Apostila - Carlos Alberto Bezerra e Silva

Transcrição

Administração Financeira Orçamentária I
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
INTRODUÇÃO
A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em
função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de
estudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o
objetivo da matemática financeira.
⇒ Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas
operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o
risco envolvido em várias operações de créditos.
⇒ Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento
de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como
pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de
despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.
⇒ Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracterizao como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou
simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a
calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.
PORCENTAGEM
O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos
comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal % .
Quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um simples
cálculo de proporção. Vejamos o exemplo a seguir:
Exemplo 01:
Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?
O raciocínio que se deve empregar na solução deste problema é exatamente este:
- Se a comissão sobre R$ 100,00 é R$ 10,00, quanto será sobre R$ 800,00 ?
Neste caso teremos:
100,00
10,00
800,00
X
Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos), teremos que:
100 . X = 800 . 10
100X = 8.000
X = 8.000/100
X = R$ 80,00
(assim sendo, (100 . 80) = (800 . 10)
8.000 = 8.000
2
EXERCÍCIOS
1) Achar 9% de R$ 1.297,00
2) Achar 2,5% de R$ 4.300,00
3) Achar 0,5% de R$ 1.346,50
4) Achar 108% de R$ 1.250,25
5) Achar 0,6% de R$ 500,00
6) Dos 30 participantes de um curso, 12 são homens. Qual a participação de mulheres na turma?
7) Calcular o número cujos 12% são R$ 100,80
8) Calcular o número cujos 500% são R$ 160,00
9) Calcular o número cujos 6,5% são R$ 26,00
10) Qual a taxa que rende R$ 850,00 sobre um capital investido de R$ 5.500,00?
11) Sobre um valor principal, houve um rendimento de R$ 15.500,00 a uma taxa de 31,5%. Qual
o valor aplicado?
12) Qual o valor do rendimento obtido por um capital de R$ 45.000,00 a uma taxa de 24,32%?
OPERAÇÕES COM MERCADORIAS
Com base nos conceitos de porcentagem, é possível resolver várias situações que
envolvem negociações com mercadorias, ou seja, cálculo do lucro, preço de venda, custo, etc.
Para achar a soma de um número qualquer e sua porcentagem, calculam-se primeiro a
porcentagem e, em seguida, adiciona-se esta ao número dado.
Exemplo 01:
Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma
rentabilidade (lucro) de 6% ?
Solução algébrica:
4.126,75
100%
X
6%
Onde:
Lucro = 4.126,75 . 6 =
100
Então teremos:
Lucro
Custo da mercadoria
Preço da venda
24.760,50
100
= R$ 247,61
= R$ 247,61
= R$ 4.126,75
= R$ 4.374,36
3
Observe que R$ 4.126,75 representa a parte inteira = 100% ou 100% = 1;
100
Observe que R$ 247,60 representa a parte fracionária = 6% ou 6% = 0,06.
100
Partindo deste raciocínio, concluímos que:
Preço de venda = parte inteira (1) + parte fracionária (0,06), ou seja, podemos deduzir que o
índice para calcular o preço de venda neste exemplo será: 1,06. Vamos comprovar:
Preço de venda = 4.126,75 . 1,06
Preço de venda = 4.374,36
EXERCÍCIOS
1) Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
2) Um produto custou R$ 125,00 e foi vendido por R$ 182,00. De quanto por cento foi o lucro?
3) Uma determinada mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 60,00. De quanto
por cento foi o prejuízo?
4) Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido 20% abaixo do custo. De quanto é o prejuízo?
5) Um objeto comprado por R$ 50,00 é vendido com 12% de lucro. Quanto a empresa obteve de
lucro?
6) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais
tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu
lucro?
JUROS (J)
É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a
partir de dois pontos de vista:
-
de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo,
prejuízo, etc.
de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho,
etc.
Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital
próprio ou de terceiros.
Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P)
É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação
financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou
simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros.
4
Taxa (i)
É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser
representado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante
variados, como por exemplo:
- taxa de inflação;
- taxa real de juros;
- taxa acumulada;
- taxa unitária;
- taxa percentual;
- taxa over;
- taxa equivalente;
- taxa nominal, entre outras.
Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para
produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um
exemplo:
- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc.
- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.
Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15
dias, um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de
como estão sendo tratados nos problemas.
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S)
É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira
após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J).
Assim temos:
M=C +J
Partindo da fórmula acima, temos que:
J=M–C
e
C=M-J
Exemplo 01:
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual
foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?
Solução pela HP-12C
J = 78,25
C= 1.568,78
M=C+J
M = 1.568,78 + 78,25
M = R$ 1.647,03
M=?
1568,78
78,25
ENTER
+
R$ 1.647,03
Exemplo 02:
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$
1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?
5
C = 1.250,18
M= 1.380,75
J=M-C
J = 1.380,75 – 1.250,18
J = R$ 130,57
J= ?
1.380,75
1.250,18
ENTER
-
R$ 130,57
Exemplo 03:
Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1.500,00, sabendo-se que o
rendimento deste investimento foi de R$ 378,25?
M= 1.500,00
J=378,25
C=M-J
C = 1500,00 – 378,25
C = R$ 1.121,75
C= ?
1.500
ENTER
378,25
R$ 1.121,75
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
É a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um
período de tempo. Na verdade estamos nos referindo à entrada e saída de dinheiro. O conceito de
caixa (financeiro) não pode ser confundido com o conceito de competência (contábil).
Serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em período de tempo. O
tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para
análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima, e
as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.
Modelo simplificado
(+) entradas
tempo(n)
(-) saídas
Modelo detalhado
entradas(
)
saídas(
)
tempo(n)
6
Chamamos de PV o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data focal 0(zero); FV,
valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
PMT é a prestação, ou as entradas e saídas durante o fluxo. Na HP-12C a diferença entre
entradas e saídas será simbolizada pelo sinal negativo e positivo.
Regimes de Capitalização
São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em
Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial,
respectivamente.
Exemplo 04:
Seja um capital de R$ 1.000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor
acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta ?
Solução algébrica: 01
Regime de Capitalização Simples
Capital aplicado
Juros de cada período
(R$)
1.000 . 10% = 100
1.000,00
1.000,00
1.000 . 10% = 100
1.000,00
1.000 . 10% = 100
n
1
2
3
Valor acumulado ou montante
1.000 + 100 = 1.100
1.100 + 100 = 1.200
1.200 + 100 = R$ 1.300,00
Diagrama de Fluxo de caixa para o Regime de Capitalização Simples
M=R$ 1.300,00
C. i = R$ 100,00
C . i = R$ 100,00
C . i = R$ 100,00
C = R$ 1.000,00
Solução algébrica: 02
n
1
2
3
Regime de Capitalização Composta
Capital aplicado
Juros de cada período
Valor acumulado ou montante
(R$)
1.000 . 10% = 100
1.000 + 100 = 1.100
1.000,00
1.100,00
1.100 . 10% = 110
1.100 + 110 = 1.210
1.210,00
1.210 . 10% = 121
1.210 + 121 = R$ 1.331,00
Diagrama de Fluxo de caixa para o Regime de Capitalização Composta
7
M=R$ 1.331,00
C. i = R$ 100,00
M1. i = R$ 110,00
M2. i = R$ 121,00
C = R$ 1.000,00
Vamos então verificar o diagrama de fluxo de caixa do ponto de vista de quem empresta
recursos (emprestador) e do ponto de vista de quem toma empréstimo ( tomador).
Do ponto de vista do emprestador:
(resgate ou montante)
M=R$ 1.331,00
C. i = R$ 100,00
M1. i = R$ 110,00
M2. i = R$ 121,00
M1. i = R$ 110,00
M2. i = R$ 121,00
C = R$ 1.000,00
(investimento ou aplicação)
Do ponto de vista do tomador:
(resgate ou montante)
C=R$ 1.000,00
C. i = R$ 100,00
M = R$ 1.331,00
(pagamento dos recursos)
JUROS SIMPLES
Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime
de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial,
ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.
Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:
J = PV . i . n
8
Colocando o PV em evidência, teremos:
PV = J
i.n
Colocando o n em evidência, teremos:
n= J
PV.i
Colocando o i em evidência, teremos:
i= J
PV.n
ou
i = FV - 1
PV
Exemplo 05:
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao
mês.
J = 1250 . 0,055 . 5
J = R$ 343,75
1.250,00
ENTER
0,055
X
5
X
R$ 343,75
Exemplo 06:
Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao
mês ?
J= 342,96
ENTER
342,96
PV = 342,96
ENTER
0,025 . 11
0,025
PV = 342,96 = R$ 1.247,13
0,275
11
X
R$ 1.247,13
÷
9
Exemplo 07:
Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre
uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ?
i = 2,14
537,17 . 1
i = 2,14 = 0,003984....
537,17
i = 0,003984 . 100
i = 0,3984% ao dia
imensal = 0,3984 . 30
imensal = 11,95%
2,14
ENTER
537,17
ENTER
1
X
100
÷
X
30
X
11,95% ao mês
Exemplo 08:
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$
226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês ?
n = ? PV = R$ 967,74
i = 1,5% ao mês
J= R$ 226,45
n = 226,45
= 226,45
967,74 . 0,015
14,52
ENTER
226,45
n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias
967,74
0,015
OBSERVAÇÃO:
ENTER
X
÷
15,60meses
- A parte inteira 15 representa os 15 meses.
-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para
calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).
Exemplo 09:
André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses André resolveu cobrar sua dívida. André
efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta
operação? Qual foi a taxa mensal de juros?
PV = 15,00
FV = 23,75
i(ac) =
23,75
-1
. 100
ENTER
15
N = 6 meses
15
i(ac) = ?
∆%
23,75
imensal = ?
i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100
i(ac) = 0,5833 . 100
i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre
imensal = 58,33 / 6
imensal = 9,72% ao mês
58,33 a . p.
