limite estável e que o modelo linearizado em torno do
ponto de equilı́brio (0, 0) apresenta o caráter oscilatório instável da solução.
3
2
v2
1
0
−1
−2
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
v1
0.5
1
1.5
2
2.5
de Estado
- Análise
Linear
de Sistemas
FiguraVariáveis
: Planos
de fase para as condições EA616
iniciais
(0.01,
0),
(−2, 2) e
17/20
Implementação: integradores × diferenciadores
Considere a equação diferencial
ÿ + 2ẏ + y = x
Supondo um sinal x(t) sujeito ao ruı́do aditivo de alta frequência η (t), ambos
senoidais, aplicados na entrada de um diferenciador, tem-se
x(t) + η (t) = sin(ω0 t) + sin(ω t) ⇒ y (t) = ω0 cos(ω0 t) + ω cos(ω t)
Por outro lado, na saı́da do integrador, tem-se
y (t) = −
1
1
cos(ω0 t) − cos(ω t)
ω0
ω
18/20
E4 (EA616, Turma, Nome, RA, Data)
Considere o sistema
v̇1 = 2v1 v2 − v1 − v2
v̇2 = v1 (1 − v1 v2 )
a) Determine os pontos de equilı́brio
b) Determine os modos próprios associados ao modelo linearizado nos pontos de
equilı́brio
19/20
Bibliografia Complementar
Engenharia de Sistemas de Controle, Norman S. Nise, LTC - Livros
Técnicos e Cientı́ficos. Capı́tulo 3 (Modelagem no domı́nio do tempo)
Engenharia de Controle Moderno, K. Ogata, Prentice-Hall do Brasil.
Capı́tulo 3 (Modelagem matemática de sistemas dinâmicos)
Feedback Control of Dynamic Systems, G. F. Franklin, J. D. Powell and A.
Emami-Naeini, Prentice Hall. Capı́tulo 9 (Nonlinear systems)
20/20

EA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 14

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