fundamentos de geofisica

Transcrição

FUNDAMENTOS DE GEOFÍSICA
J. M. Miranda, P.T. Costa
Capítulo 1 – O SISTEMA SOLAR
1.1 INTRODUÇÃO
Para se imaginar como os primeiros homens observavam, impressionados, o céu durante a noite, é necessário estar
num sítio remoto, longe das luzes e da poluição dos centros urbanos. Visto do campo, o firmamento parece, a olho
nu, uma cúpula de pontos no espaço uns em relação aos outros. Os primeiros observadores notaram que o padrão
das estrelas se movia regularmente e utilizaram este movimento para a determinação de eventos astronómicos, em
particular a cadência das estações do ano. Há mais de 3000 anos, cerca do século XIII AC, o ano e o mês foram
combinados num calendário chinês e, cerca de 350 AC o astrónomo chinês Shih Shen preparou um catálogo com a
posição de 800 estrelas. Os Gregos antigos observaram que vários corpos celestiais se moviam para a frente e para
trás ao longo do padrão fixo e chamaram-lhes planetes, que quer dizer “viajantes”. Além do Sol e da Lua é possível
distinguir a olho nu os planetas Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno.
A geometria foi introduzida na Astronomia pelo filósofo grego Thales, no século VI AC. Aristóteles (384-322 AC)
resumiu o trabalho dos gregos efectuado até à sua época e propôs um modelo do universo com a Terra no seu
centro. Este modelo geocêntrico estava estreitamente ligado à convicção religiosa e permaneceu válido até finais da
Idade Média. Contudo ele foi discutido: Aristarchus de Samos (310-230 AC) determinou os tamanhos e as distâncias
do Sol e da Lua em relação à Terra e propôs um modelo heliocêntrico (centrado no Sol). Os métodos
trigonométricos desenvolvidos por Hipparchus (190-120 AC) permitiram a determinação de distâncias astronómicas
através das posições angulares dos corpos celestes. Ptolomeu, um astrónomo greco-egípcio do século II AC,
aplicou estes métodos aos planetas conhecidos e foi capaz de prever os seus movimentos com uma precisão
admirável.
Figura 1.1 - Da esquerda para a direita: Ptolomeu, modelo geocêntrico, Copérnico, modelo heliocêntrico. Nicolaus
Copernicus (1473-1543) foi um astrónomo do Renascimento que apresentou e defendeu na sua obra "De
revolutionibus orbium coelestium", publicado pouco antes da sua morte, o modelo heliocêntrico baseado em
observações astronómicas.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 1
Até à invenção do telescópio, no início do sec. XVII, o principal instrumento utilizado pelos astrónomos para
determinar distâncias e posições dos corpos celestes foi o astrolábio. Este instrumento consistia num disco de
madeira ou metal com a circunferência marcada em graus. No seu centro estava um ponteiro móvel (alidade). As
distâncias angulares podiam ser determinadas apontando para um corpo o alidade e lendo a sua elevação na
escala graduada. Não se conhece o inventor do astrolábio, se bem que seja frequentemente atribuído a Hipparchus.
O astrolábio permaneceu uma importante ferramenta para os navegadores até à invenção do sextante no séc. XVIII.
Durante muitos séculos os únicos dados disponíveis sobre o Sistema Solar foram os esboços desenhados por
observadores: Galileu (1564-1642) viu as crateras da Lua no instante em que virou o seu primeiro telescópio nessa
direcção, em 1609 e, nos séculos que se seguiram, as crateras foram minuciosamente medidas e fotografadas, foilhes atribuido um nome e foram registadas em mapas. As observações dos restantes planetas (e do Sol)
permaneceram escassas e limitadas pelos meios existentes.
A construção de grandes telescópios, no final do século XIX e no início do século XX, transformou o nosso
conhecimento sobre as dimensões, a evolução do Universo e a estrutura do Sistema Solar. No entanto, a atmosfera
terrestre impõe limites ao que podemos observar por meios ópticos, e a visão obtida por um telescópio modesto é
quase tão boa como a que nos providencia um instrumento maior. A construção de grandes telescópios permitiu o
aparecimento de muitos novos dados mas, subsequentemente, não permitiu avançar muito nos estudos sobre o
Sistema Solar, e os nossos conhecimentos sobre a Lua e os outros planetas mantiveram-se estacionários durante
um período prolongado.
Uma das primeiras conclusões obtidas da observação do movimento dos planetas do sistema solar diz respeito ao
facto de, com excepção de Plutão1, as órbitas dos planetas se aproximarem significativamente do plano de
eclíptica, que é o plano que contém a órbita da Terra em torno do Sol). Plutão apresenta 17 % de inclinação e, dos
restantes planetas, o maior afastamento da eclipitica é o de Mercúrio, com 7 % de inclinação.
Os dados relativos à cinemática do movimento dos planetas do sistema solar – aqui se incluindo a distância ao Sol,
o período de translação, o período de rotação axial, a inclinação do respectivo eixo (em relação ao plano da órbita) e
a inclinação da órbita (em relação ao plano da ecliptica) estão contidos nas tabelas da página seguinte. Incluem-se
também os dados relativos a Plutão (apesar de ser apenas um planetoide) e à Lua.
1
Plutão é um planeta muito semelhante a um dos satélites de Neptuno, Triton, e é muito mais pequeno que a Lua, o que o torna um caso
específico dentro do sistema solar. Depois de muita controvérsia, a União Internacional de Astronomia decidiu em 24 de Agosto de 2006 que
Plutão não deveria ser mais chamado de planeta, devido à sua órbita e tamanho, sendo suas características mais próximas das de um asteróide.
Desde então ele é classificado como um planetoide e deixou de fazer parte dos planetas do sistema solar.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 2
Tabela 1.I - Alguns parâmetros geométricos de planetas do sistema solar
Planeta
Distância
Período
Período
Inclinação
Inclinação
ao Sol
Translação
Rotação
axial
da órbita
Mercúrio
57.9
87.969 d
58.785 d
~0º
7.005º
Vénus
108.2
224.701 d
243.686 d (r)
177.36º
3.3947º
Terra
149.6
365.256 d
23.9345 h
23º 27'
0.000º
Marte
227.9
686.98 d
24.6229 h
25º 12'
1.851º
Júpiter
778.3
11.862 a
9.9250 h
3º 5'
1.305º
Saturno
1427
29.457 a
10.656 h
26º 44'
2.484º
Urano
2870
84.011 a
17.24 h (r)
97º 55'
0.770º
Neptuno
4497
164.79 a
16.11 h
28º 48'
1.769º
Plutão*
5900
247.68 a
6.405d (r)
122.53º
17.142º
384 400 km+
27.3 d
27.3 d
-
5º
Lua**
A distância ao Sol é indicada em 106 km e representa o comprimento do semi-eixo maior da trajectória elíptica (ver explicação
mais abaixo). A indicação (r) na coluna do período orbital indica que a rotação é realizada no sentido retrógrado. A inclinação da
órbita é medida em relação ao plano da eclíptica. Os períodos estão indicados em, horas (h), dias (d) ou anos (a). +Distância da
Lua à Terra representada pelo comprimento do semi-eixo maior da sua trajectória elíptica.
Tabela 1.II - Alguns parâmetros característicos de planetas do sistema solar
Planeta
Diâmetro
Massa
Equatorial
Mercúrio
Vénus
Terra
Marte
Júpiter
Massa
Atmosfera
Satélites
Anéis
Volúmica
4880
0.33 1024
5.4 103
Inexistente
0
0
12110
4.9
1024
5.2
103
CO2
0
0
6.0
1024
5.5
103
N2, O2
1
0
6.5
1023
3.9
103
CO2
2
0
1.9
1027
1.3
103
H, He
16+
2
1026
0.7
103
H, He
17+
1000 ?
12756
6794
143200
Saturno
120000
5.7
Urano
51800
8.7 1025
1.2 103
H, He, CH4
5
10
Neptuno
49500
1.0 1026
1.7 103
H, He
2
?
Plutão*
2300
1.3 1022
2.0 103
CH4, N2
1
0
Lua**
3476
7.4 1022
3.3 103
Inexistente
-
-
O diâmetro equatorial encontra-se expresso em km, a massa em kg e a massa volúmica em kg m -3. Apenas se indicam os
componentes principais da atmosfera.
1.2 AS LEIS DE KEPLER
1.2.1 Primeira Lei de Kepler
Tycho Brahe (1546-1601) dedicou toda a sua vida à observação meticulosa dos planetas do sistema solar. Ele
pretendia provar que a hipótese heliocêntrica de Copérnico estava errada. A melhoria introduzida nos meios e,
essencialmente, nos métodos de observação permitiu-lhe obter uma precisão avaliada em meio minuto de arco.
Depois da sua morte, um dos seus assistentes, Johannes Kepler, recuperou as suas observações procurando testar
_____________________________________________________________________________________________
Pag 3
a hipótese heliocêntrica e, em particular, o modelo de Copérnico, pois Kepler, ao contrário de Brahe, achava que
Copérnico estava certo. Contudo, no que dizia respeito ao planeta Marte, os dados observados não se ajustavam de
forma satisfatória a um círculo, sendo o desvio (8 minutos de arco) considerado por Kepler como não justificável
pela precisão das observações.
A figura matemática descrita por Marte na sua órbita em torno do Sol
assemelhava-se, muito mais correctamente, à de uma elipse em que
o Sol ocupa um dos focos. Se bem que Kepler não possuísse
qualquer teoria fisica que justificasse a forma eliptica da orbita – que
só viria a ser estabelecida cerca de 80 anos mais tarde por Newton –
o ajuste obtido foi tão satisfatório que esta conclusão se tornou
conhecida como a Primeira Lei de Kepler: Os planetas percorrem
órbitas elipticas ocupando o Sol um dos focos.
No caso de terem uma órbita circular (caso particular de uma elipse) o
Sol ocupará o centro da circunferência. Desta lei podemos ainda
deduzir um corolário importante: as órbitas dos planetas são planas e
o plano da órbita contém o Sol.
A equação da elipse em coordenadas rectangulares é
x2 y2