6
÷
9,72% ao mês
10
Montante (M) ou Valor Futuro (FV)
Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos
inicias, onde tenhamos que:
FV = PV + J
e
J = PV . i . n
Assim teremos:
FV = PV ( 1 + i . n )
Exemplo 10:
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pré-fixado de
90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?
n = 90 dias ou (3meses)
PV = R$ 84.975,59
FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3)
FV = 84.975,59(1 + 0,0435)
FV = 84.975,59(1,0435)
FV = R$ 88.672,03
i = 1,45% ao mês
FV= ?
84975,59
ENTER
1,45
%
3
X
+
R$ 88.672,03
Capital (C) ou Valor Presente (PV)
A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do
Montante ou Valor Futuro (FV).
Assim teremos: FV = PV(1 + i . n)
Colocando PV em evidência:
PV =
FV
(1 + i . n)
Exemplo 11:
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período
de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.
PV =
PV =
84.248,00
(1 + 0,0177 . 3)
84.248,00
( 1 + 0,0531 )
PV = R$ 80.000,00
= 84.248,00
1,0531
84248
ENTER
1
ENTER
0,0177
ENTER
3
X
+
R$ 80.000,00
÷
11
EXERCÍCIOS
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5
meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 875,00
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31.
Determine a taxa mensal e a taxa acumulada correspondente. R. i = 2,5% - i(acum) 22,50%
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$
1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. i(anual) = 17,65%
4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa
de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim
5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?
R. PV = R$ 2.827,38
6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2.500,00 a 7% ao ano durante 3
anos ?
R. J = R$ 525,00
7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses,
à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9.834,51
8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias.
Calcular a taxa mensal de juros. R. i = 5,74% a m.
9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 180 dias R$ 1.200,00. Qual é a taxa simples anual
ganha? R. i = 48% aa
10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o
rendimento deste investimento foi de R$ 148,50? R. PV = R$ 221,50
11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre
uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?
R. i = 21,1% am.
12) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre
uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa diária de juros aplicada pela financeira?
R. i = 0,7035% ad.
13) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?
R. PV = R$ 5.000,00
14) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 5.800,00 a 12% ao ano durante 2
anos?
R. J = R$ 1.392,00
15) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 8.580,00, sabendo-se que o
rendimento deste investimento foi de R$ 1.920,80?
R. PV = R$ 6.659,20
12
Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros
Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período
da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .
Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo
período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.
Exemplo 12:
Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de
rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ?
PV = 15.000,00
Opção1: transformando a taxa
i = 28% ao ano
J
=
15000
. 0,28 . 92
n = 92 dias
360
J=?
J = 15000 . 0,000778 . 92
J = R$ 1.073,33
Opção2: transformando o prazo
J = 15000 . 0,28 . 92
360
J = 15000 . 0,28 . 0,255556
J = R$ 1.073,33
Opção3: transformando o produto
J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00
360
360
J = R$ 1.073,33
Solução pela HP – 12C
15000
ENTER
0,28
X
92
X
360
÷
R$ 1.073,33
Juros Exato e Comercial
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário,
ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo:
Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias.
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo
assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias.
Exemplo 13:
Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a
taxa de 48% ao ano. Pede-se:
a) Determinar os juros exato
b) Determinar os juros comercial
PV = R$ 14.500
i = 48% ao ano
a) Jexato =
14500 . 0,48 . 42 = R$ 800,88
365
01.022003 g D.MY
15.032003 g DYS
13
b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00
360
14.500
ENTER
0,48
X
42
X
365
÷
R$ 800,88
14.500
ENTER
0,48
X
42
X
360
÷
R$ 812,00
E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE E
JUROS EXATO (365 dias) e COMERCIAL (360 dias)
1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros
simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano
exato (365 dias). R. J(com) = R$ 3.240,00 e J(ex) = R$ 3.195,62
2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do
mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial.
R. J(ex) = R$ 199,50 e J(com) = R$ 202,27
3) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita com a taxa de 3,64% ao
mês, pelo prazo de 32 dias. R. R$ 821,18
4) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês.
R. R$ 268,33
5) Qual o valor do rendimento de uma aplicação em C.D.B. à taxa de 22,5% ao ano sabendo-se
que o capital de R$ 28.400,00 foi investido em 05/02/2.003 e resgatado em 15/04 do mesmo
ano? Calcule o juro exato e o comercial.
R. J(ex) = R$ 1.207,97 e J (Com) = R$ 1.224,75
6) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano (Comercial e Exato) para:
a) 7 dias; R. i(com) = 0,78% e i(ex) = 0,77%
b) 29 dias; R. i(com) = 3,22% e i(ex) = 3,18%
c)
d)
e)
f)
g)
14
1 mês; R. i(com) = 3,33% e i(ex) = 3,29%
32 dias; R. i(com) = 3,56% e i(ex) = 3,51%
1 trimestre; R. i(com) = 10,00% e i(ex) = 9,86%
45 dias; R. i(com) = 5,00% e i(ex) = 4,93%
1 semestre; R. i(com) = 20,00% e i(ex) = 19,73%
7)Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês.
R. i22dias = 2,24%
DESCONTOS
É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é
resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor
comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas
promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento.
O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal.
Podemos classificar os tipos de descontos como Simples(método linear) e Composto(
método exponencial).
Desconto Racional Simples ou “ por dentro”
O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o
valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples.
Vamos aplicar as seguintes fórmulas:
Para calcular o desconto racional simples:
DRS = VN – VL
Para calcular o valor líquido:
VL = VN - DRS
.
O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte
fórmula:
DRS = VN . id . n
( 1 + id . n )
15
Exemplo 01:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido?
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses;
id = 2,5% ao mês; DRS = ?
DRS = 25.000,00 . 0,025 . 2
( 1 + 0,025 . 2 )
DRS = 1250
1,05
DRS = R$ 1.190,48
25.000 ENTER
0,025 X 2 X
1
ENTER
0,025 ENTER
2
X + ÷
CHS
25.000,00 +
R$ 23.809,52
VL = VN - DRS
VL = 25.000 – 1.190,48
VL = R$ 23.809,52
Desconto Bancário ou Comercial ou “ por fora ”
O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de
desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título.
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:
DC = VN.id.n
VL = VN – DC
Id = DC : (VN.n ).100
Exemplo 02:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido?
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;
id = 2,5% ao mês; DC = ?
DC = 25.000,00 . 0,025 . 2
DC = R$ 1.250,00
VL = 25.000 – 1250,00
VL = R$ 23.750,00
25.000 ENTER
0,025 X 2 X
CHS
25000 +
R$ 23.750,00
Exemplo 03:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu
vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de
despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia
sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria
tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção?
16
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses;
id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;
i = 2,8% ao mês(empréstimo)
VL = ? DC = ? DIOF = ? Dadm = ?
ONDE:
D = despesas
DIOF = despesas com IOF
Dadm = despesas administrativas
VL = VN – DC – DIOF - Dadm
DC = VN . Id . n
DC = 25.000 . 0,025 . 2 = R$ 1.250,00
Dadm = 25.000 . 0,01 = R$ 250,00
DIOF = 25.000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50
VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50
VL= R$ 23.438,50
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa
desta operação será:
i = FV - PV
PV . n
i = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = 0,033310579 = 3,33 % ao mês
23.438,50 . 2
46.877,00
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.
Operações com um conjunto de títulos
Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô
de títulos ou duplicatas.
Exemplo 04:
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à
taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?
Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento)
A
2.500,00
25 dias
B
3.500,00
57 dias
C
6.500,00
72 dias
Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.
a)Duplicata A:
DC = 2.500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50
30
b)Duplicata B:
DC = 3.500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50
30
c)Duplicata C:
DC = 6.500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00
30
Valor líquido = 12.500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00
17
EXERCÍCIOS
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento
para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DC = R$ 225,00
2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor
nominal é de R$ 1.000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = 3,41%
3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o
borderô a seguir:
a) 6.000 15 dias
b) 3.500 25 dias
c) 2.500 45 dias
R. VL = R$ 11.768,00
4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por
um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
R. VL = R$ 29.408,00
5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao
mês. R. VL = R$ 4.461,11
Duplicatas
X
Y
Z
Valor(R$)
800,00
1.350,00
2.430,00
Prazo(vencimento)
13 dias
29 dias
53 dias
6) Qual a taxa mensal de um desconto comercial de R$ 225,00 aplicado sobre um título de valor
nominal de R$ 3.000,00 com antecipação de 90 dias? R. i = 2,5% ao mês.
7) Calcular a taxa mensal de desconto nas seguintes condições:
Duplicatas
A
B
C
D
E
Valor Nominal
6.000,00
7.800,00
4.125,00
8.540,00
9.547,00
Período
15 dias
12 dias
50 dias
3 meses
1 ano
Valor Líquido
5.928,00
6.435,00
3.854,00
7.451,00
6.452,00
Desconto Comercial
Respostas:
A = 2,40% ao mês
B = 43,75% ao mês
C = 3,94% ao mês
D = 4,25% ao mês
E = 2,70% ao mês
8) Uma duplicata no valor de R$ 8.425,00 foi descontada 85 dias antes do vencimento com
desconto de 925,40. Qual a taxa semestral de desconto comercial aplicada? R. 23,26% a .s.
18
JUROS COMPOSTOS
Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de
juros sobre juros.
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais
útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é
conhecido por cálculo exponencial de juros.
FÓRMULAS:
Para calcular o Montante:
FV = PV( 1 + i )n
Para calcular o Capital:
PV =
FV
( 1 + i )n
Para calcular a Taxa:
FV
i=
QQ/QT
-1
. 100
PV
Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada)
QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)
Para calcular o prazo :
n =
LN (FV/ PV)
LN(1 + i)
Onde: LN = Logaritmo neperiano
Para calcular os juros :
J = PV[(1 + i )n – 1]
19
Exemplo 01:
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5
meses.
