Aula 12 -‐ Carga Axial e Princípio de Saint-‐Venant.

Aula 12 -­‐ Carga Axial e Princípio de Saint-­‐Venant. Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected] Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS arga Axial
Carga Axial A tubulação de perfuração A tubulação
de perfuração
de petróleo suspensa de
no guindaste no
da guindaste
perfuratriz da
petróleo suspensa
subme8da a cargas e perfuratrizestá está
submetida
a cargas
deformações axiais e deformações
axiais
extremamente grandes, portanto, o engenheiro extremamente
grandes,
portanto, o
responsável pelo projeto engenheiro
pelo
deve sresponsável
er extremamente projeto capaz deve ser
de iextremamente
den8ficar essas e deformações a e
capaz de cargas identificar
essas cargas
fim de garan8r a deformações
a fimdde
segurança o pgarantir
rojeto. a
segurança do projeto.
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Princípio de Saint-­‐Venant Aula 5
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Princípio
de Saint-Venant
•  Uma barra deforma-­‐se elas8camente quando subme8da a uma carga P aplicada ao longo do seu eixo geométrico. •  Para o cbarra
aso deforma-se
representado, Uma
elasticamenteaquando
submetida
cargarigidamente P aplicada ao longo do
barra está afiuma
xada seuextremidades, eixo geométrico. e a em uma das força plicada por m
eio está
de fixada
um Paraé oacaso
representado,
a barra
rigidamente
em uma
das extremidades, e a força
furo na outra extremidade. é aplicada por meio de um furo na outra
•  Devido ao carregamento, a extremidade.
barra se deforma como indicado Devido ao carregamento, a barra se deforma
pelas as retas ntes comodistorções indicado pelas d
distorções
das a
retas
antes
horizontais e ver8cais, a gdesenhada.
relha horizontais e verticais,
da grelhadnela
nela desenhada. Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 5
P ( xE)lásBca de um Elemento Deformação σ = Prof.com ε
MSc. Luiz Eduardo Miranda
J. MSc.
Rodrigues
Prof.
Luiz Eduardo Miranda J. Ro
Carga Axial A
(
x
)
Elástica de um
Elemento
Deformação
Elástica
de um Elemento
•  A par8r da aplicação da •  Desde que essas lei de Hooke e das quan8dades não definições de tensão e excedam o limite de que essas
quantidades
nãoproporcionalidade, excedam aos limite d
deformação , pode-­‐se desenvolver uma mesmas podem ser s
podem
ser
relacionadas
utilizando-se
a
lei
de
Hoo
de Hooke
e das
definições
de
tensão
e
deformação
,
pode-se
partir
da aplicação
da
lei
de
Hooke
e
das
definições
de
tensão
e
deformação
, pod
equação para determinar relacionadas u8lizando-­‐se envolver
uma
para
determinar
ade
para determinar
a deformação
elástica
a dequação
eformação elás8ca de a ldeformação
ei um
de Helemento
ooke, elástica
ou seja: de um elem
um axiais.
elemento subme8do metido a cargas
a cargas axiais. xial Carga Axial
com
P( x)
dδ
σ=
ε=
A( x)
dx
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] dδ ⋅ ε
σ =ε = E
dx
MECÂNICA DOS SÓLIDOS sde não
que excedam
essas quantidades
não proporcionalidade,
excedam o limite as
de proporcionalidade, as
des
o limite de
Aula 5
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
DeformaçãoElásBca Elástica
um
Deformação de de
um Elemento Elemento com comCCarga
arga AAxial
xial Asequações
equações
utilizadas
escritas do
seguinte
modo: do seguinte mo
uações utilizadas As
são
escritas
dosãoseguinte
modo:
utilizadas
são
escritas
•  As equações u8lizadas são escritas do seguinte modo: P( x)
& dδ #
= E$
!
A( x)
% dx "
& dδ #
dδ # P ( x )
= E$
!
!