1
a2 b2
(1.1)
em que a e b representam os eixos maior e menor respectivamente. Esta geometria pode ser descrita por dois
parâmetros, que podem ser os dois semi-eixos maior e menor (a e b na figura anterior) ou um destes e uma
quantidade chamada excentricidade e, definida como:
e  1
b2
a2
(1.2)
Figura 1.2 - Parâmetros descritores da órbita elíptica. Ilustração para o caso da Terra com indicação dos principais
eventos astronómicos do seu movimento em torno do Sol.
1.2.2 Segunda Lei de Kepler
A 1ª Lei de Kepler fixa a forma da órbita do planeta. Contudo, ela não permite determinar a posição de um planeta
num instante determinado a partir do conhecimento da posição num instante anterior. Para isso é necessário
conhecer a sua velocidade.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 4
Se bem que Kepler desconhecesse em absoluto o princípio físico que rege a interacção entre o Sol e cada planeta,
propôs uma Segunda Lei, onde admite que a linha que une o centro de cada planeta ao Sol percorre (varre) áreas
iguais em intervalos de tempo iguais.
Desta lei podemos igualmente deduzir um corolário importante: quando um planeta se afasta do Sol a sua
velocidade diminui e vice-versa. O facto de a Terra se mover mais rapidamente no Inverno do que no Verão era já
conhecido dos astrónomos e, aliás, não explicada no quadro do modelo de Copérnico.
Figura 1.3 - Representação esquemática da segunda lei de Kepler. Considerando as áreas varridas entre 1 e 2 e
entre 3 e 4 como iguais, os tempos necessários serão iguais, pelo que o planeta apresentará uma velocidade
superior quando se aproxima do Sol. Note que a excentricidade está muito exagerada para ilustrar melhor este
conceito.
1.2.3 Terceira Lei de Kepler
As (actualmente designadas) primeira e segunda leis de Kepler foram publicadas em 1609 no livro “Nova
Astronomia”. Contudo, Kepler estava persuadido da possibilidade de encontrar uma relação simples que explicasse
a diversidade de trajectórias dos diferentes planetas do sistema solar. Na sua última grande obra “As harmonias do
mundo”, Kepler enuncia a relação entre a órbita de um planeta e o seu período de translação.
Terceira Lei de Kepler: O quadrado do período sideral de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da
órbita, em que a constante de proporcionalidade é a mesma para todos os planetas do sistema solar, no seu
movimento à volta do sol.
a3
T2
 cte
(1.3)
1.2.4 A Lei de Newton do Momento Angular
As leis de Kepler estão formalmente contidas na Lei da Atracção Universal de Newton, da qual podem ser
deduzidas. Para verificarmos esta relação comecemos por recordar o que se entende por momento angular.
O momento angular de uma partícula material é definido por:

 
L  mr  v
(1.4)
em que v é a velocidade instantânea da particula, m a sua massa e r o vector posição.
O momento angular exprime-se, no Sistema Internacional, em Js. O seu valor depende da origem em relação à qual
é definido.
Segundo Newton, a taxa de variação do momento angular de uma particula medido em relação a uma origem
determinada, iguala o momento da força que actua o corpo, medido em relação à mesma origem:

 dL
(1.5)
 
dt

em que o momento da força aplicada F é definido por:
_____________________________________________________________________________________________
Pag 5

 
  r F
(1.6)
Qual a força que provoca o movimento dos planetas? As 3 leis de Kepler baseiam-se unicamente na
compatibilidade com os dados experimentais e não pressupõem um modelo explicativo da realidade. Newton, pelo
contrário, compreendeu que o movimento dos planetas e a queda dos corpos sobre a Terra eram manifestações de

uma mesma interacção, e enunciou a Lei da Gravitação Universal, segundo a qual a força F que actua cada
planeta é dada por:

GMm 
F  3 r
r
(1.7)
em que M e m são as massas, respectivamente, do Sol e de cada planeta, e G é uma constante, denominada

constante de gravitação. O seu valor é de G = 6.6742×10-11 m3kg-1s-2. O vector r representa o vector posição do
planeta em relação ao Sol.
Se considerarmos um sistema de eixos cuja origem coincida com o centro do Sol, a força gravitica com que o Sol
atrai cada planeta é colinear com o raio vector, o seu momento – em relação à mesma origem – é nulo, pelo que o
momento angular do planeta em relação ao centro do Sol se manterá constante (recordar que o produto
externo de dois vectores paralelos é nulo).
Uma das consequências deste facto é o de o movimento dos planetas se efectuar num mesmo plano: suponha que




o movimento inicial do planeta é v 0 . O vector posição r define com v 0 um plano ao qual o momento angular L


será perpendicular. Uma vez que este é constante, as variações de v 0 e r terão de ser de tal modo que o plano
inicial se não altere.
B
A
Figura 1.4: Representação esquemática das grandezas envolvidas na definição do momento angular. O vector L é
perpendicular ao plano definido por r e v sendo o seu sentido tal que os três versores formam um triedro directo.
Podemos decompor a velocidade do planeta em duas componentes, uma radial v r (que será nula no caso de a
trajectória ser circular) e outra azimutal v  . Da definição do momento angular, podemos concluir que2:
L  m r v
(1.8)
Uma vez que L e m são constantes, o produto r v também será constante. Nesse caso variações de distância
traduzem-se em variações de velocidade azimutal, tal como tinhamos concluido da segunda lei de Kepler. Se
considerarmos na figura anterior que o movimento entre os pontos A e B é realizado no intervalo de tempo t , a
2
Recordar que a componente radial é paralela ao vector posição e por isso a sua contribuição para o produto externo que define o momento
angular é nula.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 6
área varrida pelo planeta será3:
 A
1
r v t
2
(1.9)
pelo que substituindo de (1.8) e fazendo o limite quando t tende para 0, obtemos:
dA
L

dt 2m
(1.10)
que é uma expressão que contém a segunda lei de Kepler.
No caso da órbita circular é possível demonstrar de forma simples que as Leis de Newton contêm (e justificam as
Leis de Kepler). Note que, neste caso, se verifica o equilíbrio entre a força de atracção gravitacional e a força
centrífuga:
mv 2 GMm
 2
a
a
(1.11)
O período T neste caso terá a expressão
T
2 a
v
(1.12)
elevando ao quadrado as expressões anteriores e igualando, teremos:
T2
a3

4 2
GM
(1.13)
recuperando assim o enunciado da Terceira Lei de Kepler. A constante que aparece nesta equação, denominada
constante de Kepler, apenas depende do astro atractor.
1.2.5 Atracção gravítica na superfície de um planeta
Um corpo de massa m em repouso à superfície da Terra, de massa M, é actuado por uma força, o peso, que resulta
da soma de duas componentes, gravitacional e centrífuga. A primeira tem a ver com uma interacção física
fundamental descoberta por Newton enquanto a segunda com o movimento de rotação da Terra, e exprime o facto
de o nosso referencial não ser inercial. A gravidade, g, que é num ponto determinado, a força que actua a unidade
de massa é a soma vectorial destas duas componentes. O campo de atracção gravitacional é precisamente a
força de atracção newtoniana por unidade de massa.
Pela lei de Newton da atracção universal, a força de atracção gravitacional que actua sobre um corpo de massa m é
dada em módulo por:
FG =
GMm
r2
(1.14)
GM
r2
(1.15)
Sendo assim, o módulo do campo gravitacional vale
g
A força centrífuga, que podemos calcular multiplicando a massa do corpo pela aceleração centrífuga actua
perpendicularmente ao eixo de rotação da Terra, para fora. O seu módulo depende da latitude do ponto
considerado, é máximo no equador e nulo nos pólos. No equador esse módulo vale
3
Para derivar esta expressão consideramos que a área varrida é aproximadamente um triângulo e desprezamos a variação do raio nesse
intervalo de tempo.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 7
mv2 4 2 ma
FC 

a
T2
(1.16)
(onde a é o raio equatorial). Na Terra o efeito centrífugo é inferior a 1% do efeito gravitacional pelo que o módulo da
aceleração da gravidade é dado, em primeira aproximação, pelo valor do campo gravítico que no equador vale:
g=
GM
a2
(1.17)
Se quisermos considerar o efeito da força centrífuga, então ao valor anterior devemos subtrair a contribuição da
aceleração centrífuga no equador
gC 
4 2 a
T2
(1.18)
Fora do equador as linhas de acção das duas forças são distintas pelo que é necessário fazer os cálculos de forma
vectorial. As mesmas considerações se aplicam a qualquer planeta ou astro.
1.3 OS PLANETAS DO SISTEMA SOLAR
1.3.1 Os planetas terrestres
As leis de Kepler, e de modo muito mais geral as leis de Newton, aplicam-se de forma simples quando
consideramos os planetas como sistemas mecânicos simples (pontos materiais sem dimensões). Contudo, o estudo
da estrutura interna e externa dos planetas é muito importante para as Ciências da Terra, por aquilo que nos pode
ensinar sobre a formação e evolução do sistema solar, como um todo, fornecendo chaves fundamentais para a
construção dos modelos de interior da Terra.
Do ponto de vista da sua constituição, os planetas são normalmente divididos em dois grandes grupos: os planetas
interiores, terrestres, ou rochosos (Mercúrio, Vénus, Terra e Marte) e os planetas exteriores (Júpiter, Saturno, Urano
e Neptuno), podendo estes últimos ser ainda sub-divididos em gigantes gasosos (Júpiter e Saturno) e gigantes
gelados (Urano e Neptuno).
Os quatro planetas terrestres, que mais se assemelham geologicamente à Terra são diferentes entre si.
Mercúrio é um planeta de pequenas dimensões, um pouco maior do que a Lua. O período de rotação de Mercúrio
era desconhecido até cerca de 1960, quando estudos de radar permitiram concluir que o seu valor é 58.6 dias,
exactamente 2/3 do seu período orbital (88 dias). Esta relação entre a rotação e a translação faz parte de um
exemplo complexo de fenómenos gravitacionais, como o que é responsável por manter a Lua sempre com a mesma
face voltada para a Terra. Fortes forças de maré, que actuam entre Mercúrio e a enorme massa do Sol próximo,
mantêm o planeta de frente para o Sol enquanto está mais perto deste, completando, ao afastar-se, duas rotações.
Embora pequeno, Mercúrio tem uma densidade semelhante à da Terra.
Vénus aparece brilhante no céu ao fim do dia ou logo de manhã. Quando observado pelo telescópio aparece como
uma esfera branca, porque tudo o que observamos é a camada exterior da sua densa atmosfera, que esconde
completamente a topografia da superfície. Vénus desloca-se muito lentamente em volta do seu eixo, no sentido
oposto ao de todos os maiores corpos do Sistema Solar. O período de 243 dias revelou elegantes e enigmáticas
estatísticas do Sistema Solar. O período de translação da Terra e o período axial de Vénus estão, exactamente,
numa razão de 3:2. Vénus é diferente da Terra, possuindo bastante menos relevo topográfico. A maior parte da sua
superfície está coberta por planícies de grandes dimensões, com raras elevações uniformes; no entanto, duas
destas elevações (Ishtar Terra e Aphrodite Terra) têm sido comparadas com os continentes terrestres, embora
sejam muito mais pequenas. Várias áreas elevadas mais pequenas, como Beta Régio, assemelham-se a grandes
construções vulcânicas. Outras estruturas circulares têm sido interpretadas como caldeiras gigantes.
Marte tem estruturas de superfície facilmente visíveis da Terra, pelo que os parâmetros básicos - dimensões e
período de rotação axial - foram medidos por meios ópticos. Em 1666 Cassini descobriu que período de rotação de
Marte é de 24 horas e 40 minutos, semelhante ao da Terra. As primeiras observações mostraram que Marte tem os
pólos cobertos de gelo, tal como a Terra. As dimensões dos vulcões de Marte permitem-nos concluir algo sobre a
sua litosfera: para que vulcões atinjam tais dimensões em posições fixas, a presente litosfera marciana tem de ser
_____________________________________________________________________________________________
Pag 8
espessa e rígida, com pelo menos 200 km de espessura. Isto põe de parte todas as possibilidades de existência de
tectónica de placas como a existente na Terra.
1.3.2 A cintura de Asteróides e os planetas exteriores
Entre os planetas rochosos e os gigantes gasosos Júpiter e Saturno, localiza-se uma importante cintura de
asteróides. Para lá desta entra-se num ambiente diferente: Júpiter e os outros planetas mais distantes do Sol, são
enormes esferóides de baixa densidade, gasosos, constituidos essencialmente por Hidrogénio e Hélio. Em detalhe
há dois pares: Júpiter e Saturno e, Urano e Neptuno. Júpiter e Saturno são verdadeiros gigantes gasosos e são
compostos, respectivamente, por 97 % e 70 % de Hidrogénio e Hélio. Urano e Neptuno são compostos por apenas
10 % a 20 % de Hidrogénio e Hélio, sendo a maior parte da sua massa formada por material gelado e rochoso.
As primeiras imagens de pormenor de Phobos e de Deimos, o par de pequenos satélites de Marte, foram obtidas
nas missões Viking. A Viking 2 passou a apenas 26 km de Deimos. Phobos é um elipsóide, com um diâmetro
máximo de 27 km, enquanto Deimos, mais esférico tem, aproximadamente, 15 km de diâmetro. Ambos possuem
superfícies altamente cravadas de crateras, são muito escuros e têm densidades baixas, sugerindo que são
constituidos por material semelhante ao dos meteoritos condríticos carbónicos. Estes satélites não possuem órbitas
estáveis, pelo que se admite que eles não orbitam Marte desde a origem do Sistema Solar e são provavelmente
asteróides, capturados de algum modo da cintura de asteróides entre Marte e Júpiter e que, como tal, providenciam
as únicas observações de perto disponíveis, de asteróides.
Estudos ópticos mostram que existe na cintura de asteróides uma grande variedade de corpos com dimensões que
vão desde as centenas de quilómetros até corpos muito pequenos, de dimensões inferiores às de Phobos e Deimos.
Estudos espectroscópios mostram que existem várias classes de asteróides, que têm sido interpretadas como
correspondendo a tipos carbonáceos, metálicos e rochosos, semelhantes aos tipos de meteoritos, que veremos
mais à frente.
Há já bastante tempo que se tem conhecimento que, se um satélite se aproxima mais do que uma certa distância do
seu planeta mãe - conhecido como limite de Roche - será desintegrado devido às enormes forças gravitacionais
impostas por este. Para lá do limite de Roche, alguns satélites maiores parecem também ter sido desintegrados
cedo na sua história, como resultado de massivos impactos, e os seus estilhaços voltaram posteriormente a
agregar-se de novo. Os estilhaços também se poderão ter distribuído individualmente na forma de um anel em volta
do planeta.
Os anéis de Saturno são, com certeza, os mais bem conhecidos. As imagens da Voyager mostraram que são
espantosamente complicados em detalhe, com muitos anéis individuais separados por falhas. O espaçamento das
falhas é em alguns casos controlado por ressonâncias orbitais de pequenos satélites que agregam a si outros
corpos. Talvez a característica mais extraordinária do sistema de anéis de Saturno seja a sua espessura. Embora
tenham 27,000 km de comprimento os anéis não têm mais de 1 km de espessura. Consistem em muito pequenas
miríades de pedaços de gelo com dimensões métricas, talvez impregnados de material carbonáceo ou
silicatos. Os anéis podem representar estilhaços de satélites que foram desintegrados pelo gigantesco campo
gravitacional de Saturno.
1.4 IDADES RADIOMÉTRICAS DAS ROCHAS
1.4.1 Geocronologia
Há quanto tempo se formou a Terra? A primeira determinação da Idade da Terra, realizada por Lord Kelvin,
procurou utilizar o processo físico do arrefecimento do planeta para estimar a sua idade absoluta. A partir da
aplicação da 1ª e da 2ª Leis da Termodinâmica concluiu Kelvin que a idade da Terra se deveria situar entre 20 e 400
milhões de anos. Esta avaliação, que hoje sabemos ser francamente incorrecta, porque não considerou a
contribuição da radioactividade (descoberta mais tarde) para o equilíbrio térmico da Terra, só pôde ser corrigida
porque no princípio do século XX, Rutherford e Holmes concluíram que o decaimento dos isótopos radioactivos
instáveis, descoberto por Henri Becquerel em 1896, podia ser utilizado para quantificar a idade das formações
geológicas.
Só na década de 50 do século XX é que a precisão dos métodos laboratoriais permitiu generalizar o uso das
datações radiométricas. O princípio físico em que assenta estas medições é o seguinte: A lei de decaimento
radioactivo indica que o número de átomos que se desintegra por unidade de tempo é proporcional ao número de
átomos presentes no estado inicial, ou seja:
_____________________________________________________________________________________________
Pag 9
(1.19)
onde  é a constante de decaimento, que pode ser interpretada como a probabilidade de que um determinado
átomo decaia por intervalo de tempo. Ao produto λN chama-se actividade, A(t), que representa o número de
desintegrações por unidade de tempo. Integrando a equação anterior podemos escrever:
(1.20)
onde N0 representa o número de átomos radioactivos no instante inicial e N é o número de átomos radioactivos no
tempo presente. O número de átomos radiogénicos (gerados pelo processo de decaimento que estamos a estudar)
designa-se por NR, sabendo-se que,
(1.21)
Pelo que podemos reescrever (1.20) em função de NR como:
(1.22)
Diversas formas destas expressões são utilizadas em geocronologia. É também vulgar a utilização do parâmetro
“tempo de semi-vida” que é o período de tempo necessário para que uma dada quantidade de um radionuclídeo
decaia para metade do seu valor inicial. A relação entre T1/2 e  é dada por:
(1.23)
Por vezes também se utiliza a grandeza “vida média” que é, simplesmente, o inverso da constante de decaimento .
1.4.2 O método de Rubídio-Estrôncio
Um dos métodos de datação de descrição simples baseia-se no decaimento radioactivo do Rubídio.
O Rubídio é um elemento raro na natureza, que não forma qualquer mineral, mas que aparece a substituir o
Potássio, dadas as similaridades entre ambos no que diz respeito ao raio iónico e à carga. Os dois isótopos naturais
do Rubídio são o 85Rb e o 87Rb, cujas abundâncias atómicas são de 72.8% e 27.2%, respectivamente. O 87Rb é
um isótopo radioactivo que decai da forma seguinte:
(1.24)
Neste caso, a formação de átomos radiogénicos de 87Sr pode ser explicitada da forma seguinte:
(1.25)
Uma vez que os espectrómetros de massa medem com maior precisão razões entre dois elementos do que valores
absolutos e uma vez que o isótopo 86Sr não é radioactivo nem radiogénico - a sua quantidade pode ser considerada
constante - é preferível escrever (1.25) sob a forma:
(1.26)
Um problema existe, no entanto, no que diz respeito à fracção de 87Sr formado antes da génese da amostra, que
tem que ser adicionado ao 2º membro de (1.26):
(1.27)
A razão isotópica inicial varia com a história geológica da unidade em estudo. As rochas provenientes do manto
_____________________________________________________________________________________________
Pag 10
superior, por exemplo, possuem razões isotópicas iniciais muito baixas uma vez que o manto superior possui razões
Rb/Sr muito baixas. No extremo oposto temos a crusta continental caracterizada por razões Rb/Sr elevadas.
A expressão anterior mostra que a razão 87Sr/86Sr depende linearmente da razão 87Rb/86Sr para um conjunto de
amostras da mesma idade. Desde que se disponha de um conjunto de amostras com razões pai/filho diferentes
pode representar-se graficamente essa relação:
Figura 1.5 – Isócrona Rb/Sr de um granito (rocha total) e dos minerais separados. O declive da isócrona é
proporcional à idade da rocha, enquanto o ponto de intersecção dá a razão isotópica 87Sr/86Sr do estrôncio no
momento da cristalização da rocha. O declive da isócrona permite a determinação de t.
Contudo, existem ainda duas condições para que a medição da idade radiométrica seja significativa: a primeira é a
de que os processos de alteração ou de metamorfismo não tenham afectado as razões isotópicas do mecanismo de
decaimento utilizado na datação; a segunda é a de que todas as amostras utilizadas possuam a mesma razão
isotópica inicial.
Esta última condição é de mais fácil realização nas rochas ígneas do que nas rochas metamórficas ou
sedimentares, uma vez que muitas vezes se verifica que, num determinado maciço, aquelas cristalizam a partir de
um magma único. No que diz respeito às rochas metamórficas esta condição pode também verificar-se desde que o
metamorfismo tenha sido suficientemente intenso para homogeneizar as razões isotópicas. Nas rochas
sedimentares, o facto de os seus elementos poderem provir de fontes distintas torna impossível a datação directa da
idade da sedimentação.
O método Rb/Sr é utilizado para quase todas as idades geológicas, se bem que a precisão das datações é reduzida
no que diz respeito aos últimos 10 a 20 Ma.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 11
Tabela 1.III – Constantes de decaimento (em ano-1) e tempos de semi-vida de um conjunto de pares de elementos
utilizáveis em datação radiométrica
Pai
Filho

14C
14N
1.21 x 10-4
87Rb
87Sr
40K
40Ca
40K
40Ar
5.81 x
10-9
119 Ma
138La
138Ce
6.54 x 10-12
106 Ga
147Sm
143Nd
6.42 x 10-12
108 Ga
176Lu
176Hf
1.96 x 10-11
35.4 Ga
187Re
187Os
1.52 x 10-11
45.6 Ga
230Th
226Ra
9.217 x 10-6
75.2 ka
232Th
208Pb
4.9475 x 10-11
14 Ga
234U
230Th
235U
207Pb
238U
206Pb
1.42 x
Semi-vida
10-11
4.962 x
2.794 x
10-10
10-6
9.8485 x
10-10
1.55125 x
10-10
5730 a
48.8 Ga
1.41 Ga
248 ka
704 Ma
4.47 Ga
1.4.3 A idade da Terra
Onde se localizam as rochas mais antigas sobre a Terra?
Rochas com mais de 3 000 Ma são raras na Terra, onde a parte dos registos geológicos mais familiares cobrem
apenas os últimos 570 Ma. No fundo dos oceanos, a crusta terrestre é ainda mais nova. Como veremos mais à
frente, isto é um resultado do processo de formação contínua de crusta nas dorsais oceânicas. Os cratões
continentais estáveis da América do Norte, da África, da Europa do Norte da Austrália ou da Gronelândia possuem
unidades com cerca de 2 500 Ma e, nalgumas formações específicas, 3 500 a 3 800 Ma. A datação mais antiga já
realizada foi feita em zircões de quartzitos do Monte Narreyer, na Austrália Ocidental, tendo sido obtido o valor de 4
200 Ma com a utilização de técnicas de microsonda iónica. Os Zircões mais antigos são de Jake Hills (Austrália) e
foram-lhe atribuídos 4.4 Ga.
1.4.4 A idade da Lua
A idade da Lua foi essencialmente estabelecida a partir dos 381.69 kg de rochas trazidos da alunagem da sexta
missão Apollo. Estas amostras foram datadas radiometricamente como 3 800 Ma.
Se admitirmos que a idade mais antiga que se pode encontrar no sistema solar é de 4 600 Ma (como veremos mais
à frente na análise dos meteoritos) podemos concluir que a Lua se manteve geologicamente activa durante um curto
período de tempo após a sua formação.
As terras altas de tons claros da Lua, são provavelmente mais antigas que os “mares”, porque os estudos fotogeológicos indicam que o material dos "mares" se sobrepõe ao material das Terras Altas. Quando foram obtidas
amostras das Terras Altas descobriu-se que faziam parte de um grupo de rochas ígneas dominadas por plagioclase
e feldspato, cujos parentes terrestres mais chegados são rochas vulgares no Arcaico e no Proterozóico conhecidas
por anortositos. Os anortositos lunares tinham idades superiores a 4 000 Ma, algumas delas com idades perto dos
4 600 Ma.
1.5 OS METEORITOS
Muito antes da missão Apollo fornecer as primeiras amostras de rochas lunares, havia uma só fonte directa para
dados sobre a composição do Sistema Solar: rochas que literalmente caíam do céu. Os meteoritos são conhecidos
desde a pré-história, mas são agora mais intensivamente estudados do que alguma vez o foram, por serem as
_____________________________________________________________________________________________
Pag 12
únicas amostras palpáveis de material que remonta aos primeiros dias do sistema solar. Os meteoritos
providenciaram as primeiras pistas sobre os planetas para além da Terra.
Os condritos são o tipo de meteoritos mais representado. São siliciosos (por oposição a ferrosos), e caracterizam-se
pela presença de côndrulos, glóbulos refractários de Cálcio e Alumínio (meteoritos de tipo CAl) com dimensões de
milímetros a centímetros. Os côndrulos estão embebidos numa matriz formada habitualmente por uma mistura de
silicatos cristalinos, por vezes incluindo grãos ou filamentos de níquel e ferro. Este tipo de constituição não foi nunca
encontrado na Terra. A idade radiométrica dos meteoritos condríticos é estimada em 4.555 ± 4 Ma.
Os condritos são classificados de acordo com a sua constituição química e o seu grau de metamorfismo. Os
condritos que possuem menor grau de metamorfismo são aquelas que mais interessam ao estudo da composição
primitiva da nébula. É esse o caso das Condritos Carbonáceos, assim designados pela presença de compostos de
Carbono. São escuros e friáveis, mais ricos em voláteis, mas muito raros, devido provavelmente à dificuldade de
atravessamento da atmosfera. O meteorito mais importante desta classe – Allende – atingiu o México, em 1969, sob
a forma de milhares de pequenas pedras, dispersas por mais de 300 km 2. Cerca de 2000 kg de material foi
recolhido, se bem que se pense que esta quantidade representa apenas uma pequena fracção do total. É habitual
dividir os condritos carbonáceos em três sub-grupos, C1, C2 e C3, de acordo com o grau crescente de
metamorfismo. Allende é do tipo C3.
Uma percentagem significativa dos meteoritos encontrados é constituída por ferro metálico ou ligas de ferro e
níquel. Uma vez que não existe ferro metálico na crusta terrestre, este tipo de meteorito é imediatamente
reconhecido como extra-terrestre. Os meteoritos de ferro e níquel foram provavelmente dos últimos objectos a
diferenciarem-se da nébula primitiva. A grande importância deste tipo de meteoritos prende-se com o facto de os
elementos que os constituem – Ferro e Níquel – terem um papel muito importante no que diz respeito à composição
actual do núcleo da Terra.
Alguns meteoritos são formados por rochas ígneas com um grau de evolução superior às condritos, sendo a sua
idade radiométrica média um pouco menor que a das condritos. Angra dos Reis, por exemplo, é um meteorito ígneo
com idade de 4.551 ± 2 Ma. Os acondritos basálticos são verdadeiros basaltos semelhantes aos basaltos lunares.
Têm, em média, idades de cristalização da ordem de 4.539 ± 4 Ma, notoriamente com 20 Ma a menos,
relativamente ao material mais antigo datado do Allende. Para além destes tipos de meteoritos, é ainda importante
considerar o tipo SNC (de shergottites, nakhlites e chassignites). A importância deste tipo provém do facto de as
idades radiométricas respectivas serem muito inferiores aos dos outros tipos de metoritos (da ordem de 1000 Ma),
pelo que se admite terem como origem um planeta evoluído do sistema solar. Uma vez que a composição química
dos gases retidos nestes meteoritos correspondem à composição da atmosfera de Marte, como foi medido pela
sonda Viking, é assumida a sua origem marciana.
1.6 COMPOSIÇÃO DO SOL E DOS PLANETAS
O Sol constitui a maior parte da massa do sistema solar. Sendo assim, o estudo da sua composição dá-nos
informações importantes sobre a composição química do sistema como um todo. Sabemos que o Sol é composto
essencialmente por H, He e C, que são elementos muito voláteis mas contém também pequenas quantidades de
Mg, Si, Ca, Al e O que são os principais constituintes dos meteoritos e dos planetas rochosos. Quando se compara
a composição solar com a dos meteoritos de classe C1, verifica-se uma grande similaridade (ver Tabela 1.IV)
Têm sido feitas várias tentativas de estimação da composição da nébula solar primitiva, combinando dados da
composição química do sol e dos meteoritos. Estas são as chamadas “abundâncias cósmicas”, que são a
composição de referência para planetas e outros meteoritos. Materiais que têm quase abundâncias cósmicas de um
grupo de elementos, são chamados “primitivos” ou “indiferenciados”. Uma das observações geoquímicas mais
significativas sobre os planetas terrestres, é a sua depleção em gases nobres e elementos voláteis relativamente
aos planetas exteriores e mais ainda, relativamente aos meteoritos.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 13
Tabela 1.IV - Comparação de abundâncias atómicas entre o Sol e Condrites Carbonatadas de tipo C1
(de Breneman et al. 1985 e Anders et al, 1989, citados por Don Anderson em Understanding the Earth, 1992).
Sol
C1
Na
0.067
0.0574
Mg
1.089
1.074
Al
0.0837
0.0849
Si
1
1
P
0.0049
0.0010
S
0.242
0.0515.
K
0.0039
0.00377
Ca
0.082
0.0611
Ti
0.0049
0.0024
Fe
1.270
0.900
Ni
0.0465
0.0493
1.7 MODELO DE FORMAÇÃO DOSISTEMA SOLAR
1.7.1 Fase de Nébula
Estima-se que o sistema solar teve inicío há cerca de 4600 Ma. A nébula formou-se quando uma massa de gás e pó
se libertou de uma muito maior nuvem molecular, num braço espiral da Via Láctea e colapsou num disco sobre a
acção da atracção gravitacional. A massa deslocou-se para o interior do disco, o Sol formou-se no centro e o
momento angular foi transferido para o exterior, de tal forma que agora reside principalmente nos planetas.
Na nébula, pequenos corpos (de dimensão métrica), iniciaram o seu crescimento até atingirem dimensões
quilómetricas. Mais tarde, na história recente do Sol, o fluxo de massa foi invertido, ventos violentos e descargas
solares conduziram o Hidrogénio, o Hélio, gases nobres e muitos elementos voláteis para distâncias da ordem das
4-5 UA (1 unidade astronómica (UA) = distância Terra - Sol), onde estes acrecionaram, para formar os planetas
gigantes. A água foi capaz de condensar na nébula à temperatura de 160 K, como gelo, numa “linha de neve” a
cerca de 4-5 UA, ficando retida nos satélites dos planetas gelados. Esta fase de nébula teve uma duração curta
(105 a 106 anos).
A nébula solar primitiva deverá ter sido constituída essencialmente por Hidrogénio e Hélio, que são os principais
constituintes do Sol, Júpiter e Saturno. Assume-se, como vimos, que a composição, para elementos não gasosos,
da primordial nébula solar é semelhante às condrites C1.
Pode admitir-se que a nébula evoluiu com o tempo: durante a fase inicial de colapso, o material flutuou na direcção
do interior para formar o Sol. As temperaturas na nébula eram altas, provavelmente da ordem dos 1,500 K nas
regiões interiores (onde mais tarde se formariam os planetas rochosos), durante este curto estágio de influxo, que
terá durado cerca de 105 anos. Nesta altura não deverá ter estado presente nenhum material sólido condensado.
Quando o Sol em crescimento atingiu uma massa crítica e se deu início ao processo termonuclear, essa actividade
acabou com o restante gás da nébula interior. Neste estágio, material condensado da nébula interior, planetesimais
sobreviveram e subsequentemente acrecionaram nos planetas terrestres.
1.7.1 Deplecão de voláteis
Os planetas terrestres são diferentes, em composição, da nébula primitiva pelo que terá ocorrido uma substancial
fraccionação química da nébula primitiva, antes da acreção final dos planetas terrestres. Atribui-se este efeito à
actividade solar inicial. Este processo parece ter demorado cerca de um milhão de anos.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 14
1. Uma grande porção de nébula que roda lentamente
começa a tornar-se uma nuvem predominantemente
gasosa que colapsa por atracção gravitacional.
2. A rotação da nuvem impede o colapso do disco
equatorial enquanto se forma uma densa massa
central.
3. Forma-se uma protoestrela que aquece a parte interior da nébula,
possivelmente vaporizando poeiras pré-existentes. À medida que a
nébula arrefece, a condensação produz grãos sólidos que assentam
na parte central da nébula.
4. A nébula de poeira esvazia-se, por agregação das poeiras em
planetesimais, permanecendo uma estrela e um sistema de corpos
frios. A agregação gravitacional destes pequenos corpos leva à
formação de um pequeno número de grandes planetas.
_____________________________________________________________________________________________
Figura 1.6 – A evolução de uma nébula de poeiras pode ter sido a origem da formação do sistema solar.
1.7.2 Fase planetesimal
Admite-se que a agregação planetária terá sido gerada por colisões entre planetesimais, alguns dos quais atingindo
as dimensões de Marte, para finalmente darem origem aos planetas Mercúrio, Vénus, Terra e Marte que
conhecemos hoje; este processo terá levado cerca de 100 Ma.
Que evidências temos nós destes planetesimais? Acredita-se que os asteróides são restos planetesimais; Phobos
um dos satélites marcianos, aparenta ser um objecto primitivo, e pode muito bem, ser um asteróide capturado. A
ausência de um planeta na cintura de asteróides, entre Marte e Júpiter, na qual mais de 4 000 corpos foram já
numerados (não contando com outros muito mais pequenos), deve-se provavelmente à forte influência do massivo
Júpiter, que capturou ou ejectou muitos dos corpos.
Uma evidência indirecta, para os já existentes corpos com diâmetros superiores a 100 km, vem da observação de
todas as mais antigas superfícies preservadas de planetas e satélites, que estão saturadas de crateras. A superfície
da Lua é um exemplo clássico, mas fotografias, desde Mercúrio, perto do Sol, até satélites de Urano, mostram
claramente que, planetas e satélites estiveram sujeitos a bombardeamentos massivos. Estão presentes crateras de
todos os tamanhos, desde dimensões micrómetricas, causadas por impactos de pequenos grãos, até enormes
bacias com mais de mil quilómetros de diâmetro.
A maior evidência para a existência de objectos muito grandes (com massas de dimensões da Terra, Lua ou Marte)
numa nébula inicial, vem da inclinação dos planetas relativamente ao seu eixo de rotação (ver tabela do capítulo
anterior). Um dos maiores impactos foi o sofrido por Urano: mostra a simulação numérica que apenas um impactor
com dimensões semelhantes à Terra, poderia colocá-lo com uma inclinação perto dos 90°. São necessárias
colisões mais pequenas para justificar a inclinação dos outros planetas mas, no entanto alguns pelo menos tão
grandes como Marte (com 1/10 da massa da Terra), teriam de ser responsáveis, já que impactores mais pequenos
(semelhantes a Phobos, por exemplo), não seriam significativos.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 15
1.8 BIBLIOGRAFIA
Brown, G. C., C.J. Hawkesworth, R.C.L. Wilson (eds.), (1992). Understanding the Earth, Cambridge University
Press, pp 551.
Gartenhaus, S. Physics, Basic Principles, vol 1, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York.
Hamblin, W.K. and E.H. Christiansen (1998). Earth’s Dynamic Systems, Prentice Hall, New Jersey, 8th Ed.
Holton, G., Stephen, G. Brush. Introduction to Concepts and Theories in Physical Science, Princeton University
Press, New Jersey.
Lowrie, W. (1997): Fundamentals of Geophysics, Cambridge University Press, Cambridge, pp 354.
Miranda, J.M., P. Teves Costa e L. Matias (2010). Introdução à Física da Terra. 1º módulo do curso moodle do
Instituto de Meteorologia.
Serway, R. (1996). Física 1 para Cientistas e Engenheiros, 3ª Edição, LTC.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 16
1.9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exercício 1.1: Usando a 3ª lei de Kepler e os valores da Tabela 1.I, calcule a massa do Sol.
Resolução: Consideremos o caso do movimento da Terra em volta do Sol. Podemos utilizar a equação
(1.13) onde T é o período de translação da Terra (365 x 24 x 60 x 60 s), a é a distância média da Terra ao Sol
(149.6 x 109 m) e G é constante de gravitação universal (6.6742×10-11 m3kg-1s-2). Substituindo teremos M = 1.99 x
1030 kg.
Exercício 1.2: Determine o momento angular da Terra em relação ao centro do Sol, admitindo que a sua trajectória
é circular e tem de raio 1.5108 km. Despreze o movimento de rotação e considere que a massa da Terra é de 6.0 x
