Conceitos fundamentais

Conceitos fundamentais
Prof. Emerson Passos
1.
Espaço dos vetores de estado. Operadores lineares.
Representação de vetores de estado e operadores.
2.
Observáveis. Autovalores e autovetores de um observável.
Medida na Mecânica Quântica. Postulados. Relações de
incerteza. Mudança de base. Diagonalização. Observáveis
com espectro contínuo. Posição e momento. Função de
onda.
Espaço dos vetores de estado

O estado do sistema é representado por um vetor num espaço vetorial complexo,
munido de um produto escalar hermiteano. Vamos adotar a notação de Dirac:
Vetor de estado
a
→ “ket”, a rótulo identificador.

Dimensionalidade: é determinada pela natureza do sistema físico considerado.

Estrutura de espaço vetorial: estão definidas as operações de soma de vetores e
multiplicação de um vetor por um número complexo.
a) A soma de dois vetores a ,  é um terceiro vetor  ,
a    
é o vetor c a que satisfaz as propriedades:
que satisfaz as propriedades:
(a1) Associativa: a     
b) O produto de um vetor a por um número complexo c
a
 
 
(a2) Comutativa: a      a
(a3) Vetor Nulo  : a    a para qualquer a
(a4) Vetor Inverso: a  a   para todo a
(b1) Associativa:
(b2) Distributiva:
 c1c2  a  c1  c2 a 
 c1  c2  a  c1 a  c2
c a  
c a
a
c 
(b3) 1 a  a para qualquer a
Um vetor de estado contém todas as informações sobre o estado físico do sistema.

Produto Escalar Hermiteano: operação que associa a todo par de vetores |a> e
|> um número complexo que será indicado pelo símbolo (,a), satisfazendo as
propriedades:
(p1) a ,     a ,   a , 
(p2) a ,c   c a , 
(p3) a ,     , a 

(p4) a ,a  é real
0   a ,a   
 a ,a   0 
a  
Consequência das propriedades: Linearidade do produto escalar com respeito ao
segundo argumento e antilinearidade com respeito ao primeiro argumento
a , c1  c2   c1 a ,    c2 a ,  
c1  c2 , a   c1  , a   c2  , a 
Ortogonalidade: Dois vetores são ortogonais se a ,    0
Norma:
a
 a , a 
1/ 2
a ,a   1  vetor de estado normalizado

Se o espaço dos vetores de estado tem dimensão N, existe uma base de vetores
de estado dada por N vetores ortonormais,
 ,   
i
j
ij
i, j  1,, N
tal que qualquer vetor de estado pode ser escrito como:
N
a   a i i
i 1
ai  i a
Espaço Dual. “Bras”

Dado um espaço vetorial podemos definir funções lineares com valores complexos
a a
dos vetores do espaço,

Linearidade: a ca a  c 
c
a

aa
a a  c a 
a) Soma de funções lineares
b) Produto da função linear por um número complexo:
a a  a1 a  a2 a
(a1) Associativa:
a1 a   a2 a  a3 a
a
1
(a2) Comutativa:
ca a  c a a

(b1) Associativa:
a  a2 a   a3 a
(b2) Distributiva:
c  a1 a  a2 a
a1 a  a2 a  a2 a  a1 a
(a3) Função Nula:  a  0, para qualquer a
(a4) Função Inversa:
 c1c2  a a  c1  c2 a a 
 c1  c2  a a  c1 a a  c2
c
aa
a1 a  c a2 a
(b3) 1 a a  a a
a a  a a =  a

Estrutura de espaço vetorial: Espaço Dual do espaço de partida.