5
FV = 5000(1 + 0,04)
FV = 5000(1,04)5
FV = 5000(1,2166529)
FV = R$ 6.083,26
CHS
5.000
4
PV
i
5
n
FV
R$ 6.083,26
Exemplo 02:
Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ?
PV =
FV
(1+ i)n
PV = 14.000
2,31306
= 14000
(1,15) 6
= R$ 6.052,59
CHS
14.000
FV
i
15
n
6
PV
R$ 6.052,59
Exemplo 03:
A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada,
para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa
mensal cobrada pela loja ?
Dados:
i=?
PV = R$ 10.210,72
FV = R$ 14.520,68
CHS
PV
10.210,72
n = 276 dias
14.520,68 FV
i=
14.520,68
10.210,72
30/276
- 1 . 100
i = {(1,422101...)0,108696... – 1} . 100
i = {0,039018...} . 100
i = 3,90% ao mês
276
ENTER
30
÷
i
n
3,90% ao mês
20
Exemplo 04:
Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de
R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?
Dados:
n=?
i = 3% ao mês
PV = R$ 24.278,43
FV = R$ 41.524,33
LN 41.524,33
24.278,43
n=
LN ( 1 + 0,03)
n = LN(1,710338)
LN(1,03)
n = 0,536691...
0,029559...
n = 18,156731... meses
Solução1 pela HP-12C
6
f
ENTER
41.524,33
24.278,43
÷
g
1,03
g
Solução 2 pela HP-12C
41.524,33
CHS
24.278,43
PV
LN
3
LN
FV
i
÷
n
19 meses
18,156731.. meses
Exemplo 05:
Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de
10% ao mês.
Dados:
PV = R$ 1.000,00?
i = 10% ao mês
CHS
PV
1.000
n = 5 meses
J=?
i
10
n
5
J= 1.000[(1 + 0,10)5 – 1]
FV 1.610,51
J= 1.000[(1,10)5 – 1]
J= 1.000[1,61051 – 1]
RCL
PV
+
R$ 610,51
J= 1.000[0,61051 ]
J= R$ 610,51
Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se
adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir:
1 ano exato = 365 ou 366 dias;
1 ano = 360 dias;
1 semestre = 180 dias;
1 trimestre = 90 dias;
1 mês comercial = 30 dias;
1 mês exato = 29 ou 31 dias;
1 quinzena = 15 dias.
21
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo
n = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias.
QT (Quanto eu Tenho)
Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):
FV = PV (1 + i )QQ/QT
Exemplo 06:
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano,
para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.
Dados:
PV = R$ 13.500,00
OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias.
i =25% ao ano
As perguntas:
n = 92 dias
Qual é o prazo que eu Quero?
FV = ?
Qual é o prazo que eu Tenho ?
FV = 13.500(1 + 0,25)92/360
FV = 13.500(1,25)0,255556
FV = 13.500(1,058683)
FV = R$ 14.292,22
13.500
ENTER
1
ENTER
0,25
+
92
ENTER
360
÷
yx
X
R$ 14.292,22
EXERCÍCIOS
1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindose uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22.824,27
2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor
resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 88.296,69
3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$
45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = 55,32 aprox. 56 meses
4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de
R$ 4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am.
5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5%
durante 7 meses. R. J = R$ 209,38
6) A que taxa de juros mensais um capital de R$ 13.200,00 pode transformar-se em R$
35.112,26, considerando um período de aplicação de 7 meses ? R. i = 15%am
7) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos,
com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.
R. PV = R$ 1.253,46
22
8) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?
R. J = R$ 875,98
9) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao
ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11.411,43
10) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$
10.000,00. R. PV = R$ 31.652,40
11) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único
pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?
R. n = 5 anos
12) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de
2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período?
R. FV = R$ 2.802,33
13) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a
tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.
BANCO
Taxa
Prazo
X
2% ao mês
2 bimestres
Y
2% ao trim
2 trimestres
Z
2,5% ao mês
3,5 meses
a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco
R. FVx = R4 32.472,96;
FVy = R$ 31.212,00
e
FVz = R$ 32.708,06
b) Qual é a melhor opção?
Desconto Racional Composto
O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV)
ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto.
DRC = VN – VL
VL =
VN
.……
nd
(1 + id)
Exemplo 01:
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00
considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu
vencimento.
Dados:
VN = 5000; id = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ?
5000 FV
3,5
i
VL = 5000
.……
3
n
(1 + 0,035)3
PV
4509,71
VL = 5000
= 5000__ = R$ 4509,71 .…= …
5.000
+
(1,035)3
1,10872
R$ 490,29
DRC = 5000 – 4509,71 = R$ 490,29
23
Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)
Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um
Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n)
períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar:
DBC = VN – VL
Onde: DBC = Desconto Bancário Composto
VL = VN (1 + id)-nd
Exemplo 02:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma
taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido
creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido.
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 60dias (2 meses);
id = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ?
25.000 CHS FV
VL = 25.000(1+ 0,025)-2
2,5
i
VL = 25.000(1,025)-2
-2
n
VL = 25.000 . 0,9518144
PV
23.795,35
VL = R$ 23.795,35
25.000 DBC = 25.000 – 23.795,35 = R$ 1.204,64
R$ 1.204,64
EXERCÍCIOS
1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa
mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título?
R. VL = R$ 45000,00
2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3000,00
considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do
seu vencimento. R. DRC = R$ 206,62
3) Uma duplicata de R$ 17000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de
1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido
creditado na conta e o valor do Desconto Bancário concedido.
R. VL = R$ 16257,38 e DBC = R$ 742,61
24
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS
Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição
financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos
cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.
A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela
soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.
Taxas equivalentes a juros compostos
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um
mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento.
ieq = [ ( 1 + ic)QQ/QT - 1]
. 100
Onde:
ieq = taxa equivalente
ic = taxa conhecida
QQ = Quanto eu Quero
QT = Quanto eu Tenho
Exemplo 01:
Calcular a equivalência entre as taxas:
Taxa Conhecida
a) 79,5856% ao ano
b) 28,59% ao trimestre
c) 2,5% ao mês
d) 0,5 ao dia
e) 25% (ano comercial)
a)
ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)11/12- 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100
ieq = { 1,049997 - 1 } . 100
ieq = { 0,049997 } . 100
ieq = 5% ao mês
b)
Solução
algébrica:
ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100
ieq = { 1,653539 - 1 } . 100
ieq = { 0,653539 } . 100
ieq = 65,35% ao semestre
Taxa equivalente para:
1 mês
1 semestre
105 dias
1 ano
1 ano exato ( base 365 dias)
1,7958
30
1
Solução pela HP-12C - a)
ENTER
ENTER
-
100
360
÷
X
5% ao mês
Solução algébrica
c)
ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100
ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100
ieq = { 1,090269 - 1 } . 100
ieq = { 0,090269 } . 100
ieq = 9,03 %ao período
Yx
d)
ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100
ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100
ieq = { 6,022575 - 1 } . 100
ieq = { 5,022575 } . 100
ieq = 502,265% ao ano
25
e)
ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100
ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100
ieq = { 1,253880 - 1 } . 100
ieq = { 0,253880 } . 100
ieq = 25,39% ao período
Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação
Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e
comerciais).
Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há
inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:
- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação.
Sendo:
C: capital inicial
Daí,
R: taxa real de juros
I: taxa de inflação
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
i: taxa aparente
Exemplo 01:
Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do
período for 11,9% ?
Resolução:
Resolução pela HP 12C:
i=?
R = 9%ao ano
I = 11,9%
1,09 ENTER
1,119 X
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
1
(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)
100 X 22
(1 + i) = (1,09) . (1,119)
(1 + i) = 1,22
i = 1,22 - 1
i = 0,22 . 100
→
i = 22% ao ano
Exemplo 02:
Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for
11,9% ?
Resolução:
i = 22% ao ano
R=?
I = 11,9%
1,22
CHS FV
1,119 PV
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
1
n
(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)
i
9
(1,22) = (1+ R) . (1,119)
1,22 = (1 + R)
1,119
1,09 = (1 + R)
1,09 – 1 = R
0,09 = R
R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano
26
Exemplo 03:
Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real
for no período 9% ?
Resolução:
I=?
R = 9%ao ano
i = 22% ao ano
1,22 CHS FV
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
1,09 PV
(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I)
1
n
(1,22) = (1,09) . (1 + I)
i
11,9
1,22 = (1 + I)
1,09
1,119 = (1 + I)
1,119 – 1 = I
0,119 = I
I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano
Taxa de juros nominal
Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere
a taxa de juros. Quando isso ocorre, a taxa de juros é chamada de taxa nominal. Veja as suas
características a seguir:
-
-
Aplica-se diretamente em operações de juros simples.
É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “n” vezes em seu
período referencial de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dos
juros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juros
compostos.
É uma taxa referencial que não incorpora capitalização.
É calculada com base no valor nominal da aplicação ou empréstimo.
Exemplos de taxas nominais:
-
18% ao ano capitalizada mensalmente;
5% ao mês capitalizada diariamente;
8% ao semestre capitalizada mensalmente;
operação de câmbio;
operação de overnight em que a taxa de juros é mensal com capitalizações diárias.