1024 kg.
Resolução: Utilizando a definição de momento angular, tal como está expressa na equação (1.8), e
admitindo a aproximação de que o movimento é circular uniforme, vem L = (6.0x1024) x (1.5x1011) x
(21.5x1011)/(365×24×60×60) = 2.66 x 1040 kg m2 s-1 (sabendo que v = 2πr /T).
Exercício 1.3: Utilizar as Tabelas 1.I e 1.II para determinar (a) o valor do campo de atracção gravitacional
(newtoniana) num ponto do equador de Marte, (b) o valor da força centrífuga por unidade de massa, no mesmo
ponto. Comparar estes valores com os correspondentes para a Terra.
Resolução: (a) A atracção newtoniana num ponto do equador do equador de Marte é a força que actua a
unidade de massa (1 kg) aí localizada, que por sua vez é dada pela equação (1.7) onde consideramos M = 6.5 ×
1023 kg, G = 6.6742×10-11 m3kg-1s-2, m = 1 kg, r = 6794000/2 m. O resultado é FG = 3.76 m/s2, que também se pode
representar por FG = 3.76 N/kg. (b) A força centrífuga, calcula-se directamente pela equação (1.16). É necessário
inserir nesta equação o período de rotação de Marte em segundo: 24.6229 h = 24.6229 x 60 x 60 = 88642 s. Logo,
FC = 1.71 x 10-2 N/kg. Para a Terra, os resultados são: FG = 9.8 N/kg e FC = 3.38 x 10-2 N/kg. Vê-se assim que a
força newtoniana da Terra é cerca de 2.5 vezes maior que a de Marte e que a força centrífuga devida à rotação da
Terra é cerca do dobro da devida à rotação de Marte.
Exercício 1.4: Sabendo que a excentricidade da órbita da Terra é 0.0167, calcule o semi-eixo menor da elipse que
aproxima a sua órbita.
Resolução: O semi-eixo maior da órbita da Terra é dado pela Tabela 1.I: a = 149.6 x 106 km. Aplicando a
equação (1.2) vem: b2 =[a2 (1-e2)]. Fazendo os cálculos, b = 1.49579 x 1011 m. Vê-se assim que a diferença entre os
dois semi-eixos é muito pequena. O que já era de esperar devido à pequena excentricidade da órbita.
Exercício 1.5: O urânio 235U decai para 207Pb. (a) Sabendo que a constante de decaimento tem o valor λ = 9.8485 x
10-10 a-1, determine o tempo de semi-vida do urânio. (b) Quantas semi-vidas do 235U tiveram lugar desde a formação
da Terra há 4.56 Ga?
Resolução: (a) Aplicando a equação (1.23), vem T1/2 = 0.693/9.8485x10-10 = 703660456, i.e., T1/2 ≈ 704 Ma.
(b) Tendo em conta o valor da semi-vida determinado na alínea (a), vem 4.56x109/704x106=6.48, pelo que já
passaram 6 semi-vidas desde a formação da Terra.
Exercício 1.6: Num organismo vivo, cada grama de carbono tem uma taxa de desintegração de 15 decaimentos por
minuto devido à presença do 14C. Um osso com 200 g de carbono foi desenterrado e a taxa de desintegração total é
de 400 decaimentos por minuto. Qual é a idade do osso?
Resolução: O número de desintegrações por unidade de tempo é representado pela actividade A(t) = λN.
Se for A0 (t ) a actividade inicial da amostra, então utilizando a equação (1.20) pode ver-se
A(t )  N  N0 et  A0 (t )et
 t
A(t ) / A0 (t )  e
→
14
Tomando agora os dados do problema, se 1g de C tem 15 decaimentos por minuto, 220 g terão (15x200=) 3000
decaimentos por minuto. Depois do organismo morto, 200 g de carbono apresentam 400 decaimentos por minuto.
Então, A(t) / A0 (t) = 0.133333. Logo, 0.133333 = e–λt, ou seja, –λt = ln (0.133333) = -2. Da Tabela 1.III podemos tirar
o valor da constante de decaimento do 14C: λ = 1.21x10-4 a-1. Logo, t = 2/λ = 2/ 1.21x10-4 ≈ 16 530 a.
_____________________________________________________________________________________________
Pag 17
1.10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. A partir dos valores dos períodos de translação da Lua em torno da Terra (ver Tabela 1.I deste capítulo) e da
distância da Terra à Lua (3.84 x 108 m) estime a massa da Terra. Faça idêntico cálculo para Júpiter, sabendo que Io
tem o período orbital de 1.77 dias, e que o raio da sua órbita é de 4.22 10 8 m.
2. A Terra tem um período sideral de 1 ano e o raio médio da sua órbita (supondo uma trajectória circular) é 149.6 x
106 km. Determine qual o valor do raio médio da órbita de Marte, sabendo que o seu período sideral é de 687 dias.
3. Calcule o peso um corpo de 100 kg de massa localizado num ponto no equador de Jupiter. (Nota: considere a
força gravitacional e a força centrífuga e utilize os valores apresentados nas Tabelas 1.I e 1.II).
4. Admitindo que a trajectória da Lua à volta da Terra se assemelha a uma circunferência de raio 3.84 x 105 km, com
um período de 27.3 dias, determine a que distância do centro da Terra se deve encontrar um satélite cujo período
de translação seja de 3 h.
5. Determine a que altitude se deve colocar um satélite geo-estacionário sobre o equador.
6. Suponha que a Terra roda com velocidade crescente até que um observador localizado no equador observe
gravidade nula. Qual será então a duração do dia?
7. A semi-vida do 14C é 5730 anos. Determine a constante de decaimento e a percentagem de 14C original que
permanece ao fim de 20000 anos.
8. A semi-vida de um dado isótopo radioactivo é de 6.5 horas. Se existirem inicialmente 48x10 19 átomos deste
isótopo, quantos átomos deste isótopo restarão após 26 horas? Exprima o resultado em % do número inicial.
9. A semi-vida de um isótopo radioactivo é de 140 dias. Quantos dias seriam necessários para que a actividade de uma
amostra deste isótopo caísse a um quarto da sua taxa inicial de decaimento?
10. Considere um conjunto de rochas graníticas aflorantes num mesmo maciço plutónico, denominadas de A, B, D e
G. Foram retiradas amostras destas 4 rochas e feitas medições das respectivas concentrações em 87Rb e 87Sr. Em
duas das amostras (B e G) os minerais foram separados e foram também medidas as concentrações de 87Rb e 87Sr
bem como do isótopo de estrôncio 86Sr. Os resultados apresentam-se na tabela seguinte:
87Rb/86Sr
Dados de Rocha Total
87Sr/86Sr
Rocha A
0.25
0.710202
Rocha B
0.30
0.711642
Rocha D
0.50
0.717404
Rocha G
1.00
0.731807
Apatite
0.05
0.710931
K- Feldspato
0.60
0.712495
Muscovite
5.00
0.725009
Apatite
0.07
0.729162
K- Feldspato
1.30
0.732660
Muscovite
15.0
0.771624
Dados de Minerais
Rocha B
Rocha G
a) Represente os dados num diagrama de isócronas (87Rb/86Sr em abcissas e 87Sr/86Sr em ordenadas). As três
isócronas devem ser desenhadas no mesmo diagrama;
b) Calcule a idade isócrona da rocha total (baseada no declive da recta) e o valor incial da razão 87Sr/86Sr (ordenada
na origem);
c) Calcule a isócrona interna e o valor incial da razão 87Sr/86Sr para a rocha B, a partir da composição dos minerais;
d) Calcule a isócrona interna e o valor inicial da razão 87Sr/86Sr para a rocha G, a partir da composição dos minerais.
Nota – A constante de decaimento do 87Rb é 1.42 x 10-11 a-1
_____________________________________________________________________________________________
Pag 18

fundamentos de geofisica

Transcrição

Documentos relacionados

Johannes Kepler (1571--1630) O astrônomo, matemático e físico

1. Terra e Sistema Solar - Agrupamento Escolas João da Silva Correia

Apresentação do PowerPoint

astrobiologia: novos resultados da procura por

OBA - História da Astronomia

Exercícios Resolvidos – Astronomia (Gravitação Universal)

A Terra, um planeta muito especial

5º Encontro de Astrónomos Amadores \(Lisboa, 2005\)

abiotic factors acceleration acid actin active transport

Apoio Institucional Realização Patrocínio

Ciências Exatas e da Terra

Baixar este arquivo PDF

Energias Renováveis

Série 1 - Sala Pró Aluno - Instituto de Física da USP

Planetas - Cruz Azul

meteoritos