Correspondência dual: A cada vetor |a> associamos uma função linear <a| tal que o
seu valor no vetor |> seja
a 

a   a ,  

Na notação de Dirac, um vetor do espaço dual é chamado de “bra”. Os produtos
escalares entre dois vetores do espaço vetorial aparecem como brackets
a 
bra  c  ket


Correspondência entre vetores do espaço vetorial e do espaço dual é tal que
a
DC
a
ca
DC
c a
ca a  c 
DC
ca a  c 
Dada uma base no espaço vetorial podemos achar uma base correspondente no
espaço dual:
 
n
DC
 
n
a  a n n
DC
n
tal que
a  a n n
n
a   a n  n  a ,  
n
Operadores Lineares

Ação de um operador linear num vetor do espaço vetorial transforma esse vetor em
outro vetor do mesmo espaço:
  X̂ a
Linearidad e :
Xˆ ca a  c    ca Xˆ a  c Xˆ 
b) Produto de operadores lineares
a) Soma de operadores lineares
 Xˆ  Yˆ  a
(a1) Comutativa: Xˆ  Yˆ  Yˆ  Xˆ

ˆ ˆ a
 XY
 Xˆ a  Yˆ a
 

 Xˆ Yˆ a

ˆ ˆ  YX
ˆˆ
(b1) Não-Comutativa (em geral): XY

(a2) Associativa: Xˆ  Yˆ  Zˆ  Xˆ  Yˆ  Zˆ  Xˆ  Yˆ  Zˆ
   
ˆ ˆ  XY
ˆ ˆ Zˆ
(b2) Associativa: Xˆ YZ

Representação de vetores de estado e operadores numa dada base:

n
, n  1, 2, 
1) Vetores de estado são representados em termos de suas componentes nessa base:
a  a n n   n n a
n
a n  n a
n
a n  n a  elementos da matriz coluna que representa o vetor de estado a na base n .
2) Um operador linear é representado em termos de uma matriz determinada através
da ação do operador em cada um dos vetores da base:
Xˆ n   m X mn   m m Xˆ n
m
X mn  m Xˆ n
m
X mn  m Xˆ n  elementos da matriz que representa o operador Xˆ na base n .

Dado um operador X̂ definimos o operador hermiteano conjugado, X̂ † , através
da relação
a Xˆ †    Xˆ a

Representação numa dada base → matriz complexa conjugada da transposta da
matriz que representa X̂ ,
 
X†
nm
 n Xˆ † m  m Xˆ n
Xˆ a
Correspondência dual →
 
  Xˆ  Yˆ 
Propriedades  Xˆ †

†
DC
 Xˆ
†
 Xˆ †  Yˆ †

a Xˆ †
   c Xˆ
ˆ ˆ   Yˆ Xˆ
  XY
 cXˆ
Operador Hermiteano: Xˆ  Xˆ †

Representação numa dada base → X nm  X mn

†
Operador Anti-hermiteano: Xˆ   Xˆ

 X mn
†

†
†
†
†
Resolução da identidade

Operadores de projeção: Seja 
Definimos o operador:
Propriedades
um vetor de estado normalizado,    1 .
P̂   
a) Hermiteano: Pˆ†  Pˆ
b) Idempotente: Pˆ2  Pˆ
Qˆ   1ˆ  Pˆ  operador de projeção complementar à Pˆ
Pˆ  Qˆ   1ˆ
Pˆ Qˆ   Qˆ  Pˆ  0
Todo vetor de estado pode ser decomposto na soma de dois vetores ortogonais da forma:
a  P̂ a  Qˆ  a

Se 
é tomado igual à um dos vetores de uma base ortonormal n :
Pˆn a  n n a
Em particular a expansão:
 Pˆ   
a   n n a   Pˆ a
n
n
n
n
n
n
n  1ˆ
n
relação de completeza

Vamos exemplificar como os operadores introduzidos e a notação de Dirac facilitam
os cálculos na MQ:
i) Expansão de um vetor de estado a em termos de suas componentes
na base n :


a    Pˆ  a   n n a

n
n

n
ii) Representação de um operador linear Xˆ na base n :

 

Xˆ    Pˆn  Xˆ   Pˆm    n n Xˆ m m   X nm n m
n ,m
 n
  m
 n ,m
Mudança de Base

Duas bases distintas no espaço de vetores de estado:
 
i

 
i
ˆ ˆ †  1ˆ
Uˆ  operador unitário Uˆ †Uˆ  UU
 i  Uˆ i
 i    j  j Uˆ i    j U ji
j
j
U ji   j Uˆ i  matriz unitária que representa Uˆ na base  i