% dx "
dx " A( x)
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] dδ =
P ( x) ⋅ dx
A( x) ⋅ E
P
P ( x) ⋅ dx
dδ =
dδ =
A
A( x) ⋅ E
Resistência dos Materiais
MECÂNICA DOS SÓLIDOS la 5
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigu
eformação
Elástica
de
um
Deformação ElásBca d
e um Elemento Carga Axial
Axial emento comcom Carga
Portanto, na forma integral tem-se que:
Portanto, na forma integral tem-­‐se que: L P ( x ) ⋅ dx
δ=
0 A( x ) ⋅ E
onde: δ = deslocamento de um ponto da barra em relação a e:
outro. deslocamento
um ponto
da barra
em relação a outro.
L = ddeistância entre pontos. P(x) pontos.
= Força axial interna da seção, localizada a uma distância entre
distância x de uma extremidade. = Força axial
a uma
x de uma
A(x) interna
= área da
da seção,
seção localizada
transversal da bdistância
arra expressa em emidade. função de x. E = módulo de elas8cidade do material. !
= áreaProf. daWanderson seçãoS. Ptransversal
da barra expressa em função de x.
aris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS de todo o comprimento da barra também será constante.
Carga Uniforme e Seção Transversal rga Uniforme e Seção
Transversal
Constante 5
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
nstante
•  Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será homogêneo, logo E é uitos casos, a constante. barra tem área
da seção
transversal
A; o material
será
Além disso, se uma constante
força externa constante êneo, logo Efor é constante.
disso,extremidade se uma força cexterna
aplicada eAlém
m cada omo mconstante
ostra a fifor
gura, da em cada extremidade
a figura,
interna
P ao longo
então a fcomo
orça mostra
interna P ao lentão
ongo adforça
e todo o comprimento o o comprimento
barratambém também será
constante.
da da
barra será constante. P⋅L
δ=
A⋅ E
δ=
P⋅L
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Convenção de S
inais
Convenção de S
Considera-­‐se força e deslocamento como posi8vos se provocarem, respec8vamente tração e alongamento; ao passo que a força e deslocamento são nega8vos se provocarem compressão e contração respec8vamente. Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] C
a
MECÂNICA DOS SÓLIDOS a5
rra
Se a barra
forD
submetida
a diversas
forças
axiais diferentes
Barra com iversas Forças Axiais
Prof. de
MSc.elasticidade
Luiz Eduardo Miranda
J. Rodrigues abruptamen
transversal ou o módulo
mudarem
da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento
Se a barra for subme8da adeslocamentos
diversas forças axiais adição
algébrica
dos
de cada
segmento.
com
Diversas
Forças
Axiais
diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elas8cidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, deve-­‐se calcular o ra for submetida
a diversas forças
axiais
diferentes
ou, ainda,
da eseção
deslocamento para cada segmento da abárea
arra então al ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra
realizar a adição algébrica dos deslocamentos de cada deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a
segmento. gébrica dos
deslocamentos de cada segmento.
P⋅L
δ =!
A⋅ E
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] P⋅L
MECÂNICA DOS SÓLIDOS Diagrama de Cargas Axiais Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 5
Exercício 1
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Exercício 1 •  1) mostrado
O conjunto mostrado na defigura consiste de um tubo e da
1) O conjunto
na figura
consiste
um tubo
de alumínio
AB
comdárea
alumínio AB cmm².
om áUma
rea dhaste
a seção ransversal de 4de00 diâmetro
mm2. está
seção transversal
de 400
de taço
de 10 mm
Uma haste de que
aço passa
de 1através
0 mm d
diâmetro stá acoplada a de
acoplada a um
colar
rígido
doe tubo.
Se foreaplicada
uma carga
que assa através o tubo. Se C?
for aplicada tração de 80 um kN àcolar haste,rígido qual será
op
deslocamento
dadextremidade
uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o Supor que Eaço
= 200 GPa e Ed
= e70
GPa.
deslocamento xtremidade C? al a •  Supor que Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa. Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 55
Aula
Solução do Exercício 1 Prof.Prof.
MSc.MSc.
Luiz Luiz
Eduardo
Miranda
J. Rodrigues
Eduardo
Miranda
J. Rodrigues
Solução do
Solução
do Exercício
Exercício1 1
O diagrama de corpo livre do O diagrama
de
corpo livre
do tuboqeue a tubo e da de
haste m
ostra Odadiagrama
corpo
livre
do tubo e
haste mostra que a haste está
haste stá sujeita a uma da
hasteaemostra
que de
a haste
sujeita
uma tração
80 kNestá
eo
tração dsujeito
e 8tração
0 akuma
N deecompressão
80
o kN
tubo sujeita
a uma
e o está tubo está
tubo
a uma
compressão de de 80está
kN.sujeito
sujeito a uma compressão de 80
kN.