Considerando um capital aplicado a uma taxa de juros efetiva em que os juros são
capitalizados apenas uma única vez por ano, o montante ao término do primeiro ano de aplicação
é:
FV = PV (1 + i )
Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (capitalizada duas
vezes por ano), o montante ao fim de um ano será:
FV = PV 1 + ij
2
2.1
27
Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (capitalizada 12 vezes
por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será:
FV = PV 1 + ij
12
12.3
Em geral, podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicado
pelo prazo “m” a uma taxa nominal “ij” com juros capitalizados “n” vezes durante o período
referencial da taxa nominal:
FV = PV 1 + ij
n
n.m
Para o cálculo do capital:
PV =
FV
1 + ij
n
nm
-1
Onde:
ij = taxa de juros nominal
n = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal;
m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal;
PV = capital da aplicação;
FV = montante
Taxa proporcional (taxa linear)
A maior parte dos juros no sistema financeiro nacional e internacional encontra-se
referenciada na taxa linear como: remuneração linear da caderneta de poupança, as taxas
internacionais libor e prime rate, o desconto bancário, os juros da Tabela Price, entre outros. É
determinada pela relação simples entre a taxa considerada na operação (taxa nominal) e o
número de vezes em que ocorrem juros (quantidades de períodos de capitalização). Entretanto,
basicamente, o conceito de taxa proporcional é somente utilizado para capitalização simples, no
sentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao tempo.
A taxa proporcional ao mês para uma taxa nominal de 18% ao ano capitalizada
mensalmente é de 1,5% ao mês:
Taxa proporcional = 18% = 1,5% ao mês
12
A taxa proporcional de 6% ao mês para 3 meses, é de 18% ao mês:
Taxa proporcional = 6% . 3 = 18% ao mês
Logo, as taxas proporcionais devem atender à seguinte proporção:
n1 . i1 = n2 . i2
28
Exemplo 02:
Determinar as seguintes taxas proporcionais:
a) 2,5% ao mês é proporcional a qual taxa anual ?
2,5% . 12 = 30% ao ano.
b) 3,0% ao semestre é proporcional a qual taxa anual ?
3,0% . 2 = 6% ao ano.
c) 4,0% ao trimestre é proporcional a qual taxa anual ?
4,0% . 4 = 16% ao ano.
d) 9,05% ao semestre é proporcional a qual taxa trimestral ? 9,05% / 2 = 4,25% ao trimestre
Exemplo 03:
Calcular o montante de um investimento de R$ 1200,00 aplicado por 3 anos a juros nominal de
16% ao ano, capitalizados mensalmente.
Dados:
PV = 1200
FV = 1200 1 + 0,16
12
12.3
m = 3 anos
ij = 16%ao ano
n = 12
FV = ?
16
ENTER
12
÷ i
36
n
1200 CHS PV
FV 1.933,14792
FV = 1200 (1 + 0,01333)36
FV = 1200(1,01333)36
FV = 1200 . 1,61076
FV = R$ 1.933,15
Exemplo 04:
Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a a 9% ao mês
capitalizados diariamente.
Dados:
PV = 200
m = 27dias
FV = 200 1 + 0,09
30
ij = 9%ao mês
30 . (27/30)
FV = 200 (1 + 0,00300)30. 0,90000
FV = 200(1,00300)27
FV = 200 . 1,08424
FV = R$ 216,85
n = 30dias
FV = ?
9 ENTER
30 ÷ i
27 n
200 CHS PV
FV 216,84788
OBS.: O prazo dado foi transformado à mesma unidade de tempo da taxa
nominal m = 27/30 meses.
29
EXERCICIOS
1) Determinar a taxa:
a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82%
b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99%
c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57%
d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09%
2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de
juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa
3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que
remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa
4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros
reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa
5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$
5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for
de 5% ao ano ? R. i = 36,5%aa
6) Emprestamos um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa
real da operação? R. R = 3,32%aa
7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a
taxa real? R. R = 7,14%aa
8) Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1300,00 aplicado por 3 anos a juros
nominais de 16% ao ano, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 1.352,68
9) Qual o valor de resgate para um capital de R$ 300,00 aplicado pelos seguintes prazos e taxas ?
a) 6 meses a 28% ao ano capitalizados mensalmente R. FV = R$ 344,52
b) 8 meses a 18% ao semestre capitalizados mensalmente R. FV = R$ 380,03
c) 27 meses a 12 % ao trimestre capitalizado mensalmente R. FV = R$ 865,01
d) 7 meses a 28% ao ano capitalizado trimestralmente R. FV = R$ 343,47
10) Uma aplicação de R$ 1.000,00 foi efetuada em 17/03/1995 para resgate em 24/06/1998. Para
uma taxa de juros nominal de 12% ao mês com capitalização diária, calcular o valor do resgate
(considerando ano civil). R. FV = R$ 117.974,14
11) Calcular o valor de um capital que, aplicado durante 7 anos à taxa nominal de 84% ao ano
com capitalização mensal, rendeu R$ 10.000,00 de juros. R. PV = R$ 34,14
12) Em quantos meses um capital de R$ 5.000,00 aplicado a juros nominal de 120% ao ano
capitalizado mensalmente, produz um montante de R$ 11.789,75? R. m = 0,75ano ou 9 meses
13) Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado por 180 dias à taxa nominal de 24% ao trimestre
capitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate. R. FV = R$ 23.803,11
30
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos
iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.
•
•
•
Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou
ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.
Uniformes – que tem uma só forma; que tem a mesma foram; igual, idêntico; muito
semelhantes.
Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível.
Classificação das séries de pagamentos
a) Quanto ao tempo
• Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos;
• Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.
b) Quanto à constância ou periodicidade
• Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;
• Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
c) Quanto ao valor dos pagamentos
• Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais;
• Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento
• Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da
série;
• Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série,
ou seja, ocorrerá em períodos seguintes.
e) Quanto ao momento dos pagamentos
• Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série
de pagamentos;
• Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.
Série Uniforme de Pagamento Postecipada
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também
chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação
(PMT) será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada
através da seguinte fórmula:
(1 + i)n - 1
PV = PMT
(1 + i)n . i
31
EXEMPLO 01:
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$
1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês
a taxa de juros negociada na operação.
Dados: PV = ?
n = 6 meses
i = 3,5% ao mês
PMT = R$ 1500,00
Resolução algébrica:
(1 + i)n - 1
PV = PMT
(1 + i)n . i
(1 + 0,035)6 - 1
PV = 1500
(1 + 0,035)6 . 0,035
(1,035)6 - 1
PV = 1500
(1,035)6 . 0,035
1,229255 - 1
PV = 1500
1,229255 . 0,035
Resolução pela HP-12C
f
REG
1500
CHS PMT
6
n
3,5
i
PV 7992,83
0,229255
PV = 1500
0,043024
PV = 1500[5,328553]
PV = R$ 7992,83
Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série de
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte
fórmula:
(1 + i)n . i
PMT = PV
(1 + i)n - 1
32
EXEMPLO 02:
Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o
comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando
que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?
Dados: PV = 500
n = 5 meses
i = 5% ao mês
PMT = ?
f
REG
500
CHS PV
5
n
5
i
PMT 115,49
(1 + 0,05)5 . 0,05
PMT = 500
(1 + 0,05)5 - 1
(1,05)5 . 0,05
PMT = 500
(1,05)5 - 1
1,276282 . 0,05
PMT = 500
1,276282 - 1
0,063814
PMT = 500
0,276282
PMT = 500[0,230975]
PMT = R$ 115,49
Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série de
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte
fórmula:
i
PMT = FV
(1 + i)n - 1
EXEMPLO 03:
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês
durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos.
Dados: FV = 5000
n = 7 meses
i = 4% ao mês
PMT = ?
f
REG
5000
FV
7
n
4
i
33
0,04
PMT = 5000
(1 + 0,04)7 - 1
0,04
PMT = 5000
(1,04)7 - 1
0,04
PMT = 5000
1,315932 - 1
0,04
PMT = 5000
0,315932
PMT = 5000[0,126610]
PMT = R$ 633,05
Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou
prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o
número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:
PV
LN 1 -
.i
PMT
n=LN(1+ i)
EXEMPLO 04:
Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este
produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o
comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste
financiamento.
Dados: PV = 1750
n=?
i = 3% ao mês
PMT = 175,81
f
REG
1750
PV
1750
3
i
LN 1 . 0,03
175,81 CHS PMT
n
12
34
175,81
n=LN(1+ 0,03)
LN [1 – (9,953928) . 0,03 ]
n=LN(1,03)
LN [1 – (0,298618) ]
n=LN(1,03)
LN[0,701382 ]
n=LN(1,03)
-0,354702
n=0,02956
n=-
- 12
⇒ n = 12meses
Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma série
uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou
prazo(n), através da seguinte fórmula:
FV . i
LN
+1
PMT
n=LN(1 + i)
EXEMPLO 05:
Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado
tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de
poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador.
Dados: FV = 30.032,62
i = 0,08% ao mês
PMT = 150,00
n=?
f
REG
30032,62 . 0,0008
30032,62
CHS FV
LN
+1
150
PMT
0,08
i
n 186 meses
35
150
n=LN(1+ 0,0008)
24,026096
LN
+1
150
n=LN(1,0008)
LN[ 0,160174 + 1]
n=LN(1,0008)
LN[ 1,160174 ]
n=LN(1,0008)
0,148570
⇒ n = 185,712500 ⇒ n = 186 meses
n=0,000800
Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT)
de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV),
FV = PMT
(1 + i )n - 1
i
EXEMPLO 06:
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança;
considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado
após este período?
Dados: PMT = 100,00
n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ?
FV = 100 (1 + 0,008)360 - 1
0,008
FV =100
(1,008)360 - 1
f
REG
100
CHS PMT
0,8
i
360
n
FV 207.641,32
36
0,008
FV = 100 17,611306 - 1
0,008
FV = 100
16,611306
0,008
⇒
FV = 100 (2076,4132) ⇒ FV = R$ 207.641,32
EXERCÍCIOS
1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa
de 5% ao mês. R. FV = R$ 5.525,63
2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$
10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é
remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 53.349,24
3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva
de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses.
R. PMT = R$ 265,82
4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas
mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.
R. PMT = R$ 453,06
5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para
recalcular o valor da prestação. R. PMT = R$ 340,28
6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $
100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2%
ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 520.404,02
7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o
montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?