Dado um “ket” qualquer, como se relacionam os coeficientes da sua expansão nas
duas bases?
a   i i a
i
a   i i a
i
 i a  U ji  j a
 a    U †a  
j
a    matriz coluna que representa o vetor a na base   i
a    matriz coluna que representa o vetor a

na base   
i

Qual a relação entre as matrizes que representam um operador nas duas bases?
Xˆ   i i Xˆ  j  j
Xˆ    i  i Xˆ  j  j
i, j
i, j
 i Xˆ  j  U ki k Xˆ l U lj
k ,l
X    U † X  U
X    matriz que representa o operador Xˆ na base   i  ,
X    matriz que representa o operador Xˆ na base  i  ,
U  matriz unitária que relaciona os vetores da base   i
os vetores da base  i  .
 com
Observáveis. Autovetores e autovalores de
um observável.
Medidas na MQ: Postulados

A probabilidade é sempre não-negativa e a soma das probabilidades de se medir
todos os autovalores de um observável é igual a um;
p(ai , a )  ai a
2
 p(a , a )   a
i
i

i
Valor médio das medidas de um observável se o sistema está no estado |a:
Aˆ
Então:

ai ai a  a a  1
a
  ai p(ai , a )   a ai ai ai a
i
i
Aˆ
a
 a Aˆ a
Generalização quando existe degenerescência:
Caso não-degenerado
a Pˆai a
ˆ
p(ai , a )  a Pai a 
1/ 2
a Pˆ a
2
ai
Pˆai  ai ai  projetor no estado ai
Caso degenerado
ˆ
Calculamos as probabilidades como mostrado acima, onde agora Pai é o projetor
no subespaço degenerado de autovalor ai :
di
Pˆai   ai , k ai , k
k 1
Probabilidade de numa medida do observável  de acharmos o valor ai :
di
p(ai , a )  a Pˆai a   ai , k a
k 1
2
Observáveis compatíveis. Conjunto completo de observáveis compatíveis.
Como determinar uma base do espaço de vetores de estado?

Observáveis compatíveis: Dois observáveis são compatíveis se
Propriedades
.
Vetores da base  ai , bl
 autovetores simultâneos dos observáveis compatíveis  e B̂ .
Duas possibilidades:
1.
Dado um par de autovalores de  e B̂ existe apenas um autovetor simultâneo de Â
e B̂ com esse par de autovalores. Nesse caso podemos rotular os estados da base
pelos pares de autovalores, ai , bl , e os observáveis compatíveis  e B̂ são um
conjunto completo de observáveis compatíveis.
2.
Quando a multiplicidade permanece devemos achar uma série de observáveis
compatíveis entre si,
Aˆ , Bˆ , Cˆ ,
tal que dado o conjunto de autovalores desses
observáveis existe apenas um autovetor simultâneo de Aˆ , Bˆ , Cˆ ,
de autovalores. Nesse caso, os observáveis compatíveis Aˆ , Bˆ , Cˆ ,
completo de observáveis compatíveis.
com esse conjunto
são um conjunto

Como determinar uma base no espaço de vetores de estado?
 e B̂ observáveis compatíveis
Selecionamos os vetores da base fazendo medidas simultâneas dos observáveis
 e B̂ .
Probabilidade de nas medidas sucessivas acima acharmos os valores ai , bl :
ai , bl Pˆai a
Prob 
1/ 2
a Pˆ a
ai
2
a Pˆai a  ai , bl Pˆai a
2
 ai , bl a
2


Observáveis incompatíveis
Medidas de observáveis incompatíveis

Diagonalização. Solução da equação de autovalores para um operador
hermiteano.
Relações de incerteza
Observáveis com um espectro contínuo
Operador posição
Translação. Operador momento – 3D.