80 kN. Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] Deslocamento de C em Deslocamento
à B:
relação à B: de CdeemC relação
Deslocamento
em relação à B:
L
δ = P ⋅ P
⋅L
CB
δ CB A=⋅ E
A⋅ E 3
+ 80 ⋅10 ⋅ 0,36
δ =
CB
+ 80
2 ⋅10 ⋅ 0,6
9
π
⋅
(
0
,
005
)
⋅
200
⋅
10
δ
=
CB
π ⋅ (0,005) 2 ⋅ 200 ⋅109
δ CB = +0,003056 m
δ CB = +0,003056 m
O sinal posi8vo indica que a O sinal positivo indica que a
extremidade CC m
ove-­‐se extremidade
move-se
parapque
aara
O sinal positivo
indica
a
direitaextremidade
em
relação
àCextremidade
B, a
a direita em relação à para
move-se
visto que aBbarra
se alonga.
extremidade , visto que a B,
direita em relação
à extremidade
que a barra se alonga.
barra se visto
alonga. MECÂNICA DOS SÓLIDOS Resistência dos Materiais
Aula 5
Solução do Exercício 1 Aula 5
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Solução do Exercício 1
Deslocamento e B eExercício
m Como Soluçãoddo
1ambos os relação à A: de B em relação à A:
Deslocamento
P ⋅ L de B em relação à A:
Deslocamento
δB =
AP⋅ ⋅EL
δB =
3
A
⋅
E
−
80
⋅
10
⋅ 0,4
δB =
6 3
9
400−⋅80
10 −⋅10
⋅ 70⋅ 0⋅10
,4
δB =
−6
9
400
⋅
10
⋅
70
⋅
10
m
δ
=
−
0
,
001143
B
δ B n=ega8vo −0,001143 m
O sinal indica ue o O sinal negativo indica
que oqtubo
e, assim,eB, move-se
para
tubo sesOencurta
e sinal
encurta a
ssim, B negativo
indica
que
o
tubo
a direita em relação a A.
move-­‐se para a direita em se encurta
e, assim,
B move-se
para
direita
relação aa A
. em relação a A.
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] deslocamentos são para a Como ambos os deslocamentos
são paraoa d
direita,
o deslocamento
direita, eslocamento Como
ambos
os
deslocamentos
resultante de C em
relação à
resultante de Cfixa
oedeslocamento
m relação são para
a direita,
extremidade
A é:
resultante de C fi
em
relação
à extremidade xa A é: à
extremidade
δ C = δ B +fixa
δ CBA é:
+ 0δ,CB
C = δB +
δ C = 0,δ001143
003056
δ Cδ =
0,001143 +m0,003056
C = 0,00420
00420
mm m
δδCC ==40,,20
δ C = 4,20 mm
MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 5
Exercício 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Mirand
Exercício 2
2) Uma viga rígida AB apóia-­‐se sobre dois postes curtos como mostrado n2)a Uma
figura. C é fAB
eito de aço e tdois
em postes
diâmetro e 20 mostrado na f
viga A
rígida
apóia-se
sobre
curtos d
como
mm; BD é ffeito
eito dedaço
e alumínio e tem diâmetro e 40 m. e tem diâmetro
e tem diâmetro
de 20
mm; BD édfeito
dem
alumínio
Determinar
o deslocamento
ponto F
sesfor
uma carga vertic
Determinar o deslocamento do do
ponto F eemm AB
AB e faplicada
or nessecarga ponto. v
Admitir
Eaço
=9
200
Eal = 70
GPa. Admi8r aplicada uma er8cal de 0 kGPa
N neesse ponto. Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa. Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 5
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda
Aula 5
Solução
do Exercício
22 Solução do Exercício Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Solução
do
Exercício
2
Reações de apoio:
Reações de apoio:
M =0
!