R. n = 8,78 aprox. 9anos
8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando
nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o
saldo credor. R. PMT = R$ 367,66
9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao
fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor
das prestações. R. PMT = R$ 618,89
10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário
para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de
$ 120. R. n = 7,99 aproxima. 8 meses
37
Série Uniforme de Pagamento Antecipada
As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro
pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado
de sistema de pagamento com entrada (1 + n).
Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)
Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possível
calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte
fórmula:
(1 + i)n –1
PV = PMT
(1 + i )n-1 . i
EXEMPLO 01:
Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a
taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada,
determine o preço à vista desta mercadoria.
Dados: n = 4
PMT = R$185,00 i=5%am PV= ?
(1 + 0,05)4 –1
PV = 185
(1 + 0,05 )4-1 . 0,05
(1 ,05)4 –1
PV = 185
OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME
ANTECIPADA,
ANTES
DE
FAZER A RESOLUÇÃO PELA
HP12-C
PRESSIONAR AS
TECLAS: G BEG
(1,05 )3 . 0,05
1,215506 –1
PV = 185
1,157625 . 0,05
0,215506
PV = 185
0,057881
f
REG
g
BEG
185 CHS PMT
5
i
4
n
P V 688,80
38
PV = 185[ 3,723248 ]
PV = R$ 688,80
Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível
calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada
(1 + i)n-1 . i
PMT = PV
(1 + i )n - 1
EXEMPLO 02:
Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais;
sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal
deste financiamento.
Dados: n = 36meses
PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00
(1 + 0,0199)36-1 . 0,0199
PMT = 17800
(1 + 0,0199 )36 - 1
(1,993039)35 . 0,0199
PMT = 17800
(1,0199 )36 - 1
f
REG
g
BEG
17800 CHS PV
1,99
i
36
n
P MT 683,62
0,039661
PMT = 17800
2,032700 - 1
0,039661
PMT = 17800
1,032700
PMT = 17800[ 0,038405 ]
PMT = R$ 683,62
Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n)
Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será
possível calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte
fórmula:
39
PV . i
ln 1 n=-
PMT. (1 + i)
ln(1 + i)
EXEMPLO 03:
Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$
170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros
contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?
Dados: n = ?
PMT =R$ 170,72
i = 3%am
PV= R$ 1.500,00
1500 . 0,03
ln 1 n=-
170,72 . (1 + 0,03)
ln(1 +0,03)
45
ln 1 -
n=-
170,72 . (1,03)
ln(1,03)
45
ln 1 -
n=-
175,84
0,029559
ln [1 - 0,255972 ]
n=0,029559
ln [ 0,744028 ]
n=-
f
REG
g
BEG
1500
PV
3
i
170,72 CHS PMT
n 10 meses
40
0,029559
- 0,295596
n= 0,029559
n = - { - 10,000275 }
n = 10 meses
Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular
o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte
fórmula:
(1 + i)n - 1
FV = PMT
. (1+ i )
i
EXEMPLO 04:
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita
que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos
mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em
média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que
precisa?
Dados: n = 5 anos(60meses)
PMT =R$ 500,00?
i = 0,8%am
FV= ?
(1 + 0,008)60 - 1
FV =
500
. (1 + 0,008)
0,008
(1,008)60 - 1
FV =
500
. (1,008)
0,008
1,612991 - 1
FV =
500
. (1,008)
0,008
0,612991
FV =
500
. ( 1,008)
0,008
f
REG
g
BEG
500
CHS PMT
0,8
i
60
n
FV
38.618,43
41
FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008)
FV = 38.311,93 . (1,008)
FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrará dinheiro)
Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular
o valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da
seguinte fórmula:
FV . i
PMT =
[(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)
EXEMPLO 05:
Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, para
resgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais.
Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada
depósito para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00?
Dados: n = 5 anos (60 meses)
PMT= ?
i = 0,8%
FV = R$ 37.500,00
37.500,00 . 0,008
PMT =
[(1 + 0,008)60 – 1] . ( 1 + 0,008)
300
PMT =
[(1,008)60 – 1] . (1,008)
f
REG
g
BEG
37500 CHS FV
0,8
i
60
n
FV
485,52
300
PMT =
[1,612991 – 1] . (1,008)
300
PMT =
[0,612991] . (1,008)
300
PMT =
→ PMT = R$ 485,52
0,617895
E XERCICIOS
42
1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de
R$ 100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos
de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 530.812,09
2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros
compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro
depósito foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49
3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a
primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista?
R. PV= R$498.244,80
4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeira
dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês?
R. PV = R$33.917,75
5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em
12 prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato
da compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cada
prestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$27.811,08
6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, à
taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cada
prestação? R. PMT = R$20.000,00
7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais de
R$ 20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas
prestações deverão ser pagas? R. n = 6 meses
8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00
pagando prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês?
R. n = 5 meses
9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$
305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 4.374,95
43
Série Uniforme de Pagamentos Diferida
São aquelas em que os períodos ou intervalos de tempo entre prestações (PMT) ocorrem
pelo menos a partir do 2o período, ou seja, se considerarmos um período qualquer como sendo
(n), o período seguinte será (n + 1), o próximo será (n + 2) e assim sucessivamente.
Cálculo do Valor Presente(PV)
Sendo informados uma taxa(i), uma prestação (PMT), um prazo (n) e um período de
carência (c), será possível calcular o valor presente (PV) em uma série uniforme de pagamento
diferida através da seguinte fórmula:
1 – ( 1 + i)– n
PMT .
i
PV =
(1 + i)c-1
Considerando que “c” seja a carência, uma carência postecipada será c – 1.
EXEMPLO 01:
Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5(cinco) prestações iguais de
R$ 150,00; a loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses para o primeiro pagamento.
Determine o valor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é
de 3% ao mês.
Dados: PMT = R$ 150,00
n = 5 meses
c = 5 meses
i = 3% ao mês
PV = ?
1 – (1 + 0,03)– 5
150 .
0,03
PV =
(1 + 0,03)5-1
Resolução pela HP12-C
f
REG
150
CHS PMT
g
END
5
n
3
i
PV 686, 96
CHS
FV
0
PMT
4
n
44
1 – (1,03)– 5
150 .
0,03
PV =
(1,03)4
1 – 0,862609
150 .
0,03
PV =
1,125509
0,137391
150 .
0,03
PV =
1,125509
150 . [ 4,479707 ]
PV =
1,125509
686,96
PV =
1,125509
PV = R$ 610,35
Cálculo da Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), o valor presente (PV), um prazo (n) e um período de
carência (c), será possível calcular a prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento
PV . ( 1 + i)C –1 . i
PMT =
1 – ( 1 + i)-n
EXEMPLO 02:
A loja Barrabás vende determinado produto à vista por R$ 850,00, em 24 parcelas mensais,
sendo que a primeira prestação somente será paga após 4 meses do fechamento da compra.
Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada prestação.
Dados: PMT = ?
n = 24 meses
c = 4 meses
i = 4% ao mês
PV = R$ 850,00
850 . (1+ 0,04)4 –1 . 0,04
PMT =
1 – (1 + 0,04)-24
850 . (1,04)3 . 0,04
f
REG
3
n
4
i
850
CHS PV
FV 956,13
CHS
PV
0
FV
24
n
PMT =
45
1 – (1,04)-24
850 . 1,124864 . 0,04
PMT =
1 – 0,390121
PMT = 38,25
0,609879
PMT = R$ 62,71 .
Cálculo do Prazo (n)
Sendo informados uma taxa (i), o valor presente (PV), e um período de carência (c),
uma prestação (PMT) será possível calcular o prazo (n) em uma série uniforme de pagamento
PV . i . ( 1 + i)C –1
ln 1 PMT
n= ln(1 + i)
EXEMPLO 03:
Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais de
R$ 2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês e foi
concedido um prazo de carência de 4 meses para o primeiro pagamento, pergunta-se: Qual a
quantidade de prestações do financiamento?
Dados: PMT = R$ 2.805,36
n = ? c = 4 meses
i = 2% ao mês PV = R$ 50.000
50.000 . 0,02 . (1+ 0,02)4 –1
ln
12.805,36
n= ln(1 + 0,02)
50.000 . 0,02 . (1,02)3
ln
12805,36
n= ln(1,02)
50.000 . 0,02 . 1,061208
ln
1-
f
REG
3
n
2
i
50000
CHS PV
FV 53.060,40
CHS
PV
0
FV
2805,36 PMT
n
24 meses
46
2805,36
n= 0,019803
1.061,2080
ln
12805,36
n= 0,019803
n= -
ln [ 0,621721 ]
0,019803
n = - { - 24, 000017}
n = 24 meses
Cálculo da Carência ( c)
Como vimos, a carência é o prazo inicial dado até o momento do 1o pagamento. Este
prazo é fundamental para o cálculo do valor base de um financiamento em uma série uniforme
de pagamento diferida.
Para calcularmos a carência (c) são necessárias algumas informações, como o valor
presente (PV), o valor da prestação (PMT), o prazo do financiamento (n), o valor futuro (FV) e
a taxa (i), e como nenhuma fórmula contempla de uma única vez todas as variáveis,
necessitaremos fazer uma composição de duas fórmulas já estudadas.
Portanto, podemos calcular a carência através das seguintes fórmulas:
1- ( 1 + i)–n
FV = PMT
i
FV
ln
PV
c=
ln(1 + i)
EXEMPLO 04:
Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais de
R$ 2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês com um
prazo de 24 meses, determinar o prazo de carência.
a) encontrando o valor futuro:
Dados: PMT = 2805,36 FV = ? n = 24 c = ?
i = 2% ao mês
PV = R$ 50.000
1- (1 + 0,02)–24
FV = 2805,36
0,02
1- (1,02)–24
FV = 2805,36
0,02
47
1- 0,6221721
FV = 2805,36
0,02
0,378279
FV = 2805,36
0,02
FV = 2805,36 [ 18,913926 ]
FV = R$ 53.060,37
b) encontrando a carência (c):
53.060,37
ln
50.000
c=
ln(1,02)
ln (1,061207)
f
REG
24
n
2
i
2805,36
CHS PMT
c=
0,019803
0,059407
c=
0,019803
c = 3 meses
PV 53060,37
CHS
FV
50000
PV
CLX
PMT
n
3 meses
Cálculo do valor futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), uma prestação (PMT) e um prazo (n), será possível
calcular o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento diferida através da seguinte
fórmula:
(1 + i)n1 - 1
FV =PMT
. ( 1 + i)n2
i
EXEMPLO 05:
Um poupador efetuava regularmente depósitos em uma conta de poupança. Após 12 meses este
poupador teve de interromper os depósitos, mas não efetuou nenhum saque, e gostaria de saber
quanto terá após 6 meses, considerando-se que os valores dos depósitos eram de R$ 200,00 e que
a taxa média de juros para os primeiros 12 meses era de 1% e que para os próximos 6 meses
estimou-se uma taxa de 0,8% ao mês. Pergunta-se: Quanto o poupador terá após todo o período?
48
Dados: PMT = R$ 200,00 i = 1%am(primeiros 12meses)
i = 0,8%am(próximos 6
meses)
n1=12 meses n2 = 6 meses
FV = ?
(1 + 0,01)12 - 1
f
REG
6
FV = 200
. (1 + 0,008)
200
PMT
0,01
12
n
1
i
(1,01)12 - 1
FV = 200
. (1,008)6
0,01
1,126825 - 1
FV = 200
. 1,048970
FV 2536,50
CHS
PV
0
PMT
0,8
i
6
n
FV
2660,71
0,01
0,126825
FV = 200
. 1,048970
0,01
FV = 200 [ 12,682503 ] . 1, 048970
FV = 2536,50 . 1,048970
FV = R$ 2660,71
EXERCICIOS
1) Um terreno é vendido à vista por R$ 5.000,00 ou a prazo em 6 prestações mensais iguais,
vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for 3%ao mês,
qual o valor de cada prestação? R. PMT = R$ 979,19
2) Um financiamento de R$ 40.000,00 será pago em 8 prestações mensais de R$ 6.413,44. O
início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de carência.
Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência. R. n = 4meses
3) Um objeto encontra-se em promoção e é comercializada em 4 prestações iguais de R$ 10,00;
a loja está oferecendo ainda uma carência de 3 meses para o primeiro pagamento. Determine o
valor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 2% ao
mês. R. PV = R$ 36,59
4) A Companhia LL vende determinado produto à vista por R$ 350,00, em 6 parcelas mensais,
sendo que a primeira prestação somente será paga após 2 meses do fechamento da compra.
Considerando uma taxa de 2,5% ao bimestre, determinar o valor de cada prestação.
R. PMT = R$ 61,67
49
5) Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais
de R$ 2.500,00. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 1,5% ao trimestre
com um prazo de 24 meses, determinar o prazo de carência. R. c = 4,2 meses
6) Uma pessoa receberá 12 prestações mensais iguais a R$ 20.000,00 com uma carência de 12
meses. Sabendo que a taxa de juros é de 4% ao mês, determine o valor atual, com as prestações
vencendo no final do intervalo. R. PV = R$ 121.927,32
7) Uma mercadoria que custa R$ 117.237, 79 será paga em 12 prestações mensais iguais, sendo a
primeira paga 13 meses após a compra, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o valor de cada
prestação. R. PM = R$ 20.000,00
8) Um apartamento que custa R$ 121.927,30 a vista será vendido em 12 prestações mensais,
iguais, de R$ 20.000,00, à taxa de 4% ao mês de juros. Sabendo que terá um período de carência,
determine-o. R. C = 11 meses
9) Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de R$ 20.000,00, recebendo uma taxa de 10% ao mês
de juros. Quanto terá esta pessoa 4 meses após o último depósito? R. FV = R$ 334.865,67
10) O saldo de uma conta, 4 meses após o oitavo depósito mensal era de R$ 334.865,68. sabendo
que os juros são de 10%ao mês, qual foi o valor depositado mensalmente?
Obs.: para descobrir o capital utilizar a fórmula de juros compostos: PV = FV/(1 + i)n
R. PMT = R$ 20.000,00
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO
Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e
financiamentos, e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as
prestações que mudam a cada período do empréstimo, ou seja, as prestações que mudam a cada
período do empréstimo ou financiamento.
•
Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto
à sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto ao
Consumidor), entre outros.
•
Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado
quanto à sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e crediário,
entre outros.
No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação
dos recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de
devolução dos recursos financeiros emprestados.
Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou
planilhas de amortização.
•
Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou
simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído da
parcela de amortização a cada período (n).
•
Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento.
50
•
Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e
posteriormente somado à parcela de amortização.
•
Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de
amortização mais juros compensatórios.
Sistema Francês de Amortização (SFA)
Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais, constituídas de
duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam inversamente, ou seja,
enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam.
Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituições
financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e tem como
principais características:
•
•
•
a prestação é constante durante todo o período do financiamento;
a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos são
periódicos, constantes e sucessivos;
os juros compensatórios diminuem a cada período (n).
OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformes
postecipados.
Exemplo 01:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5
pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização
(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Resolução algébrica
Dados: PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
a) cálculo do valor da prestação do financiamento
(1 + i)n . i
PMT = PV
(1 + i)n - 1
(1 + 0,1)5 . 0,1
PMT =10.000
(1 + 0,1)5 - 1
(1,1)5 . 0,1
PMT =10000
(1,1)5 - 1
i = 10% ao mês
PMT = ?
51
1,610510 . 0,1
PMT =10000
1,610510 - 1
0,1610551
PMT =10000
0,610510
PMT = 10000[0,263797]
PMT = R$ 2.637,97
b) Cálculo dos juros (J)
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00
Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20
c) cálculo da parcela de amortização (PAn)
PAn = PMT - J
Parcela de amortização para o 1o período: PA =
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
- 1.000,00 = R$ 1.637,97
- 836,20 = R$ 1.801,77
- 656,03 = R$ 1.981,94
- 457,83 = R$ 2.180,14
- 239,82 = R$ 2.398,15
d) cálculo do saldo devedor (SD)
SDn = SD(anterior) - PAn
SD1 = 10.000,00
SD2 = 8.362,03
SD3 = 6.560,26
SD4 = 4.578,32
SD5 = 2.398,18
N
0
-
1.637,97
1.801,77
1.981,84
2.180,14
2.398,15
=
=
=
=
=
R$ 8.362,03
R$ 6.560,26
R$ 4.578,32
R$ 2.398,18
R$
0,03
Assim teremos nossa planilha de financiamento
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
10.000,00
0,00
0,00
0,00
8.362,03
6.560,26
4.578,32
2.398,18
0,03
∑
1
2
3
4
5
52
1.637,97
1.801,77
1.981,94
2.180,14
2.398,15
9.999,97
1.000,00
836,20
656,03
457,83
239,82
3.189,88
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
13.189,85
OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.
f [REG]
10000 CHS
PV
10 i
5 n
PMT
2637,97
1 f
[AMORT] 1000,00 X
Y 1637,97 RCL PV – 8362,03
1 f
[AMORT]
836,20 X
Y 1801,77 RCL PV – 6560,26
1 f
[AMORT]
656,03 X
Y 1981,94 RCL PV – 4578,32
1 f
[AMORT]
457,83 X
Y 2180,14 RCL PV – 2398,18
1 f
[AMORT]
239,82 X
Y 2398,15 RCL PV
– 0,03
Sistema Francês (carência + juros compensatórios)
Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas o
pagamento dos juros compensatórios.
Exemplo 2:
pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização
(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses
c = 2 meses
a) cálculo do valor da prestação do financiamento
(1 + i)n . i
PMT = PV
(1 + i)n - 1
(1 + 0,1)5 . 0,1
PMT =10.000
i = 10% ao mês
PMT = ?
53
(1 + 0,1)5 - 1
(1,1)5 . 0,1
PMT =10000
(1,1)5 - 1
1,610510 . 0,1
PMT =10000
1,610510 - 1
0,1610551
PMT =10000
0,610510
PMT = 10000[0,263797]
PMT = R$ 2.637,97
b) Cálculo dos juros compensatórios
J = PV . i . n
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.
PAn = PMT - J
0,00
0,00
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
0,00 = R$
0,00
0,00 = R$ 0,00
- 1.000,00 = R$ 1.637,97
- 836,20 = R$ 1.801,77
- 656,03 = R$ 1.981,94
- 457,83 = R$ 2.180,14
- 239,82 = R$ 2.398,15
54
SD1 = 10.000,00
SD2 = 10.000,00
SD3 = 10.000,00
SD4 = 8.362,03
SD5 = 6.560,26
SD6 = 4.578,32
SD7 = 2.398,18
n
-
0,00
0,00
1.637,97
1.801,77
1.981,84
2.180,14
2.398,15
=
=
=
=
=
=
=
R$ 10.000,00
R$ 10.000,00
R$ 8.362,03
R$ 6.560,26
R$ 4.578,32
R$ 2.398,18
R$
0,03
Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
5
6
7
10.000,00
10.000,00
10.000,00
8.362,03
6.560,26
4.578,32
2.398,18
0,03
∑
0,00
0,00
0,00
1.637,97
1.801,77
1.981,94
2.180,14
2.398,15
9.999,97
0,00
1.000,00
1.000,00
1.000,00
836,20
656,03
457,83
239,82
5.189,88
f
[REG]
10000 ENTER
10000 CHS
Y 10
X
10000
CHS
% 1000
PV
10 i
% 1000
PV
10 i
5 n
PMT
2637,97
5 n
PMT
2637,97
1 f
[AMORT] 1000,00 X
Y 1637,97
RCL PV – 8362,03
1 f
[AMORT]
836,20 X
Y 1801,77
RCL PV – 6560,26
1 f
[AMORT]
656,03 X
Y 1981,94
RCL PV – 4578,32
1 f
[AMORT]
457,83 X
Y 2180,14
RCL PV – 2398,18
1 f
[AMORT]
239,82 X
Y 2398,15
RCL PV
Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido)
– 0,03
0,00
1.000,00
1.000,00
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
15.189,85
55
Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos ao
saldo devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se a
prestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipada.
Exemplo 3:
pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de
juros durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor,
calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de
financiamento.
a) atualização do saldo devedor durante o período de carência
período 1:
SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00
Período 2:
SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00
Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 meses
b) cálculo do valor da prestação
(1 + i)n . i
PMT = PV
(1 + i)n - 1
(1 + 0,1)5 . 0,1
PMT =12.100
(1 + 0,1)5 - 1
(1,1)5 . 0,1
PMT =12100
(1,1)5 - 1
1,610510 . 0,1
PMT =12100
1,610510 - 1
0,1610551
PMT =12100
0,610510
c = 2 meses
i = 10% ao mês
PMT = ?
56
PMT = 12100[0,263797]
PMT = R$ 3.191,95
c) Cálculo dos juros compensatórios
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 0,00
Juros para o 2o período: J2 = 0,00
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.
Juros para o 3o período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1
= R$ 1.210,00
= R$ 1.011,81
= R$ 793,79
= R$ 553,98
= R$ 290,18
d) cálculo da parcela de amortização (PAn)
PAn = PMT - J
0,00
0,00
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
0,00 = R$
0,00
0,00 = R$
0,00
- 1.210,00 = R$ 1.981,95
- 1.011,81 = R$ 2.180,14
- 793,79 = R$ 2.398,16
- 553,98 = R$ 2.637,97
- 290,18 = R$ 2.901,77
e) cálculo do saldo devedor (SD)
SD1 = 11.000,00
SD2 = 12.100,00
SD3 = 12.100,00
SD4 = 10.118,05
SD5 = 7.937,91
SD6 = 5.539,75
SD7 = 2.901,78
n
0
1
-
0,00
0,00
1.981,95
2.180,14
2.398,16
2.637,97
2.901,77
=
=
=
=
=
=
=
R$ 11.000,00
R$ 12.100,00
R$ 10.118.05
R$ 7.937,91
R$ 5.539,75
R$ 2.901,78
R$
0,01
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
Saldo Devedor (SDn)
10.000,00
11.000,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
2
3
4
5
6
7
12.100,00
10.118,05
7.937,91
5.539,75
2.901,78
0,01
∑
57
0,00
1.981,95
2.180,14
2.398,16
2.637,97
2.901,77
12.099,99
0,00
1.210,00
1.011,81
793,79
553,98
290,18
3.859,76
0,00
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
3.191,95
15.959,75
f
[REG]
10000 ENTER
CHS
PV
1,1 X 1,1 X 12100
10 i
5 n
PMT
3.191,95
1 f
[AMORT]
1210,00 X
Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05
1 f
[AMORT]
1011,80 X
Y 2180,14 RCL PV – 7937,90
1 f
[AMORT]
793,79 X
Y 2398.15 RCL PV – 5539,74
1 f
[AMORT]
553,97 X
Y 2637,97 RCL PV – 2901,77
1 f
[AMORT]
290,17 X
Y 2901,77 RCL PV
– 0,00
Sistema Price de Amortização ou (Tabela Price)
O Sistema Price de Amortização, ou simplesmente Tabela Price, é uma derivação do
Sistema Francês de Amortização, diferenciando-se apenas nos seguintes pontos:
a) A taxa é apresentada em termos nominais e normalmente é apresentada ao ano.
b) O período do financiamento normalmente é menor do que o tempo da taxa, quase
sempre é dado ao mês.
c) Para transformar as taxas, usa-se o critério de proporcionalidade.
Exemplo 4:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7
pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização.
Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses
58
i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês)
a) cálculo do valor da prestação
(1 + i)n . i
PMT = PV
(1 + i)n - 1
(1 + 0,01)7 . 0,01
PMT =10.000
(1 + 0,01)7 - 1
(1,01)7 . 0,01
PMT =10000
(1,01)7 - 1
1,072135 . 0,01
PMT =10000
1,072135 - 1
0,010721
PMT =10000
0,072135
PMT = 10000[0,148628]
PMT = R$ 1.486,28
b) Cálculo dos juros
J = PV . i . n
Juros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00
PAn = PMT - J
Parcela de amortização para o 1o período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28
PMT = ?
SD1 = 10.000,00 -
N
0
1
2
3
4
5
6
7
59
1.386,28 = R$ 8.613,72
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
10.000,00
8.613,72
7.213,58
5.799,44
4.371,15
2.928,58
1.471,59
0,03
∑
0,00
1.386,28
1.400,14
1.414,14
1.428,29
1.442,57
1.456,99
1.471,56
9.999,97
0,00
100,00
86,14
72,14
57,99
43,71
29,29
14,72
403,99
0,00
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
1.486,28
10.403,96
f
[REG]
10000 CHS PV
1 i
7 n
PMT
1.486,28
1 f
[AMORT]
100,00 X
Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72
1 f
[AMORT]
86,14 X
Y 1400,14 RCL PV – 7213,58
1 f
[AMORT]
72,14 X
Y 1414,14 RCL PV – 5799,44
1 f
[AMORT]
57,99 X
Y 1428,29 RCL PV – 4371,15
1 f
[AMORT]
43,71 X
Y 1442,57 RCL PV – 2928,58
1 f
[AMORT]
29,29 X
Y 1456,99 RCL PV – 1471,59
1 f
[AMORT]
14,72 X
Y 1471,56 RCL PV
EXERCÍCIOS
– 0,03
( SFA- Tabela Price)
1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais
postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização.
n
Saldo Devedor (SDn)
0
1
2
3
4
-------------------------
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serão
pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização.
n
Saldo Devedor (SDn)
0
1
2
3
4
5
6
----------------------------
Amortização (PAn)
60
Juros (J)
Prestação (PMT)
3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os juros
são capitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de amortização.
n
Saldo Devedor (SDn)
0
1
2
3
4
5
6
----------------------------
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas.
Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir a
tabela de amortização.
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
-------------------------
5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor
do empréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestrais
com carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e os
juros serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência.
n
0
1
2
3
4
5
6
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
7
61
----------------------------
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. Conhecido
como Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e Financiamentos de
empresas por parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimo
dividido pelo número de prestações.
- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um determinado
fator que é constante.
- O valor dos juros é decrescente .
- Os pagamentos são periódicos e sucessivos.
Exemplo 01:
62
pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante
(SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Dados: PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
a) cálculo da parcela de amortização(PAn)
PAn =
i = 10% ao mês
PMT = ?
PV ou SD
n
PAn = 10.000 = R$ 2.000,00
5
b) Cálculo dos juros (J)
J = PV . i . n
c) cálculo do saldo devedor (SD)
SD1 = 10.000,00
SD2 = 8.000,00
SD3 = 6.000,00
SD4 = 4.000,00
SD5 = 2.000,00
-
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
=
=
=
=
=
R$ 8.000,00
R$ 6.000,00
R$ 4.000,00
R$ 2.000,00
R$
0,00
d) cálculo da parcela de amortização (PAn)
PMTn = PA + Jn
PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00
PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00
PMT3 = 2.000,00 +
PMT4 = 2.000,00 +
PMT5 = 2.000,00 +
n
0
1
2
3
600,00 = R$ 2.600,00
400,00 = R$ 2.400,00
200,00 = R$ 2.200,00
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
10.000,00
8.000,00
6.000,00
4.000,00
0,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
0,00
1.000,00
800,00
600,00
0,00
3.000,00
2.800,00
2.600,00
4
5
2.000,00
0,00
∑
2.000,00
2.000,00
10.000,00
63
400,00
200,00
3.000,00
2.400,00
2.200,00
13.000,00
E X E R C I C I O S ( SAC)
1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 10 meses, à
taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês?
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa
de juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os seguintes
procedimentos:
a) calcular a amortização;
b) calcular a parcela de juros;
c) calcular o valor das prestações;
d) apurar o saldo devedor do período.
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais,
com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento?
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
64
4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano para ser
amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação?
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4 parcelas,
mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valor
da amortização?
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
Este sistema foi originalmente desenvolvido para atender o Sistema Financeiro de Habitação
(SFH). Neste caso, o financiamento é pago em prestações uniformemente decrescente, constituídas de
duas parcelas: amortização e juros, que correspondem à média aritmética das respectivas prestações do
Sistema de Amortização Francês e do Sistema de Amortizações Constantes (SAC). Enquanto as
amortizações são crescentes ao longo dos períodos (n), os juros dos períodos são decrescentes.
Exemplo 1:
65
pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Mista. Pede-se:
Elaborar a planilha de financiamento.
Dados: PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% ao mês
PMT = ?
Vamos inicialmente considerar as planilhas de amortização do SF e do SAC.
n
0
1
2
3
4
5
Sistema Francês (SFA)
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
10.000,00
8.362,03
6.560,26
4.578,32
2.398,18
0,03
∑
0,00
1.637,97
1.801,77
1.981,94
2.180,14
2.398,15
9.999,97
Juros (J)
Prestação (PMT)
0,00
1.000,00
836,20
656,03
457,83
239,82
3.189,88
0,00
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
2.637,97
13.189,85
OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.
n
0
1
2
3
4
5
Assim teremos a planilha de financiamento pelo (SAC)
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
10.000,00
8.000,00
6.000,00
4.000,00
2.000,00
0,00
∑
0,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
2.000,00
10.000,00
0,00
1.000,00
800,00
600,00
400,00
200,00
3.000,00
a) Cálculo da prestação (PMTn):
PMTn = PMTSFA + PMTSAC
2
PMT1 = 2.637,97 + 3.000 = R$ 2.818,99
2
b) Cálculo Dos juros (Jn):
J1 = 1.000 + 1.000 = R$ 1.000,00
2
Jn = JSFA + JSAC
2
0,00
3.000,00
2.800,00
2.600,00
2.400,00
2.200,00
13.000,00
66
c) Cálculo da parcela de amortização (PAn):
PAn = PASFA + PASAC
2
PA1 = 1.637,97 + 2.000 = R$ 1.818,99
2
d) Cálculo Do saldo devedor (SDn):
SDn = SDSFA + SDSAC
2
SD1 = 8.362,03 + 8.000 = R$ 8.181,02
2
Portanto,
n
0
1
2
3
4
5
Saldo Devedor (SDn)
10.000,00
8.181,01
6.280,13
4.289,15
2.199,08
0,00
∑
Sistema Misto (SAM)
Amortização (PAn)
Juros (J)
0,00
1.818,99
1.900,89
1.990,97
2.090,07
2.199,08
10.000,00
0,00
1.000,00
818,10
628,01
428,92
219,91
3.094,94
Prestação (PMT)
0,00
2.818,99
2.718,99
2.618,99
2.518,99
2.418,99
13.094,94
EXERCICIOS
1) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo SAM em 4 prestações anuais, a
taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização baseado nas tabelas abaixo:
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
100.000,00
79.973,00
56.942,00
30.456,00
0,00
∑
----20.027,00
23.031,00
26.486,00
30.456,00
100.000,00
----15.000,00
11.996,00
8.541,00
4.568,00
40.105,00
-----35.027,00
35.027,00
35.027,00
35.024,00*
140.105,00
OBS.: *feito com acerto para zerar o saldo devedor.
n
0
1
2
3
Saldo Devedor (SDn)
100.000,00
75.000,00
50.000,00
25.000,00
Sistema SAC
Amortização (PAn)
--------25.000,00
25.000,00
25.000,00
Juros (J)
-------15.000,00
11.250,00
7.500,00
Prestação (PMT)
---------40.000,00
36.250,00
32.500,00
4
n
0,00
∑
Saldo Devedor (SDn)
25.000,00
100.000,00
67
3.750,00
37.500,00
Sistema Misto (SAM)
Amortização (PAn)
Juros (J)
28.750,00
137.5000,00
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
2) Calcular as prestações de um empréstimo de R$ 200.000,00 a ser pago em quatro prestações mensais
a juros efetivos de 10% am., . Apresente também a planilha do SAM baseada nas tabela abaixo:
n
Saldo Devedor (SDn)
Amortização (PAn)
Juros (J)
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
n
0
1
2
3
4
n
200.000,00
156.906,00
109.502,60
57.358,86
0,00
Saldo Devedor (SDn)
200.000,00
150.000,00
100.000,00
50.000,00
0,00
Saldo Devedor (SDn)
----43.094,00
47.403,40
52.143,74
57.358.86
Sistema SAC
Amortização (PAn)
--------50.000,00
50.000,00
50.000,00
50.000,00
----20.000,00
15.690,60
10.950,26
5.723,89
Juros (J)
-------20.000,00
15.000,00
10.000,00
5.000,00
Sistema Misto (SAM)
Amortização (PAn)
Juros (J)
-----63.094,00
63.094,00
63.094,00
63.094,00
Prestação (PMT)
---------70.000,00
65.000,00
60.000,00
55.000,00
Prestação (PMT)
0
1
2
3
4
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE)
Este sistema foi criado pela Caixa Econômica Federal (CEF) para ser utilizado em suas linhas
de créditos relacionados ao Sistema Financeiro da Habitação (SFH). Dependendo da linha de
financiamento que você contratar com a Caixa, poderá optar por um destes sistemas: SACRE –
SFA/Tabela Price.
68
O SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor
emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Neste sistema as
prestações mensais são calculadas com base no saldo devedor existente no início de cada período de
12 meses. Assim, sendo, o valor das 12 prestações inicias é calculada da mesma forma como se obtém
o valor da 1ª prestação do SAC.
Nos processos de financiamentos do SFH , ambos os sistemas podem gerar Saldo Residual.
Saldo Residual: é o valor remanescente no fim do prazo contratado, decorrente da evolução do
financiamento.
• Quando ele é negativo: significa que a dívida foi liquidada e o mutuário terá direito á
devolução daquele valor.
• Quando positivo: o mutuário deve fazer pagamento para que a dívida seja liquidada.
Como já falamos, a metodologia do cálculo deverá ser feita da seguinte forma:
a) divide-se o valor do empréstimo pelo número de prestações do financiamento, obtendo-se
assim o valor da parcela de amortização (PAn);
b) multiplica-se a taxa mensal de juros pelo valor do empréstimo, obtendo-se o valor dos juros
compensatórios (Jn ) da primeira prestação (PMT);
c) soma-se a parcela dos juros compensatórios (Jn ) com a parcela de amortização (PAn);
d) após o pagamento das 12 prestações inicias, divide-se o saldo devedor remanescente pelo
número de prestações a vencer.
Exemplo 1:
Um imóvel no valor de R$ 35.000,00 é financiado em 180 prestações, sabendo-se que a taxa de juros é
de 12% ao ano, e que o saldo devedor será corrigido pela TR – Taxa Referencial (projetada) de 1% ao
mês durante todo o período do contrato. Adotou-se o Sistema SACRE para calcular a amortização da
divida. Pede-se:Elaborar a planilha de amortização para as 25 primeiras prestações.
Dados:
PV = R$ 35.000,00 Taxa (TR) = 1% am
i = {(1+ 0,12)30/360–1}.100 (equivale ao 0,948879%am.)
Jn = ?
SDn = ?
n = 180meses
PMT = ?
PAn = ?
a) Cálculo da prestação (PMT): das 12 primeiras prestações:
•
Valor da amortização:
•
Valor dos juros:
PAn = PV/n
PAn = 35000/180
= R$ 194,44
J =PV. i
J = 35000 . 0,948879%
VALOR DA PRESTAÇÃO (PMT)
= R$ 332,11
= R$ 526,55
Cálculo da 12 prestações seguintes (da 13ª à 24ª ):
12ª = 37.125,19
• Valor da amortização: PAn = 37.125,89/168
= R$ 220,99
•
Valor dos juros:
J = 37.125,89 . 0,948879%
= R$ 352,28
69
= R$ 573,27
Cálculo da 12 prestações seguintes ( da 25ª á 36ª ):
24ª = 39.183,77
• Valor da amortização: PAn = 39.183,77/156
= R$ 251,18
•
Valor dos juros:
J = 39.183,77 . 0,948879%
= R$ 371,80
= R$ 522,98
b) Cálculo dos juros com pensatórios (Jn):
Jn = (SD corrigido peal TR) . (Taxa de juros do financiamento)
Jn = 35.000 . (1,01) = R$ 35.350,00 ( 1º SD corrigido pela TR)
35.350,00 . 0,948879% = R$ 335,43 ( 1ª parcela de juros)
c) Cálculo das parcelas de amortização (PAn):
PAn = PMT – J
PAn = 526,55 – 335,43 = R$ 191,12
d) Cálculo Do saldo devedor (SDn):
SDn = SDcorrigido - PAn
SDn = 35.350,00 – 191,12 = R$ 35.158,88
Assim teremos a tabela:
Sistema de Amortização Crescente - SACRE
Valor do financiamento ( PV)
Número de prestações (n)
Taxa de juros (i) ao ano
Taxa de Juros (i) ao mês
TR – Taxa referencial (projetada) ao mês
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
SD
35.000,00
35.158,88
35.320,87
35.486,03
35.654,43
35.826,12
36.001,18
36.179,67
36.361,65
36.547,19
SD + TR
------------35.350,00
35.510,47
35.674,08
35.840,89
36.010,97
36.184,38
36.361,19
36.541,46
36.725,26
PAn
-----------191,12
189,60
188,05
186,46
184,85
183,20
181,53
179,82
178,07
JUROS
----------335,43
336,95
338,50
340,09
341,70
343,35
345,02
346,73
348,48
R$ 35.000,00
180
12,00%
0,948879%
1,00%
PMT
526,55
526,55
526,55
526,55
526,55
526,55
526,55
526,55
526,55
526,55
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
36.736,37
36.929,25
37.125,91
37.279,68
37.436,48
37.596,36
37.759,36
37.925,56
38.095,01
38.267,78
38.443,94
38.623,54
38.806,66
38.993,37
39.183,73
39.328,14
36.912,66
37.103,73
37.298,55
37.497,14
37.652,48
37.810,85
37.972,32
38.136,96
38.304,82
38.475,96
38.650,46
38.828,38
39.009,77
39.194,73
39.383,30
39.575,57
70
176,29
174,48
172,63
217,46
215,99
214,49
212,96
211,40
209,80
208,18
206,52
204,84
203,11
201,36
199,57
247,46
350,26
352,07
353,92
355,80
357,28
358,78
360,31
361,87
363,47
365,09
366,75
368,43
370,16
371,91
373,70
375,52
526,55
526,55
526,55
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
573,27
622,98
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSAF, Neto Alexandre – Matemática Financeira e suas Aplicações – 5a ed. – São Paulo:
Atlas, 2000.
ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes – Matemática Financeira – 3a ed. – São
Paulo: Atlas,2002.
BRANCO, Anísio Costa Castelo – Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning.
FARO, Clovis de – Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982.
HAZZAN, Samuel , José Nicolau Pompeo– Matemática Financeira – 4a ed. – São Paulo: Atual,
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SAMANEZ, Carlos Patrício – Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos –
3a ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002.
SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes – Matemática para o Ensino Médio- São
Paulo: IBEP, 2000
VIEIRA Sobrinho, José Gutra – Matemática Financeira – 7a ed. – São Paulo: Atlas, 2000.

Apostila - Carlos Alberto Bezerra e Silva

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