Exercıcios de Análise Infinitesimal I / Cálculo I

Exercı́cios de Análise Infinitesimal I / Cálculo I - Folha 10
10.1. Considere a função f (x) = (x2 − 4)x e determine, justificando:
a) um intervalo onde a função satisfaça as condições do teorema de Rolle.
b) o(s) ponto(s) do referido intervalo que verificam a tese do teorema de Rolle.
10.2. Prove que f satisfaz as condições do teorema de Rolle e indique no intervalo
dado os números c tais que f 0 (c) = 0.
a) f (x) = x3 − x; [0, 1]
b) f (x) = x4 − 2x2 − 8; [−2, 2]
c) f (x) = sin x; [0, 2π]
10.3. a) Aplicando o teorema de Rolle demonstre que a equação x3 − 3x + b = 0
não pode ter mais do que uma solução no intervalo [−1, 1] qualquer que seja o
valor de b.
b) Indique para que valores de b existe exactamente uma solução da equação em
[−1, 1].
10.4. Seja f uma função diferenciável em R tal que f (2) = − f (4) = 1. Considere
a função g(x) = x f (x) para todo o x ∈ R.
a) Prove que a equação g(x) = 0 tem pelo menos uma raiz positiva.
b) Prove que existe x ∈]0, 2[ tal que g0 (x) = 1.
10.5. Prove que a função f : [0, 2] → R, dada por
( 2
3−x
se 0 ≤ x ≤ 1
f (x) = 1 2
se 1 < x ≤ 2
x
satisfaz as condições do teorema de Lagrange em [0, 2] e determine os valores
c ∈ [0, 2] tais que
f (2) − f (0) = 2 f 0 (c)
10.6. Prove que na parábola y = Ax2 + Bx +C, com A 6= 0 e A, B,C ∈ R, a corda
que une os pontos de abcissas x = a e x = b é paralela à tangente no ponto de
abcissa x = a+b
2 , quaisquer que sejam a, b ∈ R.
10.7. Aplicando o teorema de Lagrange prove que:
a) | sin x − sin y| ≤ |x − y| para todo o x, y ∈ R.
b) | arctan x − arctan y| ≤ |x − y| para todo o x, y ∈ R.
c)
x−a
x
< log ax <
x−a
a ,
0 < a < x.
10.8. Verifique as desigualdades estudando o sinal da derivada de uma função
adequada:
2
a) ex > 1 + x + x2 , x > 0.
3
b)x − x3 < arctan x, x > 0.
c) π2 x < sin x < x, 0 < x < π2 .
3
d) x − x6 < sin x < x, x > 0.
10.9. Existe alguma função diferenciável f que satisfaça as seguintes condições,
f (0) = 2, f (2) = 5 e f 0 (x) ≤ 1 no intervalo ]0, 2[? Justifique.
10.10. Existe alguma função diferenciável f tal que
f (x) = 1 ⇔ x = 0, 2, 3
e f 0 (x) = 0 ⇔ x = −1, 3/4, 3/2 ?
Justifique.
10.11.
a) Verifique que,
por aplicação da regra de Cauchy, não é possı́vel determinar
1
2
x sin x
lim
.
x→0
sin x
b) Calcule este limite.
10.12. Calcule:
log(1 + x)
a) lim
x→0 log(1 + 3x)
b) lim xe−x
x→+∞