!M = 0
A
A
− 90 ⋅ 0,2 + P ⋅ 0,6 = 0
− 90 ⋅ 0,2 + PBD ⋅BD
0,6 = 0
90 90
⋅ 0,2⋅ 0,2
PBD= =
PBD
0,60,6
!F
!F
V
V
=0
=0
PAC + PBD − 90 = 0
PAC + PBD − 90 = 0
P
= 90 − 30
PAC = 90 −AC30
PAC = 60PkN
AC = 60 kN
kN kN
PBD
P = 30
= 30
BD
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 5 Aula 5
Prof.
MSc. Luiz
Eduardo
Miranda J. Rodrigues
Prof. MSc. Luiz
Eduardo
Miranda
J. Rodrigues
Solução do Exercício 2 Solução
do Exercício
Solução
do Exercício
2 2
Poste AC:Poste AC:
Poste BD:Poste BD:
PAC ⋅ LACPAC ⋅ LAC
δA = δA =
AAC ⋅ EaçoAAC ⋅ Eaço
PBD ⋅ LBD PBD ⋅ LBD
δB = δB =
ABD ⋅ Eal ABD ⋅ Eal
3
3
− 60 ⋅10−
⋅60
0,3⋅10 ⋅ 0,3
δA = δA = 2
2 9
π )⋅ (0⋅ 200
,010⋅)10
⋅ 200 ⋅109
π ⋅ (0,010
3
− 30 ⋅103−⋅ 030
,3 ⋅10 ⋅ 0,3
δB = δB = 2
,020
π ⋅ (0,020π) ⋅ (⋅070
⋅10)92 ⋅ 70 ⋅109
6
m⋅10 −6 m
δ A ⋅=10−−286
δ A = −286
δ A = 0,286
δ A =mm
0,286 mm
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] m ⋅10 −6 m
δ B⋅10
= −−6102
δ B = −102
δ B = 0,102
δ B mm
= 0,102 mm
MECÂNICA DOS SÓLIDOS Aula 5
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Solução d
o E
xercício 2
Solução do Exercício 2
Pela proporção do triângulo tem-se que:
& 400 #
δ F = 0,102 + 0,184 ⋅ $
!
% 600 "
δ F = 0,225 mm
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Exercícios Propostos le River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currently
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[P55] O navio é impulsionado pelo eixo da hélice, feito de aço water using an A-36
E = 200 GPa e com 8 m de measured A-­‐36, from the
medidos da engine. Ifcomprimento, it has an
hickness of
50 mm,
hélice ao mancal de encosto D action of do themshaft
otor. Se esse eixo possuir e shaft of 5 kN. The
diâmetro de 400 mm e s.
espessura da parede de 50 mm, qual será sua contração axial quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre ele? Os apoios B e C são mancais. 00 (103)(8)
A
B
C
D
5 kN
8m
- 0.32) 200(109)
-6
10 ) m
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P56] A junta é feita de três chapas de aço A-­‐36 ligadas pelas suas costuras. Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade B quando a junta é subme8da às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm. Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P57] Determinar o alongamento da 8ra de alumínio quando subme8da a uma força axial de 30 kN. Eal = 70 GPa Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Exercícios Propostos [P58] O parafuso tem um diâmetro de 20 mm e passa através de um tubo ue tem diâmetro interno de 50 laws
mm eas
diâmetro externo de 60 s material
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they currently
Se o ppermission
arafuso eo tin
ubo são feitos aço A-­‐36, determinar a y means,mm. without
writing
fromde the
publisher.
tensão normal no tubo e o parafuso, quando uma força de 40 kN aplicada ao parafuso. Suponha que as tampas são rígidas. 160 mm
40 kN
40 kN
150 mm
Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS Referências Bibliográficas •  hJp://www.cronosquality.com/aulas/ms/index.html •  Hibbeler, R. C. -­‐ Resistência dos Materiais, 7.ed. São Paulo :Pearson Pren8ce Hall, 2010. •  BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.o Ed., Makron Books, 1995. •  Rodrigues, L. E. M. J. Resistência dos Materiais, Ins8tuto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009. •  BUFFONI, S.S.O. Resistência dos Materiais, Universidade Federal Fluminense – Rio de Janeiro: 2008. •  MILFONT, G. Resistência dos Materiais, Universidade de Pernanbuco: 2010. Prof. Wanderson S. Paris -­